رتبه یک مثال ماتریسی را تعیین کنید. رتبه یک ماتریس را بیابید: روش ها و مثال ها

این مقاله در مورد مفهومی مانند رتبه یک ماتریس و مفاهیم اضافی لازم بحث خواهد کرد. ما مثال‌ها و شواهدی برای یافتن رتبه یک ماتریس ارائه می‌کنیم و همچنین به شما می‌گوییم که ماتریس مینور چیست و چرا اینقدر مهم است.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ماتریس مینور

برای درک اینکه رتبه یک ماتریس چیست، لازم است مفهومی به عنوان ماتریس مینور را درک کنیم.

تعریف 1

جزئیکماتریس مرتبه ام - تعیین کننده یک ماتریس مربع از مرتبه k × k که از عناصر ماتریس A تشکیل شده است که در ردیف ها و ستون های k از پیش انتخاب شده قرار دارد و در عین حال موقعیت عناصر ماتریس A را حفظ می کند.

به بیان ساده، اگر (pk) سطرها و (nk) ستون‌ها را در ماتریس A حذف کنیم و از آن عناصر باقیمانده، ماتریسی بسازیم، ترتیب عناصر ماتریس A را حفظ کنیم، آنگاه تعیین‌کننده ماتریس به دست آمده است. جزئی از مرتبه k ماتریس A.

از مثال برمی‌آید که مینورهای مرتبه اول ماتریس A خود عناصر ماتریس هستند.

ما می‌توانیم چندین نمونه از خرده‌های مرتبه دوم ارائه دهیم. بیایید دو سطر و دو ستون را انتخاب کنیم. به عنوان مثال، ردیف 1 و 2، ستون 3 و 4.

با این انتخاب عناصر، جزئی مرتبه دوم - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2 خواهد بود.

مینور مرتبه دوم دیگر ماتریس A 0 0 1 1 = 0 است

اجازه دهید تصاویری از ساخت مینورهای مرتبه دوم ماتریس A ارائه دهیم:

مینور مرتبه سوم با حذف ستون سوم ماتریس A به دست می آید:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

تصویری از نحوه به دست آوردن مینور مرتبه سوم ماتریس A:

برای یک ماتریس معین، هیچ فرعی بالاتر از مرتبه 3 وجود ندارد، زیرا

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3، 4) = 3

برای یک ماتریس A از مرتبه p×n چند مینور مرتبه k-ام وجود دارد؟

تعداد خردسالان با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

C p k × C n k , g e C p k = p ! k (p - k) ! و C nk = n ! k (n - k) ! - تعداد ترکیبات از p تا k، از n تا k، به ترتیب.

پس از اینکه ما تصمیم گرفتیم که مینورهای ماتریس A چیست، می توانیم به تعیین رتبه ماتریس A اقدام کنیم.

رتبه ماتریسی: روش های یافتن

رتبه ماتریسی - بالاترین ترتیب ماتریس، به غیر از صفر.

تعیین 1

رتبه (A) Rg(A)، Rang(A).

از تعریف رتبه یک ماتریس و مینور یک ماتریس مشخص می شود که رتبه یک ماتریس صفر برابر با صفر است و رتبه یک ماتریس غیر صفر با صفر متفاوت است.

پیدا کردن رتبه یک ماتریس بر اساس تعریف

روش شمارش جزئی - روشی مبتنی بر تعیین رتبه یک ماتریس.

الگوریتم اقدامات با شمارش خردسالان :

لازم است رتبه ماتریس A را پیدا کنید پ× n. اگر حداقل یک عنصر غیر صفر وجود داشته باشد، رتبه ماتریس حداقل برابر با یک است ( زیرا یک مینور مرتبه اول است که برابر با صفر نیست).

سپس شمارش خردسالان مرتبه 2 دنبال می شود. اگر همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، رتبه برابر با یک است. اگر حداقل یک مینور غیر صفر از مرتبه 2 وجود داشته باشد، باید به سراغ شمارش مینورهای مرتبه 3 رفت و رتبه ماتریس در این حالت حداقل برابر با 2 خواهد بود.

بیایید همین کار را با رتبه مرتبه 3 انجام دهیم: اگر همه مینورهای ماتریس برابر با صفر باشند، آنگاه رتبه برابر با دو خواهد بود. اگر حداقل یک مینور مرتبه سوم غیر صفر وجود داشته باشد، رتبه ماتریس حداقل سه است. و به همین ترتیب، به قیاس.

مثال 2

رتبه یک ماتریس را پیدا کنید:

A \u003d - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 3 11 1 - 7

از آنجایی که ماتریس غیر صفر است، رتبه آن حداقل برابر با یک است.

مرتبه دوم جزئی - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 غیر صفر است. این بدان معناست که رتبه ماتریس A حداقل دو است.

ما خردسالان مرتبه 3 را مرتب می کنیم: C 3 3 × C 5 3 \u003d 1 5! 3 (5 - 3) = 10 عدد

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

مینورهای مرتبه سوم صفر هستند، بنابراین رتبه ماتریس دو است.

پاسخ : رتبه (A) = 2.

یافتن رتبه یک ماتریس به روش فرینگ مینورها

روش فرینگ مینور - روشی که به شما امکان می دهد با کار محاسباتی کمتر به نتیجه برسید.

حاشیه های جزئی - مینور M ok (k + 1) -مین مرتبه ماتریس A، که با M جزئی مرتبه k ماتریس A هم مرز است، اگر ماتریسی که با M ok فرعی مطابقت دارد حاوی ماتریسی باشد که با مینور مطابقت دارد. م.

به بیان ساده، ماتریس مربوط به مینور حاشیه‌دار M از ماتریس مربوط به مینور حاشیه‌دار M o k با حذف عناصر یک سطر و یک ستون به دست می‌آید.

مثال 3

رتبه یک ماتریس را پیدا کنید:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

برای یافتن رتبه، مرتبه دوم مینور M = 2 - 1 4 1 را می گیریم

ما همه خردسالان مرزی را یادداشت می کنیم:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

برای اثبات روش مرزبندی جزئی‌ها، قضیه‌ای را ارائه می‌کنیم که فرمول‌بندی آن به پایه اثبات نیاز ندارد.

قضیه 1

اگر همه مینورهای مرتبه k-ام ماتریس A از مرتبه p با n برابر با صفر باشند، آنگاه همه مینورهای مرتبه (k + 1) ماتریس A برابر با صفر هستند.

الگوریتم اقدام :

برای یافتن رتبه یک ماتریس، لازم نیست همه موارد جزئی را مرور کنید، فقط به مرزها نگاه کنید.

اگر مینورهای مرزی برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس صفر است. اگر حداقل یک مینور وجود داشته باشد که برابر با صفر نباشد، ما مینورهای حاشیه را در نظر می گیریم.

اگر همه آنها صفر باشند، رتبه (A) دو است. اگر حداقل یک مینور حاشیه غیر صفر وجود داشته باشد، ما به بررسی مینورهای حاشیه آن می پردازیم. و به همین ترتیب به همین ترتیب.

مثال 4

رتبه یک ماتریس را با روش فرینگ مینورها پیدا کنید

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

چگونه تصمیم بگیریم؟

از آنجایی که عنصر a 11 ماتریس A برابر با صفر نیست، مینور مرتبه 1 را می گیریم. بیایید شروع به جستجوی مینور حاشیه ای به غیر از صفر کنیم:

2 1 4 2 = 2 x 2 - 1 x 4 = 0 2 0 4 1 = 2 x 1 - 0 x 4 = 2

ما یک مینور حاشیه ای از مرتبه دوم پیدا کرده ایم که برابر با صفر 2 0 4 1 نیست.

بیایید مینورهای حاشیه را برشماریم - ((4 - 2) × (5 - 2) = 6 قطعه وجود دارد).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

پاسخ : رتبه (A) = 2.

یافتن رتبه یک ماتریس به روش گاوس (با استفاده از تبدیل های ابتدایی)

به یاد بیاورید که تحولات ابتدایی چیست.

تحولات ابتدایی:

• با تنظیم مجدد ردیف ها (ستون ها) ماتریس؛
• با ضرب تمام عناصر هر ردیف (ستون) ماتریس در یک عدد غیر صفر دلخواه k.

با افزودن به عناصر هر ردیف (ستون) عناصری که مربوط به سطر (ستون) دیگر ماتریس است که در عدد دلخواه k ضرب می شوند.

تعریف 5

پیدا کردن رتبه یک ماتریس با استفاده از روش گاوس - روشی مبتنی بر نظریه هم ارزی ماتریس: اگر ماتریس B از ماتریس A با استفاده از تعداد متناهی تبدیل های ابتدایی به دست آید، آنگاه Rank(A) = Rank(B) است.

اعتبار این عبارت از تعریف ماتریس به دست می آید:

• در مورد جایگشت سطرها یا ستون های یک ماتریس، تعیین کننده آن علامت تغییر می کند. اگر برابر با صفر باشد، هنگام جابجایی سطرها یا ستون ها برابر با صفر باقی می ماند.
• در صورت ضرب همه عناصر هر ردیف (ستون) ماتریس در یک عدد دلخواه k که برابر با صفر نیست، تعیین کننده ماتریس حاصل برابر با تعیین کننده ماتریس اصلی است که ضرب می شود. توسط k;

در صورت اضافه کردن عناصر یک سطر یا ستون معین از ماتریس، عناصر مربوط به سطر یا ستون دیگر که در عدد k ضرب می شوند، تعیین کننده آن را تغییر نمی دهد.

جوهر روش تحولات ابتدایی : با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریسی را که رتبه آن پیدا می شود، به یک ذوزنقه کاهش دهید.

برای چی؟

یافتن رتبه ماتریس هایی از این دست بسیار آسان است. برابر است با تعداد ردیف هایی که حداقل یک عنصر غیر تهی دارند. و از آنجایی که رتبه در طول تبدیل های اولیه تغییر نمی کند، این رتبه ماتریس خواهد بود.

بیایید این روند را نشان دهیم:

• برای ماتریس های مستطیلی A به ترتیب p در n که تعداد سطرهای آن از تعداد ستون ها بیشتر است:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn 0 - 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0، R ank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 یک

• برای ماتریس های مستطیلی A به ترتیب p در n که تعداد سطرهای آن از تعداد ستون ها کمتر است:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 pb 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 pb 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 1 ⋯ bpn، R ank (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• برای ماتریس های مربع A به ترتیب n در n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn 0 - 1 , R ank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0، R ank (A) = k , k< n

مثال 5

رتبه ماتریس A را با استفاده از تبدیل های ابتدایی پیدا کنید:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

چگونه تصمیم بگیریم؟

از آنجایی که عنصر a 11 غیر صفر است، لازم است عناصر ردیف اول ماتریس A را در 1 a 11 \u003d 1 2 ضرب کنیم:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

به عناصر ردیف 2 عناصر مربوط به ردیف 1 را اضافه می کنیم که در (-3) ضرب می شوند. به عناصر ردیف 3 عناصر ردیف 1 را اضافه می کنیم که در (-1) ضرب می شوند:

~ A (1) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) \u003d \u003d 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) ) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

عنصر a 22 (2) غیر صفر است، بنابراین عناصر ردیف دوم ماتریس A را در A (2) در a 1 a 22 (2) = - 2 3 ضرب می کنیم:

A (3) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• به عناصر ردیف 3 ماتریس حاصل، عناصر مربوط به ردیف 2 را اضافه می کنیم که در 3 2 ضرب می شوند.
• به عناصر ردیف 4 - عناصر ردیف 2 که در 9 2 ضرب می شوند.
• به عناصر ردیف 5 - عناصر ردیف 2 که در 3 2 ضرب می شوند.

همه عناصر ردیف صفر هستند. بنابراین، با کمک تبدیل های ابتدایی، ماتریس را به شکل ذوزنقه ای کاهش داده ایم، که از آن می توان دریافت که R a n k (A (4)) = 2 . نتیجه این است که رتبه ماتریس اصلی نیز برابر با دو است.

اظهار نظر

اگر تبدیلات اولیه را انجام دهید، مقادیر تقریبی مجاز نیستند!

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

رتبه ماتریسیبزرگترین سفارش از مینورهای غیر صفر آن است. رتبه یک ماتریس با یا نشان داده می شود.

اگر همه مینورهای مرتبه یک ماتریس معین صفر باشند، آنگاه همه فرعی های مرتبه بالاتر این ماتریس نیز صفر هستند. این از تعریف تعیین کننده به دست می آید. این به معنای الگوریتمی برای یافتن رتبه یک ماتریس است.

اگر همه مینورهای مرتبه اول (عناصر ماتریس) برابر با صفر باشند، آنگاه . اگر حداقل یکی از مینورهای مرتبه اول با صفر متفاوت باشد و همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، آنگاه . علاوه بر این، کافی است فقط آن دسته از موارد فرعی مرتبه دوم را بررسی کنیم که با مینور غیر صفر مرتبه اول همسایه هستند. اگر مینور مرتبه دومی غیر از صفر وجود داشته باشد، یکی مینورهای مرتبه سوم را که مینور مرتبه دوم غیر صفر را احاطه کرده اند، بررسی می کند. این کار تا رسیدن به یکی از این دو مورد ادامه می‌یابد: یا تمام مینورهای مرتبه‌ای که با مینور غیرصفری مرتبه -محور هستند برابر با صفر هستند یا چنین مینورهایی وجود ندارند. سپس .

مثال 10 رتبه ماتریس را محاسبه کنید.

مینور مرتبه اول (عنصر ) با صفر متفاوت است. جزئی که آن را احاطه کرده نیز غیر صفر است.

همه این مینورها برابر با صفر هستند، بنابراین .

الگوریتم بالا برای یافتن رتبه یک ماتریس همیشه راحت نیست، زیرا شامل محاسبه تعداد زیادی از عوامل تعیین کننده است. هنگام محاسبه رتبه یک ماتریس، استفاده از تبدیل های ابتدایی راحت تر است، که با کمک آنها ماتریس به شکل ساده ای کاهش می یابد که مشخص است رتبه آن چیست.

تبدیلات ماتریس ابتداییتبدیل های زیر نامیده می شود:

Ø ضرب هر ردیف (ستون) ماتریس در یک عدد غیر صفر.

Ø اضافه کردن به یک ردیف (ستون) یک ردیف دیگر (ستون)، ضرب در یک عدد دلخواه.

نصف جردنتبدیل ردیف ماتریس:

با یک عنصر حل، مجموعه تبدیل های زیر با ردیف های ماتریسی نامیده می شود:

Ø اضافه کردن u ضرب در یک عدد به سطر اول و غیره.

Ø u ضربدر عدد را به سطر آخر اضافه کنید.

تبدیل نیمه اردن ستون های ماتریسبا یک عنصر حل، مجموعه ای از تبدیل های زیر با ستون های ماتریسی نامیده می شود:

Ø به ستون اول th، ضرب در یک عدد و غیره را اضافه کنید.

Ø به آخرین ستون th را در عدد ضرب کنید.

پس از انجام این تبدیل ها، ماتریس حاصل به صورت زیر است:

تبدیل نیمه اردن سطرها یا ستون های یک ماتریس مربع، تعیین کننده آن را تغییر نمی دهد.

تبدیل های اولیه یک ماتریس رتبه آن را تغییر نمی دهد. بیایید مثالی را نشان دهیم که چگونه رتبه یک ماتریس را با استفاده از تبدیل های ابتدایی محاسبه کنیم. سطرها (ستون ها) به صورت خطی وابسته هستند.

اجازه دهید مقداری ماتریس داده شود:

.

در این ماتریس انتخاب کنید خطوط دلخواه و ستون های دلخواه
. سپس تعیین کننده مرتبه ام، از عناصر ماتریسی تشکیل شده است
واقع در تقاطع سطرها و ستون های انتخاب شده، مینور نامیده می شود ماتریس مرتبه -ام
.

تعریف 1.13.رتبه ماتریسی
بزرگترین مرتبه مینور غیر صفر این ماتریس است.

برای محاسبه رتبه یک ماتریس، باید تمام مینورهای آن را با کوچکترین مرتبه در نظر گرفت و اگر حداقل یکی از آنها غیر صفر بود، به در نظر گرفتن مینورهای بالاترین مرتبه اقدام کرد. این رویکرد برای تعیین رتبه یک ماتریس، روش مرزی (یا روش فرعی مرزی) نامیده می شود.

وظیفه 1.4.با روش مرزبندی مینورها، رتبه یک ماتریس را تعیین کنید
.

.

برای مثال مرزبندی مرتبه اول را در نظر بگیرید،
. سپس به بررسی برخی حاشیه های مرتبه دوم می پردازیم.

برای مثال،
.

در نهایت، اجازه دهید مرزبندی مرتبه سوم را تحلیل کنیم.

.

بنابراین بالاترین ترتیب یک مینور غیر صفر 2 است، بنابراین
.

هنگام حل مسئله 1.4، می توان متوجه شد که سری های فرعی مرزی مرتبه دوم غیر صفر هستند. در این رابطه، تصور زیر صورت می گیرد.

تعریف 1.14.مینور پایه یک ماتریس هر مینور غیر صفر است که ترتیب آن برابر با رتبه ماتریس باشد.

قضیه 1.2.(قضیه جزئی پایه). ردیف های اصلی (ستون های اصلی) به صورت خطی مستقل هستند.

توجه داشته باشید که ردیف‌ها (ستون‌های) یک ماتریس به صورت خطی وابسته هستند اگر و تنها در صورتی که حداقل یکی از آنها را بتوان به صورت ترکیبی خطی از بقیه نشان داد.

قضیه 1.3.تعداد ردیف های ماتریس مستقل خطی برابر با تعداد ستون های ماتریس مستقل خطی و برابر با رتبه ماتریس است.

قضیه 1.4.(شرط لازم و کافی برای اینکه تعیین کننده برابر با صفر باشد). به منظور تعیین کننده - مرتبه برابر با صفر است، لازم و کافی است که سطرها (ستون های) آن به صورت خطی وابسته باشند.

محاسبه رتبه یک ماتریس بر اساس تعریف آن بسیار دشوار است. این امر به ویژه برای ماتریس های مرتبه بالا مهم می شود. در این راستا، در عمل، رتبه یک ماتریس بر اساس استفاده از قضایای 10.2 - 10.4 و همچنین استفاده از مفاهیم هم ارزی ماتریس و تبدیل های ابتدایی محاسبه می شود.

تعریف 1.15.دو ماتریس
و معادل نامیده می شوند اگر رتبه های آنها مساوی باشد، یعنی.
.

اگر ماتریس ها
و معادل هستند، سپس توجه داشته باشید
 .

قضیه 1.5.رتبه یک ماتریس از تبدیل های ابتدایی تغییر نمی کند.

ما تبدیلات ابتدایی ماتریس را می نامیم
هر یک از اقدامات زیر در ماتریس:

جایگزینی ردیف ها با ستون ها و ستون ها با ردیف های مربوطه.

جایگشت ردیف های ماتریس.

عبور از خطی که همه عناصر آن برابر با صفر هستند.

ضرب هر رشته در یک عدد غیر صفر.

افزودن عناصر یک ردیف به عناصر یک ردیف دیگر ضرب در همان عدد
.

نتیجه قضیه 1.5.اگر ماتریس
به دست آمده از ماتریس با استفاده از تعداد محدودی از تبدیل های ابتدایی، سپس ماتریس ها
و معادل هستند.

هنگام محاسبه رتبه یک ماتریس، باید با استفاده از تعداد محدودی از تبدیل های ابتدایی به شکل ذوزنقه ای کاهش یابد.

تعریف 1.16.ما ذوزنقه را چنین شکلی از نمایش ماتریس می نامیم، زمانی که در مینور مرزی بزرگترین مرتبه غیر صفر، همه عناصر زیر عناصر مورب ناپدید شوند. برای مثال:

.

اینجا
، عناصر ماتریس
به صفر تبدیل شود سپس شکل نمایش چنین ماتریسی ذوزنقه ای خواهد بود.

به عنوان یک قاعده، ماتریس ها با استفاده از الگوریتم گاوسی به شکل ذوزنقه ای کاهش می یابند. ایده الگوریتم گاوسی این است که با ضرب عناصر ردیف اول ماتریس در فاکتورهای مربوطه، به این نتیجه می رسند که تمام عناصر ستون اول در زیر عنصر قرار دارند.
، به صفر تبدیل می شود. سپس با ضرب عناصر ستون دوم در ضریب های مربوطه، به این نتیجه می رسیم که تمام عناصر ستون دوم در زیر عنصر قرار دارند.
، به صفر تبدیل می شود. ادامه به طور مشابه ادامه دهید.

وظیفه 1.5.رتبه یک ماتریس را با کاهش آن به شکل ذوزنقه ای تعیین کنید.

.

برای راحتی اعمال الگوریتم گاوسی، می توانید ردیف اول و سوم را با هم عوض کنید.








.

بدیهی است اینجا
. با این حال، برای به ارمغان آوردن نتیجه به شکل ظریف تر، تغییرات بیشتر بر روی ستون ها را می توان ادامه داد.










.

عدد r را رتبه ماتریس A می گویند اگر:
1) ماتریس A حاوی یک مینور غیر صفر از مرتبه r است.
2) تمام مینورهای مرتبه (r + 1) و بالاتر، در صورت وجود، برابر با صفر هستند.
در غیر این صورت، رتبه یک ماتریس بالاترین مرتبه مینور غیر صفر است.
نام‌گذاری‌ها: rangA، r A یا r.
از تعریف بر می آید که r یک عدد صحیح مثبت است. برای یک ماتریس تهی، رتبه صفر در نظر گرفته می شود.

واگذاری خدمات. ماشین حساب آنلاین برای پیدا کردن طراحی شده است رتبه ماتریسی. راه حل در قالب Word و Excel ذخیره شده است. مثال راه حل را ببینید

دستورالعمل. بعد ماتریس را انتخاب کنید، روی Next کلیک کنید.

تعریف . اجازه دهید ماتریسی از رتبه r داده شود. هر ماتریس مینور غیر از صفر و دارای مرتبه r را پایه و سطرها و ستون های اجزای آن را سطرها و ستون های پایه می نامند.
با توجه به این تعریف، ماتریس A می‌تواند چندین مینور پایه داشته باشد.

رتبه ماتریس هویت E n (تعداد ردیف) است.

مثال 1. با توجه به دو ماتریس، و خردسالان آنها , . کدام یک از آنها را می توان مبنای قرار داد؟
راه حل. مینور M 1 = 0، بنابراین نمی تواند مبنایی برای هیچ یک از ماتریس ها باشد. Minor M 2 =-9≠0 و دارای مرتبه 2 است، بنابراین می توان آن را به عنوان ماتریس های پایه A یا / و B در نظر گرفت، مشروط بر اینکه دارای رتبه هایی برابر با 2 باشند. از آنجایی که detB=0 (به عنوان یک تعیین کننده با دو ستون متناسب)، پس rangB=2 و M 2 را می توان به عنوان مینور پایه ماتریس B در نظر گرفت. رتبه ماتریس A 3 است، با توجه به این واقعیت که detA=-27≠ 0 و بنابراین، ترتیب مینور پایه این ماتریس باید 3 باشد، یعنی M 2 مبنایی برای ماتریس A نیست. توجه داشته باشید که ماتریس A دارای یک پایه مینور منحصر به فرد برابر با تعیین کننده ماتریس A است.

قضیه (در مینور پایه). هر سطر (ستون) ماتریس ترکیبی خطی از سطرهای اصلی آن (ستون) است.
پیامدهای قضیه.

1. هر ستون (r+1) (ردیف) از یک ماتریس با رتبه r به صورت خطی وابسته هستند.
2. اگر رتبه یک ماتریس کمتر از تعداد ردیف‌های آن (ستون‌ها) باشد، ردیف‌ها (ستون‌های) آن به صورت خطی وابسته هستند. اگر RangA برابر با تعداد سطرها (ستون) آن باشد، سطرها (ستون ها) به صورت خطی مستقل هستند.
3. تعیین کننده یک ماتریس A برابر با صفر است اگر و فقط در صورتی که سطرها (ستون های) آن به صورت خطی وابسته باشند.
4. اگر سطر دیگری (ستون) ضرب در هر عددی غیر از صفر به سطر (ستون) ماتریس اضافه شود، رتبه ماتریس تغییر نخواهد کرد.
5. اگر یک ردیف (ستون) را در ماتریس خط بکشید که ترکیبی خطی از سایر ردیف ها (ستون ها) است، رتبه ماتریس تغییر نمی کند.
6. رتبه یک ماتریس برابر است با حداکثر تعداد سطرهای مستقل خطی آن (ستون).
7. حداکثر تعداد ردیف های مستقل خطی با حداکثر تعداد ستون های مستقل خطی برابر است.

مثال 2. رتبه یک ماتریس را پیدا کنید .
راه حل. بر اساس تعریف رتبه یک ماتریس، ما به دنبال یک مینور از بالاترین مرتبه متفاوت با صفر خواهیم بود. ابتدا ماتریس را به یک فرم ساده تر تبدیل می کنیم. برای این کار، ردیف اول ماتریس را در (-2) ضرب کرده و به ردیف دوم اضافه کنید، سپس آن را در (-1) ضرب کرده و به ردیف سوم اضافه کنید.