Условия равновесия системы сил в пространстве. Теоретическая механика

Условие равновесия пространственной системы сходящихся сил : алгебраическая сумма проекций всех сил на три взаимно перпендикулярные оси координат должны быть равны нулю, т.е.

Для того чтобы найти момент силы относительно оси z, надо спроектировать силу на плоскость Н перпендикулярную оси z (рис. 12), затем найти момент проекции F н относительно точки О, которая является точкой пересечения плоскости Н сосью z. Момент проекции F н и будет являться моментом силы относительно оси z:

Пространственной системой произвольно расположенных сил называется система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости и не пересекаются в одной точке. Равнодействующая такой системы сил также равна геометрической сумме этих сил, но изображается диагональю сложных объемных фигур (тетраэдр, октаэдр и т.д.).

Условие равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил: алгебраическая сумма проекций всех сил на три взаимно перпендикулярные оси координат должна быть равна нулю и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно тех же осей координат должна быть равна нулю, т.е.

Трение

Трением называется сопротивление движению тела. Сила, с которой тело сопротивляется движению, называется силой трения.

Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную движению. Сила трения зависит от материала трущихся тел, чистоты обработки и наличия смазки и не зависит от величины трущихся поверхностей.

Трение бывает: сухое, полужидкостное, жидкостное.

Различают трение покоя, движения, скольжения и качения. Сила трения покоя больше, чем сила трения движения.

Сила трения равна произведению силы нормального давления на коэффициент трения скольжения (рис. 14):

F тр =R n ƒ,

где R n = mg cos a - сила нормального давления;

ƒ - коэффициент трения скольжения.

Коэффициентом трения скольжения называется отношение силы трения к силе нормального давления:

Материалы, обладающие очень малым трением, называются антифрикционными (баббит, бронза, графит).Применяются для изготовления подшипников и др.

Материалы, обладающие большим трением, называются фрикционными (специальные пластмассы с применением асбеста и меди). Применяются для накладок тормозных колодок, для накладок дисков сцепления.

При смазке поверхности скольжения тело начинает двигаться с меньшим трением.

Разложим силу тяжести G на составляющие G ’ и G " (рис.15)

Составим уравнение равновесия:

где h - расстояние от поверхности до линии действия силы;

k - коэффициент трения качения. Он равен отрезку ОС(см. рис16)

F дв = F тр,

F тр =R п k/h

Если h = d,

F тр =R п k/d

если h = г,

F тр =R п k/d

Совмещаем начало координат с точкой пересечения линий действия сил системы. Проецируем все силы на оси координат и суммируем соответствующие проекции (рис. 7.4). Получим проекции равнодействующей на оси координат:

Модуль равнодействующей системы сходящихся сил определим по формуле

Направление вектора равнодействующей определяется углами

Произвольная пространственная система сил

Приведение произвольной пространственной системы сил к центру О.

Дана пространственная система сил (рис. 7.5, а). Приведем ее к центру О.

Силы необходимо параллельно перемещать, при этом образуется система пар сил. Момент каждой из этих пар равен произведению модуля силы на расстояние до центра приведения.

В центре приведения возникает пучок сил, который может быть заменен суммарной силой (главный вектор) F ГЛ (рис. 7.5, б).

Моменты пар сил можно сложить, получив суммарный момент системы М гл (главный момент).

Таким образом, произвольная пространственная система сил приводится к главному вектору и главному моменту.

Главный вектор принято раскладывать на три составляющие, направленные вдоль осей координат (рис. 7.5, в).

Обычно суммарный момент раскладывают на составляющие: три момента относительно осей координат.

Абсолютное значение главного вектора (рис. 7.5б) равно

Абсолютное значение главного момента определяется по формуле.

Уравнения равновесия пространственной системы сил

При равновесии F гл = 0; М гл = 0. Получаем шесть уравнений равновесия:

Шесть уравнений равновесия пространственной системы сил соответствуют шести независимым возможным перемещениям тела в пространстве: трем перемещениям вдоль координатных осей и трем вращениям вокруг этих осей.

Примеры решения задач

Пример 1. На тело в форме куба с ребром а = 10 см действуют три силы (рис. 7.6). Определить моменты сил относительно осей координат, совпадающих с ребрами куба.

Решение

1. Моменты сил относительно оси Ох:

2. Моменты сил относительно оси Оу.

Пример 2. На горизонтальном валу закреплены два колеса, г 1 = 0,4 м; г 2 = 0,8 м. Остальные размеры - на рис. 7.7. К колесу 1 приложена сила F 1 , к колесу 2 - силы F 2 = 12 кН, F 3 = 4кН.

Определить силу F 1 и реакции в шарнирах А и В в состоянии равновесия.

Напомним:

1. При равновесии выполняются шесть уравнений равновесия.

Уравнения моментов следует составлять относительно опор А и В.

2. Силы F 2 \\Ox ; F 2 \\Oy; F 3 \\Oy.

Моменты этих сил относительно соответствующих осей равны нулю.

3. Расчет следует завершить проверкой, использовав дополнительные уравнения равновесия.

Решение

1. Определяем силу F\, составив уравнение моментов сил относительно оси Oz:

2. Определяем реакции в опоре А. На опоре действуют две составляющие реакции (Y A ; X A ).

Составляем уравнение моментов сил относительно оси Ох" (в опоре В).

Поворот вокруг оси Ох" не происходит:

Знак «минус» означает, что реакция направлена в противоположную сторону.

Поворот вокруг оси Оу" не происходит, составляем уравнение моментов сил относительно оси Оу" (в опоре В):

3.Определяем реакции в опоре В. На опоре действуют две составляющие реакции (X B , Y B ). Составляем уравнение моментов сил относительно оси Ох (опора А):

Составляем уравнение моментов относительно оси Оу (опора А):

4.Проверка. Используем уравнения проекций:

Расчёт выполнен верно.

Пример 3. Определить численное значение силы P 1 , при котором вал ВС (рис. 1.21, а) будет находиться в равновесии. При найденном значении силы Р 1 определить опорные реакции.

Действующие на зубчатые колеса силы Р и Р 1 направлены по касательным к начальным окружностям колес; силы Т и Т 1 - по радиусам колес; силы А 1 параллельны оси вала. Т = 0,36Р, 7Т 1 = Р 1 ; А 1 = 0,12P 1 .

Решение

Опоры вала, изображенные на рис. 1.21, а, надо рассматривать как пространственные шарнирные опоры, препятствующие линейным перемещениям в направлениях осей и и v (выбранная система координат показана на рис. 1.21, б ).

Освобождаем вал от связей и заменяем их действие реакциями V В, Н В, V C , Н С (рис. 1.21, б ). Получили пространственную систему сил, для которой составляем уравнения равновесия, пользуясь выбранной системой координат (рис. 1.21,6):

где А 1 *1,25D/2 - момент относительно оси и силы A 1 , приложенной к правому зубчатому колесу.

Моменты относительно оси и сил Т 1 и А 1 (приложенных к среднему зубчатому колесу), Р 1 (приложенной к правому зубчатому колесу) и Р равны нулю, так как силы Р, T 1 , Р 1 параллельны оси и, а сила А 1 пересекает ось и.

откуда V С = 0,37P;

откуда V B =0,37P.

следовательно, реакции V B и V С определены верно;

где А 1 * 1,25D/2 - момент относительно оси v силы А 1 , приложенной к среднему зубчатому колесу.

Моменты относительно оси v сил Т, Р 1 (приложенной к среднему зубчатому колесу), А 1 и Т 1 (приложенных к правому зубчатому колесу) равны нулю, так как силы Т, Р 1 , Т 1 параллельны оси v, сила А 1 пересекает ось v.

откуда H C = 0,81Р;

откуда H С = 1,274Р

Составим проверочное уравнение:

следовательно, реакции Н В и Н С определены верно.

В заключение отметим, что опорные реакции получились со знаком плюс. Это указывает на то, что выбранные направления V B , Н В, V C и Н С совпадают с действительными направлениями реакций связей.

Пример 4. Сила давления шатуна парового двигателя Р = 25 кН передается на середину шейки коленчатого вала в точке D под углом α = 30° к горизонту при вертикальном расположении щек колена (рис. 1.22). На конец вала насажен шкив ременной передачи. Натяжение ведущей ветви ремня в два раза больше, чем ведомой, т.е. S 1 = 2S 2 . Сила тяжести маховика G = 10 кН.

Определить натяжения ветвей ременной передачи и реакции подшипников А и В, пренебрегая массой вала.

Решение

Рассматриваем равновесие горизонтального коленчатого вала со шкивом. Прикладываем в соответствии с условием задачи заданные силы Р, S 1 , S 2 иG . Освобождаем вал от опорных закреплений и заменяем их действие реакциями V A , Н А, V B и Н В. Координатные оси выбираем так, как показано на рис. 1.22. В шарнирах А и В не возникает реакций вдоль оси w, так как натяжение ветвей ремня и все остальные силы действуют в плоскостях, перпендикулярных этой оси.

Составим уравнения равновесия:

Кроме того, по условию задачи имеем еще одно уравнение

Таким образом, здесь имеется шесть неизвестных усилий S 1, S 2 , Н А, V A , Н В иV B и шесть связывающих их уравнений.

Уравнение проекций на ось w в рассматриваемом примере обращается в тождество 0 = 0, так как все силы лежат в плоскостях, перпендикулярных оси w.

Подставляя в уравнения равновесия S 1 =2S 2 и решая их, находим:

Значение реакции Н В получилось со знаком минус. Это значит, что в действительности ее направление противоположно принятому на рис. 1.22.

Контрольные вопросы и задания

1. Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы сходящихся сил.

2. Запишите формулу для расчета главного вектора пространственной системы произвольно расположенных сил.

3. Запишите формулу для расчета главного момента пространственной системы сил.

4. Запишите систему уравнений равновесия пространственной системы сил.

5. Какое из уравнений равновесия нужно использовать для определения реакции стержня R 1 (рис. 7.8)?

6. Определите главный момент системы сил (рис. 7.9). Точка приведения - начало координат. Координатные оси совпадают с ребрами куба, ребро куба равно 20 см;F 1 - 20кН;F 2 - 30кН.

7. Определите реакцию Хв (рис. 7.10). Вертикальная ось со шкивом нагружена двумя горизонтальными силами. Силы F 1 и F 2 параллельны осиОх. АО = 0,3 м; ОВ = 0,5 м; F 1 = 2кН; F 2 = 3,5 кН.

Рекомендация. Составить уравнение моментов относительно оси Оу" в точке А.

8. Ответьте на вопросы тестового задания.

Векторные условия равновесия произвольной системы сил: для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил был равен нулю и главный момент системы сил относительно любого центра приведения также был равен нулю . Иначе: для того чтобы ~0, необходимы и достаточны условия:

,
или
,
. (19)

Условия равновесия пространственной системы сил в аналитической форме

Для равновесия пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси декартовых координат были равны нулю и три суммы моментов всех сил относительно трех осей координат также были равны нулю .

. (20)

Условия равновесия пространственной системы сходящихся сил

Для равновесия пространственной системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на каждую из трех прямоугольных осей координат были равны нулю :

;
;
, (21)

В случае плоской системы сходящихся сил одну из осей координат, обычно
, выбирают перпендикулярной силам, а две другие оси – соответственно в плоскости сил. Для равновесия плоской системы сходящихся сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных координатных осей, лежащих в плоскости сил, были равны нулю:

;
, (22)

Условия равновесия пространственной системы параллельных сил

Направим ось
параллельно силам:для равновесия пространственной системы параллельных сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма этих сил была равна нулю и суммы моментов сил относительно двух координатных осей, перпендикулярных силам, также были равны нулю :

Условия равновесия плоской системы сил

Расположим оси
и
в плоскости действия сил.

Условия равновесия плоской системы сил в первой форме: для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных осей координат, расположенных в плоскости действия сил, были равны нулю и сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки, находящейся в плоскости действия сил, также была равна нулю :

(24)

Для равновесия плоской системы параллельных сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма сил была равна нулю и сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки, находящейся в плоскости сил, также была равна нулю:

(25)

Теорема о трех моментах (вторая форма условий равновесия): для равновесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов сил системы относительно трех любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю :

Третья форма условий равновесия: для равновесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов сил относительно двух любых точек, лежащих в плоскости действия сил, были равны нулю и алгебраическая сумма проекций этих сил на какую-либо ось плоскости, не перпендикулярную прямой, проходящей через две моментные точки, также была равна нулю , т.е.

Т. о., для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех этих сил на каждую из трех любым образом выбранных координатных осей равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма их моментов относительно каждой из этих осей также равнялась нулю.

Условия (1.33) называются условиями равновесия произвольной пространственной системы сил в аналитической форме .

Условия равновесия пространственной системы параллельных сил. Если линии действия всех сил данной системы сил расположены в разных плоскостях и параллельны между собой, то такая система сил называется пространственной системой параллельных сил .

Пользуясь условиями равновесия (1.33) произвольной пространственной системы сил, можно найти условия равновесия пространственной системы параллельных сил. (Выведенные нами ранее условия равновесия для плоской и пространственной систем сходящихся сил, произвольной плоской системы сил и плоской системы параллельных сил также можно было бы получить, пользуясь условиями равновесия (1.33) произвольной пространственной системы сил).

Пусть на твердое тело действует пространственная система параллельных сил (рисунок 1.26). Так как выбор координатных осей произволен, то можно выбрать координатные оси так, чтобы ось z была параллельна силам. При таком выборе координатных осей проекции каждой из сил на оси х и у и их моменты относительно оси z будут равны нулю, и, следовательно, равенства , и удовлетворяются независимо от того, находится ли данная система сил в равновесии или нет, а поэтому перестают быть условиями равновесия. Поэтому система (1.33) даст только три условия равновесия:

Следовательно, для равновесия пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на ось, параллельную этим силам, равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма их моментов относительно каждой из двух координатных осей, перпендикулярных к этим силам, также равнялась нулю .

1. Выбрать тело (или точку), равновесие которого должно быть рассмотрено в данной задаче.

2. Освободить выбранное тело от связей и изобразить (расставить) все действующие на это тело (и только на это тело) активные силы и силы реакций отброшенных связей . Тело, освобожденное от связей, с приложенной к нему системой активных сил и сил реакций, следует изображать отдельно.

3. Составить уравнения равновесия . Для составления уравнений равновесия необходимо сначала выбрать оси координат. Этот выбор можно производить произвольно, но полученные уравнения равновесия будут решаться проще, если одну из осей направить перпендикулярно к линии действия какой-либо неизвестной силы реакции. Решение полученных уравнений равновесия следует, как правило, проводить до конца в общем виде (алгебраически). Тогда для искомых величин будут получаться формулы, позволяющие проанализировать найденные результаты; численные значения найденных величин подставляются только в окончательные формулы. Уравнения равновесия составляются при аналитическом методе решения задач на равновесие системы сходящихся сил. Однако, если число сходящихся сил, равновесие которых рассматривается, равно трем, то удобно применить геометрический метод решения этих задач. Решение в данном случае сводится к тому, что вместо уравнений равновесия всех действующих сил (активных и реакций связей) строится силовой треугольник, который на основании геометрического условия равновесия должен быть замкнут (начинать построение этого треугольника следует с заданной силы). Решая силовой треугольник, находим искомые величины.

Динамика

Для понимания раздела динамики необходимо знать следующие сведения. Из математики – скалярное произведение двух векторов, дифференциальные уравнения. Из физики – законы сохранения энергии, количества движения. Теория колебаний. Рекомендуется повторить эти темы.

Как было выяснено в § 4.4, необходимые и достаточные условия равновесия пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, можно записать в виде трех уравнений проекций (4.16) и трех моментов (4.17):

, , . (7.14)

Если тело полностью закреплено, то действующие на него силы находятся в равновесии и уравнения (7.13) и (7.14) служат для определения опорных реакций. Конечно, могут встретиться случаи, когда этих уравнений недостаточно для определения опорных реакций; такие статически неопределимые системы мы рассматривать не будем.

Для пространственной системы параллельных сил уравнения равновесия принимают вид (§ 4.4[‡]):

, , . (7.15)

Рассмотрим теперь случаи, когда тело закреплено лишь частично, т.е. связи, которые наложены на тело, не гарантируют равновесия тела. Можно указать четыре частных случая.

1. Твердое тело имеет одну неподвижную точку. Иначе говоря, оно прикреплено к неподвижной точке при помощи идеального сферического шарнира.

Поместим в эту точку начало неподвижной системы координат. Действие связи в точке А заменим реакцией; так как она неизвестна по модулю и по направлению, то мы ее представим в виде трех неизвестных составляющих , , , направленных соответственно вдоль осей , , .

Уравнения равновесия (7.13) и (7.14) в этом случае запишутся в виде:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

Последние три уравнения не содержат составляющих реакции, так как линия действия этой силы проходит через точку А . Следовательно, эти уравнения устанавливают зависимости между активными силами, необходимыми для равновесия тела, причем три первых уравнения могут быть использованы для определения составляющих реакции.

Таким образом, условием равновесия твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, является равенство нулю каждой из алгебраических сумм моментов всех активных сил системы относительно трех осей, пересекающихся в неподвижной точке тела .

2. Тело имеет две неподвижные точки. Это, например, будет иметь место, если оно прикреплено к двум неподвижным точкам при помощи шарниров.

Выберем начало координат в точке А и направим ось вдоль линии, проходящей через точки А и В . Заменим действие связей реакциями, направив составляющие реакции вдоль координатных осей. Обозначим расстояние между точками А и В через а ; тогда уравнения равновесия (7.13) и (7.14) запишутся в следующем виде:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

Последнее уравнение не содержит сил реакции и устанавливает связь между активными силами, необходимую для равновесия тела. Следовательно, условием равновесия твердого тела, имеющего две неподвижные точки, является равенство нулю алгебраической суммы моментов всех активных сил, приложенных к телу, относительно оси, проходящей через неподвижные точки . Первые пять уравнений служат для определения неизвестных составляющих реакций , , , , , .

Заметим, что составляющие и не могут быть определены в отдельности. Из третьего уравнения определяется только сумма + и, следовательно, задача в отношении каждого из этих неизвестных для твердого тела является статически неопределимой. Однако, если в точке В находится не сферический, а цилиндрический шарнир (т.е. подшипник), не препятствующий продольному скольжению тела вдоль оси вращения, то и задача становится статически определимой.

Тело имеет неподвижную ось вращения, вдоль которой оно может скользить без трения. Это значит, что в точках А и В находятся цилиндрические шарниры (подшипники), причем составляющие их реакций вдоль оси вращения равны нулю. Следовательно, уравнения равновесия примут вид:

1) ,

2) ,

4) ,

5) ,

Два из уравнений (7.18), а именно, третье и шестое, накладывают ограничения на систему активных сил, а остальные уравнения служат для определения реакций.

Тело опирается в трех точках на гладкую поверхность, причем точки опоры не лежат на одной прямой. Обозначим эти точки через А , В и С и совместим с плоскостью АВС координатную плоскость Аху . Заменив действие связей вертикальными реакциями , и , запишем условия равновесия (7.14) в таком виде:

3) ,

4) ,

5) ,

Третье – пятое уравнения могут служить для определения неизвестных реакций, а первое, второе и шестое уравнения представляют собой условия, связывающие активные силы и необходимые для равновесия тела. Конечно, для равновесия тела необходимо выполнение условий , , , так как в точках опоры могут возникнуть только реакции принятого выше направления.

Если тело опирается на горизонтальную плоскость более чем в трех точках, то задача становится статически неопределимой, так как при этом реакций будет столько, сколько точек, а уравнений для определения реакций останется только три.

Задача 7.3. Найти главный вектор и главный момент системы сил, изображенной на рис. Силы приложены к вершинам куба и направлены вдоль его ребер, причем , . Длина ребра куба равна а .