f x je paran. Kako odrediti parne i neparne funkcije
Natrag naprijed
Pažnja! Pregled slajdova je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.
Ciljevi:
- formirati koncept parnih i neparnih funkcija, naučiti sposobnost određivanja i korištenja tih svojstava u proučavanju funkcija, crtanje;
- razvijati kreativnu aktivnost učenika, logično razmišljanje, sposobnost uspoređivanja, generaliziranja;
- njegovati marljivost, matematičku kulturu; razvijati komunikacijske vještine .
Oprema: multimedijska instalacija, interaktivna ploča, materijali.
Oblici rada: frontalni i grupni s elementima tragajuće i istraživačke aktivnosti.
Izvori informacija:
1. Algebra razred 9 A.G. Mordkovich. Udžbenik.
2. Algebra 9. razred A.G. Mordkovich. Knjiga zadataka.
3. Algebra 9. razred. Zadaci za učenje i razvoj učenika. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.
TIJEKOM NASTAVE
1. Organizacijski trenutak
Postavljanje ciljeva i zadataka lekcije.
2. Provjera domaće zadaće
Br. 10.17 (Knjiga zadataka 9. razred A.G. Mordkovich).
A) na = f(x), f(x) = 
b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;
c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(x) = 0 za x ~ 0,4
4. f(x) >0 pri x > 0,4 ; f(x)
< 0 при – 2 <
x <
0,4.
5. Funkcija se povećava sa x € [– 2; + ∞)
6. Funkcija je ograničena odozdo.
7. na najam = - 3, na naib ne postoji
8. Funkcija je kontinuirana.
(Jeste li koristili algoritam za istraživanje značajki?) slajd.
2. Provjerimo tablicu koja vam je postavljena na slajdu.
| Ispunite tablicu | |||||
Domena |
Funkcijske nule |
Intervali postojanosti |
Koordinate točaka presjeka grafa s Oy | ||
 |
x = -5, |
h € (–5;3) U |
h € (–∞;–5) U |
||
 |
x ∞ -5, |
h € (–5;3) U |
h € (–∞;–5) U |
||
x ≠ -5, |
x € (–∞; –5) U |
x € (–5; 2) |
|||
3. Ažuriranje znanja
– Funkcije su zadane.
– Navedite domenu definicije za svaku funkciju.
– Usporedite vrijednost svake funkcije za svaki par vrijednosti argumenata: 1 i – 1; 2 i - 2.
– Za koju od zadanih funkcija u domeni definicije vrijede jednakosti f(– x)
= f(x), f(– x) = – f(x)? (staviti podatke u tablicu) slajd
| f(1) i f(– 1) | f(2) i f(– 2) | karte | f(– x) = –f(x) | f(– x) = f(x) | ||
| 1. f(x) = | ||||||
| 2. f(x) = x 3 | ||||||
| 3. f(x) = | x | | ||||||
| 4.f(x) = 2x – 3 | ||||||
| 5. f(x) = | x ≠ 0 |
|||||
| 6. f(x)= | x > –1 | a nije definiran. |
4. Novi materijal
- Dok smo radili ovaj posao, dečki, otkrili smo još jedno svojstvo funkcije, vama nepoznato, ali ništa manje važno od ostalih - to je parnost i neparnost funkcije. Zapišite temu lekcije: “Parne i neparne funkcije”, naš zadatak je naučiti kako odrediti parne i neparne funkcije, saznati značaj ovog svojstva u proučavanju funkcija i crtanju.
Dakle, pronađimo definicije u udžbeniku i pročitajmo (str. 110) . slajd
Def. 1 Funkcija na = f (x) definiran na skupu X naziva se čak, ako za bilo koju vrijednost xÊ X u tijeku jednakost f (–x) = f (x). Navedite primjere.
Def. 2 Funkcija y = f(x), definiran na skupu X naziva se neparan, ako za bilo koju vrijednost xÊ X zadovoljena je jednakost f(–h)= –f(h). Navedite primjere.
Gdje smo susreli pojmove "par" i "nepar"?
Što mislite, koja će od ovih funkcija biti parna? Zašto? Koje su neparne? Zašto?
Za bilo koju funkciju forme na= x n, Gdje n je cijeli broj, može se tvrditi da je funkcija neparna za n je neparan i funkcija je parna za n- čak.
– Prikaz funkcija na= i na = 2x– 3 nije ni par ni nepar, jer jednakosti nisu ispunjene f(– x) = – f(x), f(–
x) = f(x)
Proučavanje pitanja je li funkcija parna ili neparna naziva se proučavanje funkcije za paritet. slajd
Definicije 1 i 2 bavile su se vrijednostima funkcije na x i - x, stoga se pretpostavlja da je funkcija također definirana na vrijednosti x, i na - x.
ODA 3. Ako brojčani skup zajedno sa svakim svojim elementom x sadrži suprotni element x, tada skup x naziva se simetričan skup.
Primjeri:
(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) su simetrični skupovi, a , [–5;4] su nesimetrični.
- Imaju li parne funkcije domenu definiranja - simetrični skup? One čudne?
- Ako D( f) je asimetričan skup, što je onda funkcija?
– Dakle, ako funkcija na = f(x) paran ili neparan, tada je njegova domena definicije D( f) je simetričan skup. Ali je li obrnuto točno, ako je domena funkcije simetričan skup, onda je paran ili neparan?
- Dakle, prisutnost simetričnog skupa domene definicije je nužan uvjet, ali ne i dovoljan.
– Dakle, kako možemo istražiti funkciju za paritet? Pokušajmo napisati algoritam.
slajd
Algoritam za ispitivanje parnosti funkcije
1. Odrediti je li domena funkcije simetrična. Ako nije, tada funkcija nije ni parna ni neparna. Ako da, prijeđite na korak 2 algoritma.
2. Napiši izraz za f(–x).
3. Usporedi f(–x).I f(x):
- Ako f(–x).= f(x), tada je funkcija parna;
- Ako f(–x).= – f(x), tada je funkcija neparna;
- Ako f(–x) ≠ f(x) I f(–x) ≠ –f(x), tada funkcija nije ni parna ni neparna.
Primjeri:
Istražite funkciju za paritet a) na= x 5 +; b) na= ; V) na= .
Riješenje.
a) h (x) \u003d x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrični skup.
2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),
3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funkcija h(x)= x 5 + neparan.
b) y =,
na = f(x), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetričan skup, pa funkcija nije ni parna ni neparna.
V) f(x) = , y = f(x),
1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
opcija 2
1. Je li zadani skup simetričan: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
A); b) y \u003d x (5 - x 2).
a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d
Nacrtajte funkciju na = f(x), Ako na = f(x) je parna funkcija.
Nacrtajte funkciju na = f(x), Ako na = f(x) je neparna funkcija.
Uključena međusobna provjera tobogan.
6. Domaća zadaća: №11.11, 11.21,11.22;
Dokaz geometrijskog značenja svojstva parnosti.
*** (Dodjela opcije USE).
1. Neparna funkcija y \u003d f (x) definirana je na cijelom realnom pravcu. Za bilo koju nenegativnu vrijednost varijable x, vrijednost ove funkcije podudara se s vrijednošću funkcije g( x) = x(x + 1)(x + 3)(x– 7). Odredite vrijednost funkcije h( x) = na x = 3.
7. Sažimanje
čak, ako za sve \(x\) iz njegove domene vrijedi: \(f(-x)=f(x)\) .
Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os \(y\):
Primjer: funkcija \(f(x)=x^2+\cos x\) je parna, jer \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Poziva se funkcija \(f(x)\). neparan, ako za sve \(x\) iz njegove domene vrijedi: \(f(-x)=-f(x)\) .
Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište:
Primjer: funkcija \(f(x)=x^3+x\) je neparna jer \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Funkcije koje nisu niti parne niti neparne zovu se generičke funkcije. Takva se funkcija uvijek može jednoznačno prikazati kao zbroj parne i neparne funkcije.
Na primjer, funkcija \(f(x)=x^2-x\) je zbroj parne funkcije \(f_1=x^2\) i neparne funkcije \(f_2=-x\) .
\(\crnitrokutdesno\) Neka svojstva:
1) Umnožak i kvocijent dviju funkcija iste parnosti je parna funkcija.
2) Umnožak i kvocijent dviju funkcija različite parnosti je neparna funkcija.
3) Zbroj i razlika parnih funkcija je parna funkcija.
4) Zbroj i razlika neparnih funkcija je neparna funkcija.
5) Ako je \(f(x)\) parna funkcija, tada jednadžba \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) ima jedan korijen ako i samo ako, kada je \(x=0\) .
6) Ako je \(f(x)\) parna ili neparna funkcija, a jednadžba \(f(x)=0\) ima korijen \(x=b\) , tada će ova jednadžba nužno imati drugi korijen \(x=-b\) .
\(\blacktriangleright\) Funkcija \(f(x)\) se zove periodična na \(X\) ako za neki broj \(T\ne 0\) imamo \(f(x)=f(x+T)\) , gdje je \(x, x+T\in X\) . Najmanji \(T\) , za koji ova jednakost vrijedi, naziva se glavnim (bazičnim) periodom funkcije.
Periodična funkcija ima bilo koji broj oblika \(nT\) , gdje će \(n\in \mathbb(Z)\) također biti period.
Primjer: svaka trigonometrijska funkcija je periodična;
za funkcije \(f(x)=\sin x\) i \(f(x)=\cos x\) glavni period je \(2\pi\) , za funkcije \(f(x)=\mathrm(tg)\,x\) i \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) glavni period je \(\pi\) .
Kako biste iscrtali periodičku funkciju, možete iscrtati njezin graf na bilo kojem segmentu duljine \(T\) (glavna perioda); tada se graf cijele funkcije dovršava pomakom konstruiranog dijela za cijeli broj perioda udesno i ulijevo:
\(\blacktriangleright\) Domena \(D(f)\) funkcije \(f(x)\) je skup koji se sastoji od svih vrijednosti argumenta \(x\) za koje funkcija ima smisla (definirana je).
Primjer: funkcija \(f(x)=\sqrt x+1\) ima domenu definicije: \(x\in
Zadatak 1 #6364
Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu
Za koje vrijednosti parametra \(a\) jednadžba
ima jedinstveno rješenje?
Imajte na umu da budući da su \(x^2\) i \(\cos x\) parne funkcije, ako jednadžba ima korijen \(x_0\) , imat će i korijen \(-x_0\) .
Doista, neka je \(x_0\) korijen, odnosno jednakost \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) pravo. Zamjena \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\).
Dakle, ako je \(x_0\ne 0\) , tada će jednadžba već imati najmanje dva korijena. Prema tome, \(x_0=0\) . Zatim:
Dobili smo dvije vrijednosti parametra \(a\) . Imajte na umu da smo koristili činjenicu da je \(x=0\) točno korijen izvorne jednadžbe. Ali nikada nismo koristili činjenicu da je on jedini. Stoga je potrebno zamijeniti dobivene vrijednosti parametra \(a\) u izvornu jednadžbu i provjeriti za koji će točno \(a\) korijen \(x=0\) doista biti jedinstven.
1) Ako \(a=0\) , tada će jednadžba imati oblik \(2x^2=0\) . Očito, ova jednadžba ima samo jedan korijen \(x=0\) . Dakle, vrijednost \(a=0\) nam odgovara.
2) Ako \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , tada jednadžba ima oblik \ Jednadžbu prepisujemo u obliku \ Jer \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), To \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Dakle, vrijednosti desne strane jednadžbe (*) pripadaju intervalu \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
Budući da je \(x^2\geqslant 0\) , tada je lijeva strana jednadžbe (*) veća ili jednaka \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
Dakle, jednakost (*) može vrijediti samo kada su obje strane jednadžbe jednake \(\mathrm(tg)^2\,1\) . A ovo znači to \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm (tg)\, (\cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Stoga nam odgovara vrijednost \(a=-\mathrm(tg)\,1\).
Odgovor:
\(a\u \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
2. zadatak #3923
Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu
Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od njih graf funkcije \
simetričan u odnosu na podrijetlo.
Ako je graf funkcije simetričan u odnosu na ishodište, tada je takva funkcija neparna, odnosno \(f(-x)=-f(x)\) je zadovoljeno za bilo koji \(x\) iz domene funkcije. Dakle, potrebno je pronaći one vrijednosti parametara za koje \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad - 3\math rm(tg)\,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3 x)4+\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\cdot \cos \dfrac12 \lijevo(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4 \right) =0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \frac34 x=0 \end(aligned)\]
Posljednja jednadžba mora vrijediti za sve \(x\) iz domene \(f(x)\), stoga \(\sin(2\pi a)=0 \desna strelica a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
Odgovor:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
Zadatak 3 #3069
Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu
Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih jednadžba \ ima 4 rješenja, gdje je \(f\) parna periodična funkcija s periodom \(T=\dfrac(16)3\) definiranom na cijelom realnom pravcu, a \(f(x)=ax^2\) za \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Zadatak od pretplatnika)
Zadatak 4 #3072
Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu
Pronađite sve vrijednosti \(a\) , za svaku od njih jednadžba \
ima barem jedan korijen.
(Zadatak od pretplatnika)
Jednadžbu prepisujemo u obliku \
i razmotrite dvije funkcije: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) i \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\) .
Funkcija \(g(x)\) je parna, ima točku minimuma \(x=0\) (i \(g(0)=49\) ).
Funkcija \(f(x)\) za \(x>0\) je opadajuća, a za \(x<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Doista, za \(x>0\) drugi modul se širi pozitivno (\(|x|=x\)), stoga, bez obzira na to kako je prvi modul proširen, \(f(x)\) će biti jednako \(kx+A\) , gdje je \(A\) izraz iz \(a\) , a \(k\) je jednako ili \(-9\) ili \(-3\) . Za \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Pronađite vrijednost \(f\) u najvećoj točki: \ 
Da bi jednadžba imala barem jedno rješenje, potrebno je da grafovi funkcija \(f\) i \(g\) imaju barem jednu sjecišnu točku. Stoga vam je potrebno: \ Rješavanjem ovog skupa sustava dobivamo odgovor: \\]
Odgovor:
\(a\u \(-7\)\šalica\)
Zadatak 5 #3912
Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu
Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih je jednadžba \
ima šest različitih rješenja.
Napravimo zamjenu \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Tada će jednadžba poprimiti oblik \
Postupno ćemo ispisati uvjete pod kojima će izvorna jednadžba imati šest rješenja.
Imajte na umu da kvadratna jednadžba \((*)\) može imati najviše dva rješenja. Svaka kubna jednadžba \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) ne može imati više od tri rješenja. Stoga, ako jednadžba \((*)\) ima dva različita rješenja (pozitivna!, jer \(t\) mora biti veće od nule) \(t_1\) i \(t_2\) , tada, vršeći obrnutu zamjenu, dobivamo: \[\lijevo[\begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_2\end(poravnano)\kraj(sakupljeno)\desno.\] Budući da se bilo koji pozitivni broj može predstaviti kao \(\sqrt2\) do nekog stupnja, na primjer, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), tada će prva jednadžba skupa biti prepisana u obliku \
Kao što smo već rekli, svaka kubna jednadžba nema više od tri rješenja, stoga svaka jednadžba iz skupa neće imati više od tri rješenja. To znači da cijeli skup neće imati više od šest rješenja.
To znači da da bi izvorna jednadžba imala šest rješenja, kvadratna jednadžba \((*)\) mora imati dva različita rješenja, a svaka rezultirajuća kubna jednadžba (iz skupa) mora imati tri različita rješenja (i niti jedno rješenje jedne jednadžbe ne smije koincidirati s bilo kojim rješenjem druge!)
Očito, ako kvadratna jednadžba \((*)\) ima jedno rješenje, tada nećemo dobiti šest rješenja za izvornu jednadžbu.
Dakle, plan rješenja postaje jasan. Napišimo uvjete koji moraju biti ispunjeni točku po točku.
1) Da bi jednadžba \((*)\) imala dva različita rješenja, njezina diskriminanta mora biti pozitivna: \
2) Također trebamo da oba korijena budu pozitivna (jer \(t>0\) ). Ako je umnožak dva korijena pozitivan i njihov zbroj pozitivan, tada će i sami korijeni biti pozitivni. Stoga vam je potrebno: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
Dakle, već smo sebi osigurali dva različita pozitivna korijena \(t_1\) i \(t_2\) .
3)
Pogledajmo ovu jednadžbu \
Za koliko će \(t\) imati tri različita rješenja? Dakle, utvrdili smo da oba korijena jednadžbe \((*)\) moraju ležati u intervalu \((1;4)\) . Kako napisati ovaj uvjet? Dakle, trebamo presjeći vrijednosti parametra \(a\) koje se nalaze u 1., 2. i 3. paragrafu, i dobit ćemo odgovor: \[\begin(cases) a\in (-\infty;8-2\sqrt3)\cup(8+2\sqrt3;+\infty)\\ a<10\\
4 Funkcija se naziva parna (neparna) ako za bilo koju i jednakost Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište. Primjer 6.2. Ispitajte parne ili neparne funkcije 1)
Riješenje. 1) Funkcija je definirana s Oni. 2) Funkcija je definirana za Oni. 3) funkcija je definirana za , tj. Za Funkcija Funkcije koje rastu (opadaju) na nekom intervalu nazivaju se monotonim. Ako funkcija Primjer 6.3. Odredite intervale monotonosti funkcija 1)
Riješenje. 1) Ova je funkcija definirana na cijeloj brojčanoj osi. Nađimo izvod. Derivacija je nula ako U intervalu U intervalu 2) Ova funkcija je definirana ako U svakom intervalu odredimo predznak kvadratnog trinoma. Dakle, opseg funkcije Nađimo izvod U intervalu Točka Točke maksimuma i minimuma funkcije nazivaju se točkama ekstrema. Ako funkcija Točke u kojima je derivacija jednaka nuli ili ne postoji nazivaju se kritičnim. Pravilo 1. Ako pri prijelazu (slijeva na desno) kroz kritičnu točku Pravilo 2. Neka u točki Primjer
6.4
. Istražite maksimalne i minimalne funkcije: 1)
4)
Riješenje. 1) Funkcija je definirana i kontinuirana na intervalu Nađimo izvod Odredimo predznak derivacije u intervalima , Pri prolasku kroz točke Pri prolasku kroz točku 2) Funkcija je definirana i kontinuirana u intervalu Rješavanjem jednadžbe Dakle, funkcija ima minimum u točki 3) Funkcija je definirana i neprekidna ako Nađimo izvod Pronađimo kritične točke: Okolice točaka 4) Funkcija je definirana i kontinuirana na intervalu Pronađimo kritične točke: Nađimo drugu derivaciju U točkama U točkama Provjerite je li graf funkcije simetričan u odnosu na os y. Simetrija se odnosi na zrcalnu sliku grafa oko y-osi. Ako dio grafa desno od osi y (pozitivne vrijednosti nezavisne varijable) odgovara dijelu grafa lijevo od osi y (negativne vrijednosti nezavisne varijable), graf je simetričan u odnosu na os y. Ako je funkcija simetrična u odnosu na os y, funkcija je parna. Provjerite je li graf funkcije simetričan u odnosu na ishodište. Ishodište je točka s koordinatama (0,0). Simetrija oko ishodišta znači da pozitivna vrijednost y (\displaystyle y)(s pozitivnom vrijednošću x (\displaystyle x)) odgovara negativnoj vrijednosti y (\displaystyle y)(s negativnom vrijednošću x (\displaystyle x)), i obrnuto. Neparne funkcije imaju simetriju u odnosu na ishodište. Provjerite ima li graf funkcije simetriju. Posljednji tip funkcije je funkcija čiji graf nema simetriju, odnosno ne postoji zrcalna slika ni u odnosu na y-os ni u odnosu na ishodište. Na primjer, dana funkcija. Funkcija jedan je od najvažnijih matematičkih pojmova. Ovisnost funkcije - varijable na iz varijable x, ako je svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti na. varijabla x naziva nezavisna varijabla ili argument. varijabla na naziva zavisna varijabla. Sve vrijednosti nezavisne varijable (varijable x) čine domenu funkcije. Sve vrijednosti koje zavisna varijabla poprima (varijabla g), čine raspon funkcije. Grafikon funkcije nazivaju skup svih točaka koordinatne ravnine, čije su apscise jednake vrijednostima argumenta, a ordinate su jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije, odnosno vrijednosti varijable su ucrtane duž apscisne osi x, a vrijednosti varijable su iscrtane duž y-osi g. Da biste nacrtali funkciju, morate znati svojstva funkcije. O glavnim svojstvima funkcije bit će riječi u nastavku! Za iscrtavanje grafa funkcije preporučujemo korištenje našeg programa - Grafičke funkcije na mreži. Ako imate bilo kakvih pitanja tijekom proučavanja materijala na ovoj stranici, uvijek ih možete postaviti na našem forumu. Također na forumu će vam se pomoći u rješavanju problema iz matematike, kemije, geometrije, teorije vjerojatnosti i mnogih drugih predmeta! Osnovna svojstva funkcija. 1) Opseg funkcija i raspon funkcija. Opseg funkcije je skup svih valjanih valjanih vrijednosti argumenta x(varijabilno x) za koju je funkcija y = f(x) definiran. U elementarnoj matematici funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva. 2) Funkcijske nule. Vrijednosti x, na kojem y=0, Zove se funkcijske nule. To su apscise točaka presjeka grafa funkcije s x-osi. 3) Intervali predznaka konstantnosti funkcije. Intervali predznaka funkcije su takvi intervali vrijednosti x, na kojem su vrijednosti funkcije g nazivaju se ili samo pozitivni ili samo negativni intervali predznaka konstantnosti funkcije. 4) Monotonost funkcije. Rastuća funkcija (u nekom intervalu) - funkcija kod koje većoj vrijednosti argumenta iz tog intervala odgovara veća vrijednost funkcije. Opadajuća funkcija (u nekom intervalu) - funkcija u kojoj manja vrijednost funkcije odgovara većoj vrijednosti argumenta iz tog intervala. 5) Parne (neparne) funkcije. Parna funkcija je funkcija čija je definicijska domena simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koji x f(-x) = f(x). Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na y-osu. Neparna funkcija je funkcija čija je definicijska domena simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koji x iz domene definicije jednakost f(-x) = - f(x). Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište. Ravnomjerna funkcija neparna funkcija ima sljedeća svojstva: Nije svaka funkcija parna ili neparna. Funkcije opći pogled nisu ni parni ni neparni. 6) Ograničene i neograničene funkcije. Funkcija se naziva ograničenom ako postoji pozitivan broj M takav da je |f(x)| ≤ M za sve vrijednosti x. Ako takav broj ne postoji, onda je funkcija neograničena. 7) Periodičnost funkcije. Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj T različit od nule takav da za bilo koji x iz domene funkcije vrijedi f(x+T) = f(x). Taj najmanji broj naziva se periodom funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodične. (Trigonometrijske formule). Funkcija f naziva se periodičnim ako postoji broj takav da za bilo koji x iz domene definicije jednakost f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je period funkcije. Svaka periodična funkcija ima beskonačan broj perioda. U praksi se obično uzima u obzir najmanji pozitivni period. Vrijednosti periodične funkcije se ponavljaju nakon intervala jednakog razdoblju. Ovo se koristi pri crtanju grafikona.
Razmotrimo funkciju \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Može se množiti: \
Stoga su njegove nule: \(x=-1;2\) .
Ako nađemo derivaciju \(f"(x)=3x^2-6x\) , tada ćemo dobiti dvije ekstremne točke \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Dakle, grafikon izgleda ovako: 
Vidimo da svaka horizontalna linija \(y=k\) , gdje \(0
Dakle, trebate: \[\početak(slučajevi) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Također odmah primijetimo da ako su brojevi \(t_1\) i \(t_2\) različiti, tada će brojevi \(\log_(\sqrt2)t_1\) i \(\log_(\sqrt2)t_2\) biti različiti, a time i jednadžbe \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) I \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) imat će različite korijene.
Sustav \((**)\) može se prepisati ovako: \[\početak(slučajevi) 1
Nećemo eksplicitno ispisivati korijene.
Razmotrimo funkciju \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Njegov graf je parabola s granama prema gore, koja ima dvije točke sjecišta s osi apscise (ovaj uvjet smo napisali u paragrafu 1)). Kako bi trebao izgledati njegov graf da sjecišne točke s osi apscisa budu u intervalu \((1;4)\) ? Tako: 
Prvo, vrijednosti \(g(1)\) i \(g(4)\) funkcije u točkama \(1\) i \(4\) moraju biti pozitivne, a drugo, vrh parabole \(t_0\) također mora biti u intervalu \((1;4)\) . Stoga se sustav može napisati: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
.
.
;
2)
;
3)
.
. Nađimo 
.
. Dakle, ova funkcija je parna.
. Dakle, ova funkcija je neparna.
,
. Dakle, funkcija nije ni parna ni neparna. Nazovimo to općom funkcijom.3. Istraživanje funkcije za monotonost.
nazivamo rastućim (opadajućim) na nekom intervalu ako u tom intervalu svakoj većoj vrijednosti argumenta odgovara veća (manja) vrijednost funkcije.
diferencijabilan na intervalu 
a ima pozitivnu (negativnu) derivaciju 
, zatim funkcija 
povećava (smanjuje) u ovom intervalu.
;
3)
.
I 
. Domena definicije - numerička os, podijeljena točkama 
,
za intervale. Odredimo predznak derivacije u svakom intervalu.
derivacija je negativna, funkcija opada na tom intervalu.
derivacija je pozitivna, dakle funkcija raste na tom intervalu.
ili
.
,
, Ako 
, tj. 
, Ali 
. Odredimo predznak derivacije u intervalima 
.
derivacija je negativna, dakle funkcija opada na intervalu 
. U intervalu 
derivacija je pozitivna, funkcija raste na intervalu 
.4. Istraživanje funkcije za ekstrem.
naziva se točka maksimuma (minimuma) funkcije 
, ako postoji takva okolina točke 
to za sve 
ovo susjedstvo zadovoljava nejednakost 
.
u točki 
ima ekstrem, tada je derivacija funkcije u ovoj točki jednaka nuli ili ne postoji (nužan uvjet za postojanje ekstrema).5. Dovoljni uvjeti za postojanje ekstrema.
izvedenica 
mijenja predznak iz "+" u "-", zatim na točku 
funkcija 
ima maksimum; ako je od "-" do "+", tada minimum; Ako 
ne mijenja predznak, tada nema ekstrema.
prva derivacija funkcije 
nula 
, a druga derivacija postoji i različita je od nule. Ako 
, To 
je najveća točka, ako 
, To 
je minimalna točka funkcije.
;
2)
;
3)
;
.
.
i riješite jednadžbu 
, tj. 
.odavde 
su kritične točke.
.
I 
izvod mijenja predznak iz “–” u “+”, dakle prema pravilu 1 
su minimalni bodovi.
izvedenica mijenja predznak iz "+" u "-", dakle 
je najveća točka.
,
.
. Nađimo izvod 
.
, pronaći 
I 
su kritične točke. Ako nazivnik 
, tj. 
, onda izvod ne postoji. Tako, 
je treća kritična točka. Odredimo predznak derivacije u intervalima.
, maksimalno u točkama 
I 
.
, tj. na 
.
.
ne pripadaju domeni definicije, pa nisu ekstremni t. Dakle, istražimo kritične točke 
I 
.
. Koristimo pravilo 2. Pronađite izvod 
.
i odrediti njegov predznak u točkama 
funkcija ima minimum.
funkcija ima maksimum.
Raspon funkcije je skup svih realnih vrijednosti g koju funkcija prihvaća.
1) Područje definicije je simetrično u odnosu na točku (0; 0), tj. ako je točka a pripada domeni definicije, zatim točka -a također spada u domenu definicije.
2) Za bilo koju vrijednost x f(-x)=f(x)
3) Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os Oy.
1) Područje definicije je simetrično u odnosu na točku (0; 0).
2) za bilo koju vrijednost x, što spada u domenu definicije, jednakosti f(-x)=-f(x)
3) Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište (0; 0).
Učitavam...