Формули на вълновата физика. Механични вибрации

Период.

Период тсе нарича периодът от време, през който системата прави едно пълно трептене:

н- броят на пълните трептения по време на т.

Честота.

Честотата ν е броят на трептенията за единица време:

Честотна единица - 1 херц (Hz) = 1 s -1

Циклична честота:

Хармонично уравнение на трептене:

х- изместване на тялото от позиция. X mе амплитудата, тоест максималното изместване, (ω т+ φ 0) е фазата на трептене, Ψ 0 е нейната начална фаза.

Скорост.

За φ 0 = 0:

Ускорение.

За φ 0 = 0:

Безплатни вибрации.

Свободните вибрации са тези, които възникват в механична система (осцилатор) с единично отклонение от равновесното положение, имаща собствена честота ω 0, зададена само от параметрите на системата, и затихване във времето поради наличието на триене.

Математическо махало.

Честота:

л- дължината на махалото, ж- ускорение на гравитацията.

Махалото има максимална кинетична енергия в момента на преминаване на положението на равновесие:

Пружинно махало.

Честота:

к- твърдост на пружината, м- масата на товара.

Махалото има максимална потенциална енергия при максимално изместване:

Принудителни вибрации.

Принудителни вибрации са тези, които възникват в осцилаторна система (осцилатор) под въздействието на периодично променяща се външна сила.

Резонанс.

Резонанс - рязко увеличаване на амплитудата х m принудителни вибрации, когато честотата ω на движещата сила съвпада с честотата ω 0 на собствените вибрации на системата.

Вълни.

Вълните са вибрации на материя (механични) или полета (електромагнитни), които се разпространяват в пространството във времето.

Скорост на вълната.

Скоростта на разпространение на вълната υ е скоростта на предаване на вибрационната енергия. В този случай частиците на средата вибрират около положението на равновесие и не се движат с вълната.

Дължина на вълната.

Дължината на вълната λ е разстоянието, на което трептението се разпространява за един период:

Единицата за дължина на вълната е 1 метър (m).

Честота на вълната:

Единицата за честота на вълната е 1 херц (Hz).

Хармоничните вибрации възникват според закона:

х = А cos (ω т + φ 0),

където х- изместване на частица от равновесното положение, А- амплитуда на вибрацията, ω - ъглова честота, φ 0 - начална фаза, т- време.

Период на трептене т = .

Осцилираща скорост на частиците:

υ = = – Аω грях (ω т + φ 0),

ускорение а = = –Аω 2 cos (ω т + φ 0).

Кинетична енергия на частица, извършваща осцилаторно движение: Е k = =
грях 2 (ω т+ φ 0).

Потенциална енергия:

Е n =
cos 2 (ω т + φ 0).

Периоди на трептене на махалото

- пролет т =
,

където м- масата на товара, к- коефициент на твърдост на пружината,

- математически т = ,

където л- дължина на окачването, ж- ускорение на гравитацията,

- физически т =
,

където аз- моментът на инерция на махалото спрямо оста, преминаваща през точката на окачване, мМасата на махалото е, л- разстоянието от точката на окачване до центъра на масата.

Намалената дължина на физическото махало се намира от условието: л np = ,

обозначенията са същите като за физическото махало.

Когато се добавят две хармонични трептения с една и съща честота и една посока, се получава хармонично трептене със същата честота с амплитуда:

А = А 1 2 + А 2 2 + 2А 1 А 2 cos (φ 2 - φ 1)

и началната фаза: φ = арктан
.

където А 1 , А 2 - амплитуди, φ 1, φ 2 - началните фази на добавените трептения.

Траекторията на полученото движение при добавяне на взаимно перпендикулярни трептения със същата честота:

+ – cos (φ 2 - φ 1) = sin 2 (φ 2 - φ 1).

Заглушените трептения възникват според закона:

х = А 0 д - β т cos (ω т + φ 0),

където β е коефициентът на затихване, значението на останалите параметри е същото като за хармонични трептения, А 0 - начална амплитуда. В момент от времето тамплитуда на вибрациите:

А = А 0 д - β т .

Затихващият логаритмичен декремент се нарича:

λ = ln
= β т,

където т- период на трептене: т = .

Коефициентът на качество на осцилаторната система се нарича:

Уравнението на плоска пътуваща вълна има вида:

г = г 0 cos ω ( т ± ),

където в- изместване на флуктуиращото количество от равновесното положение, в 0 - амплитуда, ω - ъглова честота, т-време, хе координатата, по която се разпространява вълната, υ - скорост на разпространение на вълната.

Знакът "+" съответства на вълна, която се разпространява срещу оста х, знакът "-" съответства на вълна, разпространяваща се по оста х.

Дължината на вълната се нарича нейният пространствен период:

λ = υ т,

където υ - скоростта на разпространение на вълната, т– Период на разпространяващи се трептения.

Вълновото уравнение може да бъде записано:

г = г 0 cos 2π (+).

Стоящата вълна се описва с уравнението:

г = (2г 0 cos ) cos ω т.

Амплитудата на стоящата вълна е оградена в скоби. Точките с максимална амплитуда се наричат антивъзли,

х n = н ,

точки с нулева амплитуда - възли,

х y = ( н + ) .

Примери за решаване на проблеми

Задача 20

Амплитудата на хармоничните вибрации е 50 mm, периодът е 4 s и началната фаза ... а) Запишете уравнението на това трептене; б) намерете изместването на осцилиращата точка от равновесното положение при т= 0 и за т= 1,5 s; в) начертайте графика на това движение.

Решение

Уравнението на трептене се записва като х = а cos ( т+  0).

По условие е известен периодът на трептене. Чрез него можете да изразите кръговата честота  = . Останалите параметри са известни:

а) х= 0,05 cos ( т + ).

б) Преместване хв т= 0.

х 1 = 0,05 cos = 0,05 = 0,0355 m.

В т= 1,5 s

х 2 = 0,05 cos ( 1,5 + ) = 0,05 cos  = - 0,05 m.

v ) функционална графика х= 0,05 cos ( т + ) както следва:

Нека дефинираме позицията на няколко точки. Известен х 1 (0) и х 2 (1.5), както и периода на трептене. Следователно, чрез  т= 4 s стойност хповтаря и след  т = 2 c променя знака. Между високото и ниското в средата е 0.

Задача 21

Точката създава хармонична вибрация. Периодът на трептене е 2 s, амплитудата е 50 mm, началната фаза е нула. Намерете скоростта на точка в момента, когато нейното изместване от равновесното положение е 25 mm.

Решение

1 начин. Записваме уравнението на трептене на точка:

х= 0,05 cos  т, защото  = =.

Намерете скоростта в момента във времето т:

υ = = – 0,05 cos  т.

Намираме момента във времето, когато денивелацията е 0,025 m:

0,025 = 0,05 cos  т 1 ,

следователно cos  т 1 = ,  т 1 = . Заменете тази стойност в израза за скорост:

υ = - 0,05  sin = - 0,05  = 0,136 m/s.

Метод 2. Обща енергия на вибрационно движение:

Е =
,

където а- амплитуда,  - кръгова честота, м – маса на частиците.

Във всеки момент от време това е сумата от потенциалната и кинетичната енергия на точката

Е k = , Е n = , но к = м 2, следователно Е n =
.

Нека напишем закона за запазване на енергията:

= +
,

от тук получаваме: а 2  2 = υ 2 +  2 х 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 m/s.

Задача 22

Амплитуда на хармоничните вибрации на материална точка А= 2 cm, обща енергия Е= 3 ∙ 10 -7 J. При какво изместване от равновесното положение силата действа върху осцилиращата точка Ф = 2,25 ∙ 10 -5 N?

Решение

Общата енергия на точка, извършваща хармонични трептения, е равна на: Е =
. (13)

Модулът на еластичната сила се изразява чрез изместване на точките от равновесното положение хпо следния начин:

Ф = k x (14)

Формулата (13) включва масата ми ъгловата честота , а в (14) - коефициентът на коравина к... Но кръговата честота е свързана с ми к:

 2 = ,

оттук к = м 2 и F = м 2 х... Чрез изразяване м 2 от съотношение (13) получаваме: м 2 = , Ф = х.

Откъде получаваме израза за изместването х: х = .

Замяната на числови стойности дава:

х =
= 1,5 ∙ 10 -2 m = 1,5 cm.

Задача 23

Точката участва в две трептения с еднакви периоди и начални фази. Амплитуди на трептения А 1 = 3 см и A 2 = 4 см. Намерете амплитудата на полученото трептене, ако: 1) трептенията възникват в една посока; 2) вибрациите са взаимно перпендикулярни.

Решение

Ако възникнат трептения в една посока, тогава амплитудата на полученото трептене ще се определи като:

където А 1 и А 2 - амплитуди на добавените вибрации,  1 и  2 - начални фази. По условие началните фази са еднакви, което означава  2 -  1 = 0 и cos 0 = 1.

следователно:

А =
=
= А 1 +А 2 = 7 см.

Ако вибрациите са взаимно перпендикулярни, тогава уравнението на полученото движение ще бъде:

cos ( 2 -  1) = sin 2 ( 2 -  1).

Тъй като според условието  2 -  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, уравнението ще бъде записано във вида:
=0,

или
=0,

или
.

Получената връзка между хи вмогат да бъдат нанесени на графика. От графиката се вижда, че полученото трептене на точка на права линия MN... Амплитудата на това колебание ще се дефинира като: А =
= 5 см.

Задача 24

Период на затихване на трептене т= 4 s, логаритмичният декремент на затихване  = 1,6, началната фаза е нула. Изместване на точката в т = е равно на 4,5 см. 1) Напишете уравнението на това трептене; 2) Изградете графика на това движение за два периода.

Решение

Уравнението на затихващите трептения с нулева начална фаза има вида:

х = А 0 д -  т cos2 .

Няма достатъчно начални стойности на амплитудата за заместване на числови стойности А 0 и коефициент на затихване .

Коефициентът на затихване може да се определи от съотношението на логаритмичното декремент на затихване:

 = т.

Така  = = = 0,4 s -1.

Началната амплитуда може да се определи чрез заместване на второто условие:

4,5 см = А 0
cos 2 = А 0
cos = А 0
.

От тук откриваме:

А 0 = 4,5∙

(см) = 7,75 см.

Окончателното уравнение на движението е:

х = 0,0775
цена.

Задача 25

Какво е логаритмичното декремент на затихване на математическо махало, ако т = 1 мин, амплитудата на вибрациите е намалена наполовина? Дължина на махалото л = 1 m.

Решение

Декрементът на логаритмичното затихване може да се намери от съотношението:  =  т,

където  е коефициентът на затихване, т- период на колебания. Естествена кръгова честота на математическо махало:

 0 =
= 3,13 s -1.

Коефициентът на затихване на трептенията може да се определи от условието: А 0 = А 0 д -  т ,

т= ln2 = 0,693,

 =
= 0,0116с -1.

Тъй като <<  0 , то в формуле  =
може да се пренебрегне в сравнение с  0 и периодът на трептене може да се определи по формулата: т = = 2в.

Заместете  и тв израза за декремент на логаритмичното затихване и получаваме:

 = т= 0,0116 s -1 ∙ 2 s = 0,0232.

Задача 26

Уравнението на постоянните трептения е дадено във формата х= 4 sin600  тсм.

Намерете изместването от равновесното положение на точка, разположена на разстояние л= 75 см от източника на вибрация, след т= 0,01 s след началото на трептенето. Скорост на разпространение на вибрациите υ = 300 m/s.

Решение

Нека напишем уравнението на вълната, разпространяваща се от даден източник: х= 0,04 sin 600  ( т– ).

Намираме фазата на вълната в даден момент на дадено място:

т– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0,0075 = 4,5,

sin 4,5 = sin = 1.

Следователно, изместването на точката х= 0,04 m, т.е. на разстояние л = 75 см от източника по това време т= 0,01 s максимално изместване на точката.

Библиография

Волкенщайн V.S.... Сборник от задачи за общия курс на физиката. - SPb .: СпецЛит, 2001.

Савелиев И.В... Сборник от въпроси и задачи по обща физика. - М .: Наука, 1998.

Хармонично уравнение

където Х -изместване на осцилиращата точка от положението на равновесие;
т- време; А,ω, φ- съответно амплитуда, ъглова честота,
начална фаза на трептения; - фаза на трептения в момента т.

Честота на ъглова вибрация

където ν и T са честотата и периодът на трептенията.

Скоростта на точка, която прави хармонични трептения

Хармонично ускорение

Амплитуда Аполученото трептене, получено чрез добавяне на две трептения с еднакви честоти, възникващи по една права линия, се определя по формулата

където а 1 и А 2 - амплитудите на вибрационните компоненти; φ 1 и φ 2 са техните начални фази.

Началната фаза φ на полученото трептене може да се намери от формулата

Честотата на ударите, произтичащи от добавянето на две трептения, възникващи по една права линия с различни, но близки по стойност, честоти ν 1 и ν 2,

Уравнението на траекторията на точка, участваща в две взаимно перпендикулярни трептения с амплитуди A 1 и A 2 и начални фази φ 1 и φ 2,

Ако началните фази φ 1 и φ 2 на компонентите на вибрацията са еднакви, тогава уравнението на траекторията приема формата

тоест точката се движи по права линия.

В случай, че фазовата разлика, уравнението
приема формата

тоест точката се движи по елипса.

Диференциално уравнение на хармоничните вибрации на материална точка

Или ,
където m е масата на точката; k -квазиеластичен коефициент на сила ( к=тω 2).

Общата енергия на материална точка, извършваща хармонични вибрации,

Периодът на трептене на тяло, окачено на пружина (пружинно махало),

където м- телесна маса; k -пролетна скорост. Формулата е валидна за еластични вибрации в границите, в които е изпълнен законът на Хук (при малка маса на пружината в сравнение с масата на тялото).

Периодът на трептене на математическо махало

където л- дължината на махалото; g -ускорение на гравитацията. Периодът на трептене на физическо махало

където Дж- момент на инерция на осцилиращото тяло спрямо оста

флуктуации; а- разстояние на центъра на масата на махалото от оста на трептене;

Намалена дължина на физическо махало.

Дадените формули са точни за случая на безкрайно малки амплитуди. При крайни амплитуди тези формули дават само приблизителни резултати. При амплитуди не повече от грешката в стойността на периода не надвишава 1%.

Периодът на усукващи вибрации на тяло, окачено върху еластична нишка,

където J -момент на инерция на тялото около оста, съвпадаща с еластичната нишка; k -твърдостта на еластичната нишка, равна на съотношението на еластичния момент, който възниква при усукване на нишката към ъгъла, през който е усукана.

Диференциално уравнение на затихващите трептения
, или ,

където r- коефициент на съпротивление; δ - коефициент на затихване:; ω 0 - собствена ъглова честота на трептения *

Уравнение на затихване на трептене

където A (t) -амплитуда на затихналите трептения в момента т;ω е тяхната ъглова честота.

Ъглова честота на затихване на трептения

О Зависимост на амплитудата на затихващите трептения от времето

където А 0 - амплитудата на вибрациите в момента т=0.

Логаритмично намаляване на флуктуациите

където A (t)и A (t + T) -амплитудите на две последователни трептения, отдалечени във времето едно от друго с период.

Диференциално уравнение за принудително трептене

където е външната периодична сила, действаща върху
флуктуираща материална точка и причиняваща принудително
флуктуации; F 0 -неговата амплитуда;

Амплитуда на принудителна вибрация

Резонансна честота и резонансна амплитуда и

Примери за решаване на проблеми

Пример 1.Точката се колебае според закона x (t) =,където А = 2виж Определяне на началната фаза φ ако

х(0) = cm и х , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-
ченге т=0.

Решение. Нека използваме уравнението на движението и да изразим преместването в момента т= 0 през началната фаза:

От тук намираме началната фаза:

* В по-ранните формули за хармонични вибрации същата стойност се означаваше просто с ω (без индекс 0).

Заменете дадените стойности в този израз х(0) и A:φ=
=. Стойността на аргумента е удовлетворена
две стойности на ъгъла:

За да се реши коя от тези стойности на ъгъла φ удовлетворява
също повишава условието, първо намираме:

Заместване на стойността в този израз т= 0 и алтернативни стойности
начални фази и, намираме

Както винаги А> 0 и ω> 0, то условието е изпълнено само
до първата стойност на началната фаза.
По този начин, необходимият инициал
фаза

Въз основа на намерената стойност на φ,
тях векторна диаграма (фиг. 6.1).
Пример 2.Материална точка
маса т= 5 g изпълнява хармоника
вибрации с честота ν = 0,5 Hz.
Амплитуда на вибрациите А= 3 см. Оп-
Определете: 1) скоростта υ точка в
времеви момент при изместване х =
= 1,5 см; 2) максимална сила
F max, действащ върху точката; 3)
Ориз. 6.1 пълна енергия Ефлуктуираща точка
Ki

и получаваме формулата за скоростта, като вземем първата производна по време на преместването:

За да се изрази скоростта чрез преместване, е необходимо да се изключи времето от формули (1) и (2). За да направите това, ние квадратираме двете уравнения, разделяме първото на А 2,вторият върху A 2 ω 2 и добавете:

Или

Решаване на последното уравнение за υ , намирам

След извършване на изчисления по тази формула получаваме

Знакът плюс съответства на случая, когато посоката на скоростта съвпада с положителната посока на оста Х,знак минус - когато посоката на скоростта съвпада с отрицателната посока на оста Х.

Преместването при хармонични вибрации, в допълнение към уравнение (1), може да се определи и от уравнението

Повтаряйки същото решение с това уравнение, получаваме същия отговор.

2. Силата, действаща върху точка, се намира според втория закон на Нютон:

където а -точково ускорение, което получаваме, като вземем производната по време на скоростта:

Замествайки израза за ускорение във формула (3), получаваме

Оттук и максималната стойност на силата

Замествайки в това уравнение стойностите на величините π, ν, ти А,намирам

3. Общата енергия на осцилираща точка е сумата от кинетичната и потенциалната енергия, изчислена за всеки момент от време.

Най-лесно е да се изчисли общата енергия в момента, когато кинетичната енергия достигне максималната си стойност. В този момент потенциалната енергия е нула. Следователно, общата енергия Еосцилиращата точка е равна на максималната кинетична енергия

Максималната скорост се определя от формула (2) чрез настройка
:. Заместване на израза за скорост във формата
муле (4), нам

Замествайки стойностите на количествата в тази формула и извършвайки изчисления, получаваме

или mcJ.

Пример 3. л= 1 m и маса м 3 = 400 г малки топчета, подсилени с маси м 1 = 200 gi м 2 = 300гр. Пръчката вибрира около хоризонталната ос, перпендикулярно

дикулярна на пръчката и минаваща през средата му (точка О на фиг. 6.2). Определете периода твибрации, направени от пръта.

Решение. Периодът на трептене на физическо махало, което е пръчка с топки, се определя от съотношението

Където J - Т -неговата маса; l С -разстояние от центъра на масата на махалото до оста.

Инерционният момент на дадено махало е равен на сумата от инерционните моменти на топките Дж 1 и J 2и пръчка Дж 3:

Приемайки топките като материални точки, ние изразяваме моментите на тяхната инерция:

Тъй като оста минава през средата на лентата, тогава
инерционният му момент спрямо тази ос Дж 3 =
= . Заместване на получените изрази Дж 1 , J 2и
Дж 3 във формула (2), намираме общия инерционен момент на
физическо махало:

Правейки изчисления с помощта на тази формула, намираме

Ориз. 6.2 Масата на махалото се състои от масите на топките и масата
пръчка:

Разстоянието л СНие намираме центъра на масата на махалото от оста на трептене въз основа на следните съображения. Ако оста хнасочете по лентата и подравнете началото с точката о,необходимото разстояние ле равна на координатата на центъра на масата на махалото, т.е.

Заместване на стойностите на количествата м 1 , м 2 , м, ли правейки изчисления, намираме

Правейки изчисления по формула (1), получаваме периода на трептене на физическото махало:

Пример 4.Физическото махало е пръчка
дължината л= 1 m и маса 3 т 1 Сприкрепен към един от краищата му
обръч с диаметър и тегло т 1 . Хоризонтална ос Оз

махалото преминава през средата на пръта перпендикулярно на него (фиг. 6.3). Определете периода ттрептения на такова махало.

Решение. Периодът на трептене на физическо махало се определя по формулата

(1)

където J -инерционният момент на махалото спрямо оста на трептене; Т -неговата маса; л° С - разстояние от центъра на масата на махалото до оста на трептене.

Инерционният момент на махалото е равен на сумата от инерционните моменти на пръта Дж 1 и обръч Дж 2:

Моментът на инерция на пръта около оста,
перпендикулярно на щангата и преминаване
чрез своя център на маса, се определя от формата-
ле В такъв случай t = 3т 1 и

Намираме момента на инерция на обръча, използвайте
наречена теорема на Щайнер,
където J -инерционен момент спрямо
произволна ос; J 0 -момент на инерция
по отношение на оста, минаваща през центъра на масата
успоредна на дадена ос; а -разстояние
между посочените оси. Прилагането на този формуляр -
муле до обръч, получаваме

Ориз. 6.3

Заместващи изрази Дж 1 и Дж 2 във формула (2), намираме момента на инерция на махалото спрямо оста на въртене:

Разстоянието л Сот оста на махалото до неговия център на маса е

Заместване във формула (1) на изрази Дж, лс и масата на махалото, намираме периода на неговите трептения:

След като изчислим по тази формула, получаваме т= 2,17 s.

Пример 5.Добавят се две вибрации в една и съща посока
ния, изразена чрез уравнения; х 2 =
=, къде А 1 = 1 см, А 2 = 2 cm, s, s, ω =
=. 1. Определете началните фази φ 1 и φ 2 на компонентите на

бани. 2. Намерете амплитудата Аи началната фаза φ на полученото колебание. Напишете уравнението за получената флуктуация.

Решение. 1. Уравнението на хармоничните трептения има вида

Преобразуваме уравненията, дадени в постановката на проблема, в същия вид:

От сравнение на изрази (2) с равенство (1) намираме началните фази на първото и второто трептене:

Радвам се и се радвам.

2. За определяне на амплитудата Ана полученото флуктуация е удобно да се използва векторната диаграма, представена на ориз. 6.4. Съгласно косинусовата теорема получаваме

където е фазовата разлика на компонентите на трептенията.
Тъй като тогава заместването на намереното
стойностите на φ 2 и φ 1 ще бъдат rad.

Ориз. 6.4

Заменете стойностите А 1 , А 2 и във формула (3) и
нека направим изчисления:

А = 2,65 см.

Тангенсът на началната фаза φ на полученото трептене определя
lim директно от фиг. 6.4: , отку-
да начална фаза

Заменете стойностите А 1 , А 2 , φ 1, φ 2 и направете изчисления:

Тъй като ъгловите честоти на добавените вибрации са еднакви,
тогава получената вибрация ще има същата честота ω. Това
ви позволява да напишете уравнението на полученото трептене във формата
, където А= 2,65 см, рад.

Пример 6.Материалната точка участва едновременно в две взаимно перпендикулярни хармонични трептения, уравненията на които

където а 1 = 1 см, А 2 = 2 см,. Намерете уравнението на траекторията на точката
Ki Начертайте траектория в мащаб и уточнете
посока на движение на точката.

Решение. За да намерим уравнението на траекторията на точка, изключваме времето тот дадените уравнения (1) и (2). За да направите това, използвайте

изучаваме формулата. В такъв случай
, Ето защо

Тъй като според формула (1) , след това уравнението на траекторията
ri

Полученият израз е уравнението на парабола, чиято ос съвпада с оста ох.От уравнения (1) и (2) следва, че преместването на точка по координатните оси е ограничено и е в диапазона от -1 до +1 cm по оста охи от -2 до +2 см по оста OU

За да построим траекторията, намираме по уравнение (3) стойностите y,съответстващи на поредица от стойности Х,удовлетворявайки условието, вижте и съставете таблица:

За да посочите посоката на движение на точка, проследете как нейната позиция се променя с течение на времето. В началния момент т= 0 координатите на точките са равни х(0) = 1 см и г(0) = 2 см. В следващия момент от време, например, в т 1 = l s, координатите на точките ще се променят и ще станат равни х(1) = -1 см, y (т )=0. Познавайки позицията на точките в началния и следващите (близки) моменти от време, можете да посочите посоката на движение на точката по траекторията. На фиг. 6.5 тази посока на движение е обозначена със стрелка (от точката Акъм произхода). След в момента т 2 = 2 s осцилиращата точка достига точката Д,ще се движи в обратна посока.

Кинематика на хармоничните вибрации

6.1. Уравнението на вибрациите на точка има вида:
където ω = π s -1, τ = 0,2 s. Определете периода ти началната фаза φ
колебание.

6.2. Определете периода Т,честота v и начална фаза φ на трептения, дадени от уравнението, където ω = 2,5π s -1,
τ = 0,4 s.

6.3.
където А х (0) = 2медии
; 2) x (0) = cm и; 3) x (0) = 2 см и; 4)
x (0) = u. Конструирайте векторна диаграма за
момент т=0.

6.4. Точката вибрира. Според закона,
където А= 4 см. Определете началната фаза φ, ако: 1) х (0) = 2медии
; 2) х(0) = cm и; 3) х(0) = cm и;
4) х(0) = cm и. Конструирайте векторна диаграма за
момент т=0.

6.5. Точката вибрира според закона,
където А= 2 см; ; φ = π / 4 rad. Изграждане на графики на зависимости
от времето: 1) изместване х (t); 2) скорост; 3) ускорение

6.6. Точката осцилира с амплитуда А= 4 см и период T = 2 s.Напишете уравнението на тези вибрации, като приемем, че in
момент т= 0 отместване х (0) = 0и . Определете фазата
за два момента във времето: 1) когато преместването х = 1 см и;
2) когато скоростта = -6 cm / s и х<0.

6.7. Точката се движи равномерно около окръжността обратно на часовниковата стрелка с период от T = 6 s. Диаметър дкръгът е 20 см. Напишете уравнението на движението на проекцията на точка върху оста Х,преминаващ през центъра на окръжността, ако в момента на времето, взето за начално, проекцията върху оста хе равно на нула. Намерете офсет Х,скоростта и ускорението на проекцията на точката в момента t = 1в.

6.8. Определете максималните стойности на скоростта и ускорението на точка, извършваща хармонични трептения с амплитуда А = 3 см и ъглова честота

6.9. Точката се осцилира според закона, където А =
= 5 см; ... Определете ускорението на точка в даден момент от време,
когато скоростта му = 8 cm / s.

6.10. Точката извършва хармонични трептения. Най-великия
пристрастие х m ос точки е 10 cm, най-високата скорост =
= 20 см/сек. Намерете ъгловата честота ω на трептенията и максималното ускорение на точката.

6.11. Максималната скорост на точка, извършваща хармонични трептения, е 10 cm / s, максималното ускорение =
= 100 cm / s 2. Намерете ъгловата честота ω на трептенията, техния период т
и амплитуда А.Напишете уравнението на трептенията, като началната фаза е равна на нула.

6.12. Точката се колебае според закона. В даден момент от време, компенсацията х 1 точка се оказа равна на 5 см. Когато фазата на трептенията се удвои, изместването x стана равно на 8 см. Намерете амплитудата Аколебание.

6.13. Флуктуациите на точката се случват според закона.
В даден момент от време, компенсацията хточка е 5 см, нейната скорост
= 20 cm / s и ускорение = -80 cm / s 2. Намерете амплитудата А, ъглова честота ω, период ттрептения и фаза в разглеждания момент от време.

Добавяне на вибрации

6.14. Две еднакво насочени хармонични трептения от един и същи период с амплитуди А 1 = 10 см и А 2 = 6 cm добавят към една вибрация с амплитуда А = 14 см. Намерете фазовата разлика на добавените трептения.

6.15. Две хармонични вибрации, насочени по една права линия и имащи еднакви амплитуди и периоди, събират една вибрация със същата амплитуда. Намерете фазовата разлика на добавените вибрации.

6.16. Определете амплитудата Аи началната фаза φ на резултата
осцилиращо трептене, произтичащо от добавянето на две трептения
същата посока и период: и
, където А 1 =А 2 = 1 см; ω = π s -1; τ = 0,5 s. Намерете уравнението на полученото трептене.

6.17. Точката участва в две еднакво насочени трептения: и, където а 1 = 1 см; А 2 = 2 см; ω =
= 1 s -1. Определете амплитудата Аполученото колебание,
неговата честота v и начална фаза φ. Намерете уравнението на това движение.

6.18. Две хармонични вибрации се сумират, една на
царува със същите периоди т 1 =т 2 = 1,5 s и амплитуди
А 1 = А 2 = 2 см. Началните фази на трептения и. Определете амплитудата Аи началната фаза φ на полученото колебание. Намерете нейното уравнение и го начертайте в мащаб
векторна диаграма на събиране на амплитуди.

6.19. Добавят се три хармонични трептения от една и съща посока с еднакви периоди T 1 = T 2 = T 3 = 2 s и амплитуди А 1 =А 2 =А 3 = 3 см. Началните фази на трептения са φ 1 = 0, φ 2 = π / 3, φ 3 = 2π / 3. Създайте векторна диаграма на събирането на амплитуди. Определете амплитудата от чертежа Аи началната фаза φ на полученото колебание. Намерете неговото уравнение.

6.20. Добавете две хармонични вибрации от една и съща
честота и една и съща посока: и х 2 =
=. Начертайте векторна диаграма за момент
време т= 0. Определете аналитично амплитудата Аи начална
фаза φ на полученото трептене. Отложете Аи φ на вектора
диаграма. Намерете уравнението на полученото трептене (в тригонометричен вид през косинуса). Решете проблема за двама
случаи: 1) А 1 = 1 см, φ 1 = π / 3; А 2 = 2 cm, φ 2 = 5π / 6; 2) A 1 = 1 см,
φ 1 = 2π / 3; А 2 = 1 см, φ 2 = 7π / 6.

6.21. Два камертона звучат едновременно. Честотите ν 1 и ν 2 на техните трептения са съответно равни на 440 и 440,5 Hz. Определете периода тбие.

6.22. Две взаимно перпендикулярни вибрации се сумират,
изразено чрез уравнения и къде
а 1 =2 см, А 2 = 1 cm,, τ = 0,5 s. Намерете уравнението на траекторията
и го изградете, показвайки посоката на движение на точката.

6.23. Точката извършва едновременно две хармонични трептения, възникващи във взаимно перпендикулярни посоки
и изразено чрез уравнения и,
където а 1 = 4 см, А 1 = 8 cm,, τ = 1 s. Намерете уравнението на траекторията на точка и постройте графика на нейното движение.

6.24. Една точка едновременно извършва две хармонични трептения с една и съща честота, възникващи във взаимно перпендикулярни посоки, изразени от уравненията: 1) и

Намерете (за осем случая) уравнението на траекторията на точката, изградете го по отношение на мащаба и посочете посоката на движение. Да приеме: А = 2см, А 1 = 3 см, А 2 = 1 см; φ 1 = π / 2, φ 2 = π.

6.25 ... Точката участва едновременно в две взаимно перпендикулярни трептения, изразени чрез уравненията и
, където А 1 = 2 см, А 2 = 1 см. Намерете уравнението на траекторията
точка и я изградете, указвайки посоката на движение.

6.26. Една точка едновременно извършва две хармонични трептения, възникващи във взаимно перпендикулярни посоки
и изразено чрез уравнения и къде А 1 =
= 0,5 см; А 2 = 2 см. Намерете уравнението на траекторията на точката и построете
нея, указвайки посоката на движение.

6.27. Движението на точка се определя от уравненията и y =
=, къде А 1 = 10 см, А 2 = 5 cm, ω = 2 s -1, τ = π / 4 s. намирам
уравнението на траекторията и скоростта на точка в момента на времето т= 0,5 s.

6.28. Материална точка участва едновременно в две взаимно перпендикулярни вибрации, изразени от уравненията
и къде А 1 =2 см, А 2 = 1 см. Намерете
уравнение на траекторията и го построете.

6.29. Точката участва едновременно в две хармонични трептения, възникващи във взаимно перпендикулярни посоки, описани от уравненията: 1) и

Намерете уравнението на траекторията на точка, изградете го по отношение на мащаба и посочете посоката на движение. Да приеме: А= 2 см; А 1 = sсм.

6.30. Точката участва едновременно в две взаимно перпендикулярни
трептения, изразени чрез уравнения и

y = A 2грях 0,5ω т, където А 1 = 2 см, А 2 = 3 см. Намерете уравнението на траекторията на точката и го построете, като посочите посоката на движение.

6.31. Изместването на светещата точка на екрана на осцилоскопа е резултат от добавянето на две взаимно перпендикулярни трептения, които се описват с уравненията: 1) х = Агрях 3 ω ти в=Агрях 2ω т; 2) х = Агрях 3ω ти г=А cos 2ω т; 3) х = Агрях 3ω ти y = А cos ω т.

Използвайки графичния метод на събиране и наблюдавайки мащаба, конструирайте траекторията на светещата точка на екрана. Да приеме А= 4 см.

Динамика на хармоничните вибрации. Махала

6.32. Материална точка по маса т= 50 g извършва трептения, чието уравнение има вида х = А cos ω т,където А= 10 cm, ω = 5 s -1. Намерете сила F,действащ върху точката, в два случая: 1) в момента, когато фазата ω т= π / 3; 2) в позицията на най-голямото изместване на точката.

6.33. Трептения на материална точка с маса т= 0,1 g се получават според уравнението х=А cos ω т,където А= 5 см; ω = 20 s -1. Определете максималните стойности на възстановяващата сила F max и кинетичната енергия тм ах

6.34. Намерете възстановяваща сила Фв момента т= 1 s и пълна енергия Ематериална точка, осцилираща според закона х = А cos ω т, където А = 20 см; ω = 2π / 3 s -1. Тегло тматериална точка е равна на 10 g.

6.35. Трептенията на материална точка възникват според уравнението х = А cos ω т,където А= 8 cm, ω = π / 6 s -1. Моментът, в който възстановява силата Фза първи път достигна стойност от -5 mN, потенциалната енергия на точката P стана равна на 100 μJ. Намерете този момент във времето ти съответната фаза ω т.

6.36. Тегло тегло м= 250 g, окачени на пружина, осцилира вертикално с период T = 1С.Определете твърдостта кпружини.

6.37. От спиралната пружина беше окачена тежест, в резултат на което пружината беше разтеглена от х = 9виж какъв ще е периодът ттрептене на тежестта, ако се дръпне малко надолу и след това се освободи?

6.38. Тежест, окачено на пружина, вибрира вертикално с амплитуда А= 4 см. Определете общата енергия Етрептения на тежестта, ако твърдостта кпружината е 1 kN / m.

6.39. Намерете съотношението на дължините на две математически махала, ако съотношението на периодите на техните трептения е 1,5.

6.40. л = 1м монтиран в асансьора. Асансьорът се издига с ускорение а= 2,5 m/s 2. Определете периода ттрептения на махалото.

6.41. В краищата на тънък прът с дължина л= 30 см, прикрепени са еднакви тежести, по една във всеки край. Пръчка с тежести вибрира около хоризонтална ос, минаваща през точка d = 10 cm от един от краищата на пръчката. Определете намалената дължина Ли период ттрептения на такова физическо махало. Не обръщайте внимание на масата на пръчката.

6.42. На прът дълъг л= 30 см са фиксирани две еднакви тежести: едната - в средата на пръта, другата - в единия от нейните краища. Пръчка с тежест се люлее около хоризонтална ос, минаваща през свободния край на пръта. Определете намалената дължина Ли период твибрации на такава система. Не обръщайте внимание на масата на пръчката.

6.43. Система от три тежести, свързани с пръчки с дължина л= 30 cm (фиг. 6.6), осцилира около хоризонталната ос, минаваща през точка O перпендикулярно на равнината на чертежа. Намерете точка тсистемни колебания. Пренебрегваме масите на прътите, третираме тежестите като материални точки.

6.44. Тънък обръч, окачен на пирон, забит хоризонтално в стената, се люлее в равнина, успоредна на стената. Радиус Робръчът е 30 см. Изчислете периода твибрации на обръча.

Ориз. 6.6

Ориз. 6.7

6.45. Хомогенен диск с радиус Р= 30 cm осцилира около хоризонтална ос, минаваща през една от образуващите на цилиндричната повърхност на диска. Какъв е периодът тнеговото колебание?

6.46. Радиус на диска R = 24 cm вибрира около хоризонтална ос, минаваща през средата на един от радиусите, перпендикулярни на равнината на диска. Определете намалената дължина Ли период ттрептения на такова махало.

6.47. От тънък хомогенен диск с радиус Р= 20 см изрежете част, която прилича на кръг с радиус r = 10 см, както е показано на фиг. 6.7. Останалата част от диска трепти около хоризонталната ос O, която съвпада с една от образуващите на цилиндричната повърхност на диска. Намерете точка ттрептения на такова махало.

6.48. Математическа дължина на махалото л 1 = 40 см и физическо махало под формата на тънка права пръчка с дължина л 2 = 60 cm трептят синхронно около една и съща хоризонтална ос. Определете разстоянието ацентъра на масата на пръта от оста на вибрация.

6.49. Физическо махало под формата на тънък прав прът с дължина л= 120 cm осцилира около хоризонтална ос, минаваща перпендикулярно на пръта през точка на известно разстояние аот центъра на масата на пръта. На каква стойност аПериод тфлуктуацията има най-малка стойност?

6.50. тс малко топче маса, фиксирана върху него Т.Махалото се люлее около хоризонтална ос, минаваща през точка О на пръта. Определете периода тхармонични трептения на махалото за случаи а, б, в, d показано на фиг. 6.8. Дължина лпръчката е равна на 1 м. Топката се разглежда като материална точка.

Ориз. 6.9

Ориз. 6.8

6.51. Физическото махало е тънка хомогенна пръчка с маса тс две малки топчета, фиксирани върху него ти 2 т... Махалото се люлее около хоризонтална ос, минаваща през точка Она пръчката. Определете честотата ν на хармоничните трептения на махалото за случаите a B C D,показано на фиг. 6.9. Дължина лпръчката е равна на 1 м. Топките се считат за материални точки.

6.52. Телесна маса т= 4 kg, фиксиран върху хоризонталната ос, осцилиран с период т 1 = 0,8 s. Когато диск е монтиран на тази ос, така че оста му съвпада с оста на вибрация на тялото, периодът т 2 трептения станаха равни на 1,2 s. Радиус Рдиск е равен на 20 см, масата му е равна на масата на тялото. Намерете инерционния момент Джтялото спрямо оста на вибрация.

6.53. Масов хидрометър т= 50 g, с тръба с диаметър д= 1 см, плува във вода. Ареометърът беше леко потопен във вода и след това оставен сам, в резултат на което започна да извършва хармонични трептения. Намерете точка ттези колебания.

6.54. В U-образна тръба отворена в двата края с площ на напречното сечение С= 0,4 cm 2 бързо се изсипва живак с маса т= 200 гр. Определете периода тколебания на живака в тръбата.

6.55. Набъбналият дънер, чието напречно сечение е постоянно по цялата му дължина, се потопи вертикално във водата, така че само малка (в сравнение с дължината) част от него е над водата. Период твибрацията на трупа е 5 s. Определете дължината лтрупи.

Затихване на трептения

6.56. Амплитудата на затихващите трептения на махалото през времето т 1= 5 минути намалява наполовина. В кое време t 2,като се брои от началния момент, амплитудата ще намалее ли осем пъти?

6.57. По време на т= 8 min, амплитудата на затихващите трептения на махалото намалява три пъти. Определете коефициента на затихване δ .

6.58. Амплитуда на трептения с дължина на махалото л = 1 м на път т= 10 минути намалява наполовина. Определете логаритмичния декремент на флуктуациите Θ.

6.59. Логаритмичният декремент на трептенията Θ на махалото е 0,003. Определете числото нпълни трептения, които махалото трябва да направи, за да се намали наполовина амплитудата.

6.60. Kettlebell маса т= 500 g, окачени от винтова пружина с твърдост к= 20 N / m и извършва еластични вибрации в определена среда. Логаритмичен декремент на флуктуациите Θ = 0,004. Определете числото нобщите вибрации, които трябва да изпълни тежестта, за да намалее амплитудата на вибрациите н= 2 пъти. Колко време отнема тще се случи ли това намаление?

6.61. Телесна маса т= 5 g извършва затихване на трептения. За време t = 50-те години тялото е загубило 60% от енергията си. Определете коефициента на съпротивление б.

6.62. Определете периода тзатихнали трептения, ако периодът T 0собствените трептения на системата са равни на 1 s и логаритмичният декремент на трептенията Θ = 0,628.

6.64. Телесна маса т= 1 kg е във вискозна среда с коефициент на съпротивление б= 0,05 kg/s. Използване на две еднакви пружини с твърдост к= 50 N / m, всяко тяло се държи в равновесие, докато пружините не се деформират (фиг. 6.10). Тялото е изместено от равновесното положение и

освободен. Определете: 1) коефициента на затихване δ ; 2) честота на вибрациите ν; 3) логаритмичен декремент на флуктуациите Θ; 4) номер нтрептения, след което амплитудата ще намалее с коефициент e.

Принудителни вибрации. Резонанс

6.65. Под действието на гравитацията на електродвигателя, конзолната греда, върху която е монтиран, се наведе з= 1 мм. С каква скорост Пкотвата на двигателя може ли да има опасност от резонанс?

6.66. Тегло на вагона т= 80 t има четири пружини. твърдост кпружините на всяка пружина са равни на 500 kN / m. С каква скорост вагонът ще започне да се люлее силно поради сътресения на релсовите връзки, ако дължината лрелсата е 12,8 м?

6.67. Осцилиращата система извършва затихващи трептения с честота ν = 1000 Hz. Определете честотата ν 0 на собствените вибрации, ако резонансната честота ν pe s = 998 Hz.

6.68. Определете доколко резонансната честота се различава от честотата ν 0 = l kHz на собствените трептения на системата, характеризираща се с коефициент на затихване δ = 400 s -1.

6.69. Определете логаритмичния декремент на трептенията Θ на осцилаторната система, за която се наблюдава резонанс при честота, по-ниска от собствената честота ν 0 = 10 kHz с Δν = 2 Hz.

6.70. Период т 0 от собствените трептения на пружинното махало е 0,55 s. Във вискозна среда периодът тсъщото махало стана равно на 0,56 s. Определете резонансната честота ν pe s трептения.

6.71. Пружинно махало (твърдост кпружина е 10 N / m, тегло тнатоварване е равно на 100 g) прави принудителни вибрации във вискозна среда с коефициент на съпротивление r= 2 · 10 -2 kg / s. Определете коефициента на затихване δ и резонансната амплитуда А res, ако амплитудната стойност на движещата сила Ф 0 = 10 mN.

6.72. Тялото прави принудителни вибрации в среда с коефициент на съпротивление r = 1 g/s. Като се има предвид, че затихването е малко, определете амплитудната стойност на движещата сила, ако резонансната амплитуда А res = 0,5 cm и честотата ν 0 на естествените вибрации е 10 Hz.

6.73. Амплитудите на принудителните хармонични трептения при честота ν 1 = 400 Hz и ν 2 = 600 Hz са равни една на друга. Определете резонансната честота ν pe s. Затихването се пренебрегва.

6.74. Към винтова пружина с твърдост k = 10N / m окачена тежест т= 10 g и се потапя цялата система във вискозна среда. Приемане на коефициент на съпротивление бравно на 0,1 kg / s, определете: 1) честотата ν 0 на собствените вибрации; 2) резонансна честота ν pe s; 3) резонансна амплитуда Асрязване, ако движещата сила се промени според хармоничния закон и нейната амплитуда F 0 == 0,02 N; 4) съотношението на резонансната амплитуда към статичното изместване под действието на силата F 0.

6.75. Колко пъти амплитудата на принудителните трептения ще бъде по-малка от резонансната, ако честотата на промяната на движещата сила е по-голяма от резонансната: 1) с 10%? 2) два пъти? Коефициентът на затихване δ и в двата случая се приема равен на 0,1 ω 0 (ω 0 е ъгловата честота на собствените трептения).

Хармоничните вибрации възникват според закона:

х = А cos (ω т + φ 0),

Период на трептене т = .

Осцилираща скорост на частиците:

υ = = – Аω грях (ω т + φ 0),

ускорение а = = –Аω 2 cos (ω т + φ 0).

Кинетична енергия на частица, извършваща осцилаторно движение: Е k = =
грях 2 (ω т+ φ 0).

Потенциална енергия:

Е n =
cos 2 (ω т + φ 0).

Периоди на трептене на махалото

- пролет т =
,

където м- масата на товара, к- коефициент на твърдост на пружината,

- математически т = ,

където л- дължина на окачването, ж- ускорение на гравитацията,

- физически т =
,

Намалената дължина на физическото махало се намира от условието: л np = ,

обозначенията са същите като за физическото махало.

А = А 1 2 + А 2 2 + 2А 1 А 2 cos (φ 2 - φ 1)

и началната фаза: φ = арктан
.

където А 1 , А 2 - амплитуди, φ 1, φ 2 - началните фази на добавените трептения.

Траекторията на полученото движение при добавяне на взаимно перпендикулярни трептения със същата честота:

+ – cos (φ 2 - φ 1) = sin 2 (φ 2 - φ 1).

Заглушените трептения възникват според закона:

х = А 0 д - β т cos (ω т + φ 0),

А = А 0 д - β т .

Затихващият логаритмичен декремент се нарича:

λ = ln
= β т,

където т- период на трептене: т = .

Коефициентът на качество на осцилаторната система се нарича:

Уравнението на плоска пътуваща вълна има вида:

г = г 0 cos ω ( т ± ),

Дължината на вълната се нарича нейният пространствен период:

λ = υ т,

където υ - скоростта на разпространение на вълната, т– Период на разпространяващи се трептения.

Вълновото уравнение може да бъде записано:

г = г 0 cos 2π (+).

Стоящата вълна се описва с уравнението:

г = (2г 0 cos ) cos ω т.

Амплитудата на стоящата вълна е оградена в скоби. Точките с максимална амплитуда се наричат антивъзли,

х n = н ,

точки с нулева амплитуда - възли,

х y = ( н + ) .

Примери за решаване на проблеми

Задача 20

Решение

Уравнението на трептене се записва като х = а cos ( т+  0).

а) х= 0,05 cos ( т + ).

б) Преместване хв т= 0.

х 1 = 0,05 cos = 0,05 = 0,0355 m.

В т= 1,5 s

х 2 = 0,05 cos ( 1,5 + ) = 0,05 cos  = - 0,05 m.

v ) функционална графика х= 0,05 cos ( т + ) както следва:

Задача 21

Решение

1 начин. Записваме уравнението на трептене на точка:

х= 0,05 cos  т, защото  = =.

Намерете скоростта в момента във времето т:

υ = = – 0,05 cos  т.

Намираме момента във времето, когато денивелацията е 0,025 m:

0,025 = 0,05 cos  т 1 ,

следователно cos  т 1 = ,  т 1 = . Заменете тази стойност в израза за скорост:

υ = - 0,05  sin = - 0,05  = 0,136 m/s.

Метод 2. Обща енергия на вибрационно движение:

Е =
,

където а- амплитуда,  - кръгова честота, м – маса на частиците.

Във всеки момент от време това е сумата от потенциалната и кинетичната енергия на точката

Е k = , Е n = , но к = м 2, следователно Е n =
.

Нека напишем закона за запазване на енергията:

= +
,

от тук получаваме: а 2  2 = υ 2 +  2 х 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 m/s.

Задача 22

Решение

Общата енергия на точка, извършваща хармонични трептения, е равна на: Е =
. (13)

Ф = k x (14)

 2 = ,

оттук к = м 2 и F = м 2 х... Чрез изразяване м 2 от съотношение (13) получаваме: м 2 = , Ф = х.

Откъде получаваме израза за изместването х: х = .

Замяната на числови стойности дава:

х =
= 1,5 ∙ 10 -2 m = 1,5 cm.

Задача 23

Решение

Ако възникнат трептения в една посока, тогава амплитудата на полученото трептене ще се определи като:

следователно:

А =
=
= А 1 +А 2 = 7 см.

Ако вибрациите са взаимно перпендикулярни, тогава уравнението на полученото движение ще бъде:

cos ( 2 -  1) = sin 2 ( 2 -  1).

Тъй като според условието  2 -  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, уравнението ще бъде записано във вида:
=0,

или
=0,

или
.

Задача 24

Решение

Уравнението на затихващите трептения с нулева начална фаза има вида:

х = А 0 д -  т cos2 .

Коефициентът на затихване може да се определи от съотношението на логаритмичното декремент на затихване:

 = т.

Така  = = = 0,4 s -1.

Началната амплитуда може да се определи чрез заместване на второто условие:

4,5 см = А 0
cos 2 = А 0
cos = А 0
.

От тук откриваме:

А 0 = 4,5∙

(см) = 7,75 см.

Окончателното уравнение на движението е:

х = 0,0775
цена.

Задача 25

Решение

Декрементът на логаритмичното затихване може да се намери от съотношението:  =  т,

 0 =
= 3,13 s -1.

Коефициентът на затихване на трептенията може да се определи от условието: А 0 = А 0 д -  т ,

т= ln2 = 0,693,

 =
= 0,0116с -1.

Заместете  и тв израза за декремент на логаритмичното затихване и получаваме:

 = т= 0,0116 s -1 ∙ 2 s = 0,0232.

Задача 26

Уравнението на постоянните трептения е дадено във формата х= 4 sin600  тсм.

Решение

Нека напишем уравнението на вълната, разпространяваща се от даден източник: х= 0,04 sin 600  ( т– ).

Намираме фазата на вълната в даден момент на дадено място:

т– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0,0075 = 4,5,

sin 4,5 = sin = 1.

Библиография

Волкенщайн V.S.... Сборник от задачи за общия курс на физиката. - SPb .: СпецЛит, 2001.

Савелиев И.В... Сборник от въпроси и задачи по обща физика. - М .: Наука, 1998.

4.2. Понятия и дефиниции на раздела "трептения и вълни"

Уравнението на хармоничните вибрации и неговото решение:

, x = Ако (ω 0 t +α ) ,

А- амплитуда на трептения;

α е началната фаза на трептения.

Периодът на трептене на материална точка, която се колебае под въздействието на еластична сила:

където м- масата на материална точка;

кКоефициентът на твърдост е.

Периодът на трептене на математическото махало:

където л- дължината на махалото;

ж= 9,8 m / s 2 - гравитационно ускорение.

Амплитуда на вибрациите, получена чрез добавяне на две еднакво насочени хармонични вибрации:

където А 1 и А 2 - амплитудите на членовете на трептенията;

φ 1 и φ 2 са началните фази на членовете на трептенията.

Началната фаза на трептенията, получена чрез добавяне на две еднакво насочени хармонични трептения:

Уравнение на затихване на трептене и неговото решение:

, ,

- честота на затихване на трептения,

тук ω 0 е собствената честота на трептенията.

Логаритмичен декремент на затихване:

където β е коефициентът на затихване;

- период на затихване на трептения.

Q-фактор на осцилиращата система:

където θ е логаритмичният декремент на затихване

Уравнението на принудителните вибрации и неговото стационарно решение:

, х = А cos (ω т-φ ),

където Ф 0 - стойността на амплитудата на силата;

- амплитуда на затихване на трептения;

φ= - началната фаза.

Честота на резонансни вибрации:

където ω 0 - собствена циклична честота на трептения;

β е коефициентът на затихване.

Демпферни електромагнитни трептения във верига, състояща се от капацитет° С, индуктивностЛи съпротиваР:

където q- заряд на кондензатора;

q m- амплитудната стойност на заряда на кондензатора;

β = Р/2Л- коефициент на затихване,

тук Р- съпротивление на контура;

Л- индуктивност на бобината;

- честота на циклична вибрация;

тук ω 0 - собствена честота на трептения;

α е началната фаза на трептения.

Период на електромагнитно трептене:

където С- капацитет на кондензатора;

Л- индуктивност на бобината;

Р- съпротивление на контура.

Ако съпротивлението на контура е малко, това ( Р/2Л) 2 <<1/LC, след това периодът на трептене:

дължина на вълната:

където v -скорост на разпространение на вълната;

т- период на колебания.

Уравнение на плоска вълна:

ξ = А cos (ω t-kx),

където А- амплитуда;

ω - циклична честота;

Е вълновото число.

Сферично вълново уравнение:

където А- амплитуда;

ω - циклична честота;

к- вълново число;

rТова е разстоянието от центъра на вълната до разглежданата точка на средата.

? Свободни хармонични трептения във веригата

Идеалната верига е електрическа верига, състояща се от последователно свързан кондензатор с капацитет Си индуктори Л.Според хармоничния закон напрежението върху плочите на кондензатора и токът в индуктора ще се променят.

? Хармоничен осцилатор. Пружини, физични и математически махала, техните периоди на трептене

Хармоничният осцилатор е всяка физическа система, която осцилира. Класически осцилатори - пружинни, физични и математически махала. Пружинно махало - тежест мокачени на абсолютно еластична пружина и извършващи хармонични трептения под действието на еластична сила. т=. Физическото махало е твърдо тяло с произволна форма, което се колебае под действието на гравитацията около хоризонтална ос, която не минава през центъра на тежестта му. т=. Математическото махало е изолирана система, състояща се от материална точка с маса мокачена върху неразтеглива безтегловна нишка с дължина Л, и осцилира под въздействието на гравитацията. т= .

? Свободни незатихващи механични вибрации (уравнение, скорост, ускорение, енергия). Графично представяне на хармонични вибрации.

Трептенията се наричат свободни, ако възникват поради първоначално придадената енергия с последващо отсъствие на външни влияния върху осцилаторната система. Количеството се променя според закона на синуса или косинуса. , С- изместване от равновесното положение, А–Амплитуда, w 0 - циклична честота, –начална фаза на трептения. Скорост, ускорение. Пълна енергия - Е=. Графично - с помощта на синусоида или косинус.

? Понятието за осцилаторни процеси. Хармонични вибрации и техните характеристики. Период, амплитуда, честота и фаза на трептения. Графично представяне на хармонични вибрации.

Периодичните процеси, които се повтарят във времето, се наричат осцилаторни. Периодичните трептения, при които координатата на тялото се променя с времето според закона на синуса или косинуса, се наричат хармонични. Периодът е времето на едно замахване. Амплитудата е максималното изместване на точка от равновесното положение. Честотата е броят на пълните трептения за единица време. Фаза е стойността под знака синус или косинус. уравнението: , тук С- стойността, характеризираща състоянието на осцилиращата система, - цикличната честота. Графично - с помощта на синусоида или косинус.

? Затихване на трептения. Диференциално уравнение за тези вибрации. Декремент на логаритмично затихване, време на релаксация, качествен фактор.

Трептения, чиято амплитуда намалява с времето, например поради силата на триене. уравнението: , тук С- стойността, характеризираща състоянието на осцилиращата система, - цикличната честота, - коефициента на затихване. Логаритмичен декремент на затихване, където н- броят на трептенията, извършени по време на намаляването на амплитудата в нведнъж. Време на релаксация t- през което амплитудата намалява с коефициент e. Коефициент на качество Q =.

? Непрекъснати принудителни вибрации. Диференциално уравнение за тези вибрации. Какво се нарича резонанс? Амплитуда и фаза на принудителни трептения.

Ако загубите на енергия на трептенията, водещи до тяхното затихване, се компенсират напълно, се установяват постоянни трептения. уравнението: ... Тук дясната страна е външно влияние, променящо се по хармоничен закон. Ако честотата на собствените трептения на системата съвпада с външната, има резонанс - рязко увеличаване на амплитудата на системата. Амплитуда , .

? Опишете добавянето на вибрации от една и съща посока и една и съща честота, взаимно перпендикулярни вибрации. Какво е биене?

Амплитудата на полученото трептене в резултат на добавянето на две хармонични трептения с една и съща посока и същата честота, тук А- амплитуди, j - начални фази. Началната фаза на полученото клатушкане ... Взаимно перпендикулярни вибрации - уравнение на траекторията , тук Аи Vамплитуди на добавените трептения, j-фазова разлика.

? Опишете релаксационните трептения; собствено трептене.

Релаксация - собствени трептения, които рязко се различават по форма от хармоничните, поради значително разсейване на енергията в самоосцилиращи системи (триене в механични системи). Самотрептенията са устойчиви трептения, поддържани от външни енергийни източници при липса на външна променлива сила. Разликата от принудителните е, че честотата и амплитудата на собствените трептения се определят от свойствата на самата осцилаторна система. Разликата от свободните вибрации - те се различават по независимостта на амплитудата от времето и от първоначалното краткотрайно въздействие, което възбужда процеса на вибрации. Пример за самоосцилираща система е часовникът.

? Вълни (основни понятия). Надлъжни и напречни вълни. Стояща вълна. Дължина на вълната, нейната връзка с периода и честотата.

Процесът на разпространение на вибрации в пространството се нарича вълна. Посоката на предаване на вибрационната енергия от вълната е посоката на движение на вълната. Надлъжно - трептенето на частиците на средата възниква в посока на разпространение на вълната. Напречно - вибрациите на частиците на средата възникват перпендикулярно на посоката на разпространение на вълната. Стояща вълна - образува се при наслагване на две пътуващи вълни, които се разпространяват една към друга с еднакви честоти и амплитуди, а при напречните вълни една и съща поляризация. Дължината на вълната е разстоянието, което вълната изминава за един период. (дължина на вълната, v- скорост на вълната, т- период на трептене)

? Принципът на наслагване (припокриване) на вълните. Групова скорост и нейната връзка с фазовата скорост.

Принципът на суперпозицията - когато няколко вълни се разпространяват в линейна среда, всяка от тях се разпространява така, сякаш няма други вълни и полученото изместване на частица от средата по всяко време е равно на геометричната сума от премествания, които частиците получават при участие във всеки от съставните вълнови процеси. Груповата скорост е скоростта на движение на група вълни, които образуват локализиран вълнов пакет във всеки момент от време в пространството. Скоростта на движение на фазата на вълната е фазовата скорост. В неразпръсната среда те съвпадат.

? Електромагнитна вълна и нейните свойства. Енергия на електромагнитните вълни.

Електромагнитна вълна - електромагнитни вибрации, разпространяващи се в пространството. Експериментално получено от Hertz през 1880 Properties - може да се разпространява в среда и вакуум, във вакуум е равно на c, в среда по-малко, напречно, Е и Б взаимно перпендикулярни и перпендикулярни на посоката на разпространение. Интензитетът нараства с увеличаване на ускорението на излъчващата заредена частица, при определени условия се проявяват типични вълнови свойства - дифракция и др. Обемна енергийна плътност .

Оптика

Основни формули на оптиката

Скоростта на светлината в околната среда:

където ° С- скоростта на светлината във вакуум;

нТова е показателят на пречупване на средата.

Дължина на оптичния път на светлинната вълна:

Л = ns,

където с– геометрична дължина на пътя на светлинна вълна в среда с показател на пречупване н.

Оптична разлика в пътя на две светлинни вълни:

∆ = Л 1 – Л 2 .

Зависимост на фазовата разлика от разликата в оптичния път на светлинните вълни:

където λ е дължината на светлинната вълна.

Условие за максимално усилване на светлината в случай на смущения:

∆ = кλ (= 0, 1, 2,…).

Условие на максимално затихване на светлината:

Оптичната разлика в пътя на светлинните вълни, произтичащи от отражението на монохроматична светлина от тънък филм:

∆ = 2д ,

където д- дебелина на филма;

нКоефициентът на пречупване на филма е;

аз иТова е ъгълът на пречупване на светлината във филма.

Радиус на ярки нютонови пръстени в отразена светлина:

r k = , (k = 1, 2, 3, ...),

където к- номер на звънене;

Р- радиус на кривина.

Радиус на тъмните пръстени на Нютон в отразена светлина:

r k = .

Ъгълът φ на отклонение на лъчите, съответстващ на максимума (светлинна лента) по време на дифракция от един процеп, се определя от условието

а sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, ...),

където а- ширина на слота;

кЕ поредният номер на максимума.

инжекцияφ отклонението на лъчите, съответстващо на максимума (светлинна лента) при дифракцията на светлината върху дифракционна решетка, се определя от условието

д sinφ = (к = 0, 1, 2, 3, …),

където дЕ периодът на дифракционната решетка.

Резолюция на дифракционната решетка:

Р= = kN,

където ∆λ е най-малката разлика в дължините на вълната на две съседни спектрални линии (λ и λ + ∆λ), при която тези линии могат да се видят поотделно в спектъра, получен с помощта на тази решетка;

нТова е общият брой на решетъчните слотове.

Формула на Улф - Браг:

2ггрях θ = κ λ,

където θ е ъгълът на изтриване (ъгълът между посоката на паралелния рентгенов лъч, падащ върху кристала, и атомната равнина в кристала);

дТова е разстоянието между атомните равнини на кристала.

Закон на Брустър:

tg ε B = n 21 ,

където ε Б- ъгълът на падане, при който лъчът, отразен от диелектрика, е напълно поляризиран;

н 21 - относителният показател на пречупване на втората среда спрямо първата.

Законът на Малус:

аз = аз 0 cos 2 α ,

където аз 0 е интензитетът на плоскополяризираната светлина, падаща върху анализатора;

аз- интензитета на тази светлина след анализатора;

α е ъгълът между посоката на трептения на електрическия вектор на светлината, падаща върху анализатора, и равнината на предаване на анализатора (ако трептенията на електрическия вектор на падащата светлина съвпадат с тази равнина, тогава анализаторът предава тази светлина без затихване).

Ъгълът на въртене на равнината на поляризация на монохроматичната светлина при преминаване през оптично активно вещество:

а) φ = αd(в твърди вещества),

където α - постоянно въртене;

д- дължината на пътя, изминат от светлината в оптично активно вещество;

б) φ = [α] pd(в разтвори),

където [α] - специфична ротация;

стрТова е масовата концентрация на оптически активното вещество в разтвора.

Лек натиск при нормално падане върху повърхност:

където Тя- енергийно осветяване (излъчване);

ω е обемната плътност на енергията на излъчване;

ρ е коефициентът на отражение.

4.2. Понятия и дефиниции на раздела "оптика"

? Интерференция на вълните. Кохерентност. Максимално и минимално условие.

Интерференция - взаимно усилване или отслабване на кохерентните вълни при наслагването им (кохерентни - имащи еднаква дължина и постоянна фазова разлика в точката на тяхното наслагване).

Максимум;

минимум .

Тук D е разликата в оптичния път, l е дължината на вълната.

? Принцип на Хюйгенс-Френел. Феноменът на дифракция. Прорезна дифракция, дифракционна решетка.

Принципът на Хюйгенс-Френел – всяка точка в пространството, до която е достигнала разпространяваща се вълна в даден момент, се превръща в източник на елементарни кохерентни вълни. Дифракция - вълни около препятствия, ако размерът на препятствието е сравним с дължината на вълната, отклонението на светлината от праволинейно разпространение. Дифракция в процепа - в успоредни лъчи. Върху препятствието пада плоска вълна, дифракционната картина се наблюдава на екрана, който се намира във фокалната равнина на събиращата леща, инсталирана по пътя на светлината, преминаваща през препятствието. На екрана се получава "дифракционно изображение" на далечен източник на светлина. Дифракционната решетка е система от успоредни прорези с еднаква ширина, лежащи в една равнина, разделени от непрозрачни интервали с еднаква ширина. Използва се за разлагане на светлината в спектър и измерване на дължини на вълната.

? Светлинна дисперсия (нормална и ненормална). Законът на Бугер. Значението на коефициента на усвояване.

Светлинна дисперсия - зависимостта на абсолютния показател на пречупване на веществото нвърху честотата ν (или дължината на вълната λ) на светлината, падаща върху веществото (). Скоростта на светлината във вакуум не зависи от честотата, така че няма дисперсия във вакуум. Нормална дисперсия на светлината - ако коефициентът на пречупване монотонно нараства с увеличаване на честотата (намалява с увеличаване на дължината на вълната). Анормална дисперсия - ако коефициентът на пречупване намалява монотонно с увеличаване на честотата (нараства с увеличаване на дължината на вълната). Последица от дисперсията е разлагането на бялата светлина в спектър, когато тя се пречупи в вещество. Поглъщането на светлина в материята се описва със закона на Бугер

аз 0 и аз- интензитетът на плоска монохроматична светлинна вълна на входа и изхода на слой от поглъщащо вещество с дебелина х, a - коефициент на поглъщане, зависи от дължината на вълната, е различен за различните вещества.

? Какво се нарича поляризация на вълната? Получаване на поляризирани вълни. Законът на Малус.

Поляризацията се състои в придобиване на преференциална ориентация на посоката на трептения в срязващите вълни. Подреденост в ориентацията на векторите на силите на електрическото и магнитното поле на електромагнитната вълна в равнината, перпендикулярна на посоката на разпространение на светлинния лъч. Е , Б -перпендикулярно. Естествената светлина може да се преобразува в поляризирана светлина с помощта на поляризатори. Законът на Малус ( аз 0 - преминава през анализатора, аз- преминава през поляризатора).

? Корпускуларно - вълнов дуализъм. Хипотезата на Де Бройл.

Исторически са представени две теории за светлината: корпускулярна - светещи тела излъчват частици-корпускули (доказателство - излъчване на черно тяло, фотоелектричен ефект) и вълна - светещото тяло причинява еластични вибрации в околната среда, които се разпространяват като звукови вълни във въздуха ( доказателство - явленията на интерференция, дифракция, поляризация на светлината). Хипотезата на Бройл – свойствата на вълна-частици са присъщи не само на фотоните, но и на частиците с маса на покой – електрони, протони, неутрони, атоми, молекули. ? Фото ефект. уравнението на Айнщайн.

Фотоефектът е явлението на взаимодействие на светлината с материята, в резултат на което енергията на фотоните се прехвърля към електроните на материята. уравнението: (енергията на фотона се изразходва за работата на електрона и прехвърлянето на кинетична енергия към електрона)