انواع انتگرال و روش حل آنها. حل انتگرال به صورت آنلاین

یافتن انتگرال نامعین یک مشکل بسیار رایج در ریاضیات عالی و سایر شاخه های فنی علوم است. حتی حل ساده ترین مسائل فیزیکی اغلب بدون محاسبه چندین انتگرال ساده کامل نمی شود. بنابراین، از سنین مدرسه، تکنیک ها و روش های حل انتگرال به ما آموزش داده می شود، جداول متعددی با انتگرال هایی از ساده ترین توابع آورده شده است. با این حال، با گذشت زمان، همه اینها با خیال راحت فراموش می شوند، یا زمان کافی برای محاسبات نداریم یا باید برای انتگرال نامعین راه حل پیدا کنیداز یک تابع بسیار پیچیده برای حل این مشکلات، خدمات ما برای شما ضروری خواهد بود، که به شما امکان می دهد انتگرال نامشخص را به صورت آنلاین پیدا کنید.

انتگرال نامعین را حل کنید

سرویس آنلاین روشن است سایتبه شما امکان می دهد پیدا کنید راه حل جامع آنلاینسریع، رایگان و با کیفیت بالا. می توانید جستجو در جداول انتگرال مورد نیاز را با سرویس ما جایگزین کنید که با وارد کردن سریع توابع مورد نظر، جواب انتگرال نامشخص را به صورت جدولی دریافت کنید. همه سایت های ریاضی قادر به محاسبه سریع و کارآمد انتگرال های نامحدود توابع آنلاین نیستند، به خصوص اگر نیاز به پیدا کردن داشته باشید. انتگرال نامعیناز تابع پیچیده یا توابعی از این قبیل که در درس عمومی ریاضیات عالی گنجانده نشده است. سایت سایتکمک خواهد کرد انتگرال را به صورت آنلاین حل کنید و با وظیفه کنار بیایند. با استفاده از راه حل آنلاین انتگرال در سایت همیشه پاسخ دقیق را خواهید گرفت.

حتی اگر بخواهید به تنهایی انتگرال را محاسبه کنید، به لطف خدمات ما، بررسی پاسخ، یافتن اشتباه یا اشتباه تایپی یا اطمینان از انجام بی عیب و نقص کار برای شما آسان خواهد بود. اگر مشکلی را حل می کنید و باید انتگرال نامعین را به عنوان یک عمل کمکی محاسبه کنید، پس چرا وقت خود را برای این اقدامات که ممکن است هزاران بار انجام داده اید تلف کنید؟ علاوه بر این، محاسبات اضافی انتگرال می تواند علت یک اشتباه تایپی یا یک خطای کوچک باشد که متعاقباً منجر به پاسخ نادرست می شود. فقط از خدمات ما استفاده کنید و پیدا کنید انتگرال نامعین آنلاینبدون هیچ تلاشی برای کارهای عملی پیدا کردن انتگرالکارکرد برخطاین سرور بسیار مفید است. شما باید یک تابع داده شده را وارد کنید، دریافت کنید راه حل انتگرال نامحدود آنلاینو جواب را با راه حل خود مقایسه کنید.

کلمه "انتگرال" از لاتین integralis - انتگرال گرفته شده است. این نام در قرن هفدهم پیشنهاد شد. شاگرد لایب نیتس بزرگ (و همچنین یک ریاضیدان برجسته) I. Bernoulli. انتگرال به معنای امروزی چیست؟ در زیر سعی خواهیم کرد به این سوال پاسخ جامعی بدهیم.

پیش نیازهای تاریخی برای پیدایش مفهوم انتگرال

در آغاز قرن هفدهم. دانشمندان برجسته تعداد زیادی از مشکلات فیزیکی (عمدتاً مکانیکی) را در نظر گرفتند که در آنها لازم بود وابستگی برخی از مقادیر به مقدار دیگر بررسی شود. بارزترین و فوری ترین مشکلات، تعیین سرعت لحظه ای حرکت غیریکنواخت بدن در هر لحظه از زمان و مشکل معکوس یافتن بزرگی مسیر طی شده توسط بدن در یک بازه زمانی معین در طول زمان بود. جنبش. امروز ما قبلاً می دانیم که انتگرال سرعت حرکت چیست - این مسیر طی شده است. اما درک نحوه محاسبه آن، دانستن سرعت در هر لحظه از زمان، بلافاصله ظاهر نشد.

در ابتدا، از در نظر گرفتن چنین وابستگی های مقادیر فیزیکی، به عنوان مثال، مسیر روی سرعت، مفهوم ریاضی تابع y = f(x) شکل گرفت. مطالعه خواص توابع مختلف منجر به تولد تحلیل ریاضی شد. دانشمندان فعالانه به دنبال راه هایی برای مطالعه خواص توابع مختلف بوده اند.

محاسبه انتگرال و مشتق چگونه به وجود آمد؟

پس از اینکه دکارت پایه های هندسه تحلیلی و فرصتی برای به تصویر کشیدن وابستگی های تابعی به صورت گرافیکی در محورهای سیستم مختصات دکارتی ایجاد کرد، محققان با دو وظیفه جدید روبرو شدند: چگونگی رسم مماس بر یک خط منحنی در هر نقطه از آن و چگونگی پیدا کردن. مساحت یک شکل که از بالا توسط این منحنی و خطوط مستقیم، موازی با محورهای مختصات محدود شده است. به طور غیر منتظره، معلوم شد که اولین آنها معادل یافتن سرعت لحظه ای است، و دومی - با یافتن مسافت طی شده. از این گذشته ، با حرکت ناهموار ، در محورهای مختصات دکارتی "فاصله" و "زمان" توسط یک خط منحنی به تصویر کشیده شد.

نابغه لایب نیتس و نیوتن در اواسط قرن هفدهم. روش هایی برای حل هر دوی این مشکلات ایجاد شده است. معلوم شد که برای رسم مماس بر یک منحنی در یک نقطه، باید مقدار به اصطلاح مشتق تابعی که این منحنی را در نقطه مورد نظر توصیف می کند، پیدا کرد و این مقدار معلوم می شود. برابر با نرخ تغییر تابع، یعنی نسبت به وابستگی "مسیر به سرعت" مناسب سرعت لحظه ای بدن است.

برای یافتن ناحیه محدود شده توسط یک خط منحنی، لازم بود یک انتگرال معین محاسبه شود که مقدار دقیق آن را نشان می دهد. مشتق و انتگرال مفاهیم اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال هستند که اساس تحلیل ریاضی مدرن - مهمترین بخش ریاضیات عالی است.

ناحیه زیر منحنی

بنابراین، چگونه می توان مقدار دقیق را تعیین کرد؟ بیایید سعی کنیم از همان ابتدا روند محاسبه آن را از طریق انتگرال با جزئیات نشان دهیم.

فرض کنید f یک تابع پیوسته روی بازه باشد. منحنی y \u003d f (x) را که در شکل زیر نشان داده شده است در نظر بگیرید. چگونه مساحت ناحیه محدود شده توسط منحنی)، محور x و خطوط x = a و x = b را پیدا کنیم؟ یعنی مساحت شکل سایه دار در شکل.

ساده ترین حالت زمانی است که f یک تابع ثابت است. یعنی منحنی یک خط افقی f(X) = k است که k ثابت و k ≥ 0 است، همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است.

در این حالت، ناحیه زیر منحنی فقط یک مستطیل با ارتفاع k و عرض (b - a) است، بنابراین منطقه به صورت: k · (b - a) تعریف می شود.

مساحت برخی از شکل های ساده دیگر مانند مثلث، ذوزنقه و نیم دایره با فرمول هایی از صفحه سنجی به دست می آید.

مساحت زیر هر منحنی پیوسته y = f(x) توسط یک انتگرال معین داده می شود که به همان شکل یک انتگرال معمولی نوشته می شود.

جمع ریمان

قبل از پرداختن به پاسخ دقیق به این سوال که انتگرال چیست، اجازه دهید چند ایده اساسی را برجسته کنیم.

ابتدا، ناحیه زیر منحنی به تعداد معینی n نوار عمودی با عرض کافی Δx تقسیم می شود. سپس، هر نوار عمودی با یک مستطیل عمودی با ارتفاع f(x)، عرض Δx و مساحت f(x)dx جایگزین می‌شود. مرحله بعدی این است که مجموع مساحت تمام این مستطیل ها را تشکیل دهیم که مجموع ریمان نامیده می شود (تصاویر زیر را ببینید).

با رسم مستطیل های عرض Δx خود، می توانیم ارتفاع آنها را برابر با مقدار تابع در لبه سمت چپ هر نوار بگیریم، یعنی سمت چپ ترین نقاط اضلاع کوتاه بالای آنها با عرض Δx روی منحنی قرار می گیرند. در عین حال، در بخشی که تابع رشد می کند و منحنی آن محدب است، تمام مستطیل ها زیر این منحنی هستند، یعنی مجموع آنها آشکارا کمتر از مقدار دقیق مساحت زیر منحنی در این بخش خواهد بود (شکل را ببینید. زیر). این روش تقریب را چپ دست می نامند.

در اصل، می توان مستطیل های تقریبی را به گونه ای ترسیم کرد که سمت راست ترین نقاط اضلاع کوتاه بالای آنها با عرض Δx روی منحنی قرار گیرد. سپس آنها بالاتر از منحنی خواهند بود و تقریب مساحت در این ناحیه از مقدار دقیق آن بیشتر خواهد بود، همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است. به این روش راست دست می گویند.

اما می‌توانیم ارتفاع هر یک از مستطیل‌های تقریبی را نیز بگیریم، که به سادگی برابر با مقداری از تابع در یک نقطه دلخواه x*i در داخل نوار مربوطه Δx i است (شکل زیر را ببینید). در عین حال، حتی ممکن است عرض همه نوارها را یکسان نگیریم.

بیایید یک جمع ریمان بسازیم:

عبور از جمع ریمان به انتگرال معین

در ریاضیات عالی، قضیه‌ای ثابت می‌شود که می‌گوید اگر با افزایش نامحدود در تعداد n مستطیل‌های تقریبی، بزرگترین عرض آن‌ها به صفر گرایش پیدا کند، مجموع ریمان A n به حد معینی A تمایل دارد. عدد A یکسان است. برای هر روشی برای تشکیل مستطیل های تقریبی و برای هر انتخابی از نقاط x* i .

توضیح تصویری قضیه در شکل زیر ارائه شده است.

از آن می توان دریافت که هرچه مستطیل ها باریک تر باشند، مساحت شکل پله ای به ناحیه زیر منحنی نزدیک تر است. وقتی تعداد مستطیل ها n∞ باشد، عرض آنها Δx i → 0 است و حد A از مجموع A n عددی برابر با مساحت مورد نظر است. این حد انتگرال معین تابع f (x) است:

نماد انتگرال که یک حرف اس ایتالیک اصلاح شده است توسط لایب نیتس معرفی شد. J. B. Fourier پیشنهاد کرد که نماد انتگرال را در بالا و پایین حدود آن قرار دهید. در این مورد، مقادیر اولیه و نهایی x به وضوح نشان داده شده است.

تفسیر هندسی و مکانیکی انتگرال معین

بیایید سعی کنیم به این سوال که انتگرال چیست پاسخ مفصل بدهیم؟ اجازه دهید انتگرال قسمتی از تابع f(x) را در داخل آن مثبت در نظر بگیریم و حد بالایی را بزرگتر از حد پایینی a است.

اگر مختصات تابع f(x) در داخل منفی باشد، قدر مطلق انتگرال برابر است با مساحت بین محور x و نمودار y=f(x)، در حالی که خود انتگرال منفی است.

در مورد یک تقاطع منفرد یا مکرر توسط نمودار y \u003d f (x) محور آبسیسا روی قطعه، همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است، برای محاسبه انتگرال، باید تفاوت کاهش یافته را تعیین کنید. برابر با مساحت کل بخش هایی باشد که در بالای محور آبسیسا واقع شده اند و زیر انداز - مساحت کل زمین زیر آن.

بنابراین، برای تابع نشان داده شده در شکل بالا، انتگرال معین از a به b برابر است با (S1 + S3) - (S2+S4).

تفسیر مکانیکی انتگرال معین ارتباط نزدیکی با انتگرال هندسی دارد. بیایید به بخش "جمع ریمان" برگردیم و تصور کنیم که نمودار نشان داده شده در شکل ها تابع سرعت v=f(t) را برای حرکت غیریکنواخت یک نقطه مادی بیان می کند (محور آبسیسا، محور زمان است). سپس مساحت هر مستطیل تقریبی عرض Δt، که ما هنگام تشکیل مجموع ریمان ساختیم، تقریباً مسیر نقطه در زمان Δt، یعنی v(t*)Δt را بیان می کند.

مجموع مجموع مساحت مستطیل ها روی قطعه از t 1 \u003d a تا t 2 \u003d b تقریباً مسیر s را در زمان t 2 - t 1 و حد آن ، یعنی انتگرال (تعریف شده) از a را بیان می کند. به b تابع v \u003d f (t ) روی dt مقدار دقیق مسیر s را نشان می دهد.

دیفرانسیل یک انتگرال معین

اگر به نام آن برگردیم، کاملاً ممکن است فرض کنیم که a = const، و b مقدار خاصی از یک متغیر مستقل x است. سپس انتگرال معین با حد بالایی x̃ از یک عدد خاص به تابعی از x تبدیل می شود. چنین انتگرالی برابر با مساحت شکل زیر منحنی است که با نقاط aABb در شکل زیر نشان داده شده است.

با یک خط ثابت aA و Bb متحرک، این ناحیه تابعی از f(x̃) می‌شود و افزایش‌های Δx̃ همچنان در امتداد محور x رسم می‌شوند و افزایش‌های تابع f(x̃) افزایش‌های ناحیه زیر منحنی

فرض کنید به متغیر x̃ = b مقدار کمی افزایش Δx̃ داده ایم. سپس افزایش مساحت شکل aABb حاصل مجموع مساحت مستطیل (در شکل سایه دار) Bb∙Δx̃ و مساحت شکل BDC زیر منحنی است. مساحت مستطیل برابر است با Bb∙Δx̃ = f(x̃)Δx̃، یعنی تابعی خطی از افزایش متغیر مستقل است. مساحت شکل BDC آشکارا کمتر از مساحت مستطیل BDCK = Δx̃∙Δy است و به عنوان Δx̃ → 0 حتی سریعتر کاهش می یابد. بنابراین، f(x̃)Δx̃ = f(x̃)dx̃ دیفرانسیل ناحیه متغیر aABb است، یعنی دیفرانسیل یک انتگرال معین.

از این می توان نتیجه گرفت که محاسبه انتگرال ها شامل یافتن توابع با عبارات داده شده برای دیفرانسیل آنها است. حساب انتگرال فقط سیستمی از راه ها برای جستجوی چنین توابعی با دیفرانسیل های شناخته شده آنهاست.

رابطه اساسی حساب انتگرال

رابطه بین تمایز و ادغام را به هم متصل می کند و نشان می دهد که یک عملیات معکوس برای تمایز یک تابع وجود دارد - ادغام آن. همچنین نشان می دهد که اگر هر تابع f(x) پیوسته باشد، با اعمال این عملیات ریاضی بر روی آن، می توانید مجموعه کامل (مجموعه، مجموعه) از توابع را پیدا کنید که برای آن ضد مشتق هستند (یا در غیر این صورت، یک انتگرال نامعین از آن را پیدا کنید. ).

اجازه دهید تابع F(x) نماد نتیجه ادغام تابع f(x) باشد. مطابقت بین این دو تابع در نتیجه ادغام دومین تابع به صورت زیر مشخص می شود:

همانطور که مشاهده می شود، هیچ محدودیتی برای ادغام نماد انتگرال وجود ندارد. یعنی از انتگرال معین به انتگرال نامعین تبدیل شده است. کلمه "نامحدود" به این معنی است که نتیجه عملیات ادغام در این مورد یک نیست، بلکه تعداد زیادی تابع است. به هر حال، به غیر از خود تابع F(x)، هر تابع F(x)+С، که در آن С = const، آخرین عبارات را نیز برآورده می کند. این نشان می‌دهد که عبارت ثابت در مجموعه ضدمشتق‌ها می‌تواند خودسرانه تنظیم شود.

باید تاکید کرد که اگر انتگرال تعریف شده یک تابع یک عدد باشد، نامشخص یک تابع، به طور دقیق تر، مجموعه ای از آنهاست. اصطلاح "ادغام" برای تعریف عملیات جستجوی هر دو نوع انتگرال استفاده می شود.

قانون اساسی ادغام

این دقیقا برعکس قانون مربوطه برای تمایز است. انتگرال های نامعین چگونه گرفته می شوند؟ ما نمونه هایی از این روش را در توابع خاص در نظر خواهیم گرفت.

بیایید به یک تابع قدرت کلی نگاه کنیم:

بعد از اینکه این کار را با هر عبارت در بیان تابع انتگرال پذیر انجام دادیم (اگر بیش از یک عدد باشد)، در پایان یک ثابت اضافه می کنیم. به یاد بیاورید که گرفتن مشتق یک ثابت آن را از بین می برد، بنابراین با گرفتن انتگرال هر تابعی، این ثابت را بازسازی می کنیم. ما آن را C تعیین می کنیم، زیرا ثابت ناشناخته است - می تواند هر عددی باشد! بنابراین، ما می توانیم بی نهایت عبارات زیادی برای انتگرال نامعین داشته باشیم.

بیایید به انتگرال های نامعین ساده نگاه کنیم که نمونه هایی از آنها در زیر نشان داده شده است.

بیایید انتگرال تابع را پیدا کنیم:

f(x) = 4x 2 + 2x - 3.

بیایید با ترم اول شروع کنیم. ما به توان 2 نگاه می کنیم و آن را 1 می کنیم، سپس جمله اول را بر توان 3 حاصل تقسیم می کنیم. به دست می آید: 4(x3) / 3.

سپس به عضو بعدی نگاه می کنیم و همین کار را انجام می دهیم. از آنجایی که توان آن 1 است، توان حاصل 2 خواهد بود. بنابراین ما این جمله را بر 2 تقسیم می کنیم: 2 (x 2) / 2 = x 2 .

آخرین عبارت دارای ضریب x است، اما ما آن را نمی بینیم. می توانیم ترم آخر را به عنوان (-3x 0) در نظر بگیریم. این معادل (-3)∙(1) است. اگر از قانون ادغام استفاده کنیم، 1 را به توان اضافه می کنیم تا آن را به توان اول برسانیم، و سپس جمله آخر را بر 1 تقسیم می کنیم. 3 برابر می شود.

این قانون ادغام برای همه مقادیر n به جز n = - 1 کار می کند (زیرا نمی توانیم بر 0 تقسیم کنیم).

ما ساده ترین مثال را برای یافتن انتگرال در نظر گرفته ایم. به طور کلی، حل انتگرال ها کار ساده ای نیست و تجربه ای که قبلاً در ریاضیات انباشته شده است کمک خوبی در آن است.

جداول انتگرال ها

در بخش بالا، دیدیم که هر فرمول تمایز یک فرمول یکپارچه سازی مربوطه را به دست می دهد. بنابراین، تمام انواع احتمالی آنها مدتهاست به دست آمده و در جداول مناسب خلاصه شده است. جدول انتگرال های زیر حاوی فرمول هایی برای ادغام توابع جبری پایه است. این فرمول ها را باید از روی قلب شناخت، به تدریج به خاطر بسپارید، زیرا با تمرینات تثبیت می شوند.

جدول دیگری از انتگرال ها شامل توابع مثلثاتی اساسی است:

نحوه محاسبه انتگرال معین

به نظر می رسد که انجام این کار بسیار آسان است، قادر به ادغام، یعنی یافتن انتگرال های نامحدود. و فرمول بنیانگذاران حساب انتگرو دیفرانسیل نیوتن و لایب نیتس در این امر کمک می کند.

بر اساس آن، محاسبه انتگرال مورد نظر در مرحله اول عبارت است از یافتن انتگرال نامعین، سپس محاسبه مقدار ضد مشتق یافت شده F(x) در هنگام جایگزینی x، که ابتدا برابر با حد بالایی است، سپس با حد پایینی برابر است. و در نهایت در تعیین تفاوت این مقادیر. در این حالت، ثابت C را می توان حذف کرد. زیرا هنگامی که تفریق انجام می شود ناپدید می شود.

برخی از انتگرال ها را با یک راه حل دقیق در نظر بگیرید.

مساحت طرح زیر یک سینوسی نیم موج را پیدا کنید.

ناحیه سایه دار زیر هذلولی را محاسبه کنید.

اکنون انتگرال ها را با یک راه حل دقیق در نظر بگیرید , با استفاده از ویژگی افزودنی در مثال اول، و جایگزینی یک متغیر ادغام میانی در مثال دوم. بیایید انتگرال معین تابع کسری - گویا را محاسبه کنیم:

y=(1+t)/t 3 از t=1 تا t=2.

اکنون نشان می‌دهیم که چگونه می‌توانیم گرفتن انتگرال را با معرفی یک متغیر میانی ساده کنیم. اجازه دهید محاسبه انتگرال (x+1) 2 ضروری باشد.

در مورد انتگرال های نامناسب

ما در مورد یک انتگرال معین برای بازه محدود تابع f(x) پیوسته روی آن صحبت کردیم. اما تعدادی از مشکلات خاص منجر به نیاز به گسترش مفهوم انتگرال به مواردی می شود که حدود (یک یا هر دو) برابر با بی نهایت هستند یا زمانی که تابع ناپیوسته است. به عنوان مثال، هنگام محاسبه مناطق زیر منحنی مجانبی نزدیک به محورهای مختصات. برای تعمیم مفهوم انتگرال به این حالت، علاوه بر عبور از حد در هنگام محاسبه مجموع ریمان مستطیل های تقریبی، یک مورد دیگر نیز انجام می شود. با چنین عبور مضاعفی به حد، یک انتگرال نامناسب به دست می آید. در مقابل، تمام انتگرال هایی که در بالا ذکر شد، مناسب نامیده می شوند.

انتگرال معین از یک تابع پیوسته f(ایکس) در بازه محدود [ آ, ب] (جایی که ) افزایش برخی از ضد مشتقات آن در این بخش است. (به طور کلی، اگر موضوع انتگرال نامعین را تکرار کنید، درک به طور قابل توجهی آسان تر خواهد شد) در این مورد، نماد

همانطور که در نمودارهای زیر مشاهده می شود (افزایش تابع ضد مشتق با نشان داده شده است)، انتگرال معین می تواند مثبت یا منفی باشد.(به عنوان تفاوت بین مقدار ضد مشتق در حد بالا و مقدار آن در حد پایین محاسبه می شود، یعنی به عنوان مثال اف(ب) - اف(آ)).

شماره آو ببه ترتیب حد پایین و بالای ادغام و فاصله [ آ, ب] بخش ادغام است.

بنابراین، اگر اف(ایکس) یک تابع ضد مشتق برای است f(ایکس) سپس طبق تعریف

(38)

برابری (38) نامیده می شود فرمول نیوتن لایب نیتس . تفاوت اف(ب) – اف(آ) به طور خلاصه به این صورت نوشته شده است:

بنابراین فرمول نیوتن لایب نیتس به صورت زیر نوشته می شود:

(39)

اجازه دهید ثابت کنیم که انتگرال معین به این بستگی ندارد که کدام پاد مشتق از انتگرال هنگام محاسبه آن گرفته شود. اجازه دهید اف(ایکس) و F( ایکس) پاد مشتق دلخواه انتگرال هستند. از آنجایی که اینها ضد مشتقات یک تابع هستند، با یک جمله ثابت تفاوت دارند: Ф( ایکس) = اف(ایکس) + سی. بنابراین

بنابراین، مشخص شد که در بخش [ آ, ب] افزایش همه ضد مشتقات تابع f(ایکس) مطابقت دادن

بنابراین، برای محاسبه انتگرال معین، لازم است هر پاد مشتق انتگرال پیدا شود، یعنی. ابتدا باید انتگرال نامعین را پیدا کنید. مقدار ثابت با از محاسبات بعدی مستثنی شده است. سپس فرمول نیوتن-لایبنیتس اعمال می شود: مقدار حد بالایی به تابع ضد مشتق جایگزین می شود. ب , بیشتر - مقدار حد پایین آ و تفاوت را محاسبه کنید F(b) - F(a) . عدد حاصل یک انتگرال معین خواهد بود..

در آ = بطبق تعریف پذیرفته شده است

مثال 1

راه حل. بیایید ابتدا انتگرال نامعین را پیدا کنیم:

به کار بردن فرمول نیوتن-لایبنیتس بر ضد مشتق

(در با= 0)، دریافت می کنیم

اما هنگام محاسبه یک انتگرال معین، بهتر است که ضد مشتق را جداگانه پیدا نکنید، بلکه بلافاصله انتگرال را به شکل (39) بنویسید.

مثال 2یک انتگرال معین را محاسبه کنید

راه حل. با استفاده از فرمول

ویژگی های انتگرال معین

قضیه 2.مقدار انتگرال معین به تعیین متغیر انتگرال گیری بستگی ندارد، یعنی

(40)

اجازه دهید اف(ایکس) ضد مشتق است برای f(ایکس). برای f(تی) ضد مشتق همان تابع است اف(تی) که در آن متغیر مستقل به طور متفاوتی نشان داده می شود. از این رو،

بر اساس فرمول (39) تساوی آخر به معنای برابری انتگرال ها است

قضیه 3.عامل ثابت را می توان از علامت یک انتگرال معین خارج کرد، یعنی

(41)

قضیه 4.انتگرال معین مجموع جبری تعداد محدودی از توابع برابر است با مجموع جبری انتگرال های معین این توابع.، یعنی

(42)

قضیه 5.اگر پاره انتگرال به قطعات تقسیم شود، انتگرال معین در کل بخش برابر است با مجموع انتگرال های معین روی قطعات آن.، یعنی اگر

(43)

قضیه 6.هنگام تنظیم مجدد حدود انتگرال، قدر مطلق انتگرال معین تغییر نمی کند، بلکه فقط علامت آن تغییر می کند.، یعنی

(44)

قضیه 7(قضیه مقدار میانگین). انتگرال معین برابر است با حاصل ضرب طول بخش انتگرال گیری و مقدار انتگرال در نقطه ای از داخل آن.، یعنی

(45)

قضیه 8.اگر حد انتگرال بالایی بیشتر از حد پایین باشد و انتگرال غیر منفی (مثبت) باشد، انتگرال معین نیز غیر منفی (مثبت) است، یعنی. اگر

قضیه 9.اگر حد بالایی یکپارچگی بیشتر از حد پایین و توابع و پیوسته باشند، نابرابری

را می توان ترم به ترم ادغام کرد، یعنی

(46)

ویژگی های انتگرال معین به ما امکان می دهد محاسبه مستقیم انتگرال ها را ساده کنیم.

مثال 5یک انتگرال معین را محاسبه کنید

با استفاده از قضایای 4 و 3 و هنگام یافتن پاد مشتق - انتگرال های جدولی (7) و (6) به دست می آوریم.

انتگرال معین با حد بالایی متغیر

اجازه دهید f(ایکس) در بازه [ آ, ب] تابع و اف(ایکس) نمونه اولیه آن است. انتگرال معین را در نظر بگیرید

(47)

و از طریق تیمتغیر ادغام به گونه ای مشخص می شود که آن را با کران بالایی اشتباه نگیرید. وقتی تغییر می کند ایکسانتگرال معین (47) نیز تغییر می کند، یعنی، تابعی از حد بالایی یکپارچگی است ایکس، که با آن نشان می دهیم اف(ایکس) یعنی

(48)

اجازه دهید ثابت کنیم که تابع اف(ایکس) ضد مشتق است برای f(ایکس) = f(تی). در واقع، متمایز کردن اف(ایکس)، ما گرفتیم

زیرا اف(ایکس) ضد مشتق است برای f(ایکس)، آ اف(آ) یک مقدار ثابت است.

عملکرد اف(ایکس) یکی از مجموعه نامتناهی ضد مشتقات برای است f(ایکس)، یعنی آن که ایکس = آبه صفر می رسد این عبارت در صورتی به دست می آید که در برابری (48) قرار دهیم ایکس = آو از قضیه 1 قسمت قبل استفاده کنید.

محاسبه انتگرال های معین به روش انتگرال گیری توسط قطعات و روش تغییر متغیر

جایی که طبق تعریف اف(ایکس) ضد مشتق است برای f(ایکس). اگر در انتگرال تغییر متغیر را انجام دهیم

سپس مطابق فرمول (16) می توانیم بنویسیم

در این بیان

تابع ضد مشتق برای

در واقع، مشتق آن، با توجه به قانون تمایز یک تابع پیچیده، برابر است با

بگذارید α و β مقادیر متغیر باشند تی، که برای آن تابع

به ترتیب مقادیر را می گیرد آو ب، یعنی

اما طبق فرمول نیوتن-لایبنیتس، تفاوت اف(ب) – اف(آ) وجود دارد

ماشین حساب انتگرال ها را با شرح اقدامات به تفصیل به زبان روسی و به صورت رایگان حل می کند!

حل انتگرال نامعین

این یک سرویس آنلاین است یک قدم:

حل انتگرال های معین

این یک سرویس آنلاین است یک قدم:

• عبارت انتگرال (تابع انتگرال) را وارد کنید
• یک حد پایین تر برای انتگرال وارد کنید
• یک حد بالایی برای انتگرال وارد کنید

حل انتگرال دوگانه

• عبارت انتگرال (تابع انتگرال) را وارد کنید

حل انتگرال های نامناسب

• عبارت انتگرال (تابع انتگرال) را وارد کنید
• ناحیه بالای ادغام (یا + بی نهایت) را وارد کنید
• ناحیه پایین ادغام (یا - بی نهایت) را وارد کنید

حل انتگرال های سه گانه

• عبارت انتگرال (تابع انتگرال) را وارد کنید
• حد پایین و بالایی را برای اولین ناحیه ادغام وارد کنید
• حد پایین و بالایی را برای ناحیه دوم ادغام وارد کنید
• حد پایین و بالایی را برای ناحیه سوم ادغام وارد کنید

این سرویس به شما امکان می دهد تا خود را بررسی کنید محاسباتبرای صحت

فرصت ها

• پشتیبانی از تمام توابع ریاضی ممکن: سینوس، کسینوس، توان، مماس، کوتانژانت، ریشه های مربع و مکعب، درجه، نمایی و غیره.
• مثال هایی برای ورودی وجود دارد، هم برای انتگرال های نامعین و هم برای انتگرال های نامناسب و معین.
• خطاهای عباراتی را که وارد می کنید تصحیح می کند و گزینه های خود را برای ورودی ارائه می دهد.
• حل عددی برای انتگرال های معین و نامناسب (شامل انتگرال های دوتایی و سه گانه).
• پشتیبانی از اعداد مختلط و همچنین پارامترهای مختلف (شما می توانید در انتگرال نه تنها متغیر ادغام، بلکه سایر متغیرهای پارامتر را نیز مشخص کنید)

حساب انتگرال.

تابع اولیه

تعریف: تابع F(x) فراخوانی می شود تابع ضد مشتقتوابع f(x) در قطعه، اگر در هر نقطه از این پاره برابری درست باشد:

لازم به ذکر است که می تواند بی نهایت ضد مشتق برای یک تابع وجود داشته باشد. آنها با یک عدد ثابت با یکدیگر متفاوت خواهند بود.

F 1 (x) = F 2 (x) + C.

انتگرال نامعین.

تعریف: انتگرال نامعینتوابع f(x) مجموعه ای از توابع ضد مشتق هستند که با رابطه زیر تعریف می شوند:

بنویس:

شرط وجود انتگرال نامعین بر روی یک قطعه معین، تداوم تابع در این قطعه است.

خواص:

1.

2.

3.

4.

مثال:

یافتن مقدار انتگرال نامعین عمدتاً با یافتن تابع ضد مشتق مرتبط است. برای برخی از عملکردها، این یک کار بسیار دشوار است. در زیر روش هایی را برای یافتن انتگرال های نامعین برای کلاس های اصلی توابع - گویا، غیر منطقی، مثلثاتی، نمایی و غیره در نظر خواهیم گرفت.

برای راحتی، مقادیر انتگرال های نامعین اکثر توابع ابتدایی در جداول ویژه انتگرال ها جمع آوری می شوند که گاهی اوقات بسیار حجیم هستند. آنها شامل انواع مختلفی از رایج ترین ترکیبات توابع هستند. اما بیشتر فرمول های ارائه شده در این جداول نتیجه یکدیگر هستند، بنابراین در زیر جدولی از انتگرال های پایه آورده شده است که با استفاده از آن می توانید مقادیر انتگرال نامحدود توابع مختلف را بدست آورید.

روش های یکپارچه سازی

بیایید سه روش اساسی ادغام را در نظر بگیریم.

ادغام مستقیم

روش ادغام مستقیم مبتنی بر فرض مقدار ممکن تابع ضد مشتق با تأیید بیشتر این مقدار با تمایز است. به طور کلی، ما متذکر می شویم که تمایز ابزار قدرتمندی برای بررسی نتایج یکپارچه سازی است.

کاربرد این روش را در یک مثال در نظر بگیرید:

برای یافتن مقدار انتگرال لازم است . بر اساس فرمول تمایز شناخته شده
می توان نتیجه گرفت که انتگرال مورد نظر برابر است با
، جایی که C مقداری ثابت است. با این حال، از سوی دیگر
. بنابراین در نهایت می توان نتیجه گرفت:

توجه داشته باشید که برخلاف تمایز که از تکنیک ها و روش های واضح برای یافتن مشتق، قوانین یافتن مشتق و در نهایت تعریف مشتق استفاده می شود، چنین روش هایی برای ادغام در دسترس نیستند. اگر هنگام یافتن مشتق، اصطلاحاً از روش‌های سازنده استفاده می‌کردیم که بر اساس قواعد خاصی به نتیجه می‌رسید، در هنگام یافتن مشتق، عمدتاً باید به دانش جداول مشتقات و ضد مشتقات تکیه کنیم.

در مورد روش ادغام مستقیم، فقط برای برخی از کلاس های بسیار محدودی از توابع قابل استفاده است. توابع بسیار کمی وجود دارد که بتوانید فوراً ضد مشتق برای آنها پیدا کنید. بنابراین در بیشتر موارد از روش هایی که در زیر توضیح داده شده استفاده می شود.

روش جایگزینی (جایگزینی متغیرها).

قضیه: اگر می خواهید انتگرال را پیدا کنید
، اما یافتن پاد مشتق دشوار است، سپس با جایگزینی x = (t) و dx = (t)dt به دست می آوریم:

اثبات : بیایید برابری پیشنهادی را متمایز کنیم:

با توجه به خاصیت شماره 2 انتگرال نامعین فوق:

f(ایکس) dx = f[  (تی)]  (تی) dt

که با در نظر گرفتن نماد معرفی شده، فرض اولیه است. قضیه ثابت شده است.

مثال.انتگرال نامعین را پیدا کنید
.

بیا جایگزینی بسازیم تی = سینکس, dt = cosxdt.

مثال.

جایگزینی
ما گرفتیم:

در زیر نمونه های دیگری از استفاده از روش جایگزینی برای انواع مختلف توابع را در نظر خواهیم گرفت.

یکپارچه سازی توسط قطعات

این روش بر اساس فرمول شناخته شده برای مشتق یک محصول است:

(uv) = uv + vu

که در آن u و v برخی از توابع x هستند.

به شکل دیفرانسیل: d(uv) = udv + vdu

پس از ادغام، دریافت می کنیم:
و مطابق با خصوصیات فوق انتگرال نامعین:

یا
;

ما یک فرمول ادغام به جزء به دست آورده ایم که به ما امکان می دهد انتگرال های بسیاری از توابع ابتدایی را پیدا کنیم.

مثال.

همانطور که می بینید، استفاده مداوم از فرمول ادغام به بخش به شما این امکان را می دهد که به تدریج عملکرد را ساده کنید و انتگرال را به یک جدول تبدیل کنید.

مثال.

مشاهده می شود که در نتیجه اعمال مکرر ادغام توسط قطعات، تابع را نمی توان به شکل جدولی ساده کرد. با این حال، آخرین انتگرال به دست آمده تفاوتی با انتگرال اصلی ندارد. بنابراین آن را به سمت چپ برابری منتقل می کنیم.

بنابراین، انتگرال اصلاً بدون استفاده از جداول انتگرال پیدا شد.

قبل از بررسی دقیق روش‌های ادغام کلاس‌های مختلف توابع، چند مثال دیگر از یافتن انتگرال‌های نامعین با کاهش آن‌ها به جدولی ارائه می‌کنیم.

مثال.

مثال.

مثال.

مثال.

مثال.

مثال.

مثال.

مثال.

مثال.

مثال.

ادغام کسرهای ابتدایی

تعریف: ابتداییکسری از چهار نوع زیر نامیده می شود:

من.
III.

II.
IV.

m، n اعداد طبیعی هستند (m  2، n  2) و b 2 - 4ac<0.

دو نوع اول انتگرال کسرهای ابتدایی به سادگی به جانشینی های جدولی t = ax + b تقلیل می یابند.

روشی را برای ادغام کسرهای ابتدایی شکل III در نظر بگیرید.

انتگرال کسری از نوع III را می توان به صورت زیر نشان داد:

در اینجا، به طور کلی، کاهش انتگرال کسری از شکل III به دو انتگرال جدولی نشان داده شده است.

کاربرد فرمول فوق را با مثال در نظر بگیرید.

مثال.

به طور کلی، اگر محور سه جمله ای 2 + bx + c عبارت b 2 - 4ac > 0 را داشته باشد، آن کسری بنا به تعریف ابتدایی نیست، با این حال، با این وجود می توان آن را به روش بالا ادغام کرد.

مثال.

مثال.

اکنون روش هایی را برای ادغام ساده ترین کسرهای نوع IV در نظر می گیریم.

ابتدا یک مورد خاص برای M = 0، N = 1 در نظر بگیرید.

سپس انتگرال فرم
را می توان با برجسته کردن مربع کامل در مخرج به عنوان نشان داد
. بیایید تبدیل زیر را انجام دهیم:

انتگرال دوم موجود در این برابری توسط قطعات گرفته می شود.

مشخص کن:

برای انتگرال اصلی دریافت می کنیم:

فرمول حاصل نامیده می شود عود کنندهاگر آن را n-1 بار اعمال کنید، یک انتگرال جدول دریافت می کنید
.

اجازه دهید اکنون به انتگرال یک کسری ابتدایی از شکل IV در حالت کلی بازگردیم.

در برابری حاصل، اولین انتگرال با استفاده از جایگزینی تی = تو 2 + سبه جدولی کاهش می یابد و فرمول بازگشتی در نظر گرفته شده در بالا برای انتگرال دوم اعمال می شود.

علیرغم پیچیدگی ظاهری ادغام یک کسر ابتدایی از نوع IV، در عمل استفاده از کسری با درجه کوچک بسیار آسان است. nو جهانی بودن و عمومیت این رویکرد، پیاده سازی این روش را بسیار ساده بر روی کامپیوتر ممکن می سازد.

مثال:

ادغام توابع منطقی

ادغام کسرهای گویا.

برای ادغام یک کسر گویا، لازم است آن را به کسرهای ابتدایی تجزیه کنیم.

قضیه: اگر
کسر گویا مناسبی است که مخرج آن P(x) به صورت حاصل ضرب ضرایب خطی و درجه دوم نمایش داده می شود (توجه داشته باشید که هر چند جمله ای با ضرایب واقعی را می توان به صورت زیر نشان داد: پ(ایکس) = (ایکس - آ)  …(ایکس - ب)  (ایکس 2 + px + q)  …(ایکس 2 + rx + س)  ، سپس این کسر را می توان طبق طرح زیر به کسری های ابتدایی تجزیه کرد:

که در آن A i، B i، M i، N i، Ri، S i برخی از مقادیر ثابت هستند.

هنگام ادغام کسرهای گویا، فرد به تجزیه کسر اصلی به کسرهای ابتدایی متوسل می شود. برای یافتن مقادیر A i , B i , M i , N i , R i , S از به اصطلاح استفاده می کنم روش ضرایب نامشخصکه ماهیت آن این است که برای اینکه دو چند جمله ای به طور یکسان برابر باشند، لازم و کافی است که ضرایب در توان های یکسان x برابر باشند.

ما کاربرد این روش را در یک مثال خاص در نظر خواهیم گرفت.

مثال.

با تقلیل به مخرج مشترک و معادل سازی اعداد مربوطه، به دست می آوریم:

مثال.

زیرا اگر کسر صحیح نیست، ابتدا باید قسمت صحیح را از آن انتخاب کنید:

6x 5 - 8x 4 - 25x 3 + 20x 2 - 76x - 7 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6

6x 5 - 8x 4 - 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x3 + 8x2 - 76x - 7

9x 3 - 12x 2 - 51x +18

20x2-25x-25

مخرج کسر حاصل را به فاکتورها تجزیه می کنیم. مشاهده می شود که در x = 3 مخرج کسر صفر می شود. سپس:

3x 3 - 4x 2 - 17x + 6x - 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x - 2

بنابراین 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 = (x - 3) (3x 2 + 5x - 2) = (x - 3) (x + 2) (3x - 1). سپس:

به منظور جلوگیری از یافتن ضرایب نامشخص در باز کردن پرانتز، گروه بندی و حل یک سیستم معادلات (که در برخی موارد ممکن است بسیار بزرگ باشد)، به اصطلاح روش ارزش دلخواه. ماهیت روش این است که چندین (با توجه به تعداد ضرایب نامشخص) مقدار دلخواه x در عبارت به دست آمده در بالا جایگزین می شود. برای ساده کردن محاسبات، مرسوم است که نقاطی را به عنوان مقادیر دلخواه در نظر بگیریم که مخرج کسری برابر با صفر است، یعنی. در مورد ما - 3، -2، 1/3. ما گرفتیم:

در نهایت می رسیم:

=

مثال.

بیایید ضرایب نامشخص را پیدا کنیم:

سپس مقدار انتگرال داده شده:

ادغام برخی از مثلثات

کارکرد.

توابع مثلثاتی می توانند بی نهایت انتگرال وجود داشته باشند. اکثر این انتگرال ها به هیچ وجه نمی توانند به صورت تحلیلی محاسبه شوند، بنابراین بیایید برخی از انواع اصلی توابع را که همیشه می توانند ادغام شوند، در نظر بگیریم.

انتگرال فرم
.

در اینجا R تعیین برخی از تابع های منطقی متغیرهای sinx و cosx است.

انتگرال های این نوع با استفاده از جایگزینی محاسبه می شوند
. این جایگزینی به شما امکان می دهد یک تابع مثلثاتی را به یک تابع منطقی تبدیل کنید.

,

سپس

به این ترتیب:

تبدیل توضیح داده شده در بالا نامیده می شود جایگزینی مثلثاتی جهانی

مثال.

مزیت بدون شک این جایگزینی این است که با کمک آن همیشه می توان یک تابع مثلثاتی را به یک منطقی تبدیل کرد و انتگرال مربوطه را محاسبه کرد. معایب شامل این واقعیت است که تبدیل می تواند منجر به یک عملکرد منطقی نسبتاً پیچیده شود که ادغام آن زمان و تلاش زیادی را می طلبد.

با این حال، اگر اعمال تغییر منطقی‌تر متغیر غیرممکن باشد، این روش تنها روش مؤثر است.

مثال.

انتگرال فرم
اگر

عملکردآرcosx.

علیرغم امکان محاسبه چنین انتگرالی با استفاده از جایگزینی مثلثاتی جهانی، اعمال جایگزینی منطقی تر است. تی = سینکس.

عملکرد
می تواند حاوی cosx فقط در توان های زوج باشد، و بنابراین، می تواند به یک تابع منطقی با توجه به sinx تبدیل شود.

مثال.

به طور کلی، برای اعمال این روش، تنها عجیب بودن تابع نسبت به کسینوس ضروری است و درجه سینوس موجود در تابع می تواند هر عدد صحیح و کسری باشد.

انتگرال فرم
اگر

عملکردآرنسبت بهسینکس.

با قیاس با مورد در نظر گرفته شده در بالا، جایگزینی تی = cosx.

مثال.

انتگرال فرم

عملکردآرحتی نسبتاسینکسوcosx.

برای تبدیل تابع R به یک تابع منطقی، از جایگزینی استفاده می شود

t = tgx.

مثال.

انتگرال حاصل ضرب سینوس ها و کسینوس ها

استدلال های مختلف

بسته به نوع کار، یکی از سه فرمول اعمال می شود:

مثال.

مثال.

گاهی اوقات، هنگام ادغام توابع مثلثاتی، استفاده از فرمول های مثلثاتی شناخته شده برای کاهش ترتیب توابع راحت است.

مثال.

مثال.

گاهی اوقات از برخی ترفندهای غیر استاندارد استفاده می شود.

مثال.

ادغام برخی از توابع غیرمنطقی

هر تابع غیرمنطقی نمی تواند یک انتگرال داشته باشد که با توابع ابتدایی بیان می شود. برای یافتن انتگرال یک تابع غیرمنطقی، باید جایگزینی را اعمال کرد که به فرد اجازه می دهد تابع را به یک تابع عقلانی تبدیل کند، همانطور که مشخص است انتگرال آن را همیشه می توان یافت.

چند تکنیک برای ادغام انواع مختلف توابع غیر منطقی در نظر بگیرید.

انتگرال فرم
جایی کهn- عدد طبیعی.

با کمک تعویض
تابع منطقی است.

مثال.

اگر تابع غیرمنطقی شامل ریشه هایی با درجات مختلف باشد، منطقی است که ریشه درجه را برابر با کمترین مضرب مشترک توان های ریشه های موجود در عبارت به عنوان یک متغیر جدید در نظر بگیریم.

اجازه دهید این موضوع را با یک مثال توضیح دهیم.

مثال.

ادغام دیفرانسیل های دو جمله ای