Найти градиент функции онлайн калькулятор. Градиент функции и производная по направлению вектора
Краткая теория
Градиентом называется вектор, направление которого указывает направление максимально быстрого возрастания функции f(x). Нахождение этой векторной величины связано с определением частных производных функции. Производная по направлению это скалярная величина и показывает скорость изменения функции при движении вдоль направления, заданного некоторым вектором.
Пример решения задачи
Условие задачи
Даны функция , точка и вектор . Найти:
Решение задачи
Нахождение градиента функции
1) Найдем градиент функции в точке :
Искомый градиент:
Нахождение производной по направлению вектора
2) Найдем производную в направлении вектора :
где -угол, образованный вектором и осью
Искомая производная в точке :
На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Онлайн-помощь на экзамене/зачете осуществляется по предварительной записи.
Заявку можно оставить прямо в чате, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.
Определение 1
Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$. Обозначение: $z=f(x,y)$.
Рассмотрим функцию $z=f(x,y)$, которая определена в некоторой области в пространстве $Oxy$.
Следовательно,
Определение 3
Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z)$.
Рассмотрим функцию $w=f(x,y,z)$, которая определена в некоторой области в пространстве $Oxyz$.
Для заданной функции определим вектор, для которого проекциями на оси координат являются значения частных производных заданной функции в некоторой точке $\frac{\partial z}{\partial x} ;\frac{\partial z}{\partial y} $.
Определение 4
Градиентом заданной функции $w=f(x,y,z)$ называется вектор $\overrightarrow{gradw} $ следующего вида:
Теорема 3
Пусть в некотором скалярном поле $w=f(x,y,z)$ определено поле градиентов
\[\overrightarrow{gradw} =\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \overrightarrow{i} +\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \overrightarrow{j} +\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \overrightarrow{k} .\]
Производная $\frac{\partial w}{\partial s} $ по направлению заданного вектора $\overrightarrow{s} $ равна проекции вектора градиента $\overrightarrow{gradw} $ на заданный вектор $\overrightarrow{s} $.
Пример 4
Решение:
Выражение для градиента находим по формуле
\[\overrightarrow{gradw} =\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \overrightarrow{i} +\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \overrightarrow{j} +\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \overrightarrow{k} .\]
\[\frac{\partial w}{\partial x} =2x;\frac{\partial w}{\partial y} =4y;\frac{\partial w}{\partial z} =2.\]
Следовательно,
\[\overrightarrow{gradw} =2x\cdot \overrightarrow{i} +4y\cdot \overrightarrow{j} +2\cdot \overrightarrow{k} .\]
Пример 5
Определить градиент заданной функции
в точке $M(1;2;1)$. Вычислить $\left(|\overrightarrow{gradz} |\right)_{M} $.
Решение:
Выражение для градиента в заданной точке находим по формуле
\[\left(\overrightarrow{gradw} \right)_{M} =\left(\frac{\partial w}{\partial x} \right)_{M} \cdot \overrightarrow{i} +\left(\frac{\partial w}{\partial y} \right)_{M} \cdot \overrightarrow{j} +\left(\frac{\partial w}{\partial z} \right)_{M} \cdot \overrightarrow{k} .\]
Частные производные имеют вид:
\[\frac{\partial w}{\partial x} =2x;\frac{\partial w}{\partial y} =4y;\frac{\partial w}{\partial z} =6z^{2} .\]
Производные в точке $M(1;2)$:
\[\frac{\partial w}{\partial x} =2\cdot 1=2;\frac{\partial w}{\partial y} =4\cdot 2=8;\frac{\partial w}{\partial z} =6\cdot 1^{2} =6.\]
Следовательно,
\[\left(\overrightarrow{gradw} \right)_{M} =2\cdot \overrightarrow{i} +8\cdot \overrightarrow{j} +6\cdot \overrightarrow{k} \]
\[\left(|\overrightarrow{gradw} |\right)_{M} =\sqrt{2^{2} +8^{2} +6^{2} } =\sqrt{4+64+36} =\sqrt{104} .\]
Перечислим некоторые свойства градиента:
Производная заданной функции в заданной точке по направлению некоторого вектора $\overrightarrow{s} $ имеет наибольшее значение, если направление данного вектора $\overrightarrow{s} $ совпадает с направлением градиента. При этом данное наибольшее значение производной совпадает с длиной вектора градиента, т.е. $|\overrightarrow{gradw} |$.
Производная заданной функции по направлению вектора, который перпендикулярен к вектору градиента, т.е. $\overrightarrow{gradw} $, равна 0. Так как $\varphi =\frac{\pi }{2} $, то $\cos \varphi =0$; следовательно, $\frac{\partial w}{\partial s} =|\overrightarrow{gradw} |\cdot \cos \varphi =0$.
Понятие производной по направлению рассматривается для функций двух и трёх переменных. Чтобы понять смысл производной по направлению, нужно сравнить производные по определению
Следовательно,
Теперь можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:
А сейчас - домашнее задание. В нём дана функция не трёх, а лишь двух переменных, но несколько иначе задан направляющий вектор. Так что придётся вновь повторить векторную алгебру .
Пример 2. Найти производную функции в точке M 0 (1; 2) по направлению вектора , где M 1 - точка с координатами (3; 0) .
Вектор, задающий направление производной, может быть дан и в такой форме, как в следующем примере - в виде разложения по ортам координатных осей , но эта хорошо знакомая тема из самого начала векторной алгебры.
Пример 3.
Найти производную функции
в точке M
0
(1; 1; 1)
по направлению вектора
.
Решение. Найдём направляющие косинусы вектора
Найдём частные производные функции в точке M 0 :
Следовательно, можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:
.
Градиент функции
Градиент функции нескольких переменных в точке M 0 характеризует направление максимального роста этой функции в точке M 0 и величину этого максимального роста.
Как найти градиент?
Нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных , , этой функции в соответствующей точке:
.
То есть, должно получиться представление вектора по ортам координатных осей , в котором на каждый орт умножается соответствующая его оси частная производная.
1 0 Градиент направлен по нормали к поверхности уровня (или к линии уровня, если поле плоское).
2 0 Градиент направлен в сторону возрастания функции поля.
3 0 Модуль градиента равен наибольшей производной по направлениювданной точке поля:
Эти свойства дают инвариантную характеристику градиента. Они говорят о том, что вектор gradU указывает направление и величину наибольшего изменения скалярного поля в данной точке.
Замечание 2.1. Если функция U(x,y) есть функция двух переменных, то вектор
лежит в плоскости oxy.
Пусть U=U(x,y,z) и V=V(x,y,z) дифференцируемых в точке М 0 (x,y,z) функции. Тогда имеет место следующие равенства:
а) grad()= ; б) grad(UV)=VgradU+UgradV;
в) grad(U V)=gradU gradV; г) г) grad = , V ;
д) gradU( = gradU, где , U=U() имеет производную по .
Пример 2.1. Дана функция U=x 2 +y 2 +z 2 . Определить градиент функции в точке М(-2;3;4).
Решение. Согласно формуле (2.2) имеем
Поверхностями уровня данного скалярного поля являются семейство сфер x 2 +y 2 +z 2 , вектор gradU=(-4;6;8) есть нормальный вектор плоскостей.
Пример 2.2. Найти градиент скалярного поля U=x-2y+3z.
Решение. Согласно формуле (2.2) имеем
Поверхностями уровня данного скалярного поля являются плоскости
x-2y+3z=С; вектор gradU=(1;-2;3) есть нормальный вектор плоскостей этого семейства.
Пример 2.3. Найти наибольшую крутизну подъема поверхности U=x y в точке М(2;2;4).
Решение. Имеем:
Пример 2.4. Найти единичный вектор нормали к поверхности уровня скалярного поля U=x 2 +y 2 +z 2 .
Решение. Поверхности уровня данного скалярного Поля-сфера x 2 +y 2 +z 2 =С (С>0).
Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, так что
Определяет вектор нормали к поверхности уровня в точке М(x,y,z). Для единичного вектора нормали получаем выражение
Пример 2.5. Найти градиент поля U= , где и постоянные векторы, r –радиус вектор точки.
Решение. Пусть
Тогда: . По правилу дифференцирования определителя получаем
Следовательно,
Пример 2.6. Найти градиент расстояния , где P(x,y,z) - изучаемая точка поля, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) - некоторая фиксированная точка.
Решение. Имеем - единичный вектор направления .
Пример 2.7. Найти угол между градиентами функций в точке М 0 (1,1).
Решение. Находим градиенты данных функций в точке М 0 (1,1), имеем
; Угол между gradU и gradV в точке М 0 определяется из равенства
Отсюда =0.
Пример 2.8. Найти производную по направлению, радиус- вектор равен
Решение. Находим градиент этой функции:
Подставляя (2.5) в (2.4), получим
Пример 2.9. Найти в точке М 0 (1;1;1) направление наибольшего изменения скалярного поля U=xy+yz+xz и величину этого наибольшего изменения в этой точке.
Решение. Направление наибольшего изменения поля указывается вектором grad U(M). Находим его:
И, значит, . Это вектор определяет направление наибольшего возрастания данного поля в точке М 0 (1;1;1). Величина наибольшего изменения поля в этой точке равна
Пример 3.1. Найти векторные линии векторного поля где -постоянный вектор.
Решение. Имеем так что
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на х, второй-на у, третий- на z и сложим почленно. Используя свойство пропорций, получим
Отсюда xdx+ydy+zdz=0, а значит
x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. Умножив теперь числитель и знаменатель первой дроби (3.3) на с 1 , второй –на с 2 , третий на с 3 и сложив почленно, получим
Откуда с 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0
И, следовательно, с 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2 -const.
Искомые уравнения векторных линий
Эти уравнения показывают, что векторные линии получаются в результате пересечения сфер, имеющих общий центр в начале координат, с плоскостями, перпендикулярными вектору . Отсюда следует, что векторные линии являются окружностями, центры которых находятся на прямой, проходящей через начало координат в направлении вектора с. Плоскости окружностей перпендикулярны указанной прямой.
Пример 3.2. Найти векторную линию поля проходящую через точку (1,0,0).
Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий
Отсюда имеем . Решая первое уравнение . Или если ввести параметр t, то будем иметь В этом случае уравнение принимает вид или dz=bdt, откуда z=bt+c 2 .
Градиент функции – векторная величина, нахождение которой связано с определением частных производных функции. Направление градиента указывает путь наискорейшего роста функции от одной точки скалярного поля к иной.
Инструкция
1. Для решения задачи на градиент функции применяются способы дифференциального исчисления, а именно нахождение частных производных первого порядка по трем переменным. При этом предполагается, что сама функция и все ее частные производные владеют свойством непрерывности в области определения функции.
2. Градиент – это вектор, направление которого указывает направление максимально стремительного возрастания функции F. Для этого на графике выбираются две точки M0 и M1, которые являются концами вектора. Величина градиента равна скорости возрастания функции от точки M0 к точке M1.
3. Функция дифференцируема во всех точках этого вектора, следственно, проекциями вектора на координатных осях являются все ее частные производные. Тогда формула градиента выглядит дальнейшим образом:grad = (?F/?х) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, где i, j, k – координаты единичного вектора. Иными словами, градиент функции – это вектор, координатами которого являются ее частные производные grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).
4. Пример1.Пускай задана функция F = sin(х z?)/y. Требуется обнаружить ее грaдиент в точке (?/6, 1/4, 1).
5. Решение.Определите частные производные по всякой переменной: F’_х = 1/y соs(х z?) z?;F’_y = sin(х z?) (-1) 1/(y?);F’_z = 1/y соs(х z?) 2 х z.
6. Подставьте знаменитые значения координат точки:F’_x = 4 соs(?/6) = 2 ?3; F’_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F’_z = 4 соs(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.
7. Примените формулу градиента функции:grаd F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.
8. Пример2.Обнаружьте координаты градиента функции F = y arсtg (z/x) в точке (1, 2, 1).
9. Решение.F’_х = 0 аrсtg (z/х) + y (аrсtg(z/х))’_х = y 1/(1 + (z/х)?) (-z/х?) = -y z/(х? (1 + (z/х)?)) = -1;F’_y = 1 аrсtg(z/х) = аrсtg 1 = ?/4;F’_z = 0 аrсtg(z/х) + y (аrсtg(z/х))’_z = y 1/(1 + (z/х)?) 1/х = y/(х (1 + (z/х)?)) = 1.grаd = (-1, ?/4, 1).
Градиент скалярного поля является векторной величиной. Таким образом, для его нахождения требуется определить все компоненты соответствующего вектора, исходя из познаний о разделении скалярного поля.
Инструкция
1. Прочитайте в учебнике по высшей математике, что собой представляет градиент скалярного поля. Как вестимо, данная векторная величина имеет направление, характеризующееся максимальной скоростью спада скалярной функции. Такой толк данной векторной величины обосновывается выражением для определения ее компонент.
2. Помните, что всякий вектор определяется величинами его компонент. Компоненты вектора являются реально проекциями этого вектора на ту либо другую координатную ось. Таким образом, если рассматривается трехмерное пространство, то у вектора должно быть три компоненты.
3. Запишите, как определяются компоненты вектора, являющегося градиентом некоторого поля. Вся из координат такого вектора равна производной скалярного потенциала по переменной, координата которой рассчитывается. То есть, если нужно вычислить «иксовую» компоненту вектора градиента поля, то надобно продифференцировать скалярную функцию по переменной «икс». Обратите внимание, что производная должна быть частная. Это обозначает, что при дифференцировании остальные переменные, не участвующие в нем, надобно считать константами.
4. Напишите выражение для скалярного поля. Как знаменито, данный термин подразумевает собой каждого лишь скалярную функцию нескольких переменных, являющихся также скалярными величинами. Число переменных скалярной функции ограничено размерностью пространства.
5. Продифференцируйте отдельно скалярную функцию по всякой переменной. В результате у вас получится три новые функции. Впишите всякую функцию в выражение для вектора градиента скалярного поля. Всякая из полученных функций реально является показателем при единичном векторе данной координаты. Таким образом, финальный вектор градиента должен выглядеть как многочлен с показателями в виде производных функции.
При рассмотрении вопросов, включающих представление градиента, почаще каждого функции воспринимают как скалярные поля. Следственно нужно ввести соответствующие обозначения.
Вам понадобится
- – буман;
- – ручка.
Инструкция
1. Пускай функция задается тремя доводами u=f(x, y, z). Частную производную функции, на пример по х, определяют как производную по этому доводу, полученную при фиксировании остальных доводов. Для остальных доводов подобно. Обозначения частной производной записывается в виде: дf/дх = u’x …
2. Полный дифференциал будет равен du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz.Частные производные дозволено понимать, как производные по направлениям координатных осей. Следственно появляется вопрос о нахождении производной по направлению заданного вектора s в точке M(x, y, z) (не забывайте, что направление s задает единичный вектор-орт s^o). При этом вектор-дифференциал доводов {dx, dy, dz}={дscos(альфа), дsсоs(бета), дsсоs(гамма)}.
3. Рассматривая вид полного дифференциала du, дозволено сделать итог, что производная по направле-нию s в точке М равна:(дu/дs)|M=((дf/дх)|M)соs(альфа)+ ((дf/дy)|M) соs(бета) +((дf/дz)|M) соs(гамма).Если s= s(sx,sy,sz), то направляющие косинусы {соs(альфа), соs(бета), соs(гамма)} вычисляются (см. рис.1а).
4. Определение производной по направлению, считая точку М переменной, дозволено переписать в виде скалярного произведения: (дu/дs)=({дf/дх, дf/дy,дf/дz}, {соs(альфа), соs(бета), соs(гамма)})=(grad u, s^o). Данное выражение будет объективно для скалярного поля. Если рассматривается легко функ-ция, то gradf – это вектор, имеющий координаты, совпадающие с частными производными f(x, y, z).gradf(x,y,z)={{дf/дх, дf/дy, дf/дz}=)=(дf/дх)i+(дf/дy)j +(дf/дz)k. Тут (i, j, k) – орты координатных осей в прямоугольной декартовой системе координат.
5. Если применять дифференциальный вектор-оператор Гамильтона набла, то gradf дозволено записать, как умножение этого вектора-оператора на скаляр f (см. рис. 1б). С точки зрения связи gradf c производной по направлению, равенство (gradf, s^o)=0 допустимо, если эти векторы ортогональны. Следственно gradf зачастую определяют, как направление быстрейшего метаморфозы скалярного поля. А с точки зрения дифференциальных операций (gradf – одна из них), свойства gradf в точности повторяют свойства дифференцирования функций. В частности, если f=uv, то gradf=(vgradu+u gradv).
Видео по теме
Градиент это инструмент, в графических редакторах исполняющий заливку силуэта плавным переходом одного цвета в иной. Градиент может придать силуэту результат объема, имитировать освещение, блики света на поверхности предмета либо результат заката на заднем плане фотографии. Данный инструмент имеет широкое использование, следственно для обработки фотографий либо создания иллюстраций дюже значимо обучится им пользоваться.
Вам понадобится
- Компьютер, графический редактор Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net либо иной.
Инструкция
1. Откройте в программе изображение либо сделайте новое. Сделайте силуэт либо выделите надобную область на изображении.
2. Включите инструмент градиент на панели инструментов графического редактора. Разместите курсор мышки на точку внутри выделенной области либо силуэта, в которой будет начинаться 1-й цвет градиента. Нажмите и удерживайте левую клавишу мышки. Перемещайте курсор в точку, в которой градиент должен перейти в конечный цвет. Отпустите левую клавишу мышки. Выделенный силуэт заполнит заливка градиентом.
3. Градиент у дозволено задать прозрачность, цвета и их соотношение в определенной точке заливки. Для этого откройте окно редактирования градиента. Дабы открыть окно редактирования в Photoshop – кликните по примеру градиента в панели «Параметры».
4. В открывшемся окне в виде примеров отображаются доступные варианты градиентной заливки. Дабы отредактировать один из вариантов выберите его кликом мышки.
5. В нижней части окна отображается пример градиента в виде широкой шкалы, на которой расположены ползунки. Ползунки обозначают точки, в которых градиент должен иметь заданные колляции, а в интервале между ползунками цвет равномерно переходит из заданного в первой точке к цвету 2-й точки.
6. Ползунки, которые расположены в верхней части шкалы задают прозрачность градиента. Дабы изменить прозрачность кликните по необходимому ползунку. Под шкалой появится поле, в которое введите необходимую степень прозрачности в процентах.
7. Ползунки в нижней части шкалы задают цвета градиента. Кликнув по одному из них, вы сумеете предпочесть надобный цвет.
8. Градиент может иметь несколько цветов перехода. Дабы задать еще один цвет – кликните по свободному месту на нижней части шкалы. На ней появится еще один ползунок. Задайте для него необходимый цвет. Шкала отобразит пример градиента с еще одной точкой. Вы можете передвигать ползунки, удерживая их с поддержкой левой клавиши мышки, дабы добиться необходимого сочетания.
9. Градиент ы бывают нескольких типов, которые могут придать форму плоским силуэтам. Скажем, дабы придать окружности форму шара применяется радиальный градиент, а дабы придать форму конуса – конусовидный. Дабы придать поверхности иллюзию выпуклости дозволено воспользоваться зеркальным градиентом, а ромбовидный градиент может применяться для создания бликов.
Видео по теме
Видео по теме
Загрузка...