Limity dávajú všetkým študentom matematiky veľa problémov. Na vyriešenie limitu musíte niekedy použiť množstvo trikov a vybrať si z množstva riešení presne to, ktoré sa hodí pre konkrétny príklad.

V tomto článku vám nepomôžeme pochopiť hranice vašich schopností alebo pochopiť hranice kontroly, ale pokúsime sa odpovedať na otázku: ako pochopiť hranice vo vyššej matematike? Pochopenie prichádza so skúsenosťami, preto zároveň uvedieme niekoľko podrobných príkladov riešenia limitov s vysvetleniami.

Pojem limity v matematike

Prvá otázka znie: aký je limit a limit čoho? Môžeme hovoriť o limitoch číselných postupností a funkcií. Nás zaujíma pojem limita funkcie, keďže práve s ním sa žiaci najčastejšie stretávajú. Najprv však najvšeobecnejšia definícia limitu:

Povedzme, že existuje nejaká premenná. Ak sa táto hodnota v procese zmeny neobmedzene blíži k určitému číslu a , potom a je hranica tejto hodnoty.

Pre funkciu definovanú v nejakom intervale f(x)=y limitom je počet A , ku ktorej funkcia inklinuje, keď X smerujúci k určitému bodu a . Bodka a patrí do intervalu, na ktorom je funkcia definovaná.

Znie to ťažkopádne, ale je to napísané veľmi jednoducho:

Lim- z angličtiny limit- limit.

Pre definíciu limity existuje aj geometrické vysvetlenie, ale tu sa nebudeme venovať teórii, keďže nás viac zaujíma praktická ako teoretická stránka problematiky. Keď to hovoríme X inklinuje k nejakej hodnote, to znamená, že premenná nenaberá hodnotu čísla, ale približuje sa k nej nekonečne blízko.

Uveďme si konkrétny príklad. Výzvou je nájsť limit.

Na vyriešenie tohto príkladu dosadíme hodnotu x=3 do funkcie. Dostaneme:

Mimochodom, ak máte záujem, prečítajte si samostatný článok na túto tému.

V príkladoch X môže smerovať k akejkoľvek hodnote. Môže to byť ľubovoľné číslo alebo nekonečno. Tu je príklad, kedy X má tendenciu k nekonečnu:

Intuitívne je jasné, že čím väčšie číslo v menovateli, tým menšiu hodnotu funkcia nadobudne. Takže s neobmedzeným rastom X význam 1/x bude klesať a blížiť sa k nule.

Ako vidíte, na vyriešenie limitu stačí do funkcie nahradiť hodnotu, o ktorú sa usilujete X . Toto je však najjednoduchší prípad. Nájdenie limitu často nie je také zrejmé. V rámci limitov existujú neistoty typu 0/0 alebo nekonečno/nekonečno . Čo robiť v takýchto prípadoch? Použite triky!

Neistoty vo vnútri

Neistota tvaru nekonečno/nekonečno

Nech existuje limit:

Ak sa pokúsime do funkcie dosadiť nekonečno, dostaneme nekonečno v čitateli aj v menovateli. Vo všeobecnosti stojí za to povedať, že v riešení takýchto neistôt je určitý prvok umenia: treba si všimnúť, ako možno funkciu transformovať takým spôsobom, že neistota zmizne. V našom prípade delíme čitateľa a menovateľa o X v seniorskom stupni. Čo sa bude diať?

Z vyššie uvedeného príkladu vieme, že členy obsahujúce x v menovateli budú mať tendenciu k nule. Potom je riešením limitu:

Na odhalenie typových nejasností nekonečno/nekonečno vydeľte čitateľa a menovateľa o X do najvyššej miery.

Mimochodom! Pre našich čitateľov je teraz zľava 10 %.

Iný typ neistoty: 0/0

Ako vždy, substitúcia do hodnotovej funkcie x = -1 dáva 0 v čitateli a menovateli. Pozrite sa trochu bližšie a všimnete si, že v čitateli máme kvadratickú rovnicu. Nájdeme korene a napíšeme:

Zredukujeme a získame:

Ak teda narazíte na typovú nejednoznačnosť 0/0 - rozložiť čitateľa a menovateľa na faktor.

Aby sme vám uľahčili riešenie príkladov, uvádzame tabuľku s limitmi niektorých funkcií:

L'Hopitalovo pravidlo vo vnútri

Ďalší účinný spôsob, ako odstrániť oba typy neistôt. Čo je podstatou metódy?

Ak je v limite neistota, berieme deriváciu čitateľa a menovateľa, kým neistota nezmizne.

Vizuálne vyzerá L'Hopitalovo pravidlo takto:

Dôležitý bod : musí existovať limita, v ktorej sú deriváty čitateľa a menovateľa namiesto čitateľa a menovateľa.

A teraz skutočný príklad:

Je tu typická neistota 0/0 . Vezmite deriváty čitateľa a menovateľa:

Voilá, neistota je rýchlo a elegantne eliminovaná.

Dúfame, že tieto informácie dokážete dobre využiť v praxi a nájdete odpoveď na otázku „ako riešiť limity vo vyššej matematike“. Ak potrebujete vypočítať limitu postupnosti alebo limitu funkcie v bode a nie je čas na túto prácu od slova „absolútne“, obráťte sa na profesionálny študentský servis pre rýchle a podrobné riešenie.



Má dlhých dvadsaťosem rokov a dvadsaťosem zím, navyše,

Jedno tajomstvo v sebe držal a v rodine bol vzorným manželom.
Všetko bolo ako vždy: manželka pripravovala večeru ...
Ale zrazu sa stalo nešťastie: vzal ho a spomenul si na tajomstvo.
Pod hlukom a kyslou vôňou kapustovej polievky, reptanie zužovalo ráno,
Pamätal si všetko do najmenších detailov, akoby to bolo včera ...
... Sedela pri okne a jemné nádherné mesačné svetlo
Namaľoval svoju krásnu siluetu v bledých tónoch ...
Pramene tiekli cez ramená, hady sa kĺzali na hruď ...
A v zápale momentu si pomyslel: "Niekedy si ju vezmem!"
Pamätal si všetko do najmenších detailov: krivky línií, jemnosť pier...
A horúčosť jej jednoduchých rečí a za oknom obrovský dub.
Prepletanie rúk... Splývanie tiel... Kaskáda hnedých vlasov...
A tak, ako ju chcel k šialenstvu, k slzám!
Vyznania chvejúceho sa potoka, ako mu ich šepkal do ucha!
Vtipná kučera nad uchom, ktorá sa chvela dychom ...
Pozrela sa na neho očami vlhkými ako noc.
Slová boli opojné ako víno: „Milujem ťa... Porod mi dcéru...“
Ráno stratil pokoj: rozčuľoval sa, potom sa nudil ...
Potom si zakryl tvár rukou, sadol si na stoličku a mlčal.
Manželka reptala ako vždy. Vychladená polievka...
A poznamenal, že jej vek, zostarnutý, jej nevyhovuje.
Ako jej nesedí biela farba a pramienky zafarbených vlasov.
A dvadsaťosem rokov nebolo všetko vážne ...
Zrazu vyskočil, schmatol kabát, zabudol na klobúk a ponožky.
Všetkých dvadsaťosem rokov - nie to ... Všetkých dvadsaťosem zím - melanchólia.
Našiel ten dom. Dom je dubový. Vybehol po schodoch ako šíp...
Na upokojenie chvenia studených pier a hnusnej zbabelosti – preč!
Pravdepodobne teraz pije čaj a balí sa do šatky ...
A z jej krásnych očí prúdi tichý smútok ...
Alebo ste možno začali pliesť? Možno tkanie čipky?
Toľko k nej povedať! A hlavne je mi to ľúto...
Otvorila dvere ... V očiach - otázka. Opäť mala dvadsať...
Kaskáda hnedých vlasov... Známa silueta...
Nad uchom - ľahké zvlnenie ... Rovnako ako pred mnohými rokmi - presne to isté ...
"Nemýliš sa?" - Nie, nemohol som... Si Anya?" Vera. Jej dcéra…"
"A Anya?" - "Mama už nie je... Kto si?" Obrátil sa:
"Chodím k nej už dvadsaťosem rokov..." - Čaká na teba... Dvadsaťpäť...
Aký závrat... Ako mi srdce padlo do hrude!
A spomenul si na jej slová s prosbou: "Nechoď!"
Zhrbil sa. Odišiel preč. Plexus rúk... Spojenie tiel...
Milujem ťa... Daj mi dcéru... Ale on veľmi chcel dcéru.
Divné. Anya už nie je ... plakala som ... vrhla som do ticha: "Budem ťa milovať veľa, veľa rokov ... Ty sám ..."

P.S. UCHOVÁVAJTE LÁSKU - to je základ vášho šťastia...



Žena, ktorá veľmi často odpúšťa a veľmi dlho vydrží, často odchádza nečakane a navždy!



Vedzte, že každý má inú „bolesť“,
Vedzte, že každý má iné „strašidelné“.
Nesúďte zo svojej zvonice
Neznámy počet poschodí.

Nerobte si hranice
Nemyslite na limity svojim mozgom.
Čo snívaš v hroznom sne,
Pre niektorých je to ako obvykle.

Vedzte, že každý má inú „potrebu“,
Vedzte, že každý má inú „ťažkosť“.
Avšak, reprezentácia pekla
Nedá sa to zovšeobecňovať a porovnávať.

Vedzte, že pravda je iná
Nie ten, ktorý prichádza na tanieri.
Pozrite sa bližšie na tých, ktorých osud desí
Toto sú najsilnejší ľudia.

Nehovor, že si ťa nepamätám
Pamätám si všetko a mnohokrát za deň
Opakujem telefónne číslo
Ale nikdy ti nezavolám.
Mal som pocit, že mi pukne srdce
A na okraji osamelých dní

Prešli za horizont v mojej duši.
Bola tam láska, bola láska, bola!
A k tejto fráze nie je čo dodať.
Náš čarovný hrad zhorel do tla
A popol nám neostal ako spomienka.
Pamätám si všetko a pamätám si kvitnúcu záhradu,
A cez lístie - lúče zo všetkých strán,
Ako z bielo-bielej zvonice
V duši - počujete - tiché zvonenie sa rozlieva.
Láska je preč a už sa nevráti
A aby som po nej netúžil navždy,
Tvoje oči sú ako dve smutné slniečka
Zašli za horizont v mojej duši.

Pre šťastie je prenasledovanie opäť neúspešné ...
A večer je daždivý, vonku je pochmúrne ...
A v detstve ... som namazal žemľu džemom
A len šťastný, až do bodu omráčenia ...

Glamour, etiketa, diamanty, jacuzzi...
Teraz, okrem šťastia, v osude "All inclusive",
A v detstve som jedol slnečnicové semienka,
A našťastie sa zdalo, že nebude existovať žiadny limit ...

Stali sme sa ako klauni...
Každý má make-up, ktorý sa vonku smeje...
A v detstve ... iba slnko si razilo cestu z neba
A šťastné srdce sa tak usmievalo...

Vyberáme ľudí, ako v pohánke "Popoluška" ...
Všetko potrebné - v kontaktoch ... Nepriaznivé v rúre ...
A v detstve v nás verila jasná obloha ...
Kde je radosť z vône čerstvého chleba?

A priateľstvo je teraz kúpené ...
Prežili ... Žijeme vo svete kožušiny a kože ...
A ako dieťa bol kríženec zachránený pred lejakom ...
A rozdávajúc šťastie, dostali ho.

V priebehu rokov sme stratili úprimnosť, citlivosť ...
Hranice a rámy sme vymysleli sami ...
Máte rolku a téglik čerešňového džemu?
Takže buďte pekelne šťastní!

Pozerám sa na teba a uvedomujem si, že ťa stále milujem. Táto láska je chronická choroba posledných rokov. Prináša to takú neznesiteľnú bolesť, že sa vrhám na úplne cudzích ľudí, snažím sa nimi oklamať, s nimi zrazu v tomto náručí nájdem práve ten liek proti bolesti, ktorý podľa majiteľov vráskavých sŕdc vôbec neexistuje. Chápem, že ma klamú, ale stále sa objímam, inak sa nemôžem zabiť, bolí ma to, mučí ma to, v noci mi to nedá spať, tak sedím na parapete a , ešte minútu budem srdcervúci kričať od mučenia ilúzií. Kontaktovať vás so žiadosťou o pomoc? Neužitočné. Vieš o mojej láske, ale nepotrebuješ ju, „ústa plné tvojich nevyslovených citov“. Sme v jednej sieti nezodpovednosti, ale nemôžeme si pomôcť. Omotávate si ruky okolo tenkých bielych nití a prútov a pozeráte sa niekam za hranice reality dúfajúc, že ​​diabol vie, koho pomoc. A medzi nami je len jeden rozdiel: moja láska k tebe ma takmer zrazila a tvoja láska k niekomu - ťa živí, oživuje očakávaním, aj keď klamlivým. Už sa na teba nechcem pozerať, vyháňam zo srdca možnosť teba, ale toto bolí ešte viac. Takže prejdete šepotom, aby ste trpeli, tiež dúfajúc, že ​​diabol vie, koho pomoc. Čas?..

Váš život je plný klamstiev, porna, každodenného života, závislosti na internete a mobilného otroctva. No nemám pravdu? Povedzte mi, urobili ste niekedy niečo naozaj nezvyčajné? Nikdy. A ty nemôžeš. Vieš prečo? Pretože to všetko je mimo vašej komfortnej zóny. Si v tom zabalený. Ako v polypropylénovom vrecku. Ste kusy mäsa, stlačené rámcom života a práce. Alebo sa mýlim? Možno sa mýlim? Opravte ma.
Môžete napríklad dať svoj mobilný telefón prvej osobe, ktorú stretnete? ALE? Záludná otázka. Môžete naformátovať skrutku v počítači práve teraz? hlúpy? Si na hovno? Vieš prečo nie? Pretože sa to rovná samovražde. Bez toho neexistuješ.