Çevrimiçi karmaşık kökler. Kökün entegre numaradan çıkarılması

trigonometrik formdaki sayılar.

Moorav'ın formülü

Z 1 \u003d R1 (COS  1 + ISIN  1) ve Z 2 \u003d R2 (COS  2 + ISIN  2) izin verin.

Entegre bir sayı girişinin trigonometrik formu, çarpma, bölünme, fisyon, tüm dereceye kadar egzersiz yapmak ve kök derecesini ekstrakte etmek için kullanımı uygundur.

z 1 ∙ z 2 \u003d r 1 ∙ r 2 (COS ( 1 +  2) + I günah ( 1 +  2)).

İki entegre sayıyı çarparken Trigonometrik formda, modülleri çarpılır ve argümanlar katlanır. Bölünme ile Modülleri bölünmüştür ve argümanlar kesilir.

Entegre sayının çarpma kurallarının sonucu, karmaşık bir sayının bir dereceye kadar montajın kuralıdır.

z \u003d r (COS  + SIN ).

z n \u003d r n (COS N + ISIN N).

Bu oran denir moorem Formula.

Örnek 8.1. Bir ürün ve özel numaralar bulun:

ve

Karar

z 1 ∙ z 2
∙

=

;

Örnek 8.2. Trigonometrik formda yaz

∙
-İ) 7.

Karar

İfade etmek
ve z 2 \u003d
- BEN.

r 1 \u003d | z 1 | \u003d √ 1 2 + 1 2 \u003d √ 2;  1 \u003d ARG Z 1 \u003d ARCTG ;

z 1 \u003d.
;

r 2 \u003d | z 2 | \u003d √ (√ 3) 2 + (- 1) 2 \u003d 2;  2 \u003d ARG Z 2 \u003d ARCTG
;

z 2 \u003d 2
;

z 1 5 \u003d (
) 5
; z 2 7 \u003d 2 7

z \u003d (
) 5 · 2 7
=

2 9

§ 9 Kökünün entegre sayısından çıkarılması

Tanım. Korelin.Entegre numaradan mezun z (belirtir
) W'nin karmaşık numarası, w n \u003d z olacaktır. Z \u003d 0 ise, o zaman
= 0.

Z  0, z \u003d r (cos + isin) olsun. W \u003d  (cos + sin) tarafından belirtir, daha sonra W n \u003d z denklemi aşağıdaki formda yazacaktır.

 n (cos (n · ) + isin (n · )) \u003d r (cos + isin).

Dolayısıyla  n \u003d r,

 =

Böylece, w k \u003d
·
.

Bu değerler arasında tam olarak farklıdır.

Bu nedenle, K \u003d 0, 1, 2, ..., n - 1.

Karmaşık düzlemde, bu noktalar, yarıçapın dairesine yerleştirilen doğru N-karenin köşeleridir.
merkezdeki merkez ile (Şekil 12).

Şekil 12.

Örnek 9.1.Tüm değerleri bulun
.

Karar.

Bu numarayı trigonometrik biçimde hayal edin. Modülünü ve argümanını buluruz.

w k \u003d.
nerede k \u003d 0, 1, 2, 3.

w 0 \u003d.
.

w 1 \u003d.
.

w 2 \u003d.
.

w 3 \u003d
.

Kompleks düzlemde, bu noktalar, karenin köşeli köşeleridir, yarıçap tarafından daireye yerleştirilir.
koordinatların başında merkez ile (Şekil 13).

Şekil 13, Şekil 14

Örnek 9.2.Tüm değerleri bulun
.

Karar.

z \u003d - 64 \u003d 64 (cos + isin);

w k \u003d.
nerede k \u003d 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 \u003d.
; W 1 \u003d.
;

w 2 \u003d.
W 3 \u003d

w 4 \u003d.
; W 5 \u003d.
.

Karmaşık düzlemde, bu noktalar, sağ altıgenin köşeleridir, bir daireye (0; 0) - Şekil 14'teki bir merkez olan bir daire 2 olan bir daireye yazılır.

§ Karmaşık bir sayının 10 göstergesi şekli.

Formül Euler

İfade etmek
\u003d COS  + ISIN  ve
\u003d Cos  - isin . Bu ilişkiler denir euler formülleri .

İşlev
Gösterge işlevinin olağan özelliklerine sahiptir:

Z'nin karmaşık numarasının Trigonometric formunda kaydedilmesine izin verin Z \u003d R (COS + ISIN).

Euler formülünü kullanarak, yazabilirsiniz:

z \u003d r ·
.

Bu giriş denir gösterge formu Entegre numara. Bunu kullanarak, çoğalma, bölünme, kökünün inşasını kökünün derecesine ve çıkarımını elde ediyoruz.

Z 1 \u003d r 1 ise ·
ve z 2 \u003d r 2 ·
GEMİ

z 1 · z 2 \u003d r 1 · r 2 ·
;

·

z n \u003d r n ·

nerede k \u003d 0, 1, ..., n - 1.

Örnek 10.1. Cebirsel formda yaz

z \u003d.
.

Karar.

Örnek 10.2.Denklemini Çözme Z 2 + (4 - 3i) Z + 4 - 6I \u003d 0.

Karar.

Herhangi bir karmaşık katsayılar için, bu denklemde iki z 1 ve Z 1 kökünden (muhtemelen çakışmaya) sahiptir. Bu kökler, gerçek durumda olduğu gibi aynı formülde bulunabilir. Gibi
Sadece işarette farklı olan iki değer alır, ardından bu formül formu vardır:

-9 \u003d 9 · e  i, sonra değerler
Sayılar olacak:

Sonra
ve
.

Karar.

Denklemin istenen kökleri değerler olacaktır.
.

Z \u003d -1 için r \u003d 1, arg (-1) \u003d  var.

w k \u003d.
, K \u003d 0, 1, 2.

Egzersizler

9 Numaranın gösterge biçiminde mevcut:

10 Numaranın göstergesi ve cebirsel biçimlerinde kayıt:

11 Cebirik ve Geometrik Numaranın Formlarını Yazın:

12 verilmiş sayılar

Onları bir gösterge biçiminde temsil etmek, bulmak
.

13 Entegre bir sayının gösterge biçimini kullanarak, eylemler yapın:

fakat)
b)

içinde)
d)

Kök'yı entegre bir şekilde entegre bir şekilde çıkarmak imkansızdır, çünkü derecesine eşit bir dizi değere sahip olduğundan.

Karmaşık sayılar, MOGDAD formülünün geçerli olduğu trigonometrik formların derecesine yükseltilir:

\\ (\\ z ^ (k) \u003d r ^ (k) (\\ cos k \\ varhi + i \\ sin k \\ varphi), \\ flebl k \\ in n \\)

Benzer şekilde, bu formül, entegre sayıdaki K derecesinin kökünün (sıfıra eşit değil) hesaplamak için kullanılır:

\\ (\\ z ^ (\\ frac (1) (k)) \u003d (r (r (\\ cos (\\ varhi + 2 \\ pi n) + i \\ sin (\\ varhi + 2 \\ pi n)) ^ (\\ frac ( 1) (k)) \u003d r ^ (\\ frac (1) (k)) \\ sol (\\ cos \\ frac (\\ varhi + 2 \\ pi n) (k) + i \\ sin \\ frac (\\ Varphi + 2 \\ Pi n) (k) \\ sağ), \\ forall k\u003e 1, \\ forall n \\ n \\)

Kompleks numarası sıfır değilse, K, Derecesi'nin kökleri her zaman var ve karmaşık düzlemde temsil edilebilirler: K-Meydanı'nın tepeleri olacak, circin başlangıcında koordinatlar ve yarıçap \\ (\\ r ^ (\\ frac (1) (k) \\)

Çözme problemlerinin örnekleri