La función de la densidad de la variable aleatoria normalmente distribuida. Distribución normal y sus parámetros.

En muchos desafíos asociados con los valores aleatorios normalmente distribuidos, es necesario determinar la probabilidad de varianza aleatoria, subordinada a la ley normal con parámetros, al sitio desde. Para calcular esta probabilidad, usamos la fórmula general.

donde - el tamaño de la distribución del tamaño.

Encuentre la función de la distribución de una variable aleatoria distribuida de acuerdo con una ley normal con parámetros. El valor de densidad de distribución es:

Desde aquí encontramos la función de distribución.

. (6.3.3)

Haremos en la integral (6.3.3) al reemplazar la variable

y lo damos a la mente:

(6.3.4)

La integral (6.3.4) no se expresa a través de las funciones elementales, pero se puede calcular a través de una función especial que expresa una cierta integral de una expresión o (la llamada integral de probabilidad) para la cual se compila la tabla. Hay muchas variedades de tales funciones, por ejemplo:

;

etc. ¿Cuál de estas funciones utiliza, una cuestión de gusto? Elegiremos como tal función.

. (6.3.5)

No es difícil ver que esta función no es más que una función de distribución para una variable aleatoria distribuida normal con parámetros.

Estamos de acuerdo en llamar la función por la función de distribución normal. El apéndice (Tabla 1) muestra las tablas de valores de la tabla.

Exprese la función de distribución (6.3.3) de los valores con parámetros y a través de la función de distribución normal. Obviamente

Ahora encontramos la probabilidad de varianza aleatoria entrante al sitio desde antes. Según Fórmula (6.3.1)

Por lo tanto, expresamos la probabilidad de ingresar a una variable aleatoria distribuida de acuerdo con una ley normal con cualquier parámetro, a través de la función de distribución estándar correspondiente a la ley normal más simple con los parámetros 0.1. Tenga en cuenta que los argumentos de la función en la fórmula (6.3.7) tienen un significado muy simple: hay una distancia desde el extremo derecho del sitio al centro de dispersión, expresado en desviaciones medianas cuadráticas; - la misma distancia para el extremo izquierdo del sitio, y esta distancia se considera positiva si el final se encuentra a la derecha del centro de dispersión, y negativo, si está a la izquierda.

Al igual que cualquier función de distribución, la función tiene propiedades:

3. - Función de funcionamiento.

Además, desde la simetría de la distribución normal con los parámetros en relación con el inicio de la coordenada, sigue que

Usando esta propiedad, de hecho, sería posible limitar las tablas de la función solo con valores positivos del argumento, pero para evitar el exceso de operación (resta desde uno), en la Tabla 1 de la aplicación, los valores son Válido tanto para argumentos positivos como negativos.

En la práctica, la tarea de calcular la probabilidad de ingresar a una variable aleatoria normalmente distribuida al área a menudo es simétrica en relación con el centro de dispersión. Considere tal porción de longitud (Fig. 6.3.1). Calculamos a los Likelios que ingresamos a esta sección por fórmula (6.3.7):

Dada la propiedad (6.3.8) de la función y dando la parte izquierda de la Fórmula (6.3.9) Apariencia más compacta, obtenemos una fórmula para la probabilidad de una variable aleatoria, distribuida de acuerdo con la ley normal al área, simétrica En relación con el centro de dispersión:

. (6.3.10)

Deja la siguiente tarea. Postenciamos desde el centro de la dispersión de segmentos sucesivos de longitud (Fig. 6.3.2) y calculamos la probabilidad de varianza aleatoria entrante en cada uno de ellos. Dado que la curva de la ley normal es simétrica, es suficiente para posponer dichos segmentos solo de una manera.

Por fórmula (6.3.7) encontramos:

(6.3.11)

Como se puede ver en estos datos, las probabilidades de ingresar a cada uno de los siguientes segmentos (quinto, sexto, etc.) con una precisión de 0.001 son cero.

Alrededor de las probabilidades de ingresar a segmentos a 0.01 (hasta un 1%), obtendremos tres números que son fáciles de recordar:

0,34; 0,14; 0,02.

La suma de estos tres valores es 0.5. Esto significa que para una variable aleatoria distribuida normal, toda la dispersión (con una precisión de un porcentaje) se apila en el sitio.

Esto permite, conocer la desviación quadrática promedio y la expectativa matemática de una variable aleatoria, indica tentativamente el intervalo de sus valores prácticamente posibles. Este método para estimar el rango de posibles valores de varianza aleatoria se conoce en las estadísticas matemáticas llamadas "Regla de tres sigma". De las tres reglas de Sigma, también se sigue el método estimado para determinar la desviación quadrática promedio de una variable aleatoria: Tome la desviación máxima prácticamente posible del promedio y divídalo a tres. Por supuesto, esta recepción aproximada se puede recomendar solo si no hay otros métodos más precisos para determinar.

Ejemplo 1. Una variable aleatoria, distribuida de acuerdo con la ley normal, es un error de medición de una cierta distancia. En la medición, se permite un error sistemático hacia la sobreestimación por 1.2 (m); La desviación cuadrática promedio del error de medición es de 0.8 (m). Encuentre la probabilidad de que la desviación del valor medido de la VERDADERA no exceda el valor absoluto de 1.6 (m).

Decisión. Error de medición Existe un valor aleatorio subordinado a la ley normal con parámetros y. Es necesario encontrar la probabilidad de esta magnitud al sitio desde antes. Por fórmula (6.3.7) Tenemos:

Usando las tablas de la función (aplicación, Tabla 1), encontraremos:

; ,

Ejemplo 2. Encuentre la misma probabilidad que en el ejemplo anterior, pero siempre que no haya un error sistemático.

Decisión. En fórmula (6.3.10), creyendo, encontramos:

Ejemplo 3. Para un propósito que tiene un tipo de tira (autopista), cuya anchura es de 20 m, disparando en la dirección perpendicular a la autopista. El objetivo se realiza en la línea media de la autopista. La desviación cuadrática promedio en la dirección del disparo es igual a m. Existe un error sistemático en la dirección de la cocción: una semana 3 m. Encuentre la probabilidad de ingresar a la autopista en un solo disparo.

En la teoría de la probabilidad, se consideran un número suficientemente grande de diversas leyes de distribución. Para resolver problemas asociados con la construcción de tarjetas de control, solo algunos de ellos son de interés. El más importante de ellos es derecho de distribución normalque se utiliza para construir tarjetas de control utilizadas en signo cuantitativo. Cuando estamos tratando con una variable aleatoria continua. La ley de distribución normal ocupa una posición especial entre otras leyes. Esto se debe al hecho de que, en primer lugar, la mayoría de las veces se encuentra en la práctica, y, en segundo lugar, es una ley marginal a la que se están acercando otras leyes de distribución con condiciones típicas muy comunes. En cuanto a la segunda circunstancia, en la teoría de las probabilidades, se demostró que la suma del número suficientemente grande de variables aleatorias independientes (o débilmente dependientes) subordinadas a la cantidad de leyes de la distribución (sujeto a algunas restricciones muy no rígidas. ), aproximadamente obedece la ley normal, y esto es cuanto más preciso, mayor será el número de variables aleatorias. La mayoría de las personas encontradas en la práctica de las variables aleatorias, como los errores de medición, pueden presentarse como la suma de un número muy mayor de términos relativamente pequeños: errores elementales, cada uno de los cuales es causado por la acción de una sola razón, independientemente de el resto. La ley normal se manifiesta en los casos en que una variable aleatoria H. Es el resultado de una gran cantidad de factores diferentes. Cada factor por separado por magnitud H. Influye ligeramente, y no puede especificar cuál es uno en mayor grado que el resto.

Distribución normal(distribución de Gauss Laplace) - Distribución de probabilidades de una variable aleatoria continua H. de modo que la densidad de la distribución de probabilidad cuando - ¥<х< + ¥ принимает действительное значение:

EJR (3)

Es decir, la distribución normal se caracteriza por dos parámetros M y S, donde M es una expectativa matemática; S- Desviación estándar de la distribución normal.

S. 2 - Esta es la dispersión de la distribución normal.

La expectativa matemática M caracteriza la posición del centro de distribución, y la desviación estándar (SBE) es una característica de dispersión (Fig. 3).

f (x) f (x)

Figura 3 - Funciones de la densidad de la distribución normal con:

a) diferentes expectativas matemáticas m; b) Diferentes esquís.

Por lo tanto, el valor μ determinado por la posición de la curva de distribución en el eje de abscisa. Dimensión μ - Lo mismo que la dimensionalidad de la variable aleatoria. X.. Con el crecimiento de la expectativa matemática, la multitud de la función cambia paralela a la derecha. Con dispersión decreciente 2 La densidad se concentra cada vez más alrededor de M, mientras que la función de distribución se vuelve más fresca.

El valor de σ define la forma de la curva de distribución. Dado que el área bajo la curva de distribución siempre debe permanecer igual a uno, entonces con un aumento en σ, la curva de distribución se vuelve más plana. En la Fig. 3.1 muestra tres curvas en diferentes σ: σ1 \u003d 0.5; σ2 \u003d 1.0; Σ3 \u003d 2.0.

Figura 3.1 - Funciones de la densidad de la distribución normal condiferentes esquís.

La función de distribución (función integral) tiene el formulario (Fig. 4):

(4)

Figura 4 - Función integral (a) y diferencial (B) de la distribución normal

Es especialmente importante la transformación lineal de una variable aleatoria normalmente distribuida. H.Después de lo cual se obtiene una variable aleatoria Z. Con la expectativa matemática 0 y la dispersión 1. Tal transformación se llama racionamiento:

Puede llevarse a cabo para cada variable aleatoria. El racionamiento permite que todas las variantes posibles de la distribución normal se reduzcan a una caja: m \u003d 0, s \u003d 1.

DISTRIBUCIÓN NORMAL CON M \u003d 0, S \u003d 1 Llamado distribución normal normal (estandarizada).

Distribución normal estándar (La distribución estándar de Laplas-Gauss o la distribución normal normalizada) es la distribución de la probabilidad de la variable aleatoria normal estandarizada Z., cuya densidad de distribución es:

cuando - ¥<z.< + ¥

Valores de la función F (z) Determinado por la fórmula:

(7)

Valores de la función F (z) y densidad f (z) La distribución normal normalizada se calcula y se reduce a las tablas (tabuladas). La tabla se compone solo para valores positivos. z.entonces:

F (–z) \u003d 1–F (z) (8)

Usando estas tablas, puede definir no solo los valores de la función y la densidad de la distribución normal normalizada para el especificado z., pero también los valores de la función de la distribución normal general, como:

; (9)

. 10)

En muchos desafíos asociados con valores aleatorios normalmente distribuidos, es necesario determinar la probabilidad de variable aleatoria H., subordinando a la ley normal con los parámetros M y S, a un área determinada. Dicha sección puede ser, por ejemplo, el campo de tolerancia al parámetro desde el valor superior U. Nizhny L..

Probabilidad de ingresar al intervalo de h. 1 ser h. 2 puede ser determinado por la fórmula:

Por lo tanto, la probabilidad de varianza aleatoria (valor de parámetros) H. En el campo de tolerancia está determinado por la fórmula.

Puedes encontrar la probabilidad de que una variable aleatoria H. Resulta estar dentro de μ K.s. . Los valores obtenidos para k. \u003d 1.2 y 3 son los siguientes (también mira la Fig. 5):

Por lo tanto, si aparece algún valor fuera de la parte de tres piezas, en la que hay 99.73% de todos los valores posibles, y la probabilidad de tal evento es muy pequeña (1: 270), se debe considerar que el valor en consideración se convirtió en Para ser demasiado pequeño o demasiado grande. No debido a la variación accidental, sino debido a la interferencia esencial en el propio proceso, capaz de causar cambios en la naturaleza de la distribución.

La trama que se encuentra dentro de los bordes de tres lados también se llama Área de tolerancia estadística Máquina o proceso apropiada.

Ejemplo de archivo

Considere la distribución normal. Usando una función MS Excel NORM.RASP () Construimos gráficos de la función de distribución y la densidad de probabilidad. Permítanos generar una matriz de números aleatorios distribuidos de acuerdo con una ley normal, evaluaremos los parámetros de distribución, media y desviación estándar. .

Distribución normal (También se llama Distribución de Gauss) es lo más importante que en la teoría, por lo que en las aplicaciones del sistema de control de la aplicación. La importancia del significado Distribución normal (Esp. Normal Distribución) En muchas áreas de la ciencia sigue de la teoría de la probabilidad.

Definición : Valor aleatorio X. distribuido por Ley normal Si tiene:

Distribución normal Depende de dos parámetros: μ (MJ) - es, y σ ( sigma) - Es (desviación estándar). El parámetro μ determina la posición del centro. densidad de probabilidad Distribución normal , y σ - la dispersión en relación con el centro (medio).

Nota : En el efecto de los parámetros μ y σ en el formulario de distribución se establece en el artículo sobre, y en Ejemplo de archivo en el efecto de la hoja de los parámetros. Puede vapilo para cambiar la forma de la curva.

Distribución normal en MS Excel

En MS Excel, a partir de 2010, por Distribución normal Hay una norma de normas. ARP (), nombre de inglés - Norm.dist (), que le permite calcular densidad de probabilidad (vea la fórmula anterior) y Función de distribución integral (La probabilidad de que el valor aleatorio X, distribuido por Ley normal Tomará un valor menor o igual a x). Los cálculos en este último caso se realizan de acuerdo con la siguiente fórmula:

La distribución anterior tiene la designación. NORTE. (μ; σ). También a menudo usan la designación a través de NORTE. (μ; σ 2).

Nota : A MS Excel 2010 en Excel solo había una función NORMSP (), que también le permite calcular la función de distribución y la densidad de probabilidad. Normrasp () se fue en MS Excel 2010 para la compatibilidad.

Distribución normal estándar

Distribución normal estándar llamada distribución normal C μ \u003d 0 y σ \u003d 1. La distribución anterior tiene la designación. NORTE. (0;1).

Nota : En la literatura para una variable aleatoria distribuida por Estándar ley normal La designación especial Z está fija.

Alguien distribución normal se puede convertir en estándar a través de un reemplazo variable Z. =( X. -μ)/σ . Este proceso de conversión se llama Estandarización .

Nota : MS Excel tiene una función de normalización () () que realiza la conversión anterior. Aunque en MS Excel, esta transformación se llama por alguna razón. Normalización . Fórmulas \u003d (X-μ) / σ y \u003d Normalización (x; μ; σ) Devuelve el mismo resultado.

En MS Excel 2010 para Hay una función especial de las normas. STR.SP () y su versión desactualizada de Normstrap () realizando cálculos similares.

Demostraremos cómo se implementa el proceso de estandarización en MS Excel. Distribución normal NORTE. (1,5; 2).

Para hacer esto, calculamos la probabilidad de que una variable aleatoria distribuida por Ley normal N (1.5; 2) , menor o igual a 2.5. La fórmula se parece a esto: \u003d Normas. Rasp (2.5; 1.5; 2; verdad) \u003d 0.691462. Al reemplazar la variable Z. =(2,5-1,5)/2=0,5 , Escribe la fórmula para calcular DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR: \u003d Normat.st.rasp (0.5; verdad) =0,691462.

Naturalmente, ambas fórmulas dan los mismos resultados (ver Ejemplo de archivo Ejemplo de hoja).

tenga en cuenta que Estandarización Sólo c. (argumento integral igual a la verdad), y no a densidad de probabilidad .

Nota : En la literatura para una función que calcula la probabilidad de una variable aleatoria distribuida por Estándar ley normal Designación especial F (z). En MS Excel, esta característica se calcula por la fórmula. \u003d Norm.st.sp (z; verdad) . Los cálculos son hechos por la fórmula.

Debido a la paridad de la función. Distribuciones F (x), a saber, F (x) \u003d F (s), función Distribución normal estándar Tiene la propiedad F (-x) \u003d 1-F (x).

Funciones inversas

Función Norms.st.sp (x; verdad) Calcula la probabilidad P que el valor aleatorio X tomará un valor menor o igual a x. Pero a menudo es necesario realizar un cálculo inverso: conocer la probabilidad P, se requiere calcular el valor X. El valor calculado de X se llama Estándar Distribución normal .

En MS Excel para calcular Cuantil Utilizando la función de norms.stro.ob () y las normas.

Funciones gráficos

El archivo de ejemplo contiene Gráficos de densidad de distribución probabilidad I. Función de distribución integral .

Como usted sabe, aproximadamente el 68% de los valores seleccionados de los agregados que tienen distribución normal están dentro de 1 desviación estándar (σ) de μ (expectativa media o matemática); Alrededor del 95%, dentro de 2 σ, y dentro de 3 σ ya hay el 99% de los valores. Asegúrate de eso Distribución normal estándar Puedes escribir una fórmula:

= Normativo.sprash (1; verdad) -norm.st.rasp (-1; verdad)

que devolverá un valor de 68.2689%: este es exactamente el porcentaje de valores dentro de +/- 1 de la desviación estándar de Medio (cm. Gráfico gráfico en el archivo de ejemplo).

Debido a la paridad de la función. Densidad normal estándar Distribución: F. ( X.)= F. (s) función Distribución normal estándar Tiene la propiedad F (-x) \u003d 1-F (x). Por lo tanto, la fórmula anterior se puede simplificar:

= 2 * NORM.ST.STRAP (1; verdad) -1

Para arbitrario Funciones de distribución normal. N (μ; σ) Los cálculos similares deben ser realizados por la fórmula:

2 * NORMS.RSP (μ + 1 * σ; μ; σ; verdad) -1

Los cálculos anteriores de las probabilidades son necesarios para.

Nota : Para facilitar la escritura, las fórmulas en el archivo de ejemplo se crean para los parámetros de distribución: μ y σ.

Generación de números aleatorios

Permítanos generar 3 matriz de 100 números con diferentes μ y σ. Para hacer esto en la ventana Generacion números al azar Establezca los siguientes valores para cada par de parámetros:

Nota : Si configura la opción Dispersión aleatoria ( Semilla aleatoria) Puede elegir un conjunto aleatorio específico de números generados. Por ejemplo, al configurar esta opción a 25, puede generar los mismos conjuntos de números aleatorios en diferentes computadoras (a menos que, por supuesto, otros parámetros de distribución coincidan). El valor de la opción puede tomar valores completos de 1 a 32 767. Nombre de las opciones Dispersión aleatoria puede confundir. Sería mejor traducirlo como Conjunto de número con números aleatorios .

Como resultado, tendremos 3 columnas de números, sobre la base de las cuales puede, evaluar los parámetros de la distribución, desde la cual se realizó la muestra: μ y σ . La estimación para μ se puede hacer utilizando la función del SRNAVOV (), y para σ, utilizando la función de clon estándar () estándar, vea.

Nota : Para generar una matriz de números distribuidos por Ley normal , puedes usar la fórmula \u003d Normas. Prof (adhesivo (); μ; σ) . La función adhesiva () genera de 0 a 1, que corresponde al rango de cambio de probabilidad (ver Ejemplo de archivo Generación de hojas).

Tareas

Tarea 1. . La compañía fabrica hilos de nylon con una resistencia promedio de 41 MPa y una desviación estándar de 2 MPa. El consumidor quiere adquirir hilos con durabilidad de al menos 36 MPa. Calcule la probabilidad de que los autobuses hechos por la Compañía para el consumidor cumplirán con los requisitos o los excederán. Solución1 : = 1-Normas. Colecciones (36; 41; 2; verdad)

Tarea 2. . La empresa fabrica tuberías, cuyo diámetro exterior promedio es de 20,20 mm, y la desviación estándar es de 0.25 mm. De acuerdo con las condiciones técnicas, las tuberías se reconocen como adecuadas si el diámetro está en el rango de 20.00 +/- 0.40 mm. ¿Qué proporción de tubos manufacturados hace eso? Solución2. : = Normn.rasp (20.00 + 0.40; 20.20; 0.25; Verdad) - Normes.RSP (20.00-0.40; 20.20; 0.25) La figura a continuación, se resalta el área de los valores de diámetro, que satisface las especificaciones de la especificación.

La solución se da en Ejemplo de archivo Tareas de menor .

Tarea3. . La empresa fabrica tuberías, cuyo diámetro exterior promedio es de 20,20 mm, y la desviación estándar es de 0.25 mm. El diámetro exterior no debe exceder un cierto valor (se supone que el límite inferior no es importante). ¿Qué borde superior en las especificaciones técnicas debe instalarse para que el 97,5% de todos los productos manufacturados lo coinciden? Solución3. : = Norma. Producir (0.975; 20.20; 0.25) \u003d 20,6899 o \u003d NORM.ST.OB (0,975) * 0.25 + 20,2 (Hecho "Designación", ver arriba)

Tarea 4. . Encontrar parámetros Distribución normal Por valores de 2 (o). Supongamos que se sabe que un valor aleatorio tiene una distribución normal, pero no se conocen sus parámetros, pero solo 2º percentil (por ejemplo, 0.5- percentil . Mediana y 0,95 percentil). Porque Conocido, entonces sabemos, es decir, μ. Para encontrar que necesitas usar. La solución se da en Ejemplo de archivo Tareas de menor .

Nota : Hasta MS Excel 2010 en Excel había normas () y Normster () (), que son equivalentes a las normas. Comunicaciones () y normas. Normobra () y Normsman () se dejan en MS Excel 2010 y, arriba solo para la compatibilidad.

Combinaciones lineales de variables aleatorias normalmente distribuidas.

Se sabe que una combinación lineal de variables aleatorias normalmente distribuidas. X. ( I.) con parámetros μ. ( I.) y σ. ( I.) También se distribuye normalmente. Por ejemplo, si el valor aleatorio Y \u003d X (1) + X (2), entonces y tendrá una distribución con parámetros μ (1) + μ (2) y Raíz (σ (1) ^ 2 + σ (2) ^ 2). Asegúrese de que MS Excel.

Definición. Normalllamada la distribución de las probabilidades de una variable aleatoria continua, que se describe por la densidad de probabilidad

La ley de distribución normal también se llama ley gaussa.

La ley de distribución normal ocupa un lugar central en la teoría de la probabilidad. Esto se debe al hecho de que esta ley se manifiesta en todos los casos en que un valor aleatorio es el resultado de una gran cantidad de factores diferentes. Todas las demás leyes de distribución se están acercando a la ley normal.

Se puede demostrar fácilmente que los parámetros y la densidad de distribución son respectivamente la expectativa matemática y la desviación cuadrática promedio de la variable aleatoria X.

Encuentra la función de distribución. F (x).

Se llama un gráfico de la densidad de la distribución normal. curva normalo curva gaussa.

La curva normal tiene las siguientes propiedades:

1) La función se determina en todo el eje numérico.

2) en absoluto h. La función de distribución solo toma valores positivos.

3) El eje OH es la asintina horizontal del gráfico de densidad de probabilidad, porque Con un aumento ilimitado en el valor absoluto del argumento. h.El valor de la función se esfuerza por cero.

4) Encontramos la función extremo.

Porque por y '\u003e 0 por x.< m y '< 0 por x\u003e M. Luego en el punto x \u003d T. La función tiene un máximo igual.

5) La función es simétrica al respecto. x \u003d A.porque diferencia

(x - A.) Incluido en la función de densidad de distribución en el cuadrado.

6) Para encontrar los puntos de inflexión del gráfico, encontramos la segunda derivada de la función de densidad.

Para x \u003d M. + S i. x \u003d M. - s El segundo derivado es cero, y al cambiar estos puntos cambia el letrero, es decir, En estos puntos, la función tiene una inflexión.

En estos puntos, el valor de la función es igual.

Construimos un gráfico de la función de densidad de distribución.

Los gráficos están construidos. t. \u003d 0 y tres valores posibles de la desviación cuadrática promedio S \u003d 1, S \u003d 2 y S \u003d 7. Como se puede ver, con un aumento en el valor de la desviación cuadrática promedio, el gráfico se vuelve más suave y el El valor máximo disminuye.

Si un pero \u003e 0, entonces el horario cambiará en la dirección positiva si pero < 0 – в отрицательном.

Para pero \u003d 0 y S \u003d 1 curva llamada normalizado. La ecuación de la curva normalizada:

Para la brevedad, se dice que los asociados de la Ley N (M, S), es decir, X ~ n (m, s). Los parámetros M y S coinciden con las características básicas de la distribución: m \u003d m x, s \u003d s x \u003d. Si sv x ~ n (0, 1), entonces se llama magnitud normal estandarizada. P. Magnitud normal estandarizada llamada función Laplas e indicado como F (x). Con él, es posible calcular las probabilidades del intervalo para la distribución normal N (M, S):

P (x 1 £ x< x 2) = Ф - Ф .

Al resolver tareas a una distribución normal, a menudo es necesario usar los valores de la tabla de la función Laplace. Dado que la función Laplace es válida F (s) = 1 - F (x)Entonces es suficiente tener valores de tabla de la función. F (x) Sólo para valores positivos del argumento.

Para la probabilidad de ingresar a un relativo simétrico a la expectativa matemática, el intervalo de fórmula: P (| x - m x |< e) = 2×F (e / s) - 1.

Los momentos centrales de la distribución normal satisfacen la relación recurrente: M N +2 \u003d (N + 1) S 2 M N, N \u003d 1, 2, .... Se deduce que todos los momentos centrales del orden impar son cero (desde m 1 \u003d 0).

Encuentre la probabilidad de ingresar a una variable aleatoria distribuida de acuerdo con una ley normal en un intervalo dado.

Denotar

Porque La integral no se expresa a través de las funciones elementales, la función se ingresa en consideración.

,

lo que es llamado función Laplaso probabilidades integrales.

Los valores de esta función a diferentes valores. h. Considerado y se dan en tablas especiales.

La gráfica de la función Laplace se muestra a continuación.

Laplace presenta las siguientes propiedades:

2) F (- h.) \u003d - f ( h.);

La función de Laplace también se llama función de error y denota ERF. x..

Sigue usado normalizadofunción Laplace, que está asociada con la función Laplace por la proporción:

La gráfica de la función normada de Laplas se muestra a continuación.

Al considerar la ley de distribución normal, se asigna un evento privado importante, conocido como regla tres Sigm.

Escribimos la probabilidad de que la desviación de una variable aleatoria normalmente distribuida de la expectativa matemática es menor que un valor D dado:

Si toma d \u003d 3S, obtenemos usando los valores de la función de Laplace usando las tablas:

Esos. La probabilidad de que un valor aleatorio se desvíe de su expectativa matemática por un valor mayor que la desviación cuadrática promedio triplicada es casi igual a cero.

Esta regla se llama regla de tres Sigm.

No practicar, se cree que, si para cualquier variable aleatoria, se realiza la regla de tres sigma, entonces este valor aleatorio tiene una distribución normal.

Ejemplo. El tren consta de 100 vagones. Masa de cada automóvil: una variable aleatoria, distribuida de acuerdo con una ley normal con expectativa matemática pero \u003d 65 toneladas y una desviación cuadrática promedio S \u003d 0.9 t. La locomotora puede llevar una masa de no más de 6600 toneladas, de lo contrario es necesario entrenar la segunda locomotora. Encuentre la probabilidad de que no se requiera la segunda locomotora.

No se requerirá la segunda locomotora si la desviación de la masa de la composición de la esperada (100 × 65 \u003d 6500) no exceda de 6600 - 6500 \u003d 100 toneladas.

Porque La masa de cada carroña tiene una distribución normal, entonces la masa de toda la composición también se distribuirá normalmente.

Obtenemos:

Ejemplo. Normalmente distribuido la variabilidad aleatoria X está configurada por sus parámetros. a \u003d 2 -expectativa matemática y S \u003d 1 - Desviación cuadrática promedio. Se requiere escribir una densidad de probabilidad y construir su horario, encontrar la probabilidad de si tomará un valor del intervalo (1; 3), encontrará la probabilidad de que X será rechazada (por módulo) de la expectativa matemática de NO Más de 2.

La densidad de distribución es:

Construir un horario:

Encuentre la probabilidad de varianza aleatoria entrante al intervalo (1; 3).

Encontramos la probabilidad de desviarse de una variable aleatoria de la expectativa matemática por un valor, no mayor que 2.

El mismo resultado se puede obtener utilizando la función normalizada de Laplace.

Conferencia 8 La ley de grandes números.(Sección 2)

Conferencias de plan

Teorema del límite central (formulación general y formulación privada para variables aleatorias independientes de distribución igualmente distribuidas).

La desigualdad de chebyshev.

La ley de grandes números en la forma de Chebyshev.

El concepto de frecuencia de eventos.

Comprensión estadística de la probabilidad.

La ley de grandes números en la forma de Bernoulli.

El estudio de los patrones estadísticos hizo posible establecer que bajo ciertas condiciones, el comportamiento total de un gran número de variables aleatorias casi pierde carácter aleatorio y se vuelve natural (en otras palabras, las desviaciones aleatorias de algún comportamiento medio se reembolsan mutuamente). En particular, si el impacto en la cantidad de términos individuales es uniformemente pequeño, la cantidad de la distribución de la cantidad se está acercando a la normalidad. La formulación matemática de esta declaración se da en un grupo de teoremas llamados la ley de grandes números..

La ley de grandes números. - El principio general, en virtud de los cuales la acción conjunta de factores aleatorios conduce a algunas condiciones muy generales al resultado, que es casi independiente del caso. El primer ejemplo de la acción de este principio es el acercamiento de la aparición de un evento aleatorio con su probabilidad en un aumento en el número de pruebas (a menudo se usa en la práctica, por ejemplo, cuando se utiliza la frecuencia de ocurrencia de la calidad de cualquier demandado en La muestra como una evaluación selectiva de la probabilidad correspondiente).

Esencia ley de grandes números Es que con una gran cantidad de experimentos independientes, la frecuencia de la aparición de algún evento está cerca de su probabilidad.

El teorema del límite central (CPT) (en la redacción de Lyapunov a.m. para SV igualmente distribuidos). Si es parcial, SV X 1, X 2, ..., XN, ... tiene la misma ley de distribución con características numéricas finitas M \u003d M y D \u003d S 2, luego con N ® ¥, la ley de distribución de SV es Al acercarse ilimitado a la Ley Normal N (n × M,).

Corolario. Si en la condición del teorema. , luego en N ® ¥, la Ley de Distribución de CV Y se está acercando a la Ley Normal N (M, S /).

Moavorro Teorema de Laplace.Deje que SV K sea el número de "éxito" en las pruebas de N de acuerdo con el esquema Bernoulli. Luego, en N ® ¥ y el valor fijo de la probabilidad de "éxito" en una prueba P, la Ley de Distribución de CV K se está acercando a la Ley Normal N (n × P,).

Corolario. Si, en la condición del teorema, en lugar de la C / N, la frecuencia de "éxito" en las pruebas de N de acuerdo con el esquema de Bernoulli, su ley de transacción con N ® ¥ y el valor fijo P se está acercando a la Ley Normal N (pag,).

Comentario. Deje que SV K sea el número de "éxito" en las pruebas de N de acuerdo con el esquema Bernoulli. La ley de la distribución de tal ley de binomina. Luego, en N ® ¥, la Ley Binomine tiene dos distribuciones de límite:

n Distribución Poisson (para N ® ¥ y L \u003d N × P \u003d const);

n Distribución Gaussa N (n × p,) (con n ® ¥ y p \u003d const).

Ejemplo. La probabilidad de "éxito" en una prueba es solo P \u003d 0.8. ¿Cuánto necesita probar las pruebas de modo que con una probabilidad de al menos 0.9, puede esperar que la frecuencia observada de "éxito" en las pruebas de acuerdo con el esquema de Bernoulli se desvíe de la probabilidad de P no más que E \u003d 0.01?

Decisión. Para comparación, resolveremos el problema de dos maneras.

En comparación con otros tipos de distribuciones. La característica principal de esta distribución es que todas las demás leyes de las distribuciones se esfuerzan por esta ley con una repetición interminable de la cantidad de pruebas. ¿Cómo se consigue esta distribución?

Imagina que al tomar un dinamómetro manual, se encuentra en el lugar más joven de su ciudad. Y todos los que pasan, se propone medir su fuerza, apretando el dinamómetro con la mano derecha o izquierda. Las lecturas de dinamómetro están inhibiendo cuidadosamente. Después de un tiempo, con un número suficientemente grande de pruebas, coloca el testimonio del dinamómetro al eje de abscisa, y la cantidad de personas, que "apretadas" son el testimonio. Los puntos obtenidos se unieron a la línea lisa. El resultado es la curva mostrada en la FIG. 9.8. La aparición de esta curva no se cambiará particularmente al aumentar el tiempo de experiencia. Además, a partir de algún momento, los nuevos valores solo especificarán la curva sin cambiar su forma.

Higo. 9.8.

Ahora nos moveremos con nuestro dinamómetro en la sala de atletismo y repetiremos el experimento. Ahora, la curva máxima cambiará a la derecha, el extremo izquierdo se apretará un poco, mientras que su extremo derecho será más afilado (Fig. 9.9).

Higo. 9.9.

Tenga en cuenta que la frecuencia máxima para la segunda distribución (punto B) será menor que la frecuencia máxima de la primera distribución (punto A). Esto se puede explicar por el hecho de que el número total de personas que visiten la sala de atletismo será menor que la cantidad de personas que han pasado cerca del experimentador en el primer caso (en el centro de la ciudad en un lugar suficientemente humano). El máximo se desplaza a la derecha, ya que las salas atléticas asisten a personas físicamente más fuertes en comparación con el fondo general.

Y, finalmente, visite la escuela, los jardines de infancia y los hogares de ancianos con el mismo propósito: identificar las manos de los visitantes a estos lugares. Y nuevamente, la curva de distribución tendrá una forma similar, pero ahora, obviamente, su extremo izquierdo será más empinado, y el derecho está más apretado. Y ambos en el segundo caso, el máximo (punto C) será menor que el punto A (Fig. 9.10).

Higo. 9.10.

Esta es una propiedad maravillosa de la distribución normal: para preservar la forma de la curva de densidad de distribución de probabilidad (Fig. 8 - 10) se observó y se describió en 1733 por Moavr, y luego investigado por Gauss.

En la investigación científica, en técnica, en fenómenos masivos o experimentos, cuando se trata de repetidamente repetidos valores aleatorios en condiciones de experiencia constantes, se dice que los resultados de las pruebas están experimentando una dispersión aleatoria sujeta a la ley de la curva de distribución normal.

(21)

¿Dónde está el evento más común? Como regla general, en la fórmula (21) en lugar del parámetro. Además, la longitud de la misma es una serie experimental, menos el parámetro diferirá de la expectativa matemática. El área debajo de la curva (Fig. 9.11) está en una unidad igual. El área que cumple con el intervalo de eje de abscisa es numéricamente igual a la probabilidad de un resultado aleatorio en este intervalo.

Higo. 9.11.

La función de la distribución normal tiene la forma.

(22)

Tenga en cuenta que la curva normal (Fig. 9.11) es simétrica con respecto a la forma directa y asintótica que se aproxima al eje OH.

Calcular la expectativa matemática para la ley normal.

(23)

Propiedades de la distribución normal.

Considere las propiedades básicas de esta distribución más importante.

Propiedad 1.. La función de la densidad de la distribución normal (21) de la determinación en todo el eje de abscisa.

Propiedad 2.. La función de la densidad de la distribución normal (21) es mayor que cero para cualquiera de la definición del área ().

Propiedad 3.. Con un aumento infinito (disminución), la función de distribución (21) tiende a cero .

Propiedad 4.. Con la función de distribución especificada (21), tiene el mayor valor igual a

(24)

Propiedad 5.. El gráfico de funciones (Fig. 9.11) es simétrico al respecto.

Propiedad 6.. Gráfico de función (Fig. 9.11) tiene dos puntos de inflexión simétrica relativamente recta:

(25)

Propiedad 7.. Todos los momentos centrales extraños son cero. Tenga en cuenta que el uso de la propiedad 7, la asimetría de la función está determinada por la fórmula. Si, entonces se concluye que la distribución estudiada es simétricamente relativamente recta. Si, dicen que una fila se desplaza hacia la derecha (rama derecha más común de la gráfica o apretada). Si, entonces se cree que la fila se desplaza hacia la izquierda (rama izquierda más común de gráficos de gráficos 9.12).

Higo. 9.12.

Propiedad 8.. El exceso de la distribución es de 3. a menudo en la práctica se calcula y, en la proximidad de este valor a cero, determine la "compresión" o "borrosa" del gráfico (Fig. 9.13). Y, dado que está asociado, entonces,, en última instancia, caracteriza el grado de dispersión de la frecuencia de datos. Así como determina