Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi. Matematiksel beklenti (nüfus ortalaması)

Daha önce bilindiği gibi, dağıtım yasası rastgele bir tutarı tamamen karakterize eder. Bununla birlikte, dağıtım yasası bilinmemektedir ve daha az bilgi ile sınırlı olmalıdır. Bazen, rastgele bir değer tarif eden sayıları kullanmak daha da karlıdır; Bu sayılar denir rastgele değişkenin sayısal özellikleri.

Önemli bir sayısal karakteristik, matematiksel beklentiyi içerir.

Matematiksel beklenti yaklaşık olarak rastgele değişkenin ortalama değerine eşittir.

Ayrık rastgele değişkenin matematiksel beklentisi Olası değerlerinin olası değerlerinin olasılıkları için arayın.

Rasgele bir değer sınırlı sayıda dağıtım ile karakterize edilirse:

H.	x 1	x 2	x 3	…	x P.
R	p 1.	p 2.	p 3.	…	p.

bu matematiksel beklenti M (x) Formül tarafından belirlenir:

Sürekli rasgele bir değişkenin matematiksel beklentisi eşitlik ile belirlenir:

nerede - rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu H..

Örnek 4.7. Bir oyun kemiği atarken düşen puan sayısının matematiksel bir beklentisini bulun.

Karar:

Rastgele değer H. Değerleri 1, 2, 3, 4, 5, 6 alır. Dağıtım yasasını yapacağız:

H.
R

Sonra matematiksel beklenti:

Matematiksel beklentinin özellikleri:

1. Kalıcı bir değerin matematiksel beklentisi en sabit olana eşittir:

M (c) \u003d S.

2. Matematiksel beklentinin bir işareti için kalıcı bir çarpan yapılabilir:

M (cx) \u003d cm (x).

3. İki bağımsız rastgele değişkenin çalışmasının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin ürününe eşittir:

M (xy) \u003d m (x) m (y).

Örnek 4.8.. Bağımsız rastgele değişkenler X. ve Y. aşağıdaki dağıtım yasaları tarafından belirtilenler:

H.					Y.
R	0,6	0,1	0,3		R	0,8	0,2

Rastgele değişken XY'nin matematiksel beklentisini bulun.

Karar.

Bu değerlerin her birinin matematiksel beklentilerini bulun:

Rastgele değişkenler X. ve Y. Bağımsız, bu yüzden istenen matematiksel beklenti:

M (xy) \u003d m (x) m (y) \u003d

Corollary. Karşılıklı bağımsız rastgele değişkenlerin çalışmalarının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin ürününe eşittir.

4. İki rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

M (x + y) \u003d m (x) + m (y).

Corollary.Birkaç rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

Örnek 4.9. Hedefe eşit olasılıklarla 3 çekim üretilir p 1. = 0,4; p 2.\u003d 0.3 I. p 3. \u003d 0.6. Toplam hit sayısının matematiksel beklentisini bulun.

Karar.

İlk atış rastgele bir değer olduğunda isabet sayısı X 1bu sadece iki değer alabilir: 1 (hit) olasılıkla p 1. \u003d Olasılıkla 0.4 ve 0 (kayma) s1. = 1 – 0,4 = 0,6.

İlk çekimdeki isabet sayısının matematiksel beklentisi, Hit olasılığına eşittir:

Benzer şekilde, ikinci ve üçüncü çekimdeki isabet sayısının matematiksel beklentilerini buluyoruz:

M (x 2) \u003d 0.3 I. M (x 3) \u003d0,6.

Toplam isabet sayısı ayrıca, üç atışın her birindeki isabet miktarından oluşan rastgele bir değerdir:

X \u003d x 1 + x 2 + x 3.

İstenilen matematiksel beklenti H. Teorem'de matematik hakkında bulun, tutarı bekliyorum.

Ayrık ve sürekli rastgele değişkenlerin ana sayısal özellikleri: matematiksel beklenti, dağılma ve ortalama ikinci dereceden sapma. Özellikleri ve örneklerleri.

Dağıtım hukuku (dağıtım fonksiyonu ve bir dizi dağıtım veya inancın yoğunluğu) rastgele bir değişkenin davranışını tam olarak tanımlamaktadır. Ancak bir dizi görevde, incelenen değerin bazı sayısal özelliklerini (örneğin, ortalama değeri ve ondan olası bir sapma) zihnine cevap vermek için yeterlidir. Ayrık rastgele değişkenlerin ana sayısal özelliklerini göz önünde bulundurun.

Tanım 7.1.Matematiksel beklentiayrık rastgele değişken, bunlara karşılık gelen olasılığa olası değerlerinin miktarıdır:

M.(H.) = h. 1 r 1 + h. 2 r 2 + … + x p p(7.1)

Olası rastgele değerlerin sayısı sonsuz ise, elde edilen seri kesinlikle birleşirse.

Not 1.Matematiksel beklenti bazen denir ağırlıklı ortalamaÇok sayıda deney ile rastgele değişkenin ortalama aritmetik gözlemlenen değerlerine yaklaşık olarak eşit olduğundan.

Not 2.Matematiksel beklentinin belirlenmesinden, değerinin rastgele değişkenin mümkün olan en düşük değerinden daha az olmadığını ve en büyükten daha fazla olmadığını izler.

Not 3.Ayrık rastgele değişkenin matematiksel beklentisi nalesha(Sabit. Gelecekte, sürekli rastgele değişkenler için doğru olduğunu göreceğiz.

Örnek 1. Rastgele bir değişkenin matematiksel bir beklentisini bulun H. - Arada 2 arızalı olan 10 bölümdeki partiden seçilen üçte standart parçaların sayısı. Bir dizi dağıtım yapmak H.. Görev şartlarından itibaren H. 1, 2, 3. değerleri alabilir. Sonra

Örnek 2. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini belirleyin H. - Arması katının ilk görünümünden önce madeni paraların kapsamı sayısı. Bu değer, sonsuz sayıda değer alabilir (birçok olası değer, birçok doğal sayı var). Dağılımının bir kısmı formu vardır:

H.			…	p	…
r	0,5	(0,5) 2	…	(0,5) P	…

+ (Hesaplanırken, sonsuz azalan geometrik ilerlemenin miktarı iki kez kullanıldı :,, Nerede).

Matematiksel beklentilerin özellikleri.

1) Matematiksel beklenti, en sabit olana eşittir:

M.(Dan) = Dan.(7.2)

Kanıt. Eğer düşünürsek Dan Sadece bir değer alan ayrık bir rastgele değer olarak Dan Olasılıkla r \u003d 1, sonra M.(Dan) = Dan?1 = Dan.

2) Matematiksel beklentinin bir işareti için sürekli bir çarpan sunulabilir:

M.(Sk) = SANTİMETRE(H.). (7.3)

Kanıt. Rastgele bir değer ise H. Bir dizi dağıtım ayarlayın

Sonra M.(Sk) = Sk 1 r 1 + Sk 2 r 2 + … + Cx p r p = Dan( H. 1 r 1 + h. 2 r 2 + … + x p p) = SANTİMETRE(H.).

Tanım 7.2.İki rastgele değişken denir bağımsızBunlardan birinin dağıtım yasası, diğer değerlerin ne aldığına bağlı değildir. Aksi takdirde rastgele değişkenler bağımlı.

Tanım 7.3.İsim vermek bağımsız rastgele değişkenlerin ürünü H. ve Y. Rastgele değişken Xy.Olası değerler, tüm olası değerlerin eserlerine eşittir. H. tüm olası değerlerde Y.ve faktörlerin olasılıklarının karşılık gelen olasılığı eşittir.

3) İki bağımsız rastgele değişkenin çalışmasının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin ürününe eşittir:

M.(Xy.) = M.(X.)M.(Y.). (7.4)

Kanıt. Hesaplamaları basitleştirmek için, kendimizi durumuna göre sınırlayacağız. H. ve Y. Sadece iki olası değeri alın:

Dolayısıyla M.(Xy.) = x. 1 y. 1 ?p. 1 g. 1 + x. 2 y. 1 ?p. 2 g. 1 + x. 1 y. 2 ?p. 1 g. 2 + x. 2 y. 2 ?p. 2 g. 2 = y. 1 g. 1 (x. 1 p. 1 + x. 2 p. 2) + + y. 2 g. 2 (x. 1 p. 1 + x. 2 p. 2) = (y. 1 g. 1 + y. 2 g. 2) (x. 1 p. 1 + x. 2 p. 2) = M.(X.)?M.(Y.).

Not 1.Benzer şekilde, bu özelliği faktörlerin muhtemel değerleri için kanıtlamak mümkündür.

Not 2. Özellik 3, matematiksel indüksiyon yöntemiyle kanıtlanmış herhangi bir sayıda bağımsız rastgele değişkenin ürünü için geçerlidir.

Tanım 7.4.Belirlemek rastgele değişkenlerin miktarı H. ve Y. rastgele bir değişken olarak X + y., olası değerler her olası değerin toplamlarına eşit olan değerler. H. Mümkün olan her değerle Y.; Bu tür toplamların olasılıkları, terimlerin olasılıklarının çalışmalarına eşittir (bağımlı rastgele değişkenler için - tek başına yalnızlığın koşullu olasılığı üzerinde yalnız başına olasılık).

4) İki rastgele değişkenin (bağımlı veya bağımsız) toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin şartlarının matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

M. (X + Y.) = M. (X.) + M. (Y.). (7.5)

Kanıt.

Tesis 3'ün ispatında verilen dağıtım satırlarının verdiği rastgele değişkenleri tekrar düşüneceğiz. X + Y.hangi h. 1 + w. 1 , h. 1 + w. 2 , h. 2 + w. 1 , h. 2 + w. 2. Sırasıyla onlara olasılığı belirtir r 11 , r 12 , r 21 I. r 22. Bulmak M.(H.+Y.) = (x. 1 + y. 1)p. 11 + (x. 1 + y. 2)p. 12 + (x. 2 + y. 1)p. 21 + (x. 2 + y. 2)p. 22 =

= x. 1 (p. 11 + p. 12) + x. 2 (p. 21 + p. 22) + y. 1 (p. 11 + p. 21) + y. 2 (p. 12 + p. 22).

Bunu kanıtlıyoruz r 11 + r 22 = r bir . Aslında, bu konuda oluşan bir olay X + Y.değer almak h. 1 + w. 1 veya h. 1 + w. 2 ve olasılığı eşit olan r 11 + r 22, olayla çakışıyor, H. = h. 1 (Olasılık - r bir). Benzer şekilde, rıhtım budur p. 21 + p. 22 = r 2 , p. 11 + p. 21 = g. 1 , p. 12 + p. 22 = g. 2. Anlamı

M.(X + Y.) = x. 1 p. 1 + x. 2 p. 2 + y. 1 g. 1 + y. 2 g. 2 = M. (X.) + M. (Y.).

Yorum Yap. Mülkiyet 4'ten, herhangi bir sayıda rastgele değişkenin toplamının bileşenlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşit olduğunu takip eder.

Misal. Beş çalma kemik atarak düşülen puan miktarının matematiksel bir beklentisini bulun.

Bir kemik atarken bırakılan nokta sayısının matematiksel beklentisini bulacağız:

M.(H. 1) \u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Aynı sayı, herhangi bir kemiğe düşen nokta sayısının matematiksel beklentisine eşittir. Sonuç olarak, Mülkiyet 4 tarafından M.(H.)=

Dağılım.

Rastgele bir değişkenin davranışı hakkında bir fikir edinmek için, sadece matematiksel beklentisini bilmek yeterli değildir. İki rastgele değişken düşünün: H. ve Y.formun dağılımı ile belirtilen

H.
R	0,1	0,8	0,1

Y.
P.	0,5	0,5

Bulmak M.(H.) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M.(Y.) \u003d 0? 0,5 \u200b\u200b+ 100? 0.5 \u003d 50. Görüldüğü gibi, her iki değerinin mat matikal beklentileri eşittir, ancak eğer X M.(H.) Bekleyen rastgele değişkeni açıklar, mümkün olan en muhtemel değer (50'den biraz farklı olan diğer değerlerde), ardından değerler Y. esasen yattan M.(Y.). Sonuç olarak, matematiksel beklentiyle birlikte, rastgele varyansın değerinin ondan ne kadar saptığını bilmek arzu edilir. Bu göstergenin özellikleri bir dispersiyon olarak hizmet vermektedir.

Tanım 7.5.Dispersiyon (saçılma)rastgele değişken, matematiksel beklentisinden sapma meydanının matematiksel beklentisi denir:

D.(X.) = M. (X - M.(X.)) ². (7.6)

Rastgele bir değişkenin dağılımını bulun H. (Seçilen standart bölümlerin sayısı) Bu dersin Örnek 1'de. Her birinin, belki de matematiksel beklenti nedeniyle sapma değerlerini hesaplar:

(1 - 2.4) 2 \u003d 1.96; (2 - 2.4) 2 \u003d 0.16; (3 - 2.4) 2 \u003d 0.36. Dolayısıyla

Not 1.Dispersiyonun belirlenmesinde, ortalamadan ve meydanından sapma değildir. Bu, farklı işaretlerin sapmaları birbirlerini telafi etmeleri için yapılır.

Not 2.Dispersiyonun tanımından, bu değerin sadece olumsuz olmayan değerler aldığını takip eder.

Not 3.Adalet, aşağıdaki teoremde kanıtlanmış olan dispersiyonun hesaplanması için daha uygun bir formül vardır:

Teorem 7.1.D.(X.) = M.(X.²) - M.²( X.). (7.7)

Kanıt.

Ne kullanmak M.(H.) - Sürekli değer ve matematiksel beklentilerin özellikleri, formülü (7.6) akla dönüştürüyoruz:

D.(X.) = M.(X - M.(X.))² = M.(X.² - 2. X? M.(X.) + M.²( X.)) = M.(X.²) - 2 M.(X.)?M.(X.) + M.²( X.) =

= M.(X.²) - 2 M.²( X.) + M.²( X.) = M.(X.²) - M.²( X.) kanıtlamak için gerekli olan.

Misal. Rastgele değişkenlerin dağılımını hesaplayın H. ve Y.bu bölümün başında tartışıldı. M.(H.) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M.(Y.) \u003d (0 2? 0,5 \u200b\u200b+ 100²? 0.5) - 50² \u003d 5000 - 2500 \u003d 2500. Yani, ikinci rastgele değişkenin dağılması, birincisinin birkaç bin kat daha fazla dağılmasıdır. Böylece, bu değerlerin dağılımının yasalarını bile bilmemek, bilinen dispersiyon değerlerine göre, bunu iddia edebiliriz. H. için küçük matematik beklentisinden sapma Y. Bu sapma çok önemlidir.

Özellikler Dispersiyon.

1) Kalıcı Dispersiyon Dan sıfıra eşit:

D. (C.) = 0. (7.8)

Kanıt. D.(C.) = M.((SANTİMETRE.(C.))²) = M.((C - C.)²) = M.(0) = 0.

2) Bir dispersiyon işareti için kalıcı bir çarpan yapılabilir, onu bir kareden geçirebilir:

D.(Cx.) = C.² D.(X.). (7.9)

Kanıt. D.(Cx.) = M.((CX - M.(Cx.))²) = M.((Cx - cm.(X.))²) = M.(C.²( X - M.(X.))²) =

= C.² D.(X.).

3) İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının dağılması, dispersiyonlarının miktarına eşittir:

D.(X + Y.) = D.(X.) + D.(Y.). (7.10)

Kanıt. D.(X + Y.) = M.(X.² + 2. Xy. + Y.²) - ( M.(X.) + M.(Y.))² = M.(X.²) + 2 M.(X.)M.(Y.) +

+ M.(Y.²) - M.²( X.) - 2M.(X.)M.(Y.) - M.²( Y.) = (M.(X.²) - M.²( X.)) + (M.(Y.²) - M.²( Y.)) = D.(X.) + D.(Y.).

Corollary 1.Karşılıklı bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının dağılması, dispersiyonlarının miktarına eşittir.

Corollary 2.Sabit ve rastgele değişkenlerin miktarının dağılması, rastgele bir değişkenin dağılımına eşittir.

4) İki bağımsız rastgele değişken farkının dağılması, dağılımlarının toplamına eşittir:

D.(X - Y.) = D.(X.) + D.(Y.). (7.11)

Kanıt. D.(X - Y.) = D.(X.) + D.(-Y.) = D.(X.) + (-1) ² D.(Y.) = D.(X.) + D.(X.).

Dispersiyon, ortalama bir rastgele değişkenin sapmasının ortalama karesini verir; Sapmanın kendisini tahmin etmek, ortalama ikinci dereceden sapma ile denilen değer.

Tanım 7.6.Orta ikinci dereceden sapma Σ rastgele değişken H. Dispersiyondan kare kök denir:

Misal. Önceki örnekte, orta derecede ikinci dereceden sapmalar H. ve Y. buna göre eşit

Değerler.

Rastgele ana sayısal özellikleri

Dağıtım yoğunluğu yasası rastgele bir tutarı karakterize eder. Ama sık sık o bilinmiyor ve daha az bilgi ile sınırlandırılmalıdır. Bazen, rastgele bir değer tarif eden numaraları kullanmak daha da karlıdır. Bu sayılar denir sayısal özellikler rastgele değişken. Bunların ana olduğunu düşünün.

Tanım:M (x) ayrık rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, bu değerin tüm olası değerlerinin olasılıkları üzerindeki çalışmalarının tutarı olarak adlandırılır:

Ayrık bir rastgele değer ise H. sayılabilir bir olası değer seti alır, sonra

Ayrıca, bu seri kesinlikle birleştiğinde matematiksel beklenti var.

Tanımından itibaren M (x)ayrık rastgele değişken rastgele olmayan (sabit) değerdir.

Misal: İzin vermek H. - Olay sayısı FAKAT Bir testte, P (a) \u003d p. Matematiksel bir beklenti bulmak zorundadır H..

Karar:Tablo dağıtım hukuku yapmak H.:

X.	0	1
P.	1 - P.	p.

Matematiksel bir beklenti buluyoruz:

Böylece, bir testteki olay sayısının matematiksel beklentisi bu olayın olasılığına eşittir..

Terimin kaynağı beklenen değer Kullanım alanı kumarla sınırlıyken, olasılık teorisi (XVI-XVIIIV.) Oluşumunun ilk dönemiyle ilişkilidir. Oyuncu, beklenen kazançların ortalama değeri ile ilgilendi, yani. Matematiksel Win için bekliyor.

Düşünmek matematiksel beklentinin olasılıksal anlamı.

Üretilmiş n. Rastgele bir değerde yapılan testler H. Kabul edilen m 1.bir kez değer x 1, m 2. Bir kez değer x 2vb. Ve nihayetinde kabul etti m K. Bir kez değer x K.Dahası m 1 + m2 + ... + + m k \u003d n.

Sonra rastgele bir değişken tarafından kabul edilen tüm değerlerin toplamı H., eşit x 1 m 1 + x 2 m 2 + ... + x k m K..

Rastgele bir değişken tarafından kabul edilen tüm değerlerin aritmetik ortalaması H., eşit olarak:

o zamandan beri - herhangi bir değer için değer sıklığı i \u003d 1, ..., k.

Bildiğiniz gibi, eğer test sayısı n. yeterince büyük, sonra göreceli frekans, bu nedenle olayın olasılığına yaklaşık olarak eşittir, bu nedenle,

Böylece, .

Çıktı: Ayrık bir rasgele değişkenin matematiksel beklenmesi, rasgele değişkenin ortalama aritmetik değerleri gözlemlenen değerleri yaklaşık olarak eşittir (daha kesin, test sayısı ne kadar yüksek olursa).

Matematiksel beklentinin ana özelliklerini düşünün.

Mülk 1: Kalıcı bir değerin matematiksel beklentisi en sabit değere eşittir:

M (c) \u003d S.

Kanıt: Kalıcı Dan olası bir değere sahip olduğu düşünülebilir Dan ve bir olasılıkla alır p \u003d 1. Dolayısıyla M (c) \u003d ile 1 \u003d S.

Belirlemek kesikli bir rastgele miktarda sabit bir değerin ürünü x Kesikli rastgele miktar olarak Sk, olası değerler sabit işlerine eşit olan Dan Olası değerler için H. Sk ilgili olası değerlerin olasılıklarına eşit H.:

Sk	C.	C.	…	C.
H.			…
R			…

Mülkiyet 2: Matematiksel beklentinin bir işareti için kalıcı bir çarpan yapılabilir:

M (cx) \u003d cm (x).

Kanıt:Rastgele bir değere izin ver X. olasılık dağılımının yasasını sordu:

X.			…
P.			…

Rastlus değerinin yanılma kanununa sahibiz Cx.:

Cx	C.	C.	…	C.
P.			…

M (cx) = C. + C. = C. + ) \u003d C. M (x).

Tanım:Bunlardan birinin dağılımının yasası, diğer değerlerin hangi seçeneklerin alındığı seçeneklere bağlı değilse, iki rastgele değişken bağımsız olarak adlandırılır. Aksi takdirde, rastgele değişkenler bağımlıdır.

Tanım:Herhangi bir sayısının dağılımının yasaları, kalan değerlerin olası değerlerinin kabul edildiğine bağlı değilse, karşılıklı olarak bağımsız olarak adlandırılır.

Belirlemek bağımsız ayrık rastgele değişkenlerin üretimi x ve y Kesikli rastgele miktar olarak Xy., olası değerler her olası değerin eserlerine eşit olan değerler. X. Mümkün olan her değer için Y.. Olası değerlerin olasılıkları Xy. faktörlerin olası değerlerinin olasılıklarının eserlerine eşittir.

Rastgele değişkenlerin dağılımını bırakın X. ve Y:

X.			…
P.			…

Y.			…
G.			…

Sonra rastgele değişkenin dağılımı Xy.formu var:

Xy.			…
P.			…

Bazı işler eşit olabilir. Bu durumda, ürünün olası değerinin olasılığı, ilgili olasılıkların toplamına eşittir. Örneğin, \u003d ise \u003d, o zaman değer olasılığı eşittir

Mülkiyet 3: İki bağımsız rastgele değişkenin çalışmasının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin ürününe eşittir:

M (xy) \u003d m (x) M (y).

Kanıt:Bağımsız rastgele değişkenlere izin ver X. ve Y. Olasılık dağıtım yasaları sorulur:

X.
P.

Y.
G.

Hesaplamaları basitleştirmek için kendimizi az sayıda olası değerle sınırlayacağız. Genel olarak, ispat benzerdir.

Rastgele değişkenin dağıtımını yapmak Xy.:

Xy.
P.

M (xy) \u003d

M (x) M (y).

Sonuç: Karşılıklı bağımsız rastgele değişkenlerin çalışmalarının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin ürününe eşittir.

Kanıt: Biz üç karşılıklı bağımsız rastgele değişken için kanıtlıyoruz X., Y., Z.. Rastgele değişkenler Xy.ve Z. Bağımsız, sonra alırız:

M (xyz) \u003d m (xy Z) \u003d m (xy) M (z) \u003d m (x) M (y) M (z).

Keyfi olarak karşılıklı bağımsız rastgele değişken sayısı için, ispat matematiksel indüksiyon yöntemiyle gerçekleştirilir.

Misal:Bağımsız rastgele değişkenler X. ve Y.

X.	5	2
P.	0,6	0,1	0,3

Y.	7	9
G.	0,8	0,2

Gerekli bulundu M (xy).

Karar: Rastgele değişkenler olarak X.ve Y. Bağımsız, T. M (xy) \u003d m (x) M (y) \u003d (5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.

Belirlemek kesikli rastgele değişkenlerin miktarı x ve ykesikli rastgele miktar olarak X + Y., olası değerler her olası değerin toplamlarına eşit olan değerler. X. Mümkün olan her değerle Y.. Olası değerlerin olasılıkları X + Y. Bağımsız rastgele değişkenler için X. ve Y. Şartların olasılıklarının çalışmalarına ve bağımlı rastgele değişkenler için - bir terimin saniyenin koşullu olasılığı üzerinde olasılığı olasılığı.

Eğer \u003d ve bu değerlerin olasılıkları sırasıyla eşittir, daha sonra olasılık (aynı şekilde) eşittir.

Mülkiyet 4: İki rastgele değişkenin (bağımlı veya bağımsız) toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

M (x + y) \u003d m (x) + m (y).

Kanıt: İki rastgele değişken bırak X. ve Y. aşağıdaki dağıtım yasaları tarafından belirtilenler:

X.
P.

Y.
G.

Çıktıyı basitleştirmek için, değerlerin her birinin olası iki değerine sınırlandırın. Genel olarak, ispat benzerdir.

Rastgele varyansın olası tüm değerlerini yapın X + Y. (Basitlik için, bu değerler farklıdır; değilse, kanıt benzer şekilde gerçekleştirilir):

X + Y.
P.

Bu değerin matematiksel bir beklentisini bulun.

M.(X + Y.) = + + + +

Bunu kanıtladık + \u003d.

Etkinlik X \u003d. (onun olasılığı P (x \u003d ) rastgele bir değerden oluşan bir olayı gerektirir X + Y. Bir değer alır ya da (bu olayın, ekleme teoremi, eşittir) ve geri alınacaktır. O zaman \u003d.

Benzer şekilde kanıtlanmış eşitlik \u003d \u003d \u003d \u003d

Bu eşitliklerin doğru kısımlarını matematiksel beklentiler için elde edilen formülde ikame etmek, elde ettik:

M (x + y) \u003d + ) \u003d M (x) + m (y).

Sonuç: Birkaç rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

Kanıt: Üç rastgele değişken için kanıtlıyoruz X., Y., Z.. Rastgele değişkenlerin matematiksel beklentisini buluyoruz X + Y.ve Z.:

M (x + y + z) \u003d m ((x + y) Z) \u003d m (x + y) M (z) \u003d m (x) + m (y) + m (z)

Rastgele rastgele değişken sayısı için, ispat matematiksel indüksiyon yöntemiyle gerçekleştirilir.

Misal:İki çalma kemik atarken düşebilecek nokta sayısının ortalama değerini bulun.

Karar:İzin vermek X. - İlk kemiğe düşebilecek nokta sayısı, Y. - ikincisinde. Açıkçası, rastgele değişkenler X.ve Y. Aynı dağılıma sahip. Bu dağılımları yazıyoruz X.ve Y. Bir tabloda:

X.	1	2	3	4	5	6
Y.	1	2	3	4	5	6
P.	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

M (x) \u003d m (y) (1+2+3+4+5+6) = =

M (x + y) \u003d 7.

Öyleyse, iki çalma kemikleri atarken düşebilecek nokta sayısının ortalama değeri eşittir 7 .

Teorem: M (x) Matematiksel Beklentiği N (N) A'daki olayın görünüşlerinin sayısı, her testte bir olayın olasılığındaki test sayısının ürününe eşittir: m (x) \u003d np.

Kanıt: İzin vermek X. - Olay sayısı A. içinde n. Bağımsız testler. Açıkçası, toplam sayı X. Olay görünüşü A. Bu testlerde, bireysel testlerde olayların sayısından oluşur. Ardından, ilk testteki olayların sayısı, ikincisinde, sonunda, sonunda olayların sayısı n.-ful takımlar, toplam olay sayısı formül tarafından belirir:

Tarafından mülkiyet 4 Matematiksel Beklenti Sahibiz:

M (x) \u003d m ( ) + ... + m ( ).

Bir testteki olay sayısının matematiksel beklentisi, bir etkinliğin olasılığına eşittir, o zaman

M ( ) \u003d M ( ) \u003d ... \u003d m ( ) \u003d s.

Dolayısıyla M (x) \u003d np.

Misal:Silahtan çekim yaparken hedefi vurma olasılığı eşittir p \u003d 0.6. Üretilirse ortalama isabet sayısını bulun 10 Çekim.

Karar: Her çekimde, diğer çekimlerin sonuçlarına bağlı değildir, bu nedenle dikkate alınan olaylar bağımsızdır ve bu nedenle istenen matematik beklentisi:

M (x) \u003d np \u003d 10 0,6 = 6.

Böylece, ortalama isabet sayısı 6'dır.

Şimdi sürekli rasgele bir değişkenin matematiksel beklentisini düşünün.

Tanım:Sürekli rasgele bir değişkenin matematiksel beklentisi, olası değerlerin segmentine ait, Belirli bir ayrım denir:

f (x) olasılık dağılımının yoğunluğu olduğu yer.

Sürekli rasgele değişkenin olası değerleri, tüm öküz eksenine aitse, o zaman

Bu gelen integralin kesinlikle birleştiği varsayılmaktadır, yani. Ayrılmaz birleşir Bu gereklilik memnun değilse, integralin değeri, arzunun hızına (ayrı olarak) alt limitin -∞, üst sınırın K + ∞'dır.

Bunu kanıtlayabilirsin ayrık bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisinin tüm özellikleri, sürekli rasgele bir değişken için korunur.. Kanıt, belirli ve uygunsuz integrallerin özelliklerine dayanır.

Açıkçası, gösterge M (x)rastgele değişkenin mümkün olan en büyük değerlerinden daha küçük ve daha az X.. Şunlar. Sayısal eksende, rastgele varyansın olası değerleri solda ve matematiksel beklentisinin sağında bulunur. Bu anlamda, matematiksel beklenti M (x)dağıtımın yerini karakterize eder ve bu nedenle genellikle denir dağıtım merkezi.

1. Kalıcı bir değerin matematiksel beklentisi en sabit olana eşittir M (c) \u003d ile .
2. Matematiksel beklentinin bir işareti için sabit bir çarpan yapılabilir: M (cx) \u003d cm (x)
3. İki bağımsız rastgele değişkenin çalışmasının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin ürününe eşittir: M (xy) \u003d m (x) m (y).
4. İki rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: M (x + y) \u003d m (x) + m (y).

Teorem. M (x) Matematiksel beklentisi, olayların sayısı ve N bağımsız testlerde, her testte olayların olasılığındaki bu testlerin ürününe eşittir: m (x) \u003d np.

İzin vermek H. - Rastgele değer ve M (x) - Matematiksel beklentisi. Yeni rasgele bir değişken olarak düşünün X - m (x).

Sapma, rastgele değişken ile matematiksel beklentisi arasındaki fark denir.

Sapma aşağıdaki dağıtım hukukuna sahiptir:

Çözüm: Matematiksel bir beklenti bul:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

Kare sapmanın yasa dağılımını yazacağız:

Çözüm: Matematiksel bir beklentiyi bulun M (x): m (x) \u003d 2 0.1 + 3 0.6 + 5 0.3 \u003d 3.5

Yasası dağıtımı rastgele x 2

X 2
P.	0.1	0.6	0.3

Matematiksel beklentiyi buluruz M (x 2): m (x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

İstenilen dispersiyon D (x) \u003d m (x 2) - 2 \u003d 13.3- (3.5) 2 \u003d 1.05

Dispersiyon özellikleri:

1. Sabit boyutun dağılması Dan sıfıra eşit: D (c) \u003d 0
2. Bir dispersiyon işareti için sabit bir çarpan yapılabilir, bir kareye yerleştirilebilir. D (CX) \u003d C 2 D (x)
3. Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının dağılması, bu değerlerin dispersiyonlarının miktarına eşittir. D (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d D (x 1) + D (x 2) + ... + d (x n)
4. Binom dağılımının dağılması, bir testte olayın görünüşü ve hatası olasılığındaki test sayısının ürününe eşittir. D (x) \u003d NPQ

Rasgele değişkenin olası değerlerinin olası değerlerinin ortalama değeri etrafında dağılımını tahmin etmek için, dispersiyona ek olarak, diğer bazı özellikler de servis edilir. Bunlar, ortalama ikinci dereceden sapmayı içerir.

Orta derecede ikinci dereceden rastgele değişkenin sapması H. Dispersiyondan karekök çağırın:

Σ (x) \u003d √d (x) (4)

Misal. Rastgele Değer X Set Dağıtım Kanunu

X.
P.	0.1	0.4	0.5

Orta bir ikinci dereceden sapma bul Σ (x)

Çözüm: Matematiksel bir beklenti bul x: m (x) \u003d 2 0.1 + 3 0.4 + 10 0.5 \u003d 6.4
Matematiksel beklentiyi buluruz x 2: m (x 2) \u003d 2 2 0.1 + 3 2 0.4 + 10 2 0.5 \u003d 54
Dispersiyon bul: D (x) \u003d m (x 2) \u003d m (x 2) - 2 \u003d 54-6.4 2 \u003d 13.04
İstenilen ikincil ikinci dereceden sapma Σ (x) \u003d √D (x) \u003d √13.04≈3.61

Teorem. Karşılıklı bağımsız rastgele değişkenlerin son sayısının miktarının ortalama ikinci dereceden sapması, bu miktarların ortalama ikinci dereceden sapmalarının karelerinin toplamından eşit olarak kare köktür:

Misal. 6 kitap rafında matematikte 3 kitap ve fizikte 3. Bir sürü üç kitap seçin. Seçilen kitaplar arasında matematikte kitap sayısının dağıtım yasasını bulun. Bu rastgele değişkenin matematiksel bir beklentisini ve dağılmasını bulun.

D (x) \u003d m (x 2) - m (x) 2 \u003d 2.7 - 1.5 2 \u003d 0.45

Matematiksel beklenti, rastgele varyans olasılıklarının dağılımıdır.

Matematiksel beklenti, tanımı, tanımı, ayrık ve sürekli rastgele değişkenlerin tanımı, matematiksel beklentisi, seçici, koşullu eşleştirme, hesaplama, özellikler, görevler, kibrit yapımcıları değerlendirilmesi, dispersiyon, dağıtım fonksiyonu, formül, hesaplama örnekleri

İçeriği dağıtın

İçeriği daralt

Matematiksel beklenti bir tanımdır

Matematiksel istatistiklerdeki en önemli kavramlardan biri ve rastgele bir değişkenin değerlerinin veya olasılıklarının dağılımını karakterize eden olasılıkların teorisi. Genellikle olası rastgele varyans parametrelerinin ağırlıklı ortalama değeri olarak ifade edilir. Teknik analiz, sayısal satırların bir çalışmasında, sürekli ve uzun vadeli süreçleri incelemesinde yaygın olarak kullanılır. Finansal piyasalarda ticarette fiyat göstergelerini öngören risklerin değerlendirilmesinde önemlidir, kumar teorisinde oyun taktiklerinin stratejilerinin ve yöntemlerinin geliştirilmesinde kullanılır.

Matematiksel beklentirastgele bir değişkenin ortalama değeri, rastgele bir değişkenin olasılıklarının dağılımı olasılık teorisinde göz önünde bulundurulur.

Matematiksel beklentiolasılık teorisinde rastgele değişkenin ortalama değerinin ölçüsü. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi x. ifade etmek M (x).

Matematiksel beklenti

Matematiksel beklenti Olasılık teorisinde, bu rasgele değerin alabileceği tüm olası değerlerin ağırlıklı ortalama değeri.

Matematiksel beklentibu değerlerin olasılığına dair rastgele varyansın tüm olası değerlerinin çalışmalarının miktarı.

Matematiksel beklenti Böyle bir çözümün, bu tür bir çözümün, büyük sayıların teorisi ve uzun bir mesafe çerçevesinde göz önünde bulundurulması şartıyla, bir veya başka bir çözümden ortalama fayda sağlar.

Matematiksel beklentikumar teorisinde, bir oyuncuyu kazanabilecek veya kaybedebilen kazanç miktarı, ortalama olarak, her oranda. Kumar oynatıcıları dilinde, bu bazen "oynatıcının avantajı" (eğer oyuncu için pozitifse) veya "kumarhanenin avantajı" (oyuncu için olumsuz ise) olarak adlandırılır.

Matematiksel beklenti Kazançalardaki kâr yüzdesi ortalama karla çarpılır, eksi bir kayıp olasılığı ortalama kayıpla çarpılır.

Matematiksel teoride rastgele değişkenin matematiksel beklentisi

Rastgele bir değişkenin önemli sayısal özelliklerinden biri matematiksel bir beklentidir. Rastgele değişkenlerin bir sistemi kavramını tanıtıyoruz. Aynı rastgele deneyin sonuçları olan rastgele değişkenlerin bir kombinasyonunu düşünün. Eğer - olası sistem değerlerinden biri ise, olay Kolmogorov'un aksiyomlarını karşılayan belirli bir olasılığa karşılık gelir. Rastgele değişkenlerin olası herhangi bir değerlerinde tanımlanan fonksiyon, ortak dağıtım hukuku olarak adlandırılır. Bu özellik, herhangi bir etkinliğin olasılığını hesaplamanızı sağlar. Özellikle, rastgele değişkenlerin dağılımının ortak yasası ve setten değer alan ve olasılıklar tarafından verilmiştir.

"Matematiksel beklenti" terimi Pierre Simon Marquis de Laplas (1795) tarafından tanıtıldı ve ilk önce 17. yüzyılda Blaise Pascal eserlerinde kumar teorisinde ilk kez ortaya çıkan "Winnings'in beklenen değeri" kavramından oluşuyordu. ve Christian Guygens. Bununla birlikte, bu konseptin ilk teorik anlayışı ve değerlendirilmesi, Lvivich Chebyshev'in (19. yüzyılın ortalarının ortasında) Paphing Lvivich Chebyshev tarafından verilmektedir.

Rastgele sayısal değerlerin dağılımı yasası (dağıtım fonksiyonu ve dağıtım aralığı veya olasılık yoğunluğu) rastgele bir değerin davranışını tam olarak tanımlamaktadır. Ancak bir takım görevlerde, atanmış soruya cevap vermek için çalışma altındaki değerin (örneğin, ortalama değeri ve ondan olası sapması) bazı sayısal özelliklerini bilmek yeterlidir. Rastgele değişkenlerin ana sayısal özellikleri matematiksel beklenti, dispersiyon, mod ve medyandır.

Ayrık rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, olası değerlerinin bunlara karşılık gelen olasılığa kadar olan ürünlerin miktarıdır. Bazen matematiksel beklenti, ağırlıklı bir ortalama olarak adlandırılır, çünkü rastgele değişkenin ortalama aritmetik gözlemlenen değerlerine kadar çok sayıda deney ile görülür. Matematiksel beklentinin belirlenmesinden, değerinin rastgele değişkenin en küçük değerinden daha az olmadığı ve en büyükten daha fazla olmadığını izler. Rasgele bir değişkenin matematiksel beklentisi rastgele olmayan (sabit) değerdir.

Matematiksel beklentinin basit bir fiziksel anlamı vardır: düz bir çizgide tek bir kütle varsa, bir miktar kütle (ayrık dağıtım için) veya "tamamen sürekli dağıtım için)" katlanır ", matematiksel olan nokta Beklenti "Ağırlık Merkezi" koordinatı olacaktır.

Rastgele varyansın ortalama değeri, "temsilcisi" gibi görünen ve kabaca yaklaşık hesaplamalarla değiştiren bir sayıdır. Söylediğimizde: "Ortalama lamba işlemi saat 100'dür" veya "ortalama temas noktası, hedefe göre 2 m'ye kadar kaydırılır," Bunu, konumunu tanımlayan rastgele bir değişkenin belirli bir sayısal özelliğini gösteririz. Sayısal eksende, yani "Durumun özelliği."

Olasılık teorisindeki pozisyonun özelliklerinden, rastgele bir değişkenli çalışmanın matematiksel beklentisi, bazen sadece rasgele bir değişkenin ortalama değerini adlandırılır.

Rastgele bir miktar düşünün H.olası değerlere sahip olmak x1, X2, ..., XN Olasılıkla p1, P2, ..., Pn. Bu değerlerin farklı olasılıkları olduğu gerçeğini göz önünde bulundurarak, abscissa eksenindeki rastgele değişkenin değerlerinin bazı numaralarını karakterize etmemiz gerekir. Bu amaçla, "ortalama ağırlıklı" olarak adlandırılan değerlerden kullanmak doğaldır. xiAyrıca, ortalama olan her XI değeri, bu değerin olasılığı ile orantılı "ağırlık" ile dikkate alınmalıdır. Böylece, ortalama rastgele değişkeni hesaplıyoruz X.Biz belirtiriz M | x |:

Bu ikincil bir değerdir ve rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi denir. Böylece, olasılık teorisinin en önemli kavramlarından biri, matematiksel beklenti konseptidir. Rastgele çeşitliliğin matematiksel beklentisi, bu değerlerin olasılığına ilişkin tüm olası rastgele varyans değerlerinin ürünleri olarak adlandırılır.

H. Çok sayıda deney ile rastgele bir değişkenin ortalama aritmetik değerlerine sahip tuhaf bir bağımlılıkla ilişkilidir. Bu, aynı türün, frekans ve olasılık arasındaki ilişki ile, yani çok sayıda deney ile, çok sayıda deney ile, ortalama aritmetik, ortalama aritmetik yaklaşımın (olasılıkta yakınlar) matematiksel beklentisine gözlemlenmiştir. Frekans ve olasılık arasındaki iletişimin varlığından, ortalama aritmetik ve matematiksel beklenti arasında benzer bir bağlantının varlığının bir sonucu olarak türetilebilir. Nitekim, rastgele bir miktar düşünün H.bir dizi dağıtım ile karakterize edilir:

Üretilmesine izin ver N. her birinin miktarında bağımsız deneyler X.belirli bir değer alır. Bu değeri varsayalım x1.ortaya çıktı m1.zaman, anlam x2ortaya çıktı m2.bir kez, genel değer ximI bir kez ortaya çıktı. Matematiksel beklentinin aksine, X miktarının ortalama aritmetik gözlemlenen değerlerini hesaplayın. M | x |biz belirtiriz M * | x \u200b\u200b|:

Deney sayısında bir artışla N.sıklık piuygun olasılıklara yaklaşılacak (olasılıkta birleşecek). Bu nedenle, rastgele değişkenin ortalama aritmetik değerleri gözlendi M | x | Deney sayısında bir artışla, matematiksel beklentisine yaklaşır (olasılıkta yakın). Ortalama aritmetik ve matematiksel beklenti arasındaki yukarıdaki ilişki, büyük sayıların yasalarından birinin içeriğidir.

BÜYÜK NUMARALAR HUKUKUNUNUN KUTUSUNUNUN BÜTÜNLERİNİNİ BİLİYORUZ. Burada, ortalama aritmetiklerin aynı değerdeki gözlemlerden istikrarından bahsediyoruz. Az sayıda deney ile, sonuçlarının aritmetik ortalaması rastgele; Deney sayısında yeterli bir artışla, "neredeyse hiç kaza yok" haline gelir ve dengeleme, sürekli bir değere yaklaşıyor - matematiksel beklenti.

Ortalamanın sürdürülebilirliğinin çok sayıda deney ile özelliği deneysel olarak kontrol etmek kolaydır. Örneğin, laboratuvardaki herhangi bir gövdeyi tam ölçeklerde tartarken, her seferinde ağırlığın bir sonucu olarak yeni değeri elde ediyoruz; Gözlem hatasını azaltmak için vücudu birkaç kez tartıyoruz ve ortalama aritmetik değerleri kullanıyoruz. Deney sayısındaki (tartım) daha fazla artışla, ortalama aritmetik reaksiyonların bu artışa göre daha az ve daha az olduğu ve yeterince çok sayıda deney ile değiştiğinden emin olmak kolaydır.

Rastgele değişkenin konumunun en önemli özelliğinin matematiksel bir beklenti olduğu belirtilmelidir - tüm rastgele değişkenler için yoktur. Matematiksel beklentinin mevcut olmayan bu tür rasgele değişkenlerin örneklerini oluşturabilirsiniz, çünkü karşılık gelen tutar veya ayrılmaz bir şekilde yönlendirilir. Ancak, bu gibi durumlar pratik için anlamlı değildir. Genellikle, olası değerlerin sınırlı bir alanı ile uğraştığımız rastgele değişkenler ve tabii ki matematiksel beklentilere sahip.

Rasgele değişkenin pozisyonunun özelliklerinin en önemlilerine ek olarak, matematiksel beklenti, pratikte bazen pozisyonun diğer özellikleri, özellikle de rastgele bir değişkenin moda ve medyan da uygulanır.

Rastgele değişkenin modası en muhtemel değeri olarak adlandırılır. Kesinlikle konuşulan "en muhtemel değer" terimi, yalnızca kesilmiş değerler için geçerlidir; Modanın sürekli büyüklüğü için, olasılık yoğunluğunun maksimum olduğu değer. Rakamlar, modayı sırasıyla, aralıklı ve sürekli rastgele değişkenler için göstermektedir.

Dağıtım poligonu (dağılım eğrisi) birden fazla olduğunda, dağılımın "polimodal" olarak adlandırılır.

Bazen ortada bir maksimum ve minima olmayan dağılımlar var. Bu tür dağılımlar "antimodal" denir.

Genel olarak, rastgele varyansın moda ve matematiksel beklentisi çakışmaz. Özel durumda, dağılım simetrik ve modal (yani, bir moda vardır) ve matematiksel bir beklenti var, moda ve dağıtım simetri merkeziyle çakışıyor.

Genellikle başka bir pozisyon karakteristiği kullanılır - rastgele bir çeşitlilik medyanı. Bu özellik genellikle yalnızca sürekli rastgele değişkenler için kullanılır, ancak aralıklı olarak değerler için tanımlamak mümkün olsa da. Geometrik olarak ortanca, alanın sınırlı dağılım eğrisinin yarıya bölündüğü noktanın abscısasıdır.

Simetrik bir modal dağılım durumunda, medyan matematiksel beklenti ve moda ile çakışıyor.

Matematiksel beklenti, ortalama bir değer, rastgele değişkendir - rastgele değişkenin olasılık dağılımının sayısal özelliğidir. Rastgele bir değişkenin en yaygın matematiksel beklentisi X (w) Lebek, olasılıkla ilgili olarak integral olarak belirlenir Rİlk olasılıksal alanda:

Matematiksel beklenti hesaplanabilir ve bir Lebesgue entegral olarak h.olasılıkların dağılımı ile rhdeğerler X.:

Doğal olarak, sonsuz bir matematik beklentisi ile rastgele bir değişken kavramını belirlemek mümkündür. Tipik bir örnek, bazı rastgele dolaşımlarda iade süresidir.

Matematiksel beklentilerin yardımı ile, dağılımın birçok sayısal ve fonksiyonel özellikleri belirlenir (ilgili fonksiyonlar için ilgili fonksiyonlar için bir matematiksel bekleme olarak), örneğin bir fonksiyon, karakteristik bir işlev, herhangi bir siparişin anları, özellikle de Dispersiyon, kovaryans.

Matematiksel bekleme, rastgele değerlerin konumunun (dağılımının ortalama değeri) özelliğidir. Bu kapasitede, matematiksel egzersiz, "tipik" bir dağıtım parametresidir ve rolü statik bir anın rolüne benzer - mekanik olarak kütle dağılımının ağırlık merkezinin koordinatları. Konumun diğer özelliklerinden, dağılımın genel anlamda açıklandığı, medyan, mod, matematiksel beklentinin, olasılık teorisinin limit teoremlerinin sınırında dağılmasının en büyük değeridir - olasılık teorisinin sınırında . En büyük bütünlük ile matematiksel beklentinin anlamı, büyük sayıların (Chebyshev eşitsizliği) ve gelişmiş büyük sayıların kanunu ile ortaya çıkar.

Ayrık rastgele değişkenin matematiksel beklentisi

Birkaç sayısal değerden birini alabilen rasgele bir değer olmasına izin verin (örneğin, bir kemik atarken nokta sayısı 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 olabilir). Genellikle, soru böyle bir büyüklük için pratikte ortaya çıkar: Çok sayıda testte "ortalama" ne olur? Riskli operasyonların her birinden ortalama gelirimiz (veya zararımız) ne olacak?

Diyelim ki, bir tür piyango var. Anlamak istiyoruz, avantajlı ya da ona katılmamak (hatta tekrar tekrar, düzenli olarak katılmak). Her dördüncü biletin kazandığını varsayalım, ödül 300 ruble olacak ve herhangi bir biletin fiyatı 100 ruble. Sonsuz sayıda katılım sayesinde, ortaya çıktı. Üç çeyrek olarak kaybedeceğiz, her üç kayıp 300 ruble mal olacak. Her dördüncü durumda, 200 ruble kazanacağız. (Bir ödül eksi maliyeti), yani dört katılımdayız, ortalama 100 ruble kaybediyoruz, ortalama 25 ruble. Toplam ortalama kalıntılarımızın oranları 25 ruble / bilet olacaktır.

Bir oyun kemiği atıyoruz. Ölçekleme değilse (yerçekimi merkezini vb. Değiştirmeden vb.), Hepimizin bir seferde gözlük ne kadar olacak? Her bir varyant eşit şekilde tasarlandığından, aptalca aritmetik alıyoruz ve 3.5 yaşındayız. Ortalama olduğundan, 3.5 puanın belirli bir atışın vermeyeceğine dair öfkeye gerek yoktur - iyi, bu küp için böyle bir sayı ile yer yoktur!

Şimdi örneklerimizi genelleştiriyoruz:

Sadece gösterilen resme çevirin. Rastgele değişkenin sol dağıtım plakasında. X değeri, n Muhtemel değerlerden birini alabilir (üst satırda verilmiştir). Başka hiçbir değer olmayabilir. Her olası değer altında, olasılığı aşağıda imzalanır. Doğru, m (x) matematiksel beklenti olarak adlandırıldığı bir formüldür. Bu büyüklüğün anlamı, çok sayıda testte (büyük bir örneğe sahip), ortalama değer bu çok matematiksel beklenti için çaba gösterecektir.

Aynı oynak Küba'ya tekrar dönelim. Atma sırasında puan miktarının matematiksel beklentisi 3.5 (inanmazsanız, formüle göre kendilerini sayın). Diyelim ki birkaç kez attın. 4 ve 6 düştü. Ortalama olarak, bu, 3,5'ten uzakta oldu. Başka bir zaman attı, 3 düştü, yani ortalama (4 + 6 + 3) / 3 \u003d 4,3333 ... bir şekilde matematiksel beklentisinden uzak. Şimdi çılgın bir deney geçirin - 1000 kez bir küp atın! Ve ortalama olarak ve tam olarak 3,5 yaşındaysa, buna yakın olacaktır.

Yukarıda tarif edilen piyango için matematiksel beklentiyi hesaplıyoruz. İşaret şöyle görünecek:

O zaman matematiksel beklenti yukarıda belirttiğimiz gibi olacak.:

Başka bir şey de, "parmaklarda", bir formül olmadan, daha fazla seçenek olsaydı zor olur. Şey, diyelim ki, kayıp biletlerin% 75'i, kazanan biletlerin% 20'si ve özellikle avantajlı% 5'inde olacak.

Şimdi bazı matematiksel beklentilerin özellikleri.

Sadece kanıtlayın:

Kalıcı bir çarpanın, matematiksel beklentinin bir işareti için yapılmasına izin verilir:

Bu, matematiksel beklenti sınırının özelliklerinin özel bir durumudur.

Matematiksel beklentinin doğrusallığının diğer sonucu:

yani, rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, rastgele değişkenlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

X, y bağımsız rastgele değişkenler olsun, sonra:

Aynı zamanda kanıtlamak kolaydır) Xy. kendisi rastgele bir miktardır, ilk değerler alabilir n.ve m.sırasıyla değerler, sonra Xy.nm değerleri alabilir. Değerlerin her birinin olasılığı, bağımsız olayların olasılıklarının değişken olduğu gerçeğine dayanarak hesaplanır. Sonunda bunu alıyoruz:

Sürekli rasgele değişkenin matematiksel beklentisi

Sürekli rastgele değişkenlerde, dağıtım yoğunluğu (olasılık yoğunluğu) kadar böyle bir karakteristik vardır. Özünde, çeşitli geçerli numaralardan bazı değerlerin rastgele değerinden gelen bazı değerlerin daha az sıklıkla daha az olduğu durumunu karakterize eder. Örneğin, bu programı göz önünde bulundurun:

Buraya X.- Aslında rastgele değişken, f (x)- Dağıtım yoğunluğu. Bu programa göre yargılama, deneyler değeri ile X.genellikle sıfıra yakın bir sayı olacaktır. Aşılması gereken şanslar 3 veya daha az olmak -3 aksine, saf teorik.

Örneğin, düzgün bir dağılım var:

Bu tamamen sezgisel bir anlayışa karşılık gelir. Örneğin, üniform bir dağılıma sahip olursak, segmentin her biri |0; 1| , Aritmetik ortalama yaklaşık 0.5 olmalıdır.

Matematiksel beklentinin özellikleri, burada geçerli olan rastgele değişkenlere uygulanabilir, doğrusallık vb .dir.

Matematiksel beklentinin diğer istatistiksel göstergelerle ilişkisi

İstatistiksel analizde, matematiksel bir beklentiyle birlikte, fenomenlerin homojenliğini ve süreçlerin stabilitesini yansıtan birbirine bağımlı gösterge sistemi vardır. Genellikle, varyasyonun göstergelerinin bağımsız bir anlamı yoktur ve verileri daha da analiz etmek için kullanılır. İstisna, değerli bir istatistiksel özellik olan verilerin homojenliğini karakterize eden varyasyon katsayısıdır.

İstatistik bilimteki süreçlerin değişkenlik derecesi veya istikrarı, birkaç gösterge kullanılarak ölçülebilir.

Rasgele bir değişkenin değişkenliğini karakterize eden en önemli gösterge DağılımMatematiksel beklentiyle en yakın ve doğrudan ile ilgilidir. Bu parametre, diğer istatistiksel analiz türlerinde aktif olarak kullanılır (hipotezler, nedensel ilişkilerin analizi vb.). Ortalama doğrusal sapma gibi, dispersiyon ayrıca, ortalama değer çevresindeki veri dağılımının ölçülmesini de yansıtır.

İşaretlerin dili, kelimelerin diline çevirmek için kullanışlıdır. Dispersiyonun sapmaların orta karesi olduğu ortaya çıktı. Yani, ilk önce ortalama değer hesaplanır, daha sonra her kaynak ve ortalama değer arasında fark, bir kareye dikilir, ayrıca bu setteki değer sayısına da ayrılır. Bireysel değer ve ortalama arasındaki fark sapma ölçüsünü yansıtır. Meydan, tüm sapmaların son derece pozitif sayılar olmasını ve bunları özetleyerek pozitif ve olumsuz sapmaları birbirine bağlamaktan kaçınmak için üretilmiştir. Ardından, sapma karelerine sahip olmak, ortalama aritmetikleri hesaplarız. Orta kare - sapmalar. Sapmalar karelerde yükseltilir ve ortalama olarak kabul edilir. "Dispersiyon" sihirli kelimenin etkisi üç kelimeyle yatıyor.

Bununla birlikte, ortalama aritmetik veya endeks gibi saf formunda, dispersiyon kullanılmaz. Diğer istatistiksel analiz türleri için kullanılan yardımcı ve ara göstergedir. Normal birimi bile yok. Formül ile değerlendirme, bu, kaynak verilerin ölçüm biriminin karesidir.

Rastgele değişkeni ölçelim N.Örneğin, rüzgar hızını ölçüyoruz ve ortalama değeri bulmak istiyoruz. Dağıtım fonksiyonu ile ortalama değer nasıl?

Ya da bir oyun küpü çok sayıda kez atacağız. Küpe her atışta düşen nokta sayısı rasgele bir değerdir ve 1 ila 6 arasında herhangi bir doğal değerleri alabilir. Küpün tüm oyuncuları için sayılan ortalama aritmetikmetikmetik noktaları da rastgele bir değişkendir, ancak büyük N.tamamen beton bir sayıya bakıyor - matematiksel beklenti Mx.. Bu durumda, MX \u003d 3.5.

Bu değer nasıl çıktı? Bıkmak N.testler n1.bir keresinde 1 puan düştü, n2.bir kez - 2 puan vb. Sonra bir noktanın düştüğü sonuç sayısı:

Benzer şekilde, sonuçlar için, 2, 3, 4, 5 ve 6 puan düştüğünde düştü.

Şimdi X'in rastgele değerinin dağılımını bildiğimizin, yani X'in rastgele değerinin X1, X2, ..., P1, P2, XK değerlerini alabileceğini biliyoruz. , Pk.

Matematiksel Beklenti MX Rastgele Varyans X:

Matematiksel beklenti, her zaman rastgele çeşitlilikte makul bir değerlendirme değildir. Bu nedenle, ortalama ücretini tahmin etmek için, medyan kavramını kullanmak daha makul, yani ortanca, maaş ve büyükten daha az alan insan sayısının, yani, daha az olan bir değer.

P1 olasılık olasılığı, rastgele değişkenin X1 / 2'den az olmasıdır ve P2'nin olasılığı, X'in rastgele değerinin x1 / 2'den büyük olması ve 1/2'ye eşit olmasıdır. Ortanca, tüm dağılımlar için benzersiz bir şekilde tanımlanır.

Standart veya standart sapma İstatistikte, gözlem verilerinin sapma derecesi veya ortalama değerden gelen kümeler denir. S veya S harflerle gösterilir. Küçük bir standart sapma, verilerin ortalama değerin etrafında gruplandırıldığını ve önemli - ilk verilerin ondan uzakta bulunduğunu gösterir. Standart sapma, dispersiyon denilen büyüklüğün kareköküne eşittir. Ortalama değerden sapan ilk veri farklarının toplamının ortalama sayısıdır. Rasgele değişkenin standart sapması, dağılımdan kök karesi olarak adlandırılır:

Misal. Bir hedef çekerken test koşulları altında, rastgele değişkenin dağılımını ve riconductic sapmasını hesaplayın:

varyasyon- Salınım, agrega biriminde bir işaretin işaretinin değişkenliği. Agrega'da bulunan özelliğin ayrı sayısal değerleri varyant denir. Agrega'nın tam özellikleri için ortalama değerin yetersizliği, çalışılan işaretin değişen (varyasyonlarını) ölçerek, bu ortalamanın tipikliğini tahmin etmemize izin veren göstergelerin ortalama değerlerini desteklemektedir. Varyasyon katsayısı formül tarafından hesaplanır:

Varyasyon varyasyonu (R) Ortak toplamdaki özelliğin maksimum ve minimum değerleri arasındaki farkı temsil eder. Bu gösterge, yalnızca seçeneklerin sınır değerleri arasında farkı gösterdiği için, çalışılan özniteliğin bölümlerinin en yaygın fikrini verir. Özelliğin aşırı değerlerine olan bağımlılık, varyasyonun kapsamını dengesiz, rastgele karakterdir.

Orta doğrusal sapmaanaliz edilen toplamın tüm değerlerinin, ortalama boyutlarından tüm değerlerinin mutlak (modül) sapmalarının aritmetik ortalamasıdır:

Kumar Teorisinde Matematiksel Beklenti

Matematiksel beklentibir oyuncunun kumar oynayan ortalama para bu oranda kazanabilir veya kaybedebilir. Bu bir oyuncu için çok önemli bir kavramdır, çünkü oyun durumlarının çoğunluğunu değerlendirmek temeldir. Matematiksel beklenti ayrıca ana kart düzenlerini analiz etmek ve oyun durumlarını analiz etmek için en uygun bir araçtır.

Diyelim ki, her ne zaman düşeceğine bakılmaksızın, 1 dolara bir bahis yaparken, bir jetonda bir arkadaşla oynadığınızı varsayalım. Acele - kazandın, kartal - kayboldu. Rush'un birine birine düşeceğinin şansı ve 1 ila 1 dolara bahis oynarsınız. Böylece, matematiksel beklenti sıfırdır, çünkü Matematik açısından, iki çekimden sonra veya 200'den sonra davranacağınızı veya oynayacağınızı bilemezsiniz.

Saatiniz kazanın sıfır. Saat kazancı, bir saat içinde kazanmayı beklediğiniz para miktarıdır. Bir saat içinde 500 kez para fırlatabilirsiniz, ancak kazanmayacak ve kaybetmeyeceksiniz, çünkü Şansınız pozitif değil ne de olumsuz. Bakarsanız, ciddi bir oyuncu bakış açısından böyle bir bahis sistemi. Ancak bu sadece bir zaman kaybıdır.

Fakat birinin aynı oyunda 1 $ 'a karşı 2 dolar koymak istediğini varsayalım. O zaman hemen her bahisden 50 sentte olumlu bir eşleştiriciniz var. Neden 50 kuruş? Ortalama olarak, bir bahis kazandınız, ikinci kaybediyor. Birinci doları koyun - 1 $ kaybedin, ikinciyi takın - 2 $ kazanın. İki kez 1 $ bahis yaptın ve 1 dolar için devam ettin. Böylece, tek dolarlık bahislerinizin her biri size 50 kuruş verdi.

Bir saatte para 500 kez düşerse, saat kazancınız zaten 250 $ olacaktır, çünkü Ortalama olarak, 250 kez bir dolar kaybettiniz ve 250 kez iki dolar kazandınız. 500 $ eksi 250 $ 250 $ 250, bu da toplam galibiyettir. Lütfen aynı oranda kazandığınız tutar olan eşleştiricinin 50 kuruşa eşit olduğunu unutmayın. 250 dolar kazandınız, 500 kat daha fazla bahis yaparak, bahisden 50 kuruşa eşittir.

Matematiksel beklentinin kısa vadeli sonuçlarla ilgisi yoktur. Size karşı 2 dolar koymaya karar veren rakibiniz, sırttaki ilk on atışta sizi yenebilir, ancak 2 ila 1 bahislerin avantajına sahip olabileceğiniz, diğer şeylerin eşit olması, her 1 dolardan 50 sent kazanırsınız. . Bir fark yoktur, bir bahis veya birkaç oran kaybedersiniz, ancak sadece masrafları sessizce telafi etmek için yeterli paranız varsa. Aynı saati yüklemeye devam ederseniz, uzun süredir kazançlarınız, bireysel atışlardaki eşleştirme makinelerinin toplamına uyacaktır.

Her seferinde, en iyi sonucuyla bir bahis bahis yapmak (uzun mesafeden faydalı olabilecek bir bahis), lehinize şansınız, kesinlikle üzerine bir şeyler kazanacaksınız ve bunu kaybetmek ya da bu konuda değil önemli değil. el. Aksine, eğer en kötü sonucu olan bir bahis yaptıysanız (uzun mesafede kârsız olan bir bahis), şansınız sizin lehinizde olmadığında, bu elinizde ne kazandığınız veya kaybettiğiniz önemli değil bir şeyi kaybedersiniz.

Olumlu bir eşleşmeniz varsa, en iyi sonucuyla bahis yapın ve şansınız yanınızda ise pozitiftir. En kötü sonucu olan bir bahis yapmak, size karşı şansınız olduğunda gerçekleşen olumsuz bir eşleştiriciniz var. Ciddi oyuncular sadece en iyi sonucu ile bahis yaparlar, en kötüsü - otlayacaklar. Şansların lehinize ne ifade ediyor? Sonunda gerçek şans getirdiğinden daha fazla kazanabilirsiniz. Rush'un 1 ila 1'e düşeceğinin gerçek şansı, ancak oranların oranı nedeniyle 2 ila 1'iniz var. Bu durumda, lehinizin şansı. Bahis başına 50 kuruşun olumlu bir beklentisi ile tam olarak en iyi sonucu elde edersiniz.

İşte daha karmaşık bir matematik beklentisi örneğidir. Buddy, bir ila beş arasında rakam yazar ve belirli numarayı tanımlamadığınız gerçeğine göre 1 $ 'a karşı 5 dolar. Böyle bir bahis üzerinde hemfikir misiniz? Matchmaker burada ne?

Ortalama olarak, dört kez yanılacaksınız. Buna dayanarak, figürü tahmin etmeniz gerektiği gerçeğine karşı şans 4 ila 1 olacaktır. Bununla birlikte, eğer 4 ila 1 kaybetmek mümkünse 5 ila 1 kazanırsınız. Bu nedenle, lehinize olan şansınız, en iyi sonucu için bahisler ve umut verirsiniz. Böyle bir bahis yaparsanız, ortalama olarak ortalama dört kez kaybedeceksiniz ve bir kez 5 $ kazanacaksınız. Buna dayanarak, beş deneme için, bahis başına 20 kuruşun olumlu bir matematiksel beklentisi ile 1 dolar kazanırsınız.

Yukarıdaki örnekte olduğu gibi, daha fazla kazanacak olan bir oyuncu, şansı yakalar. Aksine, o kadar az kazanmayı kabul ettiğinde şansını mahvediyor. Bir bahis oyuncusu olumlu ya da olumsuz bir eşleşme terimine sahip olabilir, bu da şansını yakalayıp mahvedeceğine bağlıdır.

4 $ kazanma ihtimalinde 10 $ kazanmak için 50 $ koyarsanız, negatif bir maç terimini 2 $ alacaksınız, çünkü Ortalama olarak, 10 $ 'dan dört kez kazanacaksınız ve bir kez 50 dolar oynayacaksınız, bu da bir bahisdeki kaybın 10 dolar olduğunu gösteriyor. Ancak 10 dolar kazanabilmek için 30 $ kazanırsanız, aynı 4 ila 1 kazanma şansı ile, o zaman bu durumda 2 dolarlık bir olumlu bekleyebilirsiniz, çünkü Yine, 10 dolardan dört kez kazanırsınız ve bir kez 30 dolar oynarsınız, bu 10 dolarlık kar sağlar. Bu örnekler, ilk bahisin kötü olduğunu ve ikincisinin iyi olduğunu göstermektedir.

Matematiksel beklenti, herhangi bir oyun durumunun merkezidir. Bir kitapçı futbol taraftarlarını 10 $ kazanmak için 11 $ yükseltmeye teşvik ettiğinde, her 10 $ 'dan 50 kuruş miktarında olumlu bir eşleştiriciye sahiptir. Casino, bir tutturucudaki geçit hattından eşit para öderse, kumarhanenin olumlu beklemesi yaklaşık 100 ABD doları olacaktır, çünkü Bu oyun, bu çizgiyi yerleştiren herkes ortalama% 50,7 oranında kaybeder ve toplam zamanın% 49,3'ünü kazanır. Kuşkusuz, bu tür minimum pozitif kıpır kıpır kıpır kıpır kıpır kıpır kıpır kıpır kıpır kılar ve casino sahiplerine dünyadaki casino sahiplerine getiriyor. Vegas World Casino'nun sahibinin sahibi Bob Stupak, "Yeterince uzun mesafeli olumsuz olasılıkların yüzde binde bir yüzde, dünyanın en zengin insanı mahvedecek."

Poker oynarken matematiksel beklenti

Poker oyunu, matematiksel beklentinin teorisini ve özelliklerini kullanma açısından en belirteç ve görsel örnektir.

Pokerdeki matematiksel beklenti (İngilizce Beklenen Değer), böyle bir kararın, çok sayıda ve uzun mesafeli teori çerçevesinde göz önünde bulundurulması şartıyla, bir veya başka bir çözümün ortalama faydasıdır. Başarılı bir poker oyunu, her zaman sadece pozitif bir matematiksel beklentiyle hareket etmektir.

Poker oynatırken matematiksel beklentinin matematiksel anlamı, bir karar verirken genellikle rastgele değerlerle karşılaştığımızdır (rakibin elinde hangi kartları bilmiyoruz, hangi kartların sonraki ticaret çevrelerine gelecek). Çözümlerin her birini, yeterince büyük bir örnekle, rastgele bir değişkenin ortalama değerinin matematiksel beklentisi için çaba göstereceği anlamına gelen çok sayı teorisinin bakış açısının her birini dikkate almalıyız.

Matematiksel beklentileri hesaplamak için özel formüller arasında, en çok kullanılan pokerde uygulanır:

Poker matematik beklentisi oynarken, hem bahis hem de collov için güvenebilirsiniz. İlk durumda, ikincildeki bankanın kendi şansı olan ikincisinde kat eşitleri dikkate alınmalıdır. Bir dönüşün matematiksel beklentisini değerlendirirken, katlamanın her zaman sıfır eşleşmesi olduğu unutulmamalıdır. Böylece, haritaların deşarjı her zaman olumsuz hareketlerden daha karlı bir çözüm olacaktır.

Beklemek, riskinizdeki her dolar için ne bekleyebileceğinizi (kar veya zarar) hakkında bilgi verir. Casino para kazanın çünkü casino lehine, içinde uygulanan tüm oyunlardan matematiksel beklenti. Oyunun yeterince uzun bir serisi ile müşterinin parasını kaybetmesini bekleyebilirsiniz, çünkü "olasılık" kumarhanenin lehinedir. Bununla birlikte, kumarhanede profesyonel oyuncular oyunlarını kısa aralıklarla sınırlandırır, böylece lehine olasılığını arttırır. Aynısı yatırım için de geçerlidir. Bekleniz olumlu ise, kısa bir süre içinde birçok işlem yaparak daha fazla para kazanabilirsiniz. Bekleyen bu, kazanma konusunda karın yüzdesi, ortalama karla çarpı, eksi olasılıkınız ortalama bir kayıpla çarpılan bir kayıptır.

Poker ayrıca matematiksel beklenti açısından da dikkate alınabilir. Belli bir kursun faydalı olduğunu varsayabilirsiniz, ancak bazı durumlarda en iyilerden uzak olabilir, çünkü başka bir hareket daha karlı. Diyelim ki, beş tekrarlayan pokerde bir dövizle dolu bir ev topladınız. Rakip bahisleriniz. Bizi bilirsin, eğer bahsi yükseltirsen, cevap verecek. Bu nedenle, artış daha iyi taktikler gibi görünüyor. Ancak, teklifi hala artırırsanız, kalan iki oyuncu kesinlikle kartları düşürecektir. Ancak, teklifi eşitlerseniz, diğer iki oyuncudan sonra geleceğinden tamamen emin olacaksınız. Fiyatları yükseltirken, bir birim alırsınız ve basitçe eşitleme - ikisi. Böylece, dengeleme size daha yüksek olumlu bir matematiksel beklenti verir ve en iyi taktikler olacaktır.

Matematiksel bir beklenti, poker taktiklerinde daha az karlı ve daha fazla olan kavramını da verebilir. Örneğin, belirli bir elden oynarken, ortalama zararlarınızın, Ante dahil olmak üzere 75 kuruş oluşturacağına, o zaman böyle bir el oynatılacağına inanıyorsunuz, çünkü Ante 1 dolar olduğunda sıfırlamadan daha iyidir.

Matematiksel beklentinin özünü anlama bir başka önemli nedeni, teklifi kazanıp kazanmadığınızdan bağımsız olarak size bir sakinlik hissi vermesidir: eğer iyi bir bahis yaptıysanız veya sizi kurtardıysanız, kazandığınızı bileceksiniz. veya oyuncunun zayıf olamayacağınız belirli bir miktar para kazandırdı. Borsadaki rakibin daha güçlü bir kombinasyon topladığı için kartları sıfırlamak çok daha zordur. Bütün bunlarla, tasarruf ettiğiniz para, oyun yapmadan, gece başına veya ay için kazancınıza eklemek yerine.

Sadece ellerinizi değiştirirseniz, rakibiniz size cevap verir ve "Fundamental Poker Theorem" makalesinde göreceğiniz gibi, avantajlarınızın sadece bir tanesidir. Olduğu zaman sevinmelisin. Kayıp dağılımın tadını çıkarmayı bile öğrenebilir, çünkü diğer oyuncuların çok daha fazla kaybedileceğini biliyorsunuzdur.

Örnekte bir jeton oyunu ile belirtildiği gibi, saatlik kar faktörü matematiksel beklentilerle ilişkilidir ve bu kavram özellikle profesyonel oyuncular için önemlidir. Poker oynayacağınız zaman, oyunun saatinde ne kadar kazanabileceğinizi zihinsel olarak tahmin etmelisiniz. Çoğu durumda, sezgi ve deneyiminize dayanmanız gerekecektir, ancak bazı matematiksel hesaplamalar da kullanabilirsiniz. Örneğin, bir değişim ile bir lob oynarsınız ve üç katılımcının 10 dolarlık oranları arttırdığını ve daha sonra çok kötü taktikleri olan iki kartı değiştirdiğini izleyin, bu da çok kötü taktikler, her 10 $ koyduklarında kendinize güvenebilirsiniz, kaybettiler Yaklaşık 2 $. Her biri saatte sekiz kez yapar, bu, üçünün de yaklaşık 48 $ 'a kadar kaybedilmesi anlamına gelir. Siz yaklaşık olarak eşit olan dört oyuncudan birisiniz, buna göre, bu dört oyuncu (ve sizin aralarında) 48 $ bölmek gerekir ve her kar saatte 12 dolar olacaktır. Bu durumda saat katsayınız, saatte üç kötü oyuncuda oynanan para miktarından payınıza eşittir.

Büyük bir süre için, toplam kazanan oyuncu, ayrı dağılımdaki matematiksel beklentilerinin miktarıdır. Olumlu bir beklentiyle ne kadar çok oynarsanız, o kadar kazanırsanız ve tam tersi, ne kadar fazla dağıtım yapacağınız olumsuz bir beklentiyle daha fazla dağıtılır, o kadar çok kaybedersiniz. Sonuç olarak, oyun, olumlu beklemenizi en üst düzeye çıkarabilecek veya negatif olmayacak, böylece izle Wisness'inizi maksimum seviyeye yükseltebilirsiniz.

Oyun stratejisinde olumlu matematiksel beklenti

Kartları nasıl sayacağınızı biliyorsanız, eğer farketmezlerse ve sizi dışarı atmazlarsa, kumarhane üzerinde bir avantajınız olabilir. Casino, sarhoş oyuncuları tapıyor ve dikkate alınan kartları tolere etmeyin. Avantaj, zaman içinde kaybolmaktan bir kereden fazla kazanmaya izin verecektir. İyi Sermaye Yönetimi Matematiksel beklenti hesaplamaları kullanırken, avantajınızdan daha fazla kar elde etmeye ve kayıpları azaltmaya yardımcı olabilir. Avantajı olmadan, sadaka için para kazandırırsınız. Borsa'daki oyunda, avantaj, kayıp, fiyat farkı ve komisyonundan büyük bir kar yaratan bir oyun sistemi sunar. Hiçbir sermaye yönetimi kötü oyun sistemini kurtarmayacak.

Pozitif bekleme, sıfırdan geçen bir değerle belirlenir. Bu sayı ne kadar büyükse, istatistiksel beklemeyi güçlendirir. Değer sıfırdan azsa, matematiksel beklenti de olumsuz olacaktır. Negatif modül ne kadar büyük olursa, durum daha da kötüleşir. Sonuç sıfırsa, beklenti aniden. Sadece makul bir oyun sistemi olan olumlu bir matematik beklentiniz olduğunda kazanabilirsiniz. Sezgi oyunu felakete yol açar.

Matematiksel Bekleme ve Değişim Ticareti

Matematiksel beklenti, finansal piyasalarda değişim ticaretinin uygulanmasında oldukça popüler ve popüler bir istatistiksel göstergedir. Her şeyden önce, bu parametre ticaretin başarısını analiz etmek için kullanılır. Bu değerin o değerinden daha fazla olduğunu tahmin etmek zor değildir, ticaretin başarılı ticaretini göz önünde bulundurmanız ne kadar fazla. Tabii ki, tüccarın çalışmasının analizi sadece bu parametre kullanılarak yapılamaz. Bununla birlikte, işin kalitesini değerlendirmenin diğer yolları ile hesaplanan değer, analizin doğruluğunu önemli ölçüde artırabilir.

Matematiksel beklenti, depozito üzerinde yapılan işleri hızlı bir şekilde değerlendirmenize olanak sağlayan, genellikle izleme hesaplarının hizmetlerinde hesaplanır. İstisnalar olarak, kârlı olmayan işlemlerin "takviye" nin kullanıldığı stratejiler getirmek mümkündür. Tüccar bir süre boyunca bir şans eşlik edebilir ve bu nedenle çalışmalarında genel olarak zarar görmeyebilir. Bu durumda, sadece taburda gezinmek mümkün olmayacak, çünkü işte kullanılan riskler dikkate alınmayacaktır.

Piyasa ticaretinde, matematiksel beklenti, en sık, herhangi bir ticaret stratejisinin karlılığını tahmin ederek veya tüccarın gelirini önceki işleminin istatistiksel verilerine dayanarak tahmin ederken kullanılır.

Sermaye Yönetimi ile ilgili olarak, olumsuz bir beklentiyle işlem yaparken, kesinlikle yüksek kar getirebilecek para yönetimi planı olmadığını anlamak çok önemlidir. Bu koşullarda borsada oynamaya devam ederseniz, o zaman para yönetimi yönteminden bağımsız olarak, başlangıcında ne kadar büyük olursa olsun, tüm hesabınızı kaybedersiniz.

Bu aksiyom sadece olumsuz bir beklenti ile oynamak veya uğraşmak için doğrudur, aynı zamanda eşit şanslarla oynamak için de geçerlidir. Bu nedenle, uzun vadede fayda sağlama şansınız olduğunda, olumlu bir matematik beklentisi olan işlemlerin sonuçlandırılmasıdır.

Olumsuz beklentiler ve olumlu beklentiler arasındaki fark, yaşam ve ölüm arasındaki farktır. Ne kadar olumlu ya da olumsuz beklentiler kadar olumlu ya da önemli değil; Sadece olumlu ya da olumsuz olması önemlidir. Bu nedenle, sermaye yönetimi konularını dikkate almadan önce, oyunu olumlu bir beklentiyle bulmalısınız.

Böyle bir oyunun yoksa, dünyada hiçbir para yönetimi sizi kurtarmaz. Öte yandan, olumlu bir beklemeniz varsa, uygun para yönetimi sayesinde, üstel büyüme fonksiyonuna dönüştürebilirsiniz. Olumlu bir beklemenin ne kadar az olduğu önemli değil! Başka bir deyişle, ticaret sisteminin tek bir sözleşmeye ne kadar karlı olduğu önemli değildir. Bir işlemde bir sözleşmeye 10 dolar kazanan bir sisteminiz varsa (Komisyon ve Kayma'nın kesintisinden sonra), sermaye yönetim yöntemlerini ortalama kar gösteren sistemden daha karlı hale getirmek için böyle bir şekilde kullanabilirsiniz. İşlem için 1000 $ (Komisyon ve Kayma için kesintilerden sonra).

Sistemin ne kadar karlı olduğu önemli değil ve ne kadar kesinlikle sistemin gelecekte en az minimum kar göstereceği söylenebilir. Bu nedenle, bir tüccarın yapabileceği en önemli hazırlık, sistemin gelecekte olumlu bir matematiksel beklenti göstereceğinden emin olmaktır.

Gelecekte olumlu bir matematik beklentisine sahip olmak için, sisteminizin özgürlüğünü sınırlamamak çok önemlidir. Bu, yalnızca optimize edilecek parametre sayısını kaldırarak veya azaltarak değil, aynı zamanda sistemi mümkün olduğunca azaltarak da elde edilir. Eklediğiniz her parametre, yaptığınız her kural, sistemde yaptığınız en küçük bir değişiklik, özgürlük derecelerinin sayısını azaltır. İdeal olarak, hemen hemen her pazar tarafından sürekli küçük bir kar getirecek oldukça ilkel ve basit bir sistem kurmanız gerekir. Ve yine, anlamanız önemlidir, sistemin ne kadar karlı olduğu önemli değil. Ticarette kazandığınız para etkili para yönetimi tarafından kazanılacaktır.

Ticaret sistemi, size para yönetimini kullanabilmeniz için size olumlu bir matematiksel beklenti veren bir araçtır. Çalışan sistemler (en azından minimum kar, sadece bir veya birkaç pazarda) farklı pazarlar için farklı kurallara veya parametrelere sahip olan sistemler, büyük olasılıkla gerçek zamanlı olarak yeterince uzun süre çalışmaz. Teknik odaklı tüccarların problemi, ticaret sisteminin parametrelerinin çeşitli kurallarını ve değerlerini optimize etmek için çok fazla zaman geçirmeleri ve çaba sarf etmeleridir. Bu tamamen karşıt sonuçlar verir. Ticaret sisteminin karlarını artırmak için güç ve bilgisayar süresi geçirmek yerine, minimum karın güvenilirlik seviyesini artırmak için enerjiyi gönderin.

Sermaye yönetiminin olumlu beklentilerin kullanımını gerektiren bir sayısal oyun olduğunu bilerek, tüccar, değişim ticaretinin "Kutsal GRAIL" aramasını durdurabilir. Bunun yerine, ticaret yönteminin kontrolünü yapabilir, bu yöntemi, polen beklentilerini ne kadar mantıksal olarak gerekçelendirildiğini öğrenebilir. Herhangi biri ile ilgili olarak, hatta çok vasat ticaret yöntemlerine ilişkin olarak uygulanan doğru sermaye yönetimi yöntemleri onları diğerlerini yapacaktır.

Çalışmalarında başarılı olmak için herhangi bir tüccar için, en önemli üç görevi çözmek gerekir :. Başarılı işlemlerin sayısının kaçınılmaz hataları ve yanlış hesaplamaları aştığından emin olun; Ticaret sisteminizi özelleştirin, böylece kazanç olasılığının mümkün olduğu kadar sık \u200b\u200bolduğu; Operasyonlarının olumlu sonucunun kararlılığını elde etmek.

Ve burada biz, çalışan tüccarlar, iyi bir yardım matematiksel beklentisine sahip olabilir. Bu terim olasılık teorisindeki anahtarlardan biridir. Bununla birlikte, bazı rastgele anlamlara ortalama değerlendirme yapmak mümkündür. Rastgele varyansın matematiksel beklentisi, farklı kütlelerle noktalarla olan tüm olası olasılıkları hayal ederseniz, yerçekimi merkezine benzer.

Ticaret stratejisi ile ilgili olarak, matematiksel kar (veya zarar) beklentisi en sık etkinliğini değerlendirmek için kullanılır. Bu parametre, belirtilen kar ve kayıp seviyelerinin eserlerinin miktarı ve görünümlerinin olasılıkları olarak belirlenir. Örneğin, gelişmiş ticaret stratejisi, tüm operasyonların% 37'sinin karlara neden olacağını ve kalan kısım% 63'ün - kârsız olacağı varsayılmaktadır. Aynı zamanda, başarılı bir işlemden gelen ortalama gelir 7 dolar olacak ve ortalama zarar 1,4 dolar olacak. Böyle bir sistemdeki ticaretin matematiksel beklentisini hesaplayalım:

Bu sayı ne anlama geliyor? Bu sistemin kurallarını takiben, ortalama olarak, her kapalı işlemden 1.708 dolar alacağız. Elde edilen değerlendirme tahmini sıfırdan büyük olduğundan, böyle bir sistem gerçek iş için kullanılabilir. Hesaplamanın bir sonucu olarak, matematiksel beklenti negatif olacaktır, zaten ortalama bir hasardan bahseder ve bu ticaret bir harabeye yol açacaktır.

Bir işlem için kar miktarı da ifade edilebilir ve nispi değeri% formunda. Örneğin:

- 1 işlemin gelir yüzdesi -% 5;

- Başarılı işlem operasyonlarının yüzdesi -% 62;

- 1 işlem başına kaybın yüzdesi -% 3;

- Başarısız işlemlerin yüzdesi -% 38;

Yani, ortalama işlem% 1,96 getirecektir.

Fabrikasız işlemlerin prevalansına rağmen, MO\u003e 0'dan bu yana olumlu bir sonuç vermeyecek bir sistem geliştirebilirsiniz.

Ancak, bir beklenti küçük. Sistem çok az işlem sinyalleri verirse kazanmak zordur. Bu durumda, verimi bir banka yüzdesiyle karşılaştırılabilir. Her operasyonun ortalama olarak sadece 0,5 doları vermesine izin verin, ancak sistem yılda 1000 işlem varsayarsa ne olur? Nispeten küçük bir zaman için çok ciddi bir miktar olacaktır. Mantıksal olarak, iyi bir ticaret sisteminin bir başka ayırt edici işareti, kısa bir süre tutma pozisyonu olarak kabul edilebileceği anlamına gelir.