La tarea es dibujar un círculo con una brújula. Lección en video "Círculo
§ 1 Círculo. Conceptos básicos
En matemáticas, hay oraciones que explican el significado de un nombre o expresión en particular. Tales oraciones se llaman definiciones.
Definamos el concepto de círculo. Un círculo es una figura geométrica que consta de todos los puntos de un plano ubicados a una distancia dada de un punto dado.
Este punto, llamémoslo punto O, se llama centro de la circunferencia.
El segmento que conecta el centro con cualquier punto del círculo se llama radio del círculo. Hay muchos de estos segmentos, por ejemplo, OA, OB, OS. Todos tendrán la misma longitud.
Un segmento de línea que conecta dos puntos en un círculo se llama cuerda. MN es la cuerda del círculo.
La cuerda que pasa por el centro de la circunferencia se llama diámetro. AB es el diámetro del círculo. El diámetro consta de dos radios, lo que significa que la longitud del diámetro es el doble del radio. El centro de un círculo es el punto medio de cualquier diámetro.
Dos puntos cualesquiera del círculo lo dividen en dos partes. Estas partes se llaman arcos de un círculo.
ANB y AMB son arcos circulares.
La parte del plano que está limitada por un círculo se llama círculo.
Se utiliza un compás para representar un círculo en un dibujo. El círculo también se puede dibujar en el suelo. Para hacer esto, solo usa la cuerda. Sujete un extremo de la cuerda a una clavija clavada en el suelo y describa un círculo con el otro extremo.
§ 2 Construcciones con compás y regla
En geometría, muchas construcciones se pueden realizar usando solo un compás y una regla sin divisiones de escala.
Usando solo una regla, puede dibujar una línea arbitraria, así como una línea arbitraria que pase por un punto dado, o una línea que pase por dos puntos dados.
La brújula te permite dibujar un círculo de radio arbitrario, también un círculo con un centro en un punto dado y un radio igual a un segmento dado.
Por separado, cada una de estas herramientas permite realizar las construcciones más simples, pero con la ayuda de estas dos herramientas, ya puede realizar operaciones más complejas, por ejemplo,
resolver problemas de construcción tales como
Construye un ángulo igual a uno dado,
Construya un triángulo con lados dados,
Dividir el segmento por la mitad.
A través de un punto dado, dibuje una línea perpendicular a la línea dada, y así sucesivamente.
Consideremos el problema.
Tarea: En un rayo dado desde su comienzo, apartar un segmento igual al dado.
Dado un rayo OS y un segmento AB. Es necesario construir un segmento OD, igual al segmento AB.
Usando un compás, construimos un círculo de radio igual a la longitud del segmento AB, con centro en el punto O. Este círculo cortará el rayo dado OS en algún punto D. El segmento OD es el segmento deseado.
Lista de literatura usada:
- Geometría. Grados 7-9: libro de texto. para educación general organizaciones / L.S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev y otros - M.: Educación, 2013. - 383 p.: enfermo.
- Gavrilova N. F. Desarrollo de Pourochnye en geometría Grado 7. - M.: "WAKO", 2004. - 288s. - (Para ayudar al maestro de escuela).
- Belitskaya O. V. Geometría. Séptimo grado. Parte 1. Pruebas. - Saratov: Liceo, 2014. - 64 p.
Un círculo es una línea curva cerrada, cada punto del cual está ubicado a la misma distancia de un punto O, llamado centro.
Las rectas que unen cualquier punto de la circunferencia con su centro se llaman radios r
Una línea AB que une dos puntos de un círculo y pasa por su centro O se llama diámetro D.
Las partes de los círculos se llaman arcos.
Una línea CD que une dos puntos de un círculo se llama acorde.
Una línea MN que tiene un solo punto en común con un círculo se llama tangente.
La parte de un círculo limitada por una cuerda CD y un arco se llama segmento.
La parte de un círculo limitada por dos radios y un arco se llama sector.
Dos líneas horizontales y verticales mutuamente perpendiculares que se cortan en el centro de un círculo se llaman ejes circulares.
El ángulo formado por dos radios de KOA se llama esquina central.
Dos radio mutuamente perpendicular haga un ángulo de 90 0 y limite 1/4 del círculo.
Dibujamos un círculo con ejes horizontales y verticales que lo dividen en 4 partes iguales. Trazado con compás o escuadra a 45 0, dos líneas perpendiculares entre sí dividen el círculo en 8 partes iguales.
División de un círculo en 3 y 6 partes iguales (múltiplos de 3 por tres)
Para dividir la circunferencia en 3, 6 y un múltiplo de ellos, dibujamos una circunferencia de un radio dado y los ejes correspondientes. La división se puede iniciar desde el punto de intersección del eje horizontal o vertical con el círculo. El radio especificado del círculo se pospone sucesivamente 6 veces. Luego, los puntos obtenidos en el círculo se conectan sucesivamente mediante líneas rectas y forman un hexágono regular inscrito. Conectar puntos a través de uno da un triángulo equilátero y dividir el círculo en tres partes iguales.
La construcción de un pentágono regular se realiza de la siguiente manera. Dibujamos dos ejes mutuamente perpendiculares del círculo iguales al diámetro del círculo. Divide la mitad derecha del diámetro horizontal por la mitad usando el arco R1. Desde el punto "a" obtenido en el medio de este segmento con radio R2, dibujamos un arco de círculo hasta que se cruza con el diámetro horizontal en el punto "b". Radio R3 desde el punto "1" dibujar un arco de círculo hasta la intersección con un círculo dado (punto 5) y obtener el lado de un pentágono regular. La distancia "b-O" da el lado de un decágono regular.
Dividir un círculo en N-ésimo número de partes idénticas (construir un polígono regular con N lados)
Se realiza de la siguiente manera. Dibujamos ejes horizontales y verticales mutuamente perpendiculares del círculo. Desde el punto superior "1" del círculo, dibujamos una línea recta en un ángulo arbitrario con respecto al eje vertical. En él, separamos segmentos iguales de longitud arbitraria, cuyo número es igual al número de partes en las que dividimos el círculo dado, por ejemplo, 9. Conectamos el final del último segmento con el punto inferior del diámetro vertical. . Trazamos líneas paralelas a la obtenida desde los extremos de los segmentos hasta la intersección con el diámetro vertical, dividiendo así el diámetro vertical del círculo dado en un número dado de partes. Con un radio igual al diámetro del círculo, desde el punto inferior del eje vertical dibujamos un arco MN hasta que se cruza con la continuación del eje horizontal del círculo. Desde los puntos M y N dibujamos rayos a través de puntos de división pares (o impares) del diámetro vertical hasta que se cruzan con el círculo. Los segmentos resultantes del círculo serán los deseados, porque puntos 1, 2, …. 9 dividir el círculo en 9 (N) partes iguales.
Objetivos:
consolidar los conceptos de “círculo”, “círculo” entre los estudiantes; derivar el concepto de "radio de un círculo"; aprender a construir círculos de un radio dado; desarrollar la capacidad de razonar, analizar.
UUD personal:
formar una actitud positiva hacia las lecciones de matemáticas;
interés en actividades de investigación temática;
Tareas de meta-sujeto
UUD reglamentario:
aceptar y guardar la tarea de aprendizaje;
encontrar varias soluciones en cooperación con el maestro y la clase;
UUD cognitivo:
planteando y resolviendo problemas:
identificar y formular independientemente el problema;
educación general:
encontrar la información necesaria en el libro de texto;
construir un círculo de un radio dado usando una brújula;
rompecabezas:
formar el concepto de "radio";
clasificar, comparar;
saca tus propias conclusiones;
UUD comunicativo:
participar activamente en el trabajo en equipo, utilizando medios de habla;
argumentar su punto de vista;
Habilidades del artículo:
identificar las características esenciales de los conceptos "radio del círculo";
construir círculos con diferentes radios;
reconocer radios en un dibujo.
durante las clases
Motivación para las actividades de aprendizaje.
- ¿Veamos si todos están listos para la lección?
"Entrada emocional en la lección":
Sonríe como el sol.
fruncir el ceño como nubes
llora como la lluvia
Sorprendido como si vieras un arcoiris
Ahora repite después de mí
Juego "Eco amistoso"
2.Actualización de conocimientos
conteo verbal
a) 60-40 36+12 10+20 58-12 90-50 31+13
Desentrañar el patrón. Continuar la fila.
Respuesta: 20, 48,30,46,40,44 50,42
b) Resuelva el problema:
1. El primer día, la tienda vendió 42 kg de fruta y el segundo día, 2 kg más. ¿Cuántos kilogramos se vendieron el segundo día?
Lo que debe cambiarse para que la tarea se resuelva en 2 pasos.
Bolas - 16 piezas
Cuerdas para saltar - 28 uds.
Encuentre una solución a este problema.
28-16 28+16
Cambia la pregunta para que el problema se pueda resolver por resta.
3. Enunciado de la tarea de aprendizaje
1. Nombra las formas geométricas
Círculo circunferencia bola ovalada
¿Qué figura falta?
¿Qué tienen en común las figuras? (Círculo, circunferencia, bola tienen la misma forma)
¿Cuál es la diferencia?
2. en
¿Qué puntos están en el círculo? ¿Cuáles son los puntos fuera del círculo?
¿Qué significa el punto O? (centro del círculo)
¿Cuál es el nombre del segmento OB?
¿Cuántos radios se pueden dibujar en un círculo?
¿Qué segmento no es un radio? ¿Por qué?
¿Cuál puede ser la conclusión?
Conclusión: todos los radios tienen la misma longitud .
3. ¿Cuántos círculos hay en la imagen?
¿En qué se diferencian los círculos? (tamaño)
¿Qué determina el tamaño de un círculo?
¿Cuál puede ser la conclusión?
Conclusión: cuanto más grande es el círculo, mayor es su radio.
Determinar el tema de la lección.
Sujeto: Construir un círculo de radio dado usando una brújula.
¿Qué tareas nos podemos proponer para esta lección?
4. Trabajar sobre el tema
a) Construcción de un círculo.
¿Qué necesitas saber para dibujar un círculo de un tamaño determinado?
Dibuja un círculo con un radio de 3 cm.
b) Preparación para las actividades del proyecto
1) Considere el dibujo 
¿De qué formas consiste una mariposa? Círculos con el mismo radio?
2) Trabajar en parejas.
Restaurar el orden de las etapas por encima del proyecto.
Presentación o demostración del proyecto.
Intención (hacer un boceto)
Construir cifras para implementar el plan.
Considere qué radio deben tener las formas
c) Trabajar en el proyecto.
Trabajar en grupos según el algoritmo compilado
En la fabricación o procesamiento de piezas de madera, en algunos casos se requiere determinar dónde se encuentra su centro geométrico. Si la pieza tiene una forma cuadrada o rectangular, entonces esto no es difícil de hacer. Basta con conectar las esquinas opuestas con diagonales, que al mismo tiempo se cruzan exactamente en el centro de nuestra figura.
Para los productos que tienen la forma de un círculo, esta solución no funcionará, porque no tienen esquinas y, por lo tanto, diagonales. En este caso, se necesita algún otro enfoque basado en otros principios.
Y existen, y en muchas variaciones. Algunos de ellos son bastante complejos y requieren varias herramientas, otros son fáciles de implementar y no requieren un conjunto completo de dispositivos para implementarlos.
Ahora veremos una de las formas más fáciles de encontrar el centro de un círculo con solo una regla normal y un lápiz.
La secuencia de encontrar el centro del círculo:
1. Primero, debemos recordar que una cuerda es una línea recta que conecta dos puntos de un círculo y que no pasa por el centro del círculo. No es difícil reproducirlo en absoluto: solo necesita colocar una regla en un círculo en cualquier lugar para que se cruce con el círculo en dos lugares y dibujar una línea recta con un lápiz. Un segmento dentro de un círculo será una cuerda.En principio, se puede prescindir de un acorde, pero para aumentar la precisión al establecer el centro del círculo, dibujaremos al menos un par, o incluso mejor: 3, 4 o 5 acordes de diferentes longitudes. Esto nos permitirá nivelar los errores de nuestras construcciones y hacer frente a la tarea con mayor precisión.
2. Luego, usando la misma regla, encontramos los puntos medios de los acordes que reproducimos. Por ejemplo, si la longitud total de una cuerda es de 28 cm, entonces su centro estará en un punto que está a 14 cm en línea recta desde la intersección de la cuerda con el círculo.
Habiendo determinado los centros de todas las cuerdas de esta manera, dibujamos líneas perpendiculares a través de ellos, usando, por ejemplo, un triángulo rectángulo.
3. Si ahora continuamos estas líneas perpendiculares a las cuerdas en dirección al centro del círculo, entonces se cortarán aproximadamente en un punto, que será el centro deseado del círculo.
4. Habiendo establecido la ubicación del centro de nuestro círculo particular, podemos usar este hecho para varios propósitos. Entonces, si coloca la pata de un compás de carpintero en este punto, puede dibujar un círculo ideal y luego cortar un círculo con la herramienta de corte adecuada y el punto del centro del círculo que hemos determinado.
Una oración que explica el significado de una expresión o nombre en particular se llama definición. Ya nos hemos encontrado con definiciones, por ejemplo, con la definición de un ángulo, ángulos adyacentes, un triángulo isósceles, etc. Demos una definición de otra figura geométrica: un círculo.
Definición
Este punto se llama centro del círculo, y el segmento que conecta el centro con cualquier punto del círculo es radio del círculo(Figura 77). De la definición de un círculo se sigue que todos los radios tienen la misma longitud.
Arroz. 77
Un segmento de línea que conecta dos puntos en un círculo se llama su cuerda. La cuerda que pasa por el centro de la circunferencia se llama diámetro.
En la figura 78, los segmentos AB y EF son las cuerdas del círculo, el segmento CD es el diámetro del círculo. Obviamente, el diámetro de un círculo es el doble de su radio. El centro de un círculo es el punto medio de cualquier diámetro.
Arroz. 78
Dos puntos cualesquiera de un círculo lo dividen en dos partes. Cada una de estas partes se llama arco de círculo. En la Figura 79, ALB y AMB son arcos delimitados por los puntos A y B.
Arroz. 79
Para representar un círculo en un dibujo, use Brújula(Figura 80).
Arroz. 80
Para dibujar un círculo en el suelo, puede usar una cuerda (Fig. 81).
Arroz. 81
La parte del plano limitada por un círculo se llama círculo (Fig. 82).
Arroz. 82
Construcciones con compás y regla
Ya nos hemos ocupado de construcciones geométricas: dibujamos líneas rectas, separamos segmentos iguales a los dados, dibujamos ángulos, triángulos y otras figuras. Al mismo tiempo, usamos una regla de escala, un compás, un transportador, un cuadro de dibujo.
Resulta que muchas construcciones se pueden hacer usando solo un compás y una regla sin divisiones de escala. Por tanto, en geometría se distinguen especialmente aquellas tareas para la construcción, que se resuelven utilizando únicamente estas dos herramientas.
¿Qué se puede hacer con ellos? Está claro que la regla permite trazar una línea arbitraria, así como construir una línea que pase por dos puntos dados. Usando una brújula, puede dibujar un círculo de radio arbitrario, así como un círculo con un centro en un punto dado y un radio igual a un segmento dado. Realizando estas sencillas operaciones, podemos resolver muchos problemas de construcción interesantes:
construir un ángulo igual a uno dado;
a través de un punto dado trazar una línea perpendicular a la línea dada;
dividir este segmento por la mitad y otras tareas.
Comencemos con una tarea simple.
Tarea
En un rayo dado desde su comienzo, aparte un segmento igual al dado.
Solución
Representemos las figuras dadas en la condición del problema: el rayo OS y el segmento AB (Fig. 83, a). Luego, con un compás, construimos un círculo de radio AB con centro O (Fig. 83, b). Este círculo cortará el rayo OS en algún punto D. El segmento OD es el requerido.
Arroz. 83
Ejemplos de tareas de construcción.
Construyendo un ángulo igual a uno dado
Tarea
Aparte del rayo dado un ángulo igual al dado.
Solución
Este ángulo con vértice A y la semirrecta OM se muestran en la figura 84. Se requiere construir un ángulo igual al ángulo A, de modo que uno de sus lados coincida con la semirrecta OM.
Arroz. 84
Dibujemos un círculo de radio arbitrario con el centro en el vértice A del ángulo dado. Este círculo intersecta los lados de la esquina en los puntos B y C (Fig. 85, a). Luego dibujamos un círculo del mismo radio con el centro al comienzo del rayo OM dado. Se cruza con la viga en el punto D (Fig. 85, b). Después de eso, construimos un círculo con centro D, cuyo radio es igual a BC. Los círculos con centros O y D se cortan en dos puntos. Denotemos uno de estos puntos con la letra E. Probemos que el ángulo MOE es el requerido.
Arroz. 85
Considere los triángulos ABC y ODE. Los segmentos AB y AC son los radios de un círculo con centro A, y los segmentos OD y OE son los radios de un círculo con centro O (ver Fig. 85, b). Como por construcción estos círculos tienen radios iguales, entonces AB = OD, AC = OE. Además, por construcción, BC = DE.
Por lo tanto, Δ ABC = Δ ODE en tres lados. Por lo tanto, ∠DOE = ∠BAC, es decir, el ángulo MOE construido es igual al ángulo A dado.
La misma construcción se puede realizar en el suelo, si en lugar de una brújula usamos una cuerda.
Construyendo la bisectriz de un ángulo
Tarea
Construye la bisectriz del ángulo dado.
Solución
Este ángulo BAC se muestra en la Figura 86. Dibujemos un círculo de radio arbitrario con un centro en el vértice A. Cortará los lados del ángulo en los puntos B y C.
Arroz. 86
Luego dibujamos dos círculos del mismo radio BC con centros en los puntos B y C (en la figura solo se muestran partes de estos círculos). Se cruzan en dos puntos, al menos uno de los cuales se encuentra dentro de la esquina. Lo denotamos con la letra E. Probemos que el rayo AE es la bisectriz del ángulo BAC dado.
Considere los triángulos ACE y ABE. Son iguales en tres lados. De hecho, AE es el lado común; AC y AB son iguales como radios del mismo círculo; CE = BE por construcción.
De la igualdad de los triángulos ACE y ABE se sigue que ∠CAE = ∠BAE, es decir, la semirrecta AE es la bisectriz del ángulo dado BAC.
Comentario
¿Se puede dividir un ángulo dado en dos ángulos iguales usando una regla y un compás? Está claro que es posible; para esto, debe dibujar una bisectriz de este ángulo.
Este ángulo también se puede dividir en cuatro ángulos iguales. Para hacer esto, debe dividirlo por la mitad y luego dividir cada mitad por la mitad nuevamente.
¿Es posible dividir un ángulo dado en tres ángulos iguales usando una regla y un compás? Esta tarea, denominada problemas de trisección de ángulos, ha atraído la atención de los matemáticos durante muchos siglos. Fue solo en el siglo XIX que se demostró que tal construcción es imposible para un ángulo arbitrario.
Construcción de rectas perpendiculares
Tarea
Dada una recta y un punto sobre ella. Construir una recta que pase por un punto dado y sea perpendicular a una recta dada.
Solución
La línea dada a y el punto M dado perteneciente a esta línea se muestran en la Figura 87.
Arroz. 87
En los rayos de la recta a, que parte del punto M, separamos los segmentos iguales MA y MB. Luego construimos dos círculos con centros A y B de radio AB. Se intersecan en dos puntos: P y Q.
Dibujemos una línea a través del punto M y uno de estos puntos, por ejemplo, la línea MP (ver Fig. 87), y demostremos que esta línea es la deseada, es decir, que es perpendicular a la línea dada a .
De hecho, dado que la mediana PM de un triángulo isósceles PAB es también la altitud, entonces PM ⊥ a.
Construcción de la mitad del segmento.
Tarea
Construye el punto medio de este segmento.
Solución
Sea AB el segmento dado. Construimos dos circunferencias de centro A y B de radio AB. Se intersecan en los puntos P y Q. Dibuja una línea PQ. El punto O de la intersección de esta recta con el segmento AB es el punto medio buscado del segmento AB.
De hecho, los triángulos APQ y BPQ son iguales en tres lados, por lo que ∠1 = ∠2 (Fig. 89).
Arroz. 89
En consecuencia, el segmento RO es la bisectriz del triángulo isósceles ARV y, por tanto, la mediana, es decir, el punto O es el punto medio del segmento AB.
Tareas
143. ¿Cuáles de los segmentos que se muestran en la figura 90 son: a) cuerdas de un círculo; b) los diámetros del círculo; c) los radios de un círculo?
Arroz. 90
144. Los segmentos AB y CD son diámetros de un círculo. Demostrar que: a) las cuerdas BD y AC son iguales; b) las cuerdas AD y BC son iguales; c) ∠MALO = ∠BCD.
145. El segmento MK es el diámetro de una circunferencia de centro O, y MR y RK son cuerdas iguales de esta circunferencia. Encuentra ∠POM.
146. Los segmentos AB y CD son los diámetros de una circunferencia de centro O. Hallar el perímetro del triángulo AOD, si se sabe que CB = 13 cm, AB = 16 cm.
147. Los puntos A y B están marcados en un círculo con centro O para que el ángulo AOB sea recto. El segmento BC es el diámetro del círculo. Demostrar que las cuerdas AB y AC son iguales.
148. En una línea recta se dan dos puntos A y B. En la continuación de la viga BA, separe el segmento BC para que BC \u003d 2AB.
149. Dada una línea a, un punto B que no está sobre ella y un segmento PQ. Construya un punto M en la línea a de modo que BM = PQ. ¿El problema siempre tiene solución?
150. Dada una circunferencia, un punto A que no está sobre ella y un segmento PQ. Construya un punto M en el círculo de modo que AM = PQ. ¿El problema siempre tiene solución?
151. Se dan el ángulo agudo BAC y el rayo XY. Construye el ángulo YXZ de modo que ∠YXZ = 2∠BAC.
152. Se da el ángulo obtuso AOB. Construya el rayo OX de modo que los ángulos XOA y XOB sean ángulos obtusos iguales.
153. Dada una línea a y un punto M que no está sobre ella. Construya una recta que pase por el punto M y sea perpendicular a la recta a.
Solución
Construyamos un círculo con centro en un punto dado M, cortando una recta dada a en dos puntos, que denotaremos con las letras A y B (Fig. 91). Luego construimos dos círculos con centros A y B que pasan por el punto M. Estos círculos se cortan en el punto M y en un punto más, que denotamos con la letra N. Dibujemos la línea MN y demostremos que esta línea es la deseada uno, es decir, es perpendicular a la recta a.
Arroz. 91
De hecho, los triángulos AMN y BMN son iguales en tres lados, entonces ∠1 = ∠2. Se sigue que el segmento MC (C es el punto de intersección de las líneas a y MN) es la bisectriz del triángulo isósceles AMB, y por lo tanto la altura. Así, MN ⊥ AB, es decir, MN ⊥ a.
154. Se da el triángulo ABC. Construya: a) la bisectriz AK; b) mediana de VM; c) la altura CH del triángulo. 155. Con compás y regla, construye un ángulo igual a: a) 45°; b) 22°30".
respuestas a tareas
152. Instrucción. Primero, construya la bisectriz del ángulo AOB.
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