بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع در یک بخش. نحوه پیدا کردن حداکثر یا حداقل یک تابع درجه دوم کوچکترین و بزرگترین مقادیر صحیح یک تابع را پیدا کنید.

اجازه دهید تابع y=f(ایکس)پیوسته در بخش [ الف، ب]. همانطور که مشخص است، چنین تابعی در این بازه به حداکثر و حداقل مقادیر خود می رسد. تابع می تواند این مقادیر را در یک نقطه داخلی از بخش [ الف، ب] یا در مرز قطعه.

برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع در بازه [ الف، ب] لازم:

1) نقاط بحرانی تابع را در بازه ( الف، ب);

2) مقادیر تابع را در نقاط بحرانی یافت شده محاسبه کنید.

3) مقادیر تابع را در انتهای بخش، یعنی برای محاسبه کنید ایکس=آو x = ب;

4) از بین تمام مقادیر محاسبه شده تابع، بزرگترین و کوچکترین را انتخاب کنید.

مثال.بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع را پیدا کنید

در بخش

یافتن نقاط بحرانی:

این نقاط در داخل بخش قرار دارند. y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

در نقطه ایکس= 3 و در نقطه ایکس= 0.

بررسی یک تابع برای تحدب و یک نقطه عطف.

تابع y = f (ایکس) تماس گرفت محدبدر بین (آ, ب) ، اگر نمودار آن زیر یک مماس رسم شده در هر نقطه از این بازه قرار گیرد و فراخوانی شود محدب به پایین (مقعر)اگر نمودار آن بالاتر از مماس باشد.

نقطه ای در گذار که از طریق آن تحدب با تقعر جایگزین می شود یا برعکس، نامیده می شود. نقطه عطف.

الگوریتم بررسی تحدب و نقطه عطف:

1. نقاط بحرانی نوع دوم را بیابید، یعنی نقاطی که مشتق دوم برابر با صفر است یا وجود ندارد.

2. نقاط بحرانی را روی خط اعداد قرار دهید و آن را به فواصل تقسیم کنید. علامت مشتق دوم را در هر بازه پیدا کنید. اگر، تابع به سمت بالا محدب است، اگر، پس تابع به سمت پایین محدب است.

3. اگر هنگام عبور از نقطه بحرانی نوع دوم تغییر علامت دهد و در این نقطه مشتق دوم برابر با صفر باشد، این نقطه آبسیس نقطه عطف است. ترتیب آن را پیدا کنید.

مجانب نمودار یک تابع. بررسی یک تابع در مجانب.

تعریف.مجانب نمودار یک تابع نامیده می شود سر راست، که این خاصیت را دارد که فاصله هر نقطه از نمودار تا این خط با حذف نامحدود نقطه نمودار از مبدا به صفر می رسد.

سه نوع مجانب وجود دارد: عمودی، افقی و شیب دار.

تعریف.دایرکت تماس گرفت مجانب عمودینمودار تابع y = f(x)، اگر حداقل یکی از حدود یک طرفه تابع در این نقطه برابر با بی نهایت باشد،

نقطه ناپیوستگی تابع کجاست، یعنی به حوزه تعریف تعلق ندارد.

مثال.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

ایکس= 2 - نقطه شکست.

تعریف.سر راست y=آتماس گرفت مجانب افقینمودار تابع y = f(x)در، اگر

مثال.

ایکس
y

تعریف.سر راست y=کx +ب (ک≠ 0) نامیده می شود مجانب مایلنمودار تابع y = f(x)در، کجا

طرح کلی برای مطالعه توابع و رسم.

الگوریتم تحقیق توابعy = f(x) :

1. دامنه تابع را پیدا کنید D (y).

2. نقاط تقاطع نمودار را با محورهای مختصات (با ایکس= 0 و در y = 0).

3. بررسی توابع زوج و فرد ( y (‒ ایکس) = y (ایکس) ‒ برابری؛ y(‒ ایکس) = ‒ y (ایکس) ‒ فرد).

4. مجانب نمودار تابع را بیابید.

5. فواصل یکنواختی تابع را بیابید.

6. منتهی الیه تابع را بیابید.

7. فواصل تحدب (تقعر) و نقاط عطف نمودار تابع را بیابید.

8. بر اساس تحقیق انجام شده نموداری از تابع بسازید.

مثال.تابع را بررسی کنید و نمودار آن را رسم کنید.

1) D (y) =

ایکس= 4 - نقطه شکست.

2) چه زمانی ایکس = 0,

(0; – 5) – نقطه تقاطع با اوه.

در y = 0,

3) y(‒ ایکس)= تابع کلی (نه زوج و نه فرد).

4) مجانبی را بررسی می کنیم.

الف) عمودی

ب) افقی

ج) مجانب مایل را در کجا بیابید

- معادله مجانبی مورب

5) در این معادله نیازی به یافتن فواصل یکنواختی تابع نیست.

6)

این نقاط بحرانی کل دامنه تابع را در بازه (˗∞؛ ˗2)، (˗2؛ 4)، (4؛ 10) و (10؛ +∞) تقسیم بندی می کنند. ارائه نتایج به دست آمده در قالب جدول زیر راحت است:

				بدون اضافی

از جدول می توان دریافت که نقطه ایکس= ‒2‒حداکثر نقطه، در نقطه ایکس= 4‒ بدون افراط، ایکس= 10 - حداقل امتیاز.

مقدار (‒ 3) را در معادله جایگزین کنید:

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

حداکثر این تابع است

(– 2؛ – 4) – حداکثر افراط.

حداقل این تابع است

(10؛ 20) حداقل افراط است.

7) تحدب و نقطه عطف نمودار تابع را بررسی کنید

اجازه دهید تابع $z=f(x,y)$ در برخی دامنه های بسته محدود شده $D$ تعریف و پیوسته باشد. اجازه دهید تابع داده شده مشتقات جزئی محدود مرتبه اول در این ناحیه داشته باشد (به استثنای تعداد محدودی از نقاط). برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع از دو متغیر در یک منطقه بسته معین، سه مرحله از یک الگوریتم ساده مورد نیاز است.

الگوریتم یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع $z=f(x,y)$ در دامنه بسته $D$.

1. نقاط بحرانی تابع $z=f(x,y)$ را که به منطقه $D$ تعلق دارند را پیدا کنید. محاسبه مقادیر تابع در نقاط بحرانی
2. رفتار تابع $z=f(x,y)$ را در مرز ناحیه $D$ با یافتن نقاط حداکثر و حداقل مقادیر ممکن بررسی کنید. مقادیر تابع را در نقاط به دست آمده محاسبه کنید.
3. از مقادیر تابع به دست آمده در دو پاراگراف قبلی، بزرگترین و کوچکترین را انتخاب کنید.

نقاط بحرانی چیست؟ نمایش/پنهان کردن

زیر نقاط بحرانیدلالت بر نقاطی دارد که در آن هر دو مشتق جزئی مرتبه اول برابر با صفر هستند (یعنی $\frac(\z جزئی)(\x جزئی)=0$ و $\frac(\جزئی z)(\جزئی y)=0 $) یا حداقل یک مشتق جزئی وجود ندارد.

اغلب نقاطی که مشتقات جزئی مرتبه اول برابر با صفر هستند نامیده می شوند نقاط ثابت. بنابراین، نقاط ثابت زیر مجموعه ای از نقاط بحرانی هستند.

مثال شماره 1

مقادیر حداکثر و حداقل تابع $z=x^2+2xy-y^2-4x$ را در ناحیه بسته محدود شده توسط خطوط $x=3$، $y=0$ و $y=x بیابید. +1 دلار

موارد بالا را دنبال می کنیم، اما ابتدا به ترسیم یک ناحیه معین می پردازیم که آن را با حرف $D$ نشان می دهیم. معادلات سه خط مستقیم به ما داده می شود که این ناحیه را محدود می کند. خط مستقیم $x=3$ از نقطه $(3;0)$ موازی با محور y (محور Oy) می گذرد. خط مستقیم $y=0$ معادله محور آبسیسا (محور Ox) است. خوب، برای ساختن یک خط مستقیم $y=x+1$، بیایید دو نقطه را پیدا کنیم که از طریق آنها این خط مستقیم را رسم کنیم. البته می توانید چند مقدار دلخواه را به جای $x$ جایگزین کنید. به عنوان مثال، با جایگزینی $x=10$، دریافت می کنیم: $y=x+1=10+1=11$. ما نقطه $(10;11)$ را در خط $y=x+1$ پیدا کردیم. با این حال، بهتر است نقاطی را پیدا کنید که خط $y=x+1$ با خطوط $x=3$ و $y=0$ تلاقی می کند. چرا بهتر است؟ زیرا ما چند پرنده را با یک سنگ روی زمین می گذاریم: برای ساختن خط مستقیم $y=x+1$ دو امتیاز بدست می آوریم و در همان زمان متوجه می شویم که این خط مستقیم در چه نقاطی خطوط دیگری را که خط داده شده را محدود می کنند قطع می کند. حوزه. خط $y=x+1$ خط $x=3$ را در نقطه $(3;4)$ و خط $y=0$ - را در نقطه $(-1;0)$ قطع می کند. برای اینکه سیر راه حل را با توضیحات کمکی به هم نریزم، موضوع حصول این دو نکته را در یادداشتی مطرح می کنم.

امتیاز $(3;4)$ و $(-1;0)$ چگونه به دست آمد؟ نمایش/پنهان کردن

از نقطه تلاقی خطوط $y=x+1$ و $x=3$ شروع می کنیم. مختصات نقطه مورد نظر به هر دو خط اول و دوم تعلق دارد، بنابراین برای یافتن مختصات مجهول باید سیستم معادلات را حل کنید:

$$ \چپ \( \begin(تراز شده) & y=x+1;\\ & x=3. \end (تراز شده) \راست. $$

راه حل چنین سیستمی بی اهمیت است: با جایگزینی $x=3$ در معادله اول خواهیم داشت: $y=3+1=4$. نقطه $(3;4)$ نقطه تلاقی مورد نظر خطوط $y=x+1$ و $x=3$ است.

حالا نقطه تلاقی خطوط $y=x+1$ و $y=0$ را پیدا می کنیم. دوباره سیستم معادلات را می سازیم و حل می کنیم:

$$ \چپ \( \begin(تراز شده) & y=x+1;\\ & y=0. \end (تراز شده) \راست. $$

با جایگزینی $y=0$ در معادله اول، دریافت می کنیم: $0=x+1$، $x=-1$. نقطه $(-1;0)$ نقطه تلاقی مورد نظر خطوط $y=x+1$ و $y=0$ (محور آبسیسا) است.

همه چیز برای ساختن نقشه ای آماده است که به شکل زیر باشد:

سوال یادداشت واضح به نظر می رسد، زیرا همه چیز را می توان از شکل مشاهده کرد. با این حال، شایان ذکر است که این نقاشی نمی تواند به عنوان مدرک باشد. شکل فقط یک تصویر برای وضوح است.

منطقه ما با استفاده از معادلات خطوطی که آن را محدود می کند تنظیم شده است. واضح است که این خطوط یک مثلث را تعریف می کنند، اینطور نیست؟ یا کاملا واضح نیست؟ یا شاید به ما منطقه متفاوتی داده می شود که با همان خطوط محدود شده است:

البته شرط می گوید منطقه بسته است پس تصویر نشان داده شده اشتباه است. اما برای جلوگیری از این گونه ابهامات، بهتر است مناطق را با نابرابری تعریف کنیم. ما به قسمتی از هواپیما که زیر خط $y=x+1$ قرار دارد علاقه مندیم؟ خوب، پس $y ≤ x+1$. منطقه ما باید بالای خط $y=0$ واقع شود؟ عالی، پس $y ≥ 0$. به هر حال، دو نابرابری آخر به راحتی در یکی ترکیب می شوند: $0 ≤ y ≤ x+1 $.

$$ \ چپ \( \شروع (تراز شده) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end (تراز شده) \راست. $$

این نابرابری ها دامنه $D$ را تعریف می کنند و آن را به صورت منحصر به فرد و بدون هیچ گونه ابهامی تعریف می کنند. اما این چگونه در سوال ابتدای پاورقی به ما کمک می کند؟ همچنین کمک خواهد کرد :) ما باید بررسی کنیم که آیا نقطه $M_1(1;1)$ متعلق به منطقه $D$ است یا خیر. اجازه دهید $x=1$ و $y=1$ را در سیستم نابرابری‌هایی که این ناحیه را تعریف می‌کنند، جایگزین کنیم. اگر هر دو نابرابری ارضا شوند، آنگاه نقطه در داخل منطقه نهفته است. اگر حداقل یکی از نابرابری ها برآورده نشود، آن نقطه متعلق به منطقه نیست. بنابراین:

$$ \ چپ \( \ آغاز (تراز شده) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(تراز شده) \راست. \;\; \چپ \( \شروع(تراز) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(تراز شده) \راست.$$

هر دو نابرابری درست است. نقطه $M_1(1;1)$ متعلق به منطقه $D$ است.

اکنون نوبت بررسی رفتار تابع در مرز دامنه است، یعنی. رفتن به. بیایید با خط مستقیم $y=0$ شروع کنیم.

خط مستقیم $y=0$ (محور آبسیسا) منطقه $D$ را تحت شرایط $-1 ≤ x ≤ 3$ محدود می کند. $y=0$ را در تابع داده شده $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$ جایگزین کنید. تابع جایگزینی حاصل از یک متغیر $x$ به صورت $f_1(x)$ نشان داده می شود:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

اکنون برای تابع $f_1(x)$ باید بزرگترین و کوچکترین مقادیر را در بازه $-1 ≤ x ≤ 3$ پیدا کنیم. مشتق این تابع را بیابید و آن را با صفر برابر کنید:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

مقدار $x=2$ متعلق به بخش $-1 ≤ x ≤ 3$ است، بنابراین ما نیز $M_2(2;0)$ را به لیست نقاط اضافه می کنیم. علاوه بر این، مقادیر تابع $z$ را در انتهای بخش $-1 ≤ x ≤ 3$ محاسبه می کنیم، یعنی. در نقاط $M_3(-1;0)$ و $M_4(3;0)$. ضمناً، اگر نقطه $M_2$ متعلق به بخش مورد نظر نبود، مسلماً نیازی به محاسبه مقدار تابع $z$ در آن نخواهد بود.

بنابراین، بیایید مقادیر تابع $z$ را در نقاط $M_2$، $M_3$، $M_4$ محاسبه کنیم. البته می توانید مختصات این نقاط را در عبارت اصلی $z=x^2+2xy-y^2-4x$ جایگزین کنید. به عنوان مثال، برای نقطه $M_2$ دریافت می کنیم:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

با این حال، محاسبات را می توان کمی ساده کرد. برای انجام این کار، شایان ذکر است که در بخش $M_3M_4$، $z(x,y)=f_1(x)$ داریم. من آن را با جزئیات بیان می کنم:

\begin(تراز شده) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end (تراز شده)

البته معمولاً نیازی به چنین ورودی های دقیقی نیست و در آینده شروع به نوشتن تمام محاسبات به صورت کوتاه تر خواهیم کرد:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

حالا بیایید به خط مستقیم $x=3$ بپردازیم. این خط $D$ را تحت شرایط $0 ≤ y ≤ 4$ محدود می کند. $x=3$ را در تابع داده شده $z$ جایگزین کنید. در نتیجه چنین جایگزینی، تابع $f_2(y)$ را دریافت می کنیم:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

برای تابع $f_2(y)$، باید بزرگترین و کوچکترین مقادیر را در بازه $0 ≤ y ≤ 4$ پیدا کنید. مشتق این تابع را بیابید و آن را با صفر برابر کنید:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

مقدار $y=3$ متعلق به بخش $0 ≤ y ≤ 4$ است، بنابراین ما $M_5(3;3)$ را به نقاطی که قبلا یافت شده اضافه می کنیم. علاوه بر این، لازم است مقدار تابع $z$ در نقاط انتهای بخش $0 ≤ y ≤ 4$ محاسبه شود، یعنی. در نقاط $M_4(3;0)$ و $M_6(3;4)$. در نقطه $M_4(3;0)$ قبلاً مقدار $z$ را محاسبه کرده ایم. اجازه دهید مقدار تابع $z$ را در نقاط $M_5$ و $M_6$ محاسبه کنیم. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که در بخش $M_4M_6$ ما $z(x,y)=f_2(y)$ داریم، بنابراین:

\begin(تراز شده) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end (تراز شده)

و در نهایت، آخرین مرز $D$ را در نظر بگیرید، یعنی. خط $y=x+1$. این خط منطقه $D$ را تحت شرایط $-1 ≤ x ≤ 3$ محدود می کند. با جایگزینی $y=x+1$ در تابع $z$، خواهیم داشت:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

یک بار دیگر تابعی از یک متغیر $x$ داریم. و دوباره باید بزرگترین و کوچکترین مقادیر این تابع را در بخش $-1 ≤ x ≤ 3$ پیدا کنید. مشتق تابع $f_(3)(x)$ را بیابید و آن را با صفر برابر کنید:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

مقدار $x=1$ متعلق به بازه $-1 ≤ x ≤ 3$ است. اگر $x=1$، آنگاه $y=x+1=2$. بیایید $M_7(1;2)$ را به لیست نقاط اضافه کنیم و بفهمیم که مقدار تابع $z$ در این مرحله چقدر است. نقاط انتهای بخش $-1 ≤ x ≤ 3$، یعنی. نقاط $M_3(-1;0)$ و $M_6(3;4)$ قبلاً در نظر گرفته شدند، ما قبلاً مقدار تابع را در آنها پیدا کرده ایم.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

مرحله دوم راه حل کامل شده است. ما هفت مقدار دریافت کردیم:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

بیایید به. با انتخاب بزرگترین و کوچکترین مقادیر از اعدادی که در پاراگراف سوم به دست آمد، خواهیم داشت:

$$z_(دقیقه)=-4; \; z_(حداکثر)=6.$$

مشکل حل شده است، فقط باید پاسخ را یادداشت کنیم.

پاسخ: $z_(min)=-4; \; z_(حداکثر)=6 دلار.

مثال شماره 2

حداکثر و حداقل مقدار تابع $z=x^2+y^2-12x+16y$ را در منطقه $x^2+y^2 ≤ 25$ بیابید.

بیایید ابتدا یک نقاشی بسازیم. معادله $x^2+y^2=25$ (این خط مرزی ناحیه داده شده است) دایره ای را با مرکز در مبدا (یعنی در نقطه $(0;0)$) و شعاع آن تعریف می کند. 5. نابرابری $x^2 +y^2 ≤ 25$ تمام نقاط داخل و روی دایره ذکر شده را برآورده می کند.

عمل خواهیم کرد. بیایید مشتقات جزئی را پیدا کنیم و نقاط بحرانی را دریابیم.

$$ \frac(\ z جزئی)(\ x جزئی)=2x-12; \frac(\ z جزئی)(\جزئی y)=2y+16. $$

هیچ نقطه ای وجود ندارد که در آن مشتقات جزئی یافت شده وجود نداشته باشد. اجازه دهید دریابیم که در چه نقاطی هر دو مشتق جزئی به طور همزمان برابر با صفر هستند، یعنی. نقاط ثابت را پیدا کنید

$$ \چپ \( \begin(تراز شده) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(تراز شده) \راست. \;\; \چپ \( \شروع (تراز) & x =6;\\ & y=-8.\end(تراز شده) \right.$$

ما یک نقطه ثابت $(6;-8)$ دریافت کردیم. با این حال، نقطه پیدا شده به منطقه $D$ تعلق ندارد. حتی بدون توسل به نقاشی نشان دادن این آسان است. بیایید بررسی کنیم که آیا نابرابری $x^2+y^2 ≤ 25$، که دامنه ما را $D$ تعریف می کند، وجود دارد یا خیر. اگر $x=6$، $y=-8$، سپس $x^2+y^2=36+64=100$، یعنی. نابرابری $x^2+y^2 ≤ 25$ برآورده نمی شود. نتیجه گیری: نقطه $(6;-8)$ به منطقه $D$ تعلق ندارد.

بنابراین، هیچ نقطه بحرانی در داخل $D$ وجود ندارد. بیایید ادامه دهیم، به. ما باید رفتار تابع را در مرز ناحیه داده شده بررسی کنیم. روی دایره $x^2+y^2=25$. البته می توانید $y$ را برحسب $x$ بیان کنید و سپس عبارت بدست آمده را با تابع $z$ جایگزین کنید. از معادله دایره دریافت می کنیم: $y=\sqrt(25-x^2)$ یا $y=-\sqrt(25-x^2)$. برای مثال، با جایگزینی $y=\sqrt(25-x^2)$ در تابع داده شده، خواهیم داشت:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2)؛ \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

راه حل بعدی کاملاً مشابه مطالعه رفتار تابع در مرز منطقه در مثال قبلی شماره 1 خواهد بود. با این حال، به نظر من در این شرایط، استفاده از روش لاگرانژ معقول تر است. ما فقط به قسمت اول این روش علاقه مندیم. پس از اعمال قسمت اول روش لاگرانژ، نقاطی را بدست می آوریم که تابع $z$ را برای مقادیر حداقل و حداکثر بررسی می کنیم.

تابع لاگرانژ را می سازیم:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

مشتقات جزئی تابع لاگرانژ را پیدا می کنیم و سیستم معادلات مربوطه را می سازیم:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \چپ \( \شروع (تراز شده) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(تراز شده) \ راست. \;\; \چپ \( \شروع (تراز شده) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( تراز شده)\right.$$

برای حل این سیستم، بیایید بلافاصله نشان دهیم که $\lambda\neq -1$ است. چرا $\lambda\neq -1$؟ بیایید سعی کنیم $\lambda=-1$ را در معادله اول جایگزین کنیم:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

تضاد حاصل $0=6$ می گوید که مقدار $\lambda=-1$ نامعتبر است. خروجی: $\lambda\neq -1$. اجازه دهید $x$ و $y$ را برحسب $\lambda$ بیان کنیم:

\begin(تراز شده) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end (تراز شده)

من معتقدم که در اینجا واضح می شود که چرا ما به طور خاص شرط $\lambda\neq -1$ را تعیین کردیم. این کار برای جا دادن عبارت $1+\lambda$ در مخرج بدون تداخل انجام شد. یعنی مطمئن شوید که مخرج $1+\lambda\neq 0$ است.

اجازه دهید عبارات به دست آمده را با $x$ و $y$ در معادله سوم سیستم جایگزین کنیم، یعنی. در $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \راست)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

از برابری به دست آمده نتیجه می شود که $1+\lambda=2$ یا $1+\lambda=-2$. بنابراین، ما دو مقدار از پارامتر $\lambda$ داریم، یعنی: $\lambda_1=1$، $\lambda_2=-3$. بر این اساس، دو جفت مقدار $x$ و $y$ دریافت می کنیم:

\begin(تراز شده) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end (تراز شده)

بنابراین، ما دو نقطه از یک حدی مشروط ممکن به دست آوردیم، یعنی. $M_1(3;-4)$ و $M_2(-3;4)$. مقادیر تابع $z$ را در نقاط $M_1$ و $M_2$ بیابید:

\begin(تراز شده) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end (تراز شده)

از بین مقادیری که در مرحله اول و دوم به دست آورده ایم، باید بزرگترین و کوچکترین مقادیر را انتخاب کنیم. اما در این مورد، انتخاب کوچک است :) ما داریم:

$$z_(دقیقه)=-75; \; z_(حداکثر)=125. $$

پاسخ: $z_(min)=-75; \; z_(حداکثر)=125 دلار.

در عمل، استفاده از مشتق برای محاسبه بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع کاملاً رایج است. این عمل را زمانی انجام می دهیم که بفهمیم چگونه هزینه ها را به حداقل برسانیم، سود را افزایش دهیم، بار بهینه تولید و غیره را محاسبه کنیم، یعنی در مواردی که لازم است مقدار بهینه یک پارامتر را تعیین کنیم. برای حل صحیح چنین مسائلی، باید درک خوبی از بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع داشت.

معمولاً این مقادیر را در بازه ای x تعریف می کنیم که به نوبه خود می تواند با کل محدوده تابع یا بخشی از آن مطابقت داشته باشد. می تواند یک قطعه [a; b ]، و بازه باز (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , بازه بی نهایت (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) یا بازه نامتناهی - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

در این مقاله توضیح خواهیم داد که چگونه بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع مشخصا با یک متغیر y=f(x) y = f (x) محاسبه می شود.

تعاریف اساسی

ما مانند همیشه با تدوین تعاریف اصلی شروع می کنیم.

تعریف 1

بزرگترین مقدار تابع y = f (x) در برخی بازه x مقدار m a x y = f (x 0) x ∈ X است که برای هر مقدار x x ∈ X , x ≠ x 0، نابرابری f (x را ایجاد می کند. ) ≤ f (x 0) .

تعریف 2

کوچکترین مقدار تابع y = f (x) در یک بازه x مقدار m i n x ∈ X y = f (x 0) است که برای هر مقدار x ∈ X , x ≠ x 0، نابرابری f(X را ایجاد می کند. f (x) ≥ f(x0) .

این تعاریف نسبتاً واضح هستند. حتی می‌توان ساده‌تر گفت: بزرگترین مقدار یک تابع، بزرگترین مقدار آن در یک بازه شناخته شده در ابسیسا x 0 است، و کوچک‌ترین، کوچکترین مقدار پذیرفته شده در همان بازه در x 0 است.

تعریف 3

نقاط ثابت چنین مقادیری از آرگومان تابع هستند که در آن مشتق آن 0 می شود.

چرا باید بدانیم نقاط ثابت چیست؟ برای پاسخ به این سوال، باید قضیه فرما را به خاطر بسپاریم. از آن نتیجه می‌شود که یک نقطه ثابت نقطه‌ای است که انتها یک تابع قابل تمایز در آن قرار دارد (یعنی حداقل یا حداکثر محلی آن). در نتیجه، تابع کوچکترین یا بزرگترین مقدار را در یک بازه معین دقیقاً در یکی از نقاط ثابت خواهد گرفت.

تابع دیگری می تواند بزرگترین یا کوچکترین مقدار را در نقاطی که خود تابع معین است و اولین مشتق آن وجود ندارد به خود بگیرد.

اولین سوالی که هنگام مطالعه این مبحث مطرح می شود این است: آیا در همه موارد، آیا می توانیم حداکثر یا حداقل مقدار یک تابع را در یک بازه معین تعیین کنیم؟ نه، وقتی مرزهای بازه داده شده با مرزهای حوزه تعریف منطبق باشد، یا اگر با یک بازه نامتناهی سروکار داشته باشیم، نمی توانیم این کار را انجام دهیم. همچنین اتفاق می افتد که یک تابع در یک بازه معین یا در بی نهایت مقادیر بی نهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ به خود می گیرد. در این موارد، تعیین بزرگترین و/یا کوچکترین مقدار ممکن نیست.

این لحظات بعد از تصویر روی نمودارها قابل درک تر می شوند:

شکل اول تابعی را به ما نشان می دهد که بزرگترین و کوچکترین مقادیر (m a x y و m i n y) را در نقاط ثابت واقع در بازه [-6; 6].

اجازه دهید به طور مفصل مورد نشان داده شده در نمودار دوم را بررسی کنیم. بیایید مقدار بخش را به [ 1 ; 6] و دریافتیم که بیشترین مقدار تابع در نقطه ای با آبسیسا در مرز سمت راست بازه و کوچکترین آن در نقطه ثابت به دست می آید.

در شکل سوم، ابسیساهای نقاط نشان دهنده نقاط مرزی قطعه هستند [-3; 2]. آنها با بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع داده شده مطابقت دارند.

حالا بیایید به تصویر چهارم نگاه کنیم. در آن، تابع m a x y (بزرگترین مقدار) و m i n y (کوچکترین مقدار) را در نقاط ثابت در بازه باز (-6 ؛ 6) می گیرد.

اگر فاصله [ 1 ; 6) ، پس می توان گفت که کوچکترین مقدار تابع روی آن در یک نقطه ثابت به دست خواهد آمد. ما حداکثر مقدار را نمی دانیم. اگر x = 6 متعلق به بازه باشد، تابع می تواند بزرگترین مقدار را در x برابر با 6 بگیرد. این مورد است که در شکل 5 نشان داده شده است.

در نمودار 6، این تابع کوچکترین مقدار را در مرز سمت راست بازه (- 3 ؛ 2 ] به دست می آورد، و ما نمی توانیم نتیجه قطعی در مورد بزرگترین مقدار بگیریم.

در شکل 7 می بینیم که تابع دارای m a x y در نقطه ثابت خواهد بود که دارای آبسیسا برابر با 1 است. تابع در مرز بازه سمت راست به حداقل مقدار خود می رسد. در منهای بی نهایت، مقادیر تابع به طور مجانبی به y = 3 نزدیک می شود.

اگر بازه x ∈ 2 را در نظر بگیریم. + ∞، سپس خواهیم دید که تابع داده شده کوچکترین یا بزرگترین مقدار را نخواهد گرفت. اگر x به 2 تمایل داشته باشد، مقادیر تابع به منهای بی نهایت میل خواهد کرد، زیرا خط مستقیم x = 2 مجانبی عمودی است. اگر آبسیسا به اضافه بی نهایت تمایل داشته باشد، مقادیر تابع به طور مجانبی به y = 3 نزدیک می شود. این موردی است که در شکل 8 نشان داده شده است.

در این پاراگراف، دنباله ای از اقداماتی را ارائه خواهیم داد که برای یافتن بزرگترین یا کوچکترین مقدار یک تابع در یک بازه زمانی مشخص، باید انجام شوند.

1. ابتدا دامنه تابع را پیدا می کنیم. بیایید بررسی کنیم که آیا بخش مشخص شده در شرط در آن گنجانده شده است یا خیر.
2. حال بیایید نقاط موجود در این بخش را محاسبه کنیم که مشتق اول در آنها وجود ندارد. اغلب، آنها را می توان در توابعی یافت که آرگومان آنها زیر علامت مدول نوشته شده است، یا در توابع توان، که توان آنها یک عدد گویا کسری است.
3. در مرحله بعد، متوجه می شویم که کدام نقاط ثابت در یک بخش معین قرار می گیرند. برای این کار باید مشتق تابع را محاسبه کنید، سپس آن را با 0 برابر کنید و معادله حاصل را حل کنید و سپس ریشه های مناسب را انتخاب کنید. اگر یک نقطه ثابت به دست نیاوردیم یا در یک بخش مشخص قرار نگرفتیم، به مرحله بعدی می رویم.
4. اجازه دهید تعیین کنیم که تابع در نقاط ثابت داده شده (در صورت وجود)، یا در نقاطی که اولین مشتق وجود ندارد (در صورت وجود) چه مقادیری خواهد گرفت، یا مقادیر x = a و x را محاسبه کنیم. = ب.
5. 5. ما یک سری مقادیر تابع داریم که اکنون باید بزرگترین و کوچکترین را از بین آنها انتخاب کنیم. این بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابعی است که باید پیدا کنیم.

بیایید ببینیم که چگونه این الگوریتم را در هنگام حل مسائل به درستی اعمال کنیم.

مثال 1

وضعیت:تابع y = x 3 + 4 x 2 داده شده است. بزرگترین و کوچکترین مقدار آن را در بخش ها تعیین کنید [1; 4 ] و [ - 4 ; - 1 ] .

راه حل:

بیایید با یافتن دامنه این تابع شروع کنیم. در این حالت، مجموعه تمام اعداد حقیقی به جز 0 خواهد بود. به عبارت دیگر، D (y): x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . هر دو بخش مشخص شده در شرط در داخل ناحیه تعریف خواهند بود.

اکنون مشتق تابع را با توجه به قانون تمایز کسری محاسبه می کنیم:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x 4 = x 3 - 8 x 3

ما آموختیم که مشتق تابع در تمام نقاط بخش وجود خواهد داشت [1; 4 ] و [ - 4 ; - 1 ] .

حال باید نقاط ثابت تابع را تعیین کنیم. بیایید این کار را با معادله x 3 - 8 x 3 = 0 انجام دهیم. فقط یک ریشه واقعی دارد که 2 است. این یک نقطه ثابت تابع خواهد بود و در بخش اول قرار می گیرد [1; 4 ] .

اجازه دهید مقادیر تابع را در انتهای اولین بخش و در نقطه داده شده محاسبه کنیم. برای x = 1، x = 2 و x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

ما دریافتیم که بزرگترین مقدار تابع m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 در x = 1 و کوچکترین m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 - در x = 2.

بخش دوم هیچ نقطه ثابتی را شامل نمی شود، بنابراین باید مقادیر تابع را فقط در انتهای بخش داده شده محاسبه کنیم:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

از این رو، m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3، m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

پاسخ:برای بخش [1; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3، m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3، برای بخش [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3، m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

تصویر را ببینید:

قبل از یادگیری این روش، به شما توصیه می کنیم نحوه محاسبه صحیح حد یک طرفه و حد در بی نهایت را مرور کنید و همچنین روش های اساسی برای یافتن آنها را بیاموزید. برای یافتن بزرگترین و/یا کوچکترین مقدار یک تابع در بازه باز یا بی نهایت، مراحل زیر را به ترتیب انجام می دهیم.

1. ابتدا باید بررسی کنید که آیا بازه داده شده زیر مجموعه ای از دامنه تابع داده شده خواهد بود یا خیر.
2. اجازه دهید تمام نقاطی را که در بازه مورد نیاز وجود دارد و اولین مشتق در آنها وجود ندارد را تعیین کنیم. معمولاً در توابعی که آرگومان در علامت ماژول محصور می شود و در توابع توان با توان کسری گویا رخ می دهند. اگر این نکات از دست رفته است، می توانید به مرحله بعدی بروید.
3. حال تعیین می کنیم که کدام نقاط ثابت در یک بازه معین قرار می گیرند. ابتدا مشتق را معادل 0 می کنیم و معادله را حل می کنیم و ریشه های مناسب را پیدا می کنیم. اگر یک نقطه ثابت نداشته باشیم یا آنها در بازه مشخص شده قرار نگیرند، بلافاصله اقدامات بعدی را انجام می دهیم. آنها بر اساس نوع فاصله تعیین می شوند.

• اگر بازه مانند [a; b) ، سپس باید مقدار تابع را در نقطه x = a و حد یک طرفه lim x → b - 0 f (x) محاسبه کنیم.
• اگر بازه دارای شکل (a ; b ] باشد، باید مقدار تابع را در نقطه x = b و حد یک طرفه lim x → a + 0 f (x) محاسبه کنیم.
• اگر بازه دارای شکل (a ; b) باشد، پس باید حدهای یک طرفه lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) را محاسبه کنیم.
• اگر بازه مانند [a; + ∞) ، سپس باید مقدار را در نقطه x = a و حد به اضافه بی نهایت lim x → + ∞ f (x) محاسبه کرد.
• اگر بازه مانند (-∞ ؛ b ] باشد، مقدار را در نقطه x = b و حد را در منهای بی نهایت lim x → - ∞ f (x) محاسبه می کنیم.
• اگر - ∞ ; b ، سپس حد یک طرفه lim x → b - 0 f (x) و حد را در منهای بی نهایت lim x → - ∞ f (x) در نظر می گیریم.
• اگر - ∞ ; + ∞، سپس حدود منهای و به اضافه بی نهایت lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) را در نظر می گیریم.

1. در پایان باید بر اساس مقادیر به دست آمده از تابع و حدود نتیجه گیری کنید. گزینه های زیادی در اینجا وجود دارد. بنابراین، اگر حد یک طرفه برابر با منهای بی‌نهایت یا به اضافه بی‌نهایت باشد، بلافاصله مشخص می‌شود که در مورد کوچک‌ترین و بزرگترین مقدار تابع چیزی نمی‌توان گفت. در زیر یک مثال معمولی را در نظر خواهیم گرفت. توضیحات مفصل به شما کمک می کند بفهمید چیست. در صورت لزوم، می توانید به شکل های 4 - 8 در قسمت اول مطالب بازگردید.

مثال 2

شرط: تابع y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 داده می شود. بزرگترین و کوچکترین مقدار آن را در فواصل محاسبه کنید - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ) , [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞).

راه حل

اول از همه، دامنه تابع را پیدا می کنیم. مخرج کسر یک مثلث مربع است که نباید به 0 برود:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ؛ - 3) ∪ (- 3 ؛ 2) ∪ (2 ; + ∞)

ما محدوده تابع را به دست آورده ایم که تمام بازه های مشخص شده در شرط به آن تعلق دارد.

حالا بیایید تابع را متمایز کنیم و دریافت کنیم:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

در نتیجه، مشتقات یک تابع در کل دامنه تعریف آن وجود دارد.

بیایید به سراغ یافتن نقاط ثابت برویم. مشتق تابع در x = - 1 2 0 می شود. این یک نقطه ثابت است که در فواصل (- 3 ; 1 ] و (- 3 ; 2) است.

بیایید مقدار تابع را در x = - 4 برای بازه (- ∞ ; - 4 ] و همچنین حد منهای بی نهایت محاسبه کنیم:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

از آنجایی که 3 e 1 6 - 4 > - 1 , پس m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 . این به ما اجازه نمی دهد که کوچکترین مقدار تابع را به طور منحصر به فرد تعیین کنیم. ما فقط می توانیم نتیجه بگیریم که یک حد زیر - 1 وجود دارد، زیرا به این مقدار است که تابع به صورت مجانبی در منهای بی نهایت نزدیک می شود.

یکی از ویژگی های بازه دوم این است که یک نقطه ثابت و یک مرز دقیق ندارد. بنابراین، ما نمی توانیم بزرگترین یا کوچکترین مقدار تابع را محاسبه کنیم. با تعریف حد در منهای بی نهایت و با تمایل آرگومان به - 3 در سمت چپ، فقط محدوده مقادیر را دریافت می کنیم:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

این بدان معنی است که مقادیر تابع در بازه - 1 قرار خواهند گرفت. +∞

برای یافتن حداکثر مقدار تابع در بازه سوم، مقدار آن را در نقطه ثابت x = - 1 2 اگر x = 1 تعیین می کنیم. همچنین باید حد یک طرفه را برای مواردی که آرگومان تمایل به - 3 در سمت راست دارد بدانیم:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

معلوم شد که تابع بزرگترین مقدار را در یک نقطه ثابت m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 خواهد گرفت. در مورد کوچکترین مقدار، ما نمی توانیم آن را تعیین کنیم. دانستن وجود یک حد پایین تر به - 4 است.

برای بازه (- 3 ؛ 2)، بیایید نتایج محاسبه قبلی را در نظر بگیریم و یک بار دیگر محاسبه کنیم که در هنگام تمایل به 2 از سمت چپ، حد یک طرفه برابر است:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

بنابراین، m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 ، و کوچکترین مقدار را نمی توان تعیین کرد و مقادیر تابع از زیر با عدد - 4 محدود می شود.

بر اساس آنچه در دو محاسبه قبلی انجام دادیم، می‌توانیم ادعا کنیم که در بازه [1; 2) تابع بیشترین مقدار را در x = 1 خواهد گرفت و یافتن کوچکترین آن غیرممکن است.

در بازه (2 ; + ∞)، تابع به بزرگترین یا کوچکترین مقدار نمی رسد، یعنی. مقادیر را از بازه - 1 می گیرد. +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

پس از محاسبه مقدار تابع در x = 4 , متوجه می شویم که m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4، و تابع داده شده در بعلاوه بی نهایت به طور مجانبی به خط y = - 1 نزدیک می شود.

بیایید آنچه را که در هر محاسبه به دست آوردیم با نمودار تابع داده شده مقایسه کنیم. در شکل مجانب ها با خطوط نقطه چین نشان داده شده اند.

این تمام چیزی است که می خواستیم در مورد یافتن بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع صحبت کنیم. آن دسته از اقداماتی که ما ارائه کرده ایم به شما کمک می کند تا محاسبات لازم را با بیشترین سرعت و سادگی انجام دهید. اما به یاد داشته باشید که اغلب مفید است که ابتدا بفهمیم تابع در چه بازه هایی کاهش می یابد و در کدام بازه افزایش می یابد و پس از آن می توان نتیجه گیری های بیشتری کرد. بنابراین می توانید با دقت بیشتری بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع را تعیین کنید و نتایج را توجیه کنید.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

با این سرویس می توانید بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع را پیدا کنیدیک متغیر f(x) با طراحی راه حل در Word. بنابراین، اگر تابع f(x,y) داده شود، لازم است حداکثر تابع دو متغیر را پیدا کنیم. همچنین می توانید فواصل افزایش و کاهش تابع را پیدا کنید.

قوانین ورود توابع:

یک شرط ضروری برای یک تابع از یک متغیر

معادله f "0 (x *) \u003d 0 یک شرط ضروری برای حداکثر یک تابع یک متغیر است، یعنی در نقطه x * اولین مشتق تابع باید ناپدید شود. نقاط ثابت x c را انتخاب می کند که در آن تابع تابع است. افزایش نمی یابد و کاهش نمی یابد .

یک شرط کافی برای یک تابع یک متغیر

فرض کنید f 0 (x) با توجه به x متعلق به مجموعه D دوبار متمایز شود. اگر در نقطه x * شرط برقرار باشد:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

سپس نقطه x * نقطه حداقل محلی (جهانی) تابع است.

اگر در نقطه x * شرط برقرار باشد:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

آن نقطه x * حداکثر محلی (جهانی) است.

مثال شماره 1. بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع را پیدا کنید: در بخش.
راه حل.

نقطه بحرانی یک x 1 = 2 است (f'(x)=0). این نقطه متعلق به بخش است. (نقطه x=0 بحرانی نیست، زیرا 0∉).
ما مقادیر تابع را در انتهای بخش و در نقطه بحرانی محاسبه می کنیم.
f(1)=9، f(2)= 5/2، f(3)=3 8/81
پاسخ: f min = 5/2 برای x=2; f max =9 در x=1

مثال شماره 2. با استفاده از مشتقات مرتبه بالاتر، حد فاصل تابع y=x-2sin(x) را پیدا کنید.
راه حل.
مشتق تابع را بیابید: y’=1-2cos(x) . اجازه دهید نقاط بحرانی را پیدا کنیم: 1-cos(x)=2، cos(x)=1، x=± π / 3 +2πk، k∈Z. ما y''=2sin(x) را پیدا می کنیم، محاسبه می کنیم، بنابراین x= π / 3 +2πk، k∈Z حداقل نقاط تابع هستند. بنابراین x=- π / 3 +2πk، k∈Z حداکثر نقاط تابع هستند.

مثال شماره 3. تابع اکستروم را در همسایگی نقطه x=0 بررسی کنید.
راه حل. در اینجا لازم است حداکثر تابع را پیدا کنید. اگر اکستروم x=0 باشد، نوع آن (حداقل یا حداکثر) را دریابید. اگر در بین نقاط یافت شده x=0 وجود نداشته باشد، مقدار تابع f(x=0) را محاسبه کنید.
باید توجه داشت که وقتی مشتق در هر طرف نقطه معین علامت خود را تغییر نمی‌دهد، موقعیت‌های ممکن حتی برای توابع قابل تمایز نیز تمام نمی‌شود: ممکن است برای یک همسایگی کوچک دلخواه در یک طرف نقطه x 0 یا در هر دو طرف، مشتق تغییر علامت می دهد. در این نقاط، فرد باید روش‌های دیگری را برای مطالعه توابع در یک اکسترموم به کار گیرد.

مثال شماره 4. عدد 49 را به دو جمله تقسیم کنید که حاصل ضرب آن بزرگترین خواهد بود.
راه حل. x اولین جمله باشد. سپس (49-x) عبارت دوم است.
محصول حداکثر خواهد بود: x (49-x) → حداکثر

انتخاب 1. در

1. نمودار یک تابع y=f(ایکس) در شکل نشان داده شده است.

بزرگترین مقدار این تابع را مشخص کنید 1

در بخش [ آ; ب]. آ 0 1 b x

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. توابع y=f(ایکس) بر روی بخش تنظیم کنید [ آ; ب]. در

شکل نموداری از مشتق آن را نشان می دهد

y=f ´(ایکس). برای افراط کاوش کنید 1 ب

تابع y=f(ایکس). لطفا مقدار را در پاسخ خود ذکر کنید. آ 0 1 x

حداقل امتیاز

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. بزرگترین مقدار یک تابع را بیابید y \u003d -2x2 + 8x -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. کوچکترین مقدار یک تابع را بیابید در بخش .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.

7. کوچکترین مقدار یک تابع را بیابید y=|2x+3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> حداقل در نقطه است xo=1.5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.در

9. بزرگترین مقدار تابع را مشخص کنید y=f(ایکس) ,

1 x

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

y=ال جی(100 – ایکس2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. کوچکترین مقدار یک تابع را بیابید y=2گناه-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

تست 14 بزرگترین (کوچکترین) مقدار تابع.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. نمودار تابع y=f(ایکس) در شکل نشان داده شده است.

کوچکترین مقدار این تابع را مشخص کنید 1

در بخش [ آ; ب]. آ ب

0 1 ایکس

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. در شکل یک نمودار از تابع را نشان می دهد y=f(ایکس).

تابع چند امتیاز حداکثر دارد؟

1

0 1 x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. تابع در چه نقطه ای است y \u003d 2x2 + 24x -25کمترین ارزش را می گیرد؟

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> در بخش [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> حداقل در نقطه است xo = -2?

; 2) -6;; 4) 6.در

9. کوچکترین مقدار تابع را مشخص کنید y=f(ایکس) ,

که نمودار آن در شکل نشان داده شده است. 1 x

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. بزرگترین مقدار یک تابع را بیابید y=ورود به سیستم11 (121 – ایکس2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. بزرگترین مقدار یک تابع را بیابید y=2cos+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

پاسخ ها :