Истинная и средняя теплоемкости. Теплоемкость

Опытные значения теплоёмкостей при различных температурах представляются в виде таблиц, графиков и эмпирических функций.

Различают истинную и среднюю теплоемкости.

Истинная теплоемкость C-это теплоемкость для заданной температуры.

В инженерных расчетах часто используется среднее значение теплоемкости в заданном интервале температур (t1;t2).

Средняя теплоемкость обозначается двояко: ,.

Недостаток последнего обозначения является незаданность диапазона температур.

Истинная и средняя теплоемкости связаны соотношением:

Истинная теплоемкость-это предел, к которому стремится средняя теплоемкость, в заданном диапазоне температур t1…t2, при ∆t=t2-t1

Как показывает опыт, у большинства газов истинные теплоемкости возрастают с ростом температуры. Физическое объяснение этого возрастания заключается в следующем:

Известно, что температура газа не связана колебательным движением атомов и молекул, а зависит от кинетической энергии E k поступательного движения частиц. Но по мере роста температуры подводимая к газу теплота всё более и более перераспределяется в пользу колебательного движения, т.е. рост температуры при одинаковом подводе теплоты по мере роста температуры замедляется.

Типичная зависимость теплоемкости от температуры:

c=c 0 + at + bt 2 + dt 3 + … (82)

где c 0 , a, b, d – эмпирические коэффициенты.

c – Истинная теплоёмкость, т.е. значение теплоёмкости для заданной температуры T.

Для теплоемкости битоппроксимирующей кривой- это полином в виде ряда по степеням t.

Аппроксимирующая кривая проводится с использованием специальных методов, например, методом наименьших квадратов. Суть этого метода в том, что при его использовании все точки примерно равноудалены от аппроксимирующей кривой.

Для инженерных расчётов, как правило, ограничиваются двумя первыми слагаемыми в правой части, т.е. полагают зависимость теплоёмкости от температуры линейной c=c 0 + at (83)

Средняя теплоемкость графически определяется как средняя линия заштрихованной трапеции, как известно средняя линия трапеции определяется как полусумма оснований.

Формулы применяются, если известна эмпирическая зависимость.

В тех случаях, когда зависимость теплоёмкости от температуры не удаётся удовлетворительно аппроксимировать к зависимости c=c 0 +at, можно воспользоваться следующей формулой:

Эта формула применяется в тех случаях, когда зависимость c от t существенно нелинейна.

Из молекулярно-кинетической теории газов известно

U  = 12,56T ,U  - внутренняя энергия одного киломоля идеального газа.

Ранее было получено для идеального газа:

, ,

Из полученного результата следует, что теплоемкость, полученная с использованием МКТ, от температуры не зависит.

Уравнение Майера: c  p -c  v =R  ,

c  p =c  v +R  =12,56+8,31420,93.

Как и предыдущем случае по МКТ газов молекулярная изобарная теплоемкость от температуры не зависит.

Понятию идеального газа в наибольшей степени соответствуют одноатомные газы при малых давлениях, на практике приходится иметь дело с 2-х, 3-х … атомными газами. Например, воздух, который по объёму состоит из 79% азота (N 2), 21% кислорода (O 2) (в инженерных расчетах инертные газы не учитываются в силу малости их содержания) .

Можно для оценочных расчётов пользоваться следующей таблицей:

У реальных газов, в отличие от идеального, теплоёмкости могут зависеть не только от температуры, но и от объёма и давления системы.

Теплоемкость – теплофизическая характеристика, которая определяет способность тел отдавать или воспринимать теплоту, чтобы изменять температуру тела. Отношение количества теплоты, подведенной (или отведенной) в данном процессе, к изменению температуры называется теплоемкостью тела (системы тел):C=dQ/dT, где - элементарное количество теплоты; - элементарное изменение температуры.

Теплоемкость численно равна количеству теплоты, которое необходимо подвести к системе, чтобы при заданных условиях повысить ее температуру на 1 градус. Единицей теплоемкости будет Дж/К.

В зависимости от количественной единицы тела, к которому подводится теплота в термодинамике, различают массовую, объемную и мольную теплоемкости.

Массовая теплоемкость - это теплоемкость, отнесенная к единице массы рабочего тела,c=C/m

Единицей измерения массовой теплоемкости является Дж/(кг×К). Массовую теплоемкость называют также удельной теплоемкостью.

Объемная теплоемкость - теплоемкость, отнесенная к единице объема рабочего тела, где и - объем и плотность тела при нормальных физических условиях. C’=c/V=c p . Объемная теплоемкость измеряется в Дж/(м 3 ×К).

Мольная теплоемкость - теплоемкость, отнесенная к количеству рабочего тела (газа) в молях,C m =C/n, где n - количество газа в молях.

Мольную теплоемкость измеряют в Дж/(моль×К).

Массовая и мольная теплоемкости связаны следующим соотношением:

Объемная теплоемкость газов выражается через мольную как

Где м 3 /моль - мольный объем газа при нормальных условиях.

Уравнение Майера: С р – С v = R.

Учитывая, что теплоемкость непостоянна, а зависит от температуры и других термических параметров, различают истинную и среднюю теплоемкости. В частности, если хотят подчеркнуть зависимость теплоёмкости рабочего тела от температуры, то записывают её как C(t), а удельную – как c(t). Обычно под истинной теплоёмкостью понимают отношение элементарного количества теплоты, которое сообщается термодинамической системе в каком-либо процессе к бесконечно малому приращению температуры этой системы, вызванному сообщенной теплотой. Будем считать C(t) истинной теплоёмкостью термодинамической системы при температуре системы равной t 1 , а c(t) - истинной удельной теплоёмкостью рабочего тела при его температуре равной t 2 . Тогда среднюю удельную теплоёмкость рабочего тела при изменении его температуры от t 1 до t 2 можно определить как

Обычно в таблицах приводятся средние значения теплоемкости c ср для различных интервалов температур, начинающихся с t 1 =0 0 C. Поэтому во всех случаях, когда термодинамический процесс проходит в интервале температур от t 1 до t 2 , в котором t 1 ≠0, количество удельной теплоты q процесса определяется с использованием табличных значений средних теплоемкостей c ср следующим образом.

величина, если её определять на различных участках AB, AC, AD процесса AB, то Это показывает, что на отдельных участках процесса, на которых температура изменяется на 1 о С, расходуются различные количества теплоты. Поэтому приведённая выше формула не определяет действительный удельный расход теплоты, а показывает лишь, сколько теплоты в среднем в процессе AB сообщается при нагревании газа на 1 о С.

Средняя теплоёмкость – отношение теплоты, сообщаемой газу, к изменению его температуры при условии, что разность температур является конечной величиной. Под истинной теплоёмкостью газа понимают предел, к которому стремится средняя теплоёмкость при стремлении ΔT к нулю. Так, если в процессе Aa средняя теплоёмкость то истинная теплоёмкость при начальном состоянии A:

Следовательно, истинной теплоёмкостью называется отношение теплоты, сообщаемой газу в процессе, к изменению его температуры при условии, что разность температур исчезающее мала.

Общие формулы теплоты. Из приведённых выше формул следует, что теплоту, сообщаемую газу в произвольном процессе, можно определить по формуле:

или для произвольного количества газа

где – средняя теплоёмкость газа в рассматриваемом процессе при измене6нии его температуры от T 1 до T 2 . Теплоту можно определить также по формулам:

где c – истинная теплоёмкость газа.

Формулы средней и истинной теплоёмкости. Теплоёмкость реальных газов зависит от давления и температуры. Зависимостью от давления часто пренебрегают. Зависимость от температуры значительна и на основании экспериментальных данных выражается уравнением вида где a, b, d – числовые коэффициенты, зависящие от природы газа и характера процесса.

Удельные теплоёмкости:

Теплоёмкость, отнесённая к 1 кг газа, называется весовой теплоёмкостью – . Теплоёмкость, отнесённая к 1 м 3 газа, называется объёмной теплоёмкостью – 3 . Теплоёмкость, отнесённая к 1 молю газа, называется мольной теплоёмкостью – .

Пусть для нагревания 1 кг газа на 1 о С необходимо джоулей тепла. Т.к. в моле содержится килограмм газа, то для нагревания 1 моля на 1 о С необходимо в раз больше тепла, т.е.

Теперь для нагревания 1 м 3 газа на 1 о С необходимо джоулей тепла. Т.к. в моле при нормальных условиях содержится 22,4 м 3 газа, то для нагревания 1 моля на 1 о необходимо в 22,4 раза больше, тепла:

Сравнивая формулы (а) и (б), найдём зависимость между весовой и объёмной теплоёмкостями:

Зависимость теплоёмкости от характера процесса. Рассмотрим два процесса подвода тепла к газу:

а) Тепло подводится к 1 кг газа, заключённому в цилиндр с неподвижным поршнем (рис.5). Тепло, сообщённое газу, будет равно , где – теплоёмкость газа при ; и – начальная и конечная температуры газа . При разнице температур получим, что . Очевидно, что всё тепло в этом случае пойдёт на увеличение внутренней энергии газа.

Рис. 5. Рис. 6.

б) Тепло подводится к 1 кг газа, заключённому в цилиндр с подвижным поршнем (рис.6) и, в этом случае, будет равно , где – теплоёмкость газа при ; и – начальная и конечная температуры газа при . При получим, что . В этом случае подведённое к газу тепло пошло на на увеличение внутренней энергии газа (как и в первом случае), а также на совершение работы при движении поршня. Следовательно, для повышения температуры 1 кг газа на 1 о С во втором случае необходимо больше теплоты, чем в первом, т.е. .

Рассматривая другие процессы, можно установить, что теплоёмкость может принимать самые разные числовые значения, т.к. количество теплоты, сообщаемое газу, зависит от характера процесса .

Связь между и , коэффициент . При нагревании 1 кг газа на 1 о С при подводится Дж тепла. Часть его, равная , идёт на увеличение внутренней энергии, а часть – на совершение работы расширения. Обозначим эту работу через . Т.к. теплота, затраченная на нагревание газа и совершение работы, должна быть в сумме равна подведённой теплоте, то можно записать, что

Это количество теплоты, которое необходимо сообщить системе для увеличения ее температуры на 1 (К ) при отсутствии полезной работы и постоянстве соответствующих параметров.

Если в качестве системы мы берем индивидуальное вещество, то общая теплоемкость системы равняется теплоемкости 1 моль вещества () умноженное на число моль ().

Теплоемкость может быть удельная и молярная.

Удельная теплоемкость - это количество теплоты, необходимое для нагревания единицы массы вещества на 1 град (интенсивная величина).

Молярная теплоемкость - это количество теплоты, необходимое для нагревания одного моль вещества на 1 град .

Различают истинную и среднюю теплоемкость.

В технике обычно используют понятие средней теплоемкости.

Средняя - это теплоемкость для определенного интервала температур.

Если системе, содержащей количество вещества или массой , сообщили количество теплоты , а температура системы повысилась от до , то можно рассчитать среднюю удельную или молярную теплоемкость:

Истинная молярная теплоемкость - это отношение бесконечно малого количества теплоты, сообщенной 1 моль вещества при определенной температуре, к приращению температуры, которое при этом наблюдается.

Согласно уравнению (19), теплоемкость, как и теплота, не является функцией состояния. При постоянном давлении или объеме, согласно уравнениям (11) и (12), теплота, а, следовательно, и теплоемкость приобретают свойства функции состояния, то есть становятся характеристическими функциями системы. Таким образом, получаем изохорную и изобарную теплоемкости.

Изохорная теплоемкость - количество теплоты, которое необходимо сообщить системе, чтобы повысить температуру на 1 , если процесс происходит при .

Изобарная теплоемкость - количество теплоты, которое необходимо сообщить системе, чтобы повысить температуру на 1 при .

Теплоемкость зависит не только от температуры, но и от объема системы, поскольку между частицами существуют силы взаимодействия, которые изменяются при изменении расстояния между ними, поэтому в уравнениях (20) и (21) используют частные производные.

Энтальпия идеального газа, как и его внутренняя энергия, является функцией только температуры:

а в соответствии с уравнением Менделеева-Клапейрона , тогда

Поэтому для идеального газа в уравнениях (20), (21) частные производные можно заменить на полные дифференциалы:

Из совместного решения уравнений (23) и (24) с учетом (22), получим уравнение взаимосвязи между и для идеального газа.

Разделив переменные в уравнениях (23) и (24), можно рассчитать изменение внутренней энергии и энтальпии при нагревании 1 моль идеального газа от температуры до

Если в указанном интервале температур теплоемкость можно считать постоянной, то в результате интегрирования получаем:

Установим взаимосвязь между средней и истинной теплоемкостью. Изменение энтропии с одной стороны выражается уравнением (27), с другой -

Приравняв правые части уравнений и выразив среднюю теплоемкость, имеем:

Аналогичное выражение можно получить для средней изохорной теплоемкости.

Теплоемкость большинства твердых, жидких и газообразных веществ повышается с ростом температуры. Зависимость теплоемкости твердых, жидких и газообразных веществ от температуры выражается эмпирическим уравнением вида:

где а , b , c и - эмпирические коэффициенты, вычисленные на основе экспериментальных данных о , причем коэффициент относится к органическим веществам, а - к неорганическим. Значения коэффициентов для различных веществ приведены в справочнике и применимы только для указанного интервала температур.

Теплоемкость идеального газа не зависит от температуры. Согласно молекулярно-кинетической теории теплоемкость, приходящаяся на одну степень свободы, равна (степень свободы - число независимых видов движения на которые можно разложить сложное движение молекулы). Для одноатомной молекулы характерно поступательное движение, которое можно разложить на три составляющие в соответствии с тремя взаимно перпендикулярными направлениями по трем осям. Поэтому изохорная теплоемкость одноатомного идеального газа равна

Тогда изобарная теплоемкость одноатомного идеального газа согласно (25) определится по уравнению

Двухатомные молекулы идеального газа помимо трех степеней свободы поступательного движения имеют и 2 степени свободы вращательного движения. Следовательно .

Учитывая, что теплоемкость непостоянна, а зависит от температуры и других термических параметров, различают истинную и среднюю теплоемкости. Истинная теплоемкость выражается уравнением (2.2) при определенных параметрах термодинамического процесса, то есть в данном состоянии рабочего тела. В частности, если хотят подчеркнуть зависимость теплоёмкости рабочего тела от температуры, то записывают её как , а удельную – как. Обычно под истинной теплоёмкостью понимают отношение элементарного количества теплоты, которое сообщается термодинамической системе в каком-либо процессе к бесконечно малому приращению температуры этой системы, вызванному сообщенной теплотой. Будем считатьистинной теплоёмкостью термодинамической системы при температуре системы равной, а- истинной удельной теплоёмкостью рабочего тела при его температуре равной. Тогда среднюю удельную теплоёмкость рабочего тела при изменении его температуры отдоможно определить как

Обычно в таблицах приводятся средние значения теплоемкости для различных интервалов температур, начинающихся с. Поэтому во всех случаях, когда термодинамический процесс проходит в интервале температур отдо, в котором, количество удельной теплотыпроцесса определяется с использованием табличных значений средних теплоемкостейследующим образом:

Значения средних теплоемкостей и, находят по таблицам.

2.3.Теплоёмкости при постоянном объёме и давлении

Особый интерес представляют средние и истинные теплоемкости в процессах при постоянном объеме (изохорная теплоемкость , равная отношению удельного количества теплоты в изохорном процессе к изменению температуры рабочего тела dT) и при постоянном давлении(изобарная теплоемкость , равная отношению удельного количества теплоты в изобарном процессе к изменению температуры рабочего тела dT).

Для идеальных газов связь между изобарной и изохорной теплоёмкостями и устанавливается известным уравнением Майера .

Из уравнения Майера следует, что изобарная теплоемкость больше изохорной на значение удельной характеристической постоянной идеального газа. Это объясняется тем, что в изохорном процессе () внешняя работа не выполняется и теплота расходуется только на изменение внутренней энергии рабочего тела, тогда как в изобарном процессе () теплота расходуется не только на изменение внутренней энергии рабочего тела, зависящей от его температуры, но и на совершение им внешней работы.

Для реальных газов , так как при их расширении исовершается работа не только против внешних сил, но и внутренняя работа против сил взаимодействия между молекулами газа, на что дополнительно расходуется теплота.

В теплотехнике широко применяется отношение теплоемкостей , которое носит название коэффициента Пуассона (показателя адиабаты). В табл. 2.1 приведены значениянекоторых газов, полученные экспериментально при температуре 15 °С.

Теплоемкости изависят от температуры, следовательно, и показатель адиабатыдолжен зависеть от температуры.

Известно, что с повышением температуры теплоёмкость увеличивается. Поэтому с ростом температурыуменьшается, приближаясь к единице. Однако всегда остается больше единицы. Обычно зависимость показателя адиабаты от температуры выражается формулой вида

и так как