Примеры с параметрами и методы их решения. Уравнения с параметрами Решить для каждого значения параметра а определить
При каких значениях параметра $a$ неравенство ${}-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0$ имеет хотя бы одно решение?
Решение
Приведем данное неравенство к положительному коэффициенту при $x^2$:
${}-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - (a + 2)x + 8a + 1 < 0 .$
Вычислим дискриминант: $D = (a + 2)^2 - 4(8a + 1) = a^2 + 4a + 4 - 32a - 4 = a^2 - 28a$. Чтобы данное неравенство имело решение, необходимо, чтобы хотя бы одна точка параболы лежала ниже оси $x$. Так как ветви параболы направлены вверх, то для этого нужно, чтобы квадратный трёхчлен в левой части неравенства имел два корня, то есть его дискриминант был положительным. Мы приходим к необходимости решить квадратное неравенство $a^2 - 28a > 0$. Квадратный трехчлен $a^2 - 28a$ имеет два корня: $a_1 = 0$, $a_2 = 28$. Поэтому неравенству $a^2 - 28a > 0$ удовлетворяют промежутки $a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.
Ответ. $a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.
При каких значениях параметра $a$ уравнение $(a-2)x^2-2ax+a+3=0$ имеет хотя бы один корень, и при этом все корни положительны?
Решение
Пусть $a=2$. Тогда уравнение принимает вид ${} - 4x +5 = 0$ , откуда получаем, что $x=\dfrac{5}{4}$ - положительный корень.
Пусть теперь $a\ne 2$. Получается квадратное уравнение. Определим сначала, при каких значениях параметра $a$ данное уравнение имеет корни. Нужно, чтобы его дискриминант был неотрицателен. То есть:
$ D = 4a^2 - 4(a-2)(a+3) ={} -4a+24\geqslant 0\Leftrightarrow a\leqslant 6.$
Корни по условию должны быть положительны, следовательно, из теоремы Виета получаем систему:
$ \begin{cases}x_1 + x_2 = \dfrac{2a}{a - 2}>0,\\ x_1x_2 = \dfrac{a + 3}{a - 2}> 0,\\a\leqslant 6\end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases}a\in(- \infty;0)\cup(2; +\infty), \\ a\in(- \infty;-3)\cup(2; +\infty), \\ a\in(-\infty;6] \end{cases}\quad\Leftrightarrow \quad a\in(-\infty;-3)\cup(2;6]. $
Объединяем ответы, получаем искомое множество: $a\in(-\infty;-3)\cup$.
Ответ. $a\in(-\infty;-3)\cup$.
При каких значениях параметра $a$ неравенство $ax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0$ не имеет решений?
Решение
- Если $a = 0$, то данное неравенство вырождается в неравенство $5 \leqslant 0$ , которое не имеет решений. Поэтому значение $a = 0$ удовлетворяет условию задачи.
- Если $a > 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вверх. Вычислим $\dfrac{D}{4} = 4a^2 - 5a$. Неравенство не имеет решений, если парабола расположена выше оси абсцисс, то есть когда квадратный трёхчлен не имеет корней ($D < 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
- Если $a < 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.
Ответ. $a \in \left$ лежит между корнями, поэтому корней должно быть два (значит, $a\ne 0$). Если ветви параболы $y = ax^2 + (a + 3)x - 3a$ направлены вверх, то $y(-1) < 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) > 0$ и $y(1) > 0$.
Случай I. Пусть $a > 0$. Тогда
$\left\{ \begin{array}{l} y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \end{array} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a>-1 \\ a>3 \\ a>0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a>3.$
То есть в этом случае получается, что подходят все $a > 3$.
Cлучай II. Пусть $a < 0$. Тогда
$\left\{ \begin{array}{l} y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3>0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$
То есть в этом случае получается, что подходят все $a < -1$.
Ответ. $a\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty)$
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$ \begin{cases} x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end{cases} $
имеет ровно два решения.
Решение
Вычтем из первого второе: $(x-y)^2 = 1$. Тогда
$ \left[\begin{array}{l} x-y = 1, \\ x-y = -1 \end{array}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{array}{l} x = y+1, \\ x = y-1. \end{array}\right. $
Подставляя полученные выражения во второе уравнение системы, получаем два квадратных уравнения: $2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0$ и $2y^2 - 2y - 2a + 1 =0$. Дискриминант каждого из них равен $D = 16a-4$.
Заметим, что не может получиться так, что пара корней первого из квадратных уравнений совпадает с парой корней второго квадратного уравнения, так как сумма корней первого равна $-1$, а второго 1.
Значит, нужно, чтобы у каждого из этих уравнений было по одному корню, тогда у исходной системы их будет два решения. То есть $D = 16a - 4 = 0$.
Ответ. $a=\dfrac{1}{4}$
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $4x-|3x-|x+a||=9|x-3|$ имеет два корня.
Решение
Перепишем уравнение в виде:
$ 9|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0. $
Рассмотрим функцию $f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||$.
При $x\geqslant 3$ первый модуль раскрывается со знаком плюс, и функция принимает вид: $f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||$. Очевидно, что при любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\geqslant 5-3-1=1>0$, то есть эта функция на данном промежутке неограниченно возрастает.
Рассмотрим теперь промежуток $x<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.
Итак, мы получили, что $x=3$ - точка минимума данной функции. А это означает, что для того чтобы у исходного уравнения было два решения, значение функции в точке минимума должно быть меньше нуля. То есть имеет место неравенство: $f(3)<0$.
$ 12-|9-|3+a||>0 \quad \Leftrightarrow \quad |9-|3+a|| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$
В итоге | 4(а
– 1)(а
– 6) > 0 - 2(а + 1) < 0 9а – 5 > 0 |
а
< 1: а > 6 а > - 1 а > 5/9 |
(Рис. 1 ) < a < 1, либо a > 6 |
Пример 3. Найдите значения а , при которых данное уравнение имеет решение.
х 2 – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0
Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а
4а 2 – 16 0
4а (а – 4) 0
а(а – 4)) 0
а(а – 4) = 0
а = 0 или а – 4 = 0
а = 4
(Рис. 2 )
Ответ: а 0 и а 4
Дидактический материал
1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?
2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?
3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2) = 0 имеет более двух корней?
4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?
5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?
1. При а = - 1/7, а = 0, а = 1
2. При а = 0
3. При а = 2
4. При а = 10
5. При а = - 2
Показательные уравнения с параметром
Пример 1 .Найти все значения а , при которых уравнение
9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а *3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.
Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х, получим равносильное уравнение
3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)
Пусть 3 х+1/х = у , тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или
(у – 2)(у – а ) = 0, откуда у 1 =2, у 2 = а .
Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log 3 2 , или х 2 – х log 3 2 + 1 = 0.
Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 3 2 – 4 < 0.
Если у = а , т.е. 3 х+1/х = а то х + 1/х = log 3 а , или х 2 – х log 3 а + 1 = 0. (3)
Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда
Д = log 2 3 2 – 4 > 0, или |log 3 а| > 2.
Если log 3 а > 2, то а > 9, а если log 3 а < -2, то 0 < а < 1/9.
Ответ: 0 < а < 1/9, а > 9.
Пример 2 . При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?
Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х 1 = -3, х 2 = а = >
а – положительное число.
Ответ: при а > 0
Дидактический материал
1. Найти все значения а, при которых уравнение
25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.
2. При каких значениях а уравнение
2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?
3. При каких значениях параметра а уравнение
4 х - (5а -3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?
Логарифмические уравнения с параметром
Пример 1. Найти все значения а , при которых уравнение
log 4x (1 + ах ) = 1/2 (1)
имеет единственное решение.
Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению
1 + ах = 2х при х > 0, х 1/4 (3)
х = у
ау 2 –у + 1 = 0 (4)
Не выполняется (2) условие из (3).
Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1990
В последние годы на вступительных экзаменах, на итоговом тестировании в форме ЕГЭ предлагаются задачи с параметрами. Эти задачи позволяют диагностировать уровень математического и, главное, логического мышления абитуриентов, способность осуществлять исследовательскую деятельность, а также просто знание основных разделов школьного курса математики.
Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит своё отражение в графических методах. В самом деле, поскольку параметр “равен в правах” с переменной, то ему, естественно, можно “выделить” и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость . Отказ от традиционного выбора букв и для обозначения осей, определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами – “метод областей”. Наряду с другими методами, применяемыми при решении задач с параметрами, я знакомлю своих учеников и с графическими приёмами, обращая внимание на то, как распознать “такие” задачи и как выглядит процесс решения задачи.
Самые общие признаки, которые помогут узнавать задачи, подходящие под рассматриваемый метод:
Задача 1. “При каких значениях параметра неравенство выполняется при всех ?”
Решение. 1). Раскроем модули с учётом знака подмодульного выражения:
2). Запишем все системы получившихся неравенств:
а)
б) в)
г)
3). Покажем множество точек, удовлетворяющих каждой системе неравенств (рис.1а).
4). Объединяя все области, показанные на рисунке штриховкой, можно заметить, что неравенству не удовлетворяют точки , лежащие внутри парабол.
На рисунке видно, что при любом значении параметра можно найти область, где лежат точки, координаты которых удовлетворяют исходному неравенству. Неравенство выполняется при всех , если . Ответ: при .
Рассмотренный пример представляет собой “открытую задачу” - можно рассмотреть решение целого класса задач, не изменяя рассмотренное в примере выражение, в которых технические трудности построения графиков уже преодолены.
Задача. При каких значениях параметра уравнение не имеет решений? Ответ: при .
Задача. При каких значениях параметра уравнение имеет два решения? Запишите оба найденных решения.
Ответ: , тогда , ;
Тогда ; , тогда , .
Задача. При каких значениях параметра уравнение имеет один корень? Найдите этот корень. Ответ: при при .
Задача. Решите неравенство .
(“Работают” точки, лежащие внутри парабол).
, ; , решений нет;
Задача 2.Найдите все значения параметра а , при каждом из которых система неравенств образует на числовой прямой отрезок длины 1.
Решение. Перепишем исходную систему в таком виде
Все решения этой системы (пары вида ) образуют некоторую область, ограниченную параболами и (рис 1).
Очевидно, решением системы неравенств будет отрезок длины 1 при и при . Ответ: ; .
Задача 3.Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства содержит число , а так же содержит два отрезка длиной , не имеющие общих точек.
Решение. По смыслу неравенства ; перепишем неравенство, умножив обе его части на (), получаем неравенство:
, ,
(1)
Неравенство (1) равносильно совокупности двух систем:
(рис. 2).
Очевидно, интервал не может содержать отрезка длины . Значит, два непересекающихся отрезка длины содержатся в интервале Это возможно при , т.е. при . Ответ: .
Задача 4.Найдите все значения параметра , при каждом из которых множество решений неравенства содержит отрезок длиной 4 и при этом содержится в некотором отрезке длиной 7.
Решение. Проведём равносильные преобразования, учитывая, что и .
, ,
; последнее неравенство равносильно совокупности двух систем:
Покажем области, которые соответствуют этим системам (рис. 3).
1) При множество решений – это интервал длиной, меньшей 4. При множество решений – это объединение двух интервалов .Содержать отрезок длиной 4 может только интервал . Но тогда , и объединение уже не содержится ни в каком отрезке длиной 7. Значит, такие не удовлетворяют условию.
2) множество решений – это интервал . Он содержит отрезок длиной 4, только если его длина больше 4, т.е. при . Он содержится в отрезке длиной 7, только если его длина не больше 7, т. е. при , тогда . Ответ: .
Задача 5. Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства содержит число 4, а также содержит два непересекающихся отрезка длиной 4 каждый.
Решение. По условия . Домножим обе части неравенства на (). Получим равносильное неравенство, в котором сгруппируем все члены в левой части и преобразуем её в произведение:
, ,
, .
Из последнего неравенства следует:
1) 2)
Покажем области, которые соответствуют этим системам (рис. 4).
а) При получаем интервал , не содержащий числа 4. При получаем интервал , также не содержащий числа 4.
б) При получаем объединение двух интервалов. Непересекающиеся отрезки длиной 4 могут располагаться только в интервале . Это возможно только в том случае, если длина интервала больше 8, т. е. если . При таких выполнено и другое условие: . Ответ: .
Задача 6. Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства содержит какой-нибудь отрезок длиной 2, но не содержит никакого отрезка длиной 3.
Решение. По смыслу задания , умножим обе части неравенства на , сгруппируем все члены в левой части неравенства и преобразуем её в произведение:
, . Из последнего неравенства следует:
1) 2)
Покажем область, которая соответствует первой системе (рис. 5).
Очевидно, что условие задачи выполняется, если . Ответ: .
Задача 7. Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства 1+ содержится в некотором отрезке длиной 1 и при этом содержит какой-нибудь отрезок длиной 0,5.
Решение. 1). Укажем ОДЗ переменной и параметра:
2). Перепишем неравенство в виде
, ,
(1). Неравенство (1) равносильно совокупности двух систем:
1)
2)
С учётом ОДЗ решения систем выглядят так:
а) б)
(рис. 6).
а) б)
Покажем область, соответствующую системе а) (рис. 7). Ответ: .
Задача 8. Шесть чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Первый, второй и четвертый члены этой прогрессии являются решениями неравенства , а остальные
не являются решениями этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений первого члена таких прогрессий.
Решение. I. Найдём все решения неравенства
а). ОДЗ:
, т.е.
(учли в решении, что функция возрастает на ).
б). На ОДЗ неравенство равносильно неравенству , т.е. , что даёт:
1).
2).
Очевидно, решением неравенства служит множество значений .
II. Проиллюстрируем вторую часть задачи о членах возрастающей арифметической прогрессии рисунком (рис. 8 , где - первый член, - второй и т.д.). Заметим, что:
Или имеем систему линейных неравенств:
решим её графическим способом. Строим прямые и , а также прямые
То, .. Первый, второй и шестой члены этой прогрессии являются решениями неравенства , а остальные не являются решениями этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений разности этой прогрессии.
1. Задача.
При каких значениях параметра a
уравнение
(a
- 1)x
2 + 2x
+ a
- 1 = 0
имеет ровно один корень?
1. Решение.
При a
= 1 уравнение имеет вид
2x
= 0 и, очевидно, имеет единственный корень
x
= 0. Если a
№
1, то данное уравнение является квадратным и
имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых
дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к
нулю, получаем уравнение относительно параметра a
4a
2 - 8a
= 0,
откуда a
= 0 или a
= 2.
1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О {0; 1; 2}.
2. Задача.
Найти все значения параметра a
, при
которых имеет два различных корня уравнение
x
2 +4ax
+8a
+3 = 0.
2. Решение.
Уравнение x
2 +4ax
+8a
+3 = 0 имеет два
различных корня тогда и только тогда, когда D
=
16a
2 -4(8a
+3) > 0. Получаем (после сокращения
на общий множитель 4) 4a
2 -8a
-3 > 0,
откуда
2. Ответ:
a О (-Ґ ; 1 – | Ц
7 2 |
) И (1 + | Ц
7 2 |
; Ґ ). |
3. Задача.
Известно, что
f
2 (x
) = 6x
-x
2 -6.
а) Постройте график функции
f
1 (x
) при a
= 1.
б) При каком значении a
графики функций f
1 (x
) и
f
2 (x
) имеют единственную общую точку?
3. Решение.
3.а.
Преобразуем f
1 (x
) следующим образом
График этой функции при a
= 1 изображен на рисунке справа.
3.б.
Сразу отметим, что графики функций y
=
kx
+b
и y
= ax
2 +bx
+c
(a
№
0) пересекаются в единственной точке
тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx
+b
=
ax
2 +bx
+c
имеет единственный корень.
Используя представление f
1 из 3.а
, приравняем
дискриминант уравнения a
= 6x
-x
2 -6 к нулю.
Из уравнения 36-24-4a
= 0 получаем a
= 3. Проделав то же
самое с уравнением 2x
-a
= 6x
-x
2 -6
найдем a
= 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра
удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a
= 2 или a
= 3.
4. Задача.
Найти все значения a
, при которых множество решений неравенства
x
2 -2ax
-3a
і
0
содержит отрезок .
4. Решение.
Первая координата вершины параболы f
(x
) =
x
2 -2ax
-3a
равна x
0 =
a
. Из свойств квадратичной функции условие f
(x
) і
0 на отрезке равносильно совокупности трех систем
имеет ровно два решения?
5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде
x
2 + (2a
-2)x
- 3a
+7 = 0.
Это квадратное уравнение, оно
имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля.
Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней
является выполнение неравенства a
2 +a
-6 > 0.
Решая неравенство, находим a
< -3 или a
> 2. Первое из
неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим
натуральным решением второго является число 3.
5. Ответ: 3.
6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a
, при которых
график функции
или, после очевидных преобразований, a
-2 = |
2-a
|
. Последнее
уравнение равносильно неравенству a
і
2.
6. Ответ: a О }