Признаки делимости чисел – это правила, позволяющие не производя деления сравнительно быстро выяснить, делится ли это число на заданное без остатка.
Некоторые из признаков делимости довольно просты, некоторые сложнее. На этой странице Вы найдете как признаки делимости простых чисел, таких как, например, 2, 3, 5, 7, 11, так и признаки делимости составных чисел, таких, как 6 или 12.
Надеюсь, данная информация будет Вам полезной.
Приятного обучения!

Признак делимости на 2

Это один из самых простых признаков делимости. Звучит он так: если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то оно чётно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечётной цифрой, то это число нечётно.
Другими словами, если последняя цифра числа равна 2 , 4 , 6 , 8 или 0 - число делится на 2, если нет, то не делится
Например, числа: 234 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 делятся на 2, потому что они чётные.
А числа: 235 , 137 , 2303
на 2 не делятся, потому что они нечетные.

Признак делимости на 3

У этого признака делимости совсем другие правила: если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.
А значит, чтобы понять, делится ли число на 3, надо лишь сложить между собой цифры, из которых оно состоит.
Выглядит это так: 3987 и 141 делятся на 3, потому что в первом случае 3+9+8+7=27 (27:3=9 - делится без остака на 3), а во втором 1+4+1=6 (6:3=2 - тоже делится без остака на 3).
А вот числа: 235 и 566 на 3 не делятся, потому как 2+3+5=10 и 5+6+6=17 (а мы знаем, что ни 10 ни 17 не делятся на 3 без остатка).

Признак делимости на 4

Этот признак делимости будет посложнее. Если последние 2 цифры числа образуют число, делящееся на 4 или это 00, то и число делится на 4, в противном случае данное число не делится на 4 без остатка.
Например: 100 и 364 делятся на 4, потому что в первом случае число оканчивается на 00 , а во втором на 64 , которое в свою очередь делится на 4 без остатка (64:4=16)
Числа 357 и 886 не делятся на 4, потому что ни 57 ни 86 на 4 не делятся, а значит не соответствуют данному признаку делимости.

Признак делимости на 5

И опять перед нами довольно простой признак делимости: если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.
Это значит, что любые числа, оканчивающиеся цифрами 0 и 5 , например 12355 и 430 , подпадают под правило и делятся на 5.
А, к примеру, 15493 и 564 не оканчиваются на цифру 5 или 0, а значит они не могут делиться на 5 без остатка.

Признак делимости на 6

Перед нами составное число 6, которое является произведением чисел 2 и 3. Поэтому признак делимости на 6 тоже является составным: для того, чтобы число делилось на 6, оно должно соответствовать двум признакам делимости одновременно: признаку делимости на 2 и признаку делимости на 3. При этом обратите внимание, что такое составное число как 4 имеет индивидуальный признак делимости, ведь оно является призведением числа 2 на само себя. Но вернемся к признаку делимости на 6.
Числа 138 и 474 чётные и отвечают признакам делимости на 3 (1+3+8=12, 12:3=4 и 4+7+4=15, 15:3=5), а значит они делятся на 6. Зато 123 и 447 хоть и делятся на 3 (1+2+3=6, 6:3=2 и 4+4+7=15, 15:3=5), но они нечётные, а значит не соответсвуют признаку делимости на 2, а следовательно и не соответсвуют признаку делимости на 6.

Признак делимости на 7

Этот признак делимости более сложный: число делится на 7, если результат вычитания удвоенной последней цифры из числа десятков этого числа делится на 7 или равен 0.
Звучит довольно запутанно, но на практике просто. Смотрите сами: число 95 9 делится на 7, потому что 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 делится на 7 без остатка). Причем если с полученным во время преобразований числом возникли сложности (из-за его размера сложно понять, делится оно на 7 или нет, то данную процедуру можно продолжать столько раз, сколько Вы сочтете нужным).
Например, 45 5 и 4580 1 обладают признаками делимости на 7. В первом случае все довольно просто: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. Во втором случае мы поступим так: 4580 -2*1=4580-2=4578. Нам сложно понять, делится ли 457 8 на 7, поэтому повторим процесс: 457 -2*8=457-16=441. И опять воспользуемся признаком делимости, так как перед нами пока еще трехзначное число 44 1. Итак, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, т.е. 42 делится на 7 без остатка, а значит и 45801 делится на 7.
А вот числа 11 1 и 34 5 не делятся на 7, потому что 11 -2*1=11-2=9 (9 не делится без остатка на 7) и 34 -2*5=34-10=24 (24 не делится без остатка на 7).

Признак делимости на 8

Признак делимости на 8 звучит так: если последние 3 цифры образуют число, делящееся на 8, или это 000, то заданное число делится на 8.
Числа 1000 или 1088 делятся на 8: первое оканчивается на 000 , у второго 88 :8=11 (делится на 8 без остатка).
А вот числа 1100 или 4757 не делятся на 8,так как числа 100 и 757 не делятся без остатка на 8.

Признак делимости на 9

Этот признак делимости схож с признаком делимости на 3: если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.
Например: 3987 и 144 делятся на 9, потому что в первом случае 3+9+8+7=27 (27:9=3 - делится без остака на 9), а во втором 1+4+4=9 (9:9=1 - тоже делится без остака на 9).
А вот числа: 235 и 141 на 9 не делятся, потому как 2+3+5=10 и 1+4+1=6 (а мы знаем, что ни 10 ни 6 не делятся на 9 без остатка).

Признаки делимости на 10, 100, 1000 и другие разрядные единицы

Данные признаки делимости я объединил потому, что их можно описать одинаково: число делится на разрядную единицу, если количество нулей на конце числа больше или равно количеству нулей у заданной разрядной единицы.
Другими словами, например, мы имеем такие числа: 6540 , 46400 , 867000 , 6450 . из них все делятся на 10 ; 46400 и 867000 делятся еще и на 100 ; и лишь одно из них - 867000 делится на 1000 .
Любые числа, у которых количество нулей на конце меньше чем у разрядной единицы, не делятся на эту разрядную единицу, например 60030 и 793 не делятся 100 .

Признак делимости на 11

Для того, чтобы выяснить, делится ли число на 11, надо получить разность сумм четных и нечетных цифр этого числа. Если данная разность равна 0 или делится на 11 без остатка, то и само число делится на 11 без остатка.
Чтобы было понятнее, предлагаю рассмотреть примеры: 2 35 4 делится на 11, потому что (2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 тоже делится на 11, так как (9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
А вот 11 1 или 4 35 4 не делятся на 11, так как в первом случае у нас получается (1+1)-1 =1, а во втором (4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Признак делимости на 12

Число 12 является составным. Его признаком делимости является соответствие признакам делимости на 3 и на 4 одновременно.
Например 300 и 636 соответствуют и признакам делимости на 4 (последние 2 цифры это нули или делятся на 4) и признакам делимости на 3 (сумма цифр и первого и втророго числа делятся на 3), а занчит, они делятся на 12 без остатка.
А вот 200 или 630 не делятся на 12, потому что в первом случае число отвечает лишь признаку делимости на 4, а во втором - лишь признаку делимости на 3. но не обоим признакам одновременно.

Признак делимости на 13

Признаком делимости на 13 является то, что если число десятков числа, сложенное с умноженными на 4 единицами этого числа, будет кратно 13 или равно 0, то и само число делится на 13.
Возьмем для примера 70 2. Итак, 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 делится без остатка на 13), значит и 70 2 делится на 13 без остатка. Еще пример - число 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. Число 130 делится на 13 без остатка, а значит заданное число соответсвует признаку делимости на 13.
Если же взять числа 12 5 или 21 2, то получаем 12 +4*5=32 и 21 +4*2=29 соответсвенно, и ни 32 ни 29 не делятся на 13 без остатка, а значит и заданные числа не делятся без остатка на 13.

Делимость чисел

Как видно из вышеперечисленного, можно предположить, что к любому из натуральных чисел можно подобрать свой индивидуальный признак делимости или же "составной" признак, если число кратно нескольким разным числам. Но как показывает практика, в основном чем больше число, тем сложнее его признак. Возможно, время,потраченное на проверку признака делимости, может оказаться равно или больше чем само деление. Поэтому мы и используем обычно простейшие из признаков делимости.

В этой статье мы разберем деление целых чисел с остатком . Начнем с общего принципа деления целых чисел с остатком, сформулируем и докажем теорему о делимости целых чисел с остатком, проследим связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком. Дальше озвучим правила, по которым проводится деление целых чисел с остатком, и рассмотрим применение этих правил при решении примеров. После этого научимся выполнять проверку результата деления целых чисел с остатком.

Навигация по странице.

Общее представление о делении целых чисел с остатком

Деление целых чисел с остатком мы будем рассматривать как обобщение деления с остатком натуральных чисел . Это обусловлено тем, что натуральные числа являются составной частью целых чисел .

Начнем с терминов и обозначений, которые используются при описании.

По аналогии с делением натуральных чисел с остатком будем считать, что результатом деления с остатком двух целых чисел a и b (b не равно нулю) являются два целых числа c и d . Числа a и b называются делимым и делителем соответственно, число d – остатком от деления a на b , а целое число c называется неполным частным (или просто частным , если остаток равен нулю).

Условимся считать, что остаток есть целое неотрицательное число , и его величина не превосходит b , то есть, (подобные цепочки неравенств мы встречали, когда говорили о сравнении трех и большего количества целых чисел).

Если число c является неполным частным, а число d – остатком от деления целого числа a на целое число b , то этот факт мы будем кратко записывать как равенство вида a:b=c (ост. d) .

Отметим, что при делении целого числа a на целое число b остаток может быть равным нулю. В этом случае говорят, что a делится на b без остатка (или нацело ). Таким образом, деление целых чисел без остатка является частным случаем деления целых чисел с остатком.

Также стоит сказать, что при делении нуля на некоторое целое число мы всегда имеем дело с делением без остатка, так как в этом случае частное будет равно нулю (смотрите раздел теории деление нуля на целое число), и остаток также будет равен нулю.

С терминологией и обозначениями определились, теперь разберемся со смыслом деления целых чисел с остатком.

Делению целого отрицательного числа a на целое положительное число b тоже можно придать смысл. Для этого рассмотрим целое отрицательное число как долг . Представим такую ситуацию. Долг, который составляет предметов, должны погасить b человек, внеся одинаковый вклад. Абсолютная величина неполного частного c в этом случае будет определять величину долга каждого из этих людей, а остаток d покажет, какое количество предметов останется после уплаты долга. Приведем пример. Допустим 2 человека должны 7 яблок. Если считать, что каждый из них должен по 4 яблока, то после уплаты долга у них останется 1 яблоко. Этой ситуации отвечает равенство (−7):2=−4 (ост. 1) .

Делению с остатком произвольного целого числа a на целое отрицательное число мы не будем придавать никакого смысла, но оставим за ним право на существование.

Теорема о делимости целых чисел с остатком

Когда мы говорили о делении натуральных чисел с остатком, то выяснили, что делимое a , делитель b , неполное частное c и остаток d связаны между собой равенством a=b·c+d . Для целых чисел a , b , c и d характерна такая же связь. Эта связь утверждается следующей теоремой о делимости с остатком .

Теорема.

Любое целое число a возможно представить единственным образом через целое и отличное от нуля число b в виде a=b·q+r , где q и r – некоторые целые числа, причем .

Доказательство.

Сначала докажем возможность представления a=b·q+r .

Если целые числа a и b такие, что a делится на b нацело, то по определению существует такое целое число q , что a=b·q . В этом случае имеет место равенство a=b·q+r при r=0 .

Теперь будем считать, что b – целое положительное число. Выберем целое число q таким образом, чтобы произведение b·q не превышало числа a , а произведение b·(q+1) было уже больше, чем a . То есть, возьмем q таким, чтобы выполнялись неравенства b·q

Осталось доказать возможность представления a=b·q+r для отрицательных b .

Так как модуль числа b в этом случае является положительным числом, то для имеет место представление , где q 1 – некоторое целое число, а r – целое число, удовлетворяющее условиям . Тогда, приняв q=−q 1 , получаем нужное нам представление a=b·q+r для отрицательных b .

Переходим к доказательству единственности.

Предположим, что помимо представления a=b·q+r , q и r – целые числа и , существует еще одно представление a=b·q 1 +r 1 , где q 1 и r 1 – некоторые целые числа, причем q 1 ≠q и .

После вычитания из левой и правой части первого равенства соответственно левой и правой части второго равенства, получаем 0=b·(q−q 1)+r−r 1 , которое равносильно равенству r−r 1 =b·(q 1 −q) . Тогда должно быть справедливо и равенство вида , а в силу свойств модуля числа - и равенство .

Из условий и можно сделать вывод, что . Так как q и q 1 – целые и q≠q 1 , то , откуда заключаем, что . Из полученных неравенств и следует, что равенство вида невозможно при нашем предположении. Поэтому, не существует другого представления числа a , кроме a=b·q+r .

Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком

Равенство a=b·c+d позволяет находить неизвестное делимое a , если известны делитель b , неполное частное c и остаток d . Рассмотрим пример.

Пример.

Чему равно делимое, если при его делении на целое число −21 получилось неполное частное 5 и остаток 12 ?

Решение.

Нам требуется вычислить делимое a , когда известен делитель b=−21 , неполное частное c=5 и остаток d=12 . Обратившись к равенству a=b·c+d , получаем a=(−21)·5+12 . Соблюдая , сначала проводим умножение целых чисел −21 и 5 по правилу умножения целых чисел с разными знаками , после чего выполняем сложение целых чисел с разными знаками : (−21)·5+12=−105+12=−93 .

Ответ:

−93 .

Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком также выражаются равенствами вида b=(a−d):c , c=(a−d):b и d=a−b·c . Эти равенства позволяют вычислять делитель, неполное частное и остаток соответственно. Нам часто придется находить остаток от деления целого числа a на целое число b , когда известны делимое, делитель и неполное частное, используя формулу d=a−b·c . Чтобы в дальнейшем не возникало вопросов, разберем пример вычисления остатка.

Пример.

Найдите остаток от деления целого числа −19 на целое число 3 , если известно, что неполное частное равно −7 .

Решение.

Для вычисления остатка от деления воспользуемся формулой вида d=a−b·c . Из условия имеем все необходимые данные a=−19 , b=3 , c=−7 . Получаем d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (разность −19−(−21) мы вычисляли по правилу вычитания целого отрицательного числа).

Ответ:

Деление с остатком целых положительных чисел, примеры

Как мы уже не раз отмечали, целые положительные числа представляют собой натуральные числа. Поэтому деление с остатком целых положительных чисел проводится по всем правилам деления с остатком натуральных чисел. Очень важно уметь с легкостью выполнять деление с остатком натуральных чисел , так как именно оно лежит в основе деления не только целых положительных чисел, но и в основе всех правил деления с остатком произвольных целых чисел.

С нашей точки зрения наиболее удобно выполнять деление столбиком , этот способ позволяет получить и неполное частное (или просто частное) и остаток. Рассмотрим пример деления с остатком целых положительных чисел.

Пример.

Выполните деление с остатком числа 14 671 на 54 .

Решение.

Выполним деление данных целых положительных чисел столбиком:

Неполное частное получилось равным 271 , а остаток равен 37 .

Ответ:

14 671:54=271 (ост. 37) .

Правило деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное, примеры

Сформулируем правило, позволяющее выполнять деление с остатком целого положительного числа на целое отрицательное число.

Неполное частное от деления целого положительного числа a на целое отрицательное число b представляет собой число, противоположное неполному частному от деления a на модуль числа b , а остаток от деления a на b равен остатку от деления на .

Из этого правила следует, что неполное частное от деления целого положительного числа на целое отрицательное число является целым неположительным числом .

Переделаем озвученное правило в алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное:

• Делим модуль делимого на модуль делителя, получаем неполное частное и остаток. (Если при этом остаток получился равным нулю, то исходные числа делятся без остатка, и по правилу деления целых чисел с противоположными знаками искомое частное равно числу, противоположному частному от деления модулей.)
• Записываем число, противоположное полученному неполному частному, и остаток. Эти числа являются соответственно искомым частным и остатком от деления исходного целого положительного числа на целое отрицательное.

Приведем пример использования алгоритма деления целого положительного числа на целое отрицательное.

Пример.

Выполните деление с остатком целого положительного числа 17 на целое отрицательное число −5 .

Решение.

Воспользуемся алгоритмом деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.

Разделив

Число, противоположное числу 3 , - это −3 . Таким образом, искомое неполное частное от деления 17 на −5 равно −3 , а остаток равен 2 .

Ответ:

17 :(−5)=−3 (ост. 2) .

Пример.

Разделите 45 на −15 .

Решение.

Модули делимого и делителя равны 45 и 15 соответственно. Число 45 делится на 15 без остатка, частное при этом равно 3 . Следовательно, целое положительное число 45 делится на целое отрицательное число −15 без остатка, частное при этом равно числу, противоположному 3 , то есть, −3 . Действительно, по правилу деления целых чисел с разными знаками имеем .

Ответ:

45:(−15)=−3 .

Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное, примеры

Дадим формулировку правила деления с остатком целого отрицательного числа на целое положительное.

Чтобы получить неполное частное c от деления целого отрицательного числа a на целое положительное число b нужно взять число, противоположное неполному частному от деления модулей исходных чисел и вычесть из него единицу, после чего остаток d вычислить по формуле d=a−b·c .

Из данного правила деления с остатком следует, что неполное частное от деления целого отрицательного на целое положительное число является целым отрицательным числом.

Из озвученного правила вытекает алгоритм деления с остатком целого отрицательного числа a на целое положительное b :

• Находим модули делимого и делителя.
• Делим модуль делимого на модуль делителя, получаем неполное частное и остаток. (Если остаток равен нулю, то исходные целые числа делятся без остатка, и искомое частное равно числу, противоположному частному от деления модулей.)
• Записываем число, противоположное полученному неполному частному и вычитаем из него число 1 . Вычисленное число является искомым неполным частным c от деления исходного целого отрицательного числа на целое положительное.

Разберем решение примера, в котором воспользуемся записанным алгоритмом деления с остатком.

Пример.

Найдите неполное частное и остаток от деления целого отрицательного числа −17 на целое положительное число 5 .

Решение.

Модуль делимого −17 равен 17 , а модуль делителя 5 равен 5 .

Разделив 17 на 5 , получаем неполное частное 3 и остаток 2 .

Число, противоположное 3 , есть −3 . Вычитаем из −3 единицу: −3−1=−4 . Итак, искомое неполное частное равно −4 .

Осталось вычислить остаток. В нашем примере a=−17 , b=5 , c=−4 , тогда d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 .

Таким образом, неполное частное от деления целого отрицательного числа −17 на целое положительное число 5 равно −4 , а остаток равен 3 .

Ответ:

(−17):5=−4 (ост. 3) .

Пример.

Разделите целое отрицательное число −1 404 на целое положительное число 26 .

Решение.

Модуль делимого равен 1 404 , модуль делителя равен 26 .

Разделим 1 404 на 26 столбиком:

Так как модуль делимого разделился на модуль делителя без остатка, то исходные целые числа делятся без остатка, причем искомое частное равно числу, противоположному 54 , то есть, −54 .

Ответ:

(−1 404):26=−54 .

Правило деления с остатком целых отрицательных чисел, примеры

Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел.

Чтобы получить неполное частное c от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное число b , нужно вычислить неполное частное от деления модулей исходных чисел и прибавить к нему единицу, после этого остаток d вычислить по формуле d=a−b·c .

Из этого правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел является целым положительным числом.

Перепишем озвученное правило в виде алгоритма деления целых отрицательных чисел:

• Находим модули делимого и делителя.
• Делим модуль делимого на модуль делителя, получаем неполное частное и остаток. (Если остаток равен нулю, то исходные целые числа делятся без остатка, и искомое частное равно частному от деления модуля делимого на модуль делителя.)
• К полученному неполному частному прибавляем единицу, это число есть искомое неполное частное от деления исходных целых отрицательных чисел.
• Вычисляем остаток по формуле d=a−b·c .

Рассмотрим применение алгоритма деления целых отрицательных чисел при решении примера.

Пример.

Найдите неполное частное и остаток от деления целого отрицательного числа −17 на целое отрицательное число −5 .

Решение.

Воспользуемся соответствующим алгоритмом деления с остатком.

Модуль делимого равен 17 , модуль делителя равен 5 .

Деление 17 на 5 дает неполное частное 3 и остаток 2 .

К неполному частному 3 прибавляем единицу: 3+1=4 . Следовательно, искомое неполное частное от деления −17 на −5 равно 4 .

Осталось вычислить остаток. В этом примере a=−17 , b=−5 , c=4 , тогда d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 .

Итак, неполное частное от деления целого отрицательного числа −17 на целое отрицательное число −5 равно 4 , а остаток равен 3 .

Ответ:

(−17):(−5)=4 (ост. 3) .

Проверка результата деления целых чисел с остатком

После того, как выполнено деление целых чисел с остатком, полезно выполнить проверку полученного результата. Проверка проводится в два этапа. На первом этапе проверяется, является ли остаток d неотрицательным числом, а также проверяется выполнение условия . Если все условия первого этапа проверки выполнены, то можно приступать ко второму этапу проверки, в противном случае можно утверждать, что при делении с остатком где-то была допущена ошибка. На втором этапе проверяется справедливость равенства a=b·c+d . Если это равенство справедливо, то деление с остатком было проведено верно, в противном случае – где-то была допущена ошибка.

Рассмотрим решения примеров, в которых выполняется проверка результата деления целых чисел с остатком.

Пример.

При делении числа −521 на −12 было получено неполное частное 44 и остаток 7 , выполните проверку результата.

Решение. −2 при b=−3 , c=7 , d=1 . Имеем b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20 . Таким образом, равенство a=b·c+d – неверное (в нашем примере a=−19 ).

Следовательно, деление с остатком было проведено неверно.

Статья разбирает понятие деления целых чисел с остатком. Докажем теорему о делимости целых чисел с остатком и просмотрим связи между делимыми и делителями, неполными частными и остатками. Рассмотрим правила, когда производится деление целых чисел с остатками, рассмотрев подробно на примерах. В конце решения выполним проверку.

Общее представление о делении целых чисел с остатками

Деление целых чисел с остатком рассматривается как обобщенное деление с остатком натуральных чисел. Это выполняется потому, что натуральные числа – это составная часть целых.

Деление с остатком произвольного числа говорит о том, что целое число a делится на число b , отличное от нуля. Если b = 0 , тогда не производят деление с остатком.

Также как и деление натуральных чисел с остатком, производится деление целых чисел a и b , при b отличном от нуля, на c и d . В этом случае a и b называют делимым и делителем, а d – остатком деления, с – целое число или неполное частное.

Если считать, что остаток – это целое неотрицательное число, тогда его величина не больше модуля числа b . Запишем таким образом: 0 ≤ d ≤ b . Данная цепочка неравенств используется при сравнении 3 и более количества чисел.

Если с – неполное частное, тогда d – остаток от деления целого числа a на b , кратко можно зафиксировать: a: b = c (ост. d).

Остаток при делении чисел a на b возможен нулевой, тогда говорят, что a делится на b нацело, то есть без остатка. Деление без остатка считается частным случаем деления.

Если делим ноль на некоторое число, получаем в результате ноль. Остаток деления также будет равен нулю. Это можно проследить из теории о делении нуля на целое число.

Теперь рассмотрим смысл деления целых чисел с остатком.

Известно, что целые положительные числа – натуральные, тогда при делении с остатком получится такой же смысл, как и при делении натуральных чисел с остатком.

При делении целого отрицательного числа а на целое положительное b имеется смысл. Рассмотрим на примере. Представив ситуацию, когда имеем долг предметов в количестве a , которое необходимо погасить b человек. Для этого необходимо каждому внести одинаковый вклад. Чтобы определить величину долга для каждого, необходимо обратить внимание на величину частного с. Остаток d говорит о том, что известно количество предметов после расплаты с долгами.

Рассмотрим на примере с яблоками. Если 2 человека должны 7 яблок. В случае, если посчитать, что каждый должен вернуть по 4 яблока, после полного расчета у них останется 1 яблоко. Запишем в виде равенства это: (− 7) : 2 = − 4 (о с т. 1) .

Деление любого числа а на целое не имеет смысла, но возможно как вариант.

Теорема о делимости целых чисел с остатком

Мы выявили, что а – это делимое, тогда b – это делитель, с – неполное частное, а d – остаток. Они между собой связаны. Эту связь покажем при помощи равенства a = b · c + d . Связь между ними характеризуется теоремой делимости с остатком.

Теорема

Любое целое число может быть представлено только через целое и отличное от нуля число b таким образом: a = b · q + r , где q и r – это некоторые целые числа. Тут имеем 0 ≤ r ≤ b .

Докажем возможность существования a = b · q + r .

Доказательство

Если существуют два числа a и b , причем a делится на b без остатка, тогда из определения следует, что имеется число q , что будет верно равенство a = b · q . Тогда равенство можно считать верным: a = b · q + r при r = 0 .

Тогда необходимо взять q такое, чтобы данное неравенством b · q < a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Имеем, что значение выражения a − b · q больше нуля и не больше значения числа b, отсюда следует, что r = a − b · q . Получим, что число а можем представить в виде a = b · q + r .

Теперь необходимо рассмотреть возможность представления a = b · q + r для отрицательных значений b .

Модуль числа получается положительным, тогда получим a = b · q 1 + r , где значение q 1 – некоторое целое число, r – целое число, которое подходит условию 0 ≤ r < b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Доказательство единственности

Допустим, что a = b · q + r , q и r являются целыми числами с верным условием 0 ≤ r < b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 и r 1 являются некоторыми числами, где q 1 ≠ q , 0 ≤ r 1 < b .

Когда из левой и правых частей вычитается неравенство, тогда получаем 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 , которое равносильно r - r 1 = b · q 1 - q . Так как используется модуль, получим равенство r - r 1 = b · q 1 - q .

Заданное условие говорит о том, что 0 ≤ r < b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q и q 1 – целые, причем q ≠ q 1 , тогда q 1 - q ≥ 1 . Отсюда имеем, что b · q 1 - q ≥ b . Полученные неравенства r - r 1 < b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Отсюда следует, что по-другому число a быть представлено не может, кроме как такой записью a = b · q + r .

Связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком

При помощи равенства a = b · c + d можно находить неизвестное делимое a , когда известен делитель b с неполным частным c и остатком d .

Пример 1

Определить делимое, если при деление получим - 21 , неполное частное 5 и остаток 12 .

Решение

Необходимо вычислить делимое a при известном делителе b = − 21 , неполным частным с = 5 и остатком d = 12 . Нужно обратиться к равенству a = b · c + d , отсюда получим a = (− 21) · 5 + 12 . При соблюдении порядка выполнения действий умножим - 21 на 5 , после этого получаем (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93 .

Ответ: - 93 .

Связь между делителем и неполным частным и остатком можно выразить при помощи равенств: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b и d = a − b · c . С их помощью мы можем вычислить делитель, неполное частное и остаток. Это сводится к постоянному нахождению остатка от деления целого целых чисел a на b с известным делимым, делителем и неполным частным. Применяется формула d = a − b · c . Рассмотрим решение подробно.

Пример 2

Найти остаток от деления целого числа - 19 на целое 3 при известном неполном частном равном - 7 .

Решение

Чтобы вычислить остаток от деления, применим формулу вида d = a − b · c . По условию имеются все данные a = − 19 , b = 3 , c = − 7 . Отсюда получим d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (разность − 19 − (− 21) . Данный пример вычислен по правилу вычитания целого отрицательного числа.

Ответ: 2 .

Все целые положительные числа являются натуральными. Отсюда следует, что деление выполняется по всем правилам деления с остатком натуральных чисел. Скорость выполнения деления с остатком натуральных чисел важна, так как на нем основано не только деление положительных, но и правила деления целых произвольных.

Самый удобный метод деления – это столбик, так как проще и быстрее получить неполное или просто частное с остатком. Рассмотрим решение более подробно.

Пример 3

Произвести деление 14671 на 54 .

Решение

Данное деление необходимо выполнять столбиком:

То есть неполное частное получается равным 271 , а остаток – 37 .

Ответ: 14 671: 54 = 271 . (ост. 37)

Правило деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное, примеры

Чтобы выполнить деление с остатком положительного числа на целое отрицательное, необходимо сформулировать правило.

Определение 1

Неполное частное от деления целого положительного a на целое отрицательное b получаем число, которое противоположно неполному частному от деления модулей чисел a на b . Тогда остаток равен остатку при делении a на b .

Отсюда имеем, что неполное частное от деления целого полодительного числа на целое отрицательное число считают целым неположительным числом.

Получим алгоритм:

• делить модуль делимого на модуль делителя, тогда получим неполное частное и
• остаток;
• запишем число противоположное полученному.

Рассмотрим на примере алгоритма деления целого положительного числа на целое отрицательное.

Пример 4

Выполнить деление с остатком 17 на - 5 .

Решение

Применим алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное. Необходимо разделить 17 на - 5 по модулю. Отсюда получим, что неполное частное равно 3 , а остаток равен 2 .

Получим, что искомое число от деления 17 на - 5 = - 3 с остатком равным 2 .

Ответ: 17: (− 5) = − 3 (ост. 2).

Пример 5

Необходимо разделить 45 на - 15 .

Решение

Необходимо разделить числа по модулю. Число 45 делим на 15 , получим частное 3 без остатка. Значит, число 45 делится на 15 без остатка. В ответе получаем - 3 , так как деление производилось по модулю.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Ответ: 45: (− 15) = − 3 .

Формулировка правила деления с остатком выглядит следующим образом.

Определение 2

Для того, чтобы получить неполное частное с при делении целого отрицательного   a на положительное b , нужно применить противоположное данному числу и вычесть из него 1 , тогда остаток d будет вычисляться по формуле: d = a − b · c .

Исходя из правила можно сделать вывод, что при делении получим целое неотрицательное число. Для точности решения применяют алгоритм деления а на b с остатком:

• найти модули делимого и делителя;
• делить по модулю;
• записать противоположное данному число и вычесть 1 ;
• использовать формулу для остатка d = a − b · c .

Рассмотрим на примере решения, где применяется данный алгоритм.

Пример 6

Найти неполное частное и остаток от деления - 17 на 5 .

Решение

Делим заданные числа по модулю. Получаем, что при делении частное равно 3 , а остаток 2 . Так как получили 3 , противоположное - 3 . Необходимо отнять 1 .

− 3 − 1 = − 4 .

Искомое значение полчаем равное - 4 .

Чтобы вычислить остаток, необходимо a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , тогда d = a − b · c = − 17 − 5 · (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .

Значит, неполным частным от деления является число - 4 с остатком равным 3 .

Ответ: (− 17) : 5 = − 4 (ост. 3).

Пример 7

Разделить целое отрицательное число - 1404 на положительное 26 .

Решение

Необходимо произвести деление столбиком и по мудулю.

Мы получили деление модулей чисел без остатка. Это значит, что деление выполняется без остатка, а искомое частное = - 54 .

Ответ: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Правило деления с остатком целых отрицательных чисел, примеры

Необходимо сформулировать правило деления с остатком целых отрицательных чисел.

Определение 3

Для получения неполного частного с от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное b , необходимо произвести вычисления по модулю, после чего прибавить 1 , тогда сможем произвести вычисления по формуле d = a − b · c .

Отсюда следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел будет число положительное.

Сформулируем данное правило в виде алгоритма:

• найти модули делимого и делителя;
• разделить модуль делимого на модуль делителя с получением неполного частного с
• остатком;
• прибавление 1 к неполному частному;
• вычисление остатка, исходя из формулы d = a − b · c .

Данный алгоритм рассмотрим на примере.

Пример 8

Найти неполное частное и остаток при делении - 17 на - 5 .

Решение

Для правильности решения применим алгоритм для деления с остатком. Для начала раздели числа по модулю. Отсюда получим, что неполное частное = 3 , а остаток равен 2 . По правилу необходимо сложить неполное частное и 1 . Получим, что 3 + 1 = 4 . Отсюда получим, что неполное частное от деления заданных чисел равно 4 .

Для вычисления остатка мы применим формулу. По условию имеем, что a = − 17 , b = − 5 , c = 4 , тогда, используя формулу, получим d = a − b · c = − 17 − (− 5) · 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . Искомый ответ, то есть остаток, равен 3 , а неполное частное равно 4 .

Ответ: (− 17) : (− 5) = 4 (ост. 3).

Проверка результата деления целых чисел с остатком

После выполнение деления чисел с остатком необходимо выполнять проверку. Данная проверка подразумевает 2 этапа. Вначале идет проверка остатка d на неотрицательность, выполнение условия 0 ≤ d < b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Рассмотрим на примерах.

Пример 9

Произведено деление - 521 на - 12 . Частное равно 44 , остаток 7 . Выполнить проверку.

Решение

Так как остаток – это число положительное, то его величина является меньше, чем модуль делителя. Делитель равен - 12 , значит, его модуль равен 12 . Можно переходить к следующему пункту проверки.

По условию имеем, что a = − 521 , b = − 12 , c = 44 , d = 7 . Отсюда вычислим b · c + d , где b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 . Отсюда следует, что равенство верное. Проверка пройдена.

Пример 10

Выполнить проверку деления (− 17) : 5 = − 3 (ост. − 2). Верно ли равенство?

Решение

Смысл первого этапа заключается в том, что необходимо проверить деление целых чисел с остатком. Отсюда видно, что действие произведено неверно, так как дан остаток, равный - 2 . Остаток не является отрицательным числом.

Имеем, что второе условие выполненное, но недостаточное для данного случая.

Ответ: нет.

Пример 11

Число - 19 разделили на - 3 . Неполное частное равно 7 , а остаток 1 . Проверить, верно ли выполнено данное вычисление.

Решение

Дан остаток, равный 1 . Он положительный. По величине меньше модуля делителя, значит, первый этап выполняется. Перейдем ко второму этапу.

Вычислим значение выражения b · c + d . По условию имеем, что b = − 3 , c = 7 , d = 1 , значит, подставив числовые значения, получим b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20 . Следует, что a = b · c + d равенство не выполняется, так как в условии дано а = - 19 .

Отсюда следует вывод, что деление произведено с ошибкой.

Ответ: нет.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Рассмотрим простой пример:
15:5=3
В этом примере натуральное число 15 мы поделили нацело на 3, без остатка.

Иногда натуральное число полностью поделить нельзя нацело. Например, рассмотрим задачу:
В шкафу лежало 16 игрушек. В группе было пятеро детей. Каждый ребенок взял одинаковое количество игрушек. Сколько игрушек у каждого ребенка?

Решение:
Поделим число 16 на 5 столбиком получим:

Мы знаем, что 16 на 5 не делиться. Ближайшее меньшее число, которое делиться на 5 это 15 и 1 в остатке. Число 15 мы можем расписать как 5⋅3. В итоге (16 – делимое, 5 – делитель, 3 – неполное частное, 1 — остаток). Получили формулу деления с остатком, по которой можно сделать проверку решения .

a = b ⋅ c + d
a – делимое,
b – делитель,
c – неполное частное,
d – остаток.

Ответ: каждый ребенок возьмет по 3 игрушки и одна игрушка останется.

Остаток от деления

Остаток всегда должен быть меньше делителя.

Если при делении остаток равен нулю, то это значит, что делимое делиться нацело или без остатка на делитель.

Если при делении остаток больше делителя, это значит, что найденное число не самое большое. Существует число большее, которое поделит делимое и остаток будет меньше делителя.

Вопросы по теме “Деление с остатком”:
Остаток может быть больше делителя?
Ответ: нет.

Остаток может быть равен делителю?
Ответ: нет.

Как найти делимое по неполному частному, делителю и остатку?
Ответ: значения неполного частного, делителя и остатка подставляем в формулу и находим делимое. Формула:
a=b⋅c+d

Пример №1:
Выполните деление с остатком и сделайте проверку: а) 258:7 б) 1873:8

Решение:
а) Делим столбиком:

258 – делимое,
7 – делитель,
36 – неполное частное,
6 – остаток. Остаток меньше делителя 6<7.

7⋅36+6=252+6=258

б) Делим столбиком:

1873 – делимое,
8 – делитель,
234 – неполное частное,
1 – остаток. Остаток меньше делителя 1<8.

Подставим в формулу и проверим правильно ли мы решили пример:
8⋅234+1=1872+1=1873

Пример №2:
Какие остатки получаются при делении натуральных чисел: а) 3 б)8?

Ответ:
а) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 3. В нашем случае остаток может быть равен 0, 1 или 2.
б) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 8. В нашем случае остаток может быть равен 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7.

Пример №3:
Какой наибольший остаток может получиться при делении натуральных чисел: а) 9 б) 15?

Ответ:
а) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 9. Но нам надо указать наибольший остаток. То есть ближайшее число к делителю. Это число 8.
б) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 15. Но нам надо указать наибольший остаток. То есть ближайшее число к делителю. Это число 14.

Пример №4:
Найдите делимое: а) а:6=3(ост.4) б) с:24=4(ост.11)

Решение:
а) Решим с помощью формулы:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
а:6=3(ост.4)
(a – делимое, 6 – делитель, 3 – неполное частное, 4 – остаток.) Подставим цифры в формулу:
а=6⋅3+4=22
Ответ: а=22

б) Решим с помощью формулы:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
с:24=4(ост.11)
(с – делимое, 24 – делитель, 4 – неполное частное, 11 – остаток.) Подставим цифры в формулу:
с=24⋅4+11=107
Ответ: с=107

Задача:

Проволоку 4м. нужно разрезать на куски по 13см. Сколько таких кусков получится?

Решение:
Сначала надо метры перевести в сантиметры.
4м.=400см.
Можно поделить столбиком или в уме получим:
400:13=30(ост.10)
Проверим:
13⋅30+10=390+10=400

Ответ: 30 кусков получиться и 10 см. проволоки останется.