Вычислить тройной интеграл в сферических координатах онлайн. Вычисление тройного интеграла
Пусть имеем две
прямоугольные системы координат в
пространстве
и
,
и систему функций
(1)
которые устанавливают
взаимно-однозначное соответствие между
точками некоторых областей
и
в этих системах координат. Предположим,
что функции системы (1) имеют в
непрерывные частные производные.
Определитель, составленный из этих
частных производных
,
называют якобианом
(или определителем Якоби) системы функций
(1). Мы будем предполагать, что
в
.
В сделанных выше предположениях имеет место следующая общая формула замены переменных в тройном интеграле:
Как и в случае
двойного интеграла, взаимная однозначность
системы (1) и условие
могут нарушаться в отдельных точках,
на отдельных линиях и на отдельных
поверхностях.
Система функций
(1) каждой точке
ставит в соответствие единственную
точку
.
Эти три числа
называют криволинейными координатами
точки.
Точки пространства
,
для которых одна из этих координат
сохраняет постоянное значение, образуют
т.н. координатную поверхность.
II Тройной интеграл в цилиндрических координатах
Цилиндрическая
система координат (ЦСК) определяется
плоскостью
,
в которой задана полярная система
координат и осью
,
перпендикулярной этой плоскости.
Цилиндрическими координатами точки
,
где
– полярные координаты точки– проекции точкина плоскость
,
а– это координаты проекции точкина ось
или
.
В плоскости
введем обычным образом декартовы
координаты, ось аппликат направим по
оси
ЦСК. Теперь нетрудно получить формулы,
связывающие цилиндрические координаты
с декартовыми:
(3)
Эти формулы
отображают областьна все пространство
.
Координатными поверхностями в рассматриваемом случае будут:
1)
– цилиндрические поверхности с
образующими, парал-лельными оси
,
направляющими которых служат окружности
в плоскости
,
с центром в точке;
2)
;
3)
– плоскости, параллельные плоскости
.
Якобиан системы (3):
.
Общая формула в случае ЦСК принимает вид:
Замечание 1
.
Переход к
цилиндрическим координатам рекомендуется
в случае, когда область интегрирования
– это круговые цилиндр или конус, или
параболоид вращения (или их части),
причем ось этого тела совпадает с осью
аппликат
.
Замечание 2. Цилиндрические координаты можно обобщить так же, как и полярные координаты на плоскости.
Пример 1. Вычислить тройной интеграл от функции
по области
,
представляющей собой внутреннюю часть
цилиндра
,
ограниченную конусом
и параболоидом
.
Решение. Эту область мы уже рассматривали в §2, пример 6, и получили стандартную запись в ДПСК. Однако, вычисление интеграла в этой области затруднительно. Перейдем в ЦСК:
.
Проекция
тела
на плоскость
– это круг
.
Следовательно, координатаизменяется от 0 до
,
а– от0
до R
.
Через
произвольную точку
проведем прямую, параллельную оси
.
Прямая войдет в
на конусе, а выйдет на параболоиде. Но
конус
имеет в ЦСК уравнение
,
а параболоид
– уравнение
.
Итак, имеем
III Тройной интеграл в сферических координатах
Сферическая система
координат (ССК) определяется плоскостью
,
в которой задана ПСК, и осью
,
перпендикулярной плоскости
.
Сферическими
координатами точки
пространства называют тройку чисел
,
где– полярный угол проекции точки на
плоскость
,– угол между осью
и вектором
и
.
В плоскости
введем декартовы координатные оси
и
обычным образом, а ось аппликат совместим
с осью
.
Формулы, связывающие сферические
координаты с декартовыми таковы:
(4)
Эти формулы
отображают область
на всё пространство
.
Якобиан системы функций (4):
.
Координатные поверхности составляют три семейства:
1)
– концентрические сферы с центром в
начале координат;
2)
– полуплоскости, проходящие через ось
;
3)
– круговые конусы с вершиной в начале
координат, осью которых служит ось
.
Формула перехода в ССК в тройном интеграле:
Замечание 3.
Переход в ССК рекомендуется, когда
область интегрирования – это шар или
его часть. При этом уравнение сферы
переходит в.
Как и ЦСК, рассмотренная ранее, ССК
«привязана» к оси
.
Если центр сферы смещён на радиус вдоль
координатной оси, то наиболее простое
сферическое уравнение получим при
смещении вдоль оси
:
Замечание 4. Возможно обобщение ССК:
с якобианом
.
Эта система функций переведет эллипсоид
в «параллелепипед»
Пример 2. Найти среднее расстояние точек шара радиуса от его центра.
Решение.
Напомним, что среднее значение функции
в области
– это тройной интеграл от функции по
области деленный на объём области. В
нашем случае
Итак, имеем
Записывается тройной интеграл так:
Вычислить тройной интеграл - значит найти число, равное объёму тела V или, что то же самое - области V .
Практически каждый может понять смысл вычисления тройного интеграла "на своей шкуре". Точнее - "под шкурой", а ещё точнее - по своим органам дыхания - лёгким. Вне зависимости от того, знаете ли вы об этом или не знаете, в лёгких человека свыше 700 миллионов альвеол - пузырьковых образований, оплетённых сетью капилляров. Через стенки альвеол происходит газообмен. Поэтому можно рассуждать так: объём газа в лёкгих, можно представить в виде некоторой компактной области. А состоит этот объём из маленьких объёмов, сосредоточенных в альвеолах. Ключевую роль в этом сравнении играет именно огромное количество альвеол в лёгких: как мы увидим в следующем абзаце, через такое "огромное количество малостей" математически как раз и формулируется понятие тройного интеграла.
Почему именно тройной интеграл служит для нахождения объёма тела V ? Пусть область V разбита на n произвольных областей Δv i , причём под этим обозначением подразумевается не только каждая маленькая область, но и её объём. В каждой такой маленькой области выбрана произвольная точка M i , а f (M i ) - значение функции f (M ) в этой точке. Теперь будем максимально увеличивать число таких маленьких областей, а наибольший диаметр Δv i - наоборот, уменьшать. Можем составить интегральную сумму вида
Если функция f (M ) = f (x , y , z ) непрерывна, то будет существовать предел интегральных сумм вида, указанного выше. Этот предел и называется тройным интегралом .
В этом случае функция f (M ) = f (x , y , z ) называется интегрируемой в области V ; V - областью интегрирования; x , y , z - переменными интегрирования, dv (или dx dy dz ) - элементом объёма.
Вычисление тройного интеграла путём уменьшения кратности
Как и в случае двойных интегралов, вычисление тройных интегралов сводится к вычислению интегралов меньшей кратности.
Рассмотрим трёхмерную область V . Снизу и сверху (то есть по высоте) эта область ограничена поверхностями z = z 1 (x , y ) и z = z 2 (x , y ) . С боковых сторон (то есть по ширине) область ограничена поверхностями y = y 1 (x ) и y = y 2 (x ) . И, наконец, по глубине (если Вы смотрите на область в направлении оси Ox ) - поверхностями x = a и x = b
Чтобы применять переход к интегралам меньшей кратности, требуется, чтобы трёхмерная область V была правильной. Она правильна тогда, когда прямая, параллельная оси Oz , пересекает границу области V не более чем в двух точках. Правильными трёхмерными областями являются, например, прямоугольный параллелепипед, эллипсоид, тетраэдр. На рисунке ниже - прямоугольный параллелепипед, который встретится нам в первом примере на решение задач.
Чтобы наглядно представить отличие правильности от неправильности, добавим, что поверхности области по высоте у правильной области не должны быть вогнуты вовнутрь. На рисунке ниже - пример неправильной области V - однополостный гиперболоид, поверхность которого прямая, параллельная оси Oz (красного цвета), пересекает более чем в двух точках.
Мы будем рассматривать только правильные области.
Итак, область V - правильная. Тогда для любой функции f (x , y , z ) , непрерывной в области V , справедлива формула
Эта формула позволяет свести вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению внутреннего определённого интеграла по переменной z (при постоянных x и y ) и внешнего двойного интеграла по двумерной области D .
Переходя от двойного интеграла к повторному, получаем следующую формулу для вычисления тройного интеграла:
Таким образом, для вычисления тройного интеграла требуется последовательно вычислить три определённых интеграла.
Вычисляются эти интегралы от самого внутреннего (по переменной z ) к самому внешнему (по переменной x ). Для удобства восприятия последовательности вычислений три "вложенных" интеграла можно записать так:
.
Из этой записи уже однозначно видно, что:
- сначала нужно интегрировать функцию f (x , y , z ) по переменной z , а в качестве пределов интегрирования взять уравнения z = z 1 (x , y ) и z = z 2 (x , y ) поверхностей ограничивающих область V снизу и сверху;
- y y = y 1 (x ) и y = y 2 (x ) поверхностей, ограничивающих область V с боковых сторон;
- получившийся на предыдущем шаге результат интегрировать по переменной x , а в качестве пределов интегрирования взять уравнения x = a и x = b поверхностей, ограничивающих область V по глубине.
Пример 1. Пусть от тройного интеграла можно перейти к повторному интегралу
-
последовательности трёх определённых интегралов. Вычислить этот повторный интеграл.
Решение. Вычисление повторного интеграла всегда начинается с последнего интеграла:
.
Вычислим второй интеграл - по переменной y :
.
x :
.
Ответ: данный повторный интеграл и соответствующий ему тройной интеграл равен 10.
Пример 2. Вычислить тройной интеграл
,
где V - параллелепипед, ограниченный плоскостями x = − 1 , x = + 1 , y = 0 , y = 1 , z = 0 , z = 2 .
Решение. Пределы интегрирования для всех трёх определённых интегралов однозначно заданы уравнениями поверхностей, ограничивающих параллелепипед. Поэтому сразу сводим данный тройной интеграл к последовательности трёх определённых интегралов:
.
z
.
Вычисляем интеграл "в серединке" - по переменной y . Получаем;
.
Теперь вычисляем самый внешний интеграл - по переменной x :
Ответ: данный тройной интеграл равен -2.
Пример 3. Вычислить тройной интеграл
,
где V x + y + z = 1 и координатными плоскостями x = 0 , y = 0 , z = 0 . Область V проецируется на плоскость xOy в треугольник D , как показано на рисунке ниже.
Решение. Расставим сначала пределы интегрирования. Для интеграла по переменной z нижний предел интегрирования задан однозначно: z = 0 . Чтобы получить верхний предел, выразим z из x + y + z = 1 . Получаем 1 − x − y . Для интеграла по переменной y нижний предел интегрирования задан однозначно: y = 0 . Для получения верхнего предела выразим y из x + y + z = 1 , считая при этом, что z = 0 (так как линия расположена в плоскости xOy ). Получаем: 1 − x .
Сводим данный тройной интеграл к последовательности трёх определённых интегралов:
.
Вычисляем самый внутренний интеграл - по переменной z , считая икс и игрек константами. Получаем:
.
y . Получаем:
x :
Ответ: данный тройной интеграл равен 1/8.
Вычислить тройной интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 4. Вычислить тройной интеграл
,
где V - пирамида, ограниченная плоскостью x + y + z = 1 и координатными плоскостями x = 0 , y = 0 , z = 0 .
Расстановка пределов интегрирования при переходе к последовательности трёх интегралов
Бывает, что студенты, у которых не вызывает особых трудностей непосредственное вычисление интегралов, не могут освоиться в расстановке пределов интегрирования при переходе от тройного интеграла к последовательности трёх определённых интегралов. В этом деле действительно требуется некоторая натренированность. В первом примере область интегрирования V представляла собой параллелепипед, с которым всё понятно: со всех сторон его ограничивают плоскости, а значит, пределы интегрирования однозначно заданы уравнениями плоскостей. Во втором примере - пирамида: здесь уже требовалось чуть больше подумать и выразить один из пределов из уравнения. А если область V ограничивают не плоские поверхности? Нужно, конечно, определённым образом осмотреть область V .
Начнём с примера "пострашнее", чтобы почувствовать "обстановку, приближенную к боевой".
Пример 5. Расставить пределы интегрирования при переходе от тройного интеграла, в котором область V - эллипсоид
.
Решение. Пусть центр эллипсоида - начало координат, как показано на рисунке выше. Посмотрим на эллипсоид снизу. Снизу его ограничивает поверхность, являющаяся той части поверхности эллипсоида, которая расположена ниже плоскости xOy z и полученное выражение со знаком минус будет нижним пределом интегрирования по переменной z :
.
Теперь посмотрим на эллипсоид сверху. Здесь его ограничивает поверхность, являющаяся той части поверхности эллипсоида, которая расположена выше оси xOy . Следовательно, нужно выразить из уравнения эллипсоида z и полученное выражение будет верхним пределом интегрирования по переменной z :
.
Проекцией эллипсоида на плоскость xOy является эллипсоид. Его уравнение:
Чтобы получить нижний предел интегрирования по переменной y , нужно выразить y из уравнения эллипсоида и взять полученное выражение со знаком минус:
.
Для верхнего предела интегрирования по переменной y то же выражение со знаком плюс:
Что касается интегрирования по переменной x , то область V ограничена по глубине плоскостями. Следовательно, пределы интегрирования по переменной x можно представить как координаты задней и передней границ области. В случае эллипсоида ими будут взятые с отрицательным и положительным знаками величины длин полуоси a : x 1 = − a и x 2 = a .
Таким образом, последовательность интегралов для вычисления объёма эллипсоида следующая:
,
где "игрек первое", "игрек второе", "зет первое" и "зет второе" - полученные выше выражения. Если у Вас есть желание и отвага вычислить этот интеграл и, таким образом, объём эллипсоида, то вот ответ: 4πabc /3 .
Следующие примеры - не такие страшные, как только что рассмотренный. При этом они предполагают не только расстановку пределов интегрирования, но и вычисление самого тройного интеграла. Проверьте, чему вы научились, следя за решением "страшного" примера. Думать при расстановке пределов всё равно придётся.
Пример 6. Вычислить тройной интеграл
если область интегрирования ограничена плоскостями x + y = 1 , x + 2y = 4 , y = 0 , y = 1 , z = 1 , z = 5 .
Решение. "Курортный" пример по сравнению с примером 5, так как пределы интегрирования по "игрек" и "зет" определены однозначно. Но придётся разобраться с пределами интегрирования по "иксу". Проекцией области интегрирования на плоскость xOy является трапеция ABCD .
В этом примере выгоднее проецировать трапецию на ось Oy , иначе, чтобы вычислить тройной интеграл, на придётся разделить фигуру на три части. В примере 4 мы начинали осмотр области интегрирования снизу, и это обычный порядок. Но в этом примере мы начинаем осмотр сбоку или, если так проще, положили фигуру набок и считаем, что смотрим на неё снизу. Можем найти пределы интегирования по "иксу" чисто алгебраически. Для этого выразим "икс" из первого и второго уравнений, данных в условии примера. Из первого уравения получаем нижний предел 1 − y , из второго - верхний 4 − 2y . Сведём данный тройной интеграл к последовательности трёх определённых интегралов:
.
Внимание! В этом примере самый внешний интеграл - не по переменной "икс", а по переменной "игрек", а "средний" - по переменной "икс"! Здесь мы применили смену порядка интегрирования, с которой ознакомились при изучении двойного интеграла. Это связано с тем, что, как уже говорилось, мы начали осмотр области интегрирования не снизу, а сбоку, то есть спроецировали её не на ось Ox , на на ось Oy .
Вычисляем самый внутренний интеграл - по переменной z , считая икс и игрек константами. Получаем:
Вычисляем средний интеграл - по переменной x . Получаем:
.
Наконец, вычисляем самый внешний интеграл - по переменной y :
Ответ: данный тройной интеграл равен 43.
Пример 7. Вычислить тройной интеграл
,
если область интегрирования ограничена поверхностями x = 0 , y = 0 , z = 2 , x + y + z = 4 .
Решение. Область V (пирамида MNRP ) является правильной. Проекцией области V на плоскость xOy является треугольник AOB .
Нижние пределы интегрирования по всем переменным заданы в условии примера. Найдём верхний предел интегирования по "иксу". Для этого выразим "икс" из четвёртого уравнения, считая "игрек" равным нулю, а "зет" равным двум. Получаем x = 2 . Найдём верхний предел интегирования по "игреку". Для этого выразим "игрек" из того же четвёртого уравнения, считая "зет" равным двум, а "икс" - переменной величиной. Получаем y = 2 − x . И, наконец, найдём верхний предел интегрирования по переменной "зет". Для этого выразим "зет" из того же четвёртого уравнения, считая "игрек" и "зет" переменными величинами. Получаем z = 4 − x − y .
Сведём данный тройной интеграл к последовательности трёх определённых интегралов:
.
Вычисляем самый внутренний интеграл - по переменной z , считая икс и игрек константами. Получаем:
.
Вычисляем средний интеграл - по переменной y . Получаем:
.
Вычисляем самый внешний интеграл - по переменной x и окончательно находим данный тройной интеграл:
Ответ: данный тройной интеграл равен 2.
Замена переменных в тройном интеграле и цилиндрические координаты
Если проекцией области интегрирования на какую-либо из координатных плоскостей является круг или часть круга, то тройной интеграл проще вычислисть, перейдя к цилиндрическим координатам. Цилиндрическая система координат является обобщением полярной системы координат на пространство. В системе цилиндрических координат точка M характеризуется тремя величинами (r , φ , z ), где r - расстояние от начала координат до проекции N точки M на плоскость xOy , φ - угол между вектором ON и положительным направлением оси Ox , z - аппликата точки M (рисунок ниже).
Прямоугольные координаты x , y , z с цилиндрическими координатами r , φ , z связывают формулы
x = r cosφ ,
y = r sinφ ,
z = z .
Для того, чтобы в тройном интеграле перейти к цилиндрическим координатам, нужно подынтегральную функцию выразить в виде функции переменных r , φ , z :
То есть переход от прямогольных координат к цилиндрическим осуществляется следующим образом:
Тройной интеграл в цилиндрических координатах вычисляется так же как и в декартовых прямоугольных координатах, путём преобразования в последовательность трёх определённых интегралов:
Пример 8. Вычислить тройной интеграл
переходом к цилиндрическим координатам, где V - область, ограниченная поверхностями и .
Решение. Так как область V на плоскость xOy проектируется в круг , то координата φ изменяется в пределах от 0 до 2π , а координата r - от r =0 до r =1. Постоянному значению в пространстве соответствует цилиндр . Рассматривая пересечение этого цилиндра с областью V , получаем изменение ординаты z от z = r ² до z = 1 . Переходим к цилиндрическим координатам и получаем.
1. Цилиндрические координаты представляют соединение полярных координат в плоскости xy с обычной декартовой аппликатой z (рис. 3).
Пусть M(x, y, z) - произвольная точка в пространстве xyz, P - проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно определяется тройкой чисел - полярные координаты точки P, z - аппликата точки M. Формулы, связывающие их с декартовыми, имеют вид
Якобиан отображения (8)
Пример 2 .
Вычислить интеграл
где T - область, ограниченная поверхностями
Решение. Перейдём в интеграле к сферическим координатам по формулам (9). Тогда область интегрирования можно задать неравенствами
А, значит,
Пример 3 Найти объём тела, ограниченного:
x 2 +y 2 +z 2 =8, |
Имеем: x 2 +y 2 +z 2 =8 - сфера радиуса R= v8 с центром в точке O(000),
Верхняя часть конуса z 2 =x 2 +y 2 с осью симметрии Оz и вершиной в точке O (рис. 2.20).
Найдем линию пересечения сферы и конуса:
И так как по условию z ? 0, то
Окружность R=2, лежащая в плоскости z=2.
Поэтому согласно (2.28)
где область U ограничена сверху
(часть сферы),
(часть конуса);
область U проектируется на плоскости Оху в область D - круг радиуса 2.
Следовательно, целесообразно перейти в тройном интеграле к цилиндрическим координатам, используя формулы (2.36):
Пределы изменения ц, r находим по области D v полный круг R=2 с центром в точке О, тем самым: 0?ц?2р, 0?r?2. Таким образом, область U в цилиндрических координатах задается следующими неравенствами:
Заметим, что
Процедура вычисления тройного интеграла аналогична соответствующей операции для двойного интеграла. Для ее описания введем понятие правильной трехмерной области:
Определение 9.1. Трехмерная область V, ограниченная замкнутой поверхностью S, называется правильной, если:
- любая прямая, параллельная оси Оz и проведенная через внутреннюю точку области, пересекает S в двух точках;
- вся область V проектируется на плоскость Оху в правильную двумерную область D;
- любая часть области V, отсеченная от нее плоскостью, параллельной какой-либо из координатных плоскостей, обладает свойствами 1) и 2).
Рассмотрим правильную область V, ограниченную снизу и сверху поверхностями z=χ(x,y) и z=ψ(x,y) и проектирующуюся на плоскость Оху в правильную область D, внутри которой х изменяется в пределах от а до b, ограниченную кривыми y=φ1(x) и y=φ2(x) (рис.1). Зададим в области V непрерывную функцию f(x, y, z).
Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида:
Трехкратный интеграл обладает теми же свойствами, что и двукратный. Перечислим их без доказательства, так как они доказываются аналогично случаю двукратного интеграла.
Вычисление тройного интеграла.
Теорема 9.1. Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по правильной области V равен трехкратному интегралу по той же области:
. (9.3)
Доказательство.
Разобьем область V плоскостями, параллельными координатным плоскостям, на п правильных областей . Тогда из свойства 1 следует, что
где – трехкратный интеграл от функции f(x,y,z) по области .
Используя формулу (9.2), предыдущее равенство можно переписать в виде:
Из условия непрерывности функции f(x,y,z) следует, что предел интегральной суммы, стоящей в правой части этого равенства, существует и равен тройному интегралу . Тогда, переходя к пределу при , получим:
что и требовалось доказать.
Замечание.
Аналогично случаю двойного интеграла можно доказать, что изменение порядка интегрирования не меняет значения трехкратного интеграла.
Пример. Вычислим интеграл где V - треугольная пирамида с вершинами в точках (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Ее проекцией на плоскость Оху является треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0) и (0, 1). Снизу область ограничена плоскостью z = 0, а сверху - плоскостью x + y + z = 1. Перейдем к трехкратному интегралу:
Множители, не зависящие от переменной интегриро-вания, можно вынести за знак соответствующего интеграла:
Криволинейные системы координат в трехмерном пространстве.
- Цилиндрическая система координат.
Цилиндрические координаты точки Р(ρ,φ,z) - это полярные координаты ρ, φ проекции этой точки на плоскость Оху и аппликата данной точки z (рис.2).
Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задать следующим образом:
x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)
- Сферическая система координат.
В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой ρ - расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или полюса сферической системы), φ - полярным углом между положительной полуосью Ох и проекцией точки на плоскость Оху, и θ - углом между положительной полуосью оси Оz и отрезком OP (рис.3). При этом
Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым:
x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)
Якобиан и его геометрический смысл.
Рассмотрим общий случай замены переменных в двойном интеграле. Пусть в плоскости Оху дана область D, ограниченная линией L. Предположим, что х и у являются однозначными и непрерывно дифференцируемыми функциями новых переменных u и v:
x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)
Рассмотрим прямоугольную систему координат Оuv, точка Р΄(u, v) которой соответствует точке Р(х, у) из области D. Все такие точки образуют в плоскости Оuv область D΄, ограниченную линией L΄. Можно сказать, что формулы (9.6) устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками областей D и D΄. При этом линиям u = const и
v = const в плоскости Оuv будут соответствовать некоторые линии в плоскости Оху.
Рассмотрим в плоскости Оuv прямоугольную площадку ΔS΄, ограниченную прямыми u = const, u+Δu = const, v = const и v+Δv = const. Ей будет соответствовать криволинейная площадка ΔS в плоскости Оху (рис.4). Площади рассматриваемых площадок тоже будем обозначать ΔS΄ и ΔS. При этом ΔS΄ = Δu Δv. Найдем площадь ΔS. Обозначим вершины этого криволинейного четырехугольника Р1, Р2, Р3, Р4, где
P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);
P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);
P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);
P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).
Заменим малые приращения Δu и Δv соответствующими дифференциалами. Тогда
При этом четырехугольник Р1 Р2 Р3 Р4 можно считать параллелограммом и определить его площадь по формуле из аналитической геометрии:
(9.7)
Определение 9.3. Определитель называется функциональным определителем или якобианом функций φ(х, у) и ψ(х, у).
Переходя к пределу при в равенстве (9.7), получим геометрический смысл якобиана:
то есть модуль якобиана есть предел отношения площадей бесконечно малых площадок ΔS и ΔS΄.
Замечание. Аналогичным образом можно определить понятие якобиана и его геометрический смысл для п-мерного пространства: если x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un),…, xn = φ(u1, u2,…, un), то
(9.8)
При этом модуль якобиана дает предел отношения «объемов» малых областей пространств х1, х2,…, хп и u1, u2,…, un .
Замена переменных в кратных интегралах.
Исследуем общий случай замены переменных на примере двойного интеграла.
Пусть в области D задана непрерывная функция z = f(x,y), каждому значению которой соответствует то же самое значение функции z = F(u, v) в области D΄, где
F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9.9)
Рассмотрим интегральную сумму
где интегральная сумма справа берется по области D΄. Переходя к пределу при , получим формулу преобразования координат в двойном интеграле.
Преобразование
двойного интеграла от прямоугольных
координат
,к полярным координатам
,
связанных с прямоугольными координатами
соотношениями
,
,
осуществляется по формуле
Если
область интегрирования
ограничена двумя лучами
,
(
),
выходящими из полюса, и двумя кривыми
и
,
то двойной интеграл вычисляют по формуле
.
Пример
1.3.
Вычислить
площадь фигуры, ограниченной данными
линиями:
,
,
,
.
Решение.
Для
вычисления площади области
воспользуемся формулой:
.
Изобразим
область
,
,
Перейдем к полярным координатам: ,
. В
полярной системе координат область
|
.
1.2. Тройные интегралы
Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.
В декартовых координатах тройной интеграл обычно записывают так:
.
Если
,
то тройной интеграл по областичисленно равен объему тела:
.
Вычисление тройного интеграла
Пусть
область интегрирования
ограничена снизу и сверху соответственно
однозначными непрерывными поверхностями
,
,
причем проекция областина координатную плоскость
есть плоская область
(рис. 1.6).
Тогда
при фиксированных значениях
Тогда получаем: . Если,
кроме того, проекция
,
где
|
.
Пример
1.4.
Вычислить
,
где-
тело, ограниченное плоскостями:
,
Решение.
Областью интегрирования является
пирамида (рис. 1.7). Проекция области
есть треугольник . |
|
Расставляя
пределы интегрирования для треугольника
|
Тройной интеграл в цилиндрических координатах
При
переходе от декартовых координат
к цилиндрическим координатам
(рис. 1.9), связанных с
соотношениями
,
,
,
причем
,
тройной интеграл преобразуется: Пример
1.5.
Вычислить
объем тела, ограниченного поверхностями:
Решение.
Искомый
объем тела
равен |
|
Областью
интегрирования является часть цилиндра,
ограниченного снизу плоскостью
Перейдем
к цилиндрическим координатам.
или в цилиндрических координатах: |
Область
,
ограниченная кривой
,
примет вид,
или
,
при этом полярный угол
.
В итоге имеем
.
2. Элементы теории поля
Напомним предварительно способы вычисления криволинейных и поверхностных интегралов.
Вычисление криволинейного интеграла по координатам от функций, определенных на кривой , сводится к вычислению определенного интеграла вида
если
кривая
задана параметрическии
соответствует начальной точке кривой,
а
- ее конечной точке.
Вычисление
поверхностного интеграла от функции
,
определенной на двусторонней поверхности,
сводится к вычислению двойного интеграла,
например, вида
, |
если
поверхность
,
заданная уравнением
,
однозначно проецируется на плоскость
в область
.
Здесь- угол между единичным вектором нормалик поверхностии осью
:
. |
Требуемая условиями задачи сторона поверхности определяется выбором соответствующего знака в формуле (2.3).
Определение
2.1. Векторным полем
называется
векторная функция точки
вместе с областью ее определения:
Векторное
поле
характеризуется скалярной величиной
–дивергенцией:
Определение
2.2. Потоком
векторного
поля
через
поверхность
называется
поверхностный интеграл:
, |
где
-
единичный вектор нормали к выбранной
стороне поверхности,
а
- скалярное произведение векторови.
Определение 2.3. Циркуляцией векторного поля
по замкнутой кривой называется криволинейный интеграл
, |
где
.
Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между потоком векторного поля через замкнутую поверхность и дивергенцией поля:
где - поверхность, ограниченная замкнутым контуром , а - единичный вектор нормали к этой поверхности. Направление нормали должно быть согласовано с направлением обхода контура .
Пример 2.1. Вычислить поверхностный интеграл
,
где
- внешняя часть конуса
(
),
отсекаемая плоскостью
(рис 2.1).
Решение.
Поверхность
однозначно проецируется в область
плоскости
,
и интеграл вычисляется по формуле (2.2).
Единичный вектор нормали к поверхности найдем по формуле (2.3): . Здесь
в выражении для нормали выбран знак
плюс, так как угол
между осью |
Область
есть круг
.
Поэтому в последнем интеграле переходим
к полярным координатам, при этом
,
:
Пример
2.2.
Найти
дивергенцию и ротор векторного поля
.
Решение. По формуле (2.4) получаем
Ротор данного векторного поля находим по формуле (2.5)
Пример
2.3.
Найти поток векторного поля
через часть плоскости:
,
расположенную в первом октанте (нормаль
образует острый угол с осью
).
Решение. В силу формулы (2.6) . Изобразим
часть плоскости
: (рис.
2.3). Вектор нормали к плоскости имеет
координаты:
|
|
. . ,
|
где
- проекция плоскостина
(рис. 2.4).
Пример
2.4.
Вычислить
поток векторного поля
через замкнутую поверхность,
образованную плоскостью
и частью конуса
(
)
(рис. 2.2).
Решение. Воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса (2.8)
.
Найдем дивергенцию векторного поля по формуле (2.4):
где
- объем конуса, по которому ведется
интегрирование. Воспользуемся известной
формулой для вычисления объема конуса
(- радиус основания конуса,- его высота). В нашем случае получаем
.
Окончательно получаем
.
Пример
2.5.
Вычислить
циркуляцию векторного поля
по контуру
,
образованному пересечением поверхностей
и
(
).
Проверить результат по формуле Стокса.
Решение.
Пересечением
указанных поверхностей является
окружность
,
(рис. 2.1). Направление обхода выбирается
обычно так, чтобы ограниченная им область
оставалась слева. Запишем параметрические
уравнения контура
:
откуда
|
причем
параметр
изменяется отдо
.
По формуле (2.7) с учетом (2.1) и (2.10) получаем
.
Применим
теперь формулу Стокса (2.9). В качестве
поверхности
,
натянутой на контур
,
можно взять часть плоскости
.
Направление нормали
к
этой поверхности согласуется с
направлением обхода контура
.
Ротор данного векторного поля вычислен
в примере 2.2:
.
Поэтому искомая циркуляция
где
- площадь области
.
- круг радиуса
,
откуда