Множество различных факторов которые при. Бинарные отношения
(то есть которое обладает следующими свойствами: каждый элемент множества эквивалентен сам себе; если x эквивалентно y , то y эквивалентно x ; если x эквивалентно y , а y эквивалентно z , то x эквивалентно z ).
Тогда множество всех классов эквивалентности называется фактормножеством и обозначается . Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией .
Отображение из X в множество классов эквивалентности называется факторотображением .
Примеры
Факторизацию множества разумно применять для получения нормированных пространств из полунормированных, пространств со скалярным произведением из пространств с почти скалярным произведением и пр. Для этого вводится соответственно норма класса, равная норме произвольного его элемента, и скалярное произведение классов как скалярное произведение произвольных элементов классов. В свою очередь отношение эквивалентности вводится следующим образом (например для образования нормированного факторпространства): вводится подмножество исходного полунормированного пространства, состоящее из элементов с нулевой полунормой (кстати, оно линейно, то есть является подпространством) и считается, что два элемента эквивалентны, если разность их принадлежит этому самому подпространству.
Если для факторизации линейного пространства вводится некоторое его подпространство и считается, что если разность двух элементов исходного пространства принадлежит этому подпространству, то эти элементы эквивалентны, то фактормножество является линейным пространством и называется факторпространством.
Примеры
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Фактормножество" в других словарях:
Логический принцип, лежащий в основе определений через абстракцию (См. Определение через абстракцию): любое Отношение типа равенства, определённое на некотором исходном множестве элементов, разбивает (делит, классифицирует) исходное… …
Форма мышления, отражающая существенные свойства, связи и отношения предметов и явлений в их противоречии и развитии; мысль или система мыслей, обобщающая, выделяющая предметы некоторого класса по определённым общим и в совокупности… … Большая советская энциклопедия
Когомологии Галуа группы. Если М абелева группа и группа Галуа расширения, действующая на М, то когомологии Галуа есть группы когомологии определяемые комплексом состоит из всех отображений, a d кограничный оператор (см. Когомологии групп).… … Математическая энциклопедия
Конструкция, к рая впервые появилась в теории множеств, а затем стала широко использоваться в алгебре, топологии и других областях математики. Важный частный случай И. п. это И. п. направленного семейства однотипных математических структур. Пусть … Математическая энциклопедия
Точки хотносительно группы G, действующей на множестве X(слева), множество Множество является подгруппой в G и наз. стабилизатором, или стационарной подгруппой точки хотносительно G. Отображение индуцирует биекцию между G/Gx и орбитой G(x). О.… … Математическая энциклопедия
В этой статье слишком короткое вступление. Пожалуйста, дополните вводную секцию, кратко раскрывающую тему статьи и обобщающую её содержимое … Википедия
Эта статья об алгебраической системе. О разделе математической логики, изучающем высказывания и операции над ними, см. Алгебра логики. Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (аналог конъюнкции),… … Википедия
Пусть на множестве задано отношение эквивалентности. Тогда множество всех классов эквивалентности называется фактор множеством и обозначается. Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией. Отображение из в… … Википедия
Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых точка A называется его началом, а вторая B его концом. Содержание 1 Определение … Википедия
В различных разделах математики ядром отображения называется некоторое множество kerf, в некотором смысле характеризующее отличие f от инъективного отображения. Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения f… … Википедия
Можно доказать следующие теоремы.
Теорема 1.4. Функция f имеет обратную функцию f -1 тогда и только тогда, когда f биективна.
Теорема 1.5. Композиция биективных функций является функцией биективной.
Рис. 1.12 показывают различные отношения, все они, кроме первой, являются функциями.
отношение, но |
инъекция, но |
сюръекция, но |
||||||||||||||
не функция |
не сюръекция |
не инъекция |
||||||||||||||
Пусть f : А→ В – функция, а множества А и В - конечные множества, положим А = n , B = m . Принцип Дирихле гласит, что если n > m , то, по крайней мере, одно значение f встречается более одного раза. Иными словами, найдется пара элементов a i ≠ a j , a i , a j A, для которых f(a i )= f(a j ).
Принцип Дирихле легко доказать, поэтому оставляем его читателю в качестве тривиального упражнения. Рассмотрим пример. Пусть в группе более 12 студентов. Тогда, очевидно, что, по крайней мере, у двоих из них день рождения в одном и том же месяце.
§ 7. Отношение эквивалентности. Фактор- множество
Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если R рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Отношение равенства на множестве чисел обладает указанными свойствами, поэтому является отношением эквивалентности.
Отношение подобия треугольников, очевидно, является отношением эквивалентности.
Отношение нестрогого неравенства (≤ ) на множестве действительных чисел не будет отношением эквивалентности, ибо не является симметричным: из 3≤ 5 не следует, что 5≤ 3.
Классом эквивалентности (классом смежности) , порожденным элементом а при данном отношении эквивалентности R, называется подмножество тех х А, которые находятся в отношении R с а. Указанный класс эквивалентности обозначается через [ а] R , следовательно, имеем:
[ а] R = {х A: а, х R }.
Рассмотрим пример. На множестве треугольников введено отношение подобия. Ясно, что все равносторонние треугольники попадают в один смежный класс, ибо каждый из них подобен, например, треугольнику, все стороны которого имеют единичную длину.
Теорема 1.6. Пусть R - отношение эквивалентности на множестве А и [ а] R смежный класс, т.е. [ а] R = {х A: а, х R }, тогда:
1) для любого а А : [ а] R ≠ , в частности, а [ а] R ;
2) различные смежные классы не пересекаются;
3) объединение всех смежных классов совпадает со всем множеством А;
4) совокупность различных смежных классов образуют разбиение множества А.
Доказательство. 1) В силу рефлексивности R получим, что для любого а, а А, имеем a,a R , следовательно а [ а] R и [ а] R ≠ ;
2) допустим, что [ а] R ∩ [b] R ≠ , т.е. существует элемент с из А и с [ а] R ∩ [b] R . Тогда из (cRa)&(cRb) в силу симметричности R получаем, что (аR с)&(cRb), а из транзитивности R имеем аRb.
Для любого х [ а] R имеем: (хRa)&(аRb) , тогда в силу транзитивности R получим хRb, т.е. х [b] R , поэтому [ а] R [b] R . Аналогично для любого у, у [b] R , имеем: (уRb)&(аRb) , а в силу симметричности R получим, что (уRb)&(bR а), затем, в силу транзитивности R, получим, что уR а, т.е. у [ а] R и
поэтому [b] R [ а] R . Из [ а] R [b] R и [b] R [ а] R получаем [ а] R = [b] R , т. е. если смежные классы пересекаются, то они совпадают;
3) для любого а, а А, как доказано, имеем а [ а] R , тогда, очевидно, что объединение всех смежных классов совпадет с множеством А.
Утверждение 4) теоремы 1.6 следует из 1)-3). Теорема доказана. Можно доказать следующую теорему.
Теорема 1.7 . Различные отношения эквивалентности на множестве А порождают различные разбиения А.
Теорема 1.8 . Каждое разбиение множества А порождает отношение эквивалентности на множестве A , причем различные разбиения порождают различные отношения эквивалентности.
Доказательство. Пусть дано разбиение В= {B i } множества A . Определим отношение R : а,b R тогда и только тогда, когда существует B i такое, что а и b оба принадлежат этому B i . Очевидно, что введенное отношение является рефлексивным, симметричным и транзитивным, следовательно, R – отношение эквивалентности. Можно показать, что если разбиения различны, то и отношения эквивалентности, ими порождаемые, тоже различны.
Совокупность всех классов смежности множества А по данному отношению эквивалентности R называется фактор- множеством и обозначается через А/R . Элементами фактор-множества являются классы смежности. Класс смежности [ а] R , как известно, состоит из элементов А, которые находятся между собой в отношении R .
Рассмотрим пример отношения эквивалентности на множестве целых чисел Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.
Два целых числа а и b называют сравнимыми (конгруэнтными) по модулю m , если m делитель числа a-b , т. е. если имеем:
a=b+km , k=…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….
В этом случае записывают a≡ b(mod m) .
Теорема 1.9. Для любых чисел a , b , c и m>0 имеем:
1) a ≡ a(mod m) ;
2) если a ≡ b(mod m), то b ≡ a(mod m);
3) если a ≡ b(mod m) и b ≡ c(mod m), то a ≡ c(mod m).
Доказательство. Утверждения 1) и 2) очевидны. Докажем 3). Пусть a=b+k 1 m , b=c+k 2 m , тогда a=c+(k 1 +k 2 )m , т.е. a ≡ c(mod m) . Теорема доказана.
Таким образом, отношение сравнимости по модулю m является отношением эквивалентности и делит множество целых чисел на непересекающиеся классы чисел.
Построим бесконечно раскручивающуюся спираль, которая на рис. 1.13 изображена сплошной линией, и бесконечно скручивающуюся спираль, изображенную штриховой линией. Пусть задано целое неотрицательное число m . Все целые числа (элементы из множества Z ) расположим в точках пересечения этих спиралей с m лучами, как показано на рис. 1.13.
Для отношения сравнимости по модулю m (в частности и для m =8) класс эквивалентности – это числа, лежащие на луче. Очевидно, что каждое число попадает в один и только один класс. Можно получить, что для m= 8 имеем:
[ 0] ={…, -8, 0, 8, 16, …}; |
|||||
[ 1] ={…, -7, 1, 9, 17, …}; |
|||||
[ 2] ={…, -6, 2, 10, 18, …}; |
|||||
[ 7] ={…, -9, -1, 7, 15, …}. |
|||||
Фактор-множество множества Z по отношению сравнения по модулю m обозначается как Z/m или как Z m . Для рассматриваемого случая m =8
получим, что Z/8 = Z8 = { , , , …, } .
Теорема 1.10. Для любых целых a, b, a * , b * , k и m :
1) если a ≡ b(mod m), то ka ≡ kb(mod m);
2) если a ≡ b(mod m) и a* ≡ b* (mod m), то:
а) a+а * ≡ b+b* (mod m); б) аа * ≡ bb* (mod m).
Доказательство приведем для случая 2б). Пусть a ≡ b(mod m) и a * ≡ b * (mod m) , тогда a=b+sm и a * =b * +tm для некоторых целых s и t . Перемножив,
получим: aa* =bb* + btm+ b* sm+ stm2 =bb* +(bt+ b* s+ stm)m. Следовательно,
aa* ≡ bb* (mod m).
Таким образом, сравнения по модулю можно почленно складывать и умножать, т.е. оперировать точно также как и с равенствами. Например,
∼ {\displaystyle \sim } . Тогда множество всех классов эквивалентности называется фактормножеством и обозначается . Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией .Отображение из X {\displaystyle X} в множество классов эквивалентности X / ∼ {\displaystyle X/\!\sim } называется факторотображением . Благодаря свойствам отношения эквивалентности, разбиение на множества единственно. Это означает, что классы, содержащие ∀ x , y ∈ X {\displaystyle \forall x,\;y\in X} , либо не пересекаются, либо совпадают полностью. Для любого элемента x ∈ X {\displaystyle x\in X} однозначно определён некоторый класс из X / ∼ {\displaystyle X/\!\sim } , иными словами существует сюръективное отображение из X {\displaystyle X} в X / ∼ {\displaystyle X/\!\sim } . Класс, содержащий x {\displaystyle x} , иногда обозначают [ x ] {\displaystyle [x]} .
Если множетво снабжено структурой, то часто отображение X → X / ∼ {\displaystyle X\to X/\!\sim } можно использовать чтобы снабдить фактормножество X / ∼ {\displaystyle X/\!\sim } той же структурой, например топологией. В этом случае множество X / ∼ {\displaystyle X/\!\sim } с индуцированной структурой называется факторпространством .
Энциклопедичный YouTube
1 / 4
✪ 3. Классы эквивалентности
✪ Теория множеств Лекция 3 Часть 1
✪ Теория множеств Лекция 3 Часть 2
✪ Теория множеств Лекция 3 Часть 3
Субтитры
Факторпространство по подпространству
Часто отношение эквивалентности вводят следующим образом. Пусть X {\displaystyle X} - линейное пространство , а L {\displaystyle L} - некоторое линейное подпространство. Тогда два элемента x , y ∈ X {\displaystyle x,\;y\in X} таких, что x − y ∈ L {\displaystyle x-y\in L} , называются эквивалентными . Это обозначается x ∼ L y {\displaystyle x\,{\overset {L}{\sim }}\,y} . Получаемое в результате факторизации пространство называют факторпространством по подпространству L {\displaystyle L} . Если X {\displaystyle X} разлагается в прямую сумму X = L ⊕ M {\displaystyle X=L\oplus M} , то существует изоморфизм из M {\displaystyle M} в X / ∼ L {\displaystyle X/\,{\overset {L}{\sim }}} . Если X {\displaystyle X} - конечномерное пространство , то факторпространство X / ∼ L {\displaystyle X/\,{\overset {L}{\sim }}} также является конечномерным и dim X / ∼ L = dim X − dim L {\displaystyle \dim X/\,{\overset {L}{\sim }}=\dim X-\dim L} .
Примеры
. Можно рассмотреть фактормножество X / ∼ {\displaystyle X/\!\sim } . Функция f {\displaystyle f} задаёт естественное взаимноднозначное соответствие между X / ∼ {\displaystyle X/\!\sim } и Y {\displaystyle Y} .Факторизацию множества разумно применять для получения нормированных пространств из полунормированных, пространств со скалярным произведением из пространств с почти скалярным произведением и пр. Для этого вводится соответственно норма класса, равная норме произвольного его элемента, и скалярное произведение классов как скалярное произведение произвольных элементов классов. В свою очередь отношение эквивалентности вводится следующим образом (например для образования нормированного факторпространства): вводится подмножество исходного полунормированного пространства, состоящее из элементов с нулевой полунормой (кстати, оно линейно, то есть является подпространством) и считается, что два элемента эквивалентны, если разность их принадлежит этому самому подпространству.
Если для факторизации линейного пространства вводится некоторое его подпространство и считается, что если разность двух элементов исходного пространства принадлежит этому подпространству, то эти элементы эквивалентны, то фактормножество является линейным пространством и называется факторпространством.
Пусть G={p 0 =e, p 1 , …, p r } есть некоторая группа подстановок, определенная на множестве X = {1, 2, …, n} с единицей e=p 0 тождественной подстановкой. Определим отношение x~y, положив x~y равносильно, что существует p принадлежащее G(p(x)=y). Введенное отношение есть отношение эквивалентности, то есть оно удовлетворяет трем аксиомам:
1) x~x;
2) x~y→y~x;
3) x~y&y~z→x~z;
Пусть А – произвольное множество.
Определение
: Бинарное отношение δ=A*A есть отношение эквивалентности (обозначается a ~ b), если они удовлетворяет следующим аксиомам:
∀ a, b, c ∈ A
1) a ~ a – рефлексивность;
2) a ~ b ⇒ b ~ a – коммутативность;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c — транзитивность
обозначается a ~ b, σ(a,b), (a,b) ∈ σ, a σ b
Определение
: Разбиение множества А есть семейство попарно не пресекающихся подмножеств из А, в объединении (в сумме) дающих все А.
А= ∪А i , А i ∩А j = ∅, ∀i ≠ j.
Подмножества А i называются смежными классами разбиения.
Теорема : каждое отношение эквивалентности, определенное на А, соответствует некоторому разбиению множества А. Всякое разбиение множества А соответствует некоторому отношению эквивалентности на множестве А.
Коротко: между классами всех определенных на множестве А отношений эквивалентностей и классом всех разбиений множества А существует взаимнооднозначное соответствие.
Доказательство : пусть σ — есть отношение эквивалентности на множестве А. Пусть а ∈ А.
Построим множество: К a ={x ∈ A,: x~a } – всех элементов, эквивалентных а. Множество (обозначение) называется классом эквивалентности относительно эквивалентности σ. Заметим, что если b принадлежит K a , то b~a. Покажем, что a~b⇔K a =K b . В самом деле, пусть a~b. Возьмем произвольный элемент c принадлежит K a . Тогда c~a, a~b, c~b, c принадлежит K b и потому K b принадлежит K a . То, что K a принадлежит K b , показывается аналогично. Следовательно, K b =K a .
Пусть теперь K b =K a . Тогда a принадлежит K a = K b , a принадлежит K b , a~b. Что и требовалось показать.
Если 2 класса K a и K b имеют общий элемент с, то K a = K b . В самом деле, если с принадлежит K a и K b , то b~c, c~a, b~a => K a = K b .
Поэтому различные классы эквивалентности либо не пересекаются, либо пересекаются и тогда совпадают. Всякий элемент с из А принадлежит только одному классу эквивалентности К с. Поэтому система непересекающихся классов эквивалентности в пересечении дает все множество А. И потому эта система есть разбиение множества А на классы эквивалентности.
Обратное: Пусть А = сумма по или A i – есть разбиение А. Введем на А отношение a~b, как a~b ⇔ a,b принадлежат одному и тому же классу разбиения. Это отношение удовлетворяет следующим аксиомам:
1) a ~ a (лежат в одном классе);
2) a ~ b → b ~ a;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c, т.е. введенное отношение ~ есть отношение эквивалентности.
Замечание
:
1) разбиение множества А на одноэлементные подмножества и разбиение А, состоящие только из множества А, называется тривиальными (несобственным) разбиением.
2) Разбиение А на одноэлементные подмножества соответствует отношению эквивалентности которое есть равенство.
3) Разбиение А, состоящие из одного класса А, соответствует отношению эквивалентности, содержащему A x A.
4) a σ b → [a] σ = [b] σ — всякое отношение эквивалентности определенное на некотором множестве разбивает это множество на попарно не пересекающиеся классы называемые классами эквивалентности.
Определение : Совокупность классов эквивалентности множества А называется фактор-множеством A/σ множества А по эквивалентности σ.
Определение : Отображение p:A→A/σ, при котором p(A)=[a] σ , называется каноническим (естественным) отображением.
Всякое отношение эквивалентности, определенное на некотором множестве, разбивает это множество на попарно не пересекающиеся классы, называемые классами эквивалентности.
Пусть R – бинарное отношение на множестве X. Отношение R называется рефлексивным , если (x, x) Î R для всех x Î X; симметричным – если из (x, y) Î R следует (y, x) Î R; транзитивным числу 23 соответствует вариант 24 если (x, y) Î R и (y, z) Î R влекут (x, z) Î R.
Пример 1
Будем говорить, что x Î X имеет общее
с элементом y Î X, если множество
x Ç y не пусто. Отношение иметь общее будет рефлексивным и симметричным, но не транзитивным.
Отношением эквивалентности на X называется рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение. Легко видеть, что R Í X ´ X будет отношением эквивалентности тогда и только тогда, когда имеют место включения:
Id X Í R (рефлексивность),
R -1 Í R (симметричность),
R ° R Í R (транзитивность).
В действительности эти три условия равносильны следующим:
Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.
Разбиением множества X называется множество А попарно непересекающихся подмножеств a Í X таких, что UA = X. С каждым разбиением А можно связать отношение эквивалентности ~ на X, полагая x ~ y, если x и y являются элементами некоторого a Î A.
Каждому отношению эквивалентности ~ на X соответствует разбиение А, элементами которого являются подмножества, каждое из которых состоит из находящихся в отношении ~. Эти подмножества называются классами эквивалентности . Это разбиение А называется фактор-множеством множества X по отношению ~ и обозначается: X/~.
Определим отношение ~ на множестве w натуральных чисел, полагая x ~ y, если остатки от деления x и y на 3 равны между собой. Тогда w/~ состоит из трёх классов эквивалентности, соответствующих остаткам 0, 1 и 2.
Отношение порядка
Бинарное отношение R на множестве X называется антисимметричным , если из x R y и y R x следует: x = y. Бинарное отношение R на множестве X называется отношением порядка , если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Легко видеть, что это равносильно выполнению следующих условий:
1) Id X Í R (рефлексивность),
2) R Ç R -1 (антисимметричность),
3) R ° R Í R (транзитивность).
Упорядоченная пара (X, R), состоящая из множества X и отношения порядка R на X, называется частично упорядоченным множеством .
Пример 1
Пусть X = {0, 1, 2, 3}, R = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 3)}.
Поскольку R удовлетворяет условиям 1 – 3, то (X, R) – частично упорядоченное множество. Для элементов x = 2, y = 3, неверно ни x R y, ни y R x. Такие элементы называют несравнимыми . Обычно отношение порядка обозначают £. В приведенном примере 0 £ 1 и 2 £ 2, но неверно, что 2 £ 3.
Пример 2
Пусть < – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.
Элементы x, y Î X частично упорядоченного множества (X, £) называются сравнимыми , если x £ y либо y £ x.
Частично упорядоченное множество (X, £) называется линейно упорядоченным или цепью , если любые два его элемента сравнимы. Множество из примера 2 будет линейно упорядоченным, а из примера 1 – нет.
Подмножество A Í X частично упорядоченного множества (X, £) называется ограниченным сверху , если существует такой элемент x Î X, что a £ x для всех a Î A. Элемент x Î X называется наибольшим в X, если y £ x для всех y Î X. Элемент x Î X называется максимальным, если нет отличных от x элементов y Î X, для которых x £ y. В примере 1 элементы 2 и 3 будут максимальными, но не наибольшими. Аналогично определяются ограничение снизу подмножества, наименьший и минимальный элементы. В примере 1 элемент 0 будет и наименьшим и минимальным. В примере 2 этими свойствами также обладает 0, но в (w, £) нет ни наибольшего, ни максимального элемента.