روش های حل معادلات لگاریتمی لگاریتم ها: مثال ها و راه حل ها حل معادلات لگاریتمی در ریشه

همانطور که می دانید، هنگام ضرب عبارات با توان، نشان دهنده های آنها همیشه با هم جمع می شوند (a b *a c = a b+c). این قانون ریاضی توسط ارشمیدس استخراج شد و بعدها، در قرن هشتم، ریاضیدان ویراسن جدولی از توانای اعداد صحیح ایجاد کرد. این آنها بودند که برای کشف بیشتر لگاریتم ها خدمت کردند. نمونه‌هایی از استفاده از این تابع را می‌توان تقریباً در همه جا یافت که باید ضرب دست و پا گیر را با جمع ساده ساده کنید. اگر 10 دقیقه برای خواندن این مقاله وقت بگذارید، ما به شما توضیح خواهیم داد که لگاریتم چیست و چگونه با آنها کار کنید. به زبانی ساده و در دسترس.

تعریف در ریاضیات

لگاریتم عبارتی از شکل زیر است: log a b=c، یعنی لگاریتم هر عدد غیر منفی (یعنی هر مثبت) "b" به پایه آن "a" توان "c" در نظر گرفته می شود. ” که پایه “a” باید به آن افزایش یابد تا در نهایت مقدار “b” به دست آید. بیایید لگاریتم را با استفاده از مثال ها تجزیه و تحلیل کنیم، فرض کنید یک عبارت log وجود دارد 2 8. چگونه پاسخ را پیدا کنیم؟ خیلی ساده است، باید توانی پیدا کنید که از 2 به توان مورد نیاز 8 بگیرید. پس از انجام محاسباتی در ذهن شما، عدد 3 را به دست می آوریم! و این درست است، زیرا 2 به توان 3 پاسخ 8 را می دهد.

انواع لگاریتم

برای بسیاری از دانش آموزان و دانشجویان، این موضوع پیچیده و غیرقابل درک به نظر می رسد، اما در واقع لگاریتم ها چندان ترسناک نیستند، نکته اصلی درک معنای کلی آنها و به خاطر سپردن ویژگی ها و برخی قوانین است. سه نوع مختلف از عبارت لگاریتمی وجود دارد:

1. لگاریتم طبیعی ln a، که در آن پایه عدد اویلر است (e = 2.7).
2. اعشاری a که پایه آن 10 است.
3. لگاریتم هر عدد b تا مبنای a>1.

هر یک از آنها به روشی استاندارد از جمله ساده سازی، کاهش و کاهش متعاقب آن به یک لگاریتم واحد با استفاده از قضایای لگاریتمی حل می شوند. برای به دست آوردن مقادیر صحیح لگاریتم ها، هنگام حل آنها باید ویژگی های آنها و دنباله اقدامات را به خاطر بسپارید.

قوانین و برخی محدودیت ها

در ریاضیات چندین قاعده-قید وجود دارد که به عنوان بدیهیات پذیرفته شده است، یعنی موضوع بحث نیست و حقیقت است. به عنوان مثال، تقسیم اعداد بر صفر غیرممکن است و همچنین نمی توان ریشه زوج اعداد منفی را استخراج کرد. لگاریتم ها نیز قوانین خاص خود را دارند که به دنبال آن می توانید به راحتی کار با عبارات لگاریتمی طولانی و بزرگ را یاد بگیرید:

• پایه "a" باید همیشه بزرگتر از صفر باشد و مساوی 1 نباشد، در غیر این صورت این عبارت معنای خود را از دست می دهد، زیرا "1" و "0" به هر درجه ای همیشه با مقادیر خود برابر هستند.
• اگر a > 0، سپس a b > 0، معلوم می شود که "c" نیز باید بزرگتر از صفر باشد.

چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟

به عنوان مثال، وظیفه یافتن پاسخ معادله 10 x = 100 داده می شود. این کار بسیار آسان است، شما باید یک توان را با بالا بردن عدد ده انتخاب کنید که به عدد 100 می رسیم. البته این 10 2 = است. 100.

حال بیایید این عبارت را به شکل لگاریتمی نشان دهیم. ما log 10 100 = 2 را دریافت می کنیم. هنگام حل لگاریتم، همه اقدامات عملاً همگرا می شوند تا توانی را که برای به دست آوردن یک عدد معین وارد کردن پایه لگاریتم لازم است، پیدا کنیم.

برای تعیین دقیق مقدار یک درجه مجهول، باید نحوه کار با جدول درجات را یاد بگیرید. به نظر می رسد این است:

همانطور که می بینید، اگر ذهن فنی و دانش جدول ضرب داشته باشید، می توان برخی از توان ها را به طور مستقیم حدس زد. با این حال، برای مقادیر بزرگتر به میز برق نیاز دارید. حتی برای کسانی که اصلاً در مورد موضوعات پیچیده ریاضی چیزی نمی دانند، می توان از آن استفاده کرد. ستون سمت چپ شامل اعداد (مبنای a) است، ردیف بالای اعداد مقدار توان c است که عدد a به آن افزایش می یابد. در محل تقاطع، سلول ها حاوی مقادیر عددی هستند که پاسخ هستند (a c =b). به عنوان مثال، اولین خانه را با عدد 10 در نظر می گیریم و مربع آن را مربع می کنیم، مقدار 100 را می گیریم که در محل تقاطع دو خانه ما نشان داده شده است. همه چیز به قدری ساده و آسان است که حتی واقعی ترین انسان گرا هم می فهمد!

معادلات و نابرابری ها

معلوم می شود که تحت شرایط معین، توان لگاریتم است. بنابراین، هر عبارت عددی ریاضی را می توان به عنوان یک برابری لگاریتمی نوشت. به عنوان مثال، 3 4 = 81 را می توان به عنوان لگاریتم پایه 3 81 برابر با چهار نوشت (log 3 81 = 4). برای توان های منفی قوانین یکسان است: 2 -5 = 1/32 آن را به صورت لگاریتم می نویسیم، log 2 (1/32) = -5 را دریافت می کنیم. یکی از جذاب ترین بخش های ریاضیات، موضوع "لگاریتم" است. ما بلافاصله پس از مطالعه خواص معادلات، نمونه ها و حل معادلات را در زیر بررسی خواهیم کرد. حال بیایید ببینیم که نابرابری ها چگونه هستند و چگونه آنها را از معادلات متمایز کنیم.

عبارت زیر داده می شود: log 2 (x-1) > 3 - این یک نابرابری لگاریتمی است، زیرا مقدار مجهول "x" زیر علامت لگاریتمی است. و همچنین در عبارت دو کمیت با هم مقایسه می شود: لگاریتم عدد مورد نظر به پایه دو بزرگتر از عدد سه است.

مهمترین تفاوت بین معادلات لگاریتمی و نابرابری ها این است که معادلات با لگاریتم (مثلا لگاریتم 2 x = √9) دلالت بر یک یا چند مقدار عددی خاص در پاسخ دارند، در حالی که هنگام حل نابرابری، هر دو محدوده قابل قبول است. مقادیر و نقاط با شکستن این تابع تعیین می شوند. در نتیجه، پاسخ یک مجموعه ساده از اعداد منفرد نیست، مانند پاسخ به یک معادله، بلکه یک سری یا مجموعه ای از اعداد پیوسته است.

قضایای اساسی در مورد لگاریتم

هنگام حل وظایف ابتدایی یافتن مقادیر لگاریتم، ممکن است ویژگی های آن مشخص نباشد. با این حال، هنگامی که صحبت از معادلات لگاریتمی یا نابرابری ها می شود، قبل از هر چیز، لازم است که به وضوح تمام ویژگی های اصلی لگاریتم ها را درک کرده و در عمل اعمال کنیم. در ادامه به نمونه‌هایی از معادلات خواهیم پرداخت؛ اجازه دهید ابتدا هر ویژگی را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم.

1. هویت اصلی به این صورت است: alogaB =B. فقط زمانی اعمال می شود که a بزرگتر از 0 باشد نه برابر یک و B بزرگتر از صفر باشد.
2. لگاریتم محصول را می توان در فرمول زیر نشان داد: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. در این مورد، شرط اجباری است: d، s 1 و s 2 > 0; a≠1. شما می توانید برای این فرمول لگاریتمی با مثال و راه حل اثبات کنید. اجازه دهید log a s 1 = f 1 و log a s 2 = f 2، سپس a f1 = s 1، a f2 = s 2. به دست می آوریم که s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (خواص درجه) و سپس طبق تعریف: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 که باید ثابت شود.
3. لگاریتم ضریب به این صورت است: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. قضیه به شکل فرمول به شکل زیر است: log a q b n = n/q log a b.

این فرمول "ویژگی درجه لگاریتم" نامیده می شود. این شبیه خواص درجات معمولی است و جای تعجب نیست، زیرا تمام ریاضیات بر اساس فرضیه های طبیعی است. بیایید به اثبات نگاه کنیم.

اجازه دهید log a b = t، به نظر می رسد t =b. اگر هر دو قسمت را به توان m برسانیم: a tn = b n ;

اما از آنجایی که a tn = (a q) nt/q = b n، بنابراین log a q b n = (n*t)/t، سپس log a q b n = n/q log a b. قضیه ثابت شده است.

نمونه هایی از مشکلات و نابرابری ها

رایج ترین انواع مسائل در لگاریتم مثال هایی از معادلات و نابرابری ها هستند. آنها تقریباً در تمام کتاب های مسئله یافت می شوند و همچنین جزء ضروری امتحانات ریاضی هستند. برای ورود به دانشگاه یا قبولی در امتحانات ورودی ریاضی، باید بدانید که چگونه به درستی چنین کارهایی را حل کنید.

متأسفانه هیچ طرح یا طرح واحدی برای حل و تعیین مقدار مجهول لگاریتم وجود ندارد، اما قوانین خاصی را می توان برای هر نابرابری ریاضی یا معادله لگاریتمی اعمال کرد. اول از همه، باید دریابید که آیا عبارت را می توان ساده کرد یا به یک فرم کلی تقلیل داد. اگر از خصوصیات آنها به درستی استفاده کنید، می توانید عبارات لگاریتمی طولانی را ساده کنید. بیایید سریع با آنها آشنا شویم.

هنگام حل معادلات لگاریتمی، باید مشخص کنیم که چه نوع لگاریتمی داریم: یک عبارت مثال ممکن است شامل یک لگاریتم طبیعی یا یک اعشاری باشد.

در اینجا نمونه هایی از ln100، ln1026 آورده شده است. راه حل آنها به این واقعیت خلاصه می شود که آنها باید قدرتی را تعیین کنند که پایه 10 به ترتیب برابر با 100 و 1026 خواهد بود. برای حل لگاریتم های طبیعی، باید از هویت های لگاریتمی یا ویژگی های آنها استفاده کنید. بیایید به نمونه هایی از حل مسائل لگاریتمی در انواع مختلف نگاه کنیم.

نحوه استفاده از فرمول های لگاریتمی: با مثال ها و راه حل ها

بنابراین، بیایید به نمونه هایی از استفاده از قضایای اساسی در مورد لگاریتم نگاه کنیم.

1. از خاصیت لگاریتم یک محصول می توان در کارهایی استفاده کرد که لازم است مقدار زیادی از عدد b را به عوامل ساده تر تجزیه کنیم. مثلاً log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. جواب 9 است.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - همانطور که می بینید با استفاده از چهارمین خاصیت توان لگاریتمی موفق به حل یک عبارت به ظاهر پیچیده و غیرقابل حل شدیم. شما فقط باید پایه را فاکتور بگیرید و سپس مقادیر توان را از علامت لگاریتم خارج کنید.

تکالیف از آزمون دولتی واحد

لگاریتم ها اغلب در امتحانات ورودی یافت می شوند، به ویژه بسیاری از مشکلات لگاریتمی در آزمون یکپارچه دولتی (امتحان دولتی برای همه فارغ التحصیلان مدرسه). به طور معمول، این وظایف نه تنها در بخش A (آسان ترین بخش آزمایشی امتحان)، بلکه در قسمت C (پیچیده ترین و پرحجم ترین کارها) نیز وجود دارد. آزمون نیاز به دانش دقیق و کامل از مبحث لگاریتم های طبیعی دارد.

نمونه ها و راه حل های مشکلات از نسخه های رسمی آزمون یکپارچه دولتی گرفته شده است. بیایید ببینیم چنین وظایفی چگونه حل می شوند.

با توجه به log 2 (2x-1) = 4. راه حل:
بیایید عبارت را بازنویسی کنیم، آن را کمی ساده کنیم log 2 (2x-1) = 2 2، با تعریف لگاریتم دریافت می کنیم که 2x-1 = 2 4، بنابراین 2x = 17. x = 8.5.

• بهتر است تمام لگاریتم ها را به یک پایه کاهش دهید تا راه حل دست و پا گیر و گیج کننده نباشد.
• تمام عبارات زیر علامت لگاریتم مثبت نشان داده می شوند، بنابراین، هنگامی که توان یک عبارتی که زیر علامت لگاریتم است و به عنوان پایه آن به عنوان ضریب خارج می شود، عبارت باقی مانده در زیر لگاریتم باید مثبت باشد.

آماده سازی برای آزمون نهایی در ریاضیات شامل بخش مهمی است - "لگاریتم". وظایف این مبحث لزوماً در آزمون یکپارچه ایالتی موجود است. تجربه سال‌های گذشته نشان می‌دهد که معادلات لگاریتمی برای بسیاری از دانش‌آموزان مشکل ایجاد کرده است. بنابراین، دانش آموزان با سطوح مختلف آموزشی باید بدانند که چگونه پاسخ صحیح را بیابند و به سرعت با آنها کنار بیایند.

با استفاده از پورتال آموزشی Shkolkovo آزمون گواهینامه را با موفقیت پشت سر بگذارید!

هنگام آماده شدن برای آزمون یکپارچه دولتی، فارغ التحصیلان دبیرستان به منبع معتبری نیاز دارند که کامل ترین و دقیق ترین اطلاعات را برای حل موفقیت آمیز مسائل آزمون ارائه دهد. با این حال، یک کتاب درسی همیشه در دسترس نیست و جستجوی قوانین و فرمول های لازم در اینترنت اغلب زمان می برد.

پورتال آموزشی Shkolkovo به شما این امکان را می دهد که در هر زمان و در هر مکانی برای آزمون دولتی واحد آماده شوید. وب سایت ما راحت ترین روش را برای تکرار و جذب حجم زیادی از اطلاعات در مورد لگاریتم ها و همچنین با یک و چند مجهول ارائه می دهد. با معادلات آسان شروع کنید. اگر بدون مشکل با آنها کنار آمدید، به سراغ موارد پیچیده تر بروید. اگر در حل یک نابرابری خاص مشکل دارید، می توانید آن را به موارد دلخواه خود اضافه کنید تا بتوانید بعداً به آن بازگردید.

با مراجعه به بخش "راهنمای نظری" می توانید فرمول های لازم برای تکمیل کار، تکرار موارد خاص و روش های محاسبه ریشه معادله لگاریتمی استاندارد را بیابید. معلمان Shkolkovo تمام مواد لازم برای گذراندن موفقیت آمیز را به ساده ترین و قابل فهم ترین شکل جمع آوری، سیستماتیک و ارائه کردند.

برای اینکه به راحتی با وظایف هر پیچیدگی کنار بیایید، در پورتال ما می توانید با حل برخی از معادلات لگاریتمی استاندارد آشنا شوید. برای انجام این کار، به بخش "کاتالوگ ها" بروید. ما تعداد زیادی مثال داریم، از جمله معادلات با سطح نمایه، آزمون دولتی واحد در ریاضیات.

دانش آموزان مدارس سراسر روسیه می توانند از پورتال ما استفاده کنند. برای شروع کلاس ها کافی است در سیستم ثبت نام کرده و شروع به حل معادلات کنید. برای تجمیع نتایج، به شما توصیه می کنیم که روزانه به وب سایت Shkolkovo بازگردید.

در این درس حقایق نظری اساسی در مورد لگاریتم ها را مرور می کنیم و حل ساده ترین معادلات لگاریتمی را در نظر می گیریم.

بیایید تعریف مرکزی را به یاد بیاوریم - تعریف لگاریتم. این شامل حل یک معادله نمایی است. این معادله دارای یک ریشه است که به آن لگاریتم b به پایه a می گویند:

تعریف:

لگاریتم b به پایه a، توانی است که برای بدست آوردن b باید پایه a را به آن افزایش داد.

به شما یادآوری کنیم هویت لگاریتمی پایه.

عبارت (عبارت 1) ریشه معادله (عبارت 2) است. مقدار x را از عبارت 1 به جای x در عبارت 2 جایگزین کنید و هویت لگاریتمی اصلی را بدست آورید:

بنابراین می بینیم که هر مقدار با یک مقدار مرتبط است. b را با x()، c را با y نشان می دهیم و بنابراین یک تابع لگاریتمی بدست می آوریم:

مثلا:

اجازه دهید ویژگی های اصلی تابع لگاریتمی را به یاد بیاوریم.

اجازه دهید یک بار دیگر در اینجا توجه کنیم، زیرا در زیر لگاریتم می تواند یک عبارت کاملاً مثبت به عنوان پایه لگاریتم وجود داشته باشد.

برنج. 1. نمودار یک تابع لگاریتمی با پایه های مختلف

نمودار تابع at به رنگ مشکی نشان داده شده است. برنج. 1. اگر آرگومان از صفر به بی نهایت افزایش یابد، تابع از منهای به اضافه بی نهایت افزایش می یابد.

نمودار تابع at با رنگ قرمز نشان داده شده است. برنج. 1.

ویژگی های این تابع:

دامنه: ؛

محدوده مقادیر: ;

تابع در کل دامنه تعریف خود یکنواخت است. هنگامی که یکنواخت (به شدت) افزایش می یابد، مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار بزرگتر تابع مطابقت دارد. هنگامی که به صورت یکنواخت (به شدت) کاهش می یابد، مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار کوچکتر تابع مطابقت دارد.

خواص تابع لگاریتمی کلید حل انواع معادلات لگاریتمی است.

بیایید ساده ترین معادله لگاریتمی را در نظر بگیریم؛ تمام معادلات لگاریتمی دیگر، به عنوان یک قاعده، به این شکل کاهش می یابد.

از آنجایی که پایه لگاریتم ها و خود لگاریتم ها با هم برابر هستند، توابع زیر لگاریتم نیز برابر هستند، اما نباید دامنه تعریف را از دست داد. فقط یک عدد مثبت می تواند زیر لگاریتم ظاهر شود، ما داریم:

ما متوجه شدیم که توابع f و g برابر هستند، بنابراین کافی است هر نابرابری را برای مطابقت با ODZ انتخاب کنیم.

بنابراین، ما یک سیستم مختلط داریم که در آن یک معادله و یک نابرابری وجود دارد:

به عنوان یک قاعده، نیازی به حل یک نابرابری نیست، کافی است معادله را حل کنید و ریشه های یافت شده را جایگزین نامساوی کنید، بنابراین بررسی انجام می شود.

اجازه دهید روشی برای حل ساده ترین معادلات لگاریتمی فرموله کنیم:

مساوی کردن پایه های لگاریتم؛

معادل سازی توابع زیر لگاریتمی؛

بررسی را انجام دهید.

بیایید به نمونه های خاص نگاه کنیم.

مثال 1 - معادله را حل کنید:

پایه های لگاریتم ها در ابتدا برابر هستند، ما حق داریم عبارات زیر لگاریتمی را معادل سازی کنیم، ODZ را فراموش نکنید، اولین لگاریتم را برای ایجاد نابرابری انتخاب می کنیم:

مثال 2 - معادله را حل کنید:

تفاوت این معادله با معادله قبلی این است که پایه های لگاریتم ها کمتر از یک هستند، اما این به هیچ وجه روی جواب تأثیر نمی گذارد:

بیایید ریشه را پیدا کنیم و آن را با نامساوی جایگزین کنیم:

ما یک نابرابری نادرست دریافت کردیم، به این معنی که ریشه یافت شده ODZ را برآورده نمی کند.

مثال 3 - معادله را حل کنید:

مبانی لگاریتم ها در ابتدا برابر هستند، ما حق داریم عبارات زیر لگاریتمی را معادل سازی کنیم، ODZ را فراموش نکنید، لگاریتم دوم را برای ایجاد نابرابری انتخاب می کنیم:

بیایید ریشه را پیدا کنیم و آن را با نامساوی جایگزین کنیم:

بدیهی است که تنها ریشه اول ODZ را برآورده می کند.

معادلات لگاریتمی و نامساویدر آزمون دولتی واحد در ریاضیات به آن اختصاص دارد مشکل C3 . هر دانش آموزی اگر بخواهد امتحان آتی را با «خوب» یا «عالی» قبول کند، باید حل تکالیف C3 را از امتحان دولتی واحد در ریاضیات بیاموزد. این مقاله مروری کوتاه بر معادلات لگاریتمی و نابرابری های رایج و همچنین روش های اساسی برای حل آنها ارائه می دهد.

بنابراین، بیایید امروز به چند نمونه نگاه کنیم. معادلات لگاریتمی و نابرابری ها، که در آزمون دولتی واحد ریاضی سال های گذشته به دانش آموزان ارائه شد. اما با خلاصه‌ای از نکات نظری اصلی که برای حل آن‌ها نیاز داریم، شروع می‌شود.

تابع لگاریتمی

تعریف

عملکرد فرم

0,\, a\ne 1 \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

تماس گرفت تابع لگاریتمی.

خواص اساسی

ویژگی های اصلی تابع لگاریتمی y= ثبت نام تبر:

نمودار یک تابع لگاریتمی است منحنی لگاریتمی:

خواص لگاریتم ها

لگاریتم محصولدو عدد مثبت برابر است با مجموع لگاریتم این اعداد:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

لگاریتم ضریبدو عدد مثبت برابر است با اختلاف لگاریتم این اعداد:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

اگر آو ب آ≠ 1، سپس برای هر عدد r برابری درست است:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

برابریورود به سیستم آ تی= ثبت نام آ س، جایی که آ > 0, آ ≠ 1, تی > 0, س> 0، معتبر است اگر و فقط اگر تی = س

اگر آ, ب, جاعداد مثبت هستند و آو جبا وحدت و سپس برابری متفاوت است ( فرمول انتقال به یک پایه لگاریتمی جدید):

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

قضیه 1.اگر f(ایکس) > 0 و g(ایکس) > 0، سپس لاگ معادله لگاریتمی a f(ایکس) = ورود یک گرم(ایکس) (جایی که آ > 0, آ≠ 1) معادل معادله است f(ایکس) = g(ایکس).

حل معادلات لگاریتمی و نامساوی

مثال 1.معادله را حل کنید:

راه حل.محدوده مقادیر قابل قبول فقط شامل مواردی می شود ایکس، که عبارت زیر علامت لگاریتم بزرگتر از صفر است. این مقادیر توسط سیستم نابرابری های زیر تعیین می شوند:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

با توجه به اینکه

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

بازه ای را بدست می آوریم که محدوده مقادیر مجاز این معادله لگاریتمی را مشخص می کند:

بر اساس قضیه 1 که همه شرایط آن در اینجا برآورده می شود، به معادله درجه دوم معادل زیر می رویم:

محدوده مقادیر قابل قبول فقط ریشه اول را شامل می شود.

پاسخ: x = 7.

مثال 2.معادله را حل کنید:

راه حل.محدوده مقادیر قابل قبول معادله توسط سیستم نابرابری ها تعیین می شود:

ql-right-eqno">

راه حل.محدوده مقادیر قابل قبول معادله در اینجا به راحتی تعیین می شود: ایکس > 0.

ما از جایگزینی استفاده می کنیم:

معادله تبدیل می شود:

تعویض معکوس:

هر دو پاسخدر محدوده مقادیر قابل قبول معادله قرار دارند زیرا اعداد مثبت هستند.

مثال 4.معادله را حل کنید:

راه حل.بیایید با تعیین محدوده مقادیر قابل قبول معادله راه حل را دوباره شروع کنیم. توسط سیستم نابرابری های زیر تعیین می شود:

ql-right-eqno">

پایه لگاریتم ها یکسان است، بنابراین در محدوده مقادیر قابل قبول می توانیم به معادله درجه دوم زیر برویم:

ریشه اول در محدوده مقادیر قابل قبول معادله نیست، اما دومی است.

پاسخ: ایکس = -1.

مثال 5.معادله را حل کنید:

راه حل.ما در این بین به دنبال راه حل خواهیم بود ایکس > 0, ایکس≠1. بیایید معادله را به یک معادل تبدیل کنیم:

هر دو پاسخدر محدوده مقادیر قابل قبول معادله قرار دارند.

مثال 6.معادله را حل کنید:

راه حل.سیستم نابرابری که محدوده مقادیر مجاز معادله را تعریف می کند این بار به شکل زیر است:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

با استفاده از خواص لگاریتم، معادله را به معادله ای تبدیل می کنیم که در محدوده مقادیر قابل قبول معادل است:

با استفاده از فرمول انتقال به یک پایه لگاریتمی جدید، به دست می آوریم:

محدوده مقادیر قابل قبول فقط شامل یک عدد می شود پاسخ: ایکس = 4.

اکنون به ادامه مطلب می پردازیم نابرابری های لگاریتمی . این دقیقاً همان چیزی است که در امتحان دولتی واحد ریاضیات باید با آن سر و کار داشته باشید. برای حل مثال های بیشتر به قضیه زیر نیاز داریم:

قضیه 2.اگر f(ایکس) > 0 و g(ایکس) > 0، سپس:
در آ> 1 لاگ نابرابری لگاریتمی a f(ایکس) > ورود a g(ایکس) معادل نابرابری به همین معنی است: f(ایکس) > g(ایکس);
در 0< آ < 1 логарифмическое неравенство log a f(ایکس) > ورود a g(ایکس) معادل نابرابری به معنای مخالف است: f(ایکس) < g(ایکس).

مثال 7.حل نابرابری:

راه حل.بیایید با تعریف محدوده مقادیر قابل قبول نابرابری شروع کنیم. عبارت زیر علامت تابع لگاریتمی باید فقط مقادیر مثبت داشته باشد. این بدان معنی است که محدوده مورد نیاز مقادیر قابل قبول توسط سیستم نابرابری های زیر تعیین می شود:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

از آنجایی که پایه لگاریتم عددی کوچکتر از یک است، تابع لگاریتمی مربوطه کاهش خواهد یافت و بنابراین، طبق قضیه 2، انتقال به نابرابری درجه دوم زیر معادل خواهد بود:

در نهایت با در نظر گرفتن محدوده مقادیر قابل قبول به دست می آوریم پاسخ:

مثال 8.حل نابرابری:

راه حل.بیایید دوباره با تعریف محدوده مقادیر قابل قبول شروع کنیم:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

در مجموعه مقادیر مجاز نابرابری، تبدیل‌های معادل را انجام می‌دهیم:

پس از کاهش و انتقال به معادل نابرابری توسط قضیه 2، به دست می آوریم:

با در نظر گرفتن محدوده مقادیر قابل قبول، نهایی را بدست می آوریم پاسخ:

مثال 9.حل نابرابری لگاریتمی:

راه حل.محدوده مقادیر قابل قبول نابرابری توسط سیستم زیر تعیین می شود:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

مشاهده می شود که در محدوده مقادیر قابل قبول، عبارت در پایه لگاریتم همیشه بزرگتر از یک است و بنابراین، طبق قضیه 2، انتقال به نابرابری زیر معادل خواهد بود:

با در نظر گرفتن دامنه مقادیر قابل قبول، پاسخ نهایی را به دست می آوریم:

مثال 10.حل نابرابری:

راه حل.

محدوده مقادیر قابل قبول نابرابری توسط سیستم نابرابری ها تعیین می شود:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

روش Iاجازه دهید از فرمول انتقال به یک پایه جدید لگاریتم استفاده کنیم و به سمت نابرابری برویم که در محدوده مقادیر قابل قبول معادل است.

ریاضی چیزی فراتر از علم است، این زبان علم است.

نیلز بور، فیزیکدان و چهره عمومی دانمارکی

معادلات لگاریتمی

از جمله کارهای معمولی, در آزمون های ورودی (رقابتی) ارائه می شود, وظایف هستند, مربوط به حل معادلات لگاریتمی برای حل موفقیت آمیز چنین مسائلی، باید دانش خوبی از خواص لگاریتم داشته باشید و مهارت استفاده از آنها را داشته باشید.

در این مقاله ابتدا مفاهیم و ویژگی‌های اصلی لگاریتم معرفی می‌شود., و سپس نمونه هایی از حل معادلات لگاریتمی در نظر گرفته می شود.

مفاهیم و ویژگی های اساسی

ابتدا ویژگی های اصلی لگاریتم ها را ارائه می کنیم, استفاده از آن به فرد اجازه می دهد تا معادلات لگاریتمی نسبتاً پیچیده را با موفقیت حل کند.

هویت لگاریتمی اصلی به صورت نوشته شده است

, (1)

از جمله شناخته شده ترین خواص لگاریتم برابری های زیر است:

1. اگر،،، و، سپس،

2. اگر ، ، ، و ، سپس .

3. اگر،، و، سپس .

4. اگر،، و عدد طبیعی، آن

5. اگر،، و عدد طبیعی، آن

6. اگر ، ، و ، سپس .

7. اگر ، ، و ، سپس .

خواص پیچیده تر لگاریتم ها از طریق جملات زیر فرموله می شوند:

8. اگر،،،، و، سپس

9. اگر، و، سپس

10. اگر،،،، و، پس

اثبات دو ویژگی آخر لگاریتم در کتاب درسی نویسنده "ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: بخش های اضافی ریاضیات مدرسه" آمده است (M.: Lenand / URSS, 2014).

همچنین شایان ذکر استعملکرد چیست در حال افزایش است, اگر , و کاهش , اگر .

بیایید به مثال هایی از مسائل حل معادلات لگاریتمی نگاه کنیم, به ترتیب افزایش سختی مرتب شده است.

نمونه هایی از حل مسئله

مثال 1. معادله را حل کنید

. (2)

راه حل.از معادله (2) داریم . بیایید معادله را به صورت زیر تبدیل کنیم: , یا .

زیرا ، سپس ریشه معادله (2) است.

پاسخ: .

مثال 2. معادله را حل کنید

راه حل. معادله (3) معادل معادلات است

یا .

از اینجا می گیریم.

پاسخ: .

مثال 3. معادله را حل کنید

راه حل. از رابطه (4) به دست می آید، چی . استفاده از هویت لگاریتمی پایه (1)، ما میتوانیم بنویسیم

یا .

اگر قرار دهید سپس از اینجا یک معادله درجه دوم بدست می آوریم, که دو ریشه داردو . با این حال، بنابراین و یک ریشه مناسب از معادلهتنهاست . از آن پس یا .

پاسخ: .

مثال 4. معادله را حل کنید

راه حل.محدوده مقادیر مجاز متغیردر معادله (5) هستند.

بگذار باشد . از آنجایی که تابعدر حوزه تعریف در حال کاهش است، و عملکرد در طول کل خط اعداد افزایش می یابد، سپس معادله نمی تواند بیش از یک ریشه داشته باشد.

با انتخاب ما تنها ریشه را پیدا می کنیم.

پاسخ: .

مثال 5. معادله را حل کنید.

راه حل.اگر هر دو طرف معادله به صورت لگاریتمی به مبنای 10 در نظر گرفته شوند، آنگاه

یا .

حل معادله درجه دوم برای ، بدست می آوریم و . بنابراین، در اینجا ما و .

پاسخ: ، .

مثال 6. معادله را حل کنید

. (6)

راه حل.اجازه دهید از هویت (1) استفاده کرده و معادله (6) را به صورت زیر تبدیل کنیم:

یا .

پاسخ: ، .

مثال 7. معادله را حل کنید

. (7)

راه حل.با در نظر گرفتن اموال 9، داریم. در این راستا معادله (7) شکل می گیرد

از اینجا می گیریم یا .

پاسخ: .

مثال 8. معادله را حل کنید

. (8)

راه حل.اجازه دهید از ویژگی 9 استفاده کنیم و معادله (8) را به شکل معادل بازنویسی کنیم.

اگر پس از آن تعیین کنیم, سپس یک معادله درجه دوم بدست می آوریم، جایی که . از آنجایی که معادلهفقط یک ریشه مثبت دارد، سپس یا . این دلالت می کنه که .

پاسخ: .

مثال 9. معادله را حل کنید

. (9)

راه حل. از آنجایی که از رابطه (9) به دست می آیدسپس اینجا با توجه به اموال 10، قابل نوشتن است.

در این راستا معادله (9) معادل معادلات خواهد بود

یا .

از اینجا ریشه معادله (9) را بدست می آوریم.

مثال 10. معادله را حل کنید

. (10)

راه حل.محدوده مقادیر مجاز متغیر در رابطه (10) برابر است با . با توجه به اموال 4 اینجا داریم

. (11)

از آنجا که، پس معادله (11) شکل یک معادله درجه دوم را به خود می گیرد، که در آن . ریشه های یک معادله درجه دوم و .

از آن پس و . از اینجا می گیریم و .

پاسخ: ، .

مثال 11. معادله را حل کنید

. (12)

راه حل.اجازه دهید آن را نشان دهیم و معادله (12) شکل می گیرد

یا

. (13)

به راحتی می توان دریافت که ریشه معادله (13) برابر است. اجازه دهید نشان دهیم که این معادله هیچ ریشه دیگری ندارد. برای انجام این کار، هر دو طرف را تقسیم کنید و معادله معادل آن را بدست آورید

. (14)

از آنجایی که تابع در حال کاهش است و تابع در کل محور عددی در حال افزایش است، پس معادله (14) نمی تواند بیش از یک ریشه داشته باشد. از آنجایی که معادلات (13) و (14) معادل هستند، معادله (13) یک ریشه دارد.

از آن پس و .

پاسخ: .

مثال 12. معادله را حل کنید

. (15)

راه حل.نشان می دهیم و . از آنجایی که تابع در دامنه تعریف کاهش می یابد و تابع برای هر مقداری افزایش می یابد، معادله نمی تواند ریشه یکسانی داشته باشد. با انتخاب مستقیم مشخص می کنیم که ریشه مورد نظر معادله (15) برابر است.

پاسخ: .

مثال 13. معادله را حل کنید

. (16)

راه حل.با استفاده از خواص لگاریتم، به دست می آوریم

از آن به بعد و ما نابرابری داریم

نابرابری حاصل با معادله (16) فقط در موردی منطبق است که یا .

با جایگزینی ارزشدر معادله (16) ما متقاعد شده ایم که، چی ریشه آن است

پاسخ: .

مثال 14. معادله را حل کنید

. (17)

راه حل.از آنجایی که در اینجا، معادله (17) شکل می گیرد.

اگر قرار دهیم، معادله را بدست می آوریم

, (18)

جایی که . از رابطه (18) به دست می آید: یا . از آنجایی که معادله یک ریشه مناسب دارد. با این حال، به همین دلیل است.

مثال 15. معادله را حل کنید

. (19)

راه حل.اجازه دهید علامت گذاری کنیم، سپس معادله (19) شکل می گیرد. اگر این معادله را بر مبنای 3 بگیریم، به دست می آید

یا

به دنبال آن است که و . از آن پس و . در این راستا و.

پاسخ: ، .

مثال 16. معادله را حل کنید

. (20)

راه حل. بیایید پارامتر را وارد کنیمو معادله (20) را در قالب یک معادله درجه دوم با توجه به پارامتر بازنویسی کنید.، یعنی

. (21)

ریشه های معادله (21) هستند

یا ، . از آنجا که ، ما معادلات و . از اینجا می گیریم و .

پاسخ: ، .

مثال 17. معادله را حل کنید

. (22)

راه حل.برای تعیین دامنه تعریف متغیر در معادله (22)، لازم است مجموعه ای از سه نابرابری در نظر گرفته شود: , و .

اعمال ملک 2, از رابطه (22) بدست می آوریم

یا

. (23)

اگر در رابطه (23) قرار دهیم, سپس معادله را بدست می آوریم

. (24)

معادله (24) به صورت زیر حل می شود:

یا

به دنبال آن است که و، i.e. معادله (24) دو ریشه دارد: و .

از آن پس یا .

پاسخ: ، .

مثال 18. معادله را حل کنید

. (25)

راه حل.با استفاده از خواص لگاریتم، معادله (25) را به صورت زیر تبدیل می کنیم:

, , .

از اینجا می گیریم.

مثال 19. معادله را حل کنید

. (26)

راه حل.از آن به بعد.

بعد، داریم. از این رو، برابری (26) تنها در صورتی ارضا می شود, وقتی هر دو طرف معادله همزمان برابر با 2 باشند.

بدین ترتیب ، معادله (26) معادل سیستم معادلات است

از معادله دوم سیستم بدست می آوریم

یا .

دیدن آن آسان استبه چه معناست همچنین معادله اول سیستم را برآورده می کند.

پاسخ: .

برای مطالعه عمیق‌تر روش‌های حل معادلات لگاریتمی می‌توانید به کتاب‌های درسی از فهرست متون پیشنهادی مراجعه کنید.

1. Kushnir A.I. شاهکارهای ریاضی مدرسه (مسائل و راه حل ها در دو کتاب). - کیف: آستارت، کتاب 1، 1995. – 576 ص.

2. مجموعه مسائل ریاضی برای متقاضیان کالج / ویرایش. M.I. اسکانوی. - م.: صلح و آموزش، 2013. – 608 ص.

3. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: بخش های اضافی برنامه درسی مدرسه. - M.: Lenand / URSS، 2014. – 216 ص.

4. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: وظایف با پیچیدگی افزایش یافته - M.: CD "Librocom" / URSS، 2017. – 200 ص.

5. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: روش های غیر استاندارد برای حل مسائل. - M.: CD "Librocom" / URSS، 2017. – 296 ص.

هنوز سوالی دارید؟

برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.