فرمول مشتق لگاریتمی مشتق تابع

مشتق لگاریتم طبیعی x برابر است با یک تقسیم بر x:
(1) (lnx)′ =.

مشتق لگاریتم به پایه a برابر است با تقسیم بر متغیر x ضرب در لگاریتم طبیعی a:
(2) (log x)′ =.

اثبات

بگذارید یک عدد مثبت وجود داشته باشد که مساوی یک نباشد. تابعی را در نظر بگیرید که به متغیر x که یک لگاریتم پایه است بستگی دارد:
.
این تابع با تعریف شده است. بیایید مشتق آن را با توجه به x پیدا کنیم. طبق تعریف، مشتق حد زیر است:
(3) .

بیایید این عبارت را تبدیل کنیم تا آن را به خواص و قوانین ریاضی شناخته شده تقلیل دهیم. برای این کار باید حقایق زیر را بدانیم:
آ)ویژگی های لگاریتم ما به فرمول های زیر نیاز داریم:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
ب)پیوستگی لگاریتم و ویژگی حدود برای یک تابع پیوسته:
(7) .
در اینجا تابعی وجود دارد که محدودیت دارد و این حد مثبت است.
V)معنی دومین حد شگفت انگیز:
(8) .

ما این حقایق را تا حد خود اعمال می کنیم. ابتدا عبارت جبری را تبدیل می کنیم
.
برای این کار، ویژگی های (4) و (5) را اعمال می کنیم.

.

ما از ویژگی (7) و محدودیت قابل توجه دوم (8) استفاده می کنیم:
.

و در نهایت، ویژگی (6) را اعمال کنید:
.
لگاریتم پایه هتماس گرفت لگاریتم طبیعی. به این صورت مشخص شده است:
.
سپس ؛
.

بنابراین، ما فرمول (2) را برای مشتق لگاریتم به دست آورده ایم.

مشتق لگاریتم طبیعی

یک بار دیگر، فرمول مشتق لگاریتم را در پایه a می نویسیم:
.
این فرمول ساده ترین شکل را برای لگاریتم طبیعی دارد که برای آن، . سپس
(1) .

به دلیل این سادگی، لگاریتم طبیعی به طور گسترده در حساب دیفرانسیل و انتگرال و سایر حوزه های ریاضیات مرتبط با حساب دیفرانسیل استفاده می شود. توابع لگاریتمی با پایه های دیگر را می توان بر حسب لگاریتم طبیعی با استفاده از ویژگی (6) بیان کرد:
.

اگر ثابت از علامت تمایز خارج شود، مشتق پایه لگاریتم را می توان از فرمول (1) یافت:
.

راه های دیگر برای اثبات مشتق لگاریتم

در اینجا فرض می کنیم که فرمول مشتق توان را می دانیم:
(9) .
سپس می‌توانیم فرمول مشتق لگاریتم طبیعی را استخراج کنیم، با توجه به اینکه لگاریتم معکوس توان است.

اجازه دهید فرمول مشتق لگاریتم طبیعی را ثابت کنیم، استفاده از فرمول برای مشتق تابع معکوس:
.
در مورد ما . معکوس لگاریتم طبیعی توان:
.
مشتق آن با فرمول (9) تعیین می شود. متغیرها را می توان با هر حرفی نشان داد. در فرمول (9)، متغیر x را با y جایگزین می کنیم:
.
از آن به بعد
.
سپس
.
فرمول ثابت شده است.

اکنون فرمول مشتق لگاریتم طبیعی را با استفاده از آن ثابت می کنیم قوانین تمایز یک تابع پیچیده. از آنجایی که توابع و معکوس یکدیگر هستند، پس
.
این معادله را با توجه به متغیر x متمایز کنید:
(10) .
مشتق x برابر با یک است:
.
ما قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال می کنیم:
.
اینجا . جایگزین به (10):
.
از اینجا
.

مثال

مشتقات را بیابید ln 2x، ln 3xو ln nx.

راه حل

توابع اصلی شکل مشابهی دارند. بنابراین، مشتق تابع را پیدا خواهیم کرد y = log nx. سپس n = 2 و n = 3 را جایگزین می کنیم. و بنابراین، فرمول هایی را برای مشتقات به دست می آوریم ln 2xو ln 3x .

بنابراین، ما به دنبال مشتق تابع هستیم
y = log nx .
بیایید این تابع را به عنوان یک تابع پیچیده متشکل از دو تابع نشان دهیم:
1) توابع وابسته متغیر : ;
2) توابع وابسته متغیر : .
سپس تابع اصلی از توابع و :
.

بیایید مشتق تابع را با توجه به متغیر x پیدا کنیم:
.
بیایید مشتق تابع را با توجه به متغیر پیدا کنیم:
.
ما فرمول مشتق یک تابع مختلط را اعمال می کنیم.
.
در اینجا ما جایگزین کرده ایم.

بنابراین یافتیم:
(11) .
می بینیم که مشتق به n بستگی ندارد. این نتیجه کاملا طبیعی است اگر تابع اصلی را با استفاده از فرمول لگاریتم محصول تبدیل کنیم:
.
- ثابت است. مشتق آن صفر است. سپس طبق قاعده افتراق جمع داریم:
.

پاسخ

; ; .

مشتق مدول لگاریتم x

بیایید مشتق یک تابع بسیار مهم دیگر - لگاریتم طبیعی ماژول x را پیدا کنیم:
(12) .

بیایید قضیه را در نظر بگیریم. سپس تابع به نظر می رسد:
.
مشتق آن با فرمول (1) تعیین می شود:
.

حالا قضیه را در نظر بگیرید. سپس تابع به نظر می رسد:
,
جایی که .
اما مشتق این تابع را نیز در مثال بالا پیدا کردیم. به n بستگی ندارد و برابر است
.
سپس
.

ما این دو حالت را در یک فرمول ترکیب می کنیم:
.

بر این اساس، برای لگاریتم به پایه a، داریم:
.

مشتقات مرتبه بالاتر لگاریتم طبیعی

تابع را در نظر بگیرید
.
مشتق مرتبه اول آن را پیدا کردیم:
(13) .

بیایید مشتق مرتبه دوم را پیدا کنیم:
.
بیایید مشتق مرتبه سوم را پیدا کنیم:
.
بیایید مشتق مرتبه چهارم را پیدا کنیم:
.

می توان دید که مشتق مرتبه n به شکل زیر است:
(14) .
اجازه دهید این را با استقراء ریاضی ثابت کنیم.

اثبات

اجازه دهید مقدار n = 1 را با فرمول (14) جایگزین کنیم:
.
از آنجا که، پس برای n = 1 ، فرمول (14) معتبر است.

فرض کنید فرمول (14) برای n = k برآورده شده است. اجازه دهید ثابت کنیم که از این نتیجه می شود که فرمول برای n = k معتبر است + 1 .

در واقع، برای n = k داریم:
.
نسبت به x افتراق دهید:

.
بنابراین ما دریافتیم:
.
این فرمول با فرمول (14) برای n = k + منطبق است 1 . بنابراین، از این فرض که فرمول (14) برای n = k معتبر است، نتیجه می شود که فرمول (14) برای n = k + معتبر است. 1 .

بنابراین، فرمول (14)، برای مشتق مرتبه n، برای هر n معتبر است.

مشتقات مرتبه بالاتر لگاریتم به پایه a

برای یافتن مشتق n ام لگاریتم پایه a، باید آن را بر حسب لگاریتم طبیعی بیان کنید:
.
با استفاده از فرمول (14)، مشتق n را پیدا می کنیم:
.

آیا فکر می کنید هنوز زمان زیادی تا امتحان باقی مانده است؟ یک ماهه؟ دو؟ سال؟ تمرین نشان می دهد که دانش آموز اگر از قبل شروع به آماده شدن برای امتحان کند، بهترین عملکرد را با امتحان دارد. بسیاری از وظایف دشوار در آزمون یکپارچه دولتی وجود دارد که مانع از کسب بالاترین نمرات برای دانش آموز و متقاضی آینده می شود. برای غلبه بر این موانع باید یاد گرفت، علاوه بر این، انجام این کار دشوار نیست. شما باید اصل کار با کارهای مختلف را از بلیط ها درک کنید. پس از آن هیچ مشکلی با موارد جدید وجود نخواهد داشت.

لگاریتم ها در نگاه اول بسیار پیچیده به نظر می رسند، اما با تجزیه و تحلیل دقیق تر، وضعیت بسیار ساده تر می شود. اگر می خواهید در امتحانی با بالاترین نمره قبول شوید، باید مفهوم مورد نظر را درک کنید که در این مقاله پیشنهاد می کنیم این کار را انجام دهید.

ابتدا اجازه دهید این تعاریف را از هم جدا کنیم. لگاریتم (log) چیست؟ این نشانگر قدرتی است که برای به دست آوردن عدد مشخص شده پایه باید به آن افزایش یابد. اگر روشن نیست، یک مثال ابتدایی را تحلیل می کنیم.

در این حالت، پایه زیر باید به توان دوم افزایش یابد تا عدد 4 به دست آید.

حال به مفهوم دوم می پردازیم. مشتق تابع به هر شکلی که باشد مفهومی نامیده می شود که تغییر در یک تابع را در یک نقطه مشخص مشخص می کند. با این حال، این یک برنامه درسی مدرسه است و اگر به طور جداگانه با این مفاهیم مشکل دارید، ارزش تکرار موضوع را دارد.

مشتق لگاریتم

در تکالیف USE در مورد این موضوع، چندین کار را می توان به عنوان مثال ذکر کرد. بیایید با ساده ترین مشتق لگاریتمی شروع کنیم. باید مشتق تابع زیر را پیدا کنیم.

باید مشتق بعدی را پیدا کنیم

یک فرمول خاص وجود دارد.

در این مورد x=u، log3x=v. مقادیر تابع خود را در فرمول جایگزین کنید.

مشتق x برابر با یک خواهد بود. لگاریتم کمی دشوارتر است. اما اگر فقط مقادیر را جایگزین کنید، اصل را درک خواهید کرد. به یاد بیاورید که مشتق lg x مشتق لگاریتم اعشاری است و مشتق ln x مشتق لگاریتم طبیعی (به پایه e) است.

اکنون فقط مقادیر به دست آمده را جایگزین فرمول کنید. خودتان آن را امتحان کنید، سپس پاسخ را بررسی کنید.

مشکل اینجا برای بعضی ها چی میتونه باشه؟ ما مفهوم لگاریتم طبیعی را معرفی کرده ایم. بیایید در مورد آن صحبت کنیم و در عین حال چگونگی حل مشکلات را با آن دریابیم. شما هیچ چیز پیچیده ای نخواهید دید، به خصوص وقتی که اصل عملکرد آن را درک کنید. شما باید به آن عادت کنید، زیرا اغلب در ریاضیات (به ویژه در مؤسسات آموزش عالی) استفاده می شود.

مشتق لگاریتم طبیعی

در هسته آن، این مشتق لگاریتم به پایه e است (این یک عدد غیر منطقی است که تقریباً برابر با 2.7 است). در واقع ln بسیار ساده است، به همین دلیل است که اغلب در ریاضیات به طور کلی استفاده می شود. در واقع حل مشکل با او هم مشکلی نخواهد داشت. شایان ذکر است که مشتق لگاریتم طبیعی به پایه e برابر با یک تقسیم بر x خواهد بود. راه حل مثال زیر گویای ترین خواهد بود.

آن را به عنوان یک تابع پیچیده متشکل از دو تابع ساده تصور کنید.

به اندازه کافی برای تبدیل شدن

ما به دنبال مشتق u نسبت به x هستیم

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط‌مشی رازداری ایجاد کرده‌ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را توضیح می‌دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هرگونه سوال با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اطلاق می شود که می توان از آنها برای شناسایی یک فرد خاص یا تماس با او استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آتی به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اخطارها و ارتباطات مهم برای شما استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدماتی که ارائه می کنیم و توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما ارائه می دهیم، استفاده کنیم.
• اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

اجازه دهید
(1)
تابع قابل تمایز x است. ابتدا آن را روی مجموعه مقادیر x که y مقادیر مثبت می گیرد در نظر می گیریم: . در ادامه، نشان خواهیم داد که تمام نتایج به دست آمده برای مقادیر منفی نیز قابل استفاده هستند.

در برخی موارد، برای یافتن مشتق تابع (1)، گرفتن لگاریتم اولیه راحت است.
,
و سپس مشتق را محاسبه کنید. سپس با توجه به قاعده تمایز یک تابع پیچیده،
.
از اینجا
(2) .

مشتق لگاریتم یک تابع را مشتق لگاریتمی می نامند:
.

مشتق لگاریتمی تابع y = f(x) مشتق لگاریتم طبیعی این تابع است: (log f(x))′.

مورد مقادیر منفی y

حال حالتی را در نظر بگیرید که متغیر بتواند هر دو مقدار مثبت و منفی داشته باشد. در این مورد، لگاریتم مدول را بگیرید و مشتق آن را پیدا کنید:
.
از اینجا
(3) .
یعنی در حالت کلی باید مشتق لگاریتم مدول تابع را پیدا کنید.

با مقایسه (2) و (3) داریم:
.
یعنی نتیجه صوری محاسبه مشتق لگاریتمی به این بستگی ندارد که ما مدول گرفته باشیم یا نه. بنابراین، هنگام محاسبه مشتق لگاریتمی، لازم نیست نگران این باشیم که تابع چه علامتی دارد.

این وضعیت را می توان با کمک اعداد مختلط روشن کرد. اجازه دهید برای برخی از مقادیر x منفی باشد: . اگر فقط اعداد واقعی را در نظر بگیریم، تابع تعریف نشده است. با این حال، اگر اعداد مختلط را در نظر بگیریم، به موارد زیر می رسیم:
.
یعنی توابع و با یک ثابت مختلط متفاوت هستند:
.
از آنجایی که مشتق یک ثابت صفر است، پس
.

ویژگی مشتق لگاریتمی

از چنین ملاحظه ای نتیجه می شود که اگر تابع در یک ثابت دلخواه ضرب شود، مشتق لگاریتمی تغییر نمی کند :
.
در واقع، درخواست خواص لگاریتمی، فرمول ها مجموع مشتقو مشتق یک ثابت، ما داریم:

.

کاربرد مشتق لگاریتمی

در مواردی که تابع اصلی از حاصلضرب توان یا توابع نمایی تشکیل شده است، استفاده از مشتق لگاریتمی راحت است. در این حالت عملیات لگاریتمی حاصل ضرب توابع را به مجموع آنها تبدیل می کند. این محاسبه مشتق را ساده می کند.

مثال 1

مشتق تابع را پیدا کنید:
.

راه حل

لگاریتم تابع اصلی را می گیریم:
.

با توجه به x افتراق دهید.
در جدول مشتقات می بینیم:
.
ما قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال می کنیم.
;
;
;
;
(P1.1) .
بیایید ضرب کنیم:

.

بنابراین، مشتق لگاریتمی را پیدا کردیم:
.
از اینجا مشتق تابع اصلی را پیدا می کنیم:
.

توجه داشته باشید

اگر بخواهیم فقط از اعداد واقعی استفاده کنیم، باید لگاریتم مدول تابع اصلی را بگیریم:
.
سپس
;
.
و ما فرمول (A1.1) را دریافت کردیم. بنابراین، نتیجه تغییر نکرده است.

پاسخ

مثال 2

با استفاده از مشتق لگاریتمی، مشتق یک تابع را پیدا کنید
.

راه حل

لگاریتم:
(P2.1) .
نسبت به x افتراق دهید:
;
;

;
;
;
.

بیایید ضرب کنیم:
.
از اینجا مشتق لگاریتمی را بدست می آوریم:
.

مشتق تابع اصلی:
.

توجه داشته باشید

در اینجا تابع اصلی غیر منفی است: . در تعریف شده است. اگر فرض نکنیم که لگاریتم را می توان برای مقادیر منفی آرگومان تعیین کرد، فرمول (A2.1) باید به صورت زیر نوشته شود:
.
تا جایی که

و
,
در نتیجه نهایی تاثیری نخواهد داشت.

پاسخ

مثال 3

مشتق را بیابید
.

راه حل

تمایز با استفاده از مشتق لگاریتمی انجام می شود. لگاریتم با توجه به اینکه:
(P3.1) .

با تمایز، مشتق لگاریتمی را بدست می آوریم.
;
;
;
(P3.2) .

از آن به بعد

.

توجه داشته باشید

بیایید محاسبات را بدون این که فرض کنیم لگاریتم را می توان برای مقادیر منفی آرگومان تعریف کرد، انجام دهیم. برای انجام این کار، لگاریتم مدول تابع اصلی را بگیرید:
.
سپس به جای (A3.1) داریم:
;

.
در مقایسه با (A3.2) می بینیم که نتیجه تغییر نکرده است.