Цікаві способи множення багатозначних чисел. Проект на тему: "Незвичайні способи множення"

хрещеників Василь

Тема роботи " незвичайні способи обчислення »цікава і актуальна, так як учні постійно виконують арифметичні дії над числами, а вміння швидко обчислювати, підвищує успішність у навчанні та розвиває гнучкість розуму.

Василь зумів ясно викласти причини свого звернення до даної теми, правильно сформулював мету і завдання роботи. Вивчивши різні джерела інформації, знайшов цікаві і незвичайні способи множення і навчився застосовувати їх на практиці. Учень розглянув плюси і мінуси кожного способу і зробив правильний висновок. Достовірність висновку підтверджує новий спосіб множення. При цьому учень вміло користується спеціальною термінологією і знаннями поза шкільної програми математики. Тема роботи відповідає змісту, матеріал викладений чітко і доступно.

Результати роботи мають практичне значення і можуть бути цікавими широкому колу людей.

Завантажити:

Попередній перегляд:

МОУ «Куровська середня загальноосвітня школа №6 »

РЕФЕРАТ З МАТЕМАТИКИ НА ТЕМУ:

«НЕЗВИЧНІ СПОСОБИ МНОЖЕННЯ».

Виконав учень 6 «б» класу

Хрещеників Василь.

керівник:

Смирнова Тетяна Володимирівна.

2011р.

  1. Вступ .............................................................................. ...... 2
  2. Основна частина. Незвичайні способи множення ........................... ... 3

2.1. Трохи історії ........................................................................ ..3

2.2. Множення на пальцях ............................................................... ... 4

2.3. Множення на 9 ........................................................................... 5

2.4. Індійський спосіб множення ...................................................... .6

2.5. Множення способом «Маленький замок» ....................................... 7

2.6. Множення способом «Ревнощі» ................................................ ... 8

2.7. Селянський спосіб множення ................................................ ..... 9

2.8 Новий спосіб ........................................................................... ..10

  1. Висновок .............................................................................. ... 11
  2. Список літератури ..................................................................... .12

I. Вступ.

людині в повсякденному житті неможливо обійтися без обчислень. Тому на уроках математики, нас в першу чергу вчать виконувати дії над числами, тобто вважати. Множимо, ділимо, складаємо і віднімаємо ми звичними для всіх способами, які вивчаються в школі.

Одного разу мені випадково попалася книга С. Н. Олехнік, Ю. В. Нестеренко та М. К. Потапова «Старовинні цікаві завдання». Гортаючи цю книгу, мою увагу привернула сторінка під назвою «Множення на пальцях». Виявилося, що можна множити не тільки тому що пропонують нам в підручниках математики. Мені стало цікаво, а чи є ще якісь способи обчислень. Адже здатність швидко робити обчислення викликає відверте здивування.

Постійне застосування сучасної обчислювальної техніки призводить до того, що учні не можуть проводити будь-які розрахунки, не маючи в своєму розпорядженні таблиць або лічильної машини. Знання спрощених прийомів обчислень дає можливість не тільки швидко виробляти прості розрахунки в розумі, а й контролювати, оцінювати, знаходити і виправляти помилки в результаті механізованих обчислень. Крім того, освоєння обчислювальних навичок розвиває пам'ять, підвищує рівень математичної культури мислення, допомагає повноцінно засвоювати предмети фізико-математичного циклу.

Мета роботи:

Показати незвичайні способи множення.

завдання:

  1. Знайти якомога більше незвичайних способів обчислень.
  2. Навчитися їх застосовувати.
  3. Вибрати для себе найцікавіші або легші, ніж ті які пропонуються в школі, і використовувати їх при рахунку.

II. Основна частина. Незвичайні способи множення.

2.1. Трохи історії.

Ті способи обчислень, якими ми користуємося зараз, не завжди були такі прості і зручні. За старих часів користувалися більш громіздкими і повільними прийомами. І якби школяр 21 століття міг перенестися на п'ять століть тому, він побив би наших предків швидкістю і безпомилковістю своїх обчислень. Чутка про нього облетіла б навколишні школи і монастирі, затьмаривши славу майстерних лічильників тієї епохи, і з усіх боків приїжджали б вчитися у нового великого майстра.

Особливо важкі в старовину були дії множення і ділення. Тоді не існувало одного виробленого практикою прийому для кожної дії. Навпаки, в ходу була одночасно мало не дюжина різних способів множення і ділення - прийоми один іншого заплутаніше, запам'ятати які не в силах була людина середніх здібностей. Кожен учитель рахункового справи тримався свого улюбленого прийому, кожен «магістр поділу» (були такі фахівці) вихваляв власний спосіб виконання цієї дії.

У книзі В. Беллюстин «Як поступово дійшли люди до справжньої арифметики» викладено 27 способів множення, причому автор зауважує: «цілком можливо, що є й ще способи, приховані в тайниках книгосховищ, розкидані в численних, головним чином, рукописних збірниках».

І всі ці прийоми множення - «шаховий або органчиком», «загинанням», «хрестиком», «гратами», «задом наперед», «алмазом» та інші змагалися один з одним і засвоювалися з великими труднощами.

Давайте розглянемо найбільш цікаві та прості способи множення.

2.2. Множення на пальцях.

Давньоруський спосіб множення на пальцях є одним з найбільш уживаних методів, яким успішно користувалися протягом багатьох століть російські купці. Вони навчилися множити на пальцях однозначні числа від 6 до 9. При цьому досить було володіти початковими навичками пальцевого рахунку "одиницями", "парами", "трійками", "четвірками", "п'ятірками" і "десятками". Пальці рук тут служили допоміжним обчислювальним пристроєм.

Для цього на одній руці витягали стільки пальців, на скільки перший множник перевершує число 5, а на другий робили те ж саме для другого множника. Інші пальці загинали. Потім бралося число (сумарне) витягнутих пальців і множилося на 10, далі перемножується числа, які свідчили, скільки загнуто пальців на руках, а результати складалися.

Наприклад, помножимо 7 на 8. У розглянутому прикладі буде загнуто 2 і 3 пальці. Якщо скласти кількості загнутих пальців (2 + 3 \u003d 5) і перемножити кількість не загнутих (2 3 \u003d 6), то вийдуть відповідно числа десятків і одиниць шуканого твори 56. Так можна обчислювати твір будь-яких однозначних чисел, Більше 5.

2.3. Множення на 9.

Множення для числа 9 - 9 · 1, 9 · 2 ... 9 · 10 - легше вивітрюється з пам'яті і важче перераховується вручну методом складання, однак саме для числа 9 множення легко відтворюється "на пальцях". Растопирьте пальці на обох руках і поверніть руки долонями від себе. Подумки надайте пальцях послідовно числа від 1 до 10, починаючи з мізинця лівої руки і закінчуючи мізинцем правої руки (це зображено на малюнку).

Припустимо, хочемо помножити 9 на 6. Загинаємо палець з номером, рівним числу, На яке ми будемо множити дев'ятку. У нашому прикладі потрібно загнути палець з номером 6. Кількість пальців зліва від загнутого пальця показує нам кількість десятків у відповіді, кількість пальців справа - кількість одиниць. Зліва у нас 5 пальців не загнуті, праворуч - 4 пальці. Таким чином, 9 · 6 \u003d 54. Нижче на малюнку детально показаний весь принцип "обчислення".

Ще приклад: потрібно обчислити 9 · 8 \u003d ?. По ходу справи скажімо, що в якості "лічильної машинки" не обов'язково можуть виступати пальці рук. Візьміть, наприклад, 10 клітинок в зошиті. Зачеркиваем 8-ю клітинку. Зліва залишилося 7 клітинок, праворуч - 2 клітинки. Значить 9 · 8 \u003d 72. Все дуже просто.

7 клітин 2 клітини.

2.4. Індійський спосіб множення.

Найцінніший внесок у скарбницю математичних знань був здійснений в Індії. Індуси запропонували вживається нами спосіб запису чисел за допомогою десяти знаків: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Основа цього способу полягає в ідеї, що одна і та ж цифра позначає одиниці, десятки, сотні або тисячі, залежно від того, яке місце ця цифра займає. Займане місце, в разі відсутності будь - небудь розрядів, визначається нулями, що приписуються до цифр.

Індуси відмінно вважали. Вони придумали дуже простий спосіб множення. Вони множення виконували, починаючи зі старшого розряду, і записували неповні твори якраз над множимо, поразрядно. При цьому відразу було видно старший розряд повного твори і, крім того, виключався пропуск будь-якої цифри. Знак множення ще не був відомий, тому між множниками вони залишали невелику відстань. Наприклад, помножимо їх способом 537 на 6:

537 6

(5 ∙ 6 =30) 30

537 6

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

537 6

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

2.5. Множення способом «МАЛЕНЬКИЙ ЗАМОК».

Множення чисел зараз вивчають в першому класі школи. А ось в Середні століття лише одиниці володіли мистецтвом множення. Рідкісний аристократ міг похвалитися знанням таблиці множення, навіть якщо він закінчив європейський університет.

За тисячоліття розвитку математики було придумано безліч способів множення чисел. Італійський математик Лука Пачолі у своєму трактаті «Сума знань з арифметики, відносинам і пропорційності» (1494 г.) призводить вісім різних методів множення. Перший з них носить назву «Маленький замок», а другий не менш романтичну назву «Ревнощі або загратоване множення».

Перевага способу множення «Маленький замок» в тому, що вже з самого початку визначаються цифри старших розрядів, а це буває важливо, якщо потрібно швидко оцінити величину.

Цифри верхнього числа, починаючи зі старшого розряду, по черзі множаться на нижню число і записуються в стовпчик з додаванням потрібного числа нулів. Потім результати складаються.

2.6. Множення чисел методом «ревнощі».

Другий спосіб носить романтичну назву «ревнощі», або «гратчасте множення».

Спочатку малюється прямокутник, розділений на квадрати, причому розміри сторін прямокутника відповідають числу десяткових знаків у множимо і множника. Потім квадратні клітини, діляться по діагоналі, і «... виходить картинка, схожа на гратчасті віконниці-жалюзі, - пише Пачолі. - Такі віконниці вішалися на вікна венеціанських будинків, заважаючи вуличним перехожим бачити, що сидять біля вікон дам і черниць ».

Помножимо цим способом 347 на 29. Накреслимо таблицю, запишемо над нею число 347, а праворуч число 29.

У кожен рядок запишемо твір цифр, що стоять над цією клітиною і праворуч від неї, при цьому цифру десятків твори напишемо над косою рисою, а цифру одиниць - під нею. Тепер складаємо числа в кожній косою смузі, виконуючи цю операцію, справа наліво. Якщо сума виявиться менше 10, то її пишемо під нижньою цифрою смуги. Якщо ж вона виявиться більше, ніж 10, то пишемо тільки цифру одиниць суми, а цифру десятків додаємо до наступної сумі. В результаті отримуємо дані твір 10063.

3 4 7

10 0 6 3

2.7. Селянський спосіб множення.

Самим, на мій погляд, «рідним» і легким способом множення є спосіб, який вживали російські селяни. Цей прийом взагалі не вимагає знання таблиці множення далі числа 2. Сутність його в тому, що множення будь-яких двох чисел зводиться до ряду послідовних поділів одного числа навпіл при одночасному подвоєнні іншого числа. Розподіл навпіл продовжують до тих пір, поки в приватному не вийде 1, паралельно подвоюючи інше число. Останнє подвійну кількість і дає шуканий результат.

У разі непарного числа треба відкинути одиницю і ділити залишок навпіл; але зате до останнього числа правого стовпчика потрібно буде додати всі ті числа цього стовпця, які стоять проти непарних чисел лівого стовпця: сума і буде шуканим твором

37……….32

74……….16

148……….8

296……….4

592……….2

1184……….1

Твір всіх пар відповідних чисел однакове, тому

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

У разі, коли одне з чисел непарне або обидва числа непарні, чинимо так:

24 ∙ 17

24 ∙ 16 =

48 ∙ 8 =

96 ∙ 4 =

192 ∙ 2 =

384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408

2.8. Новий спосіб множення.

Цікавий новий спосіб множення, про який недавно з'явилися повідомлення. Винахідник нової системи усного рахунку кандидат філософських наук Василь Оконешніков стверджує, що людина здатна запам'ятовувати величезний запас інформації, головне - як цю інформацію розташувати. На думку самого вченого, найбільш виграшною в цьому відношенні є девятерічня система - всі дані просто розташовують в дев'яти осередках, розташованих, як кнопочки на калькуляторі.

Вважати за такою таблиці дуже просто. Наприклад, помножимо число 15647 на 5. У частині таблиці, відповідної п'ятірці, вибираємо числа, відповідні цифрам числа по порядку: одиниці, п'ятірці, шістці, четвірці і сімці. Отримуємо: 05 25 30 20 35

Ліву цифру (в нашому прикладі - нуль) залишаємо без змін, а наступні цифри складаємо попарно: п'ятірку з двійкою, п'ятірку з трійкою, нуль з двійкою, нуль з трійкою. Остання цифра також без змін.

В результаті отримуємо: 078235. Число 78235 і є результат множення.

Якщо ж при складанні двох чисел виходить число, що перевершує дев'ять, то його перша цифра додається до попередньої цифри результату, а друга пишеться на «своє» місце.

III. Висновок.

З усіх знайдених мною незвичайних способів рахунку більш цікавим видався спосіб «гратчастого множення або ревнощі». Я показав його своїм однокласникам, і він їм теж дуже сподобався.

Найпростішим мені здався метод «подвоєння і роздвоєння», який використовували російські селяни. Я його використовую при множенні не дуже великих чисел (дуже зручно його використовувати при множенні двозначних чисел).

Зацікавив мене новий спосіб множення, тому що він дозволяє в розумі «перевертати» величезними числами.

Я думаю, що і наш спосіб множення в стовпчик не є досконалим і можна придумати ще більш швидкі і більш надійні способи.

  1. Література.
  1. Депман І. «Розповіді про математику». - Ленінград .: Просвещение, 1954. - 140 с.
  2. Корнєєв А.А. Феномен російського множення. Історія. http://numbernautics.ru/
  3. Олехнік С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старовинні цікаві завдання». - М .: Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1985. - 160 с.
  4. Перельман Я. І. Швидкий рахунок. тридцять простих прийомів усного рахунку. Л., 1941 - 12 с.
  5. Перельман Я. І. Цікава арифметика. М.Русанова, 1994--205с.https://accounts.google.com

    Підписи до слайдів:

    Роботу виконав учень 6 «Б» класу Хрещеників Василь. Керівник: Смирнова Тетяна Володимирівна Незвичайні способи множення

    Мета роботи: Показати незвичайні способи множення. Завдання: Знайти незвичайні способи множення. Навчитися їх застосовувати. Вибрати для себе найцікавіші або легші і використовувати їх при рахунку.

    Множення на пальцях.

    Множення на 9

    Італійський математик Лука Пачіолі народився в 1445 році.

    Множення способом "Маленький замок"

    Множення методом «Ревнощі»

    Множення м етод решітки. 3 4 7 2 9 6 8 1 4 3 6 6 3 7 2 3 6 0 10 347 29 \u003d 10063

    Русский селянський спосіб 37 32 37 ......... .32 74 ......... .16 148 ......... .8 296 ......... .4 592 ......... .2 1184 ......... 1 37 32 \u003d 1184

    Дякуємо за увагу

проблема : Розібратися видах множення

мета: Ознайомлення з різними способами множення натуральних чисел, Що не використовуються на уроках, і їх застосування при обчисленнях числових виразів.
завдання:
1. Знайти і розібрати різні способи множення.
2. Навчитися демонструвати деякі способи множення.
3. Розповісти про нові способи множення і навчити ними користуватися учнів.
4. Розвинути навички самостійної роботи: Пошук інформації, відбір і оформлення знайденого матеріалу.
5. Експеримент «який спосіб швидше»
гіпотеза: Чи треба знати таблицю множення?
актуальність: Останнім часом учні довіряють гаджетам більше ніж собі. І з цього вважають тільки на калькуляторах. Ми хотіли показати що є різні способи множення, що б учням було легше вважати, і цікаво вчити.
ВСТУП
Ви не зможете виконати множення багатозначних чисел - хоча б навіть двозначних - якщо не пам'ятаєте напам'ять всіх результатів множення однозначних чисел, т. Е. Того, що називається таблицею множення.
В різний час різні народи володіли різними способами множення натуральних чисел.
Чому ж зараз всі народи застосовують один спосіб множення "стовпчиком"?
Чому люди відмовилися від старих способів множення на користь сучасного?
Чи мають забуті способи множення право на існування в наш час?
Що б відповісти на ці питання я виконав наступну роботу:
1. За допомогою мережі Інтернету знайшов інформацію про деякі способи множення, які використовувалися раніше .;
2. Вивчив літературу, запропоновану вчителем;
3. Вирішив пару прикладів усіма вивченими способами, що б дізнатися їх недоліки;
4) Виявив серед них найбільш ефективні;
5. Провів експеримент;
6. Зробив висновки.
1. Знайти і розібрати різні способи множення.
Множення на пальцях.

Давньоруський спосіб множення на пальцях є одним з найбільш уживаних методів, яким успішно користувалися протягом багатьох століть російські купці. Вони навчилися множити на пальцях однозначні числа від 6 до 9. При цьому досить було володіти початковими навичками пальцевого рахунку "одиницями", "парами", "трійками", "четвірками", "п'ятірками" і "десятками". Пальці рук тут служили допоміжним обчислювальним пристроєм.

Для цього на одній руці витягали стільки пальців, на скільки перший множник перевершує число 5, а на другий робили те ж саме для другого множника. Інші пальці загинали. Потім бралося число (сумарне) витягнутих пальців і множилося на 10, далі перемножується числа, які свідчили, скільки загнуто пальців на руках, а результати складалися.

Наприклад, помножимо 7 на 8. У розглянутому прикладі буде загнуто 2 і 3 пальці. Якщо скласти кількості загнутих пальців (2 + 3 \u003d 5) і перемножити кількість не загнутих (2 3 \u003d 6), то вийдуть відповідно числа десятків і одиниць шуканого твори 56. Так можна обчислювати твір будь-яких однозначних чисел, більше 5.

Способи множення чисел в різних країнах

Множення на 9.

Множення для числа 9 - 9 · 1, 9 · 2 ... 9 · 10 - легше вивітрюється з пам'яті і важче перераховується вручну методом складання, однак саме для числа 9 множення легко відтворюється «на пальцях». Растопирьте пальці на обох руках і поверніть руки долонями від себе. Подумки надайте пальцях послідовно числа від 1 до 10, починаючи з мізинця лівої руки і закінчуючи мізинцем правої руки (це зображено на малюнку).

Хто придумав множення на пальцях

Припустимо, хочемо помножити 9 на 6. Загинаємо палець з номером, що дорівнює кількості, на яке ми будемо множити дев'ятку. У нашому прикладі потрібно загнути палець з номером 6. Кількість пальців зліва від загнутого пальця показує нам кількість десятків у відповіді, кількість пальців справа - кількість одиниць. Зліва у нас 5 пальців не загнуті, праворуч - 4 пальці. Таким чином, 9 · 6 \u003d 54. Нижче на малюнку детально показаний весь принцип «обчислення».

Множення незвичайним способом

Ще приклад: потрібно обчислити 9 · 8 \u003d ?. По ходу справи скажімо, що в якості «лічильної машинки» не обов'язково можуть виступати пальці рук. Візьміть, наприклад, 10 клітинок в зошиті. Зачеркиваем 8-ю клітинку. Зліва залишилося 7 клітинок, праворуч - 2 клітинки. Значить 9 · 8 \u003d 72. Все дуже просто.

7 клітин 2 клітини.

Індійський спосіб множення.

Найцінніший внесок у скарбницю математичних знань був здійснений в Індії. Індуси запропонували вживається нами спосіб запису чисел за допомогою десяти знаків: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Основа цього способу полягає в ідеї, що одна і та ж цифра позначає одиниці, десятки, сотні або тисячі, залежно від того, яке місце ця цифра займає. Займане місце, в разі відсутності будь - небудь розрядів, визначається нулями, що приписуються до цифр.

Індуси відмінно вважали. Вони придумали дуже простий спосіб множення. Вони множення виконували, починаючи зі старшого розряду, і записували неповні твори якраз над множимо, поразрядно. При цьому відразу було видно старший розряд повного твори і, крім того, виключався пропуск будь-якої цифри. Знак множення ще не був відомий, тому між множниками вони залишали невелику відстань. Наприклад, помножимо їх способом 537 на 6:

(5 ∙ 6 =30) 30

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

6
Множення способом «МАЛЕНЬКИЙ ЗАМОК».

Множення чисел зараз вивчають в першому класі школи. А ось в Середні століття лише одиниці володіли мистецтвом множення. Рідкісний аристократ міг похвалитися знанням таблиці множення, навіть якщо він закінчив європейський університет.

За тисячоліття розвитку математики було придумано безліч способів множення чисел. Італійський математик Лука Пачолі у своєму трактаті «Сума знань з арифметики, відносинам і пропорційності» (1494 г.) призводить вісім різних методів множення. Перший з них носить назву «Маленький замок», а другий не менш романтичну назву «Ревнощі або загратоване множення».

Перевага способу множення «Маленький замок» в тому, що вже з самого початку визначаються цифри старших розрядів, а це буває важливо, якщо потрібно швидко оцінити величину.

Цифри верхнього числа, починаючи зі старшого розряду, по черзі множаться на нижню число і записуються в стовпчик з додаванням потрібної кількості нулів. Потім результати складаються.

Способи множення чисел в різних країнах

Множення чисел методом «ревнощі».

«Методи множення Другий спосіб носить романтичну назву ревнощі», або «гратчасте множення».

Спочатку малюється прямокутник, розділений на квадрати, причому розміри сторін прямокутника відповідають числу десяткових знаків у множимо і множника. Потім квадратні клітини, діляться по діагоналі, і «... виходить картинка, схожа на гратчасті віконниці-жалюзі, - пише Пачолі. - Такі віконниці вішалися на вікна венеціанських будинків, заважаючи вуличним перехожим бачити, що сидять біля вікон дам і черниць ».

Помножимо цим способом 347 на 29. Накреслимо таблицю, запишемо над нею число 347, а праворуч число 29.

У кожен рядок запишемо твір цифр, що стоять над цією клітиною і праворуч від неї, при цьому цифру десятків твори напишемо над косою рисою, а цифру одиниць - під нею. Тепер складаємо числа в кожній косою смузі, виконуючи цю операцію, справа наліво. Якщо сума виявиться менше 10, то її пишемо під нижньою цифрою смуги. Якщо ж вона виявиться більше, ніж 10, то пишемо тільки цифру одиниць суми, а цифру десятків додаємо до наступної сумі. В результаті отримуємо дані твір 10063.

Селянський спосіб множення.

Самим, на мій погляд, «рідним» і легким способом множення є спосіб, який вживали російські селяни. Цей прийом взагалі не вимагає знання таблиці множення далі числа 2. Сутність його в тому, що множення будь-яких двох чисел зводиться до ряду послідовних поділів одного числа навпіл при одночасному подвоєнні іншого числа. Розподіл навпіл продовжують до тих пір, поки в приватному не вийде 1, паралельно подвоюючи інше число. Останнє подвійну кількість і дає шуканий результат.

У разі непарного числа треба відкинути одиницю і ділити залишок навпіл; але зате до останнього числа правого стовпчика потрібно буде додати всі ті числа цього стовпця, які стоять проти непарних чисел лівого стовпця: сума і буде шуканим твором

Твір всіх пар відповідних чисел однакове, тому

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

У разі, коли одне з чисел непарне або обидва числа непарні, чинимо так:

384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408
Новий спосіб множення.

Цікавий новий спосіб множення, про який недавно з'явилися повідомлення. Винахідник нової системи усного рахунку кандидат філософських наук Василь Оконешніков стверджує, що людина здатна запам'ятовувати величезний запас інформації, головне - як цю інформацію розташувати. На думку самого вченого, найбільш виграшною в цьому відношенні є девятерічня система - всі дані просто розташовують в дев'яти осередках, розташованих, як кнопочки на калькуляторі.

Вважати за такою таблиці дуже просто. Наприклад, помножимо число 15647 на 5. У частині таблиці, відповідної п'ятірці, вибираємо числа, відповідні цифрам числа по порядку: одиниці, п'ятірці, шістці, четвірці і сімці. Отримуємо: 05 25 30 20 35

Ліву цифру (в нашому прикладі - нуль) залишаємо без змін, а наступні цифри складаємо попарно: п'ятірку з двійкою, п'ятірку з трійкою, нуль з двійкою, нуль з трійкою. Остання цифра також без змін.

В результаті отримуємо: 078235. Число 78235 і є результат множення.

Якщо ж при складанні двох чисел виходить число, що перевершує дев'ять, то його перша цифра додається до попередньої цифри результату, а друга пишеться на «своє» місце.

Заключеніе.

Працюючи над цією темою, я дізнався, що існує близько 30 різних, забавних і цікавих способів множення. Деякими в різних країнах користуються досі. Я вибрав для себе деякі цікаві способи. Але не всі способи зручні у використанні, особливо при множенні багатозначних чисел.

способи множення







другий спосіб множення:

НА Русі селяни не застосовували таблиці множення, але прекрасно вважали твір багатозначних чисел.

На Русі, починаючи з глибокої давнини і майже до вісімнадцятогостоліття, російські люди в своїх обчисленнях обходилися без множення іділення. Вони застосовували лише два арифметичних дії - додавання івіднімання. Та ще так зване «подвоєння» і «роздвоєння». алепотреби торгової та іншої діяльності вимагали вироблятимноження досить великих чисел, як двозначних так і тризначних.Для цього існував свій особливий спосіб множення таких чисел.

Сутність старовинного російського способу множення полягає в тому, щомноження будь-яких двох чисел зводилося до ряду послідовних поділіводного числа навпіл (послідовне роздвоєння) при одночасномуподвоєнні іншого числа.

Наприклад, якщо в творі 24 ∙ 5 множимое 24 зменшити в дварази (роздвоїти), а множимое збільшити в два рази (подвоїти), тобто взятитвір 12 ∙ 10, то твір залишається рівним числу 120. Цеякість праці помітили наші далекі предки і навчилисязастосовувати його при множенні чисел своїм особливим старовинним російськимспособом множення.

Помножимо цим способом 32 ∙ 17 ..
32 ∙ 17
16 ∙ 34
8 ∙ 68
4 ∙ 136
2 ∙ 272
1 ∙ 544 Відповідь: 32 ∙ 17 \u003d 544.

У розібраному прикладі розподіл на два - "роздвоєння" відбуваєтьсябез залишку. А як бути, якщо множник не ділиться на два без залишку? Іце здавалося по плечу древнім обчислювачам. В цьому випадку надходили так:
21 ∙ 17
10 ∙ 34
5 ∙ 68
2 ∙ 136
1 ∙ 272
357 Відповідь: 357.

З прикладу видно, що якщо множимое не ділиться на два, то від ньогоспочатку забирали одиницю, потім отриманий результат роздвоюється »і так5 до кінця. Потім все рядки з парними множимо викреслювали (2-я, 4-а,6-а і т.д.), а всі праві частини залишилися рядків складали і отримувалишукане твір.

Як же міркували стародавні обчислювачі, обгрунтовуючи свій спосібобчислення? А ось як:21 ∙ 17 = 20 ∙ 17 + 17.
Число 17 запам'ятовується, а твір 20 ∙ 17 \u003d 10 ∙ 34 (роздвоюємо -подвоюємо) і записуємо. Твір 10 ∙ 34 \u003d 5 ∙ 68 (роздвоюємо -подвоюємо), а як би зайве твір 10 ∙ 34 викреслюємо. Так як 5 * 34\u003d 4 ∙ 68 + 68, то число 68 запам'ятовується, тобто третя рядок не викреслюється, а4 ∙ 68 \u003d 2 ∙ 136 \u003d 1 ∙ 272 (роздвоюємо - подвоюємо), при цьому четвертарядок, що містить як би зайве твір 2 ∙ 136, викреслюється, ачисло 272 запам'ятовується. Ось і виходить, що, щоб помножити 21 на 17,треба скласти числа 17, 68 і 272 - це якраз і є равие частини рядківсаме з непарними множимо.
Русский спосіб множення і елегантний і екстравагантний одночасно





Пропоную Вашій увазі три приклади в кольорових картинках (в правому верхньому куті перевірки стовпчик).

Приклад №1: 12 × 321 = 3852
малюємо перше число зверху вниз, зліва на право: одна зелененька паличка ( 1 ); дві помаранчевих палички ( 2 ). 12 намалювали.
малюємо друге число від низу до верху, зліва на право: три блакитних палички ( 3 ); дві червоненькі ( 2 ); одну Сиреневенький ( 1 ). 321 намалювали.

Тепер простим олівцем по малюнку прогуляємося, крапочки перетину чисел-паличок на частини розділимо і приступимо до підрахунку крапочок. Рухаємося справа наліво (за годинниковою стрілкою): 2 , 5 , 8 , 3 . Число-результат будемо «збирати» зліва направо (проти годинникової стрілки) і ... вуаля, отримали 3852
























Приклад №2: 24 × 34 = 816
У цьому прикладі є нюанси. При підрахунку крапочок в першій частині вийшло 16 . Одиничку відправляємо-додаємо до крапочками другій частині ( 20 + 1 )…












Приклад №3: 215 × 741 = 159315
Без коментарів








На перших порах здався мені трохи вигадливим, але при цьому інтригуючим і дивно гармонійним. На п'ятому прикладі зловила себе на думці, що множення йде в років і працює в режимі автопілота: Малюємо, крапочки вважаємо, про таблицю множення не згадувати, ніби як ми її взагалі не знаємо.



Якщо чесно, то здійснюючи перевірку рісовательного способу множення і звернувшись до множення стовпчиком, і не раз, і не два на свій сором зазначила деякі пригальмовування, які свідчили про те, що таблиця множення у мене проржавіла в деяких місцях і забувати її таки не варто. При роботі з більш «серйозними» числами рісовательний спосіб множення став надто громіздким, а множення стовпчиком пішло в радість.

P.S.: Слава і хвала рідному стовпчику!
У плані побудови спосіб невибагливий і компактний, дуже навіть швидкісний, пам'ять тренує - таблицю множення забувати не допускає.


І тому, настійно рекомендую і собі і Вам по можливості забувати про калькулятори в телефонах і на комп'ютерах; і періодично балувати себе множенням стовпчиком. А то чого доброго і сюжет з фільму «Повстання машин» розгорнеться не на екрані кінотеатру, а на нашій з Вами кухні або галявині поряд з будинком ...


Три рази через ліве плече ..., стукаємо по дереву ... ... і головне не забуваємо про гімнастику для розуму!

ВЧИМО ТАБЛИЦЮ МНОЖЕННЯ !!!

Дослідницька робота з математики в початковій школі

Коротка анотація дослідницької роботи
Кожен школяр вміє множити багатозначні числа «стовпчиком». У даній роботі автор звертає увагу на існування альтернативних способів множення, доступних молодшим школярам, \u200b\u200bякі можуть «нудні» обчислення перетворити на веселу гру.
В роботі розглядаються шість нетрадиційних способів множення багатозначних чисел, що використовуються в різні історичні епохи: російський селянський, гратчастий, маленький замок, китайський, японський, по таблиці В.Оконешнікова.
Проект призначений для розвитку пізнавального інтересу до досліджуваного предмета, для поглиблення знань в області математики.
Зміст
введення 3
Глава 1. Альтернативні способи множення 4
1.1. Трохи історії 4
1.2. Русский селянський спосіб множення 4
1.3. Множення способом «Маленький замок» 5
1.4. Множення чисел методом «ревнощі» або «гратчасте множення» 5
1.5. Китайський спосіб множення 5
1.6. Японський спосіб множення 6
1.7. Таблиця Оконешніково 6
1.8.Умноженіе стовпчиком. 7
Глава 2. Практична частина 7
2.1. Селянський спосіб 7
2.2. Маленький замок 7
2.3. Множення чисел методом «ревнощі» або «гратчасте множення» 7
2.4. Китайський спосіб 8
2.5. Японський спосіб 8
2.6. Таблиця Оконешніково 8
2.7. анкетування 8
висновок 9
додаток 10

«Предмет математики настільки серйозний, що корисно не упускати випадків робити його трохи цікавим».
Б. Паскаль

Вступ
Людині в повсякденному житті неможливо обійтися без обчислень. Тому на уроках математики нас в першу чергу вчать виконувати дії над числами, тобто вважати. Множимо, ділимо, складаємо і віднімаємо ми звичними для всіх способами, які вивчаються в школі. Виникло питання: а чи є ще якісь альтернативні способи обчислень? Мені захотілося вивчити їх більш детально. У пошуках відповіді на виниклі питання було проведено дане дослідження.
Мета дослідження: виявлення нетрадиційних способів множення для вивчення можливості їх застосування.
Відповідно до поставленої мети нами були сформульовані наступні завдання:
- Знайти якомога більше незвичайних способів множення.
- Навчитися їх застосовувати.
- Вибрати для себе найцікавіші або легші, ніж ті, які пропонуються в школі, і використовувати їх при рахунку.
- Перевірити на практиці множення багатозначних чисел.
- Провести анкетування учнів 4-х класів
Об'єкт дослідження: різні нестандартні алгоритми множення багатозначних чисел
Предмет дослідження: математичне дію «множення»
Гіпотеза: якщо існують стандартні способи множення багатозначних чисел, можливо, є і альтернативні способи.
актуальність: Поширення знань про альтернативні способи множення.
Практична значимість. В ході роботи було вирішено безліч прикладів і створений альбом, в який включені приклади з різними алгоритмами множеннями багатозначних чисел декількома альтернативними способами. Це може зацікавити однокласників для розширення математичного кругозору і послужить початком нових експериментів.

Глава 1. Альтернативні способи множення

1.1. Трохи історії
Ті способи обчислень, якими ми користуємося зараз, не завжди були такі прості і зручні. За старих часів користувалися більш громіздкими і повільними прийомами. І якби сучасний школяр міг відправитися на п'ятсот років тому, він побив би всіх швидкістю і безпомилковістю своїх обчислень. Чутка про нього облетіла б навколишні школи і монастирі, затьмаривши славу майстерних лічильників тієї епохи, і з усіх боків приїжджали б вчитися у нового великого майстра.
Особливо важкі в старовину були дії множення і ділення.
У книзі В. Беллюстин «Як поступово дійшли люди до справжньої арифметики» викладено 27 способів множення, причому автор зауважує: «цілком можливо, що є й ще способи, приховані в тайниках книгосховищ, розкидані в численних, головним чином, рукописних збірниках». І всі ці прийоми множення змагалися один з одним і засвоювалися з великими труднощами.
Розглянемо найбільш цікаві та прості способи множення.
1.2. Русский селянський спосіб множення
У Росії 2-3 століття назад серед селян деяких губерній був поширений спосіб, який не вимагав знання всієї таблиці множення. Треба було лише вміти множити і ділити на 2. Цей спосіб отримав назву селянського.
Щоб перемножити два числа, їх записували поруч, а потім ліве число ділили на 2, а праве множили на 2. Результати записувати в стовпчик, поки зліва не залишиться 1. Залишок відкидається. Викреслюємо ті рядки, в яких зліва стоять парні числа. Решта числа в правій колонці - складаємо.
1.3. Множення способом «Маленький замок»
Італійський математик Лука Пачолі у своєму трактаті «Сума знань з арифметики, відносинам і пропорційності» (1494г.) Призводить вісім різних методів множення. Перший з них носить назву «Маленький замок».
Перевага способу множення «Маленький замок» в тому, що вже з самого початку визначаються цифри старших розрядів, а це буває важливо, якщо потрібно швидко оцінити величину.
Цифри верхнього числа, починаючи зі старшого розряду, по черзі множаться на нижню число і записуються в стовпчик з додаванням потрібної кількості нулів. Потім результати складаються.
1.4. Множення чисел методом «ревнощі» або «гратчасте множення»
Другий спосіб Лука Пачолі носить назву «ревнощі» або «гратчасте множення».
Спочатку малюється прямокутник, розділений на квадрати. Потім квадратні клітини діляться по діагоналі і «... виходить картинка, схожа на гратчасті віконниці-жалюзі, - пише Пачолі. - Такі віконниці вішалися на вікна венеціанських будинків, заважаючи вуличним перехожим бачити, що сидять біля вікон дам і черниць ».
Перемножая кожну цифру першого множника з кожною цифрою другого, записуються твори до відповідних клітини, маючи в своєму розпорядженні десятки над діагоналлю, а одиниці під нею. Цифри твори отримують складанням цифр в косих смугах. Результати складань записуються під таблицею, а також праворуч від неї.
1.5. Китайський спосіб множення
Тепер уявімо метод множення, бурхливо обговорюється в Інтернеті, який називають китайським. При множенні чисел вважаються точки перетину прямих, які відповідають кількості цифр кожного розряду обох множників.
1.6. Японський спосіб множення
Японський спосіб множення - це графічний спосіб з використанням кіл і ліній. Не менш цікавий і цікавий ніж китайський. Навіть чимось на нього схожий.
1.7. Таблиця Оконешніково
Кандидат філософських наук Василь Оконешніков, за сумісництвом винахідник нової системи усного рахунку, вважає, що школярі зможуть навчитися усно складати і множити мільйони, мільярди і навіть секстильйонів з квадрильйонів. На думку самого вченого, найбільш виграшною в цьому відношенні є девятерічня система - всі дані просто розташовують в дев'яти осередках, розташованих, як кнопочки на калькуляторі.
На думку вченого, перш ніж стати обчислювальним «комп'ютером», необхідно визубрити створену ним таблицю.
Таблиця поділена на 9 частин. Розташовані вони за принципом міні калькулятора: зліва в нижньому куті «1», праворуч у верхньому куті «9». Кожна частина - таблиця множення чисел від 1 до 9 (з тієї ж «кнопкової» система). Для того, щоб помножити будь-яке число, наприклад, на 8, ми знаходимо великий квадрат, Що відповідає числу 8 і виписуємо з цього квадрата числа, відповідні цифрам багатозначного множника. Отримані числа складаємо особливо: перша цифра залишається без зміни, а всі інші попарно складаються. Число, що вийшло і буде результатом множення.
Якщо при складанні двох чисел виходить число, що перевершує дев'ять, то його перша цифра додається до попередньої цифри результату, а друга пишеться на «своє» місце.
Нова методика була випробувана в декількох російських школах і університетах. Міносвіти РФ дозволив публікувати в зошитах в клітинку разом зі звичною таблицею Піфагора нову таблицю множення - поки просто для знайомства.
1.8. Множення стовпчиком.
Мало хто знає, що автором нашого звичного способу множення стовпчиком багатозначного числа на багатозначне слід вважати Адама Різе (Додаток 7). Цей алгоритм вважається найзручнішим.
Глава 2. Практична частина
Освоюючи перераховані способи множення, було вирішено безліч прикладів, оформлений альбом зі зразками різних алгоритмів обчислень. (Прикладна програма). Розглянемо алгоритм обчислень на прикладах.
2.1. селянський спосіб
Помножимо 47 на 35 (Додаток 1),
-запішем числа на одній сходинці, проведемо між ними вертикальну риску;
ліве число будемо ділити на 2, праве - множити на 2 (якщо при розподілі виникає залишок, то залишок відкидаємо);
-деленіе закінчується, коли зліва з'явиться одиниця;
-вичёрківаем ті рядки, в яких стоять зліва парні числа;
-залишається справа числа складаємо - це результат.
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.
Висновок. Спосіб зручний тим, що досить знати таблицю тільки на 2. Однак при роботі з великими числами він дуже громіздкий. Зручний для роботи з двозначними числами.
2.2. маленький замок
(Додаток 2). Висновок. Спосіб дуже схожий на наш сучасний «стовпчик». Та ще й відразу визначаються цифри старших розрядів. Це буває важливо, якщо потрібно швидко оцінити величину.
2.3. Множення чисел методом «ревнощі» або «гратчасте множення»
Помножимо, наприклад, числа 6827 і 345 (Додаток 3):
1. Викреслює квадратну сітку і пишемо один з множників над колонками, а другий - по висоті.
2. Множимо число кожного ряду послідовно на числа кожної колонки. Послідовно множимо 3 на 6, на 8, на 2 і на 7 і т.д.
4. Складаємо числа, слідуючи діагональним смугах. Якщо сума однієї діагоналі містить десятки, то додаємо їх до наступної діагоналі.
З результатів складання цифр по діагоналях складається число 2355315, яке і є твором чисел 6827 і 345, тобто 6827 ∙ 345 \u003d 2355315.
Висновок. Спосіб «загратоване множення» нітрохи не гірше, ніж загальноприйнятий. Він навіть простіше, оскільки в клітини таблиці заносяться числа прямо з таблиці множення без одночасного додавання, присутнього в стандартному методі.
2.4. Китайський спосіб
Припустимо треба помножити 12 на 321 (Додаток 4). На аркуші паперу по черзі малюємо лінії, кількість яких визначається з даного прикладу.
Малюємо перше число - 12. Для цього зверху вниз, зліва на право, малюємо:
одну зелену паличку (1)
і дві помаранчевих (2).
Малюємо друге число - 321, від низу до верху, зліва на право:
три блакитних палички (3);
дві червоні (2);
одну бузкову (1).
Тепер простим олівцем відокремлюємо точки перетину і приступимо до їх підрахунку. Рухаємося справа наліво (за годинниковою стрілкою): 2, 5, 8, 3.
Отриманий результат прочитаємо зліва направо - 3852
Висновок. Цікавий спосіб, але проводити 9 прямих при множенні на 9 якось довго і нецікаво, а потім ще точки перетину вважати. Без вправності складно розібратися в розподілі числа на розряди. Загалом, без таблиці множення не обійтися!
2.5. японський спосіб
Помножимо 12 на 34 (Додаток 5). Так як другий множник двозначне число, а перша цифра першого множника 1, будуємо два одиночних кола у верхньому рядку і два довічних кола в нижньому рядку, так як друга цифра першого множника дорівнює 2.
Так як перша цифра другого множника 3, а друга 4, ділимо кола першого стовпчика на три частини, другого шпальти на чотири частини.
Кількість частин, на які розділилися кола і є відповіддю, тобто 12 х 34 \u003d 408.
Висновок. Спосіб дуже схожий на китайський графічний. Тільки прямі замінені колами. Легше визначати розряди у числа, проте малювати кола - менш зручно.
2.6. Таблиця Оконешніково
Потрібно помножити 15647 х 5. Відразу згадуємо велику «кнопку» 5 (вона посередині) і на ній подумки знаходимо маленькі кнопочки 1, 5, 6, 4, 7 (вони також розташовані, як на калькуляторі). Їм відповідають числа 05, 25, 30, 20, 35. Отримані числа складаємо: перша цифра 0 (залишається без зміни), 5 подумки складаємо з 2, отримуємо 7 - це друга цифра результату, 5 складаємо з 3, отримуємо третю цифру - 8 , 0 + 2 \u003d 2, 0 + 3 \u003d 3 і залишається остання цифра твори - 5. У результаті вийшло 78 235.
Висновок. Спосіб дуже зручний, але потрібно вивчити напам'ять або завжди мати під рукою таблицю.
2.7. анкетування учнів
Було проведено анкетування четвероклассников. Взяли участь 26 осіб (Додаток 8). На підставі анкетування виявлено, що всі опитані вміють множити традиційним способом. А ось про нетрадиційні способи множення більшість хлопців не знають. І є бажаючі познайомитися з ними.
Після первинного анкетування було проведено позакласне заняття «Множення з захопленням», на якому хлопці познайомилися з альтернативними алгоритмами множення. Після чого було проведено опитування з метою виявити найбільш сподобалися способи. Безумовним лідером став самий сучасний метод Василя Оконешніково. (Додаток 9)
висновок
Навчившись вважати усіма представленими способами, я вважаю, що найбільш зручний метод множення є спосіб «Маленький замок» - адже він так схожий на наш нинішній!
З усіх знайдених мною незвичайних способів рахунку більш цікавим видався спосіб «Японський». Найпростішим мені здався метод «подвоєння і роздвоєння», який використовували російські селяни. Я його використовую при множенні не дуже великих чисел. Дуже зручно його використовувати при множенні двозначних чисел.
Таким чином, я досягла мети мого дослідження - вивчила і навчилася застосовувати нетрадиційні способи множення багатозначних чисел. Моя гіпотеза підтвердилася - я опанувала шістьма альтернативними способами і з'ясувала, що це ще не всі можливі алгоритми.
вивчені мною нетрадиційні методи множення дуже цікаві і мають право на існування. А в деяких випадках ними навіть простіше користуватися. Вважаю, що про існування цих методів можна розповідати в школі, вдома і здивувати своїх друзів і знайомих.
Поки ми тільки вивчали і аналізували вже відомі способи множення. Але хто знає, можливо, в майбутньому ми самі зможемо відкрити нові способи множення. Також я не хочу зупинятися на досягнутому і продовжити вивчення нетрадиційних способів множення.
Список джерел інформації
1. Список літератури
1.1. Арутюнян Е., Левітас Г. Цікава математика. - М .: АСТ - ПРЕС, 1999. - 368 с.
1.2. Беллюстин В. Як поступово дійшли люди до справжньої арифметики. - ЛКИ, 2012.-208 с.
1.3. Депман І. Розповіді про математику. - Ленінград .: Просвещение, 1954. - 140 с.
1.4. Лікум А. Все обо всем. Т. 2. - М .: Філологічна товариство «Слово», 1993. - 512 с.
1.5. Олехнік С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К .. Старовинні цікаві завдання. - М .: Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1985. - 160 с.
1.6. Перельман Я. І. Цікава арифметика. - М .: Русанова, 1994 - 205с.
1.7. Перельман Я. І. Швидкий рахунок. Тридцять простих прийомів усного рахунку. Л .: Лениздат, 1941 - 12 с.
1.8. Савін А.П. Математичні мініатюри. Цікава математика для дітей. - М .: Дитяча література, 1998 - 175 с.
1.9. Енциклопедія для дітей. Математика. - М .: Аванта +, 2003. - 688 с.
1.10. Я пізнаю світ: Дитяча енциклопедія: Математика / уклад. Савін А.П., станції В.В., Котова А.Ю. - М .: ТОВ «Видавництво АСТ», 2000. - 480 с.
2. Інші джерела інформації
Інтернет ресурси:
2.1. Корнєєв А.А. Феномен російського множення. Історія. [Електронний ресурс]

Світ математики дуже великий, але я завжди цікавилася способами множення. Працюючи над цією темою, я дізналася багато цікавого, навчилася підбирати потрібний мені матеріал з прочитаного. Засвоїла, як вирішуються окремі цікаві завдання, головоломки та приклади множення різними способами, а так само і те, на чому грунтуються арифметичні фокуси і інтенсивні прийоми обчислень.

ПРО Множення

Що залишається у більшості людей в голові з того, що вони колись вивчали в школі? Звичайно, у різних людей - різний, але у всіх, напевно, таблиця множення. Крім зусиль, прикладених для її «задалбліванія» згадаємо сотні (якщо не тисячі) завдань, вирішених нами з її допомогою. Триста років тому в Англії людина, яка знає таблицю множення, вже вважався вченим людиною.

Способів множення було придумано багато. Італійський математик кінця XV - початку XVI століття Лука Пачіолі в трактаті про арифметику приводить 8 різних способів множення. У першому, який носить назву «маленький замок», цифри верхнього числа, починаючи зі старшою, по черзі множаться на нижню число і записуються в стовпчик з додаванням потрібної кількості нулів. Потім результати складаються. Перевага цього методу перед звичайним полягає в тому, що вже з самого початку визначаються цифри старших розрядів, а це буває важливо при приблизних розрахунках.

Другий спосіб носить не менш романтичну назву «ревнощі» (або загратоване множення). Вимальовується решітка, в яку потім вписують результати проміжних обчислень, точніше, числа з таблиці множення. Решітка є прямокутником, розділеним на квадратні клітини, які, в свою чергу, розділені навпіл діагоналями. Зліва (зверху вниз) писався перший множник, а нагорі - другий. На перетині відповідного рядка і стовпця писався твір стоять в них цифр. Потім отримані числа складалися уздовж проведених діагоналей, а результат записувався в кінці такого стовпчика. Результат прочитувався вздовж нижньої і правої сторін прямокутника. «Такі грати, - пише Лука Пачіолі, - нагадує гратчасті віконниці-жалюзі, які вішалися на венеціанські вікна, заважаючи перехожим бачити сидять біля вікон дам і черниць».

Всі способи множення, описані в книзі Луки Пачіолі, використовували таблицю множення. Однак російські селяни вміли множити і без таблиці. Їх спосіб множення використовував лише множення і ділення на 2. Щоб перемножити два числа, їх записували поруч, а потім ліве число ділили на 2, а праве множили на 2. Якщо при розподілі виходив залишок, то його відкидали. Потім викреслювалися ті рядки в лівій колонці, в яких стоять парні числа. Решта числа в правій колонці складалися. В результаті виходило твір початкових чисел. Перевірте на декількох парах чисел, що це дійсно так. Доказ справедливості цього методу показується за допомогою двійкової системи числення.

Старовинний російський спосіб множення.

З давніх-давен і майже до вісімнадцятого століття російські люди в своїх обчисленнях обходилися без множення і ділення: вони застосовували лише два арифметичних дії - додавання і віднімання, та ще так звані «подвоєння» і «роздвоєння». Сутність російського старовинного способу множення полягає в тому, що множення будь-яких двох чисел зводиться до ряду послідовних поділів одного числа навпіл (послідовне, роздвоєння) при одночасному подвоєнні іншого числа. Якщо в творі, наприклад 24 X 5, множимое зменшити в 2 рази ( «роздвоїти»), а множник збільшити в 2 рази

( «Подвоїти»), то твір не зміниться: 24 х 5 \u003d 12 X 10 \u003d 120. приклад:

Розподіл множимо навпіл продовжують до тих пір, поки в приватному не вийде 1, одночасно подвоюючи множник. Останнє подвоєне число и- дає шуканий результат. Значить, 32 X 17 \u003d 1 X 544 \u003d 544.

У ті давні часи подвоєння і роздвоєння приймалися навіть за особливі арифметичні дії. Тільки які ж це особливі. дії? Адже, наприклад, подвоєння числа - це не особливе дію, а всього лише складання даного числа з самим собою.

Зауважимо числа діляться па 2 весь час без залишку. А як же бути, якщо множимое ділиться на 2 із залишком? приклад:

Якщо множимое не ділиться на 2, то від нього спочатку віднімається одиниця, а потім вже проводиться розподіл на 2. Рядки з парними множимо викреслюються, а праві частини рядків з непарними множимо складаються.

21 X 17 \u003d (20 + 1) X 17 \u003d 20 X 17 + 17.

Число 17 запам'ятаємо (перша рядок не викреслюється!), А твір 20 X 17 замінимо рівним йому твором 10 X 34. Але твір 10 X 34, в свою чергу, можна замінити рівним йому твором 5 X 68; тому другий рядок викреслюється:

5 X 68 \u003d (4 + 1) X 68 \u003d 4 X 68 + 68.

Число 68 запам'ятаємо (третя рядок не викреслюється!), А твір 4 X 68 замінимо рівним йому твором 2 X 136. Але твір 2 X 136 можна замінити рівним йому твором 1 X 272; тому четверта рядок викреслюється. Значить, щоб обчислити добуток 21 X 17, потрібно скласти числа 17, 68, 272 - праві частини рядків саме з непарними множимо. Твори ж з парними множимо завжди можна замінити за допомогою роздвоєння множимо і подвоєння множника рівними їм творами; тому такі рядки виключаються з обчислення остаточного твори.

Я спробувала сама множити старовинним способом. Я взяла числа 39 і 247, у мене вийшов такий

Стовпчиків вийдуть ще довші, ніж у мене якщо брати множимое більше, ніж 39. Тоді я вирішив, той же приклад по-сучасному:

Виявляється, наш шкільний спосіб множення чисел значно простіше і економніше, ніж старовинний російський спосіб!

Тільки ми повинні знати перш за все таблицю множення, а наші предки її не знали. Крім того, ми повинні добре знати і саме правило множення, вони ж знали тільки, як подвоювати та роздвоювати числа. Як бачите, ви вмієте множити значно краще і швидше, ніж найвідоміший обчислювач в древньої Русі. Між іншим, кілька тисяч років тому єгиптяни виконували множення майже точно так же, як і російські люди в старовину.

Ось здорово, що люди з різних країн, множили одним і тим же способом.

Не так давно, всього близько ста років тому, завчити таблицю множення було справою дуже важким для учнів. Щоб переконати учнів в необхідності знання напам'ять таблиці, автори математичних книг здавна вдавалися. до віршів.

Ось кілька рядків з незнайомою нам книги: «Але до множенню потрібно було їсти подальшу таблицю, толь твердо в пам'яті имети, так нехай дещо ждо число, з коімждо помноживши, без жодного повільно речію Сказати, чи написати, такоже 2-Жди 2 є 4 , або 2-Жди 3 є 6, і 3-Жди 3 є 9 та інша ».

Аще хто не твердіт' І у всій науки таблиці і гордіт', несвобод' від муки,

Чи не может 'пізнати Колико НЕ учіт' чіслом' що множаться задарма ся удручіт'

Правда, в цьому уривку і віршах не все зрозуміло: написано якось не зовсім по-російськи, адже все це написано більш 250лет тому, в 1703 році, Леонтієм Пилиповичем Магницким, чудовим російським педагогом, а з тих пір російську мову помітно змінився .

Л. Ф. Магніцький написав і видав перший в Росії друкований підручник арифметики; до нього ж були лише рукописні математичні книги. За «Арифметиці» Л. Ф. Магницького навчався великий російський вчений М. В. Ломоносов, а також багато інших видатні російські вчені вісімнадцятого століття.

А як множили в ті часи, в часи Ломоносова ?. Подивимося приклад.

Як ми зрозуміли, дія множення тоді записували майже так, як і в наш час. Тільки множимое називали «елічество», а твір - «продукт» і, крім того, не писали знак множення.

А як тоді пояснювали множення?

Відомо, що М. В. Ломоносов знав напам'ять всю «Арифметику» Магницького. Відповідно до цього підручником маленький Миша Ломоносов множення 48 на 8 пояснив би так: «8-Жди 8 є 64, я 4 пишу під межею, проти 8, а 6 десятіц у розумі маю. І далі 8-Жди 4 є 32, і я 3 у розумі тримаю, а до 2 докладу 6 десятіц, і буде 8. І це 8 напишу біля 4, в ряд до лівої руки, а 3 поки в розумі суть, напишу в ряд біля 8, до лівої ж руці. І буде з множення 48 з 8 твір 384 ».

Та й ми майже так само пояснюємо, тільки ми говоримо по-сучасному, а не по-старовинному і, крім того, називаємо розряди. Наприклад, 3 треба писати на третьому місці тому, що це будуть сотні, а не просто «в ряд біля 8, до лівої ж руки».

Розповідь «Маша -« фокусніца »».

Я можу вгадувати не тільки день народження, як це робив минулого разу Павлик, а й рік народження, - почала Маша.

Номер місяця, в якому ви народилися, помножте на 100., потім додайте день народження. , Результат помножте на 2., до отриманого числа додайте 2; результат помножте на 5, до отриманого числа додайте 1, до результату припишіть нуль. , До отриманого числа додайте ще 1. і, нарешті, додайте число ваших років.

Готово, у мене вийшло 20721. - кажу я.

* Правильно, - підтвердив я.

А у мене вийшло 81321, - повідомляє Вітя, учень третього класу.

Ти, Маша напевно помилилася, - засумнівався Петя. - Як же так виходить: Вітя з третього класу, а народився теж в 1949 році, як і Саша.

Ні, Маша вірно вгадала, - підтверджує Вітя. Тільки я один рік довго хворів і тому двічі ходив до другого класу.

* А у мене вийшло 111521, - повідомляє Павлик.

Як же так, - запитує Вася, - Павлику теж 10 років, як і Саші, а народився він в 1948 році. Чому ж не в 1949 році?

А тому, що зараз йде вересень, а Павлик народився в листопаді, і йому ще тільки 10 років, хоча він і народився в 1948 році, - пояснила Маша.

Вона вгадала дату народження ще трьох-чотирьох учнів, а потім пояснила, як вона це робить. Виявляється, від останнього числа вона забирає 111, а потім залишок івает на три грані справа наліво по дві цифри. Середні дві цифри позначають день народження, перші дві пли одна - номер місяця, а останні дві цифри число років. Знаючи ж, скільки людині років, неважко визначити і рік народження. Наприклад, у мене вийшло число 20721. Якщо від нього відняти 111, то вийде 20610. Значить, зараз мені 10 років, а народився я 6 лютого. Так як зараз йде вересень 1959, то, значить, я народився в 1949 році.

А чому треба забирати саме 111, а не якесь інше число? - запитали ми. -І чому саме так розподіляються день народження, номер місяця і число років?

А ось дивіться, - пояснила Маша. - Наприклад, Павлик, виконуючи мої вимоги, вирішив такі приклади:

1) 11 X 100 \u003d 1100; 2) 1100 + J4 \u003d 1114; 3) 1114 X 2 \u003d

2228; 4) 2228 + 2 \u003d 2230; 57 2230 X 5 \u003d 11150; 6) 11150 1 \u003d 11151; 7) 11151 X 10 \u003d 111510

8)111510 1 1-111511; 9)111511 + 10=111521.

Як видно, номер місяця (11) він примножував на 100, потім на 2, потім ще на 5 і, нарешті, ще на 10 (приписував куль), а всього на 100 X 2 X 5 X 10, тобто на 10000. Значить , 11 стали десятками тисяч, тобто складають третю грань, якщо вважати справа наліво по дві цифри. Так дізнаються номер місяця, в якому ви народилися. День народження (14) він примножував на 2, потім на 5 і, нарешті, ще на 10, а всього на 2 X 5 X 10, тобто на 100. Отже, день народження треба шукати серед сотень, в другій межі, але тут є сторонні сотні. Дивіться: він додавав число 2, яке примножував на 5 і на 10. Значить, у нього вийшло зайвого 2x5x10 \u003d 100 - 1 сотня. Цю 1 сотню я і забираю від 15 сотень в числі 111521, виходить 14 сотень. Так я дізнаюся день народження. Число років (10) ні на що не множилося. Значить, це число потрібно шукати серед одиниць, в першій межі, але тут є сторонні одиниці. Дивіться: він додавав число 1, яке примножував на 10, а потім додавав ще 1. Значить, у нього вийшло всього зайвих 1 х ТО + 1 \u003d 11 одиниць. Ці 11 одиниць я і забираю від 21 одиниці в числі 111521, виходить 10. Так я дізнаюся число л е т. А все, як бачите, від числа 111521 я забирала 100+ 11 \u003d 111. Коли я від числа 111521 відняла 111, то вийшло пня. значить,

Павлик народився 14 листопада, і йому 10 років. Зараз йде 1959 й рік, але я 10 забирала немає від 1959 а від 1958 так як 10 років Павлику виповнилося в минулому році, в листопаді.

Звичайно, таке пояснення відразу не запам'ятаєш, але я постарався зрозуміти його на своєму прикладі:

1) 2 X 100 \u003d 200; 2) 200 + 6 \u003d 206; 3) 206 X 2 \u003d 412;

4) 412 + 2 \u003d 414; 5) 414 X 5 \u003d 2070; 6) 2070 + 1 \u003d 2071; 7) 2071 X 10 \u003d 20710; 8) 20710 + 1 \u003d 20711; 9) 20711 + + 10 \u003d 20721; 20721 - 111 \u003d 2 "ОбТО; 1959 - 10 \u003d 1949;

Головоломка.

Перше завдання: Опівдні з Сталінграда в Куйбишев виходить пасажирський пароплав. Годиною пізніше з Куйбишева в Сталінград виходить товаро-пасажирський пароплав, який рухається повільніше першого пароплава. Коли пароплави зустрінуться, то який із них буде далі від Сталінграда?

Це не звичайна арифметична задача, а жарт! Пароплави будуть на однаковій відстані від Сталінграда, а також і від Куйбишева.

А ось друге завдання, Минулої неділі наш загін і загін п'ятого класу садили дерева вздовж Великий Піонерській вулиці. Загони повинні були посадити порівну дерев, по рівній кількості на кожній стороні вулиці. Як ви пам'ятаєте, наш загін прийшов на роботу раніше, і до приходу п'ятикласників ми встигли посадити 8 дерев, але, як виявилося, не на своєму боці вулиці: ми погарячкували і почали роботу не там, де було потрібно. Потім ми працювали вже на своєму боці вулиці. П'ятикласники закінчили роботу раніше. Однак вони не залишилися в боргу перед нами: перейшли на наш бік і посадили спочатку 8 дерев ( «віддали борг»), а потім ще 5 дерев, і робота нами була закінчена.

Питається, на скільки дерев більше посадили п'ятикласники, ніж ми?

: Звичайно, п'ятикласники посадили тільки на 5 дерев більше, ніж ми: коли вони посадили на нашому боці 8 дерев, то тим самим віддали борг; а коли вони посадили ще 5 дерев, то як би дали нам в борг 5 дерев. Ось і виходить, що вони посадили тільки на 5 дерев більше, ніж ми.

Ні міркування неправильне. Вірно, що п'ятикласники зробили нам ласку, посадивши за нас 5 дерев. Але далі, щоб отримати правильну відповідь, треба міркувати так: ми недовиконали своє завдання на 5 дерев, п'ятикласники ж перевиконали своє на 5 дерев. Ось і виходить, що різниця між числом дерев, посаджених п'ятикласниками, і числом дерев, посаджених нами, становить не 5, а 10 дерев!

А ось останнє завдання-головоломка, Граючи в м'яч, 16 учнів розмістилися по сторонам квадратної майданчики так, що на кожній стороні було по 4 людини. Потім 2 учні пішли Решта перемістилися так, що на кожній стороні квадрата знову виявилося по 4 людини. Нарешті, пішли ще 2 учні, але інші розмістилися так, що на кожній стороні квадрата як і раніше було по 4 людини. Як це могло статися? Вирішіть.

Два прийому швидкого множенні

Одного разу вчитель запропонував своїм учням такий приклад: 84 X 84. Один хлопчик швидко відповів: 7056. «Як ти вважав?» - запитав учня вчитель. - «Я взяв 50 X 144 і викинув 144», - відповів той. Ну-ка, пояснимо як вважав учень.

84 х 84 \u003d 7 X 12 X 7 X 12 \u003d 7 X 7 X 12 X 12 \u003d 49 X 144 \u003d (50 - 1) X 144 \u003d 50 X 144 - 144, а 144 півсотні - це 72 сотні, значить, 84 X 84 \u003d 7200 - 144 \u003d

А тепер порахуємо тим же способом, скільки буде 56 X 56.

56 X 56 \u003d 7 X 8 X 7 X 8 \u003d 49 X 64 \u003d 50 X 64 - 64, тобто 64 півсотні, або ж 32 сотні (3200), без 64 \u200b\u200bт. Е. Щоб помножити число на 49, треба дане число помножити на 50 (півсотні), і з отриманого твори відняти дане число.

А ось приклади на інший спосіб обчислення, 92 X 96, 94 X 98.

Відповіді: 8832 і 9212. Приклад, 93 X 95. Відповідь: 8835. Наші обчислення дали це ж число.

Так швидко можна вважати тільки тоді, коли числа близькі до 100. Знаходимо доповнення до 100 до даних числах: для 93 буде 7, а для 95 буде 5, від першого даного числа віднімаємо доповнення другого: 93 - 5 \u003d 88 - стільки буде в творі сотень, перемножуємо доповнення: 7 X 5 \u003d 3 5 - стільки буде в творі одиниць. Значить, 93 X 95 \u003d 8835. А чому саме так треба робити, пояснити не важко.

Наприклад, 93 - це 100 без 7, а 95 - це 100 без 5. 95 X 93 \u003d (100 - 5) х 93 \u003d 93 X 100 - 93 х 5.

Щоб відняти 5 разів по 93, можна 5 разів відняти по 100, але зате додати 5 раз по 7. Тоді виходить:

95 х 93 \u003d 93 х 100 - 5 х 100 + 5 х 7 \u003d 93 сот. - 5 сот. + 5 X 7 \u003d (93 - 5) сот. + 5 x 7 \u003d 8800 + 35 \u003d \u003d 8835.

97 X 94 \u003d (97 - 6) X 100 + 3 X 6 \u003d 9100 + 18 \u003d 9118, 91 X 95 \u003d (91 - 5) х 100 + 9 х 5 \u003d 8600 + 45 \u003d 8645.

Множення в. доміно.

За допомогою кісток доміно легко зобразити деякі випадки множення багатозначних чисел на однозначне число. наприклад:

402 Х 3 і 2663 Х 4

Переможцем буде визнаний той, хто за певний час зуміє використати найбільше число кісток доміно, складаючи приклади на множення трьох-, чотиризначних чисел на однозначне число.

Приклади на множення чотиризначних чисел на однозначне.

2234 Х 6; 2425 Х 6; 2336 Х 1; 526 Х 6.

Як видно, використано лише 20 кісток доміно. Складено приклади на множення не тільки чотиризначних чисел на однозначне число, а й трьох-, і п'яти-, і шестизначних чисел на однозначне число. Використано 25 кісток і складені такі приклади:

Однак все 28 кісток все-таки можна використовувати.

Розповіді про те, чи добре знав арифметику старий Хоттабич.

Розповідь «Я отримую з арифметики« 5 »».

Як тільки на наступний день я зайшов до Міші, він відразу ж запитав: «Що нового, цікавого було на занятті гуртка?» Я показав Міші і його друзям, як розумно жали в старовину російські люди. Потім я запропонував їм в розумі порахувати, скільки буде 97 X 95, 42 X 42 і 98 X 93. Вони, звичайно, без олівця і паперу не змогли цього зробити і дуже здивувалися, коли я майже миттєво дав на ці приклади правильні відповіді. Нарешті, ми всі разом вирішили цю додому завдання. Виявляється, дуже важливо, як розташовані точки на аркуші паперу. Залежно від цього можна через чотири точки провести і одну, і чотири, і шість прямих ліній, але не більше.

Потім я запропонував хлопцям скласти приклади на множення з кісток доміно так, як це робилося на гуртку. Нам вдалося використати за 20, за 24 і навіть по 27 кісток, але з в с е х 28 ми так і не змогли скласти приклади, хоча просиділи за-цим заняттям довго.

Миша згадав, що сьогодні в кінотеатрі демонструється фільм «Старий Хоттабич». Ми швидше закінчили займатися арифметикою і побігли в кіно.

Ось це картина! Хоч і казка, а все одно цікаво: розповідається про нас, хлопчаків, про шкільного життя, А також про дивакуватого мудреця - джин Хоттабича. А здорово наплутав Хоттабич, підказуючи Волькен по географії! Як видно, в давно минулі часи навіть мудреці індійські - джини - дуже-дуже погано знали географію, i Цікаво, а як став «б підказувати старий Хоттабич, якби Волька здавав іспит з математики? Ймовірно, Хоттабич і арифметику-то як слід не знав.

Індійський спосіб множення.

Нехай потрібно умнвжіть 468 на 7. Зліва пишемо множимое, праворуч множник:

У індійців не було знака множення.

Тепер я 4 множимо на 7, вийде 28. Це число записуємо надціфрой 4.

Тепер 8 множимо на 7, вийде 56. 5 додаючи до 28, вийде 33; 28 зітремо, а 33 запишемо, 6 запишемо над цифрою 8:

Виходило дуже цікаво.

Тепер 6 множимо на 7, вийде 42, 4 додаючи до 36, вийде 40; 36 зітремо, а 40 запишемо; 2 ж запишемо над цифрою 6. Отже, 486 помножити на 7, вийде 3402:

Вірно вирішено, але тільки не чень-то швидко і зручно! Так саме множили славнозвісні в той час обчислювачі.

Як бачите, старий Хоттабич арифметику знав зовсім не погано. Однак запис дій він виробляв не так, як це робимо ми.

Давно-давно, більше тисячі трьохсот років тому, індійці були кращими обчислювачами. Однак вони не мали ще паперу, і все обчислення виробляли на невеликій чорній дошці, роблячи на ній записи тростинним пером і застосовуючи дуже рідку білу фарбу, яка залишала знаки, легко стирається.

Коли ми пишемо крейдою на дошці, то це трохи нагадує індійський спосіб запису: на чорному тлі з'являються білі знаки, які легко прати і виправляти.

Індійці виробляли обчислення також і на білій дошці, посипаною червоним порошком, на якій вони писали знаки маленької паличкою, так що з'являлися білі знаки на червоному полі. Приблизно така ж картина виходить, коли ми пишемо крейдою на червоній або коричневої дошці - лінолеумі.

Знака множення в той час ще не існувало, і між множимо і множником оставлялся лише Деякий проміжок. Індійським способом можна було б множити, починаючи і з одиниць. Однак самі індійці множення виконували починаючи зі старшого розряду, і записували неповні твори якраз над множимо, поразрядно. При цьому відразу було видно старший розряд повного твори і, крім того, виключався пропуск будь-якої цифри.

Приклад множення індійським способом.

Арабська спосіб множення.

Ну, а як же, в самому датою, виконувати множення індійським способом, якщо записувати на папері ?.

Цей прийом множення для запису на папері пристосували араби, Знаменитий учений давнини узбек Мухаммед ібн Муса Альхваріз-ми (Мухаммед син Муси з Хорезма- міста, який був розташований на території сучасної Узбецької РСР) понад тисячу років тому виконував множення на пергаменті так:

Як видно, він не стирав непотрібні цифри (на папері це робити вже незручно), а викреслювати їх; нові ж цифри він записував над закреслено, зрозуміло, поразрядно.

Приклад множення таким же способом, роблячи записи в зошиті.

Значить, 7264 X 8 \u003d 58112. А як же множити на двозначне число, на багатозначне ?.

Прийом множення залишається той же, однак запис при цьому значно ускладнюється. Наприклад, потрібно помножити 746 на 64. Спочатку множили на 3 десятка, виходило

Значить, 746 X 34 \u003d 25364.

Як бачите, викреслювання непотрібних цифр і заміна їх новими цифрами при множенні навіть на двозначне число призводить до занадто громіздкою записи. А що буде, якщо множити на три-, чотиризначне число ?!

Так, арабська спосіб множення не дуже зручно.

Цей спосіб множення тримався в Європі аж до вісімнадцятого століття, цілих тисячу років. Він називався способам хрестика, або хиазмом, так як між перемножуємо числами ставилося грецька буква X (хі), поступово замінена косим хрестом. Ось тепер ми добре бачимо, що наш сучасний спосіб множення є найпростішим і зручним, напевно найкращим з усіх можливих способів множення.

Так, сам наш шкільний спосіб множення багатозначних чисел є дуже хорошим. Однак запис множення можна робити і по-іншому. Мабуть, найкраще було б це робити, наприклад, так:

Такий спосіб і справді хороший: множення починається зі старшого розряду множника, нижчий розряд неповних творів записується під відповідним розрядом множника, ніж усувається можливість помилки в тому випадку, коли в будь-якому розряді множника зустрічається нуль. Приблизно так записують множення багатозначних чисел чехословацькі школярі. От цікаво. А ми-то думали, що арифметичні дії можна записувати тільки так, як це прийнято у нас.

Ще кілька головоломок.

Ось вам перша, простенька задача: Турист може пройти за годину 5 км. Скільки кілометрів він пройде за 100 годин?

Відповідь: 500 кілометрів.

А це ще велике питання! Треба знати точніше, як турист йшов ці 100 годин: без відпочинку або з перепочинками. Інакше кажучи, треба знати: 100 годин - це час руху туриста або ж просто час його перебування в дорозі. Бути в русі поспіль 100 годин людина, напевно, не в змозі: це ж більше чотирьох діб; та й швидкість руху при цьому весь час зменшувалася б. Інша справа, якщо турист йшов з перепочинками на обід, на сон і т. Д. Тоді він за 100 годин руху може пройти і все 500 км; тільки в дорозі він повинен бути вже не чотири доби, а приблизно доби дванадцять (якщо буде проходити за день в середньому 40 км). Якщо ж він у шляху був 100 годин, то міг пройти приблизно лише 160 180 км.

Різні відповіді. Значить в умову задачі треба дещо додати, інакше відповідь дати неможливо.

Вирішимо тепер таку задачу: 10 курчат в 10 днів з'їдають 1 кг зерна. Скільки кілограмів зерна з'їдять 100 курчат в 100 днів?

Рішення: 10 курчат в 10 днів з'їдають 1 кг зерна, значить, 1 курча за ті ж 10 днів з'їдаєте 10 разів менше, тобто 1000 г: 10 \u003d 100 м

В один день курча з'їдає ще в 10 раз менше, тобто 100 г: 10 \u003d 10 м Тепер ми знаємо, що 1 курча в 1 день з'їдає 10 г зерна. Значить, 100 курчат в день з'їдають в 100 разів більше, тобто

10 г X 100 \u003d 1000 г \u003d 1 кг. У 100 ж днів вони з'їдять ще в 100 разів більше, тобто 1 кг X 100 \u003d 100 кг \u003d 1 ц. Значить, 100 курчат в 100 днів з'їдають цілий центнер зерна.

Є рішення більш швидке: курчат більше в 10 разів і годувати треба довше в 10 разів, отже, всього зерна треба більше в 100 разів, тобто 100 кг. Однак у всіх цих міркуваннях є одне упущення. Подумаємо і знайдемо помилку в міркуваннях.

: -Зверніть увагу на останнє міркування: «100 курчат в один день з'їдають 1 кг зерна, а за 100 днів вони з'їдять в 100 разів більше. »

Адже за 100 днів (це ж більше трьох місяців!) Курчата помітно підростуть і в день будуть з'їдати вже не по 10 г зерна, а грамів по 40 - 50, так як звичайна курка в день з'їдає приблизно 100 г зерна. Значить, за 100 днів 100 курчат з'їдять Не 1 ц зерна, а значно більше: центнера два-три.

А ось вам останнє завдання-головоломка про зав'язуванні вузла: «На столі лежить шматок мотузки, витягнутий по прямій. Треба взяти його однією рукою за один, іншою рукою за інший кінець і, не випускаючи решт мотузки з рук, зав'язати вузол. »Звісна річ, одні завдання легко розбирати, йдучи від даних до питання завдання, а інші, навпаки, йдучи від питання завдання до даних.

Ну, ось ми і спробували розібрати цю задачу, йдучи від питання до даних. Нехай вузол на мотузці вже є, а кінці її знаходяться в руках і не випускаються. Спробуємо від вирішеною завдання повернутися до її даними, до вихідного положення: мотузка лежить, витягнута на столі, і кінці її не випускаються з рук.

Виявляється, що якщо виправити мотузку, не випускаючи решт її з рук, то ліва рука, йдучи під витягнутої мотузкою і над правою рукою, тримає правий кінець мотузки; а права рука, йдучи над мотузкою і під лівою рукою, тримає лівий кінець мотузки

Думаю після такого розбору завдання всім стало ясно, як зав'язати вузол на мотузці, треба виконати все в зворотному порядку.

Ще два прийому швидкого множення.

Я покажу вам, як швидко множити такі числа, як наприклад 24 і 26, 63 і 67, 84 і 86 ит. п., тобто коли в співмножником десятки "ов порівну, а одиниці складають разом рівно 10. Задавайте приклади.

* 34 і 36, 53 і 57, 72 і 78,

* Вийде 1224, 3021, 5616.

Наприклад, треба 53 помножити на 57. Я 5 множу на 6 (на 1 більше, ніж 5), виходить 30 - стільки сотень в творі; 3 множу на 7, виходить 21 - стільки одиниць в творі. Значить, 53 X 57 \u003d 3021.

* А як це пояснити?

(50 + 3) X 57 \u003d 50 X 57 + 3 X 57 \u003d 50 X (50 + 7) +3 X (50 + 7) \u003d 50 X 50 + 7 X 50 + 3 х 50 + 3 X 7 \u003d 2500 + + 50 X (7 + 3) + 3 X 7 \u003d 2500 + 50 X 10 + 3 X 7 \u003d \u003d: 25 сот. + 5 сот. +3 X 7 \u003d 30 сот. + 3 X 7 \u003d 5 X 6 сот. + 21.

Подивимося, як можна швидко множити двозначні числа в межах 20. Наприклад, щоб помножити 14 на 17, треба скласти одиниці 4 і 7, вийде 11 -Стільки буде десятків в творі (тобто 10 одиниць). Потім треба 4 помножити на 7, вийде 28 - стільки буде одиниць в творі. Крім того, до отриманих числах 110 і 28 треба додати ще рівно 100. Значить, 14 X 17 \u003d 100 + 110 + 28 \u003d 238. Справді:

14 X 17 \u003d 14 X (10 + 7) \u003d 14 X 10 + 14 X 7 \u003d (10 + + 4) X 10 + (10 + 4) X 7 \u003d 10 X 10 + 4 X 10 + 10 X 7 + 4 X 7 \u003d 100 + (4 + 7) X 10 + 4 X 7 \u003d 100+ 110 + + 28.

Після цього ми вирішили ще такі приклади: 13 х 16 \u003d 100 + (3 + 6) X 10 + 3 х 6 \u003d 100 + 90 + + 18 \u003d 208; 14 X 18 \u003d 100 + 120 + 32 \u003d 252.

Множення на рахунках

Ось кілька прийомів, користуючись якими всякий вміє швидко складати на рахунках зможе швидко виконувати зустрічаються на практиці приклади у м н о ж е н і я.

Множення на 2 і на 3 замінюється дворазовим і триразовим складанням.

При множенні на 4 множать спочатку на 2 і складають цей результат з самим собою.

Множення числа на 5 виконується на рахунках так: переносять все число однієї дротом вище, тобто множать його на 10, а потім ділять це 10-кратне число навпіл (як ділити на 2 за допомогою рахунків.

Замість множення на 6 множать на 5 і додають множити.

Замість множення на 7, множать на 10 і віднімають множити три рази.

Множення на 8 замінюють множенням на 10 мінус два множимо.

Точно так же множать на 9: замінюють множенням на 10 мінус одне множити.

При множенні на 10 переносять, як ми вже сказали, всі числа однієї дротом вище.

Читач, мабуть, уже сам зрозуміє, як треба поводитись при множенні на числа, великі 10, і якого роду заміни тут виявляться найбільш зручними. Множник 11 треба, звичайно, замінити на 10 + 1. множник 12 замінюють на 10 + 2 або практично-на 2 + 10, т. Е. Спочатку відкладають подвоєне число, а потім додають подесятереною. Множник 13 замінюється на 10 + 3 і т. Д.

Розглянемо кілька особливих випадків для множників першої сотні:

Легко бачити, між іншим, що за допомогою рахунків дуже зручно множити на такі числа, як на 22, 33, 44, 55 і т. П.; тому треба прагнути при розбивці множників користуватися подібними числами з однаковими цифрами.

До схожих прийомів вдаються і при множенні на числа, великі 100. Якщо подібні штучні прийоми стомлюючі, то ми завжди, звичайно, можемо помножити за допомогою рахунків по загальним правилом, Множачи кожну цифру множника і записуючи приватні твори - це все ж дає деяке скорочення часу.

"Русский" спосіб множення

Ви не можете виконати множення багатозначних чисел, - хоча б навіть двозначних, - якщо не пам'ятаєте напам'ять всіх результатів множення однозначних чисел, т. Е. Того, що називається таблицею множення. У старовинній «Арифметиці» Магницького, про яку ми вже згадували, необхідність твердого знання таблиці множення оспівана в таких (чужих для сучасного слуху) віршах:

Аще хто не твердіт' таблиці і гордіт', Чи не может 'пізнати чіслом' що множаться

І по все науки несвобод' від муки, Колико НЕ учіт' задарма ся удручіт'

І в користь не будет аще ю забудет'.

Автор цих віршів, очевидно, не знав або не врахував, що існує спосіб перемножать числа і без знання таблиці множення. Спосіб цей, схожий на наші шкільні прийоми, вжито був в ужитку російських селян і успадкований ними від глибокої давнини.

Сутність його в тому, що множення будь-яких двох чисел зводиться до ряду послідовних поділів одного числа навпіл при одночасному подвоєнні іншого числа. Ось приклад:

Розподіл навпіл продовжують до тих пір), пеку в приватному не вийде 1, паралельно подвоюючи інше число. Останнє подвійну кількість і дає шуканий результат. Неважка зрозуміти, на чому цей спосіб заснований: твір не зрад я-ється, якщо один множник зменшити вдвічі, а інший - удвічі же збільшити. Ясно тому, що в результаті мното-кратного повторення цієї операції виходить шукане твір.

Однак що робити, якщо при цьому нріх. одітся ділити навпіл число непарне?

Народний спосіб легко виходить з цього утруднення. Треба, говорить правило, в разі непарного числа про ткінуть одиницю і ділити залишок навпіл; але зате до поїв еднему числу правого стовпчика потрібно буде додати всі ті числа цього стовпця, які стоять проти н е ч е т н и х чисел лівого столбца- сума і буде шуканий? л твором. Практично це роблять так, що всі рядки з парними лівими числами закреслюють; залишаються тільки ті, які містять наліво непарне число.

Наведемо приклад (зірочки вказують, що даний рядок треба закреслити):

Склалися не закреслені числа, отримуємо цілком правильний результат: 17 + 34 + 272 \u003d 32 На чому грунтується такий прийом?

Правильність прийому стане зрозумілою, якщо взяти до уваги, що

19Х 17 \u003d (18 + 1) Х 17 \u003d 18X17 + 17, 9Х34 \u003d (8 + 1) Х34 \u003d; 8Х34 + 34 і т. Д.

Ясно, що числа 17, 34 і т. П., Втрачаються при розподілі непарного числа навпіл, необхідно додати до результату останнього множення, щоб отримати твір.

Приклади прискореного множення

Ми згадували раніше, що для виконання тих окремих дій множення, на які розпадається кожен із зазначених вище прийомів, існують також зручні способи. Деякі з них досить нескладні і зручно застосовні вони настільки полегшують обчислення, що не заважає взагалі запам'ятати їх, щоб користуватися при звичайних розрахунках.

Такий, наприклад, прийом перехресного множення, досить зручний при дії з двозначними числами. Спосіб не новий; він сходить до греків і індусам і за старих часів називався «способом блискавки», або «множенням хрестиком». Тепер він забутий, і про нього не заважає напомніть1.

Нехай потрібно перемножити 24X32. Подумки маємо число за наступною схемою, одне під іншим:

Тепер послідовно виконуємо наступні дії:

1) 4X2 \u003d 8 - це остання цифра результату.

2) 2X2 \u003d 4; 4X3 \u003d 12; 4 + 12 \u003d 16; 6 - передостання цифра результату; 1 запам'ятовуємо.

3) 2X3 \u003d 6, та ще утримана в розумі одиниця, маємо

7- це перша цифра результату.

Отримуємо все цифри твори: 7, 6, 8 - 768.

Після нетривалого вправи прийом цей засвоюється дуже легко.

Інший спосіб, що складається у вживанні так званих "доповнень", зручно застосовується в тих випадках, коли перемножуємо числа близькі до 100.

Припустимо, що потрібно перемножити 92X96. "Доповнення" для 92 до 100 буде 8, для 96 - 4. Дія проводять за такою схемою: множники: 92 і 96 "доповнення": 8 і 4.

Перші дві цифри результату виходять простим відніманням з множника "доповнення" множимо або навпаки; т. Е. З 92 віднімають 4 або з 96 віднімають 8.

8том обох випадках маємо 88; до цього числа приписують твір "доповнень": 8X4 \u003d 32. Отримуємо результат 8832.

Що отриманий результат повинен бути вірний, наочно видно з наступних перетворень:

92х9б \u003d 88X96 \u003d 88 (100-4) \u003d 88 X 100-88X4

1 4X96 \u003d 4 (88 + 8) \u003d 4х 8 + 88X4 92х96 8832 + 0

Ще приклад. Потрібно перемножити 78 на 77: множники: 78 і 77 "доповнення": 22 і 23.

78 - 23 \u003d 55, 22 X 23 \u003d 506, 5500 + 506 \u003d 6006.

Третій приклад. Перемножити 99 X 9.

множники: 99 і 98 "доповнення": 1 і 2.

99-2 \u003d 97, 1X2 \u003d 2.

В даному випадку треба пам'ятати, що 97 означає тут число сотень. Тому складаємо.

Поділіться з друзями або збережіть для себе:

Завантаження ...