Необходимые условия равновесия твердого тела. «Формирование условий равновесия твёрдого тела» в курсе физики основной школы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Устойчивое равновесие - это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, возвращается в прежнее положение.

Это происходит, если при небольшом смещении тела в любом направлении от первоначального положения равнодействующая сил, действующих на тело, становится отличной от нуля и направлена к положению равновесия. Например, шарик, лежащий на дне сферического углубления (рис.1 а).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неустойчивое равновесие - это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, будет еще больше отклоняться от положения равновесия.

В данном случае при небольшом смещении тела из положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил отлична от нуля и направлена от положения равновесия. Примером может служить шарик, находящийся в верхней точке выпуклой сферической поверхности (ри.1 б).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Безразличное равновесие - это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, не меняет своего положения (состояния).

В этом случае при небольших смещениях тела из первоначального положения равнодействующая приложенных к телу сил остается равной нулю. Например, шарик, лежащий на плоской поверхности (рис.1,в).

Рис.1. Различные типы равновесия тела на опоре: а) устойчивое равновесие; б) неустойчивое равновесие; в) безразличное равновесие.

Статическое и динамическое равновесие тел

Если в результате действия сил тело не получает ускорения, оно может находиться в состоянии покоя или двигаться равномерно прямолинейно. Поэтому можно говорить о статическом и динамическом равновесии.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Статическое равновесие - это такое равновесие, когда под действием приложенных сил тело находится в состоянии покоя.

Динамическое равновесие - это такое равновесие, когда по действием сил тело не изменяет своего движения.

В состоянии статического равновесия находится подвешенный на тросах фонарь, любое строительное сооружение. В качестве примера динамического равновесия можно рассматривать колесо, которое катится по плоской поверхности при отсутствии сил трения.

Равновесие механической системы — это состояние, при котором все точки механической системы находятся в покое по отношению к рассматриваемой системе отсчета. Если система отсчета инерциальна, равновесие называется абсолютным , если неинерциальна — относительным .

Для нахождения условий равновесия абсолютно твердого тела необходимо мысленно разбить его на большое число достаточно малых элементов, каждый из которых можно представить материальной точкой. Все эти элементы взаимодействуют между собой — эти силы взаимодействия называются внутренними . Помимо этого на ряд точек тела могут действовать внешние силы.

Согласно второму закону Ньютона , чтобы ускорение точки равнялось нулю (а ускорение покоящейся точки равно нулю), геометрическая сумма сил, действующих на эту точку, должна быть равна нулю. Если тело находится в покое, значит, все его точки (элементы) также находятся в покое. Следовательно, для любой точки тела можно записать:

где — геометрическая сумма всех внешних и внутренних сил, действующих на i -й элемент тела.

Уравнение означает, что для равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма всех сил, действующих на любой элемент этого тела, была равна нулю.

Из легко получить первое условие равновесия тела (системы тел). Для этого достаточно просуммировать уравнение по всем элементам тела:

.

Вторая сумма равна нулю согласно третьему закону Ньютона : векторная сумма всех внутренних сил системы равна нулю, т. к. любой внутренней силе соответствует сила, равная по модулю и противоположная по направлению.

Следовательно,

.

Первым условием равновесия твердого тела (системы тел) является равенство нулю геометрической суммы всех внешних сил, приложенных к телу.

Это условие является необходимым, но не достаточным. В этом легко убедиться, вспомнив о вращающем действии пары сил, геометрическая сумма которых тоже равна нулю.

Вторым условием равновесия твердого тела является равенство нулю суммы моментов всех внешних сил, действующих на тело, относительно любой оси.

Таким образом, условия равновесия твердого тела в случае произвольного числа внешних сил выглядят так:

.

Статический расчет инженерных сооружений во многих случаях сводится к рассмотрению условий равновесия конструкции из систе­мы тел, соединенных, какими-нибудь связями. Связи, соединяющие части данной конструкции, будем называть внутренними в отличие от внешних связей, скрепляющих кон­струкцию с телами, в неё не входя­щими (например, с опорами).

Если после отбрасывания внешних связей (опор) конструкция остается жесткой, то для нее задачи статики решаются как для абсолютно твердо­го тела. Однако могут встречаться такие инженерные конструкции, ко­торые после отбрасывания внешних связей не остаются жесткими. Примером такой конструкции является трехшарнирная арка. Если отбросить опоры А и В, то арка не будет жесткой: ее части могут поворачиваться вокруг шарнира С.

На основании принципа отвердевания система сил, действующих на такую конструкцию, должна при равновесии удовлетворять ус­ловиям равновесия твердого тела. Но эти условия, как указывалось, будучи необходимыми, не будут являться достаточными; поэтому из них нельзя определить все неизвестные величины. Для решения задачи необходимо дополнительно рассмотреть равновесие какой-нибудь одной или нескольких частей конструкции.

Например, составляя условия равновесия для сил, действующих на трехшарнирную арку, мы получим три уравнения с четырьмя неизвестными Х А, Y A , X B , Y B . Рассмотрев дополнительно условия равновесия левой (или правой) ее половины, получим еще три уравнения, содержащие два новых неизвестных Х С, Y С, на рис. 61 не показанных. Решая полученную систему шести уравнений, найдем все шесть неизвестных.

14. Частные случаи приведения пространственной системы сил

Если при приведении системы сил к динамическому винту главный момент динамы оказался равным нулю, а главный век­тор отличен от нуля, то это означает, что система сил приведена к равнодействующей, причем центральная ось является линией действия этой равнодействующей. Выясним, при каких условиях, относящихся к главному век­тору Fp и главному моменту М 0 , это может быть. Поскольку главный момент динамы М* равен составляющей главного мо­мента М 0 , направленной по главному вектору, то рассматривае­мый случай М* =О означает, что главный момент М 0 перпенди­кулярен главному вектору, т. е. / 2 = Fo*M 0 = 0. Отсюда непо­средственно вытекает, что если главный вектор F 0 не равен нулю, а второй инвариант равен нулю, Fo≠O, / 2 = F 0 *M 0 =0, (7.9)то рассматриваемая система приводится к равнодействующей.

В частности, если для какого-либо центра приведения F 0 ≠0, а М 0 = 0, то это означает, что система сил приведена к равно­действующей, проходящей через данный центр приведения; при этом условие (7.9) также будет выполнено.Обобщим приведенную в главе V теорему о моменте равно­действующей (теорему Вариньона) на случай пространственной системы сил.Если пространственная система . сил приводится к равнодейст­вующей, то момент равнодействующей относительно произвольной точки равен геометрической сумме моментов всех сил относительно той же точки. П
усть система сил имеет равнодействующуюR и точка О лежит на линии действия этой равнодействующей. Если приводить заданную систему сил к этой точке, то получим, что главный момент равен нулю.
Возьмем какой-либо другой центр приведения О1; (7.10)С
другой стороны, на основании формулы (4.14) имеемMo1=Mo+Mo1(Fo), (7.11) т.к М 0 = 0. Сравнивая выражения (7.10) и (7.11) и учиты­вая, что в данном случае F 0 = R, получаем (7.12).

Таким образом, теорема доказана.

Пусть при каком-либо выборе центра приведения Fo=О, М ≠0. Так как главный вектор не зависит от центра приведе­ния, то он равен нулю и при любом другом выборе центра при­ведения. Поэтому главный момент тоже не меняется при пере­мене центра приведения, и, следовательно, в этом случае система сил приводится к паре сил с моментом, равным M0 .

Составим теперь таблицу всех возможных случаев приведения пространственной системы сил:

Если все силы находятся в одной плоскости, например, в пло­скости Оху, то их проекции на ось г и моменты относительно осей х и у будут равны нулю. Следовательно, Fz=0; Mox=0, Moy=0. Внося эти значения в формулу (7.5), найдем, что второй инва­риант плоской системы сил равен нулю.Тот же результат мы получим и для пространственной системы параллельных сил. Действительно, пусть все силы параллельны оси z . Тогда проекции их на оси х и у и моменты относительно оси z будут равны 0. Fx=0, Fy=0, Moz=0

На основании доказанного можно утверждать, что плоская система сил и система параллельных сил не приводятся к динамическому винту.

11. Равновесие тела при наличии трения скольжения Если два тела / и // (рис. 6.1) взаимодействуют друг с другом, соприкасаясь в точке А, то всегда реакцию R A , дейст­вующую, например, со стороны тела // и приложенную к телу /, можно разложить на две составляю­щие: N.4, направленную по общей нормали к поверхности соприкасаю­щихся тел в точке Л, и Т 4 , лежащую в касательной плоскости. Составляю­щая N.4 называется нормальной реак­цией, сила Т л называется силой тре­ния скольжения - она препятствует" скольжению тела / по телу //. В со­ответствии с аксиомой 4 (3 з-он Ньютона) на тело // со стороны тела / действует равная по модулю и противоположно направленная сила реакции. Ее составляющая, перпендикулярная касательной плос­кости, называется силой нормального давления. Как было сказано выше, сила трения Т А = О, если соприкасающиеся поверхности идеально гладкие. В реальных условиях поверхности шероховаты и во многих случаях пренебречь силой трения нельзя.Для выяснения основных свойств сил трения произведем опыт по схеме, представленной на рис. 6.2, а. К телу 5, нахо­дящемуся на неподвижной плите D, присоединена перекинутая через блок С нить, свободный конец которой снабжен опорной площадкой А. Если площадку А постепенно нагружать, то с уве­личением ее общего веса будет возрастать натяжение нити S , которое стремится сдвинуть тело вправо. Однако пока общая нагрузка не слишком велика, сила трения Т будет удерживать тело В в покое. На рис. 6.2, б изображены действующие на тело В силы, причем через Р обозначена сила тяжести, а через N - нормальная реакция плиты D . Если нагрузка недостаточна для нарушения покоя, справед­ливы следующие уравнения равновесия: N - P = 0, (6.1) S-T = 0. (6.2).Отсюда следует, что N = P и T = S. Таким образом, пока тело находится в покое, сила трения остается равной силе натя­жения нити S. Обозначим через Tmax силу трения в критический момент процесса нагружения, когда тело В теряет равновесие и начинает скользить по плите D . Следовательно, если тело нахо­дится в равновесии, то T≤Tmax.Максимальная сила трения Т тах зависит от свойств материа­лов, из которых сделаны тела, их состояния (например, от харак­тера обработки поверхности), а также от величины нормального давления N. Как показывает опыт, максимальная сила трения при­ближенно пропорциональна нор­мальному давлению, т. е. имеет место равенство Tmax = fN . (6.4).Это соотношение носит название закона Амонтона - Кулона. Безразмерный коэффициент / называется коэффициентом тре­ния скольжения. Как следует из опыта, его величина в широких пределах не зависит от площади соприкасающихся поверхностей, но зависит от материала и степени шероховатости соприкасаю­щихся поверхностей. Значения коэффициентов трения устанавли­ваются опытным путем и их можно найти в справочных таблицах. Неравенство" (6.3) можно теперь записать в виде T≤fN (6,5).Случай строгого равенства в (6.5) отвечает максимальному значению силы трения. Это значит, что силу трения можно вычислять по формуле T = fN только в тех случаях, когда зара­нее известно, что имеет место критический случай. Во всех же других случаях силу трения следует определять из уравнений равновесия.Рассмотрим тело, находящееся на шероховатой поверхности. Будем считать, что в результате действия активных сил и сил реакции тело находится в предельном равновесии. На рис. 6.6, a показана предельная реакция R и ее составляющие N и Т тах (в положении, изображенном на этом рисунке, активные силы стремятся сдвинуть тело вправо, максимальная сила трения Т та х направлена влево). Угол ф между предельной реакцией R и нор­малью к поверхности называется углом трения. Найдем этот угол. Из рис. 6.6, а имеем tgφ=Tmax/N или, пользуясь выражением (6.4), tgφ= f (6-7)Из этой формулы видно, что вместо коэффициента трения можно задавать угол трения (в справочных таблицах п

риводятся обе величины).

Система сил наз.уравновешенной ,если под действием этой системы тело остается в покое.

Условия равновесия:
Первое условие равновесия твердого тела:
Для равновесия твердого тела необходимо, чтобы сумма внешних сил, приложенных к телу, была равна нулю.
Второе условие равновесия твердого тела:
При равновесии твердого тела сумма моментов всех внешних сил, действующих на него относительно любой оси, равно нулю.
Общее условие равновесия твердого тела :
Для равновесия твердого тела должны равняться нулю сумма внешних сил и сумма моментов сил, действующих на тело. Должны быть также равны нулю начальная скорость центра масс и угловая скорость вращения тела.

Теорема. Три силы уравновешивают твёрдое тело только в том случае, когда все они лежат в одной плоскости.

11. Плоская система сил – это силы, расположенные в одной плоскости.

Три формы уравнений равновесия для плоской системы:

Центр тяжести тела.

Центром тяжести тела конечных размеров называется точка, относительно которой сумма моментов сил тяжести всех частиц тела равна нулю. В этой точке приложена сила тяжести тела. Центр тяжести тела (или системы сил) обычно совпадает с центром масс тела (или системы сил).

Центр тяжести плоской фигуры:

Практический способ нахождения центра масс плоской фигуры : подве­сим тело в поле тяжести так, чтобы оно могло свободно поворачиваться вокруг точки подвеса O1 . В равновесии центр масс С находит­ся на одной вертикали с точкой подвеса (ниже ее), так как равен нулю

момент силы тяжести, которую можно считать приложенной в центре масс. Изменяя точку подвеса, таким же способом находим еще одну прямую О 2 С , проходящую через центр масс. Положение центра масс да­ется точкой их пересечения.

Скорость центра масс:

Импульс системы частиц равен произведению массы всей системы М=Σmi на скорость ее центра масс V :

Центр масс характеризует движении системы как целого.

15. Трение скольжения – трение при относительном движении соприкасающихся тел.

Трение покоя – трение при отсутствии относительного перемещения соприкасающихся тел.

Сила трения скольжения Fтр между поверхностями соприкасающихся тел при их относительном движении зависит от силы нормальной реакции N , или от силы нормального давления Pn , причем Fтр=kN или Fтр=kPn , где k – коэффициент трения скольжения , зависящий от тех же факторов, что и коэффициент трения покоя k0 , а также от скорости относительного движения соприкасающихся тел.

16. Трение качения – это перекатывание одного тела по другому. Сила трения скольжения не зависит от величины трущихся поверхностей, а только от качества поверхностей трущихся тел и от силы, снижающей трущиеся поверхности и направленной перпендикулярно к ним. F=kN , где F – сила трения, N – величина нормальной реакции и k – коэффициент трения при скольжении.

17. Равновесие тел при наличии трения - это максимальная сила сцепления пропорциональная нормальному давлению тела на плоскость.

Угол между полной реакцией, построенной на наибольшей силе трения при данной нормальной реакции, и направлением нормальной реакции, называется углом трения.

Конус с вершиной в точке приложения нормальной реакции шероховатой поверхности, образующая которого составляет угол трения с этой нормальной реакцией, называется конусом трения.

Динамика.

1. Вдинамике рассматривается влияние взаимодействий между телами на их механическое движение.

Масса - это малярная характеристика материальной точки. Масса постоянна. Масса адьетивна (складывается)

Сила – это вектор, который полностью характеризует взаимодействие на ней материальной точки с другими материальными точками.

Материальная точка – тело, размеры и форма которого несущественны в рассматриваемом движении.(ex: в поступательном движении твердое тело можно считать материальной точкой)

Системой материальных точек наз. множество материальных точек, взаимодействующих между собой.

1 закон Ньютона: любая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешние воздействия не изменят этого состояния.

2 закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой в инерциальной системе отсчета, прямо пропорционально действующей на точку силе, обратно пропорционально массе точки и по направлению совпадает с силой: a=F/m

Условия равновесия твёрдого тела в курсе физики средней школы изучаются в разделе «Механика» при изучении статики как раздела механики. Освещается факт, что движение тела бывает двух видов: поступательное и вращательное. Поступательным называют движение, при котором любая прямая, проведённая через любые две точки тела в данной инерциальной системе отсчёта в процессе движения остаётся параллельной самой себе. Вращательным называют такое движение, при котором все точки, принадлежащие телу, за данный промежуток времени поворачиваются относительно оси вращения на одинаковый угол.

Вводится центр тяжести тела. Для этого тело мысленно разбивается на множество элементов. Центром тяжести будет точка, где пересекаются прямые, на которых лежат векторы сил тяжести, действующие на элементы тела. Далее рассматриваются частные случаи, иллюстрирующие зависимость вида движения твёрдого тела от точки приложения внешней силы:

1. Пусть сила приложена к центру тяжести или незакреплённой оси вращения - тело будет двигаться поступательно, вращения не будет;
2. Пусть сила приложена к произвольной точке тела, при этом ось вращения закреплена - тело будет вращаться, поступательного движения не будет;
3. Пусть сила приложена к произвольной точке тела, при этом ось вращения не закреплена - тело будет вращаться вокруг своей оси и при этом двигаться поступательно.

Вводится момент силы. Момент силы - это векторная физическая величина, характеризующая вращательный эффект силы. Математически в вузовском курсе общей физики момент силы вводят как векторное произведение плеча силы на вектор данной силы:

где - это плечо силы. Очевидно, что уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Учащимся объясняется, что плечо силы - это кратчайшее расстояние от точки опоры (или оси вращения) до линии действия силы.

Первое условие (уравнение (3)) обеспечивает отсутствие поступательного движения, второе условие (уравнение (4)) - отсутствие вращательного. Неплохо было бы обратить внимание на то, что уравнение (3) является частным случаем 2-го закона Ньютона (при ).

Учащимся необходимо усвоить, что момент силы - это векторная величина, поэтому при скалярной записи уравнения (4) необходимо учитывать знак момента. Для учащихся школы правила звучат так:

1. Если сила стремится повернуть тело против часовой стрелки - её момент относительно данной оси положительный;
2. Если сила стремится повернуть тело по часовой стрелке - её момент относительно данной оси отрицательный.

Как пример применения условий равновесия твёрдого тела служит применение рычагов и блоков. Пусть на одно плечо рычага действует сила , на другое - (рис. 1).

В данном случае представим, что опора тела неподвижна, поэтому нам понадобится только второе условие равновесия:

В скалярном виде, учтя знаки, получаем:

Полученное выражение называется условием равновесия рычага. Учащиеся должны твёрдо усвоить, что это лишь частный случай, и в более общих случаях необходимо опираться на уравнение (4).

Как известно из курса 7-го класса, блоки бывают подвижный и неподвижный. С помощью условий равновесия анализируют работу по равномерному подъёму груза с помощью неподвижного блока и системы подвижного и неподвижного блоков.

1. Неподвижный блок.
Пусть диаметр блока d . Воспользовавшись условием равновесия (4), получаем: Полученный факт иллюстрирует, что неподвижный блок не даёт выигрыша в силе, то есть мы должны будем приложить для подъёма груза силу, равную по модулю весу груза. Неподвижный блок применяется только лишь для удобства, в основном в паре с подвижным блоком.
2. Подвижный блок.
Воспользуемся уравнением (4) аналогично случаю с неподвижным блоком:

Мы получили, что в системе подвижного и неподвижного блоков при отсутствии сил трения получается выигрыш в силе в 2 раза. В данном случае диаметры блоков были одинаковы. Полезно будет с учащимися разобрать способы получения выигрыша в силе в 4, 6 и т. д. раз.

В заключение, проанализировав то, о чём говорилось выше, формулируется «золотое правило» механики. Решаются задачи на рычаги, блоки и другие случаи равновесия тел.