Складні похідні. Логарифмічна похідна.
Похідна статечно-показової функції

Продовжуємо підвищувати свою техніку диференціювання. На даному уроці ми закріпимо пройдений матеріал, розглянемо складніші похідні, а також познайомимося з новими прийомами та хитрощами знаходження похідної, зокрема, з логарифмічною похідною.

Тим читачам, у кого низький рівень підготовки, слід звернутись до статті Як знайти похідну? Приклади рішеньяка дозволить підняти свої навички практично з нуля. Далі необхідно уважно вивчити сторінку Похідна складної функції, зрозуміти та вирішувати Усенаведені приклади. Даний урок логічно третій за рахунком, і після його освоєння Ви впевнено диференціюватимете досить складні функції. Небажано дотримуватись позиції «Куди ще? Та й так вистачить!», оскільки всі приклади та прийоми рішення взяті із реальних контрольних робіт і часто зустрічаються на практиці.

Почнемо із повторення. На уроці Похідна складної функціїми розглянули ряд прикладів із докладними коментарями. У результаті вивчення диференціального обчислення та інших розділів математичного аналізу – диференціювати доведеться часто, і який завжди буває зручно (та й завжди потрібно) розписувати приклади дуже докладно. Тому ми потренуємось у усному знаходженні похідних. Найвідповіднішими «кандидатами» для цього є похідні найпростіших із складних функцій, наприклад:

За правилом диференціювання складної функції :

При вивченні інших тем матана в майбутньому такий детальний запис найчастіше не потрібний, передбачається, що студент вміє знаходити подібні похідні на автопілоті автоматі. Уявімо, що о 3 годині ночі пролунав телефонний дзвінок, і приємний голос запитав: «Чому дорівнює похідна тангенса двох ікс?». На це має бути майже миттєва і ввічлива відповідь: .

Перший приклад відразу призначений для самостійного рішення.

Приклад 1

Знайти такі похідні усно, на одну дію, наприклад: . Для виконання завдання потрібно використовувати лише таблицю похідних елементарних функцій(якщо вона ще не запам'яталася). Якщо виникнуть труднощі, рекомендую перечитати урок Похідна складної функції.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Відповіді наприкінці уроку

Складні похідні

Після попередньої артпідготовки будуть менш страшні приклади з 3-4-5 вкладеннями функцій. Можливо, наступні два приклади здадуться деяким складними, але якщо їх зрозуміти (хтось і помучається), то майже все інше в диференціальному обчисленні здаватиметься дитячим жартом.

Приклад 2

Знайти похідну функції

Як зазначалося, під час перебування похідної складної функції, передусім, необхідно правильноРОЗІБРАТИСЯ у вкладеннях. У тих випадках, коли є сумніви, нагадую корисний прийом: беремо піддослідне значення «ікс», наприклад, і пробуємо (подумки або на чернетці) підставити це значення в «страшне вираження».

1) Спочатку нам потрібно обчислити вираз, отже, сума - найглибше вкладення.

2) Потім необхідно обчислити логарифм:

4) Потім косинус звести до куба:

5) На п'ятому кроці різниця:

6) І, нарешті, зовнішня функція – це квадратний корінь:

Формула диференціювання складної функції використовуються у зворотному порядку, від самої зовнішньої функції, до внутрішньої. Вирішуємо:

Начебто без помилок.

(1) Беремо похідну від квадратного кореня.

(2) Беремо похідну від різниці, використовуючи правило

(3) Похідна трійки дорівнює нулю. У другому доданку беремо похідну від ступеня (куба).

(4) Беремо похідну від косинуса.

(5) Беремо похідну від логарифму.

(6) І, нарешті, беремо похідну від найглибшого вкладення.

Може здатися дуже важко, але це ще не найзвірячіший приклад. Візьміть, наприклад, збірку Кузнєцова і ви оціните всю красу і простоту розібраної похідної. Я помітив, що схожу штуку люблять давати на іспиті, щоб перевірити, чи розуміє студент, як знаходити похідну складної функції, чи не розуміє.

Наступний приклад самостійного рішення.

Приклад 3

Знайти похідну функції

Підказка: Спочатку застосовуємо правила лінійності та правило диференціювання твору

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Настав час перейти до чогось компактнішого і симпатичнішого.
Не рідкісна ситуація, як у прикладі дано твір не двох, а трьох функцій. Як знайти похідну від твору трьох множників?

Приклад 4

Знайти похідну функції

Спочатку дивимося, а чи не можна твір трьох функцій перетворити на твір двох функцій? Наприклад, якби у нас у творі було два багаточлени, то можна було б розкрити дужки. Але в цьому прикладі всі функції різні: ступінь, експонента і логарифм.

У таких випадках необхідно послідовнозастосувати правило диференціювання твору два рази

Фокус у тому, що з «у» ми позначимо твір двох функцій: , а й за «ве» – логарифм: . Чому це можна зробити? А хіба - це не твір двох множників і правило не працює? Нічого складного немає:

Тепер залишилося вдруге застосувати правило до дужки:

Можна ще зневіритися і винести щось за дужки, але в даному випадку відповідь краще залишити саме в такому вигляді - легше перевірятиме.

Розглянутий приклад можна вирішити другим способом:

Обидва способи вирішення абсолютно рівноцінні.

Приклад 5

Знайти похідну функції

Це приклад самостійного рішення, у зразку він вирішено першим способом.

Розглянемо аналогічні приклади із дробами.

Приклад 6

Знайти похідну функції

Тут можна піти кількома шляхами:

Або так:

Але рішення запишеться компактніше, якщо в першу чергу використовувати правило диференціювання приватного , Прийнявши за весь чисельник:

У принципі, приклад вирішено, і якщо його залишити в такому вигляді, це не буде помилкою. Але за наявності часу завжди бажано перевірити на чернетці, а чи не можна спростити відповідь? Наведемо вираз чисельника до спільного знаменника та позбавимося триповерховості дробу:

Мінус додаткових спрощень полягає в тому, що є ризик припуститися помилки вже не при знаходженні похідної, а при банальних шкільних перетвореннях. З іншого боку, викладачі нерідко бракують завдання і просять «довести до пуття» похідну.

Простіший приклад для самостійного вирішення:

Приклад 7

Знайти похідну функції

Продовжуємо освоювати прийоми знаходження похідної, і ми розглянемо типовий випадок, коли для диференціювання запропонований «страшний» логарифм

Приклад 8

Знайти похідну функції

Тут можна піти довгим шляхом, використовуючи правило диференціювання складної функції:

Але перший крок відразу кидає у зневіру - належить взяти неприємну похідну від дробового ступеня, а потім ще й від дробу.

Тому перед тимяк брати похідну від «навороченого» логарифму, його спрощують, використовуючи відомі шкільні властивості:

! Якщо під рукою є зошит із практикою, перепишіть ці формули прямо туди. Якщо зошита немає, перемалюйте їх на листочок, оскільки приклади уроку, що залишилися, буду обертатися навколо цих формул.

Саме рішення можна оформити приблизно так:

Перетворюємо функцію:

Знаходимо похідну:

Попереднє перетворення самої функції спростило рішення. Таким чином, коли для диференціювання запропоновано подібний логарифм, його завжди доцільно «розвалити».

А зараз пара нескладних прикладів для самостійного вирішення:

Приклад 9

Знайти похідну функції

Приклад 10

Знайти похідну функції

Всі перетворення та відповіді в кінці уроку.

Логарифмічна похідна

Якщо похідна від логарифмів – це така солодка музика, виникає питання, а чи не можна в деяких випадках організувати логарифм штучно? Можна, можливо! І навіть треба.

Приклад 11

Знайти похідну функції

Подібні приклади ми нещодавно розглянули. Що робити? Можна послідовно застосувати правило диференціювання приватного, та був правило диференціювання твори. Недолік методу полягає в тому, що вийде великий триповерховий дріб, з яким зовсім не хочеться мати справи.

Але в теорії та практиці є така чудова річ, як логарифмічна похідна. Логарифми можна організувати штучно, «навісивши» їх на обидві частини:

Примітка : т.к. функція може набувати негативних значень, то, взагалі кажучи, потрібно використовувати модулі: , які зникнуть внаслідок диференціювання. Проте допустиме і поточне оформлення, де за умовчанням беруться до уваги комплекснізначення. Але якщо з усією суворістю, то й у тому й іншому випадку слід зробити застереження, що.

Тепер необхідно максимально «розвалити» логарифм правої частини (формули перед очима?). Я розпишу цей процес докладно:

Власне приступаємо до диференціювання.
Укладаємо під штрих обидві частини:

Похідна правої частини досить проста, її я не коментуватиму, оскільки якщо ви читаєте цей текст, то повинні впевнено з нею впоратися.

Як бути з лівою частиною?

У лівій частині у нас складна функція. Передбачаю питання: «Чому, там же одна літера «ігрок» під логарифмом?».

Справа в тому, що ця «одна літерка ігрок» – САМА ЗА СЕБЕ Є ФУНКЦІЄЮ(якщо не дуже зрозуміло, зверніться до статті Похідна від функції, заданої неявно). Тому логарифм – це зовнішня функція, а «гравець» – внутрішня функція. І ми використовуємо правило диференціювання складної функції :

У лівій частині як за помахом чарівної палички у нас «намалювалася» похідна. Далі за правилом пропорції перекидаємо «ігрок» із знаменника лівої частини нагору правої частини:

А тепер згадуємо, про який такий «ігрек»-функції ми міркували при диференціюванні? Дивимося на умову:

Остаточна відповідь:

Приклад 12

Знайти похідну функції

Це приклад самостійного рішення. Зразок оформлення прикладу цього типу наприкінці уроку.

За допомогою логарифмічної похідної можна було вирішити будь-який з прикладів № 4-7, інша справа, що там функції простіше, і, можливо, використання логарифмічної похідної не надто й виправдане.

Похідна статечно-показової функції

Цю функцію ми ще розглядали. Ступінно-показова функція – це функція, у якої і ступінь та основа залежать від «ікс». Класичний приклад, який вам наведуть у будь-якому підручнику або на будь-якій лекції:

Як знайти похідну від статечно-показової функції?

Необхідно використовувати щойно розглянутий прийом – логарифмічну похідну. Навішуємо логарифми на обидві частини:

Як правило, у правій частині з-під логарифму виноситься ступінь:

У результаті в правій частині у нас вийшов добуток двох функцій, який диференціюватиметься за стандартною формулою .

Знаходимо похідну, для цього укладаємо обидві частини під штрихи:

Подальші дії нескладні:

Остаточно:

Якщо якесь перетворення не зовсім зрозуміле, будь ласка, уважно перечитайте пояснення Прикладу № 11.

У практичних завданнях статечно-показова функція завжди буде складнішою, ніж розглянутий лекційний приклад.

Приклад 13

Знайти похідну функції

Використовуємо логарифмічну похідну.

У правій частині у нас константа та твір двох множників – «ікса» та «логарифма логарифма ікс» (під логарифм вкладено ще один логарифм). При диференціюванні константу, як ми пам'ятаємо, краще відразу винести за знак похідної, щоб вона не заважала під ногами; і, звичайно, застосовуємо знайоме правило :

При диференціюванні показово статечної функції або громіздких дробових виразів зручно користуватися логарифмічною похідною. У статті ми розглянемо приклади її застосування з докладними рішеннями.

Подальший виклад має на увазі вміння користуватися таблицею похідних, правилами диференціювання та знання формули похідної складної функції.

Виведення формули логарифмічної похідної.

Спочатку проводимо логарифмування на підставі e, спрощуємо вид функції, використовуючи властивості логарифму, і далі знаходимо похідну неявно заданої функції:

Наприклад знайдемо похідну показово статечної функції x ступенем x .

Логарифмування дає. За властивостями логарифму. Диференціювання обох частин рівності призводить до результату:

Відповідь: .

Цей приклад можна вирішити і без використання логарифмічної похідної. Можна провести деякі перетворення і перейти від диференціювання показово статечної функції до знаходження похідної складної функції:

приклад.

Знайти похідну функції .

Рішення.

У цьому прикладі функція є дріб і його похідну можна шукати з використанням правил диференціювання. Але з громіздкості висловлювання це вимагатиме безлічі перетворень. У таких випадках розумніше використовувати формулу логарифмічної похідної . Чому? Ви зараз зрозумієте.

Знайдемо спочатку. У перетвореннях будемо використовувати властивості логарифму (логарифм дробу дорівнює різниці логарифмів, а логарифм твору дорівнює сумі логарифмів, а також ступінь у виразу під знаком логарифму можна винести як коефіцієнт перед логарифмом):

Ці перетворення привели нас до досить простого виразу, похідна якого легко перебуває:

Підставляємо отриманий результат у формулу логарифмічної похідної та отримуємо відповідь:

Для закріплення матеріалу наведемо ще кілька прикладів без докладних пояснень.

приклад.

Знайдіть похідну показово статечної функції

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації будь-коли, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведено деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної пошти тощо.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і суворо стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.

Похідна натурального логарифму від x дорівнює одиниці, поділеній на x:
(1) (ln x)′ =.

Похідна логарифма на основі a дорівнює одиниці, поділеній на змінну x, помножену на натуральний логарифм від a :
(2) (log a x)′ =.

Доказ

Нехай є деяке позитивне число, що не дорівнює одиниці. Розглянемо функцію, яка залежить від змінної x , яка є логарифмом на підставі:
.
Ця функція визначена за . Знайдемо її похідну за змінною x. За визначенням, похідна є такою межею:
(3) .

Перетворимо цей вираз, щоб звести його до відомих математичних властивостей та правил. Для цього нам потрібно знати такі факти:
А)Властивості логарифму. Нам знадобляться такі формули:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б)Безперервність логарифму та властивість меж для безперервної функції:
(7) .
Тут - деяка функція, у якої існує межа і ця межа позитивна.
В)Значення другої чудової межі:
(8) .

Застосовуємо ці факти до нашої межі. Спочатку перетворимо алгебраїчне вираз
.
Для цього застосуємо властивості (4) та (5).

.

Скористаємося властивістю (7) та другою чудовою межею (8):
.

І, нарешті, застосуємо властивість (6):
.
Логарифм на підставі eназивається натуральним логарифмом. Він позначається так:
.
Тоді;
.

Тим самим ми отримали формулу (2) похідної логарифму.

Похідна натуральна логарифма

Ще раз випишемо формулу похідної логарифму на підставі a:
.
Ця формула має найпростіший вид для натурального логарифму, для якого . Тоді
(1) .

Через таку простоту, натуральний логарифм дуже широко використовується в математичному аналізі та інших розділах математики, пов'язаних з диференціальним обчисленням. Логарифмічні функції з іншими підставами можна виразити через натуральний логарифм, використовуючи властивість (6):
.

Похідну логарифму з основи можна знайти з формули (1), якщо винести постійну за знак диференціювання:
.

Інші способи підтвердження похідної логарифму

Тут ми припускаємо, що нам відома формула похідної експоненти:
(9) .
Тоді ми можемо вивести формулу похідної натурального логарифму з огляду на те, що логарифм є зворотною функцією до експоненти.

Доведемо формулу похідної натурального логарифму, застосувавши формулу похідної зворотної функції:
.
У нашому випадку . Зворотною функцією до натурального логарифму є експонент:
.
Її похідна визначається за такою формулою (9). Змінні можна позначити будь-якою літерою. У формулі (9) замінимо змінну x на y:
.
Оскільки , то
.
Тоді
.
Формулу доведено.

Тепер доведемо формулу похідної натурального логарифму за допомогою правила диференціювання складної функції. Оскільки функції є зворотними один до одного, то
.
Диференціюємо це рівняння по змінній x:
(10) .
Похідна від ікса дорівнює одиниці:
.
Застосовуємо правило диференціювання складної функції:
.
Тут. Підставимо в (10):
.
Звідси
.

Приклад

Знайти похідні від ln 2x, ln 3xі ln nx.

Рішення

Вихідні функції мають схожий вигляд. Тому ми знайдемо похідну від функції y = ln nx. Потім підставимо n = 2 та n = 3 . І, тим самим, отримаємо формули для похідних від ln 2xі ln 3x .

Отже, шукаємо похідну від функції
y = ln nx .
Уявімо цю функцію як складну функцію, що складається з двох функцій:
1) Функції, яка залежить від змінної: ;
2) Функції, яка залежить від змінної: .
Тоді вихідна функція складена з функцій та:
.

Знайдемо похідну від функції змінної x:
.
Знайдемо похідну від функції змінної :
.
Застосовуємо формулу похідної складної функції.
.
Тут ми підставили.

Отже, ми знайшли:
(11) .
Ми, що похідна залежить від n . Цей результат є цілком природним, якщо перетворити вихідну функцію, застосовуючи формулу логарифму від твору:
.
– це постійна. Її похідна дорівнює нулю. Тоді за правилом диференціювання суми маємо:
.

Відповідь

; ; .

Похідна логарифма модуля x

Знайдемо похідну від ще однієї дуже важливої ​​функції - натурального логарифму від модуля x:
(12) .

Розглянемо випадок. Тоді і функція має вигляд:
.
Її похідна визначається за формулою (1):
.

Тепер розглянемо випадок. Тоді і функція має вигляд:
,
де.
Але похідну цієї функції ми також знайшли у наведеному вище прикладі. Вона не залежить від n і дорівнює
.
Тоді
.

Об'єднуємо ці два випадки в одну формулу:
.

Відповідно, для логарифму на підставі a маємо:
.

Похідні вищих порядків натурального логарифму

Розглянемо функцію
.
Ми знайшли її похідну першого порядку:
(13) .

Знайдемо похідну другого порядку:
.
Знайдемо похідну третього порядку:
.
Знайдемо похідну четвертого порядку:
.

Можна помітити, що похідна n-го порядку має вигляд:
(14) .
Доведемо це методом математичної індукції.

Доказ

Підставимо у формулу (14) значення n = 1:
.
Оскільки , то за n = 1 , Формула (14) справедлива.

Припустимо, що формула (14) виконується за n = k . Доведемо, що з цього випливає, що формула справедлива за n = k + 1 .

Справді, за n = k маємо:
.
Диференціюємо по змінній x:

.
Отже, ми отримали:
.
Ця формула збігається з формулою (14) за n = k + 1 . Таким чином, з припущення, що формула (14) справедлива за n = k випливає, що формула (14) справедлива за n = k + 1 .

Тому формула (14), для похідної n-го порядку, справедлива будь-яких n .

Похідні вищих порядків логарифму на підставі a

Щоб знайти похідну n-го порядку від логарифму на підставі a потрібно виразити його через натуральний логарифм:
.
Застосовуючи формулу (14), знаходимо n-ю похідну:
.

Вам здається, що до іспиту ще багато часу? Це місяць? Два? Рік? Практика показує, що учень найкраще справляється з іспитом у разі, коли почав готуватися щодо нього заздалегідь. У ЄДІ чимало складних завдань, які стоять на шляху школяра та майбутнього абітурієнта до найвищих балів. Ці перепони треба навчитися долати, до того ж робити це нескладно. Вам необхідно зрозуміти принцип роботи з різними завданнями з квитків. Тоді й із новими не виникне проблем.

Логарифми здавалося б неймовірно складними, але за детальному розборі ситуація значно спрощується. Якщо ви хочете здати ЄДІ на вищий бал, вам варто розібратися в поняття, що розглядається, що ми і пропонуємо зробити в цій статті.

Спочатку розділимо ці визначення. Що таке логарифм (log)? Це показник ступеня, в який треба звести основу, щоб отримати вказане число. Якщо незрозуміло, розберемо елементарний приклад.

У цьому випадку основу, що стоїть внизу, необхідно звести на другий ступінь, щоб отримати число 4.

Тепер розберемося з другим поняттям. Похідна функції у вигляді називається поняття, що характеризує зміна функції у наведеній точці. Втім, це шкільна програма, і якщо ви маєте проблеми з даними поняттями окремо, варто повторити тему.

Похідна логарифма

У завдання ЄДІ з цієї теми можна навести кілька завдань як приклад. Для початку найпростіша логарифмічна похідна. Необхідно знайти похідну наступної функції.

Нам потрібно знайти наступну похідну

Існує спеціальна формула.

І тут x=u, log3x=v. Підставляємо значення нашої функції у формулу.

Похідна x дорівнюватиме одиниці. З логарифмом трохи складніше. Але принцип ви зрозумієте, якщо просто підставите значення. Нагадаємо, що похідною lg x називається похідна десяткового логарифму, а похідна ln х - це похідна від натурального логорифму (на підставі e).

Тепер просто підставте отримані значення формулу. Спробуйте самі, далі звіримо відповідь.

У чому може бути проблема для деяких? Ми запровадили поняття натурального логарифму. Розповімо про нього, а заразом розберемося, як вирішувати завдання з ним. Нічого складного ви не побачите, особливо коли зрозумієте принцип його роботи. До нього вам варто звикнути, тому що він часто використовується в математиці (у вищих навчальних закладах тим більше).

Похідна натуральна логарифма

За своєю суттю, це похідна логарифма на основі e (це ірраціональне число, яке дорівнює приблизно 2,7). Насправді ln дуже простий, тому часто використовується в математиці загалом. Власне, вирішення завдання з ним також не стане проблемою. Варто запам'ятати, що похідна від натурального логарифму на підставі е дорівнює одиниці поділеної на x. Найпоказовішим буде рішення наступного прикладу.

Уявімо її як складну функцію, що складається з двох простих.

Достатньо перетворити

Шукаємо похідну від u до x