Kako opisati kružnicu oko jednakokračnog trapeza. Zapamtite i primijenite svojstva trapeza

Ako je kružnica upisana u trapez, problem ima nekoliko puteva po kojima se može zaključivati.

1. Četverokutu se može upisati kružnica ako i samo ako su zbrojevi duljina njegovih suprotnih stranica jednaki. Iz toga slijedi da Ako je u trapez upisan krug, tada je zbroj njegovih osnovica jednak zbroju stranica.

AB+CD=AD+BC

2. Tangente povučene iz jedne točke su jednake. Iz toga slijedi da

3. Visina trapeza jednaka je duljini promjera upisane kružnice ili dvaju njegovih polumjera.

MK je visina trapeza, MK=2r, gdje je r polumjer kruga upisanog u trapez.

4. Središte upisane kružnice je sjecište simetrala kutova trapeza.

Pogledajmo osnovni problem.

Odredi polumjer kružnice upisane u trapez ako dodirna točka dijeli stranicu na segmente duljine m i n (CF=m, FD=n).

1) ∠ADC+∠BCD=180º (kao zbroj unutarnjih jednostraničkih kutova za paralelne pravce AD ​​i BC i sekantu CD);

2) kako je točka O sjecište simetrala uglova trapeza, onda je ∠ODF+∠OCF=1/2∙(∠ADC+∠BCD)=90º;

3) kako je zbroj kutova trokuta 180º, onda je u trokutu COD ∠COD=90º;

4) dakle, trokut COD je pravokutan, a OF je visina povučena na hipotenuzu, CF i FD su projekcije kateta OC i OD na hipotenuzu. Kako je visina povučena na hipotenuzu između projekcija kateta na hipotenuzu,

Dakle, polumjer kruga upisanog u trapez izražava se u smislu duljina segmenata, jer je bočna stranica podijeljena točkom dodira, kao

A budući da je visina trapeza jednaka njegovom promjeru, visina trapeza može se izraziti u smislu duljina ovih segmenata.

Trapez je poseban slučaj četverokuta kojemu je jedan par stranica paralelan. Izraz "trapez" dolazi od grčke riječi τράπεζα, što znači "stol", "stol". U ovom ćemo članku pogledati vrste trapeza i njegova svojstva. Osim toga, otkrit ćemo kako izračunati pojedine elemente ovoga Na primjer, dijagonalu jednakokračnog trapeza, središnju liniju, površinu itd. Materijal je prikazan u stilu elementarne popularne geometrije, tj. u lako dostupnom obliku. .

Opće informacije

Prvo, shvatimo što je četverokut. Ova figura je poseban slučaj poligona koji sadrži četiri stranice i četiri vrha. Dva vrha četverokuta koji nisu susjedni nazivaju se suprotnim. Isto se može reći i za dvije nesusjedne strane. Glavne vrste četverokuta su paralelogram, pravokutnik, romb, kvadrat, trapez i deltoid.

Dakle, vratimo se na trapeze. Kao što smo već rekli, ova figura ima dvije paralelne strane. Nazivaju se bazama. Druge dvije (neparalelne) su bočne strane. U gradivima ispita i raznih testova često se mogu naći zadaci vezani uz trapeze, čije rješavanje često od učenika zahtijeva znanja koja nisu predviđena programom. Školski predmet geometrije upoznaje učenike sa svojstvima kutova i dijagonala, kao i sa središnjicom jednakokračnog trapeza. No, osim ovoga, spomenuti geometrijski lik ima i druga obilježja. Ali o njima malo kasnije...

Vrste trapeza

Postoji mnogo vrsta ove figure. Međutim, najčešće je uobičajeno uzeti u obzir dva od njih - jednakokračan i pravokutan.

1. Pravokutni trapez je lik kojemu je jedna stranica okomita na osnovice. Njezina dva kuta uvijek su jednaka devedeset stupnjeva.

2. Jednakokračni trapez je geometrijski lik čije su stranice međusobno jednake. To znači da su i kutovi na bazama jednaki u parovima.

Glavna načela metodologije proučavanja svojstava trapeza

Glavno načelo uključuje korištenje tzv. pristupa zadatku. Zapravo, nema potrebe uvoditi nova svojstva ove figure u teorijski tijek geometrije. Oni se mogu otkriti i formulirati u procesu rješavanja različitih problema (po mogućnosti sistemskih). Pritom je vrlo važno da nastavnik zna koje zadatke treba zadati učenicima u određenom trenutku tijekom obrazovnog procesa. Štoviše, svako svojstvo trapeza može se prikazati kao ključni zadatak u sustavu zadataka.

Drugi princip je takozvana spiralna organizacija proučavanja "izvanrednih" svojstava trapeza. To podrazumijeva vraćanje u procesu učenja na pojedinačna obilježja danog geometrijskog lika. Tako ih učenici lakše pamte. Na primjer, svojstvo četiri točke. Može se dokazati i proučavanjem sličnosti i naknadnom uporabom vektora. A istovrijednost trokuta koji graniče s bočnim stranicama figure može se dokazati primjenom ne samo svojstava trokuta s jednakim visinama nacrtanih na stranice koje leže na istoj ravnoj crti, već i korištenjem formule S = 1/2( ab*sinα). Osim toga, možete raditi na upisanom trapezu ili pravokutnom trokutu na upisanom trapezu itd.

Korištenje "izvannastavnih" značajki geometrijskog lika u sadržaju školskog tečaja je tehnologija koja se temelji na zadatku za njihovo podučavanje. Konstantno upućivanje na svojstva koja se proučavaju uz prolaz kroz druge teme omogućuje učenicima stjecanje dubljeg znanja o trapezu i osigurava uspješnost rješavanja zadanih problema. Dakle, počnimo proučavati ovu prekrasnu figuru.

Elementi i svojstva jednakokračnog trapeza

Kao što smo već primijetili, ova geometrijska figura ima jednake strane. Također je poznat kao pravilan trapez. Zašto je tako značajan i zašto je dobio takvo ime? Posebnost ove figure je da nisu samo strane i kutovi na bazama jednaki, već i dijagonale. Osim toga, zbroj kutova jednakokračnog trapeza je 360 ​​stupnjeva. Ali to nije sve! Od svih poznatih trapeza samo se jednakokračan može opisati kao kružnica. To je zbog činjenice da je zbroj suprotnih kutova ove figure jednak 180 stupnjeva i samo pod tim uvjetom može se opisati krug oko četverokuta. Sljedeće svojstvo geometrijske figure koja se razmatra je da će udaljenost od vrha baze do projekcije suprotnog vrha na ravnu liniju koja sadrži ovu bazu biti jednaka srednjoj liniji.

Sada shvatimo kako pronaći kutove jednakokračnog trapeza. Razmotrimo rješenje ovog problema, pod uvjetom da su poznate dimenzije stranica figure.

Riješenje

Tipično, četverokut se obično označava slovima A, B, C, D, gdje su BS i AD baze. U jednakokračnom trapezu stranice su jednake. Pretpostavit ćemo da je njihova veličina jednaka X, a veličina baza jednaka je Y i Z (manja odnosno veća). Za izračun je potrebno povući visinu H iz kuta B. Rezultat je pravokutni trokut ABN, gdje je AB hipotenuza, a BN i AN katete. Izračunavamo veličinu kraka AN: oduzimamo manji od veće baze i rezultat dijelimo s 2. Zapisujemo ga u obliku formule: (Z-Y)/2 = F. Sada, da izračunamo akutni kut trokuta, koristimo funkciju cos. Dobivamo sljedeći unos: cos(β) = X/F. Sada izračunavamo kut: β=arcos (X/F). Nadalje, znajući jedan kut, možemo odrediti drugi, za to izvodimo elementarnu aritmetičku operaciju: 180 - β. Svi kutovi su definirani.

Postoji drugo rješenje za ovaj problem. Prvo ga spustimo od kuta do visine H. Izračunamo vrijednost kraka BN. Znamo da je kvadrat hipotenuze pravokutnog trokuta jednak zbroju kvadrata kateta. Dobivamo: BN = √(X2-F2). Zatim koristimo trigonometrijsku funkciju tg. Kao rezultat imamo: β = arctan (BN/F). Pronađen je oštar kut. Zatim ga definiramo slično prvoj metodi.

Svojstvo dijagonala jednakokračnog trapeza

Prvo, zapišimo četiri pravila. Ako su dijagonale jednakokračnog trapeza okomite, tada je:

Visina figure bit će jednaka zbroju baza podijeljenom s dva;

Njegova visina i srednja linija su jednake;

Središte kruga je točka u kojoj ;

Ako je bočna strana podijeljena točkom dodirivanja na segmente H i M, tada je jednaka kvadratnom korijenu produkta tih segmenata;

Četverokut koji čine dodirne točke, vrh trapeza i središte upisane kružnice je kvadrat čija je stranica jednaka polumjeru;

Površina figure jednaka je umnošku baza i umnošku polovine zbroja baza i njegove visine.

Slični trapezi

Ova je tema vrlo prikladna za proučavanje svojstava ovog. Na primjer, dijagonale dijele trapez na četiri trokuta, a oni koji graniče s bazama su slični, a oni koji graniče sa stranicama jednake su veličine. Ovu tvrdnju možemo nazvati svojstvom trokuta na koje je trapez podijeljen svojim dijagonalama. Prvi dio ove tvrdnje dokazuje se znakom sličnosti dvaju kutova. Za dokazivanje drugog dijela bolje je koristiti dolje navedenu metodu.

Dokaz teorema

Prihvaćamo da je lik ABSD (AD i BS osnovice trapeza) podijeljen dijagonalama VD i AC. Točka njihovog sjecišta je O. Dobivamo četiri trokuta: AOS - na donjoj bazi, BOS - na gornjoj bazi, ABO i SOD na stranama. Trokuti SOD i BOS imaju zajedničku visinu ako su im dužice BO i OD osnovice. Nalazimo da je razlika između njihovih površina (P) jednaka razlici između ovih segmenata: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Dakle, PSOD = PBOS/K. Slično, trokuti BOS i AOB imaju zajedničku visinu. Uzimamo segmente CO i OA kao njihove baze. Dobivamo PBOS/PAOB = CO/OA = K i PAOB = PBOS/K. Iz ovoga slijedi da je PSOD = PAOB.

Za učvršćivanje gradiva učenicima se preporučuje da pronađu vezu između površina dobivenih trokuta na koje je trapez podijeljen svojim dijagonalama rješavanjem sljedećeg zadatka. Poznato je da trokuti BOS i AOD imaju jednake površine; potrebno je pronaći površinu trapeza. Pošto je PSOD = PAOB, to znači PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Iz sličnosti trokuta BOS i AOD slijedi da je BO/OD = √(PBOS/PAOD). Stoga je PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Dobivamo PSOD = √(PBOS*PAOD). Tada je PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Svojstva sličnosti

Nastavljajući razvijati ovu temu, možemo dokazati druge zanimljive značajke trapeza. Dakle, koristeći sličnost, može se dokazati svojstvo segmenta koji prolazi kroz točku formiranu sjecištem dijagonala ove geometrijske figure, paralelno s bazama. Da bismo to učinili, riješimo sljedeći zadatak: trebamo pronaći duljinu dužine RK koja prolazi točkom O. Iz sličnosti trokuta AOD i BOS slijedi da je AO/OS = AD/BS. Iz sličnosti trokuta AOP i ASB slijedi da je AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Odavde dobivamo da je RO=BS*BP/(BS+BP). Slično, iz sličnosti trokuta DOC i DBS slijedi OK = BS*AD/(BS+AD). Odavde dobivamo da je RO=OK i RK=2*BS*AD/(BS+AD). Segment koji prolazi kroz točku sjecišta dijagonala, paralelan s bazama i povezuje dvije bočne strane, podijeljen je na pola točkom sjecišta. Njegova duljina je harmonijska sredina baza figure.

Razmotrimo sljedeće svojstvo trapeza, koje se naziva svojstvo četiri točke. Sjecišta dijagonala (O), sjecište nastavaka stranica (E), kao i polovišta osnovica (T i F) uvijek leže na istoj liniji. To se lako dokazuje metodom sličnosti. Dobiveni trokuti BES i AED slični su, au svakom od njih središnje ET i EJ dijele vršni kut E na jednake dijelove. Dakle, točke E, T i F leže na istoj pravoj liniji. Isto tako, točke T, O i Zh nalaze se na istoj pravoj liniji. Sve ovo proizlazi iz sličnosti trokuta BOS i AOD. Odavde zaključujemo da će sve četiri točke - E, T, O i F - ležati na istoj ravnoj liniji.

Koristeći slične trapeze, možete tražiti od učenika da pronađu duljinu segmenta (LS) koji dijeli lik na dva slična. Ovaj segment mora biti paralelan s bazama. Budući da su rezultirajući trapezi ALFD i LBSF slični, tada je BS/LF = LF/AD. Slijedi da je LF=√(BS*AD). Nalazimo da isječak koji trapez dijeli na dva slična ima duljinu jednaku geometrijskoj sredini duljina osnovica lika.

Razmotrite sljedeće svojstvo sličnosti. Temelji se na segmentu koji dijeli trapez na dvije jednake figure. Pretpostavljamo da je trapez ABSD isječak EH podijeljen na dva slična. Iz vrha B izostavljena je visina koja je segmentom EN podijeljena na dva dijela - B1 i B2. Dobivamo: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 i PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Zatim sastavljamo sustav čija je prva jednadžba (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, a druga (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Slijedi da je B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) i BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Nalazimo da je duljina isječka koji trapez dijeli na dva jednaka jednaka srednjem kvadratu duljina baza: √((BS2+AD2)/2).

Nalazi sličnosti

Dakle, dokazali smo da:

1. Dužina koja spaja polovišta bočnih stranica trapeza paralelna je s AD i BS i jednaka je aritmetičkoj sredini BS i AD (duljina osnovice trapeza).

2. Pravac koji prolazi točkom O sjecišta dijagonala paralelnih s AD i BS bit će jednak harmonijskoj sredini brojeva AD i BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Isječak koji trapez dijeli na slične ima duljinu geometrijske sredine osnovica BS i AD.

4. Element koji dijeli lik na dva jednaka ima duljinu korijena srednjeg kvadrata brojeva AD i BS.

Da bi učvrstio gradivo i razumio vezu između razmatranih segmenata, učenik ih treba konstruirati za određeni trapez. On može lako prikazati srednju liniju i segment koji prolazi kroz točku O - sjecište dijagonala figure - paralelno s bazama. Ali gdje će se smjestiti treći i četvrti? Ovaj odgovor dovest će učenika do otkrića željenog odnosa između prosječnih vrijednosti.

Isječak koji povezuje središta dijagonala trapeza

Razmotrimo sljedeće svojstvo ove figure. Pretpostavljamo da je isječak MH paralelan s bazama i da raspolavlja dijagonale. Nazovimo točke sjecišta Š i Š Ovaj segment će biti jednak polovici razlike baza. Pogledajmo ovo detaljnije. MS je središnja linija trokuta ABS, jednaka je BS/2. MSH je središnja linija trokuta ABD, jednaka je AD/2. Tada dobivamo da je ShShch = MSh-MSh, dakle, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Centar gravitacije

Pogledajmo kako je ovaj element određen za danu geometrijsku figuru. Da biste to učinili, potrebno je proširiti baze u suprotnim smjerovima. Što to znači? Morate dodati donju bazu gornjoj bazi - u bilo kojem smjeru, na primjer, udesno. A donju produžimo za duljinu gornje ulijevo. Zatim ih povezujemo dijagonalno. Točka sjecišta ovog segmenta sa središnjom linijom figure je težište trapeza.

Upisani i opisani trapezi

Nabrojimo značajke takvih figura:

1. Trapez se može upisati u kružnicu samo ako je jednakokračan.

2. Trapez se može opisati oko kružnice pod uvjetom da je zbroj duljina njihovih osnovica jednak zbroju duljina stranica.

Posljedice upisanog kruga:

1. Visina opisanog trapeza uvijek je jednaka dvama polumjerima.

2. Boku opisanog trapeza promatramo iz središta kružnice pod pravim kutom.

Prvi korolar je očigledan, ali za dokaz drugog potrebno je utvrditi da je kut SOD pravi, što, zapravo, također nije teško. Ali poznavanje ovog svojstva omogućit će vam korištenje pravokutnog trokuta pri rješavanju problema.

Navedimo sada ove posljedice za jednakokračni trapez upisan u krug. Nalazimo da je visina geometrijska sredina baza lika: H=2R=√(BS*AD). Uvježbavajući osnovnu tehniku ​​rješavanja zadataka za trapez (princip crtanja dviju visina), učenik mora riješiti sljedeći zadatak. Pretpostavljamo da je BT visina jednakokračnog lika ABSD. Potrebno je pronaći segmente AT i TD. Koristeći gore opisanu formulu, to neće biti teško učiniti.

Sada shvatimo kako odrediti polumjer kruga pomoću područja opisanog trapeza. Spuštamo visinu iz vrha B na osnovicu AD. Kako je kružnica upisana u trapez, onda je BS+AD = 2AB ili AB = (BS+AD)/2. Iz trokuta ABN nalazimo sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Dobivamo PABSD = (BS+BP)*R, slijedi da je R = PABSD/(BS+BP).

Sve formule za središnjicu trapeza

Sada je vrijeme da prijeđemo na posljednji element ove geometrijske figure. Odredimo čemu je jednaka srednja linija trapeza (M):

1. Kroz baze: M = (A+B)/2.

2. Kroz visinu, bazu i kutove:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Kroz visinu, dijagonale i kut između njih. Na primjer, D1 i D2 su dijagonale trapeza; α, β - kutovi između njih:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Prolazna površina i visina: M = P/N.

Kako pronaći polumjer opisanog kruga trapeza?

Ovisno o uvjetima, to se može učiniti na različite načine. Ne postoji gotova formula za polumjer kruga opisanog oko trapeza.

I. Polumjer opisane kružnice oko trapeza kao polumjer opisane kružnice oko trokuta čiji su vrhovi vrhovi trapeza

Opisani krug trapeza prolazi kroz sve njegove vrhove, dakle, opisan je svakom trokutu čiji su vrhovi vrhovi trapeza.

Općenito, može se pronaći pomoću jedne od formula

gdje je a stranica trokuta, α je kut nasuprot njoj;

ili po formuli

gdje su a, b, c strane, S je površina trokuta.

Za trapez ABCD polumjer se može pronaći, na primjer, kao polumjer kruga opisanog oko trokuta ABD:

gdje se sinus kuta A može pronaći iz pravokutnog trokuta ABF:

III. Polumjer kruga opisanog oko trapeza kao udaljenost do sjecišta simetrala okomica

Polumjer opisane kružnice je točka presjeka simetrala okomitih sa stranicama trapeza. (Možete razmišljati drugačije: u jednakokračnom trokutu AOD (AO=OD=R), visina ON je također medijan. Za trokut BOC, isto vrijedi.)

Ako je poznata visina trapeza KN=h, osnovice AD=a, BC=b mogu se označiti ON=x.

Ako središte kružnice leži unutar trapeza, OK=h-x, iz pravokutnih trokuta ANO i BKO možemo izraziti

a desne strane izjednačiti

Rješavanjem ovih jednadžbi za x, možete pronaći R.

IV. Ako je dijagonala trapeza okomita na stranicu, središte opisane kružnice leži u sredini veće osnovice, a polumjer je polovica veće osnovice.

Projektni rad “Zanimljiva svojstva trapeza” Izvršili: učenici 10. razreda Kudzaeva Ellina Bazzaeva Diana MCOU Srednja škola s. N.Batako Voditelj: Gagieva A.O. 20. studenog 2015

Svrha rada: Razmotriti svojstva trapeza, koja se ne proučavaju u školskom tečaju geometrije, ali pri rješavanju geometrijskih problema Jedinstvenog državnog ispita iz proširenog dijela C 4, možda će biti potrebno znati i moći primijeniti upravo ova svojstva.

Svojstva trapeza: Ako trapez podijelimo pravcem paralelnim s njegovim osnovicama jednakim a i b, na dva jednaka trapeza. Tada je segment ove linije, zatvoren između bočnih strana, jednak B to

Svojstvo odsječka koji prolazi kroz točku presjeka dijagonala trapeza. Odsječak paralelan s bazama koji prolazi kroz točku sjecišta dijagonala jednak je: a u c

Svojstva trapeza: Isječak ravne linije paralelan s osnovicama trapeza, zatvoren unutar trapeza, svojim je dijagonalama podijeljen na tri dijela. Tada su segmenti uz stranice jednaki jedan drugome. MP=OK R M O K

Svojstva jednakokračnog trapeza: Ako se u trapez može upisati kružnica, tada je polumjer kružnice prosječno proporcionalan segmentima na koje tangenta dijeli stranicu. O S V A D. E O

Svojstva jednakokračnog trapeza: Ako središte opisane kružnice leži na osnovici trapeza, tada je njegova dijagonala okomita na stranicu O A B C D

Svojstva jednakokračnog trapeza: U jednakokračni trapez može se upisati kružnica ako je bočna stranica jednaka njegovoj središnjici. S V A D h

1) Ako tvrdnja problema kaže da je kružnica upisana u pravokutni trapez, možete koristiti sljedeća svojstva: 1. Zbroj osnovica trapeza jednak je zbroju stranica. 2. Udaljenosti od vrha trapeza do tangenti upisane kružnice su jednake. 3. Visina pravokutnog trapeza jednaka je njegovoj manjoj stranici i jednaka promjeru upisane kružnice. 4. Središte upisane kružnice je sjecište simetrala kutova trapeza. 5. Ako tangenta dijeli stranicu na segmente m i n, tada je polumjer upisane kružnice jednak

Svojstva pravokutnog trapeza u koji je upisana kružnica: 1) Četverokut kojeg čine središte upisane kružnice, dodirne točke i vrh trapeza – kvadrat čija je stranica jednaka polumjeru. (AMOE i BKOM su kvadrati sa stranicom r). 2) Ako je u pravokutni trapez upisan krug, tada je površina trapeza jednaka umnošku njegovih baza: S=AD*BC

Dokaz: Površina trapeza jednaka je umnošku polovice zbroja njegovih osnovica i visine: Označimo CF=m, FD=n. Budući da su udaljenosti od vrhova do tangentnih točaka jednake, visina trapeza jednaka je dvama polumjerima upisane kružnice, a

I. Simetrale kutova na bočnoj stranici trapeza sijeku se pod kutom od 90º. 1)∠ABC+∠BAD=180º (kao unutarnja jednostrana s AD∥BC i sekantom AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º (budući da simetrale raspolavljaju kutove). 3) Kako je zbroj kutova trokuta 180º, u trokutu ABK imamo: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, pa je ∠AKB=180-90=90º. Zaključak: Simetrale kutova na bočnoj stranici trapeza sijeku se pod pravim kutom. Ova se tvrdnja koristi pri rješavanju zadataka o trapezu u koji je upisana kružnica.

I I. Sjecište simetrala trapeza uz pobočnu stranicu leži na središnjici trapeza. Neka simetrala kuta ABC siječe stranicu AD u točki S. Tada je trokut ABS jednakokračan s osnovicom BS. To znači da je i njegova simetrala AK središnja točka, odnosno točka K je polovište BS. Ako su M i N polovišta bočnih stranica trapeza, tada je MN srednja linija trapeza i MN∥AD. Kako su M i K polovišta trokuta AB i BS, onda je MK srednica trokuta ABS i MK∥AS. Budući da se kroz točku M može povući samo jedan pravac paralelan s ovim, točka K leži na središnjici trapeza.

III. Sjecište simetrala šiljastih kutova na osnovici trapeza pripada drugoj osnovici. U tom su slučaju trokuti ABK i DCK jednakokračni s bazama AK i DK. Dakle, BC=BK+KC=AB+CD. Zaključak: Ako se simetrale šiljastih kutova trapeza sijeku u točki koja pripada manjoj osnovici, tada je manja osnovica jednaka zbroju bočnih stranica trapeza. Jednakokračni trapez u ovom slučaju ima manju osnovicu dvostruko veću od stranice.

I V. Sjecište simetrala tupih kutova na osnovici trapeza pripada drugoj osnovici. U tom su slučaju trokuti ABF i DCF jednakokračni s bazama BF odnosno CF. Dakle AD=AF+FD=AB+CD. Zaključak: Ako se simetrale tupih kutova trapeza sijeku u točki koja pripada većoj osnovici, tada je veća osnovica jednaka zbroju bočnih stranica trapeza. U ovom slučaju jednakokračni trapez ima veću osnovicu koja je dvostruko veća od stranice.

Ako se jednakokračni trapez sa stranicama a, b, c, d može upisati i oko njega nacrtati kružnice, tada je površina trapeza jednaka

Trapez je geometrijski lik s četiri kuta. Prilikom konstruiranja trapeza važno je uzeti u obzir da su dvije suprotne strane paralelne, a druge dvije, naprotiv, nisu paralelne jedna s drugom. Ova riječ došla je u moderno doba iz antičke Grčke i zvučala je kao "trapedzion", što je značilo "stol", "stol za blagovanje".

Ovaj članak govori o svojstvima trapeza opisanog oko kruga. Također ćemo pogledati vrste i elemente ove figure.

Elementi, vrste i karakteristike geometrijskog lika trapez

Paralelne stranice na ovoj slici nazivaju se osnovicama, a one koje nisu paralelne nazivaju se stranicama. Pod uvjetom da su stranice iste duljine, trapez se smatra jednakokračnim. Trapez čije stranice leže okomito na osnovicu pod kutom od 90° nazivamo pravokutnik.

Ova naizgled jednostavna figura ima znatan broj svojstava koja su joj svojstvena, naglašavajući njene karakteristike:

1. Ako povučete srednju liniju duž strana, ona će biti paralelna s bazama. Ovaj segment će biti jednak 1/2 razlike baza.
2. Kada konstruiramo simetralu iz bilo kojeg kuta trapeza, formira se jednakostranični trokut.
3. Iz svojstava trapeza opisanog oko kruga poznato je da zbroj paralelnih stranica mora biti jednak zbroju osnovica.
4. Prilikom konstruiranja dijagonalnih segmenata, gdje je jedna od strana baza trapeza, dobiveni trokuti bit će slični.
5. Pri konstruiranju dijagonalnih segmenata, gdje je jedna od strana bočna, rezultirajući trokuti će imati jednaku površinu.
6. Ako nastavimo bočne linije i konstruiramo segment od središta baze, tada će formirani kut biti jednak 90 °. Segment koji povezuje baze bit će jednak 1/2 njihove razlike.

Svojstva trapeza opisanog krugu

Zatvaranje kruga u trapez moguće je samo pod jednim uvjetom. Ovaj uvjet je da zbroj stranica mora biti jednak zbroju baza. Na primjer, kada se konstruira trapez AFDM, primjenjivo je AF + DM = FD + AM. Samo u tom slučaju krug može biti zatvoren u trapez.

Dakle, više o svojstvima trapeza opisanog oko kruga:

1. Ako je krug zatvoren u trapezu, tada je potrebno pronaći 1/2 zbroja duljina stranica da bi se odredila duljina njegove linije koja siječe lik na pola.
2. Pri konstruiranju trapeza opisanog oko kružnice, nastala hipotenuza je identična polumjeru kružnice, a visina trapeza je ujedno i promjer kružnice.
3. Drugo svojstvo jednakokračnog trapeza opisanog oko kruga je da se njegova stranica odmah vidi iz središta kruga pod kutom od 90°.

Još malo o svojstvima trapeza zatvorenog u krug

Kružnici se može upisati samo jednakokračni trapez. To znači da je potrebno ispuniti uvjete pod kojima će konstruirani AFDM trapez zadovoljiti sljedeće zahtjeve: AF + DM = FD + MA.

Ptolomejev teorem kaže da je u trapezu zatvorenom u krug umnožak dijagonala identičan i jednak zbroju pomnoženih suprotnih stranica. To znači da pri konstruiranju kružnice opisane oko trapeza AFDM vrijedi: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

Vrlo često na školskim ispitima postoje problemi koji zahtijevaju rješavanje problema s trapezom. Velik broj teorema treba naučiti napamet, ali ako ih ne možete naučiti odmah, nema veze. Najbolje je povremeno pribjegavati savjetima u udžbenicima, tako da će vam to znanje stati u glavu samo od sebe, bez većih poteškoća.