x'in doğal logaritmasından türetilmiştir. karmaşık türevler

Karmaşık türevler. Logaritmik türev.
Üstel fonksiyonun türevi

Farklılaştırma tekniğimizi geliştirmeye devam ediyoruz. Bu derste, kapsanan materyali pekiştireceğiz, daha karmaşık türevleri ele alacağız ve ayrıca türev, özellikle logaritmik türev bulmak için yeni teknikler ve püf noktaları hakkında bilgi sahibi olacağız.

Eğitim seviyesi düşük olan okuyucular makaleye başvurmalıdır. Türevini nasıl bulurum? Çözüm örnekleri, bu da becerilerinizi neredeyse sıfırdan geliştirmenize izin verecek. Ardından, sayfayı dikkatlice incelemeniz gerekir. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, anla ve çöz Tümü verdiğim örnekler. Bu ders mantıksal olarak arka arkaya üçüncü derstir ve ustalaştıktan sonra, oldukça karmaşık işlevleri güvenle ayırt edeceksiniz. “Başka nerede? Ve bu kadarı yeter! ”, Çünkü tüm örnekler ve çözümler gerçek testlerden alınmıştır ve genellikle pratikte bulunur.

Tekrarlama ile başlayalım. Derste Karmaşık bir fonksiyonun türevi ayrıntılı yorumlarla bir dizi örneğe baktık. Diferansiyel hesabı ve matematiksel analizin diğer dallarını incelerken, çok sık türev almanız gerekecek ve örnekleri ayrıntılı olarak yazmak her zaman uygun (ve her zaman gerekli değildir) değildir. Bu nedenle sözlü olarak türev bulma alıştırması yapacağız. Bunun için en uygun "adaylar", en basit karmaşık fonksiyonların türevleridir, örneğin:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi kuralına göre :

Gelecekte matanın diğer konularını incelerken, genellikle böyle ayrıntılı bir kayıt gerekli değildir, öğrencinin otomatik otomatik pilotta benzer türevleri bulabileceği varsayılır. Saat 3'te telefonun çaldığını ve hoş bir sesin "İki X'in tanjantının türevi nedir?" diye sorduğunu hayal edin. Bunu neredeyse anında ve kibar bir yanıt izlemelidir: .

İlk örnek hemen bağımsız bir çözüme yönelik olacaktır.

örnek 1

Aşağıdaki türevleri sözlü olarak tek adımda bulun, örneğin:. Görevi tamamlamak için yalnızca kullanmanız gerekir temel fonksiyonların türevleri tablosu(henüz hatırlanmamışsa). Herhangi bir zorluk yaşarsanız, dersi tekrar okumanızı tavsiye ederim. Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Dersin sonunda cevaplar

karmaşık türevler

Ön topçu hazırlığından sonra 3-4-5 işlev ekleri olan örnekler daha az korkutucu olacaktır. Belki aşağıdaki iki örnek bazıları için zor görünebilir, ancak onları anlarsanız (birisi acı çekecektir), o zaman diferansiyel hesaptaki hemen hemen her şey bir çocuk şakası gibi görünecektir.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Daha önce belirtildiği gibi, karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken, her şeyden önce, gereklidir. sağ Ekleri ANLAYIN. Şüphelerin olduğu durumlarda, yararlı bir tekniği hatırlıyorum: örneğin deneysel "X" değerini alıyoruz ve (zihinsel olarak veya taslakta) bu değeri "korkunç ifade" ile değiştirmeye çalışıyoruz.

1) İlk olarak, miktarın en derin yatırım olduğu anlamına gelen ifadeyi hesaplamamız gerekiyor.

2) O zaman logaritmayı hesaplamanız gerekir:

4) Ardından kosinüsü bir küp haline getirin:

5) Beşinci adımda, fark:

6) Ve son olarak, en dıştaki fonksiyon kareköktür:

Karmaşık fonksiyon farklılaşma formülü en dıştaki fonksiyondan en içtekine doğru ters sırada uygulanır. Karar veriyoruz:

Hatasız görünüyor….

(1) Karekökün türevini alın.

(2) Kuralı kullanarak farkın türevini alırız

(3) Üçlünün türevi sıfırdır. İkinci terimde, derecenin (küp) türevini alıyoruz.

(4) Kosinüsün türevini alıyoruz.

(5) Logaritmanın türevini alıyoruz.

(6) Son olarak, en derin yuvalamanın türevini alıyoruz.

Kulağa çok zor gelebilir, ancak bu henüz en acımasız örnek değil. Örneğin, Kuznetsov'un koleksiyonunu alın ve analiz edilen türevin tüm cazibesini ve sadeliğini takdir edeceksiniz. Öğrencinin karmaşık bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağını anlayıp anlamadığını kontrol etmek için sınavda benzer bir şey vermeyi sevdiklerini fark ettim.

Bir sonraki örnek, kendin yap çözümü içindir.

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

İpucu: İlk olarak, doğrusallık kurallarını ve çarpım farklılaştırma kuralını uygulayın

Çözümü tamamlayın ve öğreticinin sonunda yanıtlayın.

Şimdi daha kompakt ve sevimli bir şeye geçme zamanı.
Bir örneğin iki değil, üç işlevin bir ürününü vermesi nadir değildir. Üç faktörün ürününün türevi nasıl bulunur?

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

İlk olarak, üç fonksiyonun çarpımını iki fonksiyonun çarpımına çevirmek mümkün mü bir bakalım. Örneğin, üründe iki polinomumuz olsaydı, parantezleri genişletebiliriz. Ancak bu örnekte tüm fonksiyonlar farklıdır: derece, üs ve logaritma.

Böyle durumlarda gerekli sürekliürün farklılaştırma kuralını uygula iki kere

İşin püf noktası, "y" için iki işlevin çarpımını belirtmemizdir: ve "ve" için - logaritma:. Bu neden yapılabilir? bu mu - bu iki faktörün bir ürünü değil ve kural çalışmıyor mu?! Karmaşık bir şey yok:

Şimdi kuralın uygulanması ikinci kez kaldı parantez için:

Yine de sapık olabilir ve parantezlerin dışına bir şey koyabilirsiniz, ancak bu durumda cevabı bu biçimde bırakmak daha iyidir - kontrol etmek daha kolay olacaktır.

Ele alınan örnek ikinci şekilde çözülebilir:

Her iki çözüm de kesinlikle eşdeğerdir.

Örnek 5

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu bağımsız bir çözüm için bir örnektir, örnekte ilk şekilde çözülmüştür.

Kesirlerle ilgili benzer örneklere bakalım.

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Buraya gitmenin birkaç yolu var:

Veya bunun gibi:

Ancak, her şeyden önce, bölümün türevini almak için kuralı kullanırsak, çözüm daha kompakt bir şekilde yazılacaktır. , tüm pay için alarak:

Prensip olarak örnek çözülmüştür ve olduğu gibi bırakırsanız hata olmayacaktır. Ancak zamanınız varsa, her zaman bir taslağı kontrol etmeniz önerilir, ancak cevabı basitleştirmek mümkün müdür? Payın ifadesini ortak bir paydaya indirgeyelim ve üç katlı kesirden kurtul:

Ek sadeleştirmelerin dezavantajı, türevi bulmada değil, banal okul dönüşümleri durumunda hata yapma riskinin olmasıdır. Öte yandan, öğretmenler genellikle ödevi reddeder ve türevi "akla getirmek" ister.

Kendin yap çözümü için daha basit bir örnek:

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Türev bulma yöntemlerinde ustalaşmaya devam ediyoruz ve şimdi türev için “korkunç” logaritma önerildiğinde tipik bir durumu ele alacağız.

Örnek 8

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada karmaşık bir işlevi ayırt etme kuralını kullanarak uzun bir yol kat edebilirsiniz:

Ancak ilk adım sizi hemen umutsuzluğa sokar - kesirli bir dereceden ve sonra bir kesirden hoş olmayan bir türev almanız gerekir.

Böyle önceki"fantezi" logaritmanın türevi nasıl alınır, iyi bilinen okul özellikleri kullanılarak önceden basitleştirilmiştir:

! Elinizde bir alıştırma defteri varsa, bu formülleri buraya kopyalayın. Bir defteriniz yoksa, bunları bir kağıda yeniden çizin, çünkü ders örneklerinin geri kalanı bu formüller etrafında dönecektir.

Çözümün kendisi şu şekilde yapılandırılabilir:

Fonksiyonu dönüştürelim:

Türevini bulun:

İşlevin kendisini önceden yapılandırmak, çözümü büyük ölçüde basitleştirdi. Bu nedenle, türev için benzer bir logaritma önerildiğinde, onu "parçalamak" her zaman tavsiye edilir.

Ve şimdi bağımsız bir çözüm için birkaç basit örnek:

Örnek 9

Bir fonksiyonun türevini bulun

Örnek 10

Bir fonksiyonun türevini bulun

Tüm dönüşümler ve cevaplar dersin sonunda.

logaritmik türev

Logaritmaların türevi çok tatlı bir müzikse, o zaman soru ortaya çıkar, bazı durumlarda logaritmayı yapay olarak düzenlemek mümkün müdür? Olabilmek! Ve hatta gerekli.

Örnek 11

Bir fonksiyonun türevini bulun

Yakın zamanda buna benzer örnekler gördük. Ne yapalım? Bölümün türevini alma kuralını ve ardından işin türevini alma kuralını tutarlı bir şekilde uygulayabilirsiniz. Bu yöntemin dezavantajı, hiç uğraşmak istemediğiniz üç katlı devasa bir kesir elde etmenizdir.

Ancak teoride ve pratikte logaritmik türev gibi harika bir şey var. Logaritmalar, her iki tarafa da "asılarak" yapay olarak düzenlenebilir:

Not : dan beri işlev negatif değerler alabilir, o zaman genel olarak konuşursak, modülleri kullanmanız gerekir: farklılaşma sonucunda ortadan kalkacaktır. Ancak, varsayılanlar dikkate alındığında mevcut tasarım da kabul edilebilir. karmaşık değerler. Ancak tüm ciddiyetle, o zaman her iki durumda da, bir çekince yapılmalıdır..

Şimdi sağ tarafın logaritmasını maksimum düzeyde "yok etmeniz" gerekiyor (gözlerinizin önündeki formüller?). Bu süreci ayrıntılı olarak anlatacağım:

Aslında farklılaşmaya geçiyoruz.
Her iki parçayı da strok altına alıyoruz:

Sağ tarafın türevi oldukça basittir, onun hakkında yorum yapmayacağım, çünkü bu metni okuyorsanız, onunla güvenle başa çıkmalısınız.

Peki sol taraf?

sol tarafta bizde karmaşık fonksiyon... Şu soruyu öngörüyorum: "Neden, logaritmanın altında bir "ygrek" harfi de var?

Gerçek şu ki, bu "tek harfli igrek" - KENDİSİ BİR FONKSİYONDUR(çok net değilse, Örtülü Bir İşlevden Türetilmiş makaleye bakın). Bu nedenle, logaritma harici bir fonksiyondur ve "oyun" bir dahili fonksiyondur. Ve karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını kullanıyoruz :

Sol tarafta, sanki sihirle bir türevimiz var. Ayrıca, orantı kuralına göre, "oyunu" sol tarafın paydasından sağ tarafın üstüne atıyoruz:

Ve şimdi farklılaşmada ne tür bir "oyun" -fonksiyonu tartıştığımızı hatırlıyoruz? duruma bakıyoruz:

Son cevap:

Örnek 12

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir. Dersin sonunda bu tür bir örneğin tasarımının bir örneği.

Logaritmik türevin yardımıyla, 4-7 arasındaki örneklerden herhangi birini çözmek mümkün oldu, ancak diğer bir şey, oradaki fonksiyonların daha basit olması ve belki de logaritmik türevin kullanımı çok haklı değil.

Üstel fonksiyonun türevi

Bu işlevi henüz düşünmedik. Üstel bir işlev, içinde bulunduğu bir işlevdir. ve derece ve taban "x"e bağlıdır... Herhangi bir ders kitabında veya herhangi bir derste size verilecek klasik bir örnek:

Üstel bir fonksiyonun türevi nasıl bulunur?

Az önce ele alınan tekniği kullanmak gerekir - logaritmik türev. Her iki tarafa da logaritma asıyoruz:

Kural olarak, derece sağ taraftaki logaritmanın altından alınır:

Sonuç olarak, sağ tarafta, standart formüle göre farklılaştırılacak iki fonksiyonun bir çarpımı elde ettik. .

Türevi buluyoruz, bunun için her iki parçayı da vuruşların altına alıyoruz:

Diğer eylemler basittir:

Nihayet:

Herhangi bir dönüşüm tamamen açık değilse, lütfen Örnek 11'deki açıklamaları dikkatlice tekrar okuyun.

Pratik görevlerde, üstel fonksiyon her zaman düşünülen ders örneğinden daha karmaşık olacaktır.

Örnek 13

Bir fonksiyonun türevini bulun

Logaritmik türevi kullanıyoruz.

Sağ tarafta bir sabit ve iki faktörün bir çarpımı var - "x" ve "x'in logaritmasının logaritması" (logaritmanın altında başka bir logaritma gömülü). Sabitin türevini alırken, hatırladığımız gibi, ayaklarınızın altına girmemesi için türevin işaretini hemen çıkarmak daha iyidir; ve elbette tanıdık kuralı uygularız :

Üstel bir fonksiyonun veya hantal kesirli ifadelerin türevini alırken, logaritmik türevi kullanmak uygundur. Bu yazıda detaylı çözümlerle uygulama örneklerine bakacağız.

Daha fazla sunum, türev tablosunu kullanma yeteneğini, türev alma kurallarını ve karmaşık bir fonksiyonun türevi için formül bilgisini ifade eder.

Logaritmik türev için formülün türetilmesi.

İlk önce, e tabanına göre logaritmayı yaparız, logaritmanın özelliklerini kullanarak fonksiyonun formunu sadeleştiririz ve sonra örtük olarak verilen fonksiyonun türevini buluruz:

Örnek olarak, üstel bir x fonksiyonunun x'in kuvvetine göre türevini bulalım.

Logaritmayı alarak verir. Logaritmanın özelliklerine göre. Eşitliğin her iki tarafını farklılaştırmak şu sonuca yol açar:

Yanıt vermek: .

Aynı örnek logaritmik türev kullanılmadan da çözülebilir. Bazı dönüşümler yapabilir ve üstel bir fonksiyonun türevini almaktan karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmaya geçebilirsiniz:

Örnek.

Bir fonksiyonun türevini bulun .

Çözüm.

Bu örnekte, fonksiyon bir kesirdir ve türevi türev alma kuralları kullanılarak aranabilir. Ancak ifadenin hantallığından dolayı, bu birçok dönüşüm gerektirecektir. Bu gibi durumlarda, logaritmik türev için formülü kullanmak daha akıllıca olacaktır. ... Niye ya? Şimdi anlayacaksın.

Önce onu bulalım. Dönüşümlerde, logaritmanın özelliklerini kullanacağız (kesirin logaritması, logaritmalar arasındaki farka eşittir ve ürünün logaritması, logaritmaların toplamına ve altındaki ifadenin derecesine eşittir). logaritma işareti, logaritmanın önünde bir katsayı olarak alınabilir):

Bu dönüşümler bizi oldukça basit bir ifadeye götürdü ve türevi kolayca bulunabilir:

Elde edilen sonucu logaritmik türev formülünde yerine koyarız ve cevabı alırız:

Malzemeyi pekiştirmek için ayrıntılı açıklamalar olmadan birkaç örnek daha vereceğiz.

Örnek.

Üstel fonksiyonun türevini bulun

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Sitede bir istek bıraktığınızda, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifleri, promosyonları ve diğer etkinlikleri ve yaklaşan etkinlikleri bildirmemize olanak tanır.
Zaman zaman önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlarla da kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer promosyon etkinliğine katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara ifşa edilmesi

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

Gerekirse - yasaya, mahkeme kararına, mahkeme işlemlerinde ve / veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet makamlarından gelen kamu taleplerine veya taleplerine dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer sosyal açıdan önemli nedenlerle gerekli veya uygun olduğunu belirlersek hakkınızdaki bilgileri ifşa edebiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri uygun üçüncü tarafa - yasal halef - aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik kurallarını getiriyoruz ve gizlilik önlemlerinin uygulanmasını titizlikle izliyoruz.

x'in doğal logaritmasının türevi bir bölü x'e eşittir:
(1) (ln x) ′ =.

a tabanının logaritmasının türevi, x değişkeninin a'nın doğal logaritmasının çarpımına bölünen bire eşittir:
(2) (bir x log) ′ =.

Kanıt

Bire eşit olmayan bir pozitif sayı olsun. Tabanın logaritması olan x değişkenine bağlı bir fonksiyon düşünün:
.
Bu fonksiyon adresinde tanımlanmıştır. x değişkenine göre türevini bulalım. Tanım olarak, türev aşağıdaki limittir:
(3) .

Bu ifadeyi iyi bilinen matematiksel özelliklere ve kurallara indirgemek için dönüştürelim. Bunu yapmak için aşağıdaki gerçekleri bilmemiz gerekir:
A) Logaritma özellikleri. Aşağıdaki formüllere ihtiyacımız var:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Sürekli bir fonksiyon için logaritmanın sürekliliği ve limitlerin özelliği:
(7) .
Burada limiti olan bir fonksiyon var ve bu limit pozitif.
V)İkinci dikkate değer sınırın anlamı:
(8) .

Bu gerçekleri sınırımıza kadar uyguluyoruz. İlk olarak, cebirsel ifadeyi dönüştürüyoruz
.
Bunun için (4) ve (5) özelliklerini uyguluyoruz.

.

Özelliği (7) ve ikinci dikkat çekici sınırı (8) kullanalım:
.

Ve son olarak, özelliği (6) uygularız:
.
Logaritma tabanı e aranan doğal logaritma... Aşağıdaki gibi belirlenmiştir:
.
O zamanlar ;
.

Böylece logaritmanın türevi için formül (2) elde ettik.

Doğal logaritmanın türevi

Bir kez daha, a tabanına göre logaritmanın türevinin formülünü yazıyoruz:
.
Bu formül, doğal logaritma için en basit forma sahiptir. O zamanlar
(1) .

Bu basitlik nedeniyle, doğal logaritma, matematiksel analizde ve diferansiyel hesapla ilgili matematiğin diğer dallarında çok yaygın olarak kullanılmaktadır. Diğer bazlarla birlikte logaritmik fonksiyonlar, özellik (6) kullanılarak doğal logaritma cinsinden ifade edilebilir:
.

Sabit, türev işaretinden çıkarılırsa, logaritmanın temel türevi formül (1)'den bulunabilir:
.

Logaritmanın türevini kanıtlamanın diğer yolları

Burada üssün türevi formülünü bildiğimizi varsayıyoruz:
(9) .
O zaman, logaritmanın üstel fonksiyonun tersi olduğu göz önüne alındığında, doğal logaritmanın türevinin formülünü türetebiliriz.

Doğal logaritmanın türevi formülünü ispatlayalım, ters fonksiyonun türevi için formülü uygulayarak:
.
Bizim durumumuzda. Doğal logaritmanın tersi olan fonksiyon üssüdür:
.
Türevi formül (9) ile belirlenir. Değişkenler herhangi bir harfle belirtilebilir. Formül (9)'da x değişkenini y ile değiştirin:
.
O zamandan beri
.
O zamanlar
.
Formül kanıtlanmıştır.

Şimdi doğal logaritmanın türevi formülünü kullanarak ispatlayalım: karmaşık fonksiyon türevleme kuralları... Fonksiyonlar ve birbirinin tersi olduğundan,
.
Bu denklemi x değişkenine göre türevlendiriyoruz:
(10) .
x-türevi bire eşittir:
.
Karmaşık bir işlevi türevlendirme kuralını uygularız:
.
Burada . (10)'daki yerine koyun:
.
Buradan
.

Örnek

türevlerini bulun 2x'te, 3x içinde ve ln nx.

Çözüm

Orijinal işlevler benzerdir. Bu nedenle, fonksiyonun türevini bulacağız. y = ln nx... Ardından n = 2 ve n = 3'ü takın. Ve böylece, türevleri için formüller elde ederiz. 2x içinde ve 3x içinde .

Yani fonksiyonun türevini arıyoruz.
y = ln nx .
Bu işlevi, iki işlevden oluşan karmaşık bir işlev olarak düşünelim:
1) Değişkene bağlı fonksiyonlar:;
2) Değişken bağımlı fonksiyonlar:.
Daha sonra orijinal işlev, işlevlerden oluşur ve:
.

Fonksiyonun x değişkenine göre türevini bulalım:
.
Değişkene göre fonksiyonun türevini bulalım:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü uygularız.
.
İşte kurduk.

Böylece bulduk:
(11) .
Türevin n'den bağımsız olduğunu görüyoruz. Bu sonuç, ürünün logaritması için formülü kullanarak orijinal işlevi dönüştürürsek oldukça doğaldır:
.
sabittir. Türevi sıfırdır. Ardından, toplamın türevini alma kuralına göre, elimizde:
.

Yanıt vermek

; ; .

x modülünün logaritmasının türevi

Başka bir çok önemli fonksiyonun türevini bulalım - x modülünün doğal logaritması:
(12) .

Bir vaka düşünelim. Daha sonra fonksiyon şu forma sahiptir:
.
Türevi formül (1) ile belirlenir:
.

Şimdi durumu düşünün. Daha sonra fonksiyon şu forma sahiptir:
,
nerede .
Ancak yukarıdaki örnekte bu fonksiyonun türevini de bulduk. n'ye bağlı değildir ve eşittir
.
O zamanlar
.

Bu iki durumu tek bir formülde birleştiriyoruz:
.

Buna göre, logaritma tabanı a için:
.

Doğal logaritmanın daha yüksek dereceli türevleri

işlevi düşünün
.
Birinci dereceden türevini bulduk:
(13) .

İkinci dereceden türevi bulun:
.
Üçüncü dereceden türevi bulun:
.
Dördüncü mertebeden türevini bulalım:
.

n. dereceden türevin şu şekilde olduğu görülebilir:
(14) .
Bunu matematiksel tümevarım yöntemiyle kanıtlayalım.

Kanıt

n = 1 değerini formül (14) ile değiştirelim:
.
n = için 1 , formül (14) geçerlidir.

Formül (14)'ün n = k için geçerli olduğunu varsayalım. Bunun formülün n = k için geçerli olduğunu ima ettiğini ispatlayalım. + 1 .

Gerçekten de, n = k için elimizde:
.
x değişkenine göre türev alıyoruz:

.
Böylece aldık:
.
Bu formül, n = k + için formül (14) ile çakışmaktadır. 1 ... Böylece, formül (14)'ün n = k için geçerli olduğu varsayımından, formül (14)'ün n = k + için geçerli olduğu sonucu çıkar. 1 .

Bu nedenle, n'inci derecenin türevi için formül (14), herhangi bir n için geçerlidir.

a tabanlı logaritmanın daha yüksek mertebeden türevleri

Bir logaritmanın n. mertebesinden türevini bulmak için, onu doğal logaritma cinsinden ifade etmeniz gerekir:
.
(14) formülünü uygulayarak, n'inci türevi buluruz:
.

Sizce sınava daha çok var mı? bir ay mı 2? Yıl? Uygulama, öğrencinin önceden hazırlanmaya başlarsa sınavla en iyi şekilde başa çıktığını gösterir. Sınavda öğrencinin ve gelecekteki adayın en yüksek puanlara ulaşmasının önünde duran birçok zor görev vardır. Bu engellerin üstesinden gelmeyi öğrenmeniz gerekiyor, ayrıca bunu yapmak zor değil. Biletlerden çeşitli görevlerle çalışma prensibini anlamanız gerekir. O zaman yenileriyle ilgili herhangi bir sorun olmayacak.

İlk bakışta, logaritmalar inanılmaz derecede karmaşık görünüyor, ancak ayrıntılı bir analiz durumu çok daha basit hale getiriyor. En yüksek puan için sınavı geçmek istiyorsanız, bu yazıda yapmayı önerdiğimiz söz konusu kavramı anlamalısınız.

Bu tanımları ayırarak başlayalım. Logaritma (log) nedir? Bu, belirtilen sayıyı elde etmek için tabanın ne kadar yükseltilmesi gerektiğinin bir göstergesidir. Açık değilse, temel bir örneğe bakalım.

Bu durumda 4 sayısını alabilmek için aşağıdaki tabanın ikinci kuvvete yükseltilmesi gerekir.

Şimdi ikinci kavramla ilgilenelim. Herhangi bir biçimde bir fonksiyonun türevi, bir fonksiyondaki değişimi indirgenmiş bir noktada karakterize eden bir kavramdır. Ancak bu bir okul müfredatıdır ve bu kavramlarla ayrı ayrı sorunlar yaşıyorsanız konuyu tekrar etmekte fayda var.

Logaritmanın türevi

Sınavın bu konudaki görevlerinde birkaç görev örnek olarak gösterilebilir. Yeni başlayanlar için, en basit logaritmik türev. Aşağıdaki fonksiyonun türevini bulmak gerekir.

Aşağıdaki türevi bulmamız gerekiyor

Özel bir formülü var.

Bu durumda x = u, log3x = v. Fonksiyonumuzdaki değerleri formülde yerine koyuyoruz.

Türev x bire eşit olacaktır. Logaritma biraz daha zor. Ancak değerleri değiştirirseniz prensibi anlayabilirsiniz. lg x türevinin ondalık logaritmanın türevi olarak adlandırıldığını ve ln x türevinin doğal logoritmanın (e tabanı) türevi olduğunu hatırlayın.

Şimdi sadece bu değerleri formüle takın. Kendiniz deneyin, ardından cevabı kontrol edin.

Bazıları için burada sorun ne olabilir? Doğal logaritma kavramını tanıttık. Size bundan bahsedeceğiz ve aynı zamanda onunla sorunları nasıl çözeceğimizi anlayacağız. Özellikle nasıl çalıştığını anladığınızda, karmaşık bir şey görmeyeceksiniz. Matematikte (özellikle yüksek öğretimde) sıklıkla kullanıldığı için alışmalısınız.

Doğal logaritmanın türevi

Özünde, logaritmanın taban e türevidir (bu, yaklaşık 2,7'ye eşit olan irrasyonel bir sayıdır). Aslında, ln çok basittir ve bu nedenle genel olarak matematikte sıklıkla kullanılır. Aslında onunla sorunu çözmek de sorun olmayacaktır. Doğal logaritmanın e tabanlı türevinin bir bölü x'e eşit olacağını hatırlamakta fayda var. En açıklayıcı çözüm aşağıdaki örnek olacaktır.