Cos Sin е равен. Основни тригонометрични формули и идентичности SIN, COS, TG, CTG

Тригонометричните формули имат редица свойства, една от които е използването на степен за намаляване на намаляването. Те допринасят за опростяването на изразите чрез намаляване на степента.

Определение 1.

Намалените формули работят въз основа на експресията на степента на синус и косинус чрез синуса и косинус от първа степен, но многократно ъгъл. Когато се опростява, формулата става удобна за изчисления, а множествеността на ъгъла от α до n α се увеличава.

Формули за намаляване на степента, тяхното доказателство

По-долу е дадена таблица за понижаване на формулите от 2 до 4 за ъгъла на SIN и COS. След запознаването с тях поставихме общата формула за всички степени.

sIN 2 α \u003d 1 - cos 2 α2 cos 2 α \u003d 1 + cos 2 α 2 sin 3 \u003d 3 · sin α - sin 3 α 4 sin 4 \u003d 3 - 4 · cos 2 α + cos 4 α8 cos 4 α \u003d 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8

Тези формули са предназначени да намалят степента.

Има формула на двоен ъгъл в косинус и синус, от който формулите на степента на степен COS 2 α \u003d 1 - 2 · sin 2 α и cos 2 α \u003d 2 · cos 2 α - 1. Равенството се разрешава спрямо синуса и косинусния квадрат, които са осигурени като SIN 2 α \u003d 1 - COS 2 α2 и cos 2 α \u003d 1 + cos 2 α2.

Формули за понижаване на степените на тригонометричните функции Ехо с формулите на синуса и косинус на половин ъгъл .

Формулата на тройния ъгъл 3 α \u003d 3 · sin α - 4 · sin 3 α и cos 3 α \u003d - 3 · cos α + 4 · cos 3 α се използва.

Ако решите равенството спрямо синуса и косинус в Куба, ние получаваме намаляването на градусите за синусите и косинуса:

sIN 3 α \u003d 3 - 4 · cos 2 α + cos 4 α8 и cos 3 α \u003d 3 · cos α + cos 3 α4.

Формулите на четвъртата степен на тригонометрични функции изглеждат така: sin 4 α \u003d 3 - 4 · cos 2 α + cos 4 α8 и cos 4 α \u003d 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α8.

За да намалите степените на тези изрази, можете да действате в 2 етапа, т.е. намалете два пъти, след това изглежда:

sIN 4 α \u003d (sin 2 α) 2 \u003d (1 - cos 2 α2) 2 \u003d 1 - 2 · cos 2 α + cos 22 α4 \u003d 1 - 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α2 4 \u003d 3 - 4 · cos 2 α + cos 4 α8; Cos 4 α \u003d (cos 2 α) 2 \u003d (1 + cos 2 α2) 2 \u003d 1 + 2 · cos 2 α + cos 22 α 4 \u003d \u003d 1 + 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α2 4 \u003d 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8

Коефициентите между основните тригонометрични функции - Синус, косинус, допирателна и катастрофа - са определени тригонометрични формули. И тъй като има много връзки между тригонометричните функции, тогава изобилието от тригонометрични формули също се обяснява с това. Някои формули свързват тригонометрични функции на същия ъгъл, други - функциите на множествен ъгъл, третата - позволяват да се намали степента, четвъртата - да изразят всички функции чрез половин ъгъл и т.н.

В тази статия ние изброяваме всички основни тригонометрични формули, които са достатъчни за решаване на преобладаващото мнозинство от проблемите с тригонометрията. За лекота на запаметяване и употреба, ние ще ги групираме нарочно и ще влезем в таблицата.

Навигация.

Основни тригонометрични идентичности

Основни тригонометрични идентичности Задайте връзката между синуса, косинус, допирателна и сотангент на единия ъгъл. Те изтичат от дефиницията на синуса, косинус, допирателна и тънканта, както и концепциите на един кръг. Те ви позволяват да изразявате една тригонометрична функция чрез всеки друг.

Подробно описание на тези формули за тригонометрия, тяхното заключение и примери за приложение виж статията.

Формули на ролите

Формули на ролите Следвайте от свойствата на синуса, косинус, допирателна и тъганта, т.е. те отразяват свойствата на честотата на тригонометричните функции, собствеността на симетрията, както и собствеността на смяна за ъгъла. Тези тригонометрични формули ви позволяват да работите с произволни ъгли, за да превключите на работа с ъгли, вариращи от нула до 90 градуса.

Обосновката за тези формули, мнемоничното правило за тяхното запаметяване и примери за тяхното прилагане може да бъде проучено в статията.

Допълнение към формулите

Тригонометрични формули Показване, като тригонометрични функции на сумата или разликата от два ъгъла, се изразяват чрез тригонометричните функции на тези ъгли. Тези формули служат като основа за заключението след тригонометрични формули.

Формули двойно, тройно и др. Ъгъл

Формули двойно, тройно и др. Ъгълът (те също се наричат \u200b\u200bмножество ъглови форми) показват как тригонометрични функции на двойно, тройно и др. Ъглите () се изразяват чрез тригонометричните функции на единния ъгъл. Техният извод се основава на формули от допълнение.

По-подробна информация се събира в изделията на формулата на двойно, тройна и др. ъгъл.

Формули от половин ъгъл

Формули от половин ъгъл Показване, тъй като тригонометричните функции на половин ъгъл се изразяват през косине на цели ъгъл. Тези тригонометрични формули следват от формулите на двойния ъгъл.

Тяхното заключение и примери за приложение могат да бъдат разглеждани в статията.

Формули за намаляване на степента

Формули за намаляване на тригонометричната степен Той е призован за насърчаване на прехода от естествени степени на тригонометрични функции към синусите и косинуса в първата степен, но множество ъгли. С други думи, те позволяват първо да се намали степените на тригонометричните функции.

Формули на сумата и разликата на тригонометричните функции

Основна дестинация формули на сумата и разликата на тригонометричните функции Тя е да превключвате към продукта на функциите, който е много полезен при опростяване на тригонометричните изрази. Тези формули също се използват широко в решаването на тригонометрични уравнения, тъй като ни позволяват да изложим сумата и разликата в синусите и косинуса.

Формули произведения на синусите, косинус и синус на косинус

Преходът от продукта на тригонометричните функции към количеството или разликата се извършва от формулите на дейността на синусите, косинуса и синуса върху косинуса.

Универсално тригонометрично заместване

Преглед на основните формули на тригонометрията, пълни чрез формули, експресиращи тригонометрични функции чрез половин ъгъл. Такава заместител е наречена универсално тригонометрично заместване. Неговото удобство е, че всички тригонометрични функции се изразяват чрез половин ъгъл, допиращ рационално без корени.

Библиография.

Алгебра: Проучвания. За 9 cl. среди Shk. / U. Н. Макаричев, Н. Г. Мнение, К. И. Нешков, С. Б. Суворов; Ед. С. А. Теликовски. - М.: Образование, 1990.- 272 г.: IL.- ISBN 5-09-002727-7
Башмаков М. I. Алгебра и Анализ на стартиране: проучвания. За 10-11 cl. среди Шк. - 3RD Ed. - м.: Просвещение, 1993. - 351 ° С.: IL. - ISBN 5-09-004617-4.
Алгебра. и стартиращ анализ: проучвания. За 10-11 cl. Общо образование. Институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Аб Абрамов, Ю. Дудницин и др.; Ед. А. Н. Колмогорова.- 14-ти Ед. - m.: Просвещение, 2004.- 384 г.: il.- ISBN 5-09-013651-3.
Гусев V. А., Мордович А. Г. Математика (полза за кандидатите в техническите училища): проучвания. полза. - m.; По-висок. Shk., 1984.-351 стр., IL.

Авторски права от CleverstuTuents.

Всички права запазени.
Закон за авторското право. Никоя част от площадката, включително вътрешни материали и външен дизайн, не може да бъде възпроизведена под каквато и да е форма или използване без предварително писмено разрешение на притежателя на авторските права.

Основните формули на тригонометрията са формули, които установяват отношения между основните тригонометрични функции. Синус, косинус, допирателни и катаходки са взаимосвързани от много съотношения. По-долу даваме основните тригонометрични формули и за удобство, те ги групираха по предназначение. Използвайки тези формули, можете да решите почти всяка задача от стандартния тригонометричен курс. Веднага отбелязваме, че по-долу са самите формули, а не за заключението им, че отделни статии ще бъдат посветени.

Основните идентичности на тригонометрията

Тригонометричните идентичности придават връзката между синуса, косинус, допирателна и тънканта на единия ъгъл, което ви позволява да изразявате една функция през друга.

Тригонометрични идентичности

sin 2 a + cos 2 a \u003d 1 tg α \u003d sin α cos α, ctg α \u003d cos α sin α tg α · ctg α \u003d 1 tg2 α + 1 \u003d 1 cos 2 α, ctg2 α + 1 \u003d 1 sin 2 α.

Тези идентичности са пряко измерени от определенията на един кръг, синус (SIN), косинус (COS), допирателна (Tg) и CONANGENT (CTG).

Формули на ролите

Формулите за изясняване ви позволяват да се преместите от работа с произволни и произволно с големи ъгли, за да работите с ъгли, вариращи от 0 до 90 градуса.

Формули на ролите

sIN α + 2 π z \u003d sin α, cos α + 2 π z \u003d cos α tg α + 2 π z \u003d tg α, ctg α + 2 π z \u003d ctg α sin - α + 2 π z \u003d - sin α, COS - α + 2 π z \u003d cos α tg - α + 2 π z \u003d - tg α, ctg - α + 2 π z \u003d - ctg α sin π 2 + α + 2 π z \u003d cos α, cos π 2 + α + 2 π z \u003d - sin α tg π 2 + α + 2 π z \u003d - ctg α, ctg π 2 + α + 2 π z \u003d - tg α sin π 2 - α + 2 π z \u003d cos α, cos π 2 - α + 2 π z \u003d sin α tg π 2 - α + 2 π z \u003d ctg α, ctg π 2 - α + 2 π z \u003d tg α sin π + α + 2 π z \u003d - sin α, cos π + α + 2 π z \u003d - cos α tg π + α + 2 π z \u003d tg α, ctg π + α + 2 π z \u003d ctg α sin π - α + 2 π z \u003d sin α, cos π - α + 2 π z \u003d - cos α TG π - α + 2 π z \u003d - tg α, ctg π - α + 2 π z \u003d - ctg α sin 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - cos α, cos 3 π 2 + α + 2 π z \u003d sin α tg 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - ctg α, ctg 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - tg α sin 3 π 2 - α + 2 π z \u003d - cos α, cos 3 π 2 - α + 2 π z \u003d - sin α tg 3 π 2 - α + 2 π z \u003d ctg α, ctg 3 π 2 - α + 2 π z \u003d tg α

Получените формули са следствие от честотата на тригонометричните функции.

Тригонометрични формули

Формулите от добавяне в тригонометрията ви позволяват да експресирате тригонометричната функция на сумата или разликата на ъглите чрез тригонометричните функции на тези ъгли.

Тригонометрични формули

sin α ± β \u003d sin α β β ± cos α · sin β cos α + p \u003d cos α р β - sin α β cos α - β \u003d cos α α β р + sin α α α β β β β α α α β β β β α α α ± β \u003d tg α ± tg p 1 ± tg · tg p ctg α ± p \u003d - 1 ± ctg α · ctg ptg α ± ctg β

Въз основа на формулите на добавянето се получават тригонометрични формули на множествен ъгъл.

Множество ъглови формули: двойно, тройно и др.

Формули за двойно и тройно ъгъл

sin 2 α \u003d 2 · sin α α α cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 tg2 α \u003d 2 · TG α 1 - Tg 2 α с TG2 α \u003d с TG2 α - 1 2 · c tg α sin 3 α \u003d 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α \u003d cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α, cos 3 α \u003d - 3 cos α + 4 cos 3 α tg3 α \u003d 3 tg α - tg3 α 1 - 3 tg2 α ctg3 α \\ t \u003d CTG 3 α - 3 CTG α3 CTG2 α - 1

Формули от половин ъгъл

Формулите от половин ъгъл в тригонометрията са следствие от формулите на двойния ъгъл и изразяват съотношенията между основните функции на половин ъгъл и косинуса на целия ъгъл.

Формули от половин ъгъл

sIN 2 α 2 \u003d 1 - cos α2 cos 2 α2 \u003d 1 + cos α2 t g2 α2 \u003d 1 - cos α 1 + cos α ct g2 α2 \u003d 1 + cos α 1 - cos α

Формули за намаляване на степента

sIN 2 α \u003d 1 - cos 2 α2 cos 2 α \u003d 1 + cos 2 α2 sin 3 α \u003d 3 sin α - sin 3 α4 cos 3 α \u003d 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α \u003d 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α \u003d 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Често, когато изчисляването на акт с тромави степени е неудобно. Формите за намаляване на степента позволяват да се намали степента на тригонометрична функция с произволно голямо. Представяме своя общ поглед:

Общ поглед върху формулата за намаляване на степента

за дори n.

sin n α \u003d C N2N2N + 1 2N - 1 σ k \u003d 0 N2 - 1 (- 1) N2 - K · c kn · cos ((N-2 k) α) cos n α \u003d C N2N2N + 1 2 N - 1 σ k \u003d 0 N2 - 1 ° CN · COS ((N-2 K) α)

за нечетен N.

sIN N a \u003d 1 2N - 1 σ k \u003d 0 N - 1 2 (- 1) N - 1 2 - K · ° C) SIN ((N-2 K) α) cos n α \u003d 1 2N - 1 Σ k \u003d 0 n - 1 2 c kn · cos ((N-2 k) α)

Сумата и разликата в тригонометричните функции

Разликата и сумата на тригонометричните функции могат да бъдат представени като продукт. Разлагането на разликата в синусите и косинусовите различия е много удобно да се прилага в решаването на тригонометрични уравнения и да се опростят изрази.

Сумата и разликата в тригонометричните функции

sIN α + sin β \u003d 2 sin α + β2 · cos α - β2 sin α - sin β \u003d 2 sin α - β2 · cos α + p2 cos α + cos β \u003d 2 cos α + p2 · cos α - β2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + p2 · sin α - β2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + p2 · sin β - α2

Работа на тригонометрични функции

Ако формулите на сумата и разликата на функциите ви позволяват да отидете на продукта, тогава формулите за продукта от тригонометрични функции извършват обратна преход - от продукта в количеството. Разглеждат се формулите на работата на синусите, косинус и синус върху косинус.

Формули за произведения на тригонометрични функции

sIN Α · SIN β \u003d 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + р)) cos α β \u003d 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + р)) sin α · Cos β \u003d 1 2 · (sin (α - β) + sin (α + р))

Универсално тригонометрично заместване

Всички основни тригонометрични функции са синусите, косинус, допирателна и тънканта, могат да бъдат изразени през половин ъгъл.

Универсално тригонометрично заместване

sIN α \u003d 2 tg α 2 1 + tg2 α2 cos α \u003d 1 - tg2 α2 1 + tg2 α2 tg α \u003d 2 tg α2 1 - tg2 α2 ctg α \u003d 1 - tg2 α2 2 TG α2

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter

Ако кажем просто, това са зеленчуци, приготвени във вода чрез специална рецепта. Ще разгледам два изходни компонента (растителна салата и вода) и голният резултат - BOSCH. Геометрично, това може да бъде представено като правоъгълник, в който една страна обозначава салата, втората страна означава вода. Сумата от тези две страни ще означава борш. Диагоналът и зоната на правоъгълника "избухване" са чисто математически концепции и никога не се използват в рецептите на болестта на гребане.

Как са салата и водата в Borsch по отношение на математиката? Как може сумата от два сегмента да бъде трансформирана в тригонометрия? За да разберете това, ние се нуждаем от линейни ъглови функции.

В учебниците по математика няма да намерите нищо за линейни ъглови функции. Но без тях не може да има математици. Закони на математиката, както и законите на природата, работят независимо дали знаем за тяхното съществуване или не.

Линейните ъглови функции са законите на добавянето. Вижте как алгебрата се превръща в геометрия и геометрията се превръща в тригонометрия.

Възможно ли е да се прави без линейни ъглови функции? Възможно е, защото математиката все още няма без тях. Трикът на математиците е, че те винаги ни казват само за тези предизвикателства, че самите те могат да решат и никога да не разказват за тези задачи, които не знаят как да решат. Виж. Ако знаем резултата от добавянето и един термин, за да търсим друг допълнителен, използваме изваждане. Всичко. Ние не знаем други задачи и не знаем как да решавате. Какво да правите в случай, че само ние сме известни с резултата от добавянето и не са известни и двете термини? В този случай резултатът от добавянето трябва да бъде разграден в два термина с линейни ъглови функции. Тогава вече избираме, как един термин може да бъде, а линейните ъглови функции показват какъв трябва да бъде вторият срок, така че резултатът от добавянето е точно това, от което се нуждаем. Такива двойки термини могат да бъдат безкраен комплект. В ежедневието се събуждаме без разлагане на сумата, имаме достатъчно изваждане. Но в научните изследвания на законите на природата, декомпозицията на сумата върху компонентите може да бъде много полезна.

Друг закон на допълнение, за който математиката не обича да говори (друг от техния трик), изисква компонентите да имат същите измервания. За маруля, вода и борш, тя може да бъде единица за измерване, обем, цена или единица за измерване.

Фигурата показва две нива на различия за математически. Първото ниво е разликите в областта на посочените числа а., б., ° С.. Това е, което математиката е ангажирана. Второто ниво е разликите в областта на измерванията, които се показват в квадратни скоби и се посочват с писмото Улавяне. Физиката се занимават с това. Можем да разберем третото ниво - разлики в областта на описаните обекти. Различни обекти могат да имат същия брой идентични единици за измерване. Доколкото е важно, можем да видим примера на тригонометрия на Borscht. Ако добавим по-ниски индекси към едно и също означение на единици за измерване на различни обекти, можем да кажем точно коя математическа стойност описва конкретен обект и как се променя с времето или във връзка с нашите действия. Писмо W. Ще се обърна към вода, писмо С. Нека салата и писмо Б. - BORSCH. Това е как изглеждат линейни ъглови функции за Borscht.

Ако вземем част от водата и част от салата, заедно ще се превърнат в една част от борша. Тук ви предлагам малко отвличане на вниманието от Борч и запомнете далечното детство. Помнете как ни научихме да сгъваме зайчетата и чиновник заедно? Беше необходимо да се намерят колко много животни ще успеят. Какво ни научиха тогава? Бяхме научени да откъсваме единиците на измерванията от номера и добавихме числа. Да, един всеки номер може да бъде сгънат с друг номер. Това е пряк път към авторите на съвременната математика - ние не е ясно какво, не е ясно защо и много добре разбере как това се отнася до реалността, поради трите нива на математически различия само един. Ще бъде по-правилно да се научите да се движите от една измерване на другите.

И зайчета и Клапс и животните могат да бъдат изчислени на парчета. Една обща единица за измерване за различни предмети ни позволява да ги сгъваме заедно. Това е опция за детска задача. Нека да разгледаме подобна задача за възрастни. Какво се случва, ако сгънете зайчета и пари? Тук можете да предложите два решения.

Първа опция. Ние определяме пазарната стойност на зайчетата и го сгъваме с сумата на парите. Получихме общите разходи за нашето богатство в паричния еквивалент.

Втори вариант. Можете да добавите броя на зайчета с броя на наличните сметки за парични средства. Ще получим броя на движимото имущество на парчета.

Както можете да видите, същото закон за договаряне ви позволява да получите различни резултати. Всичко зависи от това какво точно искаме да знаем.

Но обратно към нашите борове. Сега можем да видим какво ще се случи с различни стойности на ъгъла на линейни ъглови функции.

Ъгълът е нула. Имаме салата, но няма вода. Не можем да готвим Борш. Количеството на дъските също е нула. Това не означава, че нулевият борн е нулева вода. Нула нула може да бъде при нулева салата (прав ъгъл).

За мен лично това са основните математически доказателства за факта, че. Нула не променя номера при добавяне. Това е така, защото самото добавяне е невъзможно, ако има само един термин и няма втори термин. Можете да го лекувате така, но не забравяйте - всички математически операции с нула измислиха самите математика, така че хвърлянето на вашата логика и глупаво инструмент определенията, измислени от математиците: "Разделянето на нула е невъзможно", "всеки номер, умножен с нула, е нула "," за патица точка нула "и други глупости. Само веднъж е да помните, че нула не е номер и никога няма да имате въпрос, е нулев естествен номер или не, защото такъв въпрос обикновено е лишен от каквото и да е смисъл: как може да се счита за определен номер, който е числото не. Това е като да попитате какъв цвят е невидим цвят. Добавете нула към номера е същата като боядисването, което не е така. Сух Тасел се измива и говори с всички, които "нарисувахме". Но аз бях малко разсеян.

Ъгълът е по-голям от нула, но по-малко от четиридесет и пет градуса. Имаме много маруля, но малко вода. В резултат на това получаваме дебел бор.

Ъгълът е четиридесет и пет градуса. Имаме равни количества вода и салата. Това е идеалният борш (и ми прости ми готвач, това е просто математика).

Ъгълът е повече от четиридесет и пет градуса, но по-малко от деветдесет градуса. Имаме много вода и малко маруля. Оказва се течна борш.

Прав ъгъл. Имаме вода. Само спомените остават от салата, защото ъгълът продължаваме да измерваме от линията, който някога е маркирал салата. Не можем да готвим Борш. Количеството борш е нула. В този случай, задръжте и пийте вода, докато е))))

Тук. Нещо като това. Мога да кажа тук и други истории, които ще бъдат повече от подходящи тук.

Двама приятели имат свои собствени акции в общия бизнес. След убийството на един от тях всичко отиде на друго.

Появата на математиката на нашата планета.

Всички тези истории на езика на математиката се разказват, използвайки линейни ъглови функции. Някой друг път ще ви покажа истинското място на тези функции в структурата на математиката. Междувременно, обратно към тригонометрията на Borscht и разгледайте проекцията.

26 октомври 2019 година

Разгледайте интересно видео ред Гранде Един минус един плюс един минус един - номер . Математиката лъжа. Те не проверяват равенството по време на мотивите си.

Това отеква аргументите ми.

Нека да разгледаме признаците на измама с математиците. В самото начало на разсъжденията математиката казва, че сумата на последователността зависи от дори броя на елементите в него или не. Това е обективно установено факт. Какво се случва след това?

По-нататъшна математика от уреда приспадане на последователността. Какво води това? Това води до промяна в броя на елементите на последователността - дори количеството промени в странни, странни промени. В края на краищата, ние добавихме към последователност един елемент, равен на един. Въпреки цялата външна сходство, последователността преди превръщането не е равна на последователността след трансформацията. Дори ако твърдим за безкрайната последователност, е необходимо да се помни, че безкрайната последователност с нечетен брой елементи не е равна на безкрайна последователност с четен брой елементи.

Чрез подписването на равенството между два различни елемента по последователности математиката твърдят, че сумата на последователността не зависи от броя на елементите в последователността, което противоречи на обективно установения факт. По-нататъшното разсъждение за сумата на безкрайната последователност е невярно, тъй като те се основават на фалшиво равенство.

Ако видите тази математика в хода на набора на доказателства, елементите на математическото изразяване са пренаредени по места, нещо се добавя или отстранява, да бъде много внимателно, най-вероятно се опитвате да ви мами. Подобно на картографските магьосници, математиката с различни манипулации с експресия отвлича вниманието ви за поддържане на фалшивия резултат в резултат на това. Ако фокусът на картата не може да повтаря, без да знае тайната на измамата, тогава в математиката всичко е много по-просто: дори не подозирате нещо за измамата, но повторението на всички манипулации с математическия израз ви позволява да убедите другите В коректността на резултата, точно както когато добре, ви убеден.

Въпрос от залата: и безкрайност (като броя на елементите в последователността s), това е дори или странно? Как може да се промени паритетът, че паритетът няма?

Безкрайност за математиците, като небесното царство за Попов - никой никога не е бил там, но всеки знае точно как всичко е подредено там))) аз съм съгласен, след смъртта ще бъде абсолютно безразличен, дори и нечетен брой дни Живеех, но ... добавяйки само един ден в началото на живота си, ние ще получим съвсем различен човек: фамилното име, името и покромишността на него е точно същото, само датата на раждане е напълно различна - той е напълно различен - той е роден в един ден преди вас.

И сега по същество))) Да предположим, че крайната последователност, която има паритет, губи този паритет при преминаване към безкрайност. След това всеки крайнен сегмент на безкрайната последователност трябва да загуби паритет. Ние не наблюдаваме това. Фактът, че не можем да кажем със сигурност, дори или нечетен брой елементи в безкрайна последователност, не означава, че паритетът изчезна. Не може да родител, ако е, изчезна без следа в безкрайност, както в ръкава на Шурера. За този случай има много добра аналогия.

Никога не сте помолили кукувицата да седи в часовника, в каква посока стрелата на часовника се върти? За нея стрелката се завърта в обратна посока на тази, която наричаме "по посока на часовниковата стрелка". Тъй като не е парадоксално звук, но посоката на въртене зависи единствено от коя страна наблюдаваме въртенето. И така, имаме едно колело, което се върти. Не можем да кажем, в каква посока е въртенето, тъй като можем да го наблюдаваме и от една страна, равнината на въртене, а другата. Можем само да станем свидетели на факта, че въртенето е. Пълна аналогия с паритета на безкрайната последователност С..

Сега добавете второто въртящо се колело, чиято равнина на въртене е успоредна на равнината на въртене на първото въртящо се колело. Все още не можем да кажем със сигурност, в каква посока тези колела се завъртат, но можем абсолютно просто да кажем, двете колела се завъртат в една посока или на противоположност. Сравняване на две безкрайни последователности С. и 1-s.Аз, с помощта на математиката, показах, че тези последователности имат различен паритет и поставят знака на равенството между тях - това е грешка. Аз лично вярвам, че математиката, аз не вярвам на математиците)))) Между другото, за пълно разбиране на геометрията на трансформациите на безкрайните последователности, е необходимо да се въведе концепцията "едновременност". Ще трябва да го привлече.

сряда, 7 август, 2019

Завършване на разговора за, трябва да разгледате безкрайния комплект. Тя даде, че концепцията за "безкрайност" действа върху математиците като лодка на заек. Страхотен ужас преди безкрайността лишава математиците от здравия разум. Ето един пример:

Източникът се намира. Алфа означава валиден номер. Знакът за равенство в горните изрази предполага, че ако до безкрайност да се добави номер или безкрайност, нищо няма да се промени, което води до същата безкрайност. Ако като пример, вземете безкраен набор от естествени числа, тогава разглежданите примери могат да бъдат представени в този формуляр:

За визуално доказателство за тяхната математика измислиха много различни методи. Лично аз гледам на всички тези методи, като на танц на шаманите с тамбурин. По същество всички те са сведени до факта, че част от числата не са заети и в тях са засегнати нови гости, или на факта, че част от посетителите се хвърлят в коридора, за да освободят мястото за гостите (много хора). Очертах мнението си за такива решения под формата на фантастична история за блондинката. Какви са моите разсъждения? Презаселването на безкрайния брой посетители изисква безкрайно много време. След като освободим първата стая за госта, един от посетителите винаги ще следва коридора от вашата стая в съседния век. Разбира се, факторът на времето може да бъде глупаво игнориран, но той няма да бъде написан от категорията "глупаци". Всичко зависи от това, което правим: персонализирайте реалността за математическите теории или обратно.

Какво е "безкраен хотел"? Безкрайният хотел е хотел, където винаги има няколко безплатни места, без значение колко стаи са заети. Ако всички стаи в безкрайния коридор "за посетители" са заети, има още един безкраен коридор с гости. Такива коридори ще бъдат безкраен комплект. В този случай "безкраен хотел" е безкраен брой етажи в безкрайно количество корпуси на безкрайно количество планети в безкраен брой вселени, създадени от безкрайно количество богове. Математиката не може да премахне от банални проблеми на домакинството: Бог-Аллах-Буда винаги е само един, хотелът е такъв, коридорът е само един. Ето математиците и се опитват да почистят ординалните номера на хотелските стаи, които ни убеждават във факта, че можете да "избутате неспокойните".

Логиката на разсъжденията ви ще ви демонстрирам при примера на безкраен набор от естествени числа. Първо трябва да отговорите на много прост въпрос: Колко набори от естествени числа съществуват - един или много? Няма верен отговор на този въпрос, защото номерата се появиха със себе си, няма числа в природата. Да, природата знае как да се брои перфектно, но за това използва други математически инструменти, които не са запознати с нас. Как вярва природата, ще ви кажа друго време. Тъй като числата дойдоха с нас, ние сами решаваме колко групи естествени числа съществуват. Обмислете и двете опции, както е представено от този учен.

Първо. "Нека дадем" едноличен набор от естествени числа, който се намира на рафта. Вземете го от черупката Това е много. Всичко, други естествени числа на рафта няма оставени и да не ги вземат никъде. Не можем да добавим устройство към този комплект, както вече го имаме. И ако наистина искате? Няма проблем. Можем да вземем единица от мнозина, която вече са взели и да го върнат на рафта. След това можем да вземем уред от приюта и да го добавим към това, което сме оставили. В резултат на това отново получаваме безкраен набор от естествени числа. Напишете всички наши манипулации като тази:

Записах действията в алгебричната система на обозначения и в системата на наименования, приети в теорията на комплектите, с подробна списък на наборите. Долният индекс показва, че многото естествени числа имаме единственото. Оказва се, че наборът от естествени числа ще остане непроменен само ако се извади от него устройство и добавете същото устройство.

Възможност за секунда. Имаме много различни безкрайни комплекти естествени числа на нашия рафт. Подчертавам - различно, въпреки факта, че практически не се различават. Вземете един от тези комплекти. След това, от друг набор от естествени числа, ние приемаме единица и добавихме набор от вече взети от нас. Можем дори да сгънем два набора естествени числа. Това правим:

Долните индекси "едно" и "две" показват, че тези елементи принадлежат към различни набори. Да, ако добавите устройство към безкраен комплект, резултатът е и безкраен комплект, но той няма да бъде същият като първоначалния комплект. Ако един безкраен комплект се добави към един безкраен комплект, резултатът е нов безкраен комплект, състоящ се от елементи от първите два комплекта.

Наборът от естествени числа се използва за сметката само като владетел за измервания. Сега си представете, че сте добавили един сантиметър на владетеля. Това вече ще бъде друга линия, а не равна на първоначалната.

Можете да приемете или да не приемете моите мотиви са вашият личен въпрос. Но ако някога се сблъскате с математически проблеми, помислете дали вървите по пътеката на фалшиви мотиви, тръгнали по поколения математици. В края на краищата, класовете по математика, преди всичко, образуват постоянен стереотип на мислене и само след това дават умствени способности към нас (или обратно, да ни лиши от товара).

pozg.ru.

неделя, 4 август, 2019

Актуализиран postscript в статия за и видя този чудесен текст в Уикипедия:

Ние четем: "... Богатата теоретична основа на математиката на Вавилон не е имала холистичен характер и е намален до набор от разпръснати техники, лишени от обща система и доказателства."

Еха! Какво сме умни и колко добре можем да видим недостатъците на другите. И ние леко погледнем към съвременната математика в същия контекст? Леко перифразирайки дадения текст, аз лично управлявах следното:

Богатата теоретична основа на съвременната математика не е холистичен характер и се свежда до набора от разпръснати участъци, лишени от обща система и база доказателства.

За потвърждение на думите ви няма да ходя далеч - има езикови и условни обозначения, различни от езика и символите на много други раздели на математиката. Същите имена в различни раздели на математиката могат да имат различно значение. Най-очевидните бучки на съвременната математика, искам да отделя цял цикъл на публикации. Ще се видим скоро.

събота, 3 август 2019

Как да разделим подгрупите? За да направите това, въведете нова мярка, която присъства от частта от елементите на избрания комплект. Помислете за пример.

Нека имаме много НОсъстояща се от четирима души. Този комплект се формира на базата на "хора", ние обозначаваме елементите на този, определен чрез писмото ноДолният индекс с номера ще покаже номера на последователността на всеки човек в този комплект. Въвеждаме нова единица за измерване "пенис" и обозначаваме своето писмо б.. Тъй като сексуалните знаци са присъщи на всички хора, умножете всеки елемент от комплекта НО на сексуален знак б.. Моля, обърнете внимание, че сега много хора са станали много "хора със сексуални знаци". След това можем да разделим генитални знаци за мъжете bM. и жени bW. Сексуални знаци. Сега можем да приложим математически филтър: избираме един от тези сексуални знаци, което е безразлично към мъжката или жената. Ако той присъства в хората, тогава го умножите на едно, ако няма такъв знак - умножете го на нула. И след това приложите обичайната училищна математика. Виж какво се случи.

След умножение, съкращения и прегрупиране, получихме две подмножества: подмножество на мъжете BM. и подмножество жени BW.. Приблизително същите математици причина, когато използват теорията на комплекти на практика. Но в детайлите не ни посвещават, но дават голния резултат - "много хора се състоят от подгрупа от мъже и подмножество на жените." Естествено, може да имате въпрос колко правилно се прилагат математиката в горните трансформации? Смея да ви уверя, по същество трансформациите направиха всичко правилно, достатъчно е да се знае математическата обосновка на аритметиката, булева алгебра и други участъци на математиката. Какво е? Някой друг време ще ви разкажа за това.

Що се отнася до примери, възможно е да се комбинират два комплекта в едно помещение, да поставите единица за измерване в елементите на тези два комплекта.

Както можете да видите, единици за измерване и обикновена математика превръщат теорията на комплектите в реликта на миналото. Знак за факта, че с теорията на комплектите не е добре, това е, че за теорията на математическите комплекти, техният собствен език и техните собствени наименования излязоха. Математиката бяха приети като дошли шаманите. Само шаманите знаят как "правилно" прилагат своите "знания". Тези "знания" ни учат.

В заключение, искам да ви покажа как математиката манипулира с
Да предположим, че Ахил работи десет пъти по-бързо от костенурката и стои зад нея на хиляда стъпки. За времето, за което Ахил преминава през това разстояние, сто стъпки ще се срине в една и съща страна. Когато Ахил управлява сто стъпала, костенурката ще пълзи около десет стъпки и така нататък. Процесът ще продължи до безкрайността, Ахил никога няма да настигне костенурката.

Това разсъждение се превърна в логически шок за всички следващи поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Хилберт ... всички те някак си смятат за апиологията на Зенон. Шокът се оказа толкова силен, че " ... дискусиите продължават и понастоящем да дойдат в общото мнение за същността на парадоксите на научната общност все още не е възможно ... математически анализ, теорията на комплектите, нови физически и философски подходи са включени в Проучване на проблема; Никой от тях не стана общоприет въпрос за проблема ..."[Уикипедия," Йенон априя "]. Всеки разбира, че те са блокирани, но никой не разбира какво е измама.

От гледна точка на математиката Зено в неговата апрерия ясно демонстрира прехода от стойността. Този преход предполага прилагане вместо постоянно. Доколкото разбирам, математическият апарат за използване на променливи на единици на измерване все още не е разработен, или не се прилага за извинението на Zenon. Използването на нашата обикновена логика ни води до капан. Ние, от инерция на мисленето, използвайте постоянно време за измерване на инвертора. От физическа гледна точка изглежда като забавяне във времето до пълната си спирка в момента, когато Ахил е пълнен с костенурка. Ако времето спира, Ахил вече не може да изпревари костенурката.

Ако включите логиката обикновено, всичко става на място. Ахил работи с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент на пътя му е десет пъти по-кратък от предишния. Съответно времето, прекарано в преодоляването му, десет пъти по-малко от предишния. Ако приложите концепцията за "безкрайност" в тази ситуация, тя правилно ще каже "Ахил безкрайно бързо ще настигне костенурката".

Как да избегнем този логически капан? Останете в единици за измерване на постоянно време и не се премествайте в обратната стойност. На езика на Зенон изглежда така:

За това време, за което Ахил управлява хиляди стъпки, сто стъпки ще разбият костенурката на същата страна. За следващия интервал от време, равен на първия, Ахил ще управлява още няколко стъпки, а костенурката ще напусне сто стъпки. Сега Ахил е осемстотин стъпки пред костенурката.

Този подход адекватно описва реалността без логически парадокси. Но това не е пълно решение на проблема. На зенонския ахиле и костенурката е много подобна на изявлението на Айнщайн върху неуселността на скоростта на светлината. Все още трябва да изучаваме този проблем, преосмислям и решават. И трябва да се търси решението в безкрайно голям брой, а в измервателни единици.

Друг интересен йенон арория разказва за летящите стрелки:

Летящата стрела все още е, тъй като във всеки един момент тя лежи и откакто се намира във всеки момент от времето, той винаги се носи.

В това име, логичният парадокс е много прост - е достатъчно да се изясни, че във всеки един момент летящата стрелка почива в различни точки на пространството, което всъщност е движението. Тук трябва да забележите друг момент. Според една снимка на автомобила на пътя е невъзможно да се определи фактът на нейното движение, нито разстоянието до него. За да определите факта на движението на колата, имате нужда от две снимки от една точка в различни точки навреме, но е невъзможно да се определи разстоянието. За да се определи разстоянието до колата, две снимки от различни точки на пространството в един момент, но е невъзможно да се определи фактът на движение (естествено, допълнителни данни все още са необходими за изчисленията, тригонометрията, за да ви помогне). Това, което искам да обърна специално внимание, е, че две точки във времето и две точки в пространството са различни неща, които не трябва да бъдат объркани, защото предоставят различни възможности за изследвания.
Ще покажа процеса на примера. Ние избираме "червено солидно към възглавницата" - това е нашето "цяло". В същото време виждаме, че тези неща са с лък и има без лък. След това избираме част от "цялото" и образуваме много "с лък". Така шаманите правят храната си, вържете теорията си за реалността.

Сега нека да направим малко мръсни. Вземете "твърдо в пара с лък" и обединете тези "цели" в цветен знак, люлка червени елементи. Имаме много "червени". Сега въпросът е на гръбнака: получените комплекти "с лък" и "червено" са един и същ комплект или два различни комплекта? Само шаманите знаят отговора. По-точно, те не знаят нищо, но ще кажат, така че ще бъде.

Този прост пример показва, че теорията на комплектите е напълно безполезна, когато става въпрос за реалност. Каква е тайната? Образувахме много "червено твърдо вещество в паян с лък". Образуването се наблюдава в четири различни единици за измерване: цвят (червен), сила (твърда), грапавост (при издърпване), декорации (с лък). Само набор от единици на измерване позволява адекватно да се опишат реалните обекти на езика на математиката. Това изглежда.

Буквата "А" с различни индекси показва различни измервания. В скоби разпределени единици за измерване, на които "цялото" е подчертано на предварителната стъпка. Зад скобите направи единица за измерване, която се формира от набор. Последният ред показва крайния резултат - елементът на комплекта. Както можете да видите, ако използвате единици за измерване, за да оформите комплект, тогава резултатът не зависи от реда на нашите действия. И това вече е математика, а не танц на шаманите с тамбуринци. Шаманите могат да бъдат "интуитивни" да стигнат до същия резултат, като я спорят "очевидно", тъй като измервателните единици не са включени в техния "научен" арсенал.

Използването на единици на измерване е много лесно да се раздели един или да се комбинират няколко комплекта в една аларма. Нека погледнем по-внимателно алгебрата на този процес.

Формули в тригонометрията много.

Помнете, че са механично много трудни, почти невъзможни. В клас, много ученици и ученици се радват на отпечатъци на крава от учебници и преносими компютри, плакати по стените, яслите, накрая. И как да бъдем на изпита?

Въпреки това, ако погледнете тези формули, ще откриете, че всички те са взаимосвързани и имат определена симетрия. Нека ги анализираме, като се вземат предвид дефинициите и свойствата на тригонометричните функции, за да определим минимума, който наистина си струва да се учи на сърце.

I група. Основни идентичности

sIN 2 α + COS 2 α \u003d 1;

tgα \u003d. ____ sinα cosa; Ctgα \u003d. ____ cosa sinα. ;

tga · ctgα \u003d 1;

1 + TG 2 α \u003d _____ 1 cos 2 α; 1 + CTG 2 α \u003d _____ 1 SIN 2 α.

Тази група съдържа най-простите и най-популярните формули. Повечето ученици ги познават. Но ако все още има трудности, тогава да помните първите три формула, психически си представете правоъгълен триъгълник с хипотеяклеар. Тогава неговите карти ще бъдат равни, съответно, SINRA, за да се определи синуса (съотношението на противоположния катахер към хипотенуза) и Cosa, за да се определи косинус (съотношението на съседния катеш за хипотенуза).

Първата формула е теоремата Pythagoras за такъв триъгълник - сумата на квадратите на катетите е равна на квадрата на хипотенузата (1 2 \u003d 1), втората и третата е определенията на допирателната (съотношението на. \\ T противоположна категория до съседство) и катанген (съотношението на съседната категория към обратното).
Работата на допирателната върху котангените е 1, защото катастрофата, записана под формата на фракция (формула трета), е обърната допирателна (втора формула). Последното внимание, между другото, дава възможност измежду формулите, че е необходимо да се запомнят всички последващи формули с котангент. Ако отговаряте на CTGα във всяка трудна задача, просто го заменете с фракция ___ 1 tgα. И използвайте формулите за допирателна.

Последните две формули не могат да бъдат запомнени. Те са по-рядко срещани. И ако имате нужда, винаги можете да ги оттеглите по проекта. За да направите това, е достатъчно да заменим вместо допирателна или контакт на тяхната дефиниция след фракция (формула два и трета, съответно) и да доведете израз на общия знаменател. Но е важно да се помни, че такива формули, които свързват квадратите на допирателната и косинуса, и корабите на котяните и синусите съществуват. В противен случай не можете да познаете кои преобразувания са необходими за решаване на конкретна задача.

II група. Допълнение към формулите

sIN (α + β) \u003d sina · козик + cosa · sinβ;

sIN (α - β) \u003d sina · COSP - COSA · SIN р;

cOS (α + β) \u003d Cosa · COSP - SINS · SIN р;

cOS (α - β) \u003d Cosa · COSP + SINI · SIN р;

tg (α + β) \u003d Tgα + tgp _________ 1 - tga · tgp;

tg (α - β) \u003d

Припомнете точността на паритета / странността на тригонометричните функции:

sIN (-α) \u003d - SIN (α); cos (-α) \u003d cos (α); Tg (-α) \u003d - tg (α).

От всички тригонометрични функции, само косинусът е дори функция и не променя знака си, когато променя знака на аргумента (ъгъл), останалите функции са странни. Всъщност точността на функцията означава, че знакът за минус може да бъде направен и изважда функционалния знак. Ето защо, ако срещнете тригонометричен израз с разлика от два ъгъла, винаги можете да го разберете като сума от положителни и отрицателни ъгли.

Например, грях ( х. - 30º) \u003d грях ( х. + (-30º)).
След това използваме формулата на два ъгъла и се занимаваме със знаци:
грях ( х. + (-30º)) \u003d грях х.· Cos (-30º) + cos х.· SIN (-30º) \u003d
\u003d Греха х.· Cos30º - cos х.· SIN30º.

По този начин всички формули, съдържащи разликата в ъглите, могат просто да бъдат пропуснати при първото запаметяване. Тогава трябва да се научите да ги възстановите като цяло, първо в проекта и след това психически.

Например, tg (α - β) \u003d tg (α + (-р)) \u003d Tgα + tg (-β) ___________ 1 - tga · tg (-р) = Tgα - tgp _________ 1 + tga · tgp.

Това ще помогне за по-бързо по-бързо да се отгатне кои трансформации трябва да бъдат приложени за решаване на задача на тригонометрията.

SH група. Формули на множество аргументи

sin2a \u003d 2 · sina · cosa;

cos2a \u003d cos 2 α - sin 2 α;

tg2α \u003d. 2TGa _______ 1 - TG2 α;

sIN3a \u003d 3SINA - 4SIN 3 α;

cOS3a \u003d 4COS 3 α - 3COSa.

Необходимостта от използване на формули за синуса и косинус на двоен ъгъл се среща много често, за допирателна. Тези формули трябва да бъдат известни на сърце. Освен това в тях няма затруднения. Първо, формулите са кратки. Второ, те лесно се контролират от формулите на предишната група, базирана на факта, че 2α \u003d α + α.
Например:
SIN (α + β) \u003d sina · козик + cosa · sinβ;
SIN (α + α) \u003d sina · cosa + cosa · sinα;
SIN2a \u003d 2SINA · COSA.

Въпреки това, ако сте научили тези формули по-бързо, а не предишните, тогава можете да действате напротив: да запомните формулата за сумата от два ъгъла по съответната формула за двоен ъгъл.

Например, ако имате нужда от косинус формула на сумата от два ъгъла:
1) Помнете двойната косинусна формула: cos2. х. \u003d Cos 2. х. - SIN 2. х.;
2) Ние го нарисуваме дълго: cos ( х. + х.) \u003d Cos. х.· Защото. х. - Син х.· Греш х.;
3) замени един х. На α, втората на β: cOS (α + β) \u003d Cosa · КОСП - Синфа · SIN р.

Повторете по същия начин, за да възстановите формулите за сумата и допирателната сума. В отговорните случаи, като например EGE, проверете точността на намалените формули върху добре познатото първото тримесечие: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Проверка на предишната формула (получена чрез замяна в ред 3):
нека бъде α \u003d 60 °, β \u003d 30 °, α + β \u003d 90 °,
тогава cOS (α + β) \u003d cos90 ° \u003d 0, cosa \u003d cos60 ° \u003d 1/2, cosp \u003d cos30 ° \u003d √3 _ / 2, sinα \u003d sin60 ° \u003d √3 _ / 2, sinβ \u003d sin30 ° \u003d 1/2;
Заместваме стойностите във формулата: 0 \u003d (1/2) · ( √3_ /2) − (√3_ / 2) · (1/2);
0 ≡ 0, грешките не са открити.

Формули за троен ъгъл, по мое мнение, не е необходимо за "инструмент". Те рядко се намират при изпитите на ЕГГ. Те лесно се получават от формулите, които са били по-високи, защото sin3a \u003d sin (2α + α). И онези студенти, които по някаква причина все още трябва да научат тези формули наизуст, съветвам ви да обърнете внимание на тяхната "симетрия" и да не си спомните самите формули, а мнемонични правила. Например редът, в който числата са разположени в две формули "33433433" и др.

IV група. Сума / разлика -

sinα + sinβ \u003d 2 · грях α + β ____ 2· Защото. α - β ____ 2 ;

sinα - sinβ \u003d 2 · грях α - β ____ 2· Защото. α + β ____ 2 ;

cosa + Cosp \u003d 2 · cos α + β ____ 2· Защото. α - β ____ 2 ;

cosa - COSP \u003d -2 · грях α - β ____ 2· Греш α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ \u003d sIN (α + β) ________ Cosa · КОСП ;

tgα - tgβ \u003d sIN (α - β) ________ Cosa · КОСП .

Използване на точността на функциите на синуса и допирателната: sIN (-α) \u003d - SIN (α); Tg (-α) \u003d - tg (α),
Можете да формулите за разликите в две функции за намаляване на формулите за техните суми. Например,

sin90º - sin30º \u003d sin90º + sin (-30º) \u003d 2 · грях 90º + (-30º) __________ 2· Защото. 90º - (-30º) __________ 2 =

2 · SIN30º · COS60º \u003d 2 · (1/2) · (1/2) \u003d 1/2.

Така формулите на разликата в синусите и допирателите не непременно незабавно запомнят.
С сумата и разликата в косинуса ситуацията е по-сложна. Тези формули не са взаимозаменяеми. Но отново, използвайки паритета на косинуса, можете да запомните следните правила.

Количеството на Cosa + Cosp не може да промени знака си за всякакви промени в признаците на ъглите, така че продуктът трябва да се състои и от дори функции, т.е. Два косина.

Знакът за разлика в COSA - COSAL зависи от стойностите на самите функции, което означава, че работната марка трябва да зависи от корелацията на ъглите, така че продуктът трябва да се състои от нечетни функции, т.е. два сила.

Въпреки това тази група формули не е най-лесният за запомняне. Такъв е случаят, когато е по-добре да се изострят, но повече чек. За да предотвратите грешките във формулата в даден изпит, не забравяйте да я запишете първо върху проекта и проверете по два начина. Първи замествания β \u003d α и β \u003d -α, след това чрез известни стойности на функции за прости ъгли. За да направите това, най-добре е да се вземат 90º и 30º, както е направено в примера по-горе, защото полу-диетата и утайката от тези ценности, отново дават прости ъгли и лесно можете да видите как равенството става самоличност правилната опция. Или, напротив, не е изпълнено, ако грешите.

Примерпроверки на формулата Cosa - COS \u003d 2 · грях α - β ____ 2· Греш α + β ____ 2 За разликата в косиньовете с грешка !

1) Нека β \u003d α, след това cosa-cosa \u003d 2 · греха α - α _____ 2· Греш α + α _____ 2 \u003d 2SIN0 · SINΑ \u003d 0 · SINΑ \u003d 0. COSA-COSA ≡ 0.

2) Нека β \u003d - α, след това cosa - cos (- α) \u003d 2 · грях α - (-α) _______ 2· Греш α + (-α) _______ 2 \u003d 2sina · sin0 \u003d 0 · sinα \u003d 0. cosa - cos (- α) \u003d cosa-cosa ≡ 0.

Тези проверки показват, че функциите във формулата се използват правилно, но поради факта, че идентичността е получила тип 0 ≡ 0, грешка със знак или коефициент може да бъде пропуснат. Ние правим трета проверка.

3) Нека α \u003d 90º, β \u003d 30 °, след това cos90º - cos30º \u003d 2 · грях 90º - 30º ________ 2· Греш 90º + 30º ________ 2 \u003d 2sin30º · SIN60º \u003d 2 · (1/2) · (·3 _ /2) = √3_ /2.

cos90 - cos30 \u003d 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

Грешката беше наистина в знака и само в знака преди работата.

V Band. Работа - в сумата / разликата

sina · sinβ \u003d 1 _ 2 · (COS (α - β) - COS (α + р));

cosa · Cosp \u003d 1 _ 2 · (Cos (α - β) + cos (α + р));

sINΑ · КОСП \u003d 1 _ 2 · (SIN (α - β) + sin (α + β)).

Името на петата група на самата формули предполага, че тези формули са обратни по отношение на предишната група. Ясно е, че в този случай е по-лесно да се възстанови формулата върху проекта, отколкото да се научи отново, увеличаване на риска от създаване на "овесена каша в главата". Единственото нещо, което има смисъл да се фокусира за по-бързо възстановяване на формулата, това са следните равенства (проверете ги):

α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.

Обмисли пример: трябва да конвертирате SIN5 х.· COS3. х. в сумата от две тригонометрични функции.
Тъй като работата включва синус, и косинус, тогава ние вземаме от предишната група формулата за количеството синусите, което вече е било научено и го напише по проекта.

sinα + sinβ \u003d 2 · грях α + β ____ 2· Защото. α - β ____ 2

Нека 5. х. = α + β ____ 2 и 3. х. = α - β ____ 2 , след това α \u003d α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5х. + 3х. = 8х., β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5х. − 3х. = 2х..

Ние сменим във формулата върху проекта на стойностите на ъглите, изразени през променливите α и β, върху стойностите на ъглите, изразени през променливата х..
Получаване sin8. х. + SIN2. х. \u003d 2 · sin5 х.· COS3. х.

Разделяме двете част от справедливостта за 2 и го напишете на финала отдясно sIN5. х.· COS3. х. = 1 _ 2 (SIN8. х. + SIN2. х.). Отговорът е готов.

Като упражнение: Обяснете защо в формулата за учебник за трансформиране на количеството / разликата в работата на 6 и обратна (за превръщане на продукт в сума или разлика) - само 3?

VI Group. Формули за намаляване на степента

cos 2 α \u003d 1 + cos2α _________ 2;

sIN 2 α \u003d 1 - COS2a _________ 2;

cos 3 α \u003d 3cosa + cos3α ____________ 4;

sIN 3 α \u003d 3SINA - SIN3α ____________ 4.

Първите две формули от тази група са много необходими. Често се използва в решаването на тригонометрични уравнения, включително нивото на един изпит, както и при изчисляване на интегралите, съдържащи елементарните функции на тригонометричен тип.

Може да е по-лесно да ги запомните в следната форма "едноетажна" форма
2 α \u003d 1 + cos2α;
2 sin 2 α \u003d 1 - cos2α,
И винаги можете да се разделяте на 2 или в проекта.

Необходимостта от използване на следните две формули (с кубчета функции) на изпитите е много по-рядко. В друга настройка винаги ще имате време да използвате проекта. Възможни са следните опции:
1) Ако си спомняте последните две формули на групата III, след това ги използвайте, за да експресирате SIN 3 α и cos 3 α чрез прости трансформации.
2) Ако в последните две формули на тази група забелязахте елементите на симетрията, които допринасят за тяхното запаметяване, след това запишете скиците на формулите върху проекта и ги проверявайте по ценностите на основните ъгли.
3) Ако освен това съществуват формули за намаляване на степента, вие не знаете нищо за тях, след което решавате проблема на етапите, въз основа на факта, че греха 3 α \u003d sin 2 α α · синте и други научени формули. Формули за намаляване на степента за площада и формулата за трансформация на работата в сумата.

VII група. Половин аргумент

греха. α _ 2. = ± √ 1 - Cosa ________ 2;_____

защото. α _ 2. = ± √ 1 + Cosa ________ 2;_____

tG. α _ 2. = ± √ 1 - Cosa ________ 1 + Cosa._____

Не виждам точката в запаметяването на сърцето на тази група формули във формата, в която са представени в учебници и справочници. Ако го разбирате α е половината от 2а, Това е достатъчно, за да се извлече бързо желаната формула на половин аргумента, базирана на първите две формули, за да се намали степента.

Това важи и за половин ъгъл, формулата за която се получава чрез разделяне на експресията за синуса към съответния израз за косинус.

Не забравяйте само когато извадите квадратния корен, за да поставите знак ± .

VIII група. Универсално заместване

sinα \u003d. 2tg (α / 2) _________ 1 + Tg2 (а / 2);

cosa \u003d. 1 - Tg2 (α / 2) __________ 1 + Tg2 (а / 2);

tgα \u003d. 2TG (α / 2) _________ 1 - Tg2 (α / 2).

Тези формули могат да бъдат изключително полезни за решаване на тригонометрични задачи на всички видове. Те ви позволяват да осъзнаете принципа на "един аргумент е една функция", която ви позволява да замените променливите, които намаляват сложните тригонометрични изрази на алгебрична. Нищо чудно, че това заместване се нарича универсално.
Първите две формули, които научават. Третата може да бъде получена чрез разделяне на първите две един на друг по дефиниция на tgα tangent \u003d sinα ___ cosa.

IX Group. Формули за претенция.

Да се \u200b\u200bсправят с тази група тригонометрични формули, FIE

X Group. Стойности за основните ъгли.

Дадени са стойностите на тригонометричните функции за основните ъгли на първото тримесечие.

Така че, го направи изход: Формули Тригонометрията трябва да знае. Колкото по-голям, толкова по-добре. Но какво да прекарате времето и усилията си - да запомните формулите или върху тяхното възстановяване в процеса на решаване на задачи, всеки трябва да реши независимо.

Пример за задачата за използване на формули за тригонометрия

Решаване на уравнение sIN5. х.· COS3. х. - SIN8. х.· COS6. х. = 0.

Имаме две различни функции sin () и cos () и четири! Различни аргументи 5. х., 3х., 8х. и 6. х.. Без предварителни трансформации, няма да е възможно да се намалят най-простите видове тригонометрични уравнения. Затова първо се опитваме да заменим работата по сумите или разликата в функциите.
Правим го по същия начин, както в горния пример (вж. Раздел).

греха (5. х. + 3х.) + SIN (5 х. − 3х.) \u003d 2 · sin5 х.· COS3. х.
sin8. х. + SIN2. х. \u003d 2 · sin5 х.· COS3. х.

греха (8. х. + 6х.) + SIN (8 х. − 6х.) \u003d 2 · SIN8 х.· COS6. х.
Sin14. х. + SIN2. х. \u003d 2 · SIN8 х.· COS6. х.

Изразяване на работата от тези равенства, ние ги заменяме с уравнението. Получаваме:

(SIN8. х. + SIN2. х.) / 2 - (sin14 х. + SIN2. х.)/2 = 0.

Умножаваме 2 от двете части на уравнението, разкриваме скоби и дават такива членове

Sin8. х. + SIN2. х. - SIN14. х. - SIN2. х. = 0;
sin8. х. - SIN14. х. = 0.

Уравнението е опростено значително, но за да го реши така sin8 х. \u003d Sin14. х.следователно 8. х. = 14х. + T, където t - периодът е неправилен, тъй като не знаем стойността на този период. Ето защо, ние използваме това в дясната част на равенството си струва 0, с което е лесно да се сравнят множествата във всеки израз.
Да се \u200b\u200bразложи Син8. х. - SIN14. х. За мултипликатори трябва да отидете от разликата в работата. За да направите това, можете да използвате формулата за синус разлика или отново сумата на синусите и странността на синусната функция (виж пример в раздела).

sin8. х. - SIN14. х. \u003d sin8. х. + SIN (-14 х.) \u003d 2 · грях 8х. + (−14х.) __________ 2 · Защото. 8х. − (−14х.) __________ 2 \u003d sin (-3 х.) · COS11. х. \u003d -Sin3. х.· COS11. х..

Така, уравнение sin8 х. - SIN14. х. \u003d 0 е еквивалентно на уравнението на SIN3 х.· COS11. х. \u003d 0, което от своя страна е еквивалентно на комбинацията от два прости SIN3 уравнения х. \u003d 0 и cos11 х. \u003d 0. Решаването на последното, получаваме две серии от отговори
х. 1 \u003d π. н./3, н.εz.
х. 2 \u003d π / 22 + π к./11, к.εz.

Ако сте открили грешка или типична в текста, моля, уведомете го на имейл адреса [Защитен имейл] . Аз ще бъда много благодарен.