ریشه درجه n: تعاریف اساسی. ریشه درجه n: تعاریف اساسی ویژگی ها و محدودیت های اساسی

تبریک می گویم: امروز ریشه ها را تجزیه و تحلیل می کنیم - یکی از جالب ترین موضوعات کلاس هشتم. :)

بسیاری از مردم در مورد ریشه ها گیج می شوند، نه به این دلیل که آنها پیچیده هستند (که پیچیده است - چند تعریف و یکی دو ویژگی دیگر)، بلکه به این دلیل که در اکثر کتاب های درسی مدرسه، ریشه ها از طریق چنین وحشی تعریف می شوند که فقط خود نویسندگان کتاب های درسی هستند. می تواند این خط خطی را درک کند. و حتی پس از آن فقط با یک بطری ویسکی خوب. :)

بنابراین ، اکنون صحیح ترین و شایسته ترین تعریف ریشه را ارائه می دهم - تنها چیزی که واقعاً باید به خاطر بسپارید. و تنها پس از آن توضیح خواهم داد: چرا همه اینها ضروری است و چگونه آن را در عمل اعمال کنیم.

اما ابتدا یک نکته مهم را به خاطر بسپارید که به دلایلی بسیاری از گردآورندگان کتاب های درسی آن را فراموش می کنند:

ریشه ها می توانند درجه زوج باشند ($\sqrt(a)$ مورد علاقه ما، و همچنین هر $\sqrt(a)$ و زوج $\sqrt(a)$) و درجه فرد (هر $\sqrt(a)$ ، $\ sqrt(a)$ و غیره). و تعریف ریشه درجه فرد با عدد زوج تا حدودی متفاوت است.

در این لعنتی "تا حدودی متفاوت" احتمالاً 95٪ از همه اشتباهات و سوء تفاهم های مرتبط با ریشه ها پنهان است. پس بیایید یک بار برای همیشه اصطلاحات را روشن کنیم:

تعریف. حتی ریشه nاز عدد $a$ هر است غیر منفییک عدد $b$ طوری که $((b)^(n))=a$. و ریشه یک درجه فرد از همان عدد $a$ به طور کلی هر عدد $b$ است که برای آن برابری یکسان برقرار است: $((b)^(n))=a$.

در هر صورت ریشه به صورت زیر مشخص می شود:

\(آ)\]

عدد $n$ در چنین نمادی را توان ریشه و عدد $a$ را عبارت رادیکال می نامند. به طور خاص، برای $n=2$، ما جذر "مورد علاقه" خود را می گیریم (به هر حال، این ریشه یک درجه زوج است)، و برای $n=3$، یک ریشه مکعبی (درجه فرد) به دست می آوریم. همچنین اغلب در مسائل و معادلات یافت می شود.

مثال ها. نمونه های کلاسیک ریشه های مربع:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \پایان (تراز کردن)\]

به هر حال، $\sqrt(0)=0$ و $\sqrt(1)=1$. این کاملاً منطقی است زیرا $((0)^(2))=0$ و $((1)^(2))=1$.

ریشه های مکعبی نیز رایج هستند - از آنها نترسید:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \پایان (تراز کردن)\]

خوب، چند "نمونه عجیب و غریب":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اگر متوجه نشدید که تفاوت بین درجه زوج و فرد چیست، تعریف را دوباره بخوانید. این خیلی مهمه!

در این میان، یک ویژگی ناخوشایند ریشه ها را در نظر خواهیم گرفت که به دلیل آن نیاز به ارائه تعریف جداگانه ای برای توان زوج و فرد داشتیم.

اصلا چرا به ریشه نیاز داریم؟

پس از خواندن این تعریف، بسیاری از دانش‌آموزان می‌پرسند: "ریاضی‌دانان وقتی به این موضوع رسیدند چه سیگاری کشیدند؟" و واقعاً: چرا ما به این همه ریشه نیاز داریم؟

برای پاسخ به این سوال، لحظه ای به دوران ابتدایی برگردیم. به یاد داشته باشید: در آن زمان های دور که درختان سبزتر و کوفته ها خوشمزه تر بودند، دغدغه اصلی ما این بود که اعداد را به درستی ضرب کنیم. خوب، چیزی به روح "پنج در پنج - بیست و پنج"، همین. اما به هر حال، شما می توانید اعداد را نه به صورت جفت، بلکه در سه تا، چهار و به طور کلی مجموعه های کامل ضرب کنید:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \پایان (تراز کردن)\]

با این حال، این نکته نیست. ترفند متفاوت است: ریاضیدانان افراد تنبلی هستند، بنابراین باید ضرب ده پنج را به این صورت یادداشت کنند:

بنابراین آنها به درجات رسیدند. چرا تعداد فاکتورها را به‌جای رشته‌ای بلند به‌عنوان بالانوشت نمی‌نویسیم؟ شبیه این یکی:

خیلی راحته! همه محاسبات چندین برابر کاهش می یابد، و شما نمی توانید یک دسته کاغذ پوستی از دفترچه یادداشت را برای نوشتن 5 183 صرف کنید. چنین مدخلی درجه یک عدد نامیده می شد ، دسته ای از خواص در آن یافت شد ، اما خوشبختی کوتاه مدت بود.

پس از یک مشروب باشکوه که دقیقاً در مورد "کشف" درجه ها سازماندهی شده بود، یک ریاضیدان مخصوصاً سنگسار ناگهان پرسید: "اگر درجه یک عدد را بدانیم، اما خود عدد را ندانیم چه؟" در واقع، اگر بدانیم که مثلاً یک عدد $b$ به توان پنجم 243 می دهد، چگونه می توانیم حدس بزنیم که خود عدد $b$ برابر است با چه چیزی؟

این مشکل بسیار جهانی تر از آن چیزی است که ممکن است در نگاه اول به نظر برسد. زیرا معلوم شد که برای اکثر درجه های "آماده" چنین اعداد "اولیه" وجود ندارد. خودتان قضاوت کنید:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اگر $((b)^(3))=50$ باشد چه؟ معلوم می شود که شما باید یک عدد مشخص را پیدا کنید، که اگر در سه برابر آن ضرب شود، 50 به ما می رسد. اما این عدد چیست؟ به وضوح بزرگتر از 3 است زیرا 3 3 = 27 است< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. یعنی. این عدد بین سه تا چهار قرار دارد، اما با چه چیزی برابر است - شما متوجه خواهید شد.

دقیقاً به همین دلیل است که ریاضیدانان ریشه های $n$-امینی پیدا کردند. به همین دلیل است که نماد رادیکال $\sqrt(*)$ معرفی شد. برای نشان دادن همان عدد $b$، که با توان مشخص شده، مقداری از قبل شناخته شده به ما می دهد.

\[\sqrt[n](a)=b\پیکان راست ((b)^(n))=a\]

من بحث نمی کنم: اغلب این ریشه ها به راحتی در نظر گرفته می شوند - چندین نمونه از این قبیل را در بالا دیدیم. اما با این حال، در بیشتر موارد، اگر به یک عدد دلخواه فکر می کنید، و سپس سعی می کنید ریشه یک درجه دلخواه را از آن استخراج کنید، در معرض خطر بی رحمی قرار خواهید گرفت.

چه چیزی آنجاست! حتی ساده ترین و آشناترین $\sqrt(2)$ را نمی توان به شکل معمول ما - به عنوان یک عدد صحیح یا یک کسری - نشان داد. و اگر این عدد را وارد ماشین حساب کنید، این را خواهید دید:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

همانطور که می بینید، بعد از نقطه اعشار یک دنباله بی پایان از اعداد وجود دارد که از هیچ منطقی تبعیت نمی کنند. البته می توانید این عدد را گرد کنید تا به سرعت با اعداد دیگر مقایسه کنید. برای مثال:

\[\sqrt(2)=1.4142...\تقریباً 1.4 \lt 1.5\]

یا این هم یک مثال دیگر:

\[\sqrt(3)=1.73205...\تقریباً 1.7 \gt 1.5\]

اما همه این گرد کردن، اولا، نسبتاً خشن هستند. و ثانیاً ، شما همچنین باید بتوانید با مقادیر تقریبی کار کنید ، در غیر این صورت می توانید تعداد زیادی خطای غیر آشکار را بگیرید (به هر حال ، مهارت مقایسه و گرد کردن لزوماً در امتحان نمایه بررسی می شود).

بنابراین ، در ریاضیات جدی نمی توان بدون ریشه کار کرد - آنها همان نمایندگان مساوی مجموعه همه اعداد واقعی $\mathbb(R)$ و همچنین کسری ها و اعداد صحیح هستند که برای مدت طولانی برای ما آشنا هستند.

عدم امکان نمایش ریشه به عنوان کسری از شکل $\frac(p)(q)$ به این معنی است که این ریشه یک عدد گویا نیست. چنین اعدادی نامعقول نامیده می شوند و نمی توان آنها را به طور دقیق نشان داد مگر با کمک یک رادیکال یا ساختارهای دیگر که مخصوصاً برای این کار طراحی شده اند (لگاریتم، درجه، حد و غیره). اما بیشتر در مورد آن زمان دیگر.

چند مثال را در نظر بگیرید که پس از تمام محاسبات، اعداد غیر منطقی همچنان در پاسخ باقی خواهند ماند.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\تقریباً 12599-... \\ \پایان (تراز کردن)\]

طبیعتاً با ظاهر ریشه تقریباً غیرممکن است حدس بزنید که کدام اعداد بعد از نقطه اعشار می آیند. با این حال، محاسبه بر روی یک ماشین حساب امکان پذیر است، اما حتی پیشرفته ترین ماشین حساب تاریخ فقط چند رقم اول یک عدد غیر منطقی را به ما می دهد. بنابراین، نوشتن پاسخ ها به صورت $\sqrt(5)$ و $\sqrt(-2)$ بسیار صحیح تر است.

برای همین اختراع شدند. برای اینکه نوشتن پاسخ ها آسان شود.

چرا دو تعریف لازم است؟

خواننده با دقت احتمالا قبلاً متوجه شده است که تمام جذرهای داده شده در مثال ها از اعداد مثبت گرفته شده است. خوب، حداقل از صفر. اما ریشه های مکعبی با آرامش از هر عددی - حتی مثبت و حتی منفی - استخراج می شوند.

چرا این اتفاق می افتد؟ به نمودار تابع $y=((x)^(2))$ نگاهی بیندازید:

نمودار یک تابع درجه دوم دو ریشه می دهد: مثبت و منفی

بیایید سعی کنیم $\sqrt(4)$ را با استفاده از این نمودار محاسبه کنیم. برای انجام این کار، یک خط افقی $y=4$ (با رنگ قرمز مشخص شده) روی نمودار رسم می شود که در دو نقطه با سهمی قطع می شود: $((x)_(1))=2$ و $((x) )_(2)) =-2$. این کاملاً منطقی است، زیرا

همه چیز با عدد اول مشخص است - مثبت است، بنابراین ریشه است:

اما با نکته دوم چه باید کرد؟ آیا 4 به طور همزمان دو ریشه دارد؟ به هر حال، اگر عدد −2 را مربع کنیم، 4 نیز به دست می‌آید. چرا $\sqrt(4)=-2$ را نمی‌نویسیم؟ و چرا معلمان به چنین رکوردهایی طوری نگاه می کنند که انگار می خواهند شما را بخورند؟ :)

مشکل این است که اگر شرایط اضافی اعمال نشود، آن چهار ریشه دو خواهند داشت - مثبت و منفی. و هر عدد مثبتی دو عدد از آنها را نیز خواهد داشت. اما اعداد منفی اصلاً ریشه نخواهند داشت - این را می توان از همان نمودار مشاهده کرد، زیرا سهمی هرگز زیر محور نمی افتد. y، یعنی مقادیر منفی نمی گیرد.

یک مشکل مشابه برای همه ریشه های دارای توان زوج رخ می دهد:

1. به بیان دقیق، هر عدد مثبت دارای دو ریشه با توان زوج $n$ خواهد بود.
2. از اعداد منفی، ریشه با $n$ به هیچ وجه استخراج نمی شود.

به همین دلیل است که تعریف ریشه یک درجه زوج $n$ به طور خاص تصریح می کند که پاسخ باید یک عدد غیر منفی باشد. اینگونه از ابهام خلاص می شویم.

اما برای $n$ فرد چنین مشکلی وجود ندارد. برای مشاهده این، اجازه دهید نگاهی به نمودار تابع $y=((x)^(3))$ بیاندازیم:

سهمی مکعبی هر مقداری را می گیرد، بنابراین ریشه مکعب را می توان از هر عددی گرفت

از این نمودار دو نتیجه می توان گرفت:

1. شاخه های یک سهمی مکعبی، بر خلاف معمول، در هر دو جهت - هم بالا و هم پایین - به بی نهایت می روند. بنابراین در هر ارتفاعی که یک خط افقی رسم کنیم، این خط قطعا با نمودار ما قطع خواهد شد. بنابراین، ریشه مکعب را می توان همیشه، مطلقاً از هر عددی گرفت.
2. علاوه بر این، چنین تقاطعی همیشه منحصر به فرد خواهد بود، بنابراین نیازی نیست به این فکر کنید که کدام عدد را ریشه "درست" در نظر بگیرید و کدام یک را امتیاز دهید. به همین دلیل است که تعریف ریشه برای یک درجه فرد ساده تر از یک زوج است (شرایط غیر منفی وجود ندارد).

حیف که این موارد ساده در اکثر کتاب های درسی توضیح داده نشده است. در عوض، مغز ما با انواع ریشه های حسابی و خواص آنها شروع به اوج گرفتن می کند.

بله، من بحث نمی کنم: ریشه حسابی چیست - شما همچنین باید بدانید. و من در یک درس جداگانه در مورد این موضوع صحبت خواهم کرد. امروز نیز در مورد آن صحبت خواهیم کرد، زیرا بدون آن، همه بازتاب‌ها در مورد ریشه‌های تعدد $n$-th ناقص خواهند بود.

اما ابتدا باید تعریفی را که در بالا ارائه کردم به وضوح درک کنید. در غیر این صورت، به دلیل فراوانی اصطلاحات، چنان آشفتگی در سر شما شروع می شود که در نهایت هیچ چیز را متوجه نمی شوید.

و تنها چیزی که باید بدانید تفاوت بین اعداد زوج و فرد است. بنابراین، یک بار دیگر همه چیزهایی را که واقعاً باید در مورد ریشه ها بدانید را جمع آوری می کنیم:

1. یک ریشه زوج فقط از یک عدد غیر منفی وجود دارد و خود همیشه یک عدد غیر منفی است. برای اعداد منفی، چنین ریشه ای تعریف نشده است.
2. اما ریشه یک درجه فرد از هر عددی وجود دارد و خود می تواند هر عددی باشد: برای اعداد مثبت مثبت است و برای اعداد منفی، همانطور که از کلاه نشان می دهد، منفی است.

آیا سخت است؟ نه، سخت نیست. روشن؟ بله واضح است! بنابراین، اکنون کمی با محاسبات تمرین می کنیم.

ویژگی ها و محدودیت های اساسی

ریشه ها خواص و محدودیت های عجیب و غریب زیادی دارند - این یک درس جداگانه خواهد بود. بنابراین، اکنون ما تنها مهمترین "تراشه" را در نظر خواهیم گرفت که فقط برای ریشه هایی با توان یکسان اعمال می شود. این ویژگی را به صورت فرمول می نویسیم:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\ چپ| x\راست|\]

به عبارت دیگر، اگر عددی را به توان زوج برسانیم و سپس ریشه همان درجه را از آن استخراج کنیم، نه عدد اصلی، بلکه مدول آن را به دست خواهیم آورد. این یک قضیه ساده است که اثبات آن آسان است (کافی است که $x$ غیر منفی را جداگانه در نظر بگیرید و سپس به طور جداگانه موارد منفی را در نظر بگیرید). معلمان دائماً در مورد آن صحبت می کنند، در هر کتاب درسی مدرسه آمده است. اما به محض حل معادلات غیرمنطقی (یعنی معادلات حاوی علامت رادیکال) دانش آموزان این فرمول را با هم فراموش می کنند.

برای درک دقیق موضوع، بیایید تمام فرمول ها را برای یک دقیقه فراموش کنیم و سعی کنیم دو عدد جلوتر را بشماریم:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

اینها نمونه های بسیار ساده ای هستند. مثال اول توسط اکثر مردم حل خواهد شد، اما در مورد دوم، بسیاری از مردم می چسبند. برای حل چنین مزخرفی بدون مشکل، همیشه این روش را در نظر بگیرید:

1. ابتدا عدد به توان چهارم افزایش می یابد. خب یه جورایی راحته یک عدد جدید به دست می آید که حتی در جدول ضرب نیز یافت می شود.
2. و اکنون از این عدد جدید باید ریشه درجه چهارم را استخراج کرد. آن ها "کاهش" ریشه ها و درجات وجود ندارد - اینها اقدامات متوالی هستند.

بیایید به عبارت اول بپردازیم: $\sqrt(((3)^(4)))$. بدیهی است که ابتدا باید عبارت زیر ریشه را محاسبه کنید:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

سپس ریشه چهارم عدد 81 را استخراج می کنیم:

حالا بیایید همین کار را با عبارت دوم انجام دهیم. ابتدا عدد −3 را به توان چهارم می بریم که برای آن باید آن را در خودش 4 برابر کنیم:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ چپ(-3 \راست)=81\]

ما یک عدد مثبت به دست آوردیم، زیرا تعداد کل منفی ها در محصول 4 قطعه است و همه آنها یکدیگر را خنثی می کنند (در نهایت، منهای منهای یک مثبت می دهد). سپس دوباره ریشه را استخراج کنید:

در اصل، این خط را نمی‌توان نوشت، زیرا بی‌معنی است که پاسخ یکسان باشد. آن ها یک ریشه زوج از همان قدرت زوج، موارد منفی را می سوزاند، و از این نظر، نتیجه از ماژول معمولی قابل تشخیص نیست:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \پایان (تراز کردن)\]

این محاسبات با تعریف ریشه یک درجه زوج مطابقت خوبی دارد: نتیجه همیشه غیر منفی است و علامت رادیکال نیز همیشه یک عدد غیر منفی است. در غیر این صورت، ریشه تعریف نشده است.

توجه به ترتیب عملیات

1. علامت $\sqrt(((a)^(2)))$ به این معنی است که ابتدا عدد $a$ را مربع می کنیم و سپس ریشه دوم مقدار حاصل را می گیریم. بنابراین، می‌توان مطمئن بود که یک عدد غیر منفی همیشه زیر علامت ریشه قرار می‌گیرد، زیرا به هر حال $((a)^(2))\ge 0$ است.
2. اما برعکس، علامت $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ به این معنی است که ابتدا ریشه را از یک عدد $a$ خاص استخراج می کنیم و تنها سپس نتیجه را مربع می کنیم. بنابراین، عدد $a$ در هیچ موردی نمی تواند منفی باشد - این یک الزام اجباری است که در تعریف تعبیه شده است.

بنابراین، در هیچ موردی نباید بدون فکر ریشه ها و درجات را کاهش داد و در نتیجه ظاهراً عبارت اصلی را "ساده" کرد. زیرا اگر زیر ریشه یک عدد منفی باشد و نمایش زوج باشد، مشکلات زیادی خواهیم داشت.

با این حال، همه این مشکلات فقط برای حتی شاخص ها مرتبط هستند.

حذف علامت منفی از زیر علامت ریشه

طبیعتاً ریشه هایی با توان های فرد نیز ویژگی خاص خود را دارند که اصولاً برای زوج ها وجود ندارد. برای مثال:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

به طور خلاصه، می توانید یک منهای را از زیر علامت ریشه های یک درجه فرد خارج کنید. این یک ویژگی بسیار مفید است که به شما امکان می دهد تمام موارد منفی را "پرتاب" کنید:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \پایان (تراز کردن)\]

این ویژگی ساده بسیاری از محاسبات را بسیار ساده می کند. اکنون نیازی به نگرانی نیست: اگر یک عبارت منفی در زیر ریشه قرار گیرد و درجه در ریشه یکنواخت شود چه؟ فقط کافی است تمام منفی های خارج از ریشه را "بیرون بیندازیم"، پس از آن می توان آنها را در یکدیگر ضرب کرد، تقسیم کرد و به طور کلی کارهای مشکوک زیادی انجام داد، که در مورد ریشه های "کلاسیک" تضمین می شود که ما را به یک خطا

و در اینجا تعریف دیگری وارد صحنه می شود - همان تعریفی که اکثر مکاتب مطالعه عبارات غیرمنطقی را با آن آغاز می کنند. و بدون آن استدلال ما ناقص خواهد بود. ملاقات!

ریشه حسابی

بیایید برای لحظه ای فرض کنیم که فقط اعداد مثبت یا در موارد شدید صفر می توانند زیر علامت ریشه باشند. بیایید به شاخص های زوج / فرد امتیاز دهیم، به تمام تعاریف ارائه شده در بالا امتیاز دهیم - ما فقط با اعداد غیر منفی کار خواهیم کرد. بعدش چی شد؟

و سپس ریشه حسابی را دریافت می کنیم - تا حدی با تعاریف "استاندارد" ما تلاقی می کند، اما هنوز با آنها متفاوت است.

تعریف. ریشه حسابی درجه $n$th یک عدد غیر منفی $a$ یک عدد غیر منفی $b$ است به طوری که $((b)^(n))=a$.

همانطور که می بینید، ما دیگر علاقه ای به برابری نداریم. در عوض، محدودیت جدیدی ظاهر شد: عبارت رادیکال اکنون همیشه غیر منفی است، و خود ریشه نیز غیرمنفی است.

برای درک بهتر تفاوت ریشه حسابی با ریشه معمولی، به نمودارهای سهمی مربع و مکعب که قبلاً برای ما آشنا هستند نگاهی بیندازید:

منطقه جستجوی ریشه - اعداد غیر منفی

همانطور که می بینید، از این به بعد، ما فقط به آن دسته از نمودارهایی علاقه مند هستیم که در سه ماهه مختصات اول قرار دارند - جایی که مختصات $x$ و $y$ مثبت (یا حداقل صفر) هستند. دیگر نیازی نیست به اندیکاتور نگاه کنید تا بفهمید که آیا ما حق ریشه کردن یک عدد منفی را داریم یا خیر. زیرا دیگر اصولاً اعداد منفی در نظر گرفته نمی شوند.

ممکن است بپرسید: "خب، چرا ما به چنین تعریف اخته ای نیاز داریم؟" یا: "چرا نمی توانیم با تعریف استانداردی که در بالا ارائه شده است کنار بیاییم؟"

خوب، من فقط یک ویژگی می دهم که به دلیل آن تعریف جدید مناسب می شود. به عنوان مثال، قانون قدرت:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

لطفاً توجه داشته باشید: ما می توانیم عبارت ریشه را به هر توانی افزایش دهیم و در همان زمان توان ریشه را در همان توان ضرب کنیم - و نتیجه همان عدد خواهد بود! در اینجا چند نمونه آورده شده است:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \پایان (تراز کردن)\]

خوب، چه اشکالی دارد؟ چرا قبلا نمی توانستیم این کار را انجام دهیم؟ در اینجا دلیل آن است. یک عبارت ساده را در نظر بگیرید: $\sqrt(-2)$ عددی است که در مفهوم کلاسیک ما کاملاً عادی است، اما از نقطه نظر ریشه حسابی کاملاً غیرقابل قبول است. بیایید سعی کنیم آن را تبدیل کنیم:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \راست))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end (تراز کردن)$

همانطور که می بینید، در حالت اول، منهای را از زیر رادیکال خارج کردیم (حق داریم، زیرا شاخص فرد است) و در مورد دوم، از فرمول بالا استفاده کردیم. آن ها از نظر ریاضی همه چیز طبق قوانین انجام می شود.

WTF؟! چگونه یک عدد می تواند مثبت و منفی باشد؟ به هیچ وجه. فقط این است که فرمول توان، که برای اعداد مثبت و صفر عالی عمل می کند، در مورد اعداد منفی شروع به بدعت کامل می کند.

در اینجا برای رهایی از چنین ابهامی به ریشه های حسابی رسیدند. یک درس بزرگ جداگانه به آنها اختصاص داده شده است که در آن همه ویژگی های آنها را با جزئیات در نظر می گیریم. بنابراین اکنون ما روی آنها تمرکز نخواهیم کرد - به هر حال درس بسیار طولانی بود.

ریشه جبری: برای کسانی که می خواهند بیشتر بدانند

من مدت زیادی فکر کردم: این موضوع را در یک پاراگراف جداگانه بسازیم یا نه. در نهایت تصمیم گرفتم اینجا را ترک کنم. این مطالب برای کسانی در نظر گرفته شده است که می خواهند ریشه ها را حتی بهتر درک کنند - نه در سطح متوسط ​​"مدرسه"، بلکه در سطح نزدیک به المپیاد.

بنابراین: علاوه بر تعریف "کلاسیک" ریشه $n$-th درجه از یک عدد و تقسیم مربوط به آن به نشانگرهای زوج و فرد، یک تعریف "بزرگسال" بیشتر وجود دارد که به برابری و هم بستگی ندارد. ظرافت های دیگر اصلا به این ریشه جبری می گویند.

تعریف. ریشه جبری $n$-th هر $a$ مجموعه ای از همه اعداد $b$ است به طوری که $((b)^(n))=a$. هیچ علامت مشخصی برای چنین ریشه هایی وجود ندارد، بنابراین فقط یک خط تیره در بالا قرار دهید:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \راست. \راست\) \]

تفاوت اساسی با تعریف استاندارد ارائه شده در ابتدای درس این است که ریشه جبری یک عدد خاص نیست، بلکه یک مجموعه است. و از آنجایی که ما با اعداد واقعی کار می کنیم، این مجموعه فقط سه نوع است:

1. مجموعه تهی. زمانی اتفاق می‌افتد که از یک عدد منفی باید یک ریشه جبری با درجه زوج پیدا کرد.
2. مجموعه ای متشکل از یک عنصر واحد. همه ریشه های توان های فرد و همچنین ریشه های توان های زوج از صفر در این دسته قرار می گیرند.
3. در نهایت، مجموعه می تواند شامل دو عدد باشد - همان $((x)_(1))$ و $((x)_(2))=-((x)_(1))$ که در نمودار تابع درجه دوم بر این اساس، چنین هم ترازی فقط در هنگام استخراج ریشه یک درجه زوج از یک عدد مثبت امکان پذیر است.

مورد آخر سزاوار بررسی دقیق تر است. بیایید چند مثال را بشماریم تا تفاوت را بفهمیم.

مثال. محاسبه عبارات:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

راه حل. اولین عبارت ساده است:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

این دو عدد هستند که بخشی از مجموعه هستند. زیرا هر کدام از آنها مربع چهار می دهد.

\[\overline(\sqrt(-27))=\چپ\( -3 \راست\)\]

در اینجا مجموعه ای را می بینیم که فقط از یک عدد تشکیل شده است. این کاملاً منطقی است، زیرا نشان دهنده ریشه فرد است.

در نهایت، آخرین عبارت:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

یک مجموعه خالی گرفتیم. زیرا یک عدد واقعی وجود ندارد که وقتی به توان چهارم (یعنی زوج!) برسانیم، عدد منفی 16 را به ما بدهد.

یادداشت پایانی لطفاً توجه داشته باشید: تصادفی نبود که همه جا متوجه شدم که ما با اعداد واقعی کار می کنیم. زیرا اعداد مختلط نیز وجود دارد - محاسبه $\sqrt(-16)$ و بسیاری چیزهای عجیب دیگر کاملاً امکان پذیر است.

با این حال، در برنامه درسی مدارس مدرن ریاضیات، اعداد مختلط تقریباً هرگز یافت نمی شوند. آنها از اکثر کتاب های درسی حذف شده اند زیرا مقامات ما موضوع را "بسیار دشوار برای درک" می دانند.

همین. در درس بعدی، تمام ویژگی های کلیدی ریشه ها را بررسی می کنیم و در نهایت یاد می گیریم که چگونه عبارات غیر منطقی را ساده کنیم. :)

فصل اول.

افزایش به مربع عبارات جبری یک جمله ای.

152. تعیین درجه.به یاد بیاورید که حاصل ضرب دو عدد یکسان است aa توان دوم (یا مربع) یک عدد نامیده می شود آ ، حاصلضرب سه عدد یکسان آه توان سوم (یا مکعب) یک عدد نامیده می شود آ ; کار عمومی n همان اعداد اه اه تماس گرفت n - درجه ی عدد آ . عملی که با آن توان یک عدد مشخص می شود، افزایش به توان (دوم، سوم و ...) نامیده می شود. ضریب تکرار شده را پایه درجه و به تعداد عوامل یکسان توان می گویند.

درجات به صورت اختصاری به شرح زیر است: a 2 a 3 a 4 ... و غیره.

ما ابتدا در مورد ساده ترین حالت توان، یعنی به یک مربع افزایش یابد; و سپس تعالی را به درجات دیگر در نظر خواهیم گرفت.

153. قاعده نشانه ها هنگام تعالی به مربع.از قاعده ضرب اعداد نسبی چنین بر می آید که:

(+2) 2 =(+2) (+2) = + 4; (+ 1 / 3) 2 =(+ 1 / 3)(+ 1 / 3) = + 1 / 9 ;

(-2) 2 =(-2) (-2) = + 4; (- 1 / 3) 2 =(- 1 / 3)(- 1 / 3) = + 1 / 9

(+a) 2 =(+a) (+a) = +a 2

(-a) 2 =(-a) (-a) = +a 2

بنابراین، مجذور هر عدد نسبی یک عدد مثبت است.

154. بالا بردن به مربع حاصل ضرب، درجه و کسر.

آ)به عنوان مثال، اجازه دهید که لازم باشد حاصل ضرب چند عامل را مجذور کند. عضلات شکم . این بدان معنی است که لازم است عضلات شکم ضربدر عضلات شکم . اما در حاصل ضرب عضلات شکم ، می توانید ضریب را در ضرب کنید آ ، حاصل را در ضرب کنید ب و چه چیزی را می توان در آن ضرب کرد با .

(abc) 2 = (abc) (abc) = (abc) abc = abcabc

(آخرین پرانتز را رها کردیم، زیرا این معنای عبارت را تغییر نمی دهد). حال با استفاده از خاصیت تداعی ضرب (بخش 1 § 34، b)، عوامل را به صورت زیر گروه بندی می کنیم:

(aa) (bb) (ss)،

که به اختصار می توان آن را به صورت: a 2 b 2 c 2 .

به معنای، برای مربع محصول، می توانید هر فاکتور را به طور جداگانه مربع کنید
(برای کوتاه کردن گفتار، این قاعده مانند قاعده بعدی به طور کامل بیان نشده است؛ همچنین باید اضافه کرد: "و نتایج به دست آمده را ضرب کنید." اضافه شدن این امر بدیهی است..)

به این ترتیب:

(3/4 xy) 2 = 9 / 16 x 2 y 2 ; (- 0.5mn) 2 = + 0.25m 2 n 2; و غیره.

ب)مثلاً اجازه دهید مدرکی لازم باشد. آ 3 ، مربع کردن این را می توان به صورت زیر انجام داد:

(a 3) 2 \u003d a 3 a 3 \u003d a 3 + 3 \u003d a 6.

مثل این: (x 4) 2 = x 4 x 4 = x 4+4 = x 8

به معنای، برای مجذور نما، می توانید توان را در 2 ضرب کنید .

بنابراین، با اعمال این دو قانون، به عنوان مثال، خواهیم داشت:

(- 3 3 / 4 a x 2 y 3) 2 = (- 3 3 / 4) 2 a 2 (x 2) 2 (y 3) 2 = 225 / 2 a 2 x 4 y 6

v)فرض کنید لازم است مقداری کسری مربع شود آ / ب . سپس با اعمال قانون ضرب کسری در کسری به دست می آید:

به معنای، برای مجذور کسر، می توانید صورت و مخرج را به طور جداگانه مربع کنید.

مثال.

فصل دوم.

مربع کردن چند جمله ای

155. استخراج فرمول.با استفاده از فرمول (بخش 2 فصل 3 § 61):

(الف + ب) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,

می توانیم مثلث را مربع کنیم a + b + c ، آن را به عنوان یک دوجمله ای در نظر می گیریم (الف + ب) + ج :

(a + b + c) 2 = [(a + b) + c] 2 = (a + b) 2 + 2 (a + b)c + c 2 = a 2 + 2ab + b 2 + 2(a + b)c + c 2

بنابراین، با اضافه شدن به دو جمله ای a + b عضو سوم با پس از ارتفاع، 2 جمله به مربع اضافه شد: 1) حاصل ضرب دو برابر مجموع دو جمله اول در جمل سوم و 2) مجذور جمله سوم. بیایید اکنون به سه جمله ای اعمال کنیم a + b + c عضو چهارم د و چهارضلعی را بلند کنید a + b + c + د مربع، با گرفتن مجموع a + b + c برای یک عضو

(الف + ب + ج + د) 2 = [(a + b + c) + d] 2 = (a + b + c) 2 + 2 (a + b + c)d + d 2

جایگزین کردن به جای (a + b + c) 2 عبارتی را که در بالا گرفتیم پیدا می کنیم:

(الف + ب + ج + د) 2 = a 2 + 2ab + b 2 + 2(a + b)c + c 2 + 2(a + b + c)d + d 2

مجدداً متوجه می شویم که با افزودن یک جمله جدید به چند جمله ای مرتفع در مجذور آن، 2 جمله اضافه می شود: 1) حاصل ضرب دو برابر مجموع جمله های قبلی و جمله جدید و 2) مجذور جمله جدید. بدیهی است که این جمع دو جمله با اضافه شدن عبارات بیشتری به چند جمله ای تعالی ادامه خواهد یافت. به معنای:

مجذور چند جمله ای عبارت است از: مجذور جمله اول، به اضافه دو برابر حاصلضرب جمله اول و جمله دوم، به اضافه مجذور جمله دوم، به اضافه دو برابر حاصل ضرب مجموع دو جمله اول و سومین. جمله، به اضافه مجذور جمله سوم، به اضافه دو برابر حاصل ضرب مجموع سه جمله اول و جمله چهارم، به اضافه مجذور جمله چهارم و غیره. البته شرایط یک چند جمله ای نیز می تواند منفی باشد.

156. یادداشتی درباره علائم.نتیجه نهایی با علامت مثبت، اولاً، مجذور همه عبارت‌های چند جمله‌ای و ثانیاً، آن دسته از حاصلضرب‌های دوتایی است که از ضرب عبارت‌ها با علامت‌های یکسان به دست آمده‌اند.

مثال.

157. مربع اختصاری اعداد صحیح. با استفاده از فرمول مربع یک چند جمله ای، می توان هر عدد صحیح را متفاوت از ضرب معمولی مربع کرد. فرض کنید، برای مثال، نیاز به مربع است 86 . بیایید این عدد را به ارقام تقسیم کنیم:

86 \u003d 80 + 6 \u003d 8 دسامبر + 6 واحد.

حال با استفاده از فرمول مجذور مجموع دو عدد می توانیم بنویسیم:

(8 دسامبر + 6 واحد) 2 \u003d (8 دسامبر) 2 + 2 (8 دسامبر) (6 واحد) + (6 واحد) 2 .

برای محاسبه سریع این مجموع، بیایید در نظر بگیریم که مربع ده ها صدها است (اما ممکن است هزاران وجود داشته باشد). به عنوان مثال، 8 دسامبر. شکل مربع 64 صد، زیرا 80 2 = b400; حاصل ضرب ده‌ها بر واحدها ده‌هاست (اما ممکن است صدها وجود داشته باشد)، به عنوان مثال. 3 دسامبر 5 واحد \u003d 15 دسامبر، از 30 5 \u003d 150؛ و مجذور واحدها واحد است (اما ممکن است ده ها نیز وجود داشته باشد)، به عنوان مثال. 9 واحد مربع = 81 واحد. بنابراین، راحت تر است که محاسبه را به شرح زیر ترتیب دهید:

یعنی ابتدا مربع اولین رقم (صد) را می نویسیم. در زیر این عدد حاصل ضرب دو رقم اول را با دوم (ده ها) می نویسیم، در حالی که مشاهده می کنیم که رقم آخر این حاصل یک مکان سمت راست آخرین رقم عدد بالایی است. در ادامه، دوباره با آخرین رقم یک جا به سمت راست عقب می رویم، مربع رقم دوم (یک) را قرار می دهیم. و تمام اعداد نوشته شده را به یک جمع اضافه کنید. البته می‌توان این اعداد را با عدد صفر مناسب اضافه کرد، یعنی به این صورت بنویسید:

اما این بی فایده است اگر فقط اعداد را به درستی زیر یکدیگر امضا کنیم و هر بار (با رقم آخر) یک مکان به سمت راست عقب نشینی کنیم.

بگذارید همچنان مربع شود 238 . زیرا:

238 = 2 صد. + 3 دسامبر + 8 واحد، سپس

اما مجذور صدها ده ها هزار را به دست می دهد (مثلاً 5 صد در مجذور 25 ده هزار است، زیرا 500 2 = 250000)، صدها ضرب در ده ها هزاران را می دهد (مثلاً 500 30 = 15000) و غیره.

مثال ها.

فصل سه.

y = x 2 و y = آه 2 .

158. نمودار یک تابع y = x 2 . بیایید ببینیم چگونه، زمانی که این تعداد افزایش می یابد ایکس مربع تغییر می کند ایکس 2 (به عنوان مثال، چگونه تغییر ضلع مربع مساحت آن را تغییر می دهد). برای این کار ابتدا به ویژگی های تابع زیر توجه کنید y = x 2 .

آ)برای هر معنی ایکس تابع همیشه ممکن است و همیشه فقط یک مقدار تعریف شده دریافت می کند. مثلاً وقتی ایکس = - 10 عملکرد خواهد شد (-10) 2 = 100 ، در
ایکس =1000 عملکرد خواهد شد 1000 2 =1 000 000 ، و غیره.

ب)زیرا (- ایکس ) 2 = ایکس 2 ، سپس برای دو مقدار ایکس ، که فقط در علائم متفاوت است، دو مقدار مثبت یکسان به دست می آید در ; به عنوان مثال، زمانی که ایکس = - 2 و در ایکس = + 2 معنی در دقیقا همینطور خواهد بود 4 . مقادیر منفی برای درهرگز موفق نمی شود

v)اگر مقدار مطلق x به طور نامحدود افزایش یابد، آنگاه در به طور نامحدود افزایش می یابد. بنابراین، اگر برای ایکس ما یک سری مقادیر مثبت افزایش نامحدود خواهیم داد: 1، 2، 3، 4... یا یک سری مقادیر منفی در حال کاهش نامحدود: -1، -2، -3، -4...، سپس برای در ما یک سری مقادیر به طور نامحدود افزایش می یابد: 1، 4، 9، 16، 25 ... اینها به طور خلاصه با گفتن این که وقتی ایکس = + ∞ و در ایکس = - ∞ عملکرد در انجام شد + ∞ .

ز) ایکس در . بنابراین، اگر ارزش x = 2 ، بیایید افزایش دهیم، بگذاریم، 0,1 (یعنی به جای x = 2 بگیریم x = 2.1 )، سپس در بجای 2 2 = 4 برابر می شود

(2 + 0,1) 2 = = 2 2 + 2 2 0,1 + 0,1 2 .

به معنای، در افزایش خواهد یافت 2 2 0,1 + 0,1 2 = 0,41 . اگر همان مقدار ایکس بیایید یک افزایش حتی کوچکتر بدهیم، بگذارید 0,01 ، سپس y برابر می شود

(2 + 0,01) 2 = = 2 2 + 2 2 0,01 + 0,01 2 . .

بنابراین پس از آن y افزایش می یابد 2 2 0,01 + 0,01 2 = 0,0401 یعنی کمتر از قبل افزایش می یابد. به طور کلی، کسری کوچکتر را افزایش می دهیم ایکس ، تعداد کوچکتر افزایش می یابد در . بنابراین، اگر ما تصور کنیم که ایکس به طور مداوم (با فرض مقدار 2) افزایش می یابد و از تمام مقادیر بزرگتر از 2 عبور می کند، سپس در همچنین به طور مداوم افزایش می یابد و از تمام مقادیر بزرگتر از 4 عبور می کند.

با توجه به تمام این خصوصیات، جدولی از مقادیر تابع ایجاد می کنیم y = x 2 مثلاً به این صورت:

حال اجازه دهید این مقادیر را در نقاشی به صورت نقاطی به تصویر بکشیم که ابسیساهای آن مقادیر نوشته شده خواهد بود. ایکس ، و مختصات مقادیر مربوطه هستند در (در نقاشی، ما یک سانتی متر را به عنوان واحد طول در نظر گرفتیم). نقاط به دست آمده با یک منحنی مشخص می شود. این منحنی سهمی نامیده می شود.

بیایید برخی از خواص آن را در نظر بگیریم.

آ)سهمی یک منحنی پیوسته است، زیرا با تغییر مداوم در آبسیسا ایکس (چه در جهت مثبت و چه در جهت منفی) ترتیب، همانطور که اکنون دیدیم، نیز پیوسته تغییر می کند.

ب)کل منحنی در همان سمت محور است ایکس -ov، دقیقاً در سمتی که مقادیر مثبت دستورات در آن قرار دارد.

v)سهمی با محور تقسیم می شود در -ov به دو قسمت (شاخه) تقسیم می شود. نقطه O جایی که این شاخه ها همگرا می شوند راس سهمی نامیده می شود. این نقطه تنها نقطه مشترک با سهمی و محور است ایکس -ov; بنابراین در این نقطه سهمی محور را لمس می کند ایکس -ov.

ز)هر دو شاخه بی نهایت هستند، زیرا ایکس و در می تواند به طور نامحدود افزایش یابد. شاخه ها از محور بالا می روند ایکس -s به طور نامحدود به سمت بالا، در همان زمان به طور نامحدود از محور دور می شود y -ov راست و چپ.

ه)محور y -ov به عنوان یک محور تقارن برای سهمی عمل می کند، به طوری که، با خم کردن نقشه در امتداد این محور به طوری که نیمه چپ نقاشی در سمت راست بیفتد، خواهیم دید که هر دو شاخه با هم ترکیب می شوند. به عنوان مثال، نقطه ای با ابسیسا - 2 و مختص 4 با نقطه ای با ابسیسا +2 و همان مختص 4 همخوانی دارد.

ه)در ایکس = 0 ترتیب نیز 0 است. بنابراین، برای ایکس = 0 تابع کمترین مقدار ممکن را دارد. تابع بیشترین مقدار را ندارد، زیرا مختصات منحنی به طور نامحدود افزایش می یابد.

159. نمودار تابعی از فرمy = آه 2 . ابتدا فرض کنید که آ عدد مثبتی است به عنوان مثال، این 2 تابع را در نظر بگیرید:

1) y= 1 1 / 2 ایکس 2 ; 2) y= 1 / 3 ایکس 2

بیایید جداول مقادیر این توابع را بسازیم، به عنوان مثال، موارد زیر:

بیایید همه این مقادیر را روی نقاشی قرار دهیم و منحنی ها را ترسیم کنیم. برای مقایسه، نمودار دیگری از تابع را روی همان نقشه قرار دادیم (خط چین):

3) y=ایکس 2

از رسم می توان فهمید که با همان آبسیسا، منحنی 1 در 1 1 / 2 ، بار بیشتر، و ترتیب منحنی 2 در 3 برابر کمتر از ارتکاب منحنی 3. در نتیجه، همه این منحنی ها دارای یک ویژگی کلی هستند: شاخه های پیوسته بی نهایت، یک محور تقارن و غیره، فقط برای a > 1 شاخه های منحنی مرتفع تر هستند، و چه زمانی آ< 1 خم شدن آنها بیشتر از منحنی است y=ایکس 2 . به تمام این منحنی ها پارابولام می گویند.

حال فرض می کنیم که ضریب آ یک عدد منفی خواهد بود. به عنوان مثال اجازه دهید y=- 1 / 3 ایکس 2 . مقایسه این تابع با این یکی: y = + 1 / 3 ایکس 2 توجه داشته باشید که برای همان مقدار ایکس هر دو تابع دارای قدر مطلق یکسان هستند، اما در علامت مخالف هستند. بنابراین، در نقاشی برای تابع y=- 1 / 3 ایکس 2 ما سهمی مشابه تابع را دریافت می کنیم y= 1 / 3 ایکس 2 فقط در زیر محور قرار دارد ایکس -ov با سهمی متقارن است y= 1 / 3 ایکس 2 . در این حالت، تمام مقادیر تابع منفی هستند، به جز یک، برابر با صفر در x = 0 ; این آخرین مقدار از همه بزرگتر است.

اظهار نظر. اگر رابطه بین دو متغیر در و ایکس با برابری بیان می شود: y = آه 2 ، جایی که آ یک عدد ثابت، پس می توانیم بگوییم که مقدار در متناسب با مربع مقدار ایکس ، از آنجایی که با افزایش یا کاهش ایکس ارزش 2 برابر، 3 برابر و غیره در 4 برابر، 9 برابر، 16 برابر و غیره افزایش یا کاهش می یابد. به عنوان مثال، مساحت یک دایره برابر است با π R 2 ، جایی که آرشعاع دایره است و π یک عدد ثابت (برابر با 3.14)؛ بنابراین می توان گفت مساحت دایره با مربع شعاع آن متناسب است.

فصل چهار.

تعالی به یک مکعب و به قدرت های دیگر عبارات جبری یک جمله ای.

160. قاعده علایم هنگام بالا بردن درجه.از قانون ضرب برای اعداد نسبی نتیجه می شود که

(-5) 3 = (-5)(-5)(-5) = -125;

(- 1 / 2 ) 4 = (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 )=+ 1 / 16 ;

(- 1) 5 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) = - l;

(- 1) 6 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) (-1) = +l;و غیره.

به معنای، افزایش یک عدد منفی به توانی با ضریب زوج، یک عدد مثبت و با افزایش آن به توانی با ضریب فرد، یک عدد منفی تولید می‌شود.

161. ارتفاع به درجه حاصل و درجه و کسر.وقتی حاصل ضرب یک درجه و یک کسری را تا حدی بالا می‌بریم، می‌توانیم همان کاری را انجام دهیم که وقتی آن را به مربع () می‌آوریم. بنابراین:

(abc) 3 \u003d (abc) (abc) (abc) \u003d abc abc abc \u003d (aaa) (bbb) (cc) \u003d a 3 b 3 c 3;

فصل پنجم.

نمایش گرافیکی توابع: y = x 3 و y = تبر 3 .

162. نمودار یک تابع y = x 3 . بیایید در نظر بگیریم که وقتی عدد بالا می رود، مکعب عدد تعالی چگونه تغییر می کند (برای مثال، چگونه حجم مکعب با تغییر لبه مکعب تغییر می کند). برای این کار ابتدا ویژگی های تابع زیر را نشان می دهیم y = x 3 (یادآور خصوصیات تابع y = x 2 ، قبلاً مورد بحث قرار گرفت:

آ)برای هر معنی ایکس عملکرد y = x 3 ممکن است و معنای واحدی دارد; بنابراین، (+ 5) 3 \u003d +125 و مکعب عدد + 5 نمی تواند با هیچ عدد دیگری برابر باشد. به طور مشابه، (- 0.1) 3 = - 0.001 و مکعب 0.1 - نمی تواند با هیچ عدد دیگری برابر باشد.

ب)با دو مقدار ایکس ، تنها در علائم، عملکرد متفاوت است x 3 مقادیری را دریافت می کند که فقط در علائم با یکدیگر متفاوت هستند. بنابراین، در ایکس = 2 عملکرد x 3 برابر است با 8, و در ایکس = - 2 برابر است با 8 .

v)با افزایش x، تابع x 3 افزایش می یابد و سریعتر از ایکس ، و حتی سریعتر از x 2 ; بنابراین در

ایکس = - 2, -1, 0, +1, + 2, +3, + 4. .. x 3 اراده = -8, - 1, 0, +1, + 8, +27, + 64 ...

ز)افزایش بسیار کمی از یک عدد متغیر ایکس مربوط به افزایش بسیار کمی از تابع است x 3 . بنابراین اگر ارزش ایکس = 2 کسری افزایش یابد 0,01 ، یعنی اگر به جای ایکس = 2 بگیریم ایکس = 2,01 ، سپس تابع در نخواهد 2 3 (یعنی نه 8 )، آ 2,01 3 ، که به میزان خواهد بود 8,120601 . بنابراین این تابع پس از آن افزایش می یابد 0,120601 . اگر ارزش ایکس = 2 افزایش حتی کمتر، به عنوان مثال، توسط 0,001 ، سپس x 3 برابر می شود 2,001 3 ، که به میزان خواهد بود 8,012006001 ، و بنابراین، در فقط افزایش خواهد یافت 0,012006001 . بنابراین، می بینیم که اگر افزایش یک عدد متغیر ایکس کمتر و کمتر خواهد شد، سپس افزایش x 3 کمتر و کمتر خواهد شد.

توجه به این خاصیت تابع y = x 3 بیایید نمودار آن را رسم کنیم. برای انجام این کار، ابتدا جدولی از مقادیر این تابع را جمع آوری می کنیم، به عنوان مثال موارد زیر:

163. نمودار یک تابع y \u003d تبر 3 . بیایید این دو تابع را در نظر بگیریم:

1) y= 1 / 2 x 3 ; 2) y = 2 x 3

اگر این توابع را با یک توابع ساده تر مقایسه کنیم: y = x 3 ، توجه می کنیم که برای همان مقدار ایکس تابع اول مقادیری دو برابر کوچکتر و تابع دوم دو برابر بزرگتر از تابع دریافت می کند y \u003d تبر 3 ، در غیر این صورت این سه تابع مشابه یکدیگر هستند. نمودارهای آنها برای مقایسه در همان نقاشی نشان داده شده است. این منحنی ها نامیده می شوند سهمی های درجه 3.

فصل ششم.

خواص اساسی استخراج ریشه

164. وظایف.

آ)ضلع مربعی را که مساحت آن برابر با مساحت یک مستطیل با قاعده 16 سانتی متر و ارتفاع 4 سانتی متر است را پیدا کنید.

ضلع مربع مورد نظر را با حرف مشخص کنید ایکس (cm)، معادله زیر را بدست می آوریم:

x 2 = 16 4، یعنی x 2 = 64.

ما به این ترتیب می بینیم که ایکس عددی وجود دارد که وقتی به توان دوم افزایش می‌یابد، به 64 می‌رسد. چنین عددی ریشه دوم 64 نامیده می‌شود. برابر است با + 8 یا - 8، زیرا (+ 8) 2 \u003d 64 و (- 8) 2 \u003d 64. عدد منفی - 8 برای کار ما مناسب نیست ، زیرا ضلع مربع باید با یک عدد حسابی معمولی بیان شود.

ب)قطعه سربی به وزن 1 کیلوگرم و 375 گرم (1375 گرم) به شکل مکعب است. اندازه لبه این مکعب چقدر است اگر معلوم شود که 1 مکعب است. سانتی متر سرب 11 گرم وزن دارد؟

بگذارید طول لبه مکعب باشد ایکس سانتی متر سپس حجم آن برابر می شود x 3 مکعب سانتی متر و وزن آن 11 خواهد بود x 3 جی.

11x 3= 1375; x 3 = 1375: 11 = 125.

ما به این ترتیب می بینیم که ایکس عددی وجود دارد که وقتی به توان سوم می رسد، عددی است 125 . چنین عددی نامیده می شود ریشه سوماز 125. همانطور که حدس می زنید برابر با 5 است، زیرا 5 3 \u003d 5 5 5 \u003d 125. بنابراین لبه مکعب که در مسئله ذکر شده است 5 سانتی متر طول دارد.

165. تعریف ریشه.ریشه دوم (یا مربع) یک عدد آ عددی که مربع آن برابر است آ . بنابراین، جذر 49 7 است، و همچنین - 7، زیرا 7 2 \u003d 49 و (- 7) 2 \u003d 49. ریشه درجه سوم (مکعب) عدد آ به عددی که مکعب آن مساوی است می گویند آ . بنابراین ریشه مکعبی 125- 5- است، زیرا (-5) 3 =(-5)(-5)(-5)= -125 است.

به طور کلی روت کنید nدرجه ام از میان آبه شماره ای زنگ زد که nدرجه -ام برابر است با آ.

عدد n ، به این معنی که ریشه چه درجه است، نامیده می شود نشانگر ریشه.

ریشه با علامت √ (نشانه رادیکال، یعنی علامت ریشه) نشان داده می شود. کلمه لاتین ریشهبه معنی ریشه امضا کردن√ اولین بار در قرن 15 معرفی شد.. در زیر خط افقی، عددی را که ریشه از آن پیدا می شود (عدد رادیکال) می نویسند و شاخص ریشه بالای سوراخ زاویه قرار می گیرد. بنابراین:

ریشه مکعب 27 نشان داده می شود ..... 3 √27;

ریشه چهارم 32 نشان داده می شود ... 3 √32.

مرسوم است که مثلاً نماگر جذر را اصلاً ننویسند.

به جای 2 √16 می نویسند √16.

عملی که با آن ریشه پیدا می شود استخراج ریشه نامیده می شود. بر خلاف ارتفاع به درجه است، زیرا به وسیله این عمل آنچه در حین اعتلای به درجه داده می شود، یعنی شالوده دیوار، جستجو می شود و آنچه داده می شود، آن چیزی است که در هنگام بالا رفتن به درجه پیدا می شود. یعنی خود مدرک بنابراین، همیشه می‌توانیم صحت استخراج ریشه را با بالا بردن یک درجه تأیید کنیم. مثلا برای بررسی

برابری: 3 √125 = 5، کافی است 5 را به یک مکعب تبدیل کنید: با دریافت عدد رادیکال 125، نتیجه می گیریم که ریشه مکعب 125 به درستی استخراج شده است.

166. ریشه حسابی.ریشه اگر از یک عدد مثبت استخراج شود و خودش عددی مثبت باشد، حساب نامیده می شود. به عنوان مثال، جذر حسابی 49 برابر با 7 است، در حالی که عدد 7 را که جذر 49 نیز می باشد، نمی توان حسابی نامید.

ما دو ویژگی زیر را برای یک ریشه حسابی نشان می دهیم.

الف) بگذارید برای یافتن عدد √49 مورد نیاز باشد. چنین ریشه ای 7 خواهد بود، زیرا 7 2 \u003d 49. بیایید از خود بپرسیم که آیا می توان عدد مثبت دیگری را پیدا کرد ایکس ، که همچنین √49 خواهد بود. بیایید فرض کنیم که چنین عددی وجود دارد. سپس باید یا کمتر از 7 یا بزرگتر از 7 باشد. اگر فرض کنیم که ایکس < 7, то тогда и x 2 < 49 (с уменьшением множимого и множителя произведение уменьшается); если же допустим, что ایکس > 7، سپس x 2 > 49. این بدان معناست که هیچ عدد مثبتی، نه کمتر از 7 و نه بزرگتر از 7، نمی تواند برابر با √49 باشد. بنابراین، از یک عدد معین فقط یک ریشه حسابی از یک درجه معین می تواند وجود داشته باشد.

اگر در مورد معنای مثبت ریشه صحبت نمی کردیم، بلکه در مورد چیزی صحبت می کردیم، به نتیجه دیگری می رسیدیم. بنابراین، √49 برابر با عدد 7 و عدد - 7 است، زیرا هر دو 7 2 \u003d 49 و (- 7) 2 \u003d 49 هستند.

ب)برای مثال هر دو عدد مثبت نابرابر را در نظر بگیرید. 49 و 56. از چه 49< 56, мы можем заключить, что и √49 < √56 (если только знаком √ будем обозначать арифметический квадратный корень). Действительно: 7 < 8. Подобно этому из того, что 64 < l25, мы можем заключить, что и 3 √64 < 3 √125

در واقع: 3 √64 = 4 و 3 √125 = 5 و 4< 5. Вообще یک عدد مثبت کوچکتر مربوط به یک ریشه حسابی کوچکتر است (در همان درجه).

167. ریشه جبری.ریشه را در صورتی جبری می گویند که لازم نباشد از یک عدد مثبت استخراج شود و خودش مثبت باشد. بنابراین، اگر تحت بیان n √آ البته ریشه جبری n درجه هفتم، این بدان معنی است که تعداد آ می تواند هم مثبت و هم منفی باشد و خود ریشه می تواند هم مثبت و هم منفی باشد.

ما 4 ویژگی زیر را برای یک ریشه جبری نشان می دهیم.

آ) ریشه فرد یک عدد مثبت یک عدد مثبت است .

بنابراین، 3 √8 باید یک عدد مثبت باشد (برابر 2 است)، زیرا یک عدد منفی که به توانی با توان فرد افزایش می یابد یک عدد منفی می دهد.

ب) ریشه فرد یک عدد منفی یک عدد منفی است.

بنابراین، 3 √-8 باید یک عدد منفی باشد (برابر 2- است)، زیرا یک عدد مثبت افزایش یافته به هر توانی یک عدد مثبت می دهد، نه یک عدد منفی.

v) ریشه یک درجه زوج از یک عدد مثبت دارای دو مقدار با علائم متضاد و با قدر مطلق یکسان است.

بله، √ +4 = + 2 و √ +4 = - 2 ، زیرا (+ 2 ) 2 = + 4 و (- 2 ) 2 = + 4 ; مشابه 4 √+81 = + 3 و 4 √+81 = - 3 ، زیرا هر دو درجه (+3) 4 و (-3) 4 برابر با همان عدد هستند. ارزش مضاعف ریشه معمولاً با قرار دادن دو علامت قبل از قدر مطلق ریشه مشخص می شود. آنها اینگونه می نویسند:

√4 = ± 2 ; √آ 2 = ± آ ;

ز) ریشه زوج یک عدد منفی نمی تواند برابر با هیچ عدد مثبت یا منفی باشد. ، از آنجایی که هر دو، پس از اینکه به توانی با توان زوج رسیدند، یک عدد مثبت می دهند و نه منفی. به عنوان مثال، √ -9 نه 3+ است و نه -3 یا هر عدد دیگری.

ریشه زوج یک عدد منفی را عدد خیالی می گویند. اعداد نسبی را اعداد حقیقی یا معتبر، شماره.

168. استخراج ریشه از حاصل، از درجه و از کسره.

آ)بیایید جذر محصول را در نظر بگیریم عضلات شکم . اگر می‌خواهید محصول را مربع کنید، همانطور که دیدیم () می‌توانید هر فاکتور را جداگانه مربع کنید. از آنجایی که استخراج ریشه معکوس افزایش قدرت است، باید انتظار داشته باشیم که برای استخراج ریشه از یک محصول، بتوان آن را از هر عامل جداگانه استخراج کرد، یعنی اینکه

√abc = √آ √ب √ج .

برای تأیید صحت این برابری، سمت راست آن را به مربع بالا می بریم (طبق قضیه: برای بالا بردن حاصلضرب به توان ...):

(√آ √ب √ج ) 2 = (√آ ) 2 (√ب ) 2 (√ج ) 2

اما با توجه به تعریف ریشه،

(√آ ) 2 = آ, (√ب ) 2 = ب (√ج ) 2 = ج

از این رو

(√آ √ب √ج ) 2 = عضلات شکم .

اگر مربع محصول √ آ √ب √ج برابر است عضلات شکم ، پس این بدان معنی است که حاصلضرب برابر است با جذر abc .

مثل این:

3 √abc = 3 √آ 3 √ب 3 √ج

(3 √آ 3 √ب 3 √ج ) 3 = (3 √آ ) 3 (3 √ب ) 3 (3 √ج ) 3 = abc

به معنای، برای استخراج ریشه از محصول کافی است آن را از هر عامل جداگانه استخراج کنید.

ب)بررسی درستی معادلات زیر آسان است:

√آ 4 = آ 2 ، زیرا (الف 2 ) 2 = آ 4 ;

3 √ایکس 12 = ایکس 4 , „ (ایکس 4 ) 3 = ایکس 12 ; و غیره.

به معنای، برای ریشه گرفتن توانی که توان آن بر توان ریشه قابل تقسیم است، می توان توان را بر توان ریشه تقسیم کرد.

v)برابری های زیر نیز صادق خواهند بود:

به معنای، برای استخراج ریشه یک کسر، می توانید از صورت و مخرج به طور جداگانه استفاده کنید.

توجه داشته باشید که در این حقایق فرض بر این است که ما در مورد ریشه های حساب صحبت می کنیم.

مثال ها.

1) √9a 4 ب 6 = √9 √آ 4 √ب 6 = 3آ 2 ب 3 ;

2) 3 √125a 6 ایکس 9 = 3 √125 3 √آ 6 3 √ایکس 9 = 5آ 2 ایکس 3

تذکر اگر ریشه مورد نظر درجه زوج جبری فرض شود، باید قبل از نتیجه یافت شده یک علامت دوتایی ± پس باشد،

√9 برابر 4 = ± 3ایکس 2 .

169. ساده ترین تبدیل رادیکال ها،

آ) فاکتور گرفتن از نشانه رادیکال.اگر عبارت رادیکال به عواملی تجزیه شود که بتوان از برخی از آنها یک ریشه استخراج کرد، این عوامل را پس از استخراج ریشه از آنها، می توان قبل از علامت رادیکال نوشت (می توان از علامت رادیکال خارج کرد).

1) √آ 3 = √آ 2 آ = √آ 2 √آ = آ √آ .

2) √ساعت 24 4 ایکس 3 = √4 6 a 4 ایکس 2 ایکس = 2a 2 x √6 برابر

3) 3 √16 x 4 = 3 √8 2 x 3 ایکس = 2 برابر 3 √2 ایکس

ب) آوردن عوامل تحت علامت رادیکال.گاهی اوقات مفید است، برعکس، کم کردن عوامل قبل از آن تحت علامت رادیکال; برای انجام این کار کافی است که این عوامل را به توانی که توان آن برابر با توان رادیکال است، برسانیم و سپس عوامل را زیر علامت رادیکال بنویسیم.

مثال ها.

1) آ 2 √آ = √(آ 2 ) 2 آ = √آ 4 آ = √آ 5 .

2) 2 برابر 3 √ایکس = 3 √(2x ) 3 ایکس = 3 √8 برابر 3 ایکس = 3 √8 برابر 4 .

v) بیان رادیکال آزاد از مخرج ها.بیایید این را با مثال های زیر نشان دهیم:

1) کسر را طوری تبدیل کنید که بتوان جذر آن را از مخرج استخراج کرد. برای انجام این کار، هر دو جمله کسر را در 5 ضرب کنید:

2) هر دو جمله کسر را در ضرب کنید 2 ، بر روی آ و در ایکس ، یعنی در 2اوه :

اظهار نظر. اگر لازم باشد ریشه را از مجموع جبری استخراج کنیم، استخراج آن از هر عبارت به طور جداگانه اشتباه است. به عنوان مثال √ 9 + 16 = √25 = 5 ، در حالیکه
√9 + √16 = 3 + 4 = 7 ; از این رو عمل استخراج ریشه با توجه به جمع (و تفریق) دارای خاصیت توزیعی نیست(و همچنین ارتقاء به درجه، بخش 2 فصل 3 § 61، تبصره).

مثال ها:

\(\sqrt(16)=2\) زیرا \(2^4=16\)
\(\sqrt(-\frac(1)(125))\) \(=\) \(-\frac(1)(5)\) ,زیرا \((-\frac(1)(5)) ^3\) \(=\) \(-\frac(1)(125)\)

چگونه ریشه درجه n را محاسبه کنیم؟

برای محاسبه ریشه \(n\)-امین، باید این سوال را از خود بپرسید: چه عددی به درجه \(n\)-امین زیر ریشه می دهد؟

برای مثال. ریشه \(n\)امین را محاسبه کنید: a)\(\sqrt(16)\); ب) \(\sqrt(-64)\); ج) \(\sqrt(0.00001)\); د)\(\sqrt(8000)\); e) \(\sqrt(\frac(1)(81))\).

الف) چه عددی به توان \(4\) \(16\) می دهد؟ بدیهی است، \(2\). بنابراین:

ب) چه عددی به توان \(3\) \(-64\) می دهد؟

\(\sqrt(-64)=-4\)

ج) چه عددی به توان \(5\)ام \(0.00001\) می دهد؟

\(\sqrt(0.00001)=0.1\)

د) چه عددی به درجه \(3\)-امین \(8000\) می دهد؟

\(\sqrt(8000)=20\)

ه) چه عددی به توان \(4\) \(\frac(1)(81)\) می دهد؟

\(\sqrt(\frac(1)(81))=\frac(1)(3)\)

ما ساده ترین مثال ها را با ریشه درجه \(n\) در نظر گرفته ایم. برای حل مسائل پیچیده تر با ریشه های درجه \(n\)-ام، شناخت آنها ضروری است.

مثال. محاسبه:

\(\sqrt 3\cdot \sqrt(-3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(9) -\) \(=\)		در حال حاضر هیچ یک از ریشه ها قابل محاسبه نیست. بنابراین، ویژگی های ریشه \(n\)-امین درجه را اعمال می کنیم و عبارت را تبدیل می کنیم. \(\frac(\sqrt(-64))(\sqrt(2))\)\(=\)\(\sqrt(\frac(-64)(2))\) \(=\)\(\sqrt(-32)\) زیرا \(\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b))\)\(=\)\(\sqrt[n](\frac(a)(b))\)
\(=\sqrt(3)\cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(27)\cdot \sqrt(9)-\sqrt(-32)=\)		بیایید فاکتورهای جمله اول را طوری مرتب کنیم که جذر و ریشه \(n\)امین درجه در کنار هم باشند. این کار به کارگیری ویژگی ها را آسان تر می کند. اکثر خصوصیات ریشه های \(n\)ام فقط با ریشه های هم درجه کار می کنند. و ریشه درجه 5 را محاسبه می کنیم.
\(=\sqrt(3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(9)-(-5)=\)		ویژگی \(\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)=\sqrt[n](a\cdot b)\) را اعمال کنید و براکت را باز کنید
\(=\sqrt(81)\cdot \sqrt(-27)+5=\)		محاسبه \(\sqrt(81)\) و \(\sqrt(-27)\)
\(=9\cdot(-3)+5=-27+5=-22\)

آیا ریشه n و جذر به هم مرتبط هستند؟

در هر صورت، هر ریشه ای از هر درجه ای فقط یک عدد است، البته به شکل غیرعادی برای شما نوشته شده است.

تکینگی ریشه n

ریشه \(n\)-امین با \(n\) فرد را می توان از هر عددی حتی منفی گرفت (به مثال های ابتدایی مراجعه کنید). اما اگر \(n\) زوج باشد (\(\sqrt(a)\), \(\sqrt(a)\),\(\sqrt(a)\)…)، آنگاه چنین ریشه ای تنها در صورتی استخراج می شود که \( a ≥ 0\) (به هر حال، جذر همان است). این به این دلیل است که استخراج ریشه در مقابل قدرت است.

و افزایش به توان زوج حتی یک عدد منفی را مثبت می کند. در واقع، \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). بنابراین، نمی‌توانیم یک عدد منفی زیر ریشه یک درجه زوج به دست آوریم. یعنی نمی توانیم چنین ریشه ای را از یک عدد منفی استخراج کنیم.

یک توان فرد چنین محدودیتی ندارد - یک عدد منفی که به توان فرد افزایش می یابد منفی می ماند: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) ) \ cdot(-2)=-32\). بنابراین، در زیر ریشه یک درجه فرد، می توانید یک عدد منفی به دست آورید. به این معنی که امکان استخراج آن از یک عدد منفی نیز وجود دارد.