Reshebnik Kuznetsova.
III Grafikler

Görev 7. İşlevin tam bir çalışmasını yapın ve programını oluşturun.

& NBSP & NBSP & NBSP & NBSP seçeneklerinizi indirmeye başlamadan önce, seçenek 3 için aşağıdaki örnek sorunu çözmeyi deneyin. Seçeneklerin bir kısmı formatında arşivlenir.

& NBSP & NBSP & NBSP & NBSP 7.3 İşlevin tam bir çalışmasını yapın ve programını oluşturun

Karar.

& NBSP & NBSP & NBSP & NBSP 1) Tanım Alanı: & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP, I.E. & NBSP & NBSP & Nbsp & nbsp.
.
Böylece: & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP.

& NBSP & NBSP & NBSP & NBSP 2) Öküz eksenli geçiş noktaları. Nitekim, & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP denkleminin hiçbir çözümü yoktur.
OY AXIS NO, SADECE NBSP & NBSP & NBSP & NBSP ile kesişme noktaları.

& NBSP & NBSP & NBSP & NBSP 3) İşlev ya bir şey ya da yoğundur. Koridorun ekseni ile ilgili simetiye yoktur. Koordinatların başlangıcına ilişkin simetiye yoktur. Gibi
.
Bunu ve NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP'yi görüyoruz.

& NBSP & NBSP & NBSP & NBSP 4) fonksiyon, tanım alanında süreklidir
.

; .

; .
Sonuç olarak, NOKTA & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP, ikinci dereceden bir kırılma noktasıdır (sonsuz tatil).

5) Dikey Asimptotlar: & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP

Eğimli Asemptotlar ve NBSP & NBSP & NBSP & NBSP'yi bulacağız. Buraya

;
.
Sonuç olarak, yatay asimptotlarımız var: y \u003d 0.. Eğimli asimptot yoktur.

& NBSP & NBSP & NBSP & NBSP 6) ilk türevi bulur. İlk Türev:
.
Ve bu yüzden
.
Türevinin sıfır olduğu durağan noktaları bulun, yani
.

& NBSP & NBSP & NBSP & NBSP 7) İkinci türevi bulacağız. İkinci Türev:
.
Ve emin olmak kolaydır çünkü

İşlevi nasıl araştırır ve programını oluşturur?

Görünüşe göre, dünya proletaryası liderinin, 55 hacimde yazıların toplanmasının yazarı olan Ruhsallaşmış-nüfuz eden yüzünü anlamaya başladım. Gelir olmayan bir yol, temel bilgiler hakkında başlamıştır. İşlevler ve GrafiklerVe şimdi, zaman alıcı tema üzerinde çalışmak doğal bir sonuçla bitiyor - makale İşlevin tam çalışmasında. Uzun zamandır beklenen görev aşağıdaki gibi formüle edilmiştir:

Diferansiyel hesap yöntemlerinin işlevini keşfedin ve çalışmanın sonuçlarına göre, programını oluşturmak için

Veya daha kısa: İşlevi keşfedin ve bir grafik oluşturun.

Neden keşfedin? Basit durumlarda, temel işlevleri anlamayı zor bulamayacağız, elde edilen programı çizemeziz. İlköğretim Geometrik Dönüşümler vb. Bununla birlikte, daha karmaşık fonksiyonların özellikleri ve grafik görüntüleri açıktır, bu yüzden tüm çalışma gereklidir.

Çözeltinin ana aşamaları referans materyalinde azalır. İşlev araştırma şemasıBu, bölüm için rehberiniz. Çaylar, konunun adım adım bir açıklamasını gerektirir, bazı okuyucular nerede başlayacağınızı ve bir çalışmanın nasıl düzenleneceğini ve gelişmiş öğrenciler yalnızca bazı anlarda ilginizi çekebilir. Ama yapabileceklerseniz, sevgili ziyaretçi, en kısa sürede çeşitli derslere işaretçilerle birlikte önerilen soyut, sizi ilgilendiren yöne yönlendirir. Robotlar şandered \u003d) Bir PDF dosyası formundaki swath'ları yönlendirin ve sayfada haklı bir yer aldı Matematiksel formüller ve tablolar.

5-6 puan ayırırken kullandığım işlevin incelenmesi:

6) Çalışmanın sonuçlarına göre ek nokta ve zamanlama.

Son eylemin pahasına, her şeyin herkes için açık olduğunu düşünüyorum - saniye meselesinde geçilecek ve iyileştirmeye geri döneceğini çok hayal kırıklığı yaratıyor. Doğru ve doğru çizim, çözeltinin ana sonucudur! "Analitik aşınmaların" bağlanması ", hatalı ve / veya ihmalkar şeması ideal olarak yürütülen bir çalışma ile bile sorunları sunacaktır.

Diğer kaynaklarda araştırma maddelerinin sayısının sayısının, uygulama ve kayıt stili prosedürünün benim tarafımdan önerilen şemadan önemli ölçüde farklılık gösterebileceği belirtilmelidir, ancak çoğu durumda yeterlidir. Görevin en basit versiyonu sadece 2-3 aşamadan oluşur ve aşağıdaki şekilde formüle edilir: "Bir türev kullanarak işlevi keşfedin ve bir grafik oluşturun" veya "1. ve 2. türevi kullanarak işlevi keşfedin, bir grafik oluşturun."

Doğal olarak - Yönteminiz detaylı bir şekilde sökülüyorsa, başka bir algoritma veya öğretmeniniz kesinlikle derslerine uymayı talep ederse, çözümde bazı ayarlamalar yapmanız gerekecektir. Çatalın bir testere kaşığı ile değiştirmek daha zor değil.

Hazırlık / tuhaflıktaki işlevi kontrol edin:

Bundan sonra, bir şablon kaydı takip edilir:
Bu nedenle, bu işlev bile ya da tek değildir.

İşlev sürekli olduğu için dikey asimptotlar yoktur.

Eğimli asimptot yok.

Not : Size bu daha yüksek olduğunu hatırlatırım büyüme düzeniöyle, böylece son limit eşittir " bir artı Sonsuzluk. "

İşlevin sonsuzluğa nasıl davrandığını öğrenin:

Başka bir deyişle, eğer sağa gidersek, zamanlamanın sonsuza dek sonsuza kadar uzağa giderse, ayrılmaz bir şekilde düşer. Evet, ayrıca tek bir kayıt altında iki sınır da. Çözme işaretleriyle ilgili herhangi bir zorluğunuz varsa, lütfen dersi ziyaret edin. sonsuz küçük özellikler.

Böylece, fonksiyon yukarıdan sınırlı değil ve aşağıda sınırlı değil. Break Puan Yok olduğumuzu göz önüne alarak, netleşir ve İşlev Değerleri Alanı: - Ayrıca geçerli bir sayı.

Faydalı Teknik Teknik

Her görev kurulumu grafik hakkında yeni bilgiler getiriyorBu nedenle, çözüm sırasında bir çeşit düzen kullanmak uygundur. Cartovka Cartov'taki koordinat sistemini tasvir edeceğim. Zaten bilinen nedir? İlk olarak, program asimptot yoktur, bu nedenle doğrudan dezavantaj gerekli değildir. İkincisi, fonksiyonun sonsuzlukta nasıl davrandığını biliyoruz. Analize göre, ilk yaklaşımı çizin:

Erdem ile not süreklilik İşlevler ve programın en az bir kez ekseni geçmesi gerektiği gerçeği. Ya da belki birkaç kesişme noktası var mı?

3) Sıfırlar ve hizalamanın aralıkları.

Öncelikle grafiğin kesişme noktasını koordinenin ekseni ile bulacağız. Basit. Fonksiyonun değerini ne zaman hesaplamak gerekir:

Deniz seviyesinden bir buçuk.

Kavşak noktalarını eksenle (fonksiyonun sıfırları) bulmak için, denklemi çözmek için gereklidir ve burada hoş olmayan bir sürpriz olacağız:

Sonunda, görevi büyük ölçüde karmaşıklaştıran ücretsiz bir üye eklendi.

Böyle bir denklem en az bir geçerli kökü vardır ve çoğu zaman bu kök irrasyoneldir. Kötü masalda, üç domuzumuz olacak. Denklem, sözde kullanılarak çözülebilir cardano formülleriAncak kağıt hasarı neredeyse tüm çalışma ile karşılaştırılabilir. Bu bağlamda, en az bir tane seçmeye çalışmak için taslakta ya da taslakta daha anlaşılır. bütün kök. Kontrol, sayı değil:
- uygun değil;
- var!

Burada şanslıydı. Arıza durumunda, test etmek de mümkündür ve bu sayılar ortaya çıkmamışsa, denklem için karlı bir çözüm için çok az şans var. Sonra çalışma maddesi tamamen atlamak daha iyidir - belki ek nokta yapılacak son adımda daha net bir şey olacaktır. Ve aynı kök (kökler) açıkça "kötü" ise, hizalamanın aralıkları genellikle mütevazı bir şekilde Silex'te daha iyidir Evet, çizimi yerine getirmek için daha talimat verilmiştir.

Ancak, güzel bir kökün var, bu yüzden polinomu bölüyoruz Kalıntı yok:

Polinomu polinomun detaylı olarak bölünmesi için algoritma, dersin ilk örneğinde demonte edilmektedir. Zor sınırlar.

Sonuç olarak, kaynak denkleminin sol kısmı İşe katlanmış:

Ve şimdi biraz sağlıklı bir yaşam tarzı hakkında. Elbette, bunu anlıyorum ikinci dereceden denklemler Her gün karar vermeniz gerekir, ancak bugün bir istisna yapacağız: denklem İki geçerli kök var.

Sayısal bir doğrudan ertele üzerinde bulundu değerleri ve aralık yöntemi İşlevin özelliklerini belirler:


böylece aralıklarla bayrakte Program bulunur
abscissa ekseninin altında ve aralıklarla - bu eksen üstünde.

Elde edilen sonuçlar, düzenimizi detaylandırmanıza izin verir ve grafiğin ikinci yaklaşımı aşağıdaki gibidir:

Lütfen, fonksiyonun mutlaka en az bir maksimum ve bir aralıkta olması gerektiğini unutmayın - en az bir minimum. Fakat kaç kez, nerede ve ne zaman bir zamanlamayı "gizleyeceğiz, henüz bilmiyoruz. Bu arada, fonksiyonun hem sonsuz bir şekilde birçok olması olabilir. aşırılık.

4) Yükselen, azalma ve ekstremum fonksiyonu.

Kritik noktaları bulun:

Bu denklemde iki geçerli kökü vardır. Onları doğrudan bir sayısal olarak erteleyeceğim ve türevin belirtilerini tanımlayacağım:


Sonuç olarak, fonksiyon artar ve açıklar.
Nokta, özellik maksimum değere ulaşır: .
Nokta, işlev minimum değere ulaşır: .

Takılan gerçekler şablonumuzu oldukça sert bir çerçevede pound:

Ne söyleyeceğiniz, diferansiyel hesap - güçlü bir şey. Sonunda programın şekli ile uğraşalım:

5) Çıkıntı, kongreeklik ve enfeksiyon noktası.

İkinci türevin kritik noktaları bulacağız:

İşaretleri belirlemek:


İşlev grafiği dışbükey ve içbükey açıktır. Enfeksiyon noktasının koordinatını hesaplayın :.

Neredeyse her şey ortaya çıktı.

6) Daha kesin bir şekilde bir program oluşturmaya ve kendi kendine test yapmanıza yardımcı olacak ek noktaları bulmak için kalır. Bu durumda, yeterince değiller, ancak ihmal etmeyeceğiz:

Çizim yapmak:

Yeşil renk, bir çekim noktası ile işaretlenmiş, haçlar - ek noktaları. Kübik fonksiyonun grafiği, her zaman maksimum ve minimum arasında tam olarak ortada bulunan enfeksiyon noktası hakkında simetriktir.

Görevi yerine getirme sırasında, üç varsayımsal ara çizim getirdim. Uygulamada, koordinat sistemini çizmek, bulunan noktaları işaretlemek yeterlidir ve her bir çalışma kaleminin zihinsel olarak fonksiyon grafiğinin nasıl görünebileceğini tahmin edin. İyi eğitim seviyesine sahip öğrenciler, taslak çekmeden sadece aklında böyle bir analiz yapmak zor olmayacaktır.

Kendi kendine çözümler için:

Örnek 2.

İşlevi keşfedin ve bir program oluşturun.

Dersin sonunda, örnek bir bitirme tasarımı örneği olan daha hızlı ve daha eğlenceli bir var.

Çok sayıda sır, fraksiyonel rasyonel fonksiyonların incelenmesini ortaya koyuyor:

Örnek 3.

Diferansiyel hesap yöntemleri, planını inşa etmek için çalışmanın sonuçlarına göre işlevi keşfedin.

Karar: Çalışmanın ilk aşaması, tanım alanındaki delik hariç, dikkat çekici bir şeyle farklı değildir:

1) İşlev, nokta hariç tüm sayısal doğrudan üzerinde tanımlanır ve sürekli olarak, alan adı: .

Bu fonksiyonun bile ya da tek olmadığı anlamına gelir.

Açıkçası, işlev periyodik değildir.

Fonksiyonun grafiği, sol ve sağ yarı düzlemde bulunan iki sürekli daldır - bu belki de 1. noktanın en önemli sonucudur.

2) Asimptotlar, sonsuzlukta işlevin davranışı.

a) Tek yönlü limitlerin yardımı ile, bir fonksiyonun davranışını açıkça dikey bir asimptota olduğu şüpheli bir noktaya yakındır:

Gerçekten de, fonksiyonlar tolere eder sonsuz tatil Noktada,
ve düz (eksen) dikey asimptota grafikler.

b) Eğik asimptotların var olup olmadığını kontrol edin:

Evet, doğrudan eğimli asimptoto Eğer eğer grafikler.

Analiz etmenin sınırları hiçbir anlam ifade etmiyor, çünkü bu kadar açık olduğu için, eğimli asimptota ile bir kucaklayan fonksiyonun yukarıdan sınırlı değil ve aşağıda sınırlı değil.

İkinci araştırma noktası, işlev hakkında birçok önemli bilgi getirdi. Bir Taslak Kroki Yapın:

Sonuç Sayı 1, hizalamanın aralıkları ile ilgilidir. "Eksi sonsuzluk" üzerine, fonksiyonun grafiği benzersiz bir şekilde abscissa ekseninin altında ve bu eksenin üstünde "artı infinity" üzerine yerleştirilir. Ek olarak, bir taraflı sınırlar, bize fonksiyonun sol ve sağında, çok, daha sıfır olarak bildirildi. Lütfen sol yarım düzlemde, programın en az bir kere abscissa eksenini geçmek zorunda olduğuna dikkat edin. Sağ yarım düzlem sıfırlarında, işlevler olmayabilir.

2 numarası 2, fonksiyonun üzerinde ve solda artar olmasıdır (bir "aşağı yukarı"). Bu noktanın sağında - fonksiyon azalır (bir "yukarıdan aşağıya" var). Grafiğin sağ dalı kesinlikle en az bir minimum olmalıdır. Sol aşırı uçlar garanti edilmez.

Sonuç Sayı 3, eşinin mahallesindeki grafiğin konsavrası hakkında güvenilir bilgi verir. Sonsuzluktaki şişkinlik hakkında hiçbir şey söyleyememiz, çünkü çizgi hem yukarıdan ve aşağıdan hem asimptotlarına basılabilir. Genel olarak konuşursak, şu anda çözmenin analitik bir yolu var, ancak "hiçbir şey için" hediyenin şekli daha sonraki aşamalarda daha netleşecek.

Neden bu kadar çok kelime? Sonraki araştırma noktalarını izlemek ve hataları önlemek için! Diğer hesaplamalar sonuçların aksine olmamalıdır.

3) Grafiğin koordinat eksenleri ile kesişme noktaları, sembol fonksiyonunun aralıkları.

İşlevin grafiği ekseni geçmez.

Aralık yöntemi işaretleri belirler:

, Eğer bir ;
, Eğer bir .

Noktanın sonuçları tamamen sonuç 1 numarasına karşılık gelir. Her aşamadan sonra, zihinsel olarak çalışmaya yönlendirilen ve bir fonksiyon programı çizin.

Söz konusu örnekte, sayısal, farklılaşma için çok faydalı olan bir payda bölünmüştür:

Aslında, asimptotlar bulunurken zaten yapıldı.

- kritik nokta.

İşaretleri belirlemek:

artar ve azalma

Nokta, işlev minimum değere ulaşır: .

Sonuçta 2 numaralı tartışmalar da bulamadı ve büyük olasılıkla, doğru yoldayız.

Böylece, fonksiyon grafiği, tanım alanında içbükeydir.

Mükemmel - ve hiçbir şey çizmeyin.

Enfeksiyon noktası yok.

Konferans 3 numaralı sonuçla tutarlıdır, ayrıca, sonsuzluğun (ve orada ve orada) fonksiyonun grafiğinin bulunduğunu gösterir. yukarıda eğimli asimptotları.

6) Vicdani olarak ilave puanla görevi. Burada sadece iki puan bilinen çalışma nedeniyle çok çalışmak güzel olacak.

Ve muhtemelen, çoğu zaman sunduğu resim:

Görev sırasında, çalışmanın aşamaları arasında hiçbir çelişki olmadığından emin olmanız gerekir, ancak bazen durum acil durumdur, hatta umutsuz-çıkmaz. İşte "Converge değil" analisti - ve bu kadar. Bu durumda, acil durum alımını tavsiye ederim: Grafiklere ait çok sayıda nokta (ne kadar sabır yeterli) buluruz ve bunları koordinat düzleminde not ederiz. Çoğu durumda bulunan değerlerin grafiksel bir analizi size gerçeğin nerede olduğunu ve nerede olduğunu söyleyecektir. Ek olarak, program daha önce herhangi bir program kullanılarak oluşturulabilir, örneğin, aynı sürgünde (anlaşılabilir, bunun için yeteneklere ihtiyacınız olan).

Örnek 4.

Diferansiyel hesap yöntemleri işlevi keşfedin ve programını oluşturur.

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir. İçinde, kendi kendine kontrol fonksiyonu ile geliştirilir - grafik eksen hakkında simetriktir ve çalışmanızda bu gerçeğe aykırı bir şey varsa, bir hata ararlar.

Ayrıca, açık veya garip bir işlevi ne zaman keşfedebilirsiniz ve ardından grafiğin simetrisini kullanabilirsiniz. Böyle bir çözüm optimaldir, ancak bence, çok sıradışıdır. Şahsen, tüm sayısal ekseni düşünüyorum, ancak sağdaki ek noktaları buluyorum:

Örnek 5.

İşlevin tam bir çalışmasını yapın ve programını oluşturun.

Karar: Zor koştu:

1) İşlev, tüm sayısal satırda tanımlanır ve süreklidir :.

Bu işlevin tek olduğu anlamına gelir, grafiği koordinatların başlangıcına göre simetriktir.

Açıkçası, işlev periyodik değildir.

2) Asimptotlar, sonsuzlukta işlevin davranışı.

İşlev sürekli olduğundan, dikey asimptotlar yoktur.

Katılımcıyı içeren bir fonksiyon için tipik olarak ayrı "Plus" ve "eksi sonsuzluk" çalışması, ancak hayatlarımız zamanlamanın simetrisini kolaylaştırır - ya sola ve sağda bir asimptota var ya da değil. Bu nedenle, her iki sonsuz sınır da tek bir kayıt altında verilebilir. Kullandığımız çözüm sırasında lopital kural:

Doğrudan (eksen), grafiğin yatay bir asimptotadır.

Lütfen eğimli asimptotları bulma algoritmasına nasıl vurduğumuzu unutmayın: Sınır tamamen kolaydır ve fonksiyonun sonsuzluğundaki davranışını açıklığa kavuşturur ve yatay asimptota "aynı anda gibi" buldu.

Süreklilikten ve yatay asimptotların varlığından, fonksiyonun gerçeğini takip eder. yukarıdan sınırlı ve aşağıdan sınırlı.

3) Grafiğin koordinat eksenleri ile kesiştiği noktaları, hizalamanın aralıkları.

Burada da kararını azaltın:
Program, koordinatların kökeninden geçer.

Koordinat eksenleri ile başka bir kesişme noktası yoktur. Ayrıca, alpopurizmin aralıkları açıktır ve eksen çizilmez:, bu, fonksiyonun işlevinin sadece "ICA" na bağlı olduğu anlamına gelir:
, Eğer bir ;
, Eğer bir .

4) artış, azalma, ekstremum fonksiyonu.


- Kritik noktalar.

Noktalar, olması gerektiği gibi sıfıra göre simetriktir.

Türev belirtilerinin belirlenmesi:


İşlev aralığında artar ve aralıklarla azalır

Nokta, özellik maksimum değere ulaşır: .

Mülkün erdeminde (Kuruluş fonksiyonları) Minimum hesaplanamaz:

İşlev aralığında azaldığından, programın bulunduğu "eksi sonsuzluk" için açıktır. altında Asymptota ile. Aralıkta, fonksiyon da azalır, ancak burada her şey tersidir - maksimum nokta geçtikten sonra, hat zaten üstte eksene yaklaşır.

Yukarıda belirtilenlerin, fonksiyon programının "eksi sonsuzluk" üzerindeki dışbükey olduğunu ve "artı sonsuzluğa" içbükey olduğunu da takip eder.

Bu çalışma noktasından sonra, fonksiyonun değerleri de çizildi:

Herhangi bir anın yanlış anlaşılmaması durumunda, bir kez daha, her bir sonu tekrar analiz etmek için not defterinde koordinat eksenleri ve elinde bir kalemle çizmeye çağırıyorum.

5) Dönüşüm, konserve, grafiklerin çekim.

- Kritik noktalar.

Simetri noktaları korunur ve muhtemelen yanılmıyoruz.

İşaretleri belirlemek:


İşlev grafiği dışbükey Ve içbükey .

Aşırı aralıklarla çıkıntı / konserlik doğrulandı.

Tüm kritik noktalarda bükülme coğrafi var. Dilenci noktalarının düzenlenmelerini bulacağız, tekrar fonksiyonun tuhaflığını kullanan hesaplamaların sayısını azaltacaktır:

Görev, F (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 işlevinin tam bir çalışmasını tamamlamaksa, programının yapımıyla, bu prensibi detaylı olarak düşünün.

Bu tür görevi çözmek için, ana temel fonksiyonların özelliklerini ve grafiklerini kullanın. Çalışma algoritması adımları içerir:

Tanım alanını bulmak

Araştırma alan tanım alanında gerçekleştirildiğinden, bu adımdan başlamak gerekir.

Örnek 1.

Belirtilen örnek, onları OTZ'den dışlamak için payda sıfırların temelini ima eder.

4 x 2 - 1 \u003d 0 x \u003d ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; + ∞.

Sonuç olarak, kökleri, logaritmaları vb. Alabilirsiniz. Daha sonra OTZ, eşitsizlik G (x) ≥ 0, logaritma için eşitsizlik G (x)\u003e 0, G (x)\u003e 0 ile eşitsizlik G (x) 4 derecesi için aranabilir.

Sınır sınırlarının incelenmesi ve dikey asimptot bulma

İşlevin sınırlarında, bu noktalardaki tek taraflı limitlerin sonsuz olduğunda dikey asimptotlar vardır.

Örnek 2.

Örneğin, sınır noktalarını x \u003d ± 1 2'ye eşit olarak düşünün.

Sonra tek taraflı bir sınırı bulmak için işlevi incelemek gerekir. Sonra bunu sağlıyoruz: LIM X → - 1 2 - 0 F (x) \u003d LIM X → 12 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d LIM X → - 1 2 - 0x2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) · 0 \u003d + ∞ LIM X → - 1 2 + 0 F (x) \u003d LIM X → 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 \u003d LIM X → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) · (+ 0) \u003d - ∞ LIM X → 1 2 - 0 F (x) \u003d LIM X → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d LIM X → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 0) · 2 \u003d - ∞ LIM X → 1 2 - 0 f (x) \u003d LIM X → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d SIM X → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (+ 0 ) · 2 \u003d + ∞

Tek taraflı limitlerin sonsuz olduğu görülebilir, bu da düz X \u003d ± 1 2 - grafiğin dikey asimptotları anlamına gelir.

Araştırma işlevi ve parite veya tuhaflık

Y (- X) \u003d y (x) şartının yerine getirildiğinde, fonksiyon bile düşünülür. Bu, programın O'na göre simetrik olarak bulunduğunu göstermektedir. Y (- x) \u003d - y (x) şartının yerine getirildiğinde, işlev tek olarak kabul edilir. Simetrinin koordinatların başlamasına göre geldiği anlamına gelir. Varsayılan olarak, en az bir eşitsizlik, ortak bir işlev elde ediyoruz.

Y (- X) \u003d y (x) eşitliğinin uygulanması, fonksiyonun bile olduğunu göstermektedir. Yaparken, O'ya göre simetri olacağını dikkate almak gerekir.

F "(x) ≥ 0 ve f" (x) ≤ 0, sırasıyla artan ve azalan boşlukların çözümü için.

Tanım 1.

Sabit noktalar- Bunlar, türevini sıfır olarak çeviren noktalardır.

Kritik noktalar - Bunlar, fonksiyonun türevinin sıfır olduğu veya yok olması durumunda, tanım alanından iç noktalardır.

Çözerken, aşağıdaki açıklamaları dikkate almak gerekir:

• f "(x)\u003e 0 formunun eşitsizliğinin artırılmasının ve azaltılmasının uzantıları ile, çözeltideki kritik noktalar dahil değildir;
• fonksiyonun sonlu bir türev olmadan tanımlandığı noktaları, artan ve azalan boşluklara dahil edilmelidir (örneğin, x \u003d 0 noktasının tanımlandığı, türevin tanımlandığı, bu, türevinin bu konuda sonsuzluğun değerine sahip olması gerekir. nokta, y "\u003d 1 3 · x 2 3, y" (0) \u003d 1 0 \u003d ∞, x \u003d 0 artan aralıkta dahil edilir);
• anlaşmazlıklardan kaçınmak için, Milli Eğitim Bakanlığı tarafından önerilen matematik edebiyatının kullanılması önerilir.

Kritik noktaların, alan tanım alanlarını tatmin ettikleri durumlarda artış ve azalan boşluklara dahil edilmesi.

Tanım 2.

İçin artan ve azalan fonksiyonun boşluklarının tanımları bulunmalıdır:

• türev;
• kritik noktalar;
• tanım alanını kritik noktalarla aralıklarla bölün;
• boşlukların her birindeki türevin işaretini belirleyin, burada + bir artış olup olmadığını ve inmesidir.

Örnek 3.

F "(x) \u003d x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 \u003d - 2 x (4 x 2 - 1) tanımındaki bir türev bulun. ) 2.

Karar

İhtiyacınız olanı çözmek için:

• sabit noktaları bulun, bu örnekte x \u003d 0;
• korominatörün sıfırlarını bulun, örnek, X \u003d ± 1 2'de sıfırın değerini alır.

Her aralıkta türevini belirlemek için sayısal eksendeki test noktaları. Bunu yapmak için boşluktan herhangi bir nokta almak ve hesaplama yapmak yeterlidir. Olumlu bir sonuçla, grafik +, fonksiyonun arttırılması anlamına gelir ve - azalması anlamına gelir.

Örneğin, F "(- 1) \u003d - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, solun birinci aralığının bir işareti + olduğu anlamına gelir. Sayısal bir satırda düşünün.

Cevap:

• aralıktaki fonksiyonda bir artış var - ∞; - 1 2 ve (- 1 2; 0];
• aralıkta azalma [0; 1 2) ve 1 2; + ∞.

+ Ve - fonksiyonun pozitifliği ve olumsuzluğu olan diyagramda gösterilmiştir ve atıcı azalır ve artmaktadır.

Ekstremum noktaları fonksiyonu - fonksiyonun tanımlandığı ve türevin işareti değiştirdiği noktalar.

Örnek 4.

Eğer bir örneği göz önünde bulundurursak, X \u003d 0, sonra kullanılan fonksiyon değeri F (0) \u003d 0 2 4 · 0 2 - 1 \u003d 0'a eşittir. Türevinin işaretini + AÇIK ile değiştirirken ve x \u003d 0 noktasından geçerken, koordinatlarla olan nokta (0; 0) maksimum bir nokta olarak kabul edilir. C - ON + işaretini değiştirirken minimum bir nokta alıyoruz.

Form F "" (x) ≥ 0 ve f "" (x) ≤ 0 formunun eşitsizliklerini çözerken dönüşüm ve konsavite belirlenir. Daha az sıklıkla içbükey yerine şişkinlik adını ve konveksüellik yerine şişkinlik kullanın.

Tanım 3.

İçin İçbükey ve şişkinlik boşluklarının belirlenmesi İhtiyaç:

• İkinci türevi bulmak;
• İkinci türevin fonksiyonunun sıfırlarını bulun;
• aralıklarla ortaya çıkan tanım alanını bölün;
• aralık işareti belirleyin.

Örnek 5.

Tanım alanından ikinci türevi bulun.

Karar

f "" (x) \u003d - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "\u003d \u003d (- 2 x)" (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 "(4 x 2) - 1) 4 \u003d 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Numarator ve payderinin sıfırlarını bulduk, burada örneğimizin örneğimize sahip olduğumuz, NOMINATOR X \u003d ± 1 2'dir.

Artık sayısal eksene puan uygula ve her boşluğun ikinci türevinin bir işaretini tanımlamanız gerekir. Bunu alıyoruz

Cevap:

• İşlev, boşluktan dışbükeydir - 1 2; 12;
• İşlev, boşluklardan içbükeydir - ∞; - 1 2 ve 1 2; + ∞.

Tanım 4.

Enfeksiyon noktası - X 0 tipi bir noktadır; f (x 0). İşlevin grafiklerine teğet olduğunda, X 0'dan geçtiğinde, işlev işareti tersine değiştirir.

Başka bir deyişle, bu, ikinci türevin geçtiği ve işaretini değiştirdiği ve işaretlerin kendilerinde sıfıra eşit olduğu veya var olacağı bir noktadır. Tüm noktalar bir alan tanım alanı olarak kabul edilir.

Örnekte, enfeksiyonun noktalarının yok olduğundan, ikinci türevin işareti x \u003d ± 1 2 noktalarından geçerken işaretini değiştirdiği açıktı. Bunlar, tanım alanına dahil edilmezler.

Yatay ve eğimli asimptotlar bulmak

Sonsuzluktaki işlevi belirlerken, yatay ve eğimli asimptotları aramak gerekir.

Tanım 5.

Eğimli asimptotlarresimler, Y \u003d K X + B, burada K \u003d K X → ∞ F (x) X ve B \u003d LIM X → ∞ F (x) - K X denklemi ile belirtilen doğrudan kullanılarak gösterilmiştir.

K \u003d 0 ve B'de, sonsuzluğa eşit değil, eğimli asimptota olur yatay.

Başka bir deyişle, asimptotlar, fonksiyon programının sonsuzluğa yaklaştığı satırları göz önünde bulundurur. Bu, fonksiyon grafiklerinin hızlı yapısına katkıda bulunur.

Eğer asimptotlar eksikse, ancak fonksiyonun her iki sınırlayıcı maddelerde belirlenirse, fonksiyon grafiğinin kendisinin nasıl olacağını anlamak için bu sonsuzluktaki fonksiyonun sınırını hesaplamak gerekir.

Örnek 6.

Örnekte, bunu düşünün

k \u003d LIM X → ∞ F (x) x \u003d LIM X → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x \u003d 0 B \u003d LIM X → ∞ (F (x) - kx) \u003d LIM X → ∞ x 2 4 x 2 - 1 \u003d 1 4 ⇒ Y \u003d 1 4

yatay asimptota. Araştırmadan sonra, işlevi inşa etmeye başlanabilir.

Orta noktalarda fonksiyon değerini hesaplayın

Programı oluşturmak için en doğrudur, işlevin orta noktalarda birkaç işlevi bulunması önerilir.

Örnek 7.

Dikkat ettiğimiz örnekten, fonksiyonun değerlerini x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 numaralı noktalarında bulmak gerekir. İşlev bile olduğundan, değerlerin bu noktalardaki değerlerle çakıştığını, yani X \u003d 2, X \u003d 1, X \u003d 3 4, X \u003d 1 4 elde ettik.

Yazıyoruz ve çözüyoruz:

F (- 2) \u003d F (2) \u003d 2 2 4 · 2 2 - 1 \u003d 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - F (1) \u003d 1 2 4 · 1 2 - 1 \u003d 1 3 ≈ 0 , 33 F - 3 4 \u003d F 3 4 \u003d 3 4 2 4 3 4 2 - 1 \u003d 9 20 \u003d 0, 45 F - 1 4 \u003d F 1 4 \u003d 1 4 2 4 · 1 4 2 - 1 \u003d - 1 12 ≈ - 0, 08

Fonksiyonun maksimumlarını ve minimasını belirlemek için, enfeksiyonun noktaları, ara noktaların asimptotlar oluşturması gerekir. Uygun belirleme için, artan, azalma, şişkinlik boşlukları kaydedilir. Aşağıda gösterilen şekilde düşünün.

KURULUMLARIN ASİMPTOTAM'a daha yakın getirecek olan grafiğin çizgilerini yerine getirmek için işaretli noktalarla gereklidir.

Bu, fonksiyonun tam çalışmasını sonlandırır. Geometrik dönüşümlerin kullanıldığı bazı temel işlevler oluşturma vakaları vardır.

Metinde bir hata görürseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşuna basın.