4 x figuras dimensionales. Cubo de cuatro dimensiones

Bakalar Maria

Se estudian los métodos para introducir el concepto de cubo de cuatro dimensiones (tesseract), su estructura y algunas propiedades. La cuestión de qué objetos tridimensionales se obtienen cuando un cubo de cuatro dimensiones se cruza por hiperplanos paralelos a sus caras tridimensionales. así como hiperplanos perpendiculares a su diagonal principal, se estudian. Se considera el aparato de geometría analítica multidimensional utilizado para la investigación.

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Avance:

Introducción …………………………………………………………………… .2

Parte principal …………………………………………………………… ..4

Conclusiones ………… .. ……………………………………………………… ..12

Referencias ………………………………………………………… ..13

Introducción

El espacio tetradimensional ha atraído durante mucho tiempo la atención tanto de matemáticos profesionales como de personas que están lejos de perseguir esta ciencia. El interés en la cuarta dimensión puede deberse a la suposición de que nuestro mundo tridimensional está "inmerso" en un espacio tetradimensional, al igual que un plano está "sumergido" en un espacio tridimensional, una línea recta está "sumergida" en un espacio tridimensional. plano, y un punto está en línea recta. Además, el espacio tetradimensional juega un papel importante en la teoría de la relatividad moderna (el llamado espacio-tiempo o espacio de Minkowski), y también puede ser considerado como un caso especial.espacio euclidiano dimensional (para).

Un cubo de cuatro dimensiones (tesseract) es un objeto de espacio de cuatro dimensiones que tiene la dimensión máxima posible (al igual que un cubo ordinario es un objeto de espacio de tres dimensiones). Nótese que también es de interés inmediato, es decir, puede aparecer en problemas de optimización de programación lineal (como un área en la que se busca el mínimo o máximo de una función lineal de cuatro variables), y también se utiliza en microelectrónica digital (cuando programar el funcionamiento de una pantalla de reloj electrónico). Además, el mismo proceso de estudiar un cubo de cuatro dimensiones contribuye al desarrollo del pensamiento espacial y la imaginación.

Por tanto, el estudio de la estructura y propiedades específicas de un cubo de cuatro dimensiones es bastante relevante. Cabe señalar que en términos de estructura, el cubo de cuatro dimensiones se ha estudiado bastante bien. De mucho mayor interés es el carácter de sus secciones por varios hiperplanos. Así, el objetivo principal de este trabajo es estudiar la estructura del tesseract, así como aclarar la cuestión de qué objetos tridimensionales se obtendrán si un cubo de cuatro dimensiones es diseccionado por hiperplanos paralelos a uno de sus tres dimensiones. caras dimensionales, o por hiperplanos perpendiculares a su diagonal principal. Un hiperplano en un espacio de cuatro dimensiones es un subespacio de tres dimensiones. Podemos decir que una línea recta en un plano es un hiperplano unidimensional, un plano en un espacio tridimensional es un hiperplano bidimensional.

La meta establecida determinó los objetivos del estudio:

1) Estudiar los hechos básicos de la geometría analítica multidimensional;

2) Estudiar las características de los cubos de construcción de dimensiones de 0 a 3;

3) Estudiar la estructura de un cubo de cuatro dimensiones;

4) Describir analítica y geométricamente un cubo de cuatro dimensiones;

5) Realizar modelos de barridos y proyecciones centrales de cubos tridimensionales y tetradimensionales.

6) Utilizando el aparato de geometría analítica multidimensional, describir objetos tridimensionales resultantes de la intersección de un cubo de cuatro dimensiones por hiperplanos paralelos a una de sus caras tridimensionales, o por hiperplanos perpendiculares a su diagonal principal.

La información obtenida de esta manera permitirá comprender mejor la estructura del tesseract, así como revelar una profunda analogía en la estructura y propiedades de cubos de varias dimensiones.

Parte principal

Primero, describimos el aparato matemático que usaremos en el curso de este estudio.

1) Coordenadas vectoriales: si, luego

2) La ecuación de un hiperplano con un vector normal tiene la forma aquí

3) Aviones y son paralelos si y solo si

4) La distancia entre dos puntos se determina de la siguiente manera: si, luego

5) Condición de ortogonalidad para vectores:

En primer lugar, averigüemos cómo se puede describir un cubo de cuatro dimensiones. Esto se puede hacer de dos formas: geométrica y analítica.

Si hablamos del método geométrico de asignación, aquí es recomendable rastrear el proceso de construcción de cubos, comenzando desde la dimensión cero. Un cubo de dimensión cero es un punto (tenga en cuenta, por cierto, que un punto también puede desempeñar el papel de una bola de dimensión cero). A continuación, introducimos la primera dimensión (eje de abscisas) y marcamos dos puntos (dos cubos de dimensión cero) en el eje correspondiente, que se encuentran a una distancia de 1 entre sí. El segmento resultante es un cubo unidimensional. Observemos inmediatamente un rasgo característico: el límite (extremos) de un cubo (segmento) unidimensional son dos cubos de dimensión cero (dos puntos). A continuación, introducimos la segunda dimensión (el eje de ordenadas) y en el planoconstruimos dos cubos unidimensionales (dos segmentos), cuyos extremos están a una distancia de 1 entre sí (de hecho, uno de los segmentos es una proyección ortogonal del otro). Conectando los extremos correspondientes de los segmentos, obtenemos un cuadrado, un cubo bidimensional. Nuevamente, tenga en cuenta que el límite de un cubo bidimensional (cuadrado) son cuatro cubos unidimensionales (cuatro segmentos de línea). Finalmente, introducimos la tercera dimensión (el eje de aplicación) y trazamos en el espaciodos cuadrados de tal manera que uno de ellos sea una proyección ortogonal del otro (mientras que los vértices correspondientes de los cuadrados están a una distancia de 1 entre sí). Conectamos los vértices correspondientes con segmentos: obtenemos un cubo tridimensional. Vemos que el límite de un cubo tridimensional son seis cubos bidimensionales (seis cuadrados). Las construcciones descritas permiten revelar el siguiente patrón: en cada pasoel cubo dimensional "se mueve, dejando un rastro" ene medida a la distancia 1, mientras que la dirección del movimiento es perpendicular al cubo. Es la continuación formal de este proceso lo que nos permite llegar al concepto de cubo de cuatro dimensiones. Es decir, hagamos que el cubo tridimensional se mueva en la dirección de la cuarta dimensión (perpendicular al cubo) a una distancia de 1. Actuando de manera similar al anterior, es decir, conectando los vértices correspondientes de los cubos, obtendremos un cubo de cuatro dimensiones. Cabe señalar que geométricamente tal construcción es imposible en nuestro espacio (porque es tridimensional), pero aquí no encontramos ninguna contradicción desde un punto de vista lógico. Pasemos ahora a la descripción analítica del cubo de cuatro dimensiones. También se obtiene formalmente, por analogía. Entonces, la especificación analítica de un cubo unitario de dimensión cero es la siguiente:

La especificación analítica de un cubo de unidad unidimensional es la siguiente:

La especificación analítica de un cubo unitario bidimensional es la siguiente:

La tarea analítica de un cubo unitario tridimensional es la siguiente:

Ahora es muy fácil dar una representación analítica de un cubo de cuatro dimensiones, a saber:

Como puede ver, tanto en el método geométrico como en el analítico para definir un cubo de cuatro dimensiones, se utilizó el método de la analogía.

Ahora, utilizando el aparato de geometría analítica, averiguaremos cuál es la estructura de un cubo de cuatro dimensiones. Primero, averigüemos qué elementos se incluyen en él. Aquí nuevamente puede usar una analogía (para presentar una hipótesis). El límite de un cubo unidimensional son puntos (cubos de dimensión cero), un cubo bidimensional - segmentos (cubos unidimensionales), un cubo tridimensional - cuadrados (caras bidimensionales). Se puede suponer que el límite del tesseract son cubos tridimensionales. Para probar esto, aclaremos qué se entiende por vértices, aristas y caras. Llamemos a sus vértices los vértices del cubo. Es decir, las coordenadas de los vértices pueden ser ceros o unos. Así, se encuentra una relación entre la dimensión del cubo y el número de sus vértices. Aplicamos la regla del producto combinatorio, ya que el vérticecubo dimensional tiene exactamentecoordenadas, cada una de las cuales es igual a cero o una (independientemente de todas las demás), entonces en total haypicos. Por lo tanto, en cualquier vértice, todas las coordenadas son fijas y pueden ser iguales o ... Si arreglamos todas las coordenadas (poniendo cada una de ellas igual o , independientemente de los demás), excepto uno, obtenemos líneas rectas que contienen los bordes del cubo. Similar al anterior, puedes contar que hay exactamentecosas. Y si ahora arreglamos todas las coordenadas (poniendo cada una de ellas igual o , independientemente de los demás), salvo algunos dos, obtenemos planos que contienen caras bidimensionales del cubo. Usando la regla combinatoria, encontramos que hay exactamentecosas. Además, de manera similar, arreglando todas las coordenadas (poniendo cada una de ellas igual o , independientemente de los demás), excepto unos tres, obtenemos hiperplanos que contienen caras de cubos tridimensionales. Usando la misma regla, calculamos su número, exactamenteetc. Esto será suficiente para nuestro estudio. Apliquemos los resultados obtenidos a la estructura de un cubo de cuatro dimensiones, es decir, en todas las fórmulas derivadas ponemos... Por lo tanto, un cubo de cuatro dimensiones tiene: 16 vértices, 32 aristas, 24 caras bidimensionales y 8 caras tridimensionales. Para mayor claridad, definamos analíticamente todos sus elementos.

Los vértices del cubo de cuatro dimensiones:

Los bordes del cubo de cuatro dimensiones ():

Caras 2D de un cubo 4D (restricciones similares):

Caras tridimensionales de un cubo de cuatro dimensiones (restricciones similares):

Ahora que la estructura del cubo de cuatro dimensiones y los métodos de su asignación se describen con suficiente detalle, procederemos a la implementación del objetivo principal: aclarar la naturaleza de las diversas secciones del cubo. Comencemos con el caso elemental cuando las secciones de un cubo son paralelas a una de sus caras tridimensionales. Por ejemplo, considere sus secciones por hiperplanos paralelos a la caraSe sabe por la geometría analítica que cualquier sección estará dada por la ecuaciónEstablezcamos analíticamente las secciones correspondientes:

Como puede ver, se ha obtenido la tarea analítica de un cubo unitario tridimensional que se encuentra en un hiperplano.

Para establecer una analogía, escribimos la sección de un cubo tridimensional por el plano Obtenemos:

Este es un cuadrado que yace en un avión.... La analogía es obvia.

Secciones de un cubo de cuatro dimensiones por hiperplanos.dar resultados completamente similares. Estos también serán cubos tridimensionales unitarios que se encuentran en hiperplanos. respectivamente.

Ahora consideraremos secciones de un cubo de cuatro dimensiones mediante hiperplanos perpendiculares a su diagonal principal. Primero resolvamos este problema para un cubo tridimensional. Utilizando el método descrito anteriormente para especificar un cubo tridimensional unitario, concluye que, como diagonal principal, se puede tomar, por ejemplo, un segmento con extremos y ... Por tanto, el vector de la diagonal principal tendrá coordenadas... Por tanto, la ecuación de cualquier plano perpendicular a la diagonal principal tendrá la forma:

Determinar los límites del cambio de parámetro.... Porque , entonces, sumando estas desigualdades término por término, obtenemos:

O .

Si entonces (debido a restricciones). Del mismo modo, si, luego . Por lo tanto, para y para el plano de corte y el cubo tienen exactamente un punto común ( y respectivamente). Ahora observemos lo siguiente. Si(nuevamente debido a restricciones variables). Los planos correspondientes cortan tres caras a la vez, ya que, de lo contrario, el plano de corte sería paralelo a una de ellas, lo que no es el caso por condición. Si, entonces el plano interseca todas las caras del cubo. Si, entonces el plano cruza las caras... Presentamos los cálculos correspondientes.

Permitir Entonces el avioncruza la línea en línea recta, además. Edge, además. Borde el plano se cruza en línea recta, y

Permitir Entonces el avioncruza la línea:

borde recto, además.

borde recto, además.

borde recto, además.

borde recto, además.

borde recto, además.

borde recto, además.

En esta ocasión, se obtienen seis segmentos, que tienen sucesivamente fines comunes:

Permitir Entonces el avioncruza la línea en línea recta, además. Borde el plano se cruza en línea recta, es más. Borde el plano se cruza en línea recta, y ... Es decir, se obtienen tres segmentos que tienen extremos comunes por parejas:Por lo tanto, para los valores especificados del parámetroel plano cortará el cubo en un triángulo regular con vértices

Entonces, aquí hay una descripción exhaustiva de las figuras planas obtenidas cuando un cubo es intersectado por un plano perpendicular a su diagonal principal. La idea principal fue la siguiente. Es necesario comprender qué caras se cruzan con el plano, a lo largo de qué conjuntos los cruza, cómo se interconectan estos conjuntos. Por ejemplo, si resulta que el plano interseca exactamente tres caras a lo largo de segmentos que tienen extremos comunes por pares, entonces la sección era un triángulo equilátero (lo cual se demuestra mediante el cálculo directo de las longitudes de los segmentos), cuyos vértices son estos extremos de los segmentos.

Usando el mismo aparato y la misma idea de investigar secciones transversales, los siguientes hechos se pueden derivar de una manera completamente análoga:

1) El vector de una de las diagonales principales del cubo unitario de cuatro dimensiones tiene coordenadas

2) Cualquier hiperplano perpendicular a la diagonal principal de un cubo de cuatro dimensiones se puede escribir como.

3) En la ecuación del hiperplano secante, el parámetropuede variar de 0 a 4;

4) Por y el hiperplano secante y el cubo de cuatro dimensiones tienen un punto común ( y respectivamente);

5) Cuando se obtendrá un tetraedro regular en la sección;

6) Cuando se obtendrá un octaedro en la sección;

7) Cuando en la sección se obtendrá un tetraedro regular.

En consecuencia, aquí el hiperplano interseca el tesseract a lo largo del plano, en el que, debido a las restricciones de las variables, se distingue una región triangular (analogía: el plano cortó el cubo en una línea recta, en la cual, debido a las restricciones de la variables, se seleccionó un segmento). En el caso 5), el hiperplano interseca exactamente cuatro caras tridimensionales del tesseract, es decir, se obtienen cuatro triángulos que tienen lados comunes por pares, es decir, formando un tetraedro (como se puede calcular, es correcto). En el caso 6), el hiperplano corta exactamente ocho caras tridimensionales del tesseract, es decir, se obtienen ocho triángulos que tienen lados consecutivamente comunes, es decir, forman un octaedro. El caso 7) es completamente similar al caso 5).

Ilustremos lo dicho con un ejemplo específico. Es decir, investigamos la sección del cubo de cuatro dimensiones por el hiperplanoDebido a las limitaciones de las variables, este hiperplano interseca las siguientes caras tridimensionales: Borde se cruza en un planoDebido a las limitaciones de las variables, tenemos:Obtenemos una región triangular con vértices.Más lejos,obtenemos un trianguloCuando un hiperplano se cruza con una caraobtenemos un trianguloCuando un hiperplano se cruza con una caraobtenemos un trianguloAsí, los vértices del tetraedro tienen las siguientes coordenadas... Es fácil calcular que este tetraedro es correcto.

conclusiones

Entonces, en el proceso de esta investigación, se estudiaron los hechos básicos de la geometría analítica multidimensional, se estudiaron las características de la construcción de cubos de dimensiones de 0 a 3, se estudió la estructura de un cubo de cuatro dimensiones, se estudió un cubo de cuatro dimensiones descritos analítica y geométricamente, se realizaron modelos de barridos y proyecciones centrales de cubos tridimensionales y tetradimensionales, objetos tridimensionales resultantes de la intersección de un cubo tetradimensional por hiperplanos paralelos a una de sus caras tridimensionales, o por hiperplanos perpendiculares a su diagonal principal.

El estudio permitió revelar una profunda analogía en la estructura y propiedades de cubos de diferentes dimensiones. La técnica de analogía utilizada se puede aplicar en la investigación, por ejemplo,esfera dimensional osimplex dimensional. A saber,una esfera dimensional se puede definir como un conjunto de puntosespacio dimensional equidistante de un punto dado, que se llama el centro de la esfera. Más lejos,simplex dimensional se puede definir como parteespacio dimensional, limitado por el número mínimohiperplanos dimensionales. Por ejemplo, un símplex unidimensional es un segmento (una parte de un espacio unidimensional delimitado por dos puntos), un simplex bidimensional es un triángulo (una parte de un espacio bidimensional delimitado por tres líneas rectas), un simplex tridimensional es un tetraedro (una parte de un espacio tridimensional limitado por cuatro planos). Finalmente,el simplex dimensional se define como una parteespacio dimensional, limitadohiperplano de dimensión.

Tenga en cuenta que, a pesar de las numerosas aplicaciones del tesseract en algunas áreas de la ciencia, este estudio sigue siendo en gran parte un estudio matemático.

Bibliografía

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3) Cant. Como dibujar cubo medido / Demidovich N.B., No. 8, 1974.

En geometría hipercubo- este es norte-analógica dimensional del cuadrado ( norte= 2) y cubo ( norte= 3). Es una forma convexa cerrada formada por grupos de líneas paralelas ubicadas en bordes opuestos de la forma, y ​​conectadas entre sí en ángulos rectos.

Esta figura también se conoce como tesseract(tesseract). Tesseract se refiere a un cubo como un cubo se refiere a un cuadrado. Más formalmente, un tesseract se puede describir como un politopo (politopo) convexo regular de cuatro dimensiones cuyo límite consta de ocho celdas cúbicas.

Según el Oxford English Dictionary, el tesseract fue acuñado en 1888 por Charles Howard Hinton y utilizado en su libro A New Era of Thought. La palabra se formó a partir del griego "τεσσερες ακτινες" ("cuatro rayos"), hay cuatro ejes de coordenadas. Además, en algunas fuentes, la misma figura se denominó tetracubo(tetracubo).

norte-El hipercubo dimensional también se llama n-cubo.

Un punto es un hipercubo de dimensión 0. Si mueves un punto en una unidad de longitud, obtienes un segmento de unidad de longitud, un hipercubo de dimensión 1. Además, si mueves un segmento en una unidad de longitud en la dirección perpendicular a la dirección del segmento, se obtiene un cubo - un hipercubo de dimensión 2. Desplazando un cuadrado en una unidad de longitud en la dirección perpendicular al plano del cuadrado, se obtiene un cubo - un hipercubo de dimensión 3. Este proceso se puede generalizar a cualquier número de dimensiones. Por ejemplo, si mueves un cubo una unidad de longitud en la cuarta dimensión, obtienes un tesseract.

La familia de los hipercubos es uno de los pocos poliedros regulares que se pueden representar en cualquier dimensión.

Elementos de hipercubo

Hipercubo de dimensión norte tiene 2 norte"lados" (la línea unidimensional tiene 2 puntos; cuadrado bidimensional - 4 lados; cubo tridimensional - 6 caras; tesseract de cuatro dimensiones - 8 celdas). El número de vértices (puntos) del hipercubo es 2 norte(por ejemplo, para un cubo - 2 3 vértices).

Cantidad metro-hipercubos dimensionales en la frontera norte-cubo es igual a

Por ejemplo, el borde de un hipercubo contiene 8 cubos, 24 cuadrados, 32 bordes y 16 vértices.

Proyección de plano

La formación de un hipercubo se puede representar de la siguiente manera:

• Se pueden conectar dos puntos A y B para formar un segmento de línea AB.
• Se pueden conectar dos segmentos de línea paralelos AB y CD para formar un cuadrado ABCD.
• Se pueden conectar dos cuadrados paralelos ABCD y EFGH para formar un cubo ABCDEFGH.
• Se pueden conectar dos cubos paralelos ABCDEFGH e IJKLMNOP para formar el hipercubo ABCDEFGHIJKLMNOP.

Esta última estructura no es fácil de imaginar, pero es posible representar su proyección en un espacio 2D o 3D. Además, las proyecciones en un plano 2D pueden ser más útiles al poder reorganizar las posiciones de los vértices proyectados. En este caso, se pueden obtener imágenes que ya no reflejan las relaciones espaciales de los elementos dentro del tesseract, sino que ilustran la estructura de las conexiones de vértice, como en los ejemplos siguientes.

La primera ilustración muestra cómo, en principio, un tesseract se forma uniendo dos cubos. Este diagrama es similar al diagrama para crear un cubo de dos cuadrados. El segundo diagrama muestra que todos los bordes del tesseract tienen la misma longitud. Este esquema también te obliga a buscar cubos conectados entre sí. En el tercer diagrama, los vértices del tesseract se ubican de acuerdo con las distancias a lo largo de los bordes con respecto al punto inferior. Este esquema es interesante porque se utiliza como esquema básico para la topología de red de los procesadores de conexión cuando se organiza la computación en paralelo: la distancia entre dos nodos cualesquiera no excede las 4 longitudes de borde y hay muchas formas diferentes de equilibrar la carga.

Hipercubo en el arte

El hipercubo ha aparecido en la literatura de ciencia ficción desde 1940, cuando Robert Heinlein, en el cuento "Y construyó una casa torcida", describió una casa construida en forma de teseracto. En la historia, este Más allá, esta casa se derrumba, convirtiéndose en un teseracto de cuatro dimensiones. Después de eso, el hipercubo aparece en muchos libros y novelas.

La película "Cube 2: Hypercube" cuenta la historia de ocho personas atrapadas en una red de hipercubos.

La pintura de Salvador Dalí "La crucifixión" ("Crucifixión (Corpus Hypercubus)", 1954) representa a Jesús crucificado en un teseracto. Esta pintura se puede ver en el Museo Metropolitano de Arte de Nueva York.

Conclusión

El hipercubo es uno de los objetos de cuatro dimensiones más simples, en cuyo ejemplo se puede ver toda la complejidad e inusual de la cuarta dimensión. Y lo que parece imposible en tres dimensiones, posiblemente en cuatro, por ejemplo, figuras imposibles. Entonces, por ejemplo, las barras de un triángulo imposible en cuatro dimensiones estarán conectadas en ángulos rectos. Y esta figura se verá así desde todos los puntos de vista, y no se distorsionará, a diferencia de las realizaciones del triángulo imposible en el espacio tridimensional (ver.

La evolución del cerebro humano tuvo lugar en un espacio tridimensional. Por tanto, nos resulta difícil imaginar espacios con dimensiones superiores a tres. De hecho, el cerebro humano no puede imaginar objetos geométricos con una dimensión de más de tres. Y al mismo tiempo, podemos imaginar fácilmente objetos geométricos con dimensiones no solo tres, sino también con dimensiones dos y uno.

La diferencia y analogía entre espacios unidimensionales y bidimensionales, así como la diferencia y analogía entre espacios bidimensionales y tridimensionales, nos permiten abrir levemente la pantalla de misterio que nos aleja de espacios de mayor dimensión. Para comprender cómo se usa esta analogía, considere un objeto de cuatro dimensiones muy simple: un hipercubo, es decir, un cubo de cuatro dimensiones. Supongamos, en aras de la precisión, que queremos resolver un problema específico, a saber, contar el número de caras cuadradas de un cubo de cuatro dimensiones. Toda la consideración a continuación será muy laxa, sin ninguna evidencia, puramente por analogía.

Para comprender cómo se construye un hipercubo a partir de un cubo ordinario, primero debe ver cómo se construye un cubo ordinario a partir de un cuadrado ordinario. Por la originalidad de la presentación de este material, aquí llamaremos SubCubo a un cuadrado ordinario (y no lo confundiremos con un súcubo).

Para construir un cubo a partir de un subcubo, debe estirar el subcubo en la dirección perpendicular al plano del subcubo en la dirección de la tercera dimensión. En este caso, un subcubo crecerá a cada lado del subcubo original, que es una cara lateral bidimensional del cubo, que limitará el volumen tridimensional del cubo desde cuatro lados, dos perpendiculares a cada dirección en el plano del subcubo. Y a lo largo del nuevo tercer eje, también hay dos subcubos que limitan el volumen tridimensional del cubo. Esta es la cara bidimensional donde se encontraba originalmente nuestro subcubo y esa cara bidimensional del cubo donde vino el subcubo al final de la construcción del cubo.

Lo que acaba de leer se ha expuesto con excesivo detalle y muchas aclaraciones. Y no casual. Ahora haremos este truco, reemplazaremos algunas palabras en el texto anterior formalmente de esta manera:
cubo -> hipercubo
subcubo -> cubo
plano -> volumen
tercero -> cuarto
bidimensional -> tridimensional
cuatro -> seis
tridimensional -> cuatridimensional
dos -> tres
plano -> espacio

Como resultado, obtenemos el siguiente texto significativo, que ya no parece demasiado detallado.

Para construir un hipercubo a partir de un cubo, debe estirar el cubo en la dirección perpendicular al volumen del cubo en la dirección de la cuarta dimensión. En este caso, un cubo crecerá a cada lado del cubo original, que es una cara lateral tridimensional del hipercubo, que limitará el volumen tetradimensional del hipercubo desde seis lados, tres perpendiculares a cada dirección en el espacio del cubo. Y a lo largo del nuevo cuarto eje, también hay dos cubos que limitan el volumen tetradimensional del hipercubo. Esta es la cara tridimensional donde se encontraba originalmente nuestro cubo y esa cara tridimensional del hipercubo donde vino el cubo al final de la construcción del hipercubo.

¿Por qué estamos tan seguros de haber recibido la descripción correcta de la construcción de un hipercubo? Porque exactamente el mismo reemplazo formal de palabras obtenemos la descripción de la construcción del cubo a partir de la descripción de la construcción del cuadrado. (Compruébelo usted mismo).

Ahora está claro que si otro cubo tridimensional debería crecer a cada lado del cubo, entonces debería crecer una cara desde cada borde del cubo inicial. En total, un cubo tiene 12 aristas, lo que significa que aparecerán 12 caras nuevas (subcubos) adicionales para esos 6 cubos que limitan el volumen de cuatro dimensiones a lo largo de los tres ejes del espacio tridimensional. Y todavía hay dos cubos que limitan este volumen de cuatro dimensiones desde abajo y desde arriba a lo largo del cuarto eje. Cada uno de estos cubos tiene 6 caras.

En total, obtenemos que el hipercubo tiene 12 + 6 + 6 = 24 caras cuadradas.

La siguiente imagen muestra la estructura lógica de un hipercubo. Es como la proyección de un hipercubo en un espacio tridimensional. Esto da como resultado un marco tridimensional hecho de nervaduras. En la figura, por supuesto, también puede ver la proyección de este marco en el plano.

En este marco, el cubo interior es, por así decirlo, el cubo inicial, a partir del cual se inició la construcción y que limita el volumen tetradimensional del hipercubo a lo largo del cuarto eje desde abajo. Estiramos este cubo inicial hacia arriba a lo largo del cuarto eje de medición y pasa al cubo exterior. Entonces, los cubos externo e interno de esta figura limitan el hipercubo a lo largo del eje de la cuarta dimensión.

Y entre estos dos cubos, se ven 6 cubos nuevos más, que tienen caras comunes con los dos primeros. Estos seis cubos restringen nuestro hipercubo a lo largo de tres ejes del espacio tridimensional. Como puede ver, no solo están en contacto con los dos primeros cubos, que son internos y externos en este marco tridimensional, sino que todavía están en contacto entre sí.

Puede calcular correctamente en la figura y asegurarse de que el hipercubo realmente tenga 24 caras. Pero surge esta pregunta. Este esqueleto hipercubo en el espacio 3D está lleno de ocho cubos 3D sin espacios. Para hacer un hipercubo real a partir de esta proyección tridimensional de un hipercubo, es necesario darle la vuelta a este marco para que los 8 cubos limiten el volumen de 4 dimensiones.

Así es como se hace. Invitamos a un residente del espacio tetradimensional a que nos visite y le pedimos que nos ayude. Agarra el cubo interior de este esqueleto y lo desplaza en la dirección de la cuarta dimensión, que es perpendicular a nuestro espacio tridimensional. En nuestro espacio tridimensional, lo percibimos como si todo el marco interior hubiera desaparecido y solo quedara el marco del cubo exterior.

Además, nuestro asistente de cuatro dimensiones ofrece su asistencia en los hospitales de maternidad para el parto indoloro, pero nuestras mujeres embarazadas están asustadas por la perspectiva de que el bebé simplemente desaparecerá del abdomen y terminará en un espacio tridimensional paralelo. Por lo tanto, el cuatro hombres es cortésmente rechazado.

Y nos desconcierta la cuestión de si algunos de nuestros cubos se han despegado cuando el marco del hipercubo se da vuelta. Después de todo, si algunos cubos tridimensionales que rodean al hipercubo tocan a sus vecinos en el marco con sus caras, ¿tocarán también estas mismas caras si el de cuatro dimensiones da vuelta el marco al revés?

Volvamos de nuevo a la analogía con los espacios de menor dimensión. Compare la imagen de estructura alámbrica del hipercubo con la proyección del cubo tridimensional en el plano que se muestra en la siguiente imagen.

Los habitantes del espacio bidimensional construyeron en un plano un marco de la proyección de un cubo sobre un plano y nos invitaron, habitantes tridimensionales, a darle la vuelta a este marco. Tomamos los cuatro vértices del cuadrado interior y los movemos perpendiculares al plano. Al mismo tiempo, los habitantes bidimensionales ven la desaparición completa de todo el marco interior, y solo tienen el marco del cuadrado exterior. Con tal operación, todos los cuadrados que estuvieron en contacto con sus bordes continúan tocando los mismos bordes que antes.

Por lo tanto, esperamos que el esquema lógico del hipercubo tampoco sea violado cuando el marco del hipercubo se dé la vuelta, y el número de caras cuadradas del hipercubo no aumente y seguirá siendo igual a 24. Esto, por supuesto , no es una prueba, sino puramente una conjetura por analogía ...

Después de leer todo aquí, puede dibujar fácilmente las estructuras alámbricas lógicas de un cubo de cinco dimensiones y calcular cuántos vértices, aristas, caras, cubos e hipercubos tiene. No es nada dificil.

Si eres fanático de las películas de Los Vengadores, lo primero que te viene a la mente cuando escuchas la palabra "Tesseract" es el recipiente transparente en forma de cubo de la Piedra del Infinito que contiene un poder ilimitado.

Para los fanáticos del Universo Marvel, el Tesseract es un cubo azul brillante que hace que las personas no solo de la Tierra, sino de otros planetas se vuelvan locas. Es por eso que todos los Vengadores se han unido para proteger a los terrícolas de las fuerzas extremadamente destructivas del Tesseract.

Sin embargo, debe decirse lo siguiente: El Tesseract es un concepto geométrico real, o más bien, una forma que existe en 4D. Esto no es solo un cubo azul de los Vengadores ... es un concepto real.

El Tesseract es un objeto en 4 dimensiones. Pero antes de explicarlo en detalle, comencemos desde el principio.

¿Qué es la dimensión?

Todo el mundo ha escuchado los términos 2D y 3D, que representan respectivamente objetos bidimensionales o tridimensionales en el espacio. Pero, ¿cuáles son estas dimensiones?

La medición es simplemente la dirección en la que puede ir. Por ejemplo, si está dibujando una línea en una hoja de papel, puede ir hacia la izquierda / derecha (eje x) o hacia arriba / abajo (eje y). Así, decimos que el papel es bidimensional, ya que solo se puede caminar en dos direcciones.

Hay una sensación de profundidad en 3D.

Ahora, en el mundo real, además de las dos direcciones mencionadas anteriormente (izquierda / derecha y arriba / abajo), también puede ir hacia / desde. Por lo tanto, se agrega una sensación de profundidad en el espacio 3D. Por tanto, decimos que la vida real es tridimensional.

Un punto puede representar 0 dimensiones (ya que no se mueve en ninguna dirección), una línea representa 1 dimensión (largo), un cuadrado representa 2 dimensiones (largo y ancho) y un cubo representa 3 dimensiones (largo, ancho y alto). ).

Tome un cubo 3D y reemplace cada cara (que actualmente es un cuadrado) con un cubo. ¡Y entonces! La forma que obtienes es el tesseract.

¿Qué es un tesseract?

En pocas palabras, un tesseract es un cubo en un espacio de 4 dimensiones. También se puede decir que es un análogo 4D de un cubo. Es una forma 4D donde cada cara es un cubo.

He aquí una forma sencilla de conceptualizar las dimensiones: un cuadrado es bidimensional; por lo tanto, cada una de sus esquinas tiene 2 líneas que se extienden desde ella en un ángulo de 90 grados entre sí. El cubo es 3D, por lo que cada una de sus esquinas tiene 3 líneas que descienden de él. Del mismo modo, el tesseract tiene forma de 4D, por lo que cada esquina tiene 4 líneas que se extienden desde él.

¿Por qué es difícil imaginar un tesseract?

Dado que nosotros, como humanos, hemos evolucionado para visualizar objetos en tres dimensiones, cualquier cosa que entre en dimensiones adicionales como 4D, 5D, 6D, etc., no tiene mucho sentido para nosotros, porque no podemos tenerlos en absoluto. Nuestro cerebro no puede comprender la cuarta dimensión en el espacio. Simplemente no podemos pensar en eso.

Sin embargo, el hecho de que no podamos visualizar el concepto de espacios multidimensionales no significa que no pueda existir.

Matemáticamente, un tesseract es una forma perfectamente precisa. Asimismo, todas las formas en las dimensiones superiores, es decir, 5D y 6D, también son matemáticamente plausibles.

Así como un cubo se puede expandir en 6 cuadrados en un espacio 2D, un tesseract se puede expandir en 8 cubos en un espacio 3D.

Sorprendente e incomprensible, ¿no?

Entonces, el tesseract es un "concepto real" que es absolutamente plausible matemáticamente, no solo el cubo azul brillante por el que se pelea en las películas de Los Vengadores.

Tan pronto como pude dar una conferencia después de la operación, la primera pregunta que hicieron los estudiantes:

¿Cuándo nos dibujarás un cubo de 4 dimensiones? ¡Ilyas Abdulkhaevich nos lo prometió!

Recuerdo que a mis queridos amigos a veces les gusta un momento de programa educativo matemático. Por lo tanto, escribiré aquí también un fragmento de mi conferencia para matemáticos. Y lo intentaré sin tedio. En algunos puntos leí la conferencia de forma más estricta, por supuesto.

Acordemos primero. En las sensaciones sensoriales no se nos da el espacio tetradimensional, y más aún 5-6-7- y generalmente k-dimensional.
“Somos miserables porque solo somos tridimensionales”, dijo mi maestro de escuela dominical, quien fue el primero en decirme qué es un cubo de 4 dimensiones. La escuela dominical era, por supuesto, extremadamente religiosa: las matemáticas. Esta vez estudiamos hipercubos. Una semana antes de eso, inducción matemática, una semana después de eso, ciclos hamiltonianos en gráficos, respectivamente, este es el séptimo grado.

No podemos tocar, oler, oír o ver un cubo 4D. ¿Qué podemos hacer con él? ¡Podemos imaginarlo! Porque nuestro cerebro es mucho más complejo que nuestros ojos y manos.

Entonces, para entender qué es un cubo de 4 dimensiones, primero comprendamos lo que está disponible para nosotros. ¿Qué es un cubo tridimensional?

¡BIEN BIEN! No les estoy pidiendo una definición matemática clara. Imagínense el cubo tridimensional más simple y común. ¿Has presentado?

Bueno.
Para entender cómo generalizar un cubo de 3 dimensiones en un espacio de 4 dimensiones, averigüemos qué es un cubo de 2 dimensiones. Es tan simple, ¡es un cuadrado!

El cuadrado tiene 2 coordenadas. El cubo tiene tres. Los puntos de un cuadrado son puntos con dos coordenadas. El primero es de 0 a 1. Y el segundo es de 0 a 1. Los puntos del cubo tienen tres coordenadas. Y cada uno es cualquier número del 0 al 1.

Es lógico imaginar que un cubo de 4 dimensiones es algo con 4 coordenadas y todo de 0 a 1.

/ * También es lógico imaginar un cubo unidimensional, que no es más que un simple segmento de 0 a 1. * /

Entonces, detente, ¿cómo se dibuja un cubo de 4 dimensiones? Después de todo, ¡no podemos dibujar un espacio de 4 dimensiones en un avión!
Pero tampoco dibujamos un espacio tridimensional en un plano, lo dibujamos proyección en el plano bidimensional del dibujo. Colocamos la tercera coordenada (z) en ángulo, imaginando que el eje del plano del dibujo va "hacia nosotros".

Ahora está bastante claro cómo dibujar un cubo de 4 dimensiones. De la misma manera que colocamos el tercer eje en un cierto ángulo, tome el cuarto eje y colóquelo también en un cierto ángulo.
¡Y voilá! - proyección de un cubo de 4 dimensiones sobre un plano.

¿Qué? ¿Qué es esto de todos modos? Siempre escucho un susurro desde los escritorios traseros. Permítanme explicar con más detalle qué es este lío de líneas.
Mira primero el cubo tridimensional. ¿Qué hemos hecho? Tomamos un cuadrado y lo arrastramos a lo largo del tercer eje (z). Es como muchos, muchos cuadrados de papel pegados en una pila.
Lo mismo ocurre con un cubo de 4 dimensiones. Llamemos al cuarto eje el "eje del tiempo" por conveniencia y con fines de ciencia ficción. Necesitamos tomar un cubo tridimensional ordinario y arrastrarlo en el tiempo desde el "ahora" al tiempo "en una hora".

Tenemos un cubo ahora. En la imagen, es rosa.

Y ahora lo arrastramos a lo largo del cuarto eje, a lo largo del eje de tiempo (lo mostré en verde). Y obtenemos el cubo del futuro: azul.

Cada vértice del "ahora cubo" deja un rastro en el tiempo: un segmento. Conectando su presente con su futuro.

En resumen, sin letra: dibujamos dos cubos tridimensionales idénticos y conectamos los vértices correspondientes.
De la misma forma que hicimos con el cubo tridimensional (dibuja 2 cubos bidimensionales idénticos y conecta los vértices).

Para dibujar un cubo de 5 dimensiones, tendrás que dibujar dos copias del cubo de 4 dimensiones (un cubo de 4 dimensiones con una quinta coordenada 0 y un cubo de 4 dimensiones con una quinta coordenada 1) y conectar los vértices correspondientes con bordes. Es cierto que en el plano saldrá tal confusión de bordes que será casi imposible entender nada.

Cuando imaginamos un cubo de 4 dimensiones e incluso logramos dibujarlo, podemos explorarlo de cualquier manera. No olvide explorarlo tanto en la mente como en la imagen.
Por ejemplo. Un cubo bidimensional está delimitado en 4 lados por cubos unidimensionales. Esto es lógico: para cada una de las 2 coordenadas, tiene un principio y un final.
Un cubo tridimensional está delimitado en 6 lados por cubos bidimensionales. Para cada una de las tres coordenadas, tiene un principio y un final.
Esto significa que un cubo de 4 dimensiones debe limitarse a ocho cubos de 3 dimensiones. En cada una de las 4 coordenadas, en ambos lados. En la imagen de arriba, vemos claramente 2 caras que lo unen a lo largo de la coordenada "tiempo".

Aquí hay dos cubos (son ligeramente oblicuos porque tienen 2 dimensiones proyectadas en un plano en ángulo), delimitando nuestro hipercubo a la izquierda y a la derecha.

También es fácil notar la "parte superior" y la "parte inferior".

Lo más difícil es comprender visualmente dónde están "delante" y "atrás". El frente comienza desde la cara frontal del "cubo ahora" y hasta la cara frontal del "cubo futuro" - es rojo. Trasera, respectivamente, violeta.

Son los más difíciles de detectar porque otros cubos se enredan bajo sus pies, lo que limita el hipercubo en una coordenada proyectada diferente. ¡Pero tenga en cuenta que los cubos siguen siendo diferentes! Aquí hay otra imagen, donde se resaltan el "cubo ahora" y el "cubo del futuro".

Por supuesto, es posible proyectar un cubo de 4 dimensiones en un espacio de 3 dimensiones.
El primer modelo espacial posible es claro cómo se ve: necesitas tomar 2 esqueletos de cubos y conectar sus respectivos vértices con una nueva arista.
No tengo tal modelo ahora. En la conferencia, les muestro a los estudiantes un modelo tridimensional ligeramente diferente de un cubo de 4 dimensiones.

Sabes cómo se proyecta un cubo en un plano como este.
Como si estuviéramos mirando un cubo desde arriba.

La línea más cercana es, por supuesto, grande. Y el borde lejano parece más pequeño, lo vemos a través del cercano.

Así es como se puede proyectar un cubo de 4 dimensiones. El cubo es más grande ahora, vemos el cubo del futuro en la distancia, por lo que parece más pequeño.

Por otro lado. Desde el costado de la cima.

Directamente desde el costado de la cara:

Del lado de la costilla:

Y el último ángulo, asimétrico. De la sección "Tú también me dices que miré entre sus costillas".

Bueno, entonces puedes pensar en cualquier cosa. Por ejemplo, como hay un barrido de un cubo tridimensional sobre un plano (así es como necesitas cortar una hoja de papel para obtener un cubo al doblar), también hay un barrido de un cubo de 4 dimensiones. en el espacio. Es como cortar un trozo de madera para que, al doblarlo en un espacio de 4 dimensiones, obtengamos un tesseract.

Puede estudiar no solo un cubo de 4 dimensiones, sino generalmente cubos de n dimensiones. Por ejemplo, ¿es cierto que el radio de una esfera circunscrita alrededor de un cubo de n dimensiones es menor que la longitud del borde de este cubo? O, aquí hay una pregunta más simple: ¿cuántos vértices tiene un cubo de n dimensiones? ¿Cuántas aristas (caras unidimensionales)?