Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) 2-го порядка имеет следующий вид:

где , , и – заданные функции, непрерывные на том промежутке, на котором ищется решение. Предполагая, что a 0 (x) ≠ 0, поделим (2.1) на и, после введения новых обозначений для коэффициентов, запишем уравнение в виде:

Примем без доказательства, что (2.2) имеет на некотором промежутке единственное решение, удовлетворяющее любым начальным условиям , , если на рассматриваемом промежутке функции , и непрерывны. Если , то уравнение (2.2) называется однородным, и уравнение (2.2) называется неоднородным в противном случае.

Рассмотрим свойства решений лоду 2-го порядка.

Определение. Линейной комбинацией функций называется выражение , где – произвольные числа.

Теорема. Если и – решение лоду

то их линейная комбинация также будет решением этого уравнения.

Доказательство.

Поставим выражение в (2.3) и покажем, что в результате получается тождество:

Перегруппируем слагаемые:

Поскольку функции и являются решениями уравнения (2.3), то каждая из скобок в последнем уравнении тождественно равна нулю, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Из доказанной теоремы вытекает при , что если – решение уравнения (2.3), то тоже есть решение этого уравнения.

Следствие 2. Полагая , видим, что сумма двух решений лоду также является решением этого уравнения.

Замечание. Доказанное в теореме свойство решений остается справедливым для лоду любого порядка.

§3. Определитель Вронского.

Определение. Система функций называется линейно независимой на некотором промежутке, если ни одна из этих функций не представляется в виде линейной комбинации всех остальных.

В случае двух функций это означает, что , т.е. . Последнее условие можно переписать в виде или . Стоящий в числителе этого выражения определитель называется определителем Вронского для функций и . Таким образом, определитель Вронского для двух линейно независимых функций не может быть тождественно равен нулю.

Пусть – определитель Вронского для линейно независимых решений и уравнения (2.3). Убедимся подстановкой, что функция удовлетворяет уравнению . (3.1)

Действительно, . Поскольку функции и удовлетворяют уравнению (2.3), то , т.е. – решение уравнения (3.1). Найдем это решение: ; . Откуда , . , , .

В правой части этой формулы надо взять знак плюс, так как только в этом случае при получается тождество. Таким образом,

(3.2)

Это формула называется формулой Лиувилля. Выше было показано, что определитель Вронского для линейно независимых функций не может быть тождественно равен нулю. Следовательно, существует такая точка , в которой определитель для линейно независимых решений уравнения (2.3) отличен от нуля. Тогда из формулы Лиувилля следует, что функция будет отлична от нуля при всех значениях из рассматриваемого промежутка, поскольку при любом значении оба множителя в правой части формулы (3.2) отличны от нуля.

§4. Структура общего решения лоду 2-го порядка.

Теорема. Если и – линейно независимые решения уравнения (2.3), то их линейная комбинация , где и – произвольные постоянные, будет общим решением этого уравнения.

Доказательство.

То, что есть решение уравнения (2.3), следует из теоремы о свойствах решений лоду 2-го порядка. Надо только еще показать, что решение будет общим , т.е. надо показать, что при любых начальных условиях , можно выбрать произвольные постоянные и так, чтобы удовлетворить этим условиям. Запишем начальные условия в виде:

Постоянные и из этой системы линейных алгебраических уравнений определяются однозначно, так как определитель этой системы есть значение определителя Вронского для линейно независимых решений лоду при :

,

а такой определитель, как мы видели в предыдущем параграфе, отличен от нуля. Теорема доказана.

Пример. Доказать, что функция , где и – произвольные постоянные, является общим решением лоду .

Решение.

Легко убедиться подстановкой, что функции и удовлетворяют данному уравнению. Эти функции являются линейно независимыми, так как . Поэтому согласно теореме о структуре общего решения лоду 2-го порядка является общим решением данного уравнения.

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

y "" + p (x )y " + q (x )y = f (x ) ,

где y - функция, которую требуется найти, а p (x ) , q (x ) и f (x ) - непрерывные функции на некотором интервале (a, b ) .

Если правая часть уравнения равна нулю (f (x ) = 0 ), то уравнение называется линейным однородным уравнением . Таким уравнениям и будет в основном посвящена практическая часть этого урока. Если же правая часть уравнения не равна нулю (f (x ) ≠ 0 ), то уравнение называется .

В задачах от нас требуется разрешить уравнение относительно y "" :

y "" = −p (x )y " − q (x )y + f (x ) .

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка имеют единственное решение задачи Коши .

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка и его решение

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

y "" + p (x )y " + q (x )y = 0 .

Если y 1 (x ) и y 2 (x ) - частные решения этого уравнения, то верны следующие высказывания:

1) y 1 (x ) + y 2 (x ) - также является решением этого уравнения;

2) Cy 1 (x ) , где C - произвольная постоянная (константа), также является решением этого уравнения.

Из этих двух высказываний следует, что функция

C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x )

также является решением этого уравнения.

Возникает справедливый вопрос: не является ли это решение общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка , то есть таким решением, в котором при различных значениях C 1 и C 2 можно получить все возможные решения уравнения?

Ответ на этот вопрос следуюший: может, но при некотором условии. Это условие о том, какими свойствами должны обладать частные решения y 1 (x ) и y 2 (x ) .

И это условие называется условием линейной независимости частных решений.

Теорема . Функция C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) является общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если функции y 1 (x ) и y 2 (x ) линейно независимы.

Определение . Функции y 1 (x ) и y 2 (x ) называются линейно независимыми, если их отношение является константой, отличной от нуля:

y 1 (x )/y 2 (x ) = k ; k = const ; k ≠ 0 .

Однако установить по определению, являются ли эти функции линейно независимыми, часто очень трудоёмко. Существует способ установления линейной независимости с помощью определителя Вронского W (x ) :

Если определитель Вронского не равен нулю, то решения - линейно независимые . Если определитель Вронского равен нулю, то решения - линейно зависимымые.

Пример 1. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения .

Решение. Интегрируем дважды и, как легко заметить, чтобы разность второй производной функции и самой функции была равна нулю, решения должны быть связаны с экспонентой, производная которой равна ей самой. То есть частными решениями являются и .

Так как определитель Вронского

не равен нулю, то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение данного уравнения можно записать в виде

.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: теория и практика

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y "" + py " + qy = 0 ,

где p и q - постоянные величины.

На то, что это уравнение второго порядка, указывает наличие второй производной от искомой функции, а на его однородность - нуль в правой части. Постоянными коэффициентами называются уже упомянутые выше величины.

Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами , нужно сначала решить так называемое характеристическое уравнение вида

k ² + pq + q = 0 ,

которое, как видно, является обычным квадратным уравнением .

В зависимости от решения характеристического уравнения возможны три различных варианта решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , которые сейчас разберём. Для полной определённости будем считать, что все частные решения прошли проверку определителем Вронского и он во всех случаях не равен нулю. Сомневающиеся, впрочем, могут проверить это самостоятельно.

Корни характеристического уравнения - действительные и различные

Иными словами, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

.

Пример 2. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Пример 3. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни и - вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

.

Корни характеристического уравения - вещественные и равные

То есть, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

.

Пример 4. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

Пример 5. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

Методические указания

по изучению темы «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка» студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Линейные дифференциальные уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

т.е. уравнение, которое содержит искомую функцию и её производные только в первой степени и не содержит их произведений. В этом уравнении и
- некоторые числа, а функция
задана на некотором интервале
.

Если
на интервале
, то уравнение (1) примет вид

, (2)

и называется линейным однородным . В противном случае уравнение (1) называется линейным неоднородным .

Рассмотрим комплексную функцию

, (3)

где
и
- действительные функции. Если функция (3) является комплексным решением уравнения (2), то и действительная часть
, и мнимая часть
решения
в отдельности являются решениями этого же однородного уравнения. Таким образом, всякое комплексное решение уравнения (2) порождает два действительных решения этого уравнения.

Решения однородного линейного уравнения обладают свойствами:

Если есть решение уравнения (2), то и функция
, где С – произвольная постоянная, также будет решением уравнения (2);

Если и есть решения уравнения (2), то и функция
также будет решением уравнения (2);

Если и есть решения уравнения (2), то их линейная комбинация
также будет решением уравнения (2), где и
– произвольные постоянные.

Функции
и
называются линейно зависимыми на интервале
, если существуют такие числа и
, не равные нулю одновременно, что на этом интервале выполняется равенство

Если равенство (4) имеет место только тогда, когда
и
, то функции
и
называются линейно независимыми на интервале
.

Пример 1 . Функции
и
линейно зависимы, так как
на всей числовой прямой. В этом примере
.

Пример 2 . Функции
и
линейно независимы на любом интервале, т. к. равенство
возможно лишь в случае, когда и
, и
.

1. Построение общего решения линейного однородного

уравнения

Для того, чтобы найти общее решение уравнения (2), нужно найти два его линейно независимых решения и . Линейная комбинация этих решений
, где и
– произвольные постоянные, и даст общее решение линейного однородного уравнения.

Линейно независимые решения уравнения (2) будем искать в виде

, (5)

где – некоторое число. Тогда
,
. Подставим эти выражения в уравнение (2):

Или
.

Так как
, то
. Таким образом, функция
будет решением уравнения (2), если будет удовлетворять уравнению

. (6)

Уравнение (6) называется характеристическим уравнением для уравнения (2). Это уравнение является алгебраическим квадратным уравнением.

Пусть и есть корни этого уравнения. Они могут быть или действительными и различными, или комплексными, или действительными и равными. Рассмотрим эти случаи.

Пусть корни и характеристического уравнения действительные и различны. Тогда решениями уравнения (2) будут функции
и
. Эти решения линейно независимы, так как равенство
может выполняться лишь тогда, когда и
, и
. Поэтому общее решение уравнения (2) имеет вид

,

где и
- произвольные постоянные.

Пример 3
.

Решение . Характеристическим уравнением для данного дифференциального будет
. Решив это квадратное уравнение, найдём его корни
и
. Функции
и
являются решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид
.

Комплексным числом называется выражение вида
, где и - действительные числа, а
называется мнимой единицей. Если
, то число
называется чисто мнимым. Если же
, то число
отождествляется с действительным числом .

Число называется действительной частью комплексного числа, а - мнимой частью. Если два комплексных числа отличаются друг от друга только знаком мнимой части, то они зазываются сопряжёнными:
,
.

Пример 4 . Решить квадратное уравнение
.

Решение . Дискриминант уравнения
. Тогда . Аналогично,
. Таким образом, данное квадратное уравнение имеет сопряжённые комплексные корни.

Пусть корни характеристического уравнения комплексные, т.е.
,
, где
. Решения уравнения (2) можно записать в виде
,
или
,
. По формулам Эйлера

,
.

Тогда , . Как известно, если комплексная функция является решением линейного однородного уравнения, то решениями этого уравнения являются и действительная, и мнимая части этой функции. Таким образом, решениями уравнения (2) будут функции
и
. Так как равенство

может выполняться только в том случае, если
и
, то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид

где и
- произвольные постоянные.

Пример 5 . Найти общее решение дифференциального уравнения
.

Решение . Уравнение
является характеристическим для данного дифференциального. Решим его и получим комплексные корни
,
. Функции
и
являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид .

Пусть корни характеристического уравнения действительные и равные, т.е.
. Тогда решениями уравнения (2) являются функции
и
. Эти решения линейно независимы, так как выражение может быть тождественно равным нулю только тогда, когда
и
. Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид
.

Пример 6 . Найти общее решение дифференциального уравнения
.

Решение . Характеристическое уравнение
имеет равные корни
. В этом случае линейно независимыми решениями дифференциального уравнения являются функции
и
. Общее решение имеет вид
.

Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид

где p и q — действительные числа. Рассмотрим на примерах, как решаются однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решение линейного однородного однородного дифференциального уравнения второго порядка зависит от корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение — это уравнение k²+pk+q=0.

1) Если корни характеристического уравнения — различные действительные числа:

то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

2) Если корни характеристического уравнения — равные действительные числа

(например, при дискриминанте, равном нулю), то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка есть

3) Если корни характеристического уравнения — комплексные числа

(например, при дискриминанте, равном отрицательному числу), то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка записывается в виде

Примеры решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Найти общие решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка:

Составляем характеристическое уравнение: k²-7k+12=0. Его дискриминант D=b²-4ac=1>0, поэтому корни — различные действительные числа.

Отсюда, общее решение этого однородного ДУ 2-го порядка есть

Составим и решим характеристическое уравнение:

Корни действительные и различные. Отсюда имеем общее решение данного однородного дифференциального уравнения:

В этом случае характеристическое уравнение

Корни различны и действительны. Поэтому общее решение однородного дифференциального уравнения 2-го порядка здесь

Характеристическое уравнение

Поскольку корни действительны и равны, для этого дифференциального уравнения общее решение записываем как

Характеристическое уравнение здесь

Так как дискриминант — отрицательное число, корни характеристического уравнения — комплексные числа.

Общее решение этого однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид

Характеристическое уравнение

Отсюда находим общее решение данного диф. уравнения:

Примеры для самопроверки.