مشکلات از مجموعه L. A. Kuznetsova

این درس به بررسی موضوع "کاوش در عملکرد و وظایف مرتبط" می پردازد. این درس درباره ساخت نمودار توابع با استفاده از مشتقات بحث می کند. تابع مطالعه می شود، نمودار آن ساخته می شود و تعدادی از مسائل مرتبط حل می شود.

موضوع: مشتق

درس: بررسی یک تابعو وظایف مرتبط

بررسی این تابع، ساختن نمودار، یافتن فواصل یکنواختی، حداکثر، حداقل و اینکه چه وظایفی با دانش این تابع همراه است، ضروری است.

ابتدا از اطلاعاتی که یک تابع بدون مشتق می دهد استفاده کامل خواهیم کرد.

1. فواصل ثبات تابع را بیابید و طرحی از نمودار تابع بسازید:

1) پیدا کنید.

2) ریشه های تابع: از اینجا

3) فواصل پایداری تابع (شکل 1 را ببینید):

برنج. 1. فواصل علامت ثابت یک تابع.

اکنون می دانیم که در بازه و نمودار بالای محور X است، در بازه - زیر محور X است.

2. بیایید یک نمودار در مجاورت هر ریشه بسازیم (شکل 2 را ببینید).

برنج. 2. نمودار تابع در مجاورت ریشه.

3. بیایید یک نمودار از تابع در مجاورت هر نقطه ناپیوستگی حوزه تعریف بسازیم. دامنه تعریف در نقطه شکسته می شود. اگر مقدار به نقطه نزدیک باشد، آنگاه مقدار تابع به سمت گرایش پیدا می کند (شکل 3 را ببینید).

برنج. 3. نمودار تابع در مجاورت نقطه ناپیوستگی.

4. بیایید تعیین کنیم که چگونه نمودار در همسایگی نقاط بی نهایت دور منتهی می شود:

بیایید با استفاده از محدودیت ها بنویسیم

. مهم است که برای بسیار بزرگ، عملکرد تقریباً با وحدت تفاوتی ندارد.

بیایید مشتق، فواصل ثبات آن را پیدا کنیم و آنها فواصل یکنواختی برای تابع خواهند بود، نقاطی را که مشتق در آنها برابر با صفر است، پیدا کنیم و دریابیم که نقطه حداکثر کجاست، نقطه حداقل کجاست.

از این رو، . این نقاط، نقاط درونی حوزه تعریف هستند. بیایید دریابیم که علامت مشتق در فواصل چیست و کدام یک از این نقاط حداکثر نقطه و کدام یک نقطه حداقل است (شکل 4 را ببینید).

برنج. 4. فواصل علامت ثابت مشتق.

از انجیر 4 می توان دید که نقطه حداقل نقطه است، نقطه حداکثر نقطه است. مقدار تابع در نقطه برابر است. مقدار تابع در نقطه 4 است. حالا بیایید تابع را رسم کنیم (شکل 5 را ببینید).

برنج. 5. نمودار یک تابع.

به این ترتیب ساخته شده است نمودار تابع. بیایید آن را توصیف کنیم. بیایید بازه هایی را بنویسیم که تابع به صورت یکنواخت کاهش می یابد: , - این فواصل زمانی هستند که مشتق آن منفی است. تابع به صورت یکنواخت در فواصل و . - حداقل امتیاز، - حداکثر امتیاز.

بسته به مقادیر پارامتر، تعداد ریشه های معادله را بیابید.

1. یک نمودار از تابع بسازید. نمودار این تابع در بالا ساخته شده است (شکل 5 را ببینید).

2. نمودار را با یک خانواده از خطوط مستقیم برش دهید و پاسخ را بنویسید (شکل 6 را ببینید).

برنج. 6. تقاطع نمودار یک تابع با خطوط مستقیم.

1) برای - یک راه حل.

2) برای - دو راه حل.

3) برای - سه راه حل.

4) برای - دو راه حل.

5) در - سه راه حل.

6) در - دو راه حل.

7) در - یک راه حل.

بنابراین، یکی از مسائل مهم را حل کردیم، یعنی یافتن تعداد جواب های معادله بسته به پارامتر. ممکن است موارد خاص مختلفی وجود داشته باشد، مثلاً یک راه حل یا دو راه حل یا سه راه حل وجود داشته باشد. توجه داشته باشید که این موارد خاص، تمامی پاسخ های این موارد خاص در پاسخ کلی موجود است.

1. جبر و شروع تحلیل پایه 10 (در دو قسمت). کتاب درسی برای مؤسسات آموزشی (سطح مشخصات)، ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2009.

2. جبر و شروع تحلیل، پایه 10 (در دو قسمت). کتاب وظایف موسسات آموزشی (سطح مشخصات)، ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2007.

3. Vilenkin N.Ya.، Ivashev-Musatov O.S.، Shvartsburd S.I. جبر و تجزیه و تحلیل ریاضی برای پایه دهم (کتاب درسی برای دانش آموزان مدارس و کلاس های با مطالعه عمیق ریاضی) - M .: آموزش و پرورش، 1996.

4. Galitsky M.L.، Moshkovich M.M.، Shvartsburd S.I. مطالعه عمیق جبر و تجزیه و تحلیل ریاضی.-M .: آموزش و پرورش، 1997.

5. مجموعه مسائل ریاضی برای متقاضیان دانشگاه های فنی (به سردبیری ام.آی.اسکانوی).-م.: دبیرستان، 1371.

6. Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir M.S. مربی جبری.-ک.: A.S.K.، 1997.

7. Zvavich L.I.، Shlyapochnik L.Ya.، چینکینا جبر و آغاز تحلیل. 8-11 سلول: کتابچه راهنمای مدارس و کلاسها با مطالعه عمیق ریاضیات (مواد آموزشی) - م.: درفا، 1381.

8. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. وظایف در جبر و آغاز تجزیه و تحلیل (دستورالعملی برای دانش آموزان پایه های 10-11 موسسات آموزشی عمومی).-M .: آموزش و پرورش، 2003.

9. Karp A.P. مجموعه مسائل جبر و آغاز تحلیل: کتاب درسی. کمک هزینه برای 10-11 سلول. با یک عمیق مطالعه ریاضیات.-م.: آموزش و پرورش، 1385.

10. گلیزر جی.آی. تاریخچه ریاضیات در مدرسه کلاس های 9-10 (راهنمای معلمان).-M.: روشنگری، 1983

منابع وب اضافی

2. پورتال علوم طبیعی ().

در خانه انجام دهید

شماره 45.7، 45.10 (جبر و آغازهای تجزیه و تحلیل، کلاس 10 (در دو بخش). کتاب کار برای مؤسسات آموزشی (سطح مشخصات) ویرایش شده توسط A. G. Mordkovich. - M.: Mnemozina, 2007.)

اگر در مشکل لازم است تابع f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 را با ساخت نمودار آن انجام دهیم، این اصل را با جزئیات در نظر خواهیم گرفت.

برای حل مشکلی از این نوع، باید از خصوصیات و نمودارهای توابع ابتدایی اصلی استفاده کرد. الگوریتم تحقیق شامل مراحل زیر است:

یافتن حوزه تعریف

از آنجایی که تحقیقات در حوزه تابع انجام می شود، لازم است از این مرحله شروع شود.

مثال 1

مثال داده شده شامل یافتن صفرهای مخرج به منظور حذف آنها از DPV است.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

در نتیجه می توانید ریشه، لگاریتم و غیره را بدست آورید. سپس ODZ را می توان برای ریشه یک درجه زوج از نوع g (x) 4 با نابرابری g (x) ≥ 0، برای log لگاریتم a g (x) با نابرابری g (x) > 0 جستجو کرد.

بررسی مرزهای ODZ و یافتن مجانب عمودی

مجانبی عمودی در مرزهای تابع وجود دارد، زمانی که حدود یک طرفه در چنین نقاطی بی نهایت باشد.

مثال 2

به عنوان مثال، نقاط مرزی را برابر با x = ± 1 2 در نظر بگیرید.

سپس برای یافتن حد یک طرفه باید تابع را مطالعه کرد. سپس دریافت می کنیم که: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

این نشان می دهد که حدود یک طرفه بی نهایت هستند، به این معنی که خطوط x = ± 1 2 مجانب عمودی نمودار هستند.

بررسی تابع و برای زوج یا فرد

وقتی شرط y (- x) = y (x) برقرار است، تابع زوج در نظر گرفته می شود. این نشان می دهد که نمودار با توجه به O y به صورت متقارن قرار دارد. وقتی شرط y (- x) = - y (x) برآورده شود، تابع فرد در نظر گرفته می شود. این بدان معنی است که تقارن با توجه به مبدأ مختصات پیش می رود. اگر حداقل یک نابرابری ناموفق باشد، تابعی از شکل کلی به دست می آوریم.

تحقق برابری y (- x) = y (x) نشان می دهد که تابع زوج است. هنگام ساخت، باید در نظر داشت که با توجه به O y تقارن وجود خواهد داشت.

برای حل نابرابری، فواصل افزایش و کاهش به ترتیب با شرایط f "(x) ≥ 0 و f" (x) ≤ 0 استفاده می شود.

تعریف 1

نقاط ثابتنقاطی هستند که مشتق را صفر می کنند.

نقاط بحرانینقاط داخلی از دامنه ای هستند که مشتق تابع برابر با صفر است یا وجود ندارد.

هنگام تصمیم گیری باید به نکات زیر توجه کرد:

برای فواصل موجود افزایش و کاهش نابرابری به شکل f "(x) > 0، نقاط بحرانی در راه حل گنجانده نشده است.
نقاطی که تابع بدون مشتق متناهی تعریف می شود باید در فواصل افزایش و کاهش گنجانده شوند (به عنوان مثال، y \u003d x 3، جایی که نقطه x \u003d 0 تابع را تعریف می کند، مشتق دارای مقدار بی نهایت است. در این مرحله، y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞، x = 0 در بازه افزایش گنجانده شده است.
برای جلوگیری از اختلاف نظر، استفاده از ادبیات ریاضی پیشنهاد شده توسط وزارت آموزش و پرورش توصیه می شود.

گنجاندن نقاط بحرانی در فواصل افزایش و کاهش در صورتی که دامنه تابع را برآورده کنند.

تعریف 2

برای برای تعیین فواصل افزایش و کاهش تابع، باید پیدا کرد:

مشتق؛
نقاط بحرانی؛
دامنه تعریف را با کمک نقاط بحرانی به فواصل تقسیم کنید.
علامت مشتق را در هر یک از فواصل تعیین کنید، جایی که + افزایش و - کاهش است.

مثال 3

مشتق را در دامنه f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) بیابید. 2 .

تصمیم گیری

برای حل شما نیاز دارید:

نقاط ثابت را پیدا کنید، این مثال دارای x = 0 است.
صفرهای مخرج را پیدا کنید، مثال مقدار صفر را در x = ± 1 2 دریافت می کند.

برای تعیین مشتق در هر بازه، نقاط روی محور عددی را در معرض دید قرار می دهیم. برای این کار کافی است هر نقطه ای را از بازه بردارید و محاسبه کنید. اگر نتیجه مثبت باشد، + را روی نمودار رسم می کنیم که به معنای افزایش تابع و - به معنای کاهش آن است.

به عنوان مثال، f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0، به این معنی که اولین بازه سمت چپ دارای علامت + است. عدد را در نظر بگیرید خط

پاسخ:

افزایشی در تابع در بازه - ∞ وجود دارد. - 1 2 و (- 1 2 ; 0 ] ;
کاهش در فاصله [0; 1 2) و 1 2 ; +∞ .

در نمودار با استفاده از + و - مثبت و منفی تابع نشان داده شده است و فلش ها نشان دهنده کاهش و افزایش هستند.

نقاط انتهایی یک تابع، نقاطی هستند که تابع در آنها تعریف می شود و مشتق از طریق آنها علامت تغییر می دهد.

مثال 4

اگر مثالی را در نظر بگیریم که در آن x \u003d 0 است، مقدار تابع در آن f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0 است. هنگامی که علامت مشتق از + به - تغییر می کند و از نقطه x \u003d 0 عبور می کند، نقطه با مختصات (0؛ 0) حداکثر نقطه در نظر گرفته می شود. وقتی علامت از - به + تغییر کرد، حداقل امتیاز را به دست می آوریم.

تحدب و تقعر با حل نابرابری های شکل f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≤ 0 تعیین می شود. کمتر از نام bulge down به جای تقعر و bulge up به جای bulge استفاده می کنند.

تعریف 3

برای تعیین شکاف های تقعر و تحدبلازم:

مشتق دوم را پیدا کنید.
صفرهای تابع مشتق دوم را بیابید.
دامنه تعریف را با نقاطی که به فواصل ظاهر می شوند، بشکنید.
علامت شکاف را تعیین کنید.

مثال 5

مشتق دوم را از حوزه تعریف بیابید.

تصمیم گیری

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

ما صفرهای صورت و مخرج را پیدا می کنیم، جایی که، با استفاده از مثال ما، داریم که صفرهای مخرج x = ± 1 2

اکنون باید نقاطی را روی خط اعداد قرار دهید و علامت مشتق دوم را از هر بازه مشخص کنید. ما آن را دریافت می کنیم

پاسخ:

تابع از بازه - 1 2 محدب است. 12 ;
تابع از شکاف ها مقعر است - ∞ ; - 1 2 و 1 2 ; +∞ .

تعریف 4

نقطه عطفیک نقطه به شکل x 0 است. f(x0). هنگامی که یک مماس بر نمودار تابع داشته باشد، پس از عبور از x 0، تابع علامت آن را به عکس تغییر می دهد.

به عبارت دیگر، این نقطه ای است که مشتق دوم از آن عبور می کند و علامت تغییر می دهد و در خود نقاط برابر با صفر یا وجود ندارد. همه نقاط به عنوان دامنه تابع در نظر گرفته می شوند.

در مثال، مشاهده شد که هیچ نقطه عطفی وجود ندارد، زیرا مشتق دوم هنگام عبور از نقاط x = ± 1 2 علامت تغییر می دهد. آنها به نوبه خود در محدوده تعریف قرار نمی گیرند.

یافتن مجانب افقی و مایل

هنگام تعریف تابع در بی نهایت، باید مجانب افقی و مایل را جستجو کرد.

تعریف 5

مجانب مایلبا استفاده از خطوط داده شده توسط معادله y = k x + b، که در آن k = lim x → ∞ f (x) x و b = lim x → ∞ f (x) - k x ترسیم می شوند.

برای k = 0 و b مساوی با بی نهایت نیست، متوجه می شویم که مجانب مایل می شود افقی.

به عبارت دیگر مجانب خطوطی هستند که نمودار تابع در بی نهایت به آنها نزدیک می شود. این به ساخت سریع نمودار تابع کمک می کند.

اگر مجانبی وجود نداشته باشد، اما تابع در هر دو بینهایت تعریف شده باشد، لازم است حد تابع در این بینهایت ها محاسبه شود تا بفهمیم نمودار تابع چگونه رفتار خواهد کرد.

مثال 6

به عنوان مثال، آن را در نظر بگیرید

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

مجانبی افقی است. پس از بررسی عملکرد، می توانید شروع به ساخت آن کنید.

محاسبه مقدار یک تابع در نقاط میانی

برای اینکه نمودار دقیق تر باشد، توصیه می شود چندین مقدار تابع را در نقاط میانی پیدا کنید.

مثال 7

از مثالی که در نظر گرفتیم، لازم است مقادیر تابع را در نقاط x \u003d - 2، x \u003d - 1، x \u003d - 3 4، x \u003d - 1 4 پیدا کنیم. از آنجایی که تابع زوج است، دریافتیم که مقادیر با مقادیر در این نقاط منطبق هستند، یعنی x \u003d 2، x \u003d 1، x \u003d 3 4، x \u003d 1 4 را دریافت می کنیم.

بیایید بنویسیم و حل کنیم:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

برای تعیین ماکزیمم و مینیمم تابع، نقاط عطف، نقاط میانی، لازم است مجانبی بسازیم. برای تعیین راحت، فواصل افزایش، کاهش، تحدب، تقعر ثابت است. شکل زیر را در نظر بگیرید.