چگونه رتبه یک ماتریس را حل کنیم. رتبه یک ماتریس را بیابید: روش ها و مثال ها

این مقاله در مورد مفهومی مانند رتبه یک ماتریس و مفاهیم اضافی لازم بحث خواهد کرد. ما مثال‌ها و شواهدی برای یافتن رتبه یک ماتریس ارائه می‌کنیم و همچنین به شما می‌گوییم که ماتریس مینور چیست و چرا اینقدر مهم است.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ماتریس فرعی

برای درک اینکه رتبه یک ماتریس چیست، لازم است مفهومی به عنوان جزئی ماتریس را درک کنیم.

تعریف 1

جزئیکماتریس مرتبه -ام تعیین کننده یک ماتریس مربعی مرتبه k × k است که از عناصر ماتریس A تشکیل شده است که در ردیف ها و ستون های k از پیش انتخاب شده قرار دارند و در عین حال موقعیت عناصر ماتریس A را حفظ می کنند.

به بیان ساده، اگر (pk) سطرها و (nk) ستون‌ها را در ماتریس A حذف کنیم و یک ماتریسی از آن عناصر باقیمانده بسازیم و آرایش عناصر ماتریس A را حفظ کنیم، آنگاه تعیین‌کننده ماتریس حاصل می‌شود. جزئی از مرتبه k ماتریس A.

از مثال به دست می آید که مینورهای مرتبه اول ماتریس A خود عناصر ماتریس هستند.

چندین نمونه از مینورهای مرتبه دوم وجود دارد. بیایید دو سطر و دو ستون را انتخاب کنیم. به عنوان مثال، ردیف 1 و 2، ستون 3 و 4.

با این انتخاب عناصر، مرتبه دوم فرعی خواهد بود - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

یکی دیگر از مینورهای مرتبه دوم ماتریس A 0 0 1 1 = 0 است

اجازه دهید تصویری از ساخت مینورهای مرتبه دوم ماتریس A ارائه دهیم:

مینور مرتبه سوم با حذف ستون سوم ماتریس A به دست می آید:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

تصویری از نحوه به دست آوردن مینور مرتبه سوم ماتریس A:

برای یک ماتریس معین، هیچ فرعی بالاتر از مرتبه 3 وجود ندارد، زیرا

k ≤ m i n (p، n) = m i n (3، 4) = 3

برای ماتریس A با مرتبه p × n چند مینور از مرتبه k وجود دارد؟

تعداد خردسالان با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

C p k × C n k، جایی که e C p k = p! k (p - k)! و C n k = n! k (ن - ک)! - تعداد ترکیبات از p تا k، از n تا k، به ترتیب.

پس از اینکه ما تصمیم گرفتیم که مینورهای ماتریس A چیست، می توانیم به تعیین رتبه ماتریس A اقدام کنیم.

رتبه ماتریسی: روش های یافتن

تعریف 2

رتبه ماتریسی - بالاترین ترتیب ماتریس به غیر از صفر.

نماد 1

رتبه (A) Rg (A)، Rang (A).

از تعریف رتبه ماتریس و مینور ماتریس مشخص می شود که رتبه ماتریس صفر صفر است و رتبه ماتریس غیر صفر غیر صفر است.

پیدا کردن رتبه یک ماتریس بر اساس تعریف

تعریف 3

شمارش خردسالان - روشی مبتنی بر تعیین رتبه یک ماتریس.

الگوریتم اقدامات با برشمردن خرده‌ها :

لازم است رتبه ماتریس A را پیدا کنید پ× n... اگر حداقل یک عنصر غیر صفر وجود داشته باشد، رتبه ماتریس حداقل برابر با یک است ( از آنجا که یک مینور از مرتبه 1 است که برابر با صفر نیست).

به دنبال آن شمارش خرده‌های مرتبه دوم انجام می‌شود. اگر همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، رتبه برابر با یک است. اگر حداقل یک مینور غیر صفر از مرتبه دوم وجود داشته باشد، باید به سراغ شمارش مینورهای مرتبه سوم رفت و رتبه ماتریس در این حالت حداقل برابر با دو خواهد بود.

ما به روش مشابهی با رتبه مرتبه سوم عمل خواهیم کرد: اگر همه مینورهای ماتریس برابر با صفر باشند، رتبه برابر با دو خواهد بود. اگر حداقل یک مینور مرتبه سوم غیر صفر وجود داشته باشد، رتبه ماتریس حداقل سه است. و به همین ترتیب، به قیاس.

مثال 2

رتبه یک ماتریس را پیدا کنید:

A = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

از آنجایی که ماتریس غیر صفر است، رتبه آن حداقل برابر با یک است.

مینور مرتبه دوم - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 غیر صفر است. از این رو نتیجه می شود که رتبه ماتریس A حداقل دو است.

ما روی مینورهای مرتبه سوم تکرار می کنیم: С 3 3 × С 5 3 = 1 5! 3 (5 - 3) = 10 عدد

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

مینورهای مرتبه سوم برابر با صفر هستند، بنابراین رتبه ماتریس برابر با دو است.

پاسخ : رتبه (A) = 2.

یافتن رتبه یک ماتریس با روش مینورهای مرزی

تعریف 3

روش خردسالان مرزی - روشی که به شما امکان می دهد با کار محاسباتی کمتر به نتیجه برسید.

مواجه با جزئی - مینور M ok (k + 1) -مین مرتبه ماتریس A که با M جزئی مرتبه k ماتریس A هم مرز است، اگر ماتریسی که با M ok فرعی مطابقت دارد حاوی ماتریسی باشد که با ماتریس A مطابقت دارد. صغیر ام.

به بیان ساده، ماتریسی که مربوط به مینور حاشیه‌دار M است، از ماتریس مربوط به مینور حاشیه‌دار M o k با حذف عناصر یک سطر و یک ستون به دست می‌آید.

مثال 3

رتبه یک ماتریس را پیدا کنید:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

برای یافتن رتبه، مرتبه دوم مینور М = 2 - 1 4 1 را می گیریم

ما همه خردسالان مرزی را یادداشت می کنیم:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

برای اثبات روش مرزبندی مینورها، قضیه ای را ارائه می کنیم که تدوین آن نیاز به مبنای اثباتی ندارد.

قضیه 1

اگر همه مینورهای مرتبه k ماتریس A از مرتبه p با n هم مرز با صفر باشند، آنگاه همه مینورهای مرتبه (k + 1) ماتریس A برابر با صفر هستند.

الگوریتم اقدامات :

برای یافتن رتبه یک ماتریس، نیازی به تکرار بر روی همه مینورها نیست، کافی است به موارد حاشیه نگاه کنید.

اگر مینورهای مرزی برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس صفر است. اگر حداقل یک مینور وجود داشته باشد که برابر با صفر نباشد، ما مینورهای حاشیه را در نظر می گیریم.

اگر همه آنها صفر باشند، رتبه (A) دو است. اگر حداقل یک مینور حاشیه غیر صفر وجود داشته باشد، ما به بررسی مینورهای حاشیه آن می پردازیم. و به همین ترتیب به همین ترتیب.

مثال 4

رتبه یک ماتریس را با روش مینورهای مرزی پیدا کنید

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

چگونه حل کنیم؟

از آنجایی که عنصر a 11 ماتریس A برابر با صفر نیست، ما یک مینور از مرتبه 1 را می گیریم. بیایید شروع به جستجوی یک مینور حاشیه غیر صفر کنیم:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

ما یک مینور مرتبه دوم حاشیه ای پیدا کردیم که برابر با صفر 2 0 4 1 نیست.

بیایید روی مینورهای مرزی تکرار کنیم - ((4 - 2) × (5 - 2) = 6 قطعه وجود دارد).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

پاسخ : رتبه (A) = 2.

یافتن رتبه یک ماتریس به روش گاوس (با استفاده از تبدیل های ابتدایی)

بیایید به یاد بیاوریم که تحولات ابتدایی چیست.

تحولات ابتدایی:

با تنظیم مجدد ردیف ها (ستون ها) ماتریس؛
با ضرب تمام عناصر هر ردیف (ستون) ماتریس در یک عدد غیر صفر دلخواه k.

با افزودن به عناصر هر ردیف (ستون) عناصری که مربوط به سطر (ستون) دیگر ماتریس است که در یک عدد دلخواه k ضرب می شوند.

تعریف 5

پیدا کردن رتبه یک ماتریس به روش گاوس - روشی مبتنی بر تئوری هم ارزی ماتریس ها: اگر ماتریس B از ماتریس A با استفاده از تعداد متناهی تبدیل های ابتدایی به دست آید، رتبه (A) = رتبه (B) است.

اعتبار این عبارت از تعریف ماتریس به دست می آید:

در مورد جایگشت سطرها یا ستون های یک ماتریس، تعیین کننده آن علامت تغییر می کند. اگر برابر با صفر باشد، هنگام مرتب کردن مجدد ردیف ها یا ستون ها برابر با صفر باقی می ماند.
در صورت ضرب همه عناصر هر ردیف (ستون) ماتریس در یک عدد دلخواه k که برابر با صفر نیست، تعیین کننده ماتریس حاصل برابر با تعیین کننده ماتریس اصلی است که ضرب می شود. توسط k;

در صورت افزودن عناصر سطر یا ستون معینی از ماتریس، عناصر مربوط به سطر یا ستون دیگر که در عدد k ضرب می شوند، تعیین کننده آن را تغییر نمی دهند.

جوهر روش تحولات ابتدایی : با استفاده از تبدیل‌های ابتدایی، ماتریسی را که رتبه آن را باید به ذوزنقه‌ای یافت کاهش دهید.

برای چی؟

یافتن رتبه ماتریس هایی از این دست بسیار آسان است. برابر است با تعداد ردیف هایی که حداقل یک عنصر غیر صفر را در خود جای داده اند. و از آنجایی که رتبه در طول تبدیل های اولیه تغییر نمی کند، این رتبه ماتریس خواهد بود.

بیایید این روند را نشان دهیم:

برای ماتریس های مستطیلی A به ترتیب p در n که تعداد سطرهای آن از تعداد ستون ها بیشتر است:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn 0 - 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0، R ank (A) = n

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0، R ank (A) = k

برای ماتریس های مستطیلی A به ترتیب p در n که تعداد سطرهای آن از تعداد ستون ها کمتر است:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 pb 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 pb 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 1 ⋯ bpn، R ank (A) = p

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

برای ماتریس های مربع A به ترتیب n در n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn 0 - 1 , R ank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0، R ank (A) = k، k< n

مثال 5

رتبه ماتریس A را با استفاده از تبدیل های ابتدایی پیدا کنید:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

چگونه حل کنیم؟

از آنجایی که عنصر a 11 غیر صفر است، لازم است عناصر ردیف اول ماتریس A را در 1 a 11 = 1 2 ضرب کنیم:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

عناصر ردیف اول را که در (3-) ضرب می شوند به عناصر ردیف دوم اضافه کنید. به عناصر خط 3، عناصر خط 1 را اضافه کنید که در (-1) ضرب می شوند:

~ A (1) = 1 1 2 - 1 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

عنصر a 22 (2) غیر صفر است، بنابراین عناصر ردیف دوم ماتریس A را در A (2) در a 1 a 22 (2) = - 2 3 ضرب می کنیم:

A (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

به عناصر ردیف 3 ماتریس حاصل، عناصر مربوط به ردیف 2 را اضافه کنید که در 3 2 ضرب می شوند.
به عناصر ردیف 4 - عناصر ردیف 2 که در 9 2 ضرب می شوند.
به عناصر ردیف 5 - عناصر ردیف 2 که در 3 2 ضرب می شوند.

همه عناصر ردیف صفر هستند. بنابراین، با کمک تبدیل های ابتدایی، ماتریس را به شکل ذوزنقه ای آوردیم که از آن مشاهده می شود که R a n k (A (4)) = 2. از این رو نتیجه می شود که رتبه ماتریس اصلی نیز برابر با دو است.

اظهار نظر

اگر تبدیلات اولیه را انجام دهید، مقادیر تقریبی مجاز نیستند!

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

قضیه (درباره صحت تعریف رتبه ها).اجازه دهید همه مینورهای ماتریس A m × n (\ شیوه نمایش A_ (m \ بار n))سفارش k (\ displaystyle k)برابر با صفر ( M k = 0 (\ سبک نمایش M_ (k) = 0)). سپس ∀ M k + 1 = 0 (\ displaystyle \ forall M_ (k + 1) = 0)اگر وجود داشته باشند الگو: / قاب

تعاریف مرتبط

خواص

قضیه (درباره جزئی پایه):اجازه دهید r = رنگ ⁡ A, M r (\ displaystyle r = \ نام اپراتور (رنگ) A, M_ (r))- مینور پایه ماتریس A (\ displaystyle A)، سپس:
عواقب:
قضیه (در مورد عدم تغییر رتبه تحت تبدیل های ابتدایی):اجازه دهید یک نماد برای ماتریس های به دست آمده از یکدیگر توسط تبدیل های ابتدایی معرفی کنیم. سپس عبارت زیر درست است: اگر A ~ B (\ displaystyle A \ sim B)، سپس درجات آنها برابر است.
قضیه کرونکر - کاپلی:یک سیستم معادلات جبری خطی اگر و فقط در صورتی سازگار است که رتبه ماتریس اصلی آن با رتبه ماتریس توسعه یافته آن برابر باشد. به خصوص:
- تعداد متغیرهای اصلی سیستم برابر با رتبه سیستم است.
- یک سیستم مشترک تعیین می شود (راه حل آن منحصر به فرد است) اگر رتبه سیستم برابر با تعداد همه متغیرهای آن باشد.
نابرابری سیلوستر:اگر آو بماتریس های اندازه m x nو n x k، سپس

r a n k A B ≥ r a n k A + r a n k B - n (\ displaystyle rankAB \ geq rankA + rankB-n)

این یک مورد خاص از نابرابری زیر است.

نابرابری فروبنیوس:اگر AB، BC، ABC به خوبی تعریف شده باشند، پس

r a n k A B C ≥ r a n k A B + r a n k B C - r a n k B (\ displaystyle rankABC \ geq rankAB + rankBC-rankB)

تبدیل خطی و رتبه یک ماتریس

اجازه دهید A (\ displaystyle A)- ماتریس اندازه m × n (\ displaystyle m \ بار n)بر فراز میدان C (\ displaystyle C)(یا R (\ displaystyle R)). اجازه دهید T (\ displaystyle T)- تبدیل خطی متناظر A (\ displaystyle A)بر اساس استاندارد؛ این به آن معناست که T (x) = A x (\ شیوه نمایش T (x) = Ax). رتبه ماتریسی A (\ displaystyle A) بعد محدوده مقادیر تبدیل است T (\ displaystyle T).

مواد و روش ها

چندین روش برای یافتن رتبه یک ماتریس وجود دارد:

روش تبدیل ابتدایی

رتبه ماتریس برابر است با تعداد ردیف های غیر صفر در ماتریس پس از کاهش آن به شکل پلکانی با استفاده از تبدیل های اولیه روی ردیف های ماتریس.

روش خردسالان مرزی

اجازه دهید در ماتریس A (\ displaystyle A)جزئی غیر صفر پیدا شد k (\ displaystyle k)- مرتبه M (\ displaystyle M)... همه خردسالان را در نظر بگیرید (k + 1) (\ شیوه نمایش (k + 1))مرتبه -ام، از جمله (مرز) جزئی M (\ displaystyle M); اگر همه آنها برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر است k (\ displaystyle k)... در غیر این صورت، یک غیر صفر در بین مینورهای مرزی وجود دارد و کل روش تکرار می شود.

تعریف. با رتبه ماتریسحداکثر تعداد خطوط مستقل خطی در نظر گرفته شده به عنوان بردار است.

قضیه 1 در مورد رتبه یک ماتریس. با رتبه ماتریسحداکثر ترتیب یک مینور غیر صفر ماتریس است.

قبلاً مفهوم مینور را در درس با استفاده از عوامل تعیین کننده تحلیل کرده ایم و اکنون آن را تعمیم می دهیم. اجازه دهید در ماتریس چند سطر و چند ستون بگیریم و این مقدار باید از تعداد سطرها و ستون های ماتریس کمتر باشد و برای سطرها و ستون ها این مقدار باید به همان تعداد باشد. سپس در محل تقاطع چند ردیف و چند ستون، ماتریسی با مرتبه پایین تر از ماتریس اصلی ما وجود خواهد داشت. در صورتی که "some" مذکور (تعداد سطرها و ستون ها) با k نشان داده شود، تعیین کننده این ماتریس مینور مرتبه k-ام خواهد بود.

تعریف.جزئی ( r+1) مرتبه‌ای که مینور انتخاب شده در آن قرار دارد rمرتبه -ام مرز برای یک مینور معین نامیده می شود.

دو مورد که بیشترین استفاده را دارند عبارتند از پیدا کردن رتبه ماتریس... این راه خردسالان مرزیو روش تبدیل های ابتدایی(به روش گاوس).

قضیه زیر برای روش فرعی مرزی استفاده می شود.

قضیه 2 در مورد رتبه یک ماتریس.اگر از عناصر ماتریس می توان یک مینور نوشت rمرتبه ام، برابر با صفر نیست، پس رتبه ماتریس است r.

در روش تبدیل های ابتدایی از ویژگی زیر استفاده می شود:

اگر با تبدیل های اولیه، یک ماتریس ذوزنقه ای معادل ماتریس اصلی به دست آید، رتبه این ماتریستعداد خطوط موجود در آن است، به جز خطوطی که کاملاً از صفر تشکیل شده اند.

یافتن رتبه یک ماتریس با روش مینورهای مرزی

اگر این مینور از مرتبه بالاتر دارای مینور معین باشد، یک مینور مرزی، یک مینور از مرتبه بالاتر در رابطه با یک مفروض است.

به عنوان مثال، با توجه به ماتریس

بیایید یک خرده بگیریم

حاشیه ریز موارد زیر خواهد بود:

الگوریتم برای یافتن رتبه یک ماتریسبعد.

1. مینورهای غیر صفر مرتبه دوم را پیدا کنید. اگر همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با یک خواهد بود ( r =1 ).

2. اگر حداقل یک مینور مرتبه دوم وجود دارد که برابر با صفر نیست، مینورهای مرتبه سوم حاشیه را بنویسید. اگر همه مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با دو است ( r =2 ).

3. اگر حداقل یکی از مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر نباشد، مینورهای مرزی را ترکیب می کنیم. اگر همه مینورهای مرزی مرتبه چهارم برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس سه است ( r =2 ).

4. تا زمانی که اندازه ماتریس اجازه می دهد ادامه دهید.

مثال 1.رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل. جزئی از مرتبه دوم .

ما آن را قاب می کنیم. چهار خردسال مرزی وجود خواهد داشت:

بنابراین، تمام مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر هستند، بنابراین، رتبه این ماتریس برابر با دو است ( r =2 ).

مثال 2.رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل. رتبه این ماتریس 1 است، زیرا همه مینورهای مرتبه دوم این ماتریس برابر با صفر هستند (در این مورد نیز مانند موارد فرعی حاشیه در دو مثال بعدی، از دانش آموزان عزیز دعوت می شود خودشان بررسی کنند. احتمالاً با استفاده از قوانین برای محاسبه تعیین کننده ها)، و در بین مینورهای مرتبه اول، یعنی در بین عناصر ماتریس، برابر با صفر نیستند.

مثال 3.رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل. مینور مرتبه دوم این ماتریس، در تمام مینورهای مرتبه سوم این ماتریس برابر با صفر است. بنابراین، رتبه این ماتریس دو است.

مثال 4.رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل. رتبه این ماتریس 3 است، زیرا تنها مینور مرتبه سوم این ماتریس 3 است.

یافتن رتبه یک ماتریس با روش تبدیل های ابتدایی (روش گاوس)

قبلاً در مثال 1 می توان دید که مشکل تعیین رتبه یک ماتریس با روش مرزبندی مینورها مستلزم محاسبه تعداد زیادی از تعیین کننده ها است. با این حال، راهی برای به حداقل رساندن مقدار محاسبات وجود دارد. این روش مبتنی بر استفاده از تبدیل های ماتریس ابتدایی است و روش گاوس نیز نامیده می شود.

تبدیل های ماتریس ابتدایی به صورت عملیات زیر درک می شوند:

1) ضرب هر سطر یا هر ستون ماتریس در عددی غیر از صفر.

2) به عناصر هر سطر یا هر ستون ماتریس، عناصر مربوط به سطر یا ستون دیگر را که در همان عدد ضرب می شود، اضافه کنید.

3) تعویض دو سطر یا ستون ماتریس.

4) حذف خطوط "صفر"، یعنی خطوطی که همه عناصر آنها برابر با صفر هستند.

5) حذف تمام خطوط متناسب، به جز یک.

قضیه.یک تبدیل ابتدایی رتبه ماتریس را تغییر نمی دهد. به عبارت دیگر، اگر از تبدیل های ابتدایی از ماتریس استفاده کنیم آبه سمت ماتریس رفت ب، سپس .

رتبه یک ماتریس یک مشخصه عددی مهم است. معمولی ترین مشکلی که نیاز به یافتن رتبه یک ماتریس دارد، بررسی سازگاری یک سیستم معادلات جبری خطی است. در این مقاله مفهوم رتبه یک ماتریس را بیان می کنیم و روش هایی برای یافتن آن در نظر می گیریم. برای جذب بهتر مواد، ما به طور مفصل راه حل های چندین مثال را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

تعیین رتبه یک ماتریس و مفاهیم اضافی لازم.

قبل از اعلام تعریف رتبه یک ماتریس، باید مفهوم مینور را به خوبی درک کرد و یافتن مینورهای یک ماتریس مستلزم توانایی محاسبه تعیین کننده است. بنابراین توصیه می کنیم، در صورت لزوم، تئوری مقاله، روش های یافتن تعیین کننده ماتریس، ویژگی های تعیین کننده را یادآوری کنید.

یک ماتریس A به ترتیب بگیرید. فرض کنید k یک عدد طبیعی باشد که از کوچکترین اعداد m و n تجاوز نکند، یعنی: .

تعریف.

مینور از مرتبه kthماتریس A را تعیین کننده ماتریس مربع مرتبه می نامند که از عناصر ماتریس A تشکیل شده است که در k سطرها و k ستون های از پیش انتخاب شده قرار دارند و آرایش عناصر ماتریس A حفظ می شود.

به عبارت دیگر، اگر در ماتریس A (p – k) سطرها و (n – k) ستون ها را حذف کنیم و از عناصر باقیمانده یک ماتریس تشکیل دهیم و آرایش عناصر ماتریس A را حفظ کنیم، آنگاه تعیین کننده ماتریس حاصل می شود. جزئی از مرتبه k ماتریس A است.

بیایید با استفاده از یک مثال به تعریف ماتریس مینور نگاه کنیم.

ماتریس را در نظر بگیرید .

اجازه دهید چندین مینور مرتبه اول این ماتریس را بنویسیم. به عنوان مثال، اگر ردیف سوم و ستون دوم ماتریس A را انتخاب کنیم، انتخاب ما با مینور مرتبه اول مطابقت دارد. ... به عبارت دیگر، برای به دست آوردن این مینور، ردیف های اول و دوم و همچنین ستون های اول، سوم و چهارم را از ماتریس A خط زدیم و از عنصر باقی مانده، تعیین کننده را ساختیم. اگر سطر اول و ستون سوم ماتریس A را انتخاب کنیم، یک مینور دریافت می کنیم .

اجازه دهید روش به دست آوردن خردسالان مرتبه اول را توضیح دهیم
و .

بنابراین، مینورهای مرتبه اول ماتریس، خود عناصر ماتریس هستند.

ما چندین خردسال درجه دوم را نشان می دهیم. دو سطر و دو ستون را انتخاب کنید. به عنوان مثال، سطر اول و دوم و ستون سوم و چهارم را در نظر بگیرید. با این انتخاب، ما یک مینور از مرتبه دوم داریم ... این مینور همچنین می تواند با حذف ردیف سوم، ستون اول و دوم از ماتریس A تشکیل شود.

یکی دیگر از مینورهای مرتبه دوم ماتریس A است.

اجازه دهید ساخت این خردسالان درجه دوم را به تصویر بکشیم
و .

مینورهای مرتبه سوم ماتریس A را می توان به طور مشابه یافت. از آنجایی که در ماتریس A فقط سه ردیف وجود دارد، همه آنها را انتخاب می کنیم. اگر سه ستون اول را برای این ردیف ها انتخاب کنیم، یک مینور مرتبه سوم دریافت می کنیم

همچنین می توان آن را با حذف آخرین ستون ماتریس A ساخت.

یکی دیگر از مینورهای مرتبه سوم است

با حذف ستون سوم ماتریس A به دست می آید.

در اینجا نقشه ای است که ساخت این خردسالان درجه سوم را نشان می دهد.
و .

برای یک ماتریس A معین، مینورهای مرتبه بالاتر از سوم وجود ندارند، زیرا.

چند مینور از مرتبه kth ماتریس A وجود دارد؟

تعداد مینورهای مرتبه k را می توان به صورت، Where محاسبه کرد و - تعداد ترکیبات از p تا k و از n تا k به ترتیب.

چگونه می توان تمام مینورهای مرتبه k ماتریس A از مرتبه p را با n ساخت؟

ما به تعداد ردیف های ماتریسی و تعداد ستون های زیادی نیاز داریم. ما همه چیز را یادداشت می کنیم ترکیب عناصر p توسط k(هنگام ساختن یک مینور از مرتبه k با ردیف های انتخابی ماتریس A مطابقت دارند). به هر ترکیبی از اعداد خط، تمام ترکیبات n عنصر را با k عدد ستون اضافه می کنیم. این مجموعه‌ای از ترکیب‌های اعداد ردیف و اعداد ستون ماتریس A به ترکیب همه فرعی‌های مرتبه k کمک می‌کند.

بیایید یک مثال بزنیم.

مثال.

همه مینورهای مرتبه دوم ماتریس را پیدا کنید.

راه حل.

از آنجایی که ترتیب ماتریس اصلی 3 در 3 است، مجموع مینورهای مرتبه دوم خواهد بود .

بیایید تمام ترکیب های 3 در 2 ردیف های ماتریس A را بنویسیم: 1، 2; 1، 3 و 2، 3. تمام ترکیب های 3 در 2 شماره ستون 1، 2 هستند. 1، 3 و 2، 3.

ردیف اول و دوم ماتریس A را در نظر بگیرید. با انتخاب این سطرها به ترتیب ستون اول و دوم، ستون اول و سوم، ستون دوم و سوم به ترتیب مینورها را دریافت می کنیم.

برای ردیف های اول و سوم، با انتخاب مشابهی از ستون ها، داریم

باقی مانده است که ستون های اول و دوم، اول و سوم، دوم و سوم را به ردیف های دوم و سوم اضافه کنید:

بنابراین، تمام نه فرعی مرتبه دوم ماتریس A یافت می شوند.

اکنون می توانید به تعیین رتبه ماتریس بروید.

تعریف.

رتبه ماتریسیبالاترین مرتبه مینور غیر صفر در یک ماتریس است.

رتبه ماتریس A به عنوان رتبه (A) شناخته می شود. همچنین می توانید عناوین Rg (A) یا Rang (A) را پیدا کنید.

از تعاریف رتبه یک ماتریس و مینور ماتریس می توان نتیجه گرفت که رتبه یک ماتریس صفر صفر است و رتبه یک ماتریس غیر صفر حداقل یک است.

پیدا کردن رتبه یک ماتریس بر اساس تعریف.

بنابراین، اولین روش برای یافتن رتبه یک ماتریس است روش brute force... این روش بر اساس تعیین رتبه ماتریس است.

فرض کنید ما باید رتبه یک ماتریس A را پیدا کنیم.

به طور خلاصه توضیح می دهیم الگوریتمحل این مشکل با برشمردن خردسالان.

اگر حداقل یک عنصر از ماتریس متفاوت از صفر باشد، رتبه ماتریس حداقل برابر با یک است (زیرا یک مینور مرتبه اول وجود دارد که برابر با صفر نیست).

در مرحله بعد، روی مینورهای مرتبه دوم تکرار می کنیم. اگر همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با یک است. اگر حداقل یک مینور مرتبه دوم غیر صفر وجود داشته باشد، به شمارش مینورهای مرتبه سوم می رویم و رتبه ماتریس حداقل دو است.

به طور مشابه، اگر همه مینورهای مرتبه سوم صفر باشند، رتبه ماتریس دو است. اگر حداقل یک مینور مرتبه سوم غیر از صفر وجود داشته باشد، رتبه ماتریس حداقل سه است و ما از مینورهای مرتبه چهارم عبور می کنیم.

توجه داشته باشید که رتبه ماتریس نمی تواند از کوچکترین اعداد p و n تجاوز کند.

مثال.

رتبه ماتریس را پیدا کنید .

راه حل.

از آنجایی که ماتریس غیر صفر است، رتبه آن حداقل یک است.

جزئی از مرتبه دوم غیر صفر است، بنابراین، رتبه ماتریس A حداقل دو است. به سرشماری خردسالان مرتبه سوم می پردازیم. همه آنها چیزها

همه مینورهای مرتبه سوم صفر هستند. بنابراین، رتبه ماتریس دو است.

پاسخ:

رتبه (A) = 2.

یافتن رتبه یک ماتریس با روش مینورهای مرزی.

روش های دیگری برای یافتن رتبه یک ماتریس وجود دارد که به شما امکان می دهد با کار محاسباتی کمتری به نتیجه برسید.

یکی از این روش ها این است روش فرعی مرزی.

بیایید مقابله کنیم حاشیه ای جزئی.

گفته می شود که M ok فرعی از (k + 1) امین مرتبه ماتریس A با M جزئی مرتبه k از ماتریس A هم مرز است در صورتی که ماتریس مربوط به جزئی M ok حاوی ماتریس مربوط به مینور باشد. م.

به عبارت دیگر، ماتریس مربوط به مینور M حاشیه دار از ماتریس مربوط به مینور حاشیه M ok با حذف عناصر یک سطر و یک ستون به دست می آید.

به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید و یک مینور از مرتبه دوم بگیرید. بیایید همه خردسالان مرزی را بنویسیم:

روش مرزبندی جزئی ها با قضیه زیر اثبات می شود (ما فرمول آن را بدون اثبات ارائه می کنیم).

قضیه.

بنابراین، برای یافتن رتبه یک ماتریس، نیازی به تکرار بر روی تمام موارد فرعی که به اندازه کافی حاشیه هستند، نیست. تعداد مینورهای هم مرز با درجه k-ام ماتریس مرتبه A با فرمول بدست می آید ... توجه داشته باشید که مینورهای مجاور مینور مرتبه k ماتریس A بیشتر از مینورهای مرتبه k (k + 1) -ام ماتریس A نیستند. بنابراین، در بیشتر موارد، استفاده از روش فرعی مرزی سود بیشتری نسبت به شمارش ساده همه خردسالان دارد.

اجازه دهید به یافتن رتبه ماتریس با روش مینورهای مرزی ادامه دهیم. به طور خلاصه توضیح می دهیم الگوریتماین روش.

اگر ماتریس A غیر صفر باشد، آنگاه هر عنصری از ماتریس A را غیر از صفر به عنوان مینور مرتبه اول می گیریم. خردسالان مرزی آن را در نظر بگیرید. اگر همه آنها برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با یک است. اگر حداقل یک مینور مرزی غیر صفر وجود داشته باشد (ترتیب آن دو است)، سپس به بررسی مینورهای حاشیه آن می‌پردازیم. اگر همه آنها صفر باشند، رتبه (A) = 2 است. اگر حداقل یک مینور مرزی غیر صفر باشد (ترتیب آن سه است)، آنگاه مینورهای حاشیه آن را در نظر می گیریم. و غیره. در نتیجه، رتبه (A) = k، اگر همه مینورهای مرزی (k + 1) امین مرتبه ماتریس A برابر با صفر باشند، یا رتبه (A) = min (p, n) اگر غیر صفر وجود داشته باشد. مینور که با مینور از مرتبه هم مرز است (min ( p, n) - 1).

اجازه دهید روش مینورهای مرزی را برای یافتن رتبه یک ماتریس با استفاده از یک مثال تجزیه و تحلیل کنیم.

مثال.

رتبه ماتریس را پیدا کنید به روش مرزبندی خردسالان.

راه حل.

از آنجایی که عنصر a 1 1 ماتریس A غیر صفر است، آن را به عنوان یک مینور مرتبه اول در نظر می گیریم. بیایید شروع به جستجوی یک مینور حاشیه غیر صفر کنیم:

یک مینور حاشیه از مرتبه دوم، به غیر از صفر پیدا شد. بیایید خردسالان مرزی آن را مرتب کنیم (آنها چیزها):

تمام مینورهای حاشیه مینور مرتبه دوم برابر با صفر هستند، بنابراین رتبه ماتریس A برابر با دو است.

پاسخ:

رتبه (A) = 2.

مثال.

رتبه ماتریس را پیدا کنید استفاده از خردسالان مرزی

راه حل.

به عنوان مینور غیر صفر مرتبه اول، عنصر a 1 1 = 1 از ماتریس A را می گیریم. فرعی فرعی مرتبه دوم صفر نیست این مینور با یک مینور درجه سوم مرزبندی شده است.
... از آنجایی که برابر با صفر نیست و یک مینور مرزی برای آن وجود ندارد، رتبه ماتریس A برابر با سه است.

پاسخ:

رتبه (A) = 3.

یافتن رتبه با استفاده از تبدیل های ماتریس ابتدایی (روش گاوس).

راه دیگری را برای یافتن رتبه یک ماتریس در نظر بگیرید.

تبدیل های ماتریسی زیر ابتدایی نامیده می شوند:

جایگشت سطرها (یا ستون ها) ماتریس؛
ضرب تمام عناصر هر ردیف (ستون) ماتریس با عدد دلخواه k غیر از صفر.
افزودن به عناصر یک ردیف (ستون) عناصر مربوط به سطر (ستون) دیگر ماتریس، ضرب در عدد دلخواه k.

ماتریس B را معادل ماتریس A می نامنداگر B با استفاده از تعداد متناهی تبدیل ابتدایی از A به دست آید. هم ارزی ماتریس ها با نماد "~" نشان داده می شود، یعنی A ~ B نوشته می شود.

یافتن رتبه یک ماتریس با استفاده از تبدیل‌های ابتدایی ماتریس بر اساس این جمله است: اگر ماتریس B از ماتریس A با استفاده از تعداد محدودی از تبدیل‌های ابتدایی به دست آید، رتبه (A) = رتبه (B) است.

اعتبار این عبارت از ویژگی های تعیین کننده ماتریس به دست می آید:

هنگامی که ردیف‌ها (یا ستون‌های) یک ماتریس دوباره مرتب می‌شوند، تعیین کننده آن علامت تغییر می‌کند. اگر برابر با صفر باشد، پس از جابجایی ردیف ها (ستون ها) برابر با صفر باقی می ماند.
وقتی همه عناصر هر ردیف (ستون) ماتریس در یک عدد دلخواه k غیر از صفر ضرب شوند، تعیین کننده ماتریس حاصل برابر با تعیین کننده ماتریس اصلی ضرب در k است. اگر تعیین کننده ماتریس اصلی برابر با صفر باشد، پس از ضرب تمام عناصر هر سطر یا ستون در عدد k، تعیین کننده ماتریس حاصل نیز برابر با صفر خواهد بود.
با افزودن عناصر یک ردیف (ستون) ماتریس، عناصر مربوط به سطر دیگر (ستون) ماتریس، ضرب در مقداری k، تعیین کننده آن را تغییر نمی دهد.

جوهر روش تحولات ابتداییعبارت است از کاهش ماتریس که باید رتبه آن را پیدا کنیم به ذوزنقه ای (در یک مورد خاص، به مثلث بالایی) با استفاده از تبدیل های ابتدایی.

چرا این کار انجام می شود؟ یافتن رتبه ماتریس هایی از این دست بسیار آسان است. برابر است با تعداد خطوطی که حداقل یک عنصر غیر صفر را شامل می شود. و از آنجایی که رتبه ماتریس در طول تبدیل های اولیه تغییر نمی کند، مقدار حاصل رتبه ماتریس اصلی خواهد بود.

در اینجا چند تصویر از ماتریس ها وجود دارد که یکی از آنها باید پس از تبدیل به دست آید. شکل آنها به ترتیب ماتریس بستگی دارد.

این تصاویر الگوهایی هستند که ماتریس A را به آنها تبدیل می کنیم.

بیایید توصیف کنیم الگوریتم روش.

فرض کنید ما باید رتبه یک ماتریس غیر صفر مرتبه A را پیدا کنیم (p می تواند برابر با n باشد).

بنابراین، . بیایید تمام عناصر ردیف اول ماتریس A را در ضرب کنیم. در این حالت، ماتریس معادل به دست می آوریم، آن را با A (1) نشان می دهیم:

به عناصر ردیف دوم ماتریس حاصل A (1)، عناصر مربوط به ردیف اول را ضرب کنید. به عناصر ردیف سوم، عناصر مربوط به ردیف اول را ضرب کنید. و به همین ترتیب تا خط p-ام. ما یک ماتریس معادل به دست می آوریم، آن را با A (2) نشان می دهیم:

اگر تمام عناصر ماتریس حاصل که در ردیف های دوم تا p-ام قرار دارند برابر با صفر باشند، رتبه این ماتریس برابر با یک است و در نتیجه، رتبه ماتریس اصلی برابر است. برابر با یک

اگر حداقل یک عنصر غیر صفر در ردیف های دوم تا pth وجود داشته باشد، ما به انجام تبدیل ها ادامه می دهیم. علاوه بر این، ما کاملاً به همین ترتیب عمل می کنیم، اما فقط با بخشی از ماتریس A که در شکل (2) مشخص شده است.

اگر، سطرها و (یا) ستون‌های ماتریس A (2) را مجدداً مرتب می‌کنیم تا عنصر «جدید» غیر صفر شود.

عدد r را رتبه ماتریس A می گویند اگر:
1) ماتریس A حاوی یک مینور از مرتبه r متفاوت از صفر است.
2) تمام مینورهای مرتبه (r + 1) و بالاتر، در صورت وجود، برابر با صفر هستند.
در غیر این صورت، رتبه ماتریس بالاترین مرتبه جزئی غیر صفر است.
نامگذاری: rangA، r A، یا r.
از تعریف بر می آید که r یک عدد صحیح مثبت است. برای یک ماتریس تهی، رتبه صفر در نظر گرفته می شود.

هدف خدمات... ماشین حساب آنلاین برای پیدا کردن طراحی شده است رتبه ماتریس... در این حالت راه حل با فرمت ورد و اکسل ذخیره می شود. نمونه راه حل را ببینید

دستورالعمل. بعد ماتریس را انتخاب کنید، روی Next کلیک کنید.

تعریف . اجازه دهید ماتریسی از رتبه r داده شود. هر مینور ماتریس غیر از صفر و دارای مرتبه r پایه و سطرها و ستون های اجزای آن را سطرها و ستون های پایه می نامند.
با توجه به این تعریف، ماتریس A می تواند چندین مینور اصلی داشته باشد.

رتبه ماتریس هویت E n (تعداد ردیف ها) است.

مثال 1. دو ماتریس داده شده است، و خردسالان آنها , ... کدام یک را می توان به عنوان پایه در نظر گرفت؟
راه حل... مینور M 1 = 0، بنابراین نمی تواند برای هیچ یک از ماتریس ها پایه باشد. مینور M 2 = -9 ≠ 0 و دارای مرتبه 2 است، بنابراین می توان آن را به عنوان ماتریس های پایه A یا / و B در نظر گرفت، مشروط بر اینکه دارای رتبه هایی برابر با 2 باشند. از آنجایی که detB = 0 (به عنوان یک تعیین کننده با دو ستون متناسب)، پس rangB = 2 و M 2 را می توان به عنوان مینور پایه ماتریس B در نظر گرفت. رتبه ماتریس A 3 است، زیرا detA = -27 ≠ 0 و بنابراین، ترتیب مینور پایه این ماتریس باید برابر با 3 باشد، یعنی M 2 برای ماتریس A پایه نیست. توجه داشته باشید که ماتریس A یک مینور اصلی دارد که برابر با تعیین کننده ماتریس A است.

قضیه (روی مینور پایه). هر سطر (ستون) ماتریس ترکیبی خطی از ردیف های پایه (ستون) آن است.
نتایج حاصل از قضیه.

هر ستون (r + 1) (ردیف) از یک ماتریس با رتبه r به صورت خطی وابسته هستند.
اگر رتبه یک ماتریس کمتر از تعداد ردیف‌های آن (ستون‌ها) باشد، ردیف‌ها (ستون‌های) آن به صورت خطی وابسته هستند. اگر RangA برابر با تعداد سطرها (ستون) آن باشد، سطرها (ستون ها) به صورت خطی مستقل هستند.
تعیین کننده ماتریس A برابر با صفر است اگر و تنها در صورتی که سطرها (ستون های) آن به صورت خطی وابسته باشند.
اگر به یک سطر (ستون) از ماتریس یک ردیف (ستون) دیگر ضرب در هر عددی غیر از صفر اضافه کنیم، رتبه ماتریس تغییر نخواهد کرد.
اگر یک ردیف (ستون) در ماتریس خط خورده باشد که ترکیبی خطی از سایر ردیف ها (ستون ها) است، رتبه ماتریس تغییر نخواهد کرد.
رتبه یک ماتریس برابر است با حداکثر تعداد سطرهای مستقل خطی آن (ستون).
حداکثر تعداد ردیف های مستقل خطی با حداکثر تعداد ستون های مستقل خطی برابر است.

مثال 2. رتبه یک ماتریس را پیدا کنید .
راه حل. بر اساس تعریف رتبه یک ماتریس، ما به دنبال یک مینور از بالاترین مرتبه، به غیر از صفر خواهیم بود. ابتدا ماتریس را به یک فرم ساده تر تبدیل می کنیم. برای این کار، ردیف اول ماتریس را در (-2) ضرب کرده و به ردیف دوم اضافه کنید، سپس آن را در (-1) ضرب کرده و به ردیف سوم اضافه کنید.