اثبات قضایای زوایای مرتبط با دایره. مسائل برای اثبات حقایق هندسی از gia اثبات زوایای مساوی

مثلث ساده ترین نوع چند ضلعی است که دارای سه زاویه و سه ضلع است. اضلاع توسط قطعاتی تشکیل شده اند که توسط سه نقطه روی صفحه به یکدیگر متصل می شوند و به این ترتیب شکل سفت و سختی را تشکیل می دهند. برابری 2 مثلثهامی توان از چند طریق تایید کرد.

دستورالعمل

1. اگر مثلثهادو ضلع ABC و DEF مساوی هستند و زاویه ? که بین دو ضلع مثلث ABC قرار می گیرد برابر با زاویه ? است که بین اضلاع متناظر مثلث DEF قرار می گیرد سپس این دو مثلث با هم برابرند. به یکدیگر

2. اگر مثلثهاضلع ABC و DEF AB برابر با ضلع DE و زوایای مجاور ضلع AB برابر با زوایای مجاور ضلع DE هستند، سپس این مثلث ها برابر در نظر گرفته می شوند.

3. اگر مثلثهاضلع های ABC AB، BC و CD با اضلاع متناظر مثلث DEF برابرند، سپس این مثلث ها متجانس هستند.

توجه داشته باشید!
اگر لازم است تساوی بین 2 مثلث قائم الزاویه تأیید شود، این کار را می توان با استفاده از علائم مساوی زیر مثلث های قائم الزاویه انجام داد: - در امتداد یکی از پایه ها و هیپوتنوس؛ - در امتداد دو پایه معروف؛ - در امتداد یکی از پاها و زاویه حاد مجاور آن؛ - در امتداد هیپوتنوز و یکی از زوایای حاد مثلث ها تند (اگر همه زوایای آن کمتر از 90 درجه باشند)، منفرد (اگر یکی از زوایای آن بزرگتر از 90 درجه باشد). ، متساوی الاضلاع و متساوی الساقین (اگر دو ضلع آن مساوی باشد).

توصیه مفید
علاوه بر تساوی مثلث ها در بین خود، همین مثلث ها شبیه هم هستند. مثلث های مشابه آنهایی هستند که زوایای آنها با هم مساوی باشد و اضلاع یک مثلث با اضلاع مثلث دیگر متناسب باشد. شایان ذکر است که اگر دو مثلث مشابه یکدیگر باشند، این تساوی آنها را تضمین نمی کند. هنگام تقسیم اضلاع مشابه مثلث ها به یکدیگر، به اصطلاح شاخص تشابه محاسبه می شود. همچنین این شاخص را می توان با تقسیم مساحت مثلث های مشابه به دست آورد.

از قدیم الایام تا به امروز جست و جوی نشانه های برابری ارقام یک کار اساسی تلقی می شود که اساس پایه های هندسه است; صدها قضیه با استفاده از آزمون های برابری ثابت می شود. توانایی اثبات برابری و تشابه ارقام یک وظیفه مهم در تمام زمینه های ساخت و ساز است.

در تماس با

به کار بردن مهارت

فرض کنید شکلی داریم که روی یک تکه کاغذ کشیده شده است. در عین حال یک خط کش و یک نقاله داریم که با آنها می توانیم طول پاره ها و زوایای بین آنها را اندازه گیری کنیم. چگونه می توان یک شکل با همان اندازه را به یک ورق کاغذ دوم منتقل کرد یا مقیاس آن را دو برابر کرد.

می دانیم که مثلث شکلی است متشکل از سه بخش که ضلع نامیده می شوند و زاویه تشکیل می دهند. بنابراین، شش پارامتر - سه ضلع و سه زاویه - وجود دارد که این شکل را تعریف می کند.

با این حال، با اندازه گیری اندازه هر سه ضلع و زاویه، انتقال این رقم به سطح دیگری کار دشواری خواهد بود. علاوه بر این، منطقی است که این سؤال را بپرسیم: آیا دانستن پارامترهای دو طرف و یک گوشه یا فقط سه ضلع کافی نیست.

پس از اندازه گیری طول دو ضلع و بین آنها، سپس این زاویه را روی یک کاغذ جدید قرار دهید تا بتوانیم مثلث را کاملاً بازسازی کنیم. بیایید نحوه انجام این کار را بیاموزیم، بیاموزیم که چگونه علائمی را ثابت کنیم که توسط آنها می توان آنها را یکسان در نظر گرفت، و تصمیم بگیریم که حداقل تعداد پارامترهایی که برای اطمینان از یکسان بودن مثلث ها کافی است، چقدر است.

مهم!اگر قطعاتی که اضلاع و زوایای آنها را تشکیل می دهند با یکدیگر مساوی باشند به شکل ها یکسان می گویند. ارقام مشابه آنهایی هستند که اضلاع و زوایای آنها متناسب باشد. بنابراین، برابری یک شباهت با ضریب تناسب 1 است.

علائم تساوی مثلث ها چیست، تعریف آنها را بیان می کنیم:

• اولین علامت تساوی: دو مثلث در صورتی که دو ضلع آنها با هم مساوی باشند و همچنین زاویه بین آنها یکسان در نظر گرفته شود.
• علامت دوم تساوی مثلث ها: اگر دو مثلث و ضلع متناظر بین آنها یکسان باشند دو مثلث یکسان خواهند بود.
• سومین علامت تساوی مثلث ها : مثلث ها زمانی همسو هستند که تمام اضلاع آنها با هم برابر باشند.

چگونه ثابت کنیم که مثلث ها متجانس هستند. ما اثباتی برای تساوی مثلث ها ارائه می کنیم.

علامت اثبات 1

برای مدت طولانی، در میان اولین ریاضیدانان، این ویژگی یک بدیهیات در نظر گرفته می شد، اما همانطور که مشخص شد، می توان آن را از نظر هندسی بر اساس بدیهیات اساسی تری اثبات کرد.

دو مثلث را در نظر بگیرید - KMN و K 1 M 1 N 1 . طول ضلع KM برابر با K 1 M 1 و KN = K 1 N 1 است. و زاویه MKN برابر است با زاویه های KMN و M 1 K 1 N 1 .

اگر KM و K 1 M 1، KN و K 1 N 1 را دو پرتو در نظر بگیریم که از یک نقطه خارج می شوند، می توان گفت که زوایای بین این جفت پرتوها یکسان است (این با شرط به دست می آید. قضیه). بیایید یک ترجمه موازی از پرتوهای K 1 M 1 و K 1 N 1 از نقطه K 1 به نقطه K انجام دهیم. در نتیجه این انتقال، پرتوهای K 1 M 1 و K 1 N 1 کاملاً منطبق خواهند شد. اجازه دهید روی پرتو K 1 M 1 قطعه ای به طول KM رسم کنیم که از نقطه K منشا می گیرد. از آنجایی که طبق شرط، قطعه حاصل برابر با قطعه K 1 M 1 خواهد بود، پس نقاط M و M 1 مصادف است. به طور مشابه با بخش های KN و K 1 N 1 . بنابراین، با حرکت K 1 M 1 N 1 به گونه ای که نقاط K 1 و K بر هم منطبق باشند و دو ضلع روی هم قرار گیرند، یک انطباق کامل از خود شکل ها به دست می آوریم.

مهم!در اینترنت، با استفاده از هویت های جبری و مثلثاتی با مقادیر عددی اضلاع و زوایا، اثبات تساوی مثلث ها در دو ضلع و زاویه وجود دارد. با این حال، از نظر تاریخی و ریاضی، این قضیه خیلی قبل از جبر و زودتر از مثلثات صورت‌بندی شده است. برای اثبات این ویژگی قضیه، استفاده از چیزی غیر از بدیهیات اساسی نادرست است.

اثبات 2 نشانه

ملاک دوم تساوی را در دو زاویه و یک ضلع بر اساس اولی اثبات کنیم.

اثبات 2 نشانه

KMN و PRS را در نظر بگیرید. K برابر است با P، N برابر با S. طول ضلع KN برابر با PS است. لازم است ثابت شود که KMN و PRS یکسان هستند.

بیایید نقطه M را با توجه به پرتو KN منعکس کنیم. نقطه حاصل L نامیده می شود. در این حالت طول ضلع KM = KL است. NKL برابر با PRS است. KNL برابر با RSP است.

از آنجایی که مجموع زاویه ها 180 درجه است، پس KLN برابر با PRS است، یعنی طبق معیار اول، PRS و KLN از هر دو طرف و زاویه یکسان (مشابه) هستند.

اما، از آنجایی که KNL برابر با KMN است، KMN و PRS دو رقم یکسان هستند.

اثبات 3 نشانه

چگونه ثابت کنیم که مثلث ها برابر هستند. این به طور مستقیم از اثبات معیار دوم ناشی می شود.

طول KN = PS. از آنجایی که K = P، N = S، KL = KM، در حالی که KN = KS، MN = ML، پس:

این بدان معنی است که هر دو شکل مشابه یکدیگر هستند. اما از آنجایی که اضلاع آنها یکی است، آنها نیز برابر هستند.

پیامدهای بسیاری از نشانه های برابری و شباهت به دست می آید. یکی از آنها این است که برای تشخیص مساوی بودن یا نبودن دو مثلث باید خصوصیات آنها را دانست که آیا آنها یکسان هستند یا خیر:

• هر سه طرف؛
• هر دو طرف و زاویه بین آنها.
• هر دو گوشه و طرف بین آنها.

استفاده از علامت تساوی مثلث ها برای حل مسائل

پیامدهای اولین علامت

در جریان اثبات، می توان به چند نتیجه جالب و مفید رسید.

1. . این واقعیت که نقطه تلاقی قطرهای متوازی الاضلاع آنها را به دو قسمت یکسان تقسیم می کند، نتیجه علائم برابری است و کاملاً قابل اثبات است. که اجرا کردیم) اضلاع اصلی (اضلاع متوازی الاضلاع) هستند.
2. اگر دو مثلث قائم الزاویه وجود داشته باشد که زوایای تند یکسانی داشته باشند، آنها شبیه هم هستند. اگر در همان زمان، پای اولی با پای دومی برابر باشد، آنها برابر هستند. درک این موضوع بسیار آسان است - هر مثلث قائم الزاویه ای دارای یک زاویه راست است. بنابراین، نشانه های برابری برای آنها ساده تر است.
3. دو مثلث با زوایای قائمه که دو پایه آنها دارای طول یکسان هستند را می توان یکسان در نظر گرفت. این به این دلیل است که زاویه بین دو پایه همیشه 90 درجه است. بنابراین با توجه به علامت اول (در دو ضلع و زاویه بین آنها) همه مثلث هایی که زاویه قائمه دارند و پاهای یکسان دارند با هم برابرند.
4. اگر دو مثلث قائم الزاویه وجود داشته باشد و آنها یک پا داشته باشند و هیپوتانوس برابر باشند، مثلث ها یکسان هستند.

بیایید این قضیه ساده را ثابت کنیم.

دو مثلث قائم الزاویه وجود دارد. یک ضلع دارای a، b، c است، که در آن c فرضیه است. a، b - پاها. ضلع دوم دارای n، m، l است، که در آن l فرضیه است. m، n - پاها.

طبق قضیه فیثاغورث، یکی از پاها برابر است با:

;

.

بنابراین ، اگر به ترتیب n \u003d a ، l \u003d c (برابری پاها و هیپوتنوس ها) باشد ، پایه های دوم برابر خواهند بود. ارقام به ترتیب بر اساس معیار سوم (از سه طرف) برابر خواهند بود.

اجازه دهید به یک نتیجه مهم دیگر توجه کنیم. اگر دو مثلث مساوی وجود داشته باشد و با ضریب تشابه k شبیه به هم باشند، یعنی نسبت های زوجی همه اضلاع آنها برابر با k باشد، نسبت مساحت آنها برابر k2 است.

اولین علامت تساوی مثلث ها. درس تصویری هندسه کلاس هفتم

هندسه 7 اولین علامت تساوی مثلث ها

نتیجه

موضوعی که در نظر گرفته‌ایم به هر دانش‌آموزی کمک می‌کند تا مفاهیم اولیه هندسی را بهتر درک کند و مهارت‌های خود را در جالب‌ترین دنیای ریاضیات بهبود بخشد.

هندسه به عنوان یک موضوع جداگانه با دانش آموزان مدرسه در کلاس هفتم شروع می شود. تا آن زمان، آنها با مسائل هندسی به شکل نسبتاً سبک و عمدتاً با آنچه در نمونه های گویا دیده می شود، سروکار داشتند: مساحت یک اتاق، یک قطعه زمین، طول و ارتفاع دیوارهای اتاق ها، مسطح. اشیاء و غیره در ابتدای مطالعه خود هندسه، اولین مشکلات ظاهر می شود، مثلاً مفهوم خط مستقیم، زیرا نمی توان این خط مستقیم را با دست لمس کرد. در مورد مثلث ها، این ساده ترین نوع چند ضلعی است که فقط شامل سه زاویه و سه ضلع است.

در تماس با

همکلاسی ها

موضوع مثلث ها یکی از موضوعات اصلی است مهمو مباحث بزرگ برنامه درسی مدرسه در هندسه پایه های 7-9. با تسلط بر آن، می توان مسائل بسیار پیچیده ای را حل کرد. در این صورت می توانید ابتدا یک شکل هندسی کاملا متفاوت در نظر بگیرید و سپس برای راحتی آن را به قسمت های مثلثی مناسب تقسیم کنید.

کار بر روی اثبات برابری ∆ ABCو ∆A1B1C1شما باید به علائم برابری ارقام تسلط داشته باشید و بتوانید از آنها استفاده کنید. قبل از مطالعه علائم، باید یاد بگیرید برابری را تعریف کنداضلاع و زوایای چند ضلعی های ساده

برای اثبات مساوی بودن زوایای مثلث ها، گزینه های زیر به شما کمک می کند:

1. ∠ α = ∠ β بر اساس ساخت شکل ها.
2. در تکلیف داده شده است.
3. با دو خط موازی و وجود یک سکانت، هم متقاطع داخلی و هم متناظر ∠ α = ∠ β را می توان تشکیل داد.
4. با جمع (تفریق) به (از) ∠ α = ∠ β زوایای مساوی.
5. همیشه ∠ α و ∠ β عمودی مشابه است
6. عمومی ∠ α، به طور همزمان متعلق به ∆MNKو ∆MNH .
7. نیمساز ∠ α را به دو معادل تقسیم می کند.
8. در مجاورت ∠ 90 درجه- زاویه برابر با اصلی است.
9. زوایای مساوی مجاور برابر هستند.
10. ارتفاع به دو شکل مجاور ∠ 90 درجه .
11. در متساوی الساقین ∆MNKدر پایه ∠ α = ∠ β.
12. برابر ∆MNKو ∆SDHمتناظر ∠α = ∠β.
13. برابری قبلاً اثبات شده ∆MNKو ∆SDH .

این جالب است: چگونه محیط یک مثلث را پیدا کنیم.

3 علامت تساوی مثلث ها

اثبات برابری ∆ ABCو ∆A1B1C1بسیار راحت برای تولید، بر اساس پایه نشانه هاهویت این ساده ترین چند ضلعی ها این سه نشانه وجود دارد. آنها در حل بسیاری از مسائل هندسی بسیار مهم هستند. هر کدام ارزش در نظر گرفتن دارند.

علائم ذکر شده در بالا قضایایی هستند و با روش تحمیل یک شکل به شکل دیگر، اتصال رئوس زوایای مربوطه و ابتدای پرتوها اثبات می شوند. شواهد برای برابری مثلث ها در کلاس هفتم به شکل بسیار قابل دسترس توصیف شده است، اما مطالعه در عمل برای دانش آموزان مدرسه دشوار است، زیرا آنها حاوی تعداد زیادی عناصر هستند که با حروف بزرگ لاتین نشان داده شده اند. این برای بسیاری از دانش آموزان در زمان شروع مطالعه موضوع کاملاً معمول نیست. نوجوانان در نام اضلاع، پرتوها، زاویه ها گیج می شوند.

کمی بعد، موضوع مهم دیگری "شباهت های مثلث" ظاهر می شود. خود تعریف «تشابه» در هندسه به معنای شباهت شکلبا اندازه های مختلف به عنوان مثال، می توانید دو مربع بگیرید، اولی با ضلع 4 سانتی متر و دومی 10 سانتی متر. هر طرف به همان تعداد بار بزرگ می شود.

در بررسی موضوع تشابه نیز 3 نشانه آورده شده است:

• اولی در مورد دو زاویه مشابه از دو شکل مثلثی مورد بررسی است.
• مورد دوم در مورد زاویه و اضلاع تشکیل دهنده آن است. ∆MNK، که برابر با عناصر مربوطه هستند ∆SDH .
• سوم - تناسب تمام اضلاع متناظر دو شکل مورد نظر را نشان می دهد.

چگونه می توان ثابت کرد که مثلث ها شبیه هم هستند؟ کافی است از یکی از ویژگی های فوق استفاده کنید و کل فرآیند اثبات تکلیف را به درستی شرح دهید. تم شباهت ∆MNKو ∆SDHبا توجه به این واقعیت که دانش آموزان در زمان مطالعه آزادانه از تعیین عناصر در ساختارهای هندسی استفاده می کنند توسط دانش آموزان راحت تر درک می شود ، در تعداد زیادی نام گیج نمی شوند و می دانند چگونه نقاشی ها را بخوانند.

پس از تکمیل گذر از مبحث گسترده اشکال هندسی مثلثی، دانش آموزان باید کاملاً بدانند چگونه برابری را اثبات کنند. ∆MNK = ∆SDHدر دو ضلع، دو مثلث را مساوی یا غیر مساوی قرار دهید. با توجه به اینکه یک چند ضلعی با دقیقاً سه زاویه یکی از مهمترین اشکال هندسی است، باید به طور جدی به جذب مواد پرداخت و حتی به کوچکترین واقعیت های نظریه نیز توجه ویژه داشت.