Círculo inscrito. Un círculo circunscrito a un triángulo Un triángulo inscrito en un círculo

TEOREMA DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNFERENCIA SOBRE UN POLÍGONO: Una circunferencia puede estar circunscrita a cualquier polígono regular y, además, a uno solo. TEOREMA DEL ARMA INSCRITA EN UN POLÍGONO REGULAR: Cualquier polígono regular se puede inscribir con una circunferencia, y además sólo una.

SPa4a4 rRN Calcular el área de un polígono regular, su lado y el radio del círculo inscrito y el radio del círculo inscrito

Cuadrado de los Polígonos Rectos Cuadrado de los Polígonos Rectos Nombres y Polígono Cuadrado Número de Partes Nombre El Título del Polígono Pequeño Título 0.433A 2 4Chinth Cyagon1.000a 2 5598A 2 7 Cellifier 0.598A 2 7 Cellite 3,828A 2 9 Diggle6,182A 2 cuadrado

0 ángulos inscritos. Hipócrates de Quíos La prueba dada en los libros de texto modernos de que un ángulo inscrito se mide por la mitad del arco sobre el que descansa se da en los Elementos de Euclides. Sin embargo, Hipócrates de Quíos (siglo V a. C.) se refiere a esta propuesta en su obra sobre “lunes”. Las obras de Hipócrates lo atestiguan ya en la segunda mitad del siglo V. antes de Cristo mi. se conocía una gran cantidad de teoremas expuestos en los Elementos de Euclides y la geometría alcanzó un alto nivel de desarrollo. El hecho de que un ángulo inscrito basado en un diámetro es una línea recta era conocido por los babilonios desde hace 4.000 años. Su primera prueba se atribuye a Pamphylia, un escritor romano desde la época de Nerón, hasta Tales de Mileto.

0 polígonos regulares Cuadrángulos, hexágonos y octógonos regulares se encuentran en los monumentos antiguos egipcios y babilónicos en forma de imágenes en las paredes y decoraciones talladas en piedra. Los antiguos científicos griegos comenzaron a mostrar un gran interés en las cifras correctas desde la época de Pitágoras. La división de un círculo en un cierto número de partes iguales para construir polígonos regulares era importante para los pitagóricos, quienes afirmaban que los números subyacen a todos los fenómenos del mundo. La doctrina de los polígonos regulares, iniciada en la escuela de Pitágoras, continuó y se desarrolló en el siglo VII. antes de Cristo e., fue sistematizado por Euclides y expuesto en el libro IV de los Principios. Además de construir un triángulo regular, un cuadrilátero, un pentágono y un hexágono, Euclides también resuelve el problema de construir un pentágono regular usando solo un compás y una regla. Esta figura atrajo la atención de los antiguos, ya que se notó que el arco del ángulo de inclinación de la eclíptica al ecuador representa el círculo completo, es decir, está contraído por el lado de un pentágono regular.

ABC O1 O2 O1 es el centro de la circunferencia circunscrita, O2 es el centro de la circunferencia inscrita Necesidad: Suficiencia: D AB + CD = BC + AD y, por tanto, AB = CD = BAD = ADC, pero BAD + ABC = 180 Por lo tanto, ADC + ABC = 180 , y se puede inscribir un círculo alrededor del trapezoide ABCD, además, AB + CD = BC + AD y, por lo tanto, se puede inscribir un círculo en ABCD. Es necesario y suficiente que el trapezoide sea equilátero y el lado lateral igual a la mitad de la suma de las bases.

Definición 2

Se dice que un polígono que satisface la condición de la Definición 1 está inscrito en un círculo.

Figura 1. Círculo inscrito

Teorema 1 (sobre un círculo inscrito en un triángulo)

Teorema 1

En cualquier triángulo, puede inscribir un círculo y, además, solo uno.

Prueba.

Considere el triángulo $ABC$. Dibuje bisectrices en él que se intersequen en el punto $O$ y dibuje perpendiculares desde allí a los lados del triángulo (Fig. 2)

Figura 2. Ilustración del Teorema 1

Existencia: Dibuja un círculo con centro $O$ y radio $OK.\ $Dado que el punto $O$ se encuentra en tres bisectrices, es equidistante de los lados del triángulo $ABC$. Es decir, $OM=OK=OL$. En consecuencia, el círculo construido también pasa por los puntos $M\ y\ L$. Como $OM,OK\ y\ OL$ son perpendiculares a los lados del triángulo, entonces por el teorema de la tangente a la circunferencia, la circunferencia construida toca los tres lados del triángulo. Luego, en virtud de la arbitrariedad de un triángulo, un círculo puede inscribirse en cualquier triángulo.

Unicidad: Supongamos que el triángulo $ABC$ se puede inscribir con otra circunferencia centrada en el punto $O"$. Su centro equidista de los lados del triángulo, y por tanto coincide con el punto $O$ y tiene un radio igual a la longitud de $OK$ Pero entonces este círculo coincidirá con el primero.

El teorema ha sido probado.

Corolario 1: El centro de una circunferencia inscrita en un triángulo se encuentra en el punto de intersección de sus bisectrices.

Aquí hay algunos hechos más relacionados con el concepto de un círculo inscrito:

No todos los cuadriláteros se pueden inscribir en un círculo.

En cualquier cuadrilátero circunscrito, las sumas de los lados opuestos son iguales.

Si las sumas de los lados opuestos de un cuadrilátero convexo son iguales, entonces se puede inscribir un círculo en él.

Definición 3

Si todos los vértices del polígono se encuentran en el círculo, entonces el círculo se llama circunscrito cerca del polígono (Fig. 3).

Definición 4

Un polígono que satisface la condición de la Definición 2 se dice inscrito en un círculo.

Figura 3. Círculo circunscrito

Teorema 2 (sobre un círculo circunscrito a un triángulo)

Teorema 2

Cerca de cualquier triángulo es posible circunscribir un círculo, y además, solo uno.

Prueba.

Considere el triángulo $ABC$. Dibujemos las perpendiculares medias en él, intersectando en el punto $O$, y conéctelo con los vértices del triángulo (Fig. 4)

Figura 4. Ilustración del Teorema 2

Existencia: Construyamos una circunferencia de centro $O$ y radio $OC$. El punto $O$ es equidistante de los vértices del triángulo, es decir, $OA=OB=OC$. Por lo tanto, el círculo construido pasa por todos los vértices del triángulo dado, lo que significa que se describe alrededor de este triángulo.

Unicidad: Supongamos que alrededor del triángulo $ABC$ se puede circunscribir una circunferencia más con centro en el punto $O"$. Su centro equidista de los vértices del triángulo, y por tanto coincide con el punto $O$ y tiene un radio igual a la longitud de $OC.$ Pero entonces este círculo coincidirá con el primero.

El teorema ha sido probado.

Corolario 1: El centro de la circunferencia circunscrita al triángulo coincide con el punto de intersección de sus mediatrices.

Aquí hay algunos hechos más relacionados con el concepto del círculo circunscrito:

No siempre es posible describir un círculo alrededor de un cuadrilátero.

En cualquier cuadrilátero inscrito, la suma de los ángulos opuestos es igual a $(180)^0$.

Si la suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero es $(180)^0$, entonces se puede circunscribir un círculo a su alrededor.

Un ejemplo de un problema sobre los conceptos de círculo inscrito y circunscrito

Ejemplo 1

En un triángulo isósceles, la base mide 8 cm, el lado mide 5 cm Halla el radio de la circunferencia inscrita.

Solución.

Considere el triángulo $ABC$. Por el Corolario 1, sabemos que el centro de la circunferencia inscrita se encuentra en la intersección de las bisectrices. Dibujemos las bisectrices $AK$ y $BM$, que se cortan en el punto $O$. Dibujar una perpendicular $OH$ desde el punto $O$ al lado $BC$. Hagamos un dibujo:

Figura 5

Como el triángulo es isósceles, $BM$ es tanto la mediana como la altura. Por el teorema de Pitágoras $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=3$. $OM=OH=r$ -- el radio deseado del círculo inscrito. Como $MC$ y $CH$ son segmentos de tangentes que se cortan, por el teorema de las tangentes que se cortan, tenemos $CH=MC=4\ cm$. Por lo tanto, $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Del triángulo $OHB$, por el teorema de Pitágoras, obtenemos:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Responder:$\frac(4)(3)$.

En esta lección, recordaremos los fundamentos en los que se basa la teoría de los círculos inscritos y circunscritos, recordaremos los signos de los cuadriláteros inscritos y circunscritos. Además, derivamos fórmulas para encontrar los radios de los círculos inscritos y circunscritos en varios casos.

Tema: Círculo

Lección: Círculos inscritos y circunscritos

En primer lugar, estamos hablando de círculos inscritos y circunscritos en relación con un triángulo. Estamos preparados para este tema, ya que hemos estudiado las propiedades de las bisectrices y bisectrices perpendiculares de un triángulo.

Un círculo se puede inscribir en cualquier triángulo (ver Fig. 1).

Arroz. una

Prueba:

Sabemos que todas las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto, digamos en el punto O. Dibujemos las bisectrices AO, BO, CO. Su punto de intersección O es equidistante de los lados del triángulo. Es equidistante de los lados del ángulo - AC y AB, ya que pertenece a la bisectriz de este ángulo. De manera similar, es equidistante de los lados de las esquinas y, por lo tanto, de los tres lados del triángulo.

Dejemos caer las perpendiculares desde el punto O a los lados del triángulo - OM al lado AC, OL - al BC, OK - al AB. Estas perpendiculares serán las distancias del punto O a los lados del triángulo, y son iguales:

.

Denotemos la distancia desde el punto O hasta los lados del triángulo como r y consideremos un círculo con centro en el punto O y radio r.

El círculo toca a la recta AB, porque tiene un punto K común con él, y el radio OK dibujado a este punto es perpendicular a la línea AB. De manera similar, el círculo toca las líneas AC y BC. Por lo tanto, el círculo toca todos esos lados del triángulo, lo que significa que está inscrito en el triángulo.

Entonces, las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que es el centro del círculo inscrito.

Considere otro teorema, se refiere al punto de intersección de las mediatrices de un triángulo. Sabemos que se cortan en un punto, y este punto coincide con el centro del círculo circunscrito al triángulo.

Un círculo puede circunscribirse a cualquier triángulo.

Entonces, se da un triángulo. Dibujemos la media perpendicular p 1 al lado del triángulo BC, p 2 - al lado AB, p 3 - al lado AC (ver Fig. 2).

Según el teorema de las propiedades de las bisectrices perpendiculares, un punto perteneciente a la bisectriz perpendicular de un segmento equidista de los extremos del segmento. De aquí, porque el punto Q pertenece a la mediatriz del segmento AC. Así mismo y . Así, el punto Q es equidistante de los vértices del triángulo. Por lo tanto QA, QB, QC - radios

Arroz. 2

un círculo circunscrito a un triángulo. Denotemos el radio como R. El punto O de la intersección de las perpendiculares mediales es el centro del círculo circunscrito.

Considere un círculo inscrito en cierto cuadrilátero y las propiedades de este cuadrilátero (ver Fig. 3).

Recuerda las propiedades de un punto que se encuentra en la bisectriz de un ángulo.

Se da un ángulo, su bisectriz es AL, el punto M se encuentra en la bisectriz.

Si el punto M se encuentra en la bisectriz del ángulo, entonces es equidistante de los lados del ángulo, es decir, las distancias del punto M a AC y al BC de los lados del ángulo son iguales.

Arroz. 3

La distancia de un punto a una recta es la longitud de la perpendicular. Dibujar desde el punto M las perpendiculares MK al lado AB y MP al lado AC.

Considere los triángulos y . Estos son triángulos rectángulos, y son iguales, porque. tienen una hipotenusa común AM, y los ángulos y son iguales, ya que AL es la bisectriz del ángulo . Así, los triángulos rectángulos son iguales en hipotenusa y ángulo agudo, de ahí se sigue que , que se requería probar. Así, un punto en la bisectriz de un ángulo es equidistante de los lados de ese ángulo.

Además, piernas. Por lo tanto, los segmentos de tangentes dibujados al círculo desde un punto son iguales.

Entonces, volvamos al cuadrilátero. El primer paso es dibujar una bisectriz en él.

Todas las bisectrices de un cuadrilátero se cortan en un punto: el punto O, el centro del círculo inscrito.

Desde el punto O bajamos las perpendiculares a los lados del cuadrángulo a los puntos K, L, M, N y determinamos los puntos de contacto (ver Fig. 3).

Las tangentes trazadas a la circunferencia desde un punto son iguales entre sí, por lo que de cada vértice salen un par de tangentes iguales: , , , .

Arroz. 3

Si un círculo se puede inscribir en un cuadrilátero, entonces las sumas de sus lados opuestos son iguales. Esto es fácil de probar:

Expandamos los paréntesis:

Así, hemos probado un teorema simple pero importante.

Si un círculo se puede inscribir en un cuadrilátero, entonces las sumas de sus lados opuestos son iguales.

El teorema inverso es verdadero.

Si las sumas de los lados opuestos en un cuadrilátero son iguales, entonces se puede inscribir un círculo en él.

Considere un círculo circunscrito alrededor de un cuadrilátero.

Dada una circunferencia de centro O y un cuadrilátero arbitrario ABCD. Considera las propiedades de este cuadrilátero. Las cuatro bisectrices perpendiculares de un cuadrilátero dado se cortan en un punto: este punto es el centro del círculo circunscrito.

Sería tedioso probar que las cuatro bisectrices perpendiculares se intersecan en un punto. Hay otra señal. Considere el ángulo ےА, este es el ángulo inscrito del círculo, descansa sobre el arco y se mide por la mitad de la medida en grados de este arco (ver Fig. 4). Denote el ángulo ےА para , luego el arco . Del mismo modo, denotamos el ángulo opuesto ےС para , está inscrito en un círculo y descansa sobre un arco. De ahí el arco.

Arroz. 4

Arcos y forman un círculo completo. De aquí:

,

Dividimos la expresión resultante por dos, obtenemos:

Entonces, hemos probado el teorema directo.

Teorema

Si una circunferencia está circunscrita a un cuadrilátero, la suma de sus ángulos opuestos es .

Este es un signo necesario y suficiente, es decir, el teorema inverso es verdadero.

Si la suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero es , entonces se puede circunscribir un círculo alrededor de este cuadrilátero.

Con base en estos teoremas, notamos que un círculo no se puede describir alrededor de un paralelogramo, ya que sus ángulos opuestos son iguales y su suma no es igual (ver Fig. 5).

Arroz. cinco

Se podría describir un círculo cerca de un paralelogramo si sus ángulos opuestos fueran iguales a 90°, es decir, si fuera un rectángulo, por lo que se podría describir un círculo cerca de un rectángulo (ver Fig. 6).

Arroz. 6

También es imposible circunscribir un círculo alrededor de un rombo, pero se puede inscribir, ya que todos los lados del rombo son iguales y, por lo tanto, las sumas de los lados opuestos del rombo son iguales.

Además, en un rombo, cada diagonal es una bisectriz, el punto de intersección de las bisectrices es equidistante de todos los lados del rombo (ver Fig. 7).

Arroz. 7

Así, hemos probado que en cualquier triángulo se puede inscribir una circunferencia, y el centro de esta circunferencia coincide con el punto de intersección de las bisectrices del triángulo. También demostramos que un círculo puede estar circunscrito a cualquier triángulo, y su centro coincidirá con el punto de intersección de las mediatrices bisectrices. Además, hemos visto que es posible inscribir una circunferencia en algunos cuadriláteros, y para ello es necesario que las sumas de los lados opuestos del cuadrilátero sean iguales. También hemos demostrado que un círculo puede circunscribirse alrededor de algunos cuadriláteros, y una condición necesaria y suficiente para esto es la igualdad de la suma de los ángulos opuestos.

Bibliografía

1. Aleksandrov A. D. etc. Geometría, grado 8. - M.: Educación, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometría, 8vo grado. - M.: Educación, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometría, 8vo grado. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Uztest.ru ().
2. Mschool.kubsu.ru ().
3. Ege-study.ru ().

Tarea

Definición 2

Se dice que un polígono que satisface la condición de la Definición 1 está inscrito en un círculo.

Figura 1. Círculo inscrito

Teorema 1 (sobre un círculo inscrito en un triángulo)

Teorema 1

En cualquier triángulo, puede inscribir un círculo y, además, solo uno.

Prueba.

Considere el triángulo $ABC$. Dibuje bisectrices en él que se intersequen en el punto $O$ y dibuje perpendiculares desde allí a los lados del triángulo (Fig. 2)

Figura 2. Ilustración del Teorema 1

Existencia: Dibuja un círculo con centro $O$ y radio $OK.\ $Dado que el punto $O$ se encuentra en tres bisectrices, es equidistante de los lados del triángulo $ABC$. Es decir, $OM=OK=OL$. En consecuencia, el círculo construido también pasa por los puntos $M\ y\ L$. Como $OM,OK\ y\ OL$ son perpendiculares a los lados del triángulo, entonces por el teorema de la tangente a la circunferencia, la circunferencia construida toca los tres lados del triángulo. Luego, en virtud de la arbitrariedad de un triángulo, un círculo puede inscribirse en cualquier triángulo.

Unicidad: Supongamos que el triángulo $ABC$ se puede inscribir con otra circunferencia centrada en el punto $O"$. Su centro equidista de los lados del triángulo, y por tanto coincide con el punto $O$ y tiene un radio igual a la longitud de $OK$ Pero entonces este círculo coincidirá con el primero.

El teorema ha sido probado.

Corolario 1: El centro de una circunferencia inscrita en un triángulo se encuentra en el punto de intersección de sus bisectrices.

Aquí hay algunos hechos más relacionados con el concepto de un círculo inscrito:

No todos los cuadriláteros se pueden inscribir en un círculo.

En cualquier cuadrilátero circunscrito, las sumas de los lados opuestos son iguales.

Si las sumas de los lados opuestos de un cuadrilátero convexo son iguales, entonces se puede inscribir un círculo en él.

Definición 3

Si todos los vértices del polígono se encuentran en el círculo, entonces el círculo se llama circunscrito cerca del polígono (Fig. 3).

Definición 4

Un polígono que satisface la condición de la Definición 2 se dice inscrito en un círculo.

Figura 3. Círculo circunscrito

Teorema 2 (sobre un círculo circunscrito a un triángulo)

Teorema 2

Cerca de cualquier triángulo es posible circunscribir un círculo, y además, solo uno.

Prueba.

Considere el triángulo $ABC$. Dibujemos las perpendiculares medias en él, intersectando en el punto $O$, y conéctelo con los vértices del triángulo (Fig. 4)

Figura 4. Ilustración del Teorema 2

Existencia: Construyamos una circunferencia de centro $O$ y radio $OC$. El punto $O$ es equidistante de los vértices del triángulo, es decir, $OA=OB=OC$. Por lo tanto, el círculo construido pasa por todos los vértices del triángulo dado, lo que significa que se describe alrededor de este triángulo.

Unicidad: Supongamos que alrededor del triángulo $ABC$ se puede circunscribir una circunferencia más con centro en el punto $O"$. Su centro equidista de los vértices del triángulo, y por tanto coincide con el punto $O$ y tiene un radio igual a la longitud de $OC.$ Pero entonces este círculo coincidirá con el primero.

El teorema ha sido probado.

Corolario 1: El centro de la circunferencia circunscrita al triángulo coincide con el punto de intersección de sus mediatrices.

Aquí hay algunos hechos más relacionados con el concepto del círculo circunscrito:

No siempre es posible describir un círculo alrededor de un cuadrilátero.

En cualquier cuadrilátero inscrito, la suma de los ángulos opuestos es igual a $(180)^0$.

Si la suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero es $(180)^0$, entonces se puede circunscribir un círculo a su alrededor.

Un ejemplo de un problema sobre los conceptos de círculo inscrito y circunscrito

Ejemplo 1

En un triángulo isósceles, la base mide 8 cm, el lado mide 5 cm Halla el radio de la circunferencia inscrita.

Solución.

Considere el triángulo $ABC$. Por el Corolario 1, sabemos que el centro de la circunferencia inscrita se encuentra en la intersección de las bisectrices. Dibujemos las bisectrices $AK$ y $BM$, que se cortan en el punto $O$. Dibujar una perpendicular $OH$ desde el punto $O$ al lado $BC$. Hagamos un dibujo:

Figura 5

Como el triángulo es isósceles, $BM$ es tanto la mediana como la altura. Por el teorema de Pitágoras $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=3$. $OM=OH=r$ -- el radio deseado del círculo inscrito. Como $MC$ y $CH$ son segmentos de tangentes que se cortan, por el teorema de las tangentes que se cortan, tenemos $CH=MC=4\ cm$. Por lo tanto, $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Del triángulo $OHB$, por el teorema de Pitágoras, obtenemos:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Responder:$\frac(4)(3)$.

Y se aplica a todos los aspectos de la misma.

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  Propiedades del círculo inscrito:

  r = (- un + segundo + c) (un - segundo + c) (un + segundo - c) 4 (un + segundo + c) ; (\displaystyle r=(\sqrt (\frac ((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))(4(a+b+c))));) 1 r = 1 ha + 1 hb + 1 hc (\displaystyle (\frac (1)(r))=(\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b) ))+(\frac (1)(h_(c))))

  donde a , b , c (\displaystyle a,b,c)- lados de un triangulo h un , h segundo , h c (\displaystyle h_(a),h_(b),h_(c))- alturas dibujadas a los lados respectivos;

  r = S pags = (pags - a) (pags - b) (pags - c) pags (\displaystyle r=(\frac (S)(p))=(\sqrt (\frac ((pa)(pb) (pc) (p))))

  Donde S (\ estilo de visualización S) es el área del triángulo, y p (\ estilo de visualización p) es su semiperímetro.

  • Si A B (\ estilo de visualización AB)- la base de un triángulo isósceles, luego el círculo tangente a los lados del ángulo ∠ A C B (\ estilo de visualización \ ángulo ACB) en puntos A (\ estilo de visualización A) Y B (\ estilo de visualización B), pasa por el centro de la circunferencia inscrita del triángulo △ A B C (\ estilo de visualización \ triángulo ABC).
  • Teorema de Euler: R 2 - 2 R r = | oh yo | 2 (\displaystyle R^(2)-2Rr=|OI|^(2)), donde R (\ estilo de visualización R) es el radio del círculo circunscrito alrededor del triángulo, r (\ estilo de visualización r) es el radio de la circunferencia inscrita en él, O (\ estilo de visualización O)- el centro del círculo circunscrito, yo (\displaystyle yo)- el centro de la circunferencia inscrita.
  • Si una recta que pasa por el punto I paralela al lado AB corta a los lados BC y CA en los puntos A 1 y B 1 , entonces UN 1 segundo 1 = UN 1 segundo + UN segundo 1 (\displaystyle A_(1)B_(1)=A_(1)B+AB_(1)).
  • Si los puntos tangentes de un triángulo inscrito T (\ estilo de visualización T) conecta los círculos con segmentos, luego obtienes un triángulo T 1 con las propiedades:
    • Las bisectrices de T son perpendiculares medias de T 1
    • Sea T 2 un ortotriángulo T 1 . Entonces sus lados son paralelos a los lados del triángulo original T.
    • Sea T 3 el triángulo medio de T 1 . Entonces las bisectrices de T son las alturas de T 3 .
    • Sea T 4 un ortotriángulo de T 3 , entonces las bisectrices de T son las bisectrices de T 4 .
  • El radio de una circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo de catetos a, b e hipotenusa c es a + segundo − do 2 (\displaystyle (\frac (a+b-c)(2))).
  • La distancia desde el vértice C del triángulo hasta el punto donde la circunferencia inscrita toca el lado es re = una + segundo − do 2 = pag − do (\displaystyle d=(\frac (a+b-c)(2))=p-c).
  • La distancia del vértice C al centro de la circunferencia inscrita es l c = r pecado ⁡ (γ 2) (\displaystyle l_(c)=(\frac (r)(\sin((\frac (\gamma)(2)))))), donde r es el radio de la circunferencia inscrita y γ es el ángulo del vértice C.
  • La distancia desde el vértice C al centro del círculo inscrito también se puede encontrar usando las fórmulas l c = (p - c) 2 + r 2 (\displaystyle l_(c)=(\sqrt ((p-c)^(2)+r^(2)))) Y l c = un segundo - 4 R r (\displaystyle l_(c)=(\sqrt (ab-4Rr)))
  • El teorema del tridente o teorema del trébol: Si D- punto de intersección de la bisectriz del ángulo A con la circunferencia circunscrita a un triangulo A B C, I Y j- respectivamente, los centros de la inscrita y excircunferencia tangente al lado antes de Cristo, luego | D yo | = | DB | = | CC | = | DJ | (\displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|).
  • Lema de Verriere: dejar el círculo V (\ estilo de visualización V) preocupa a las partes A B (\ estilo de visualización AB), A C (\displaystyle AC) y arcos B C (\displaystyle BC) la circunferencia circunscrita al triangulo. Entonces los puntos tangentes de la circunferencia V (\ estilo de visualización V) con lados y centro triángulo círculo inscrito  A B C (\displaystyle ABC) acostarse en la misma línea.
  • teorema de feuerbach. El círculo nueve puntos toca los tres excírculos, así como también círculo inscrito. punto de contacto círculo Euler Y círculo inscrito conocido como el punto de Feuerbach.

  Relación de la circunferencia inscrita con la circunferencia circunscrita

  R R = 4 S 2 pags un segundo do = porque ⁡ α + porque ⁡ β + porque ⁡ γ - 1 ; (\displaystyle (\frac (r)(R))=(\frac (4S^(2))(pabc))=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;)