Hay una solución al teorema de la granja. ¿Se ha demostrado el último teorema de Fermat? Cómo se relacionan la conjetura de Taniyama y el teorema de Fermat

Pierre de Fermat, leyendo la "Aritmética" de Diofanto de Alejandría y reflexionando sobre sus problemas, tenía la costumbre de anotar los resultados de sus reflexiones en forma de breves comentarios en los márgenes del libro. Frente al octavo problema de Diofanto en los márgenes del libro, Fermat escribió: " Por el contrario, es imposible descomponer ni un cubo en dos cubos, ni un bicuadrado en dos bicuadrados y, en general, ninguna potencia mayor que un cuadrado en dos potencias con el mismo exponente. He descubierto una prueba verdaderamente maravillosa de esto, pero estos márgenes son demasiado estrechos para ello.» / E.T.Bell "Creadores de Matemáticas". M., 1979, p.69/. Traigo a su atención una demostración elemental del teorema de la granja, que puede ser entendida por cualquier estudiante de secundaria aficionado a las matemáticas.

Comparemos el comentario de Fermat sobre el problema diofántico con la formulación moderna del gran teorema de Fermat, que tiene forma de ecuación.
« La ecuacion

x norte + y norte = z norte(donde n es un número entero mayor que dos)

no tiene soluciones en enteros positivos»

El comentario está en una conexión lógica con la tarea, similar a la conexión lógica del predicado con el sujeto. Lo que afirma el problema de Diofanto, por el contrario, lo afirma el comentario de Fermat.

El comentario de Fermat se puede interpretar de la siguiente manera: si una ecuación cuadrática con tres incógnitas tiene un número infinito de soluciones en el conjunto de todos los triples de los números pitagóricos, entonces, por el contrario, una ecuación con tres incógnitas en un grado mayor que el cuadrado

Ni siquiera hay un indicio de su conexión con el problema diofántico en la ecuación. Su afirmación requiere prueba, pero no tiene una condición de la que se siga que no tiene soluciones en números enteros positivos.

Las variantes de la prueba de la ecuación que conozco se reducen al siguiente algoritmo.

1. Se toma como conclusión la ecuación del teorema de Fermat, cuya validez se verifica con la ayuda de la demostración.
2. La misma ecuación se llama inicial la ecuación de la que debe proceder su demostración.

El resultado es una tautología: Si una ecuación no tiene soluciones en enteros positivos, entonces no tiene soluciones en enteros positivos.". La prueba de la tautología es evidentemente errónea y desprovista de todo sentido. Pero se prueba por contradicción.

• Se hace una suposición que es la opuesta a la establecida por la ecuación a demostrar. No debería contradecir la ecuación original, pero lo hace. Probar lo que se acepta sin prueba, y aceptar sin prueba lo que se requiere probar, no tiene sentido.
• Con base en la suposición aceptada, se realizan operaciones y acciones matemáticas absolutamente correctas para probar que contradice la ecuación original y es falsa.

Por lo tanto, desde hace 370 años, la demostración de la ecuación del Último Teorema de Fermat sigue siendo un sueño imposible de especialistas y amantes de las matemáticas.

Tomé la ecuación como conclusión del teorema, y ​​el octavo problema de Diofanto y su ecuación como condición del teorema.

"Si la ecuación x 2 + y 2 = z 2 (1) tiene un conjunto infinito de soluciones en el conjunto de todos los triples de los números pitagóricos, entonces, a la inversa, la ecuación x norte + y norte = z norte , donde norte > 2 (2) no tiene soluciones en el conjunto de enteros positivos".

Prueba.

PERO) Todo el mundo sabe que la ecuación (1) tiene un número infinito de soluciones en el conjunto de todos los triples de los números pitagóricos. Demostremos que ninguna terna de números pitagóricos, que es una solución a la ecuación (1), es una solución a la ecuación (2).

Con base en la ley de reversibilidad de la igualdad, los lados de la ecuación (1) se intercambian. números pitagóricos (z, x, y) puede interpretarse como las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, y los cuadrados (x2, y2, z2) puede interpretarse como las áreas de los cuadrados construidos sobre su hipotenusa y sus catetos.

Multiplicamos los cuadrados de la ecuación (1) por una altura arbitraria h :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

La ecuación (3) se puede interpretar como la igualdad del volumen de un paralelepípedo a la suma de los volúmenes de dos paralelepípedos.

Sea la altura de tres paralelepípedos h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

El volumen del cubo se descompone en dos volúmenes de dos paralelepípedos. Dejamos el volumen del cubo sin cambios y reducimos la altura del primer paralelepípedo a X y la altura del segundo paralelepípedo se reducirá a y . El volumen de un cubo es mayor que la suma de los volúmenes de dos cubos:

z 3 > x 3 + y 3 (5)

En el conjunto de ternas de números pitagóricos ( x, y, z ) en n=3 no puede haber solución a la ecuación (2). En consecuencia, en el conjunto de todos los triples de los números pitagóricos, es imposible descomponer un cubo en dos cubos.

Sea en la ecuación (3) la altura de tres paralelepípedos h = z2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

El volumen de un paralelepípedo se descompone en la suma de los volúmenes de dos paralelepípedos.
Dejamos el lado izquierdo de la ecuación (6) sin cambios. En su lado derecho la altura z2 reducido a X en el primer término y hasta a las 2 en el segundo término.

La ecuación (6) se convirtió en la desigualdad:

El volumen de un paralelepípedo se descompone en dos volúmenes de dos paralelepípedos.

Dejamos el lado izquierdo de la ecuación (8) sin cambios.
En el lado derecho de la altura zn-2 reducido a xn-2 en el primer término y reducir a y n-2 en el segundo término. La ecuación (8) se convierte en la desigualdad:

En el conjunto de ternas de números pitagóricos, no puede haber una única solución de la ecuación (2).

En consecuencia, sobre el conjunto de todas las ternas de números pitagóricos para todas norte > 2 la ecuación (2) no tiene soluciones.

Obtuvo "prueba post milagrosa", pero solo para trillizos números pitagóricos. Esto es falta de evidencia y el motivo de la negativa de P. Fermat de él.

B) Demostremos que la ecuación (2) no tiene soluciones en el conjunto de ternas de números no pitagóricos, que es la familia de una terna arbitrariamente tomada de números pitagóricos z=13, x=12, y=5 y la familia de un triple arbitrario de enteros positivos z=21, x=19, y=16

Ambos trillizos de números son miembros de sus familias:

El número de miembros de la familia (10) y (11) es igual a la mitad del producto de 13 por 12 y 21 por 20, es decir, 78 y 210.

Cada miembro de la familia (10) contiene z = 13 y variables X Y en 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1

Cada miembro de la familia (11) contiene z = 21 y variables X Y en , que toman valores enteros 21 > x > 0 , 21 > y > 0 . Las variables disminuyen secuencialmente por 1 .

Las ternas de números de la sucesión (10) y (11) se pueden representar como una sucesión de desigualdades de tercer grado:

y en forma de desigualdades de cuarto grado:

La corrección de cada desigualdad se verifica elevando los números a las potencias tercera y cuarta.

El cubo de un número mayor no se puede descomponer en dos cubos de números menores. Es menor o mayor que la suma de los cubos de los dos números más pequeños.

El bicuadrado de un número mayor no se puede descomponer en dos bicuadrados de números menores. Es menor o mayor que la suma de los bi-cuadrados de números más pequeños.

A medida que aumenta el exponente, todas las desigualdades, excepto la desigualdad más a la izquierda, tienen el mismo significado:

Desigualdades, todas tienen el mismo significado: el grado del número mayor es mayor que la suma de los grados de los dos números menores con el mismo exponente:

El término más a la izquierda de las sucesiones (12) (13) es la desigualdad más débil. Su corrección determina la corrección de todas las desigualdades posteriores de la sucesión (12) para norte > 8 y secuencia (13) para n > 14 .

No puede haber igualdad entre ellos. Un triple arbitrario de enteros positivos (21,19,16) no es una solución a la ecuación (2) del último teorema de Fermat. Si un triple arbitrario de números enteros positivos no es una solución a la ecuación, entonces la ecuación no tiene soluciones en el conjunto de números enteros positivos, lo cual se iba a probar.

DESDE) El comentario de Fermat sobre el problema de Diofanto afirma que es imposible descomponer " en general, ninguna potencia mayor que el cuadrado, dos potencias con el mismo exponente».

Besos una potencia mayor que un cuadrado no se puede descomponer realmente en dos potencias con el mismo exponente. yo no beso una potencia mayor que el cuadrado se puede descomponer en dos potencias con el mismo exponente.

Cualquier triple elegido al azar de enteros positivos (z, x, y) puede pertenecer a una familia, cada miembro de la cual consta de un número constante z y dos números menos que z . Cada miembro de la familia se puede representar en forma de desigualdad, y todas las desigualdades resultantes se pueden representar como una secuencia de desigualdades:

La secuencia de desigualdades (14) comienza con desigualdades cuyo lado izquierdo es menor que el lado derecho y termina con desigualdades cuyo lado derecho es menor que el lado izquierdo. Con exponente creciente norte > 2 el número de desigualdades en el lado derecho de la secuencia (14) aumenta. Con un exponente n = k todas las desigualdades del lado izquierdo de la secuencia cambian de significado y toman el significado de las desigualdades del lado derecho de las desigualdades de la secuencia (14). Como resultado del aumento en el exponente de todas las desigualdades, el lado izquierdo es mayor que el lado derecho:

Con un nuevo aumento en el exponente n > k ninguna de las desigualdades cambia de significado y no se convierte en igualdad. Sobre esta base, se puede argumentar que cualquier triple de enteros positivos tomado arbitrariamente (z, x, y) en norte > 2 , z > x , z > y

En un triple arbitrario de enteros positivos z puede ser un número natural arbitrariamente grande. Para todos los números naturales no mayores que z , se demuestra el último teorema de Fermat.

D) No importa cuán grande sea el número z , en la serie natural de números antes de ella hay un conjunto grande pero finito de números enteros, y después de ella hay un conjunto infinito de números enteros.

Probemos que todo el conjunto infinito de los números naturales mayores que z , forman ternas de números que no son soluciones a la ecuación del último teorema de Fermat, por ejemplo, una terna arbitraria de números enteros positivos (z+1,x,y) , en donde z + 1 > x Y z + 1 > y para todos los valores del exponente norte > 2 no es una solución a la ecuación del último teorema de Fermat.

Un triple elegido al azar de enteros positivos (z + 1, x, y) puede pertenecer a una familia de ternas de números, cada miembro de la cual consta de un número constante z + 1 y dos números X Y en , tomando diferentes valores, menor z + 1 . Los miembros de la familia se pueden representar como desigualdades cuyo lado izquierdo constante es menor o mayor que el lado derecho. Las desigualdades se pueden ordenar en orden como una secuencia de desigualdades:

Con un nuevo aumento en el exponente n > k hasta el infinito, ninguna de las desigualdades de la sucesión (17) cambia de significado y no se convierte en igualdad. En la secuencia (16), la desigualdad formada por un triple arbitrariamente tomado de enteros positivos (z + 1, x, y) , puede estar en su lado derecho en la forma (z + 1) norte > x norte + y norte o estar en su lado izquierdo en la forma (z+1)n< x n + y n .

En cualquier caso, el triple de los enteros positivos (z + 1, x, y) en norte > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y en secuencia (16) es una desigualdad y no puede ser una igualdad, es decir, no puede ser una solución a la ecuación del último teorema de Fermat.

Es fácil y sencillo comprender el origen de la secuencia de desigualdades de potencia (16), en la que la última desigualdad del lado izquierdo y la primera desigualdad del lado derecho son desigualdades de sentido opuesto. Por el contrario, no es fácil y difícil para los escolares, estudiantes de secundaria y estudiantes de secundaria comprender cómo se forma una secuencia de desigualdades (17) a partir de una secuencia de desigualdades (16), en la que todas las desigualdades tienen el mismo significado.

En la secuencia (16), al aumentar el grado entero de las desigualdades en 1, la última desigualdad del lado izquierdo se convierte en la primera desigualdad del lado derecho con el significado opuesto. Así, el número de desigualdades en el noveno lado de la sucesión disminuye, mientras que el número de desigualdades en el lado derecho aumenta. Entre la última y la primera desigualdad de potencias de significado opuesto, existe una igualdad de potencias sin falta. Su grado no puede ser un número entero, ya que sólo existen números no enteros entre dos números naturales consecutivos. La igualdad de potencias de un grado no entero, según la condición del teorema, no puede considerarse una solución a la ecuación (1).

Si en la sucesión (16) seguimos aumentando el grado en 1 unidad, entonces la última desigualdad de su lado izquierdo se convertirá en la primera desigualdad de significado opuesto del lado derecho. Como resultado, no habrá desigualdades en el lado izquierdo y solo desigualdades en el lado derecho, lo que será una secuencia de desigualdades de potencia crecientes (17). Un aumento adicional en su grado entero en 1 unidad solo fortalece sus desigualdades de poder y excluye categóricamente la posibilidad de igualdad en un grado entero.

Por lo tanto, en general, ninguna potencia entera de un número natural (z+1) de la secuencia de desigualdades de potencias (17) puede descomponerse en dos potencias enteras con el mismo exponente. Por lo tanto, la ecuación (1) no tiene soluciones en un conjunto infinito de números naturales, lo cual debía probarse.

Por lo tanto, el último teorema de Fermat queda demostrado con toda generalidad:

• en la sección A) para todos los trillizos (z, x, y) Números pitagóricos (el descubrimiento de Fermat es una prueba verdaderamente milagrosa),
• en el apartado C) para todos los miembros de la familia de cualquier triple (z, x, y) números pitagóricos,
• en la sección C) para todos los tripletes de números (z, x, y) , no grandes números z
• en la sección D) para todos los triples de números (z, x, y) series naturales de números.

Qué teoremas pueden y cuáles no pueden ser probados por contradicción

El Diccionario explicativo de términos matemáticos define la prueba por contradicción de un teorema opuesto al teorema inverso.

“La prueba por contradicción es un método para probar un teorema (oración), que consiste en probar no el teorema en sí, sino su equivalente (equivalente), opuesto inverso (inverso a opuesto) teorema. La prueba por contradicción se usa cuando el teorema directo es difícil de probar, pero el inverso opuesto es más fácil. Al probar por contradicción, la conclusión del teorema es reemplazada por su negación, y por razonamiento se llega a la negación de la condición, es decir a una contradicción, a lo contrario (lo contrario de lo dado; esta reducción al absurdo prueba el teorema.

La prueba por contradicción se usa muy a menudo en matemáticas. La prueba por contradicción se basa en la ley del tercero excluido, que consiste en que de los dos enunciados (enunciados) A y A (negación de A), uno de ellos es verdadero y el otro es falso./ Diccionario explicativo de términos matemáticos: una guía para profesores / O. V. Manturov [y otros]; edición V. A. Ditkina.- M.: Ilustración, 1965.- 539 p.: il.-C.112/.

No sería mejor declarar abiertamente que el método de prueba por contradicción no es un método matemático, aunque se usa en matemáticas, que es un método lógico y pertenece a la lógica. ¿Es válido decir que la prueba por contradicción se "usa cuando un teorema directo es difícil de probar", cuando de hecho se usa si, y solo si, no hay sustituto para él?

La característica de la relación entre los teoremas directo e inverso también merece especial atención. “Un teorema inverso para un teorema dado (o para un teorema dado) es un teorema en el que la condición es la conclusión y la conclusión es la condición del teorema dado. Este teorema en relación con el teorema inverso se denomina teorema directo (inicial). A su vez, el teorema inverso al teorema inverso será el teorema dado; por lo tanto, los teoremas directo e inverso se llaman mutuamente inversos. Si el teorema directo (dado) es verdadero, entonces el teorema inverso no siempre es verdadero. Por ejemplo, si un cuadrilátero es un rombo, entonces sus diagonales son mutuamente perpendiculares (teorema directo). Si las diagonales de un cuadrilátero son mutuamente perpendiculares, entonces el cuadrilátero es un rombo; esto no es cierto, es decir, el teorema inverso no es cierto./ Diccionario explicativo de términos matemáticos: una guía para profesores / O. V. Manturov [y otros]; edición V. A. Ditkina.- M.: Ilustración, 1965.- 539 p.: ill.-C.261 /.

Esta caracterización de la relación entre teoremas directos e inversos no tiene en cuenta el hecho de que la condición del teorema directo se da por sentada, sin demostración, por lo que no se garantiza su corrección. La condición del teorema inverso no se da por dada, ya que es la conclusión del teorema directo probado. Su corrección se confirma mediante la demostración del teorema directo. Esta diferencia lógica esencial entre las condiciones de los teoremas directo e inverso resulta decisiva en la cuestión de qué teoremas pueden y cuáles no pueden demostrarse por el método lógico por el contrario.

Supongamos que hay un teorema directo en mente, que puede demostrarse mediante el método matemático habitual, pero es difícil. Lo formulamos de forma general en forma abreviada de la siguiente manera: desde PERO deberían mi . Símbolo PERO tiene el valor de la condición dada del teorema, aceptada sin demostración. Símbolo mi es la conclusión del teorema a demostrar.

Probaremos el teorema directo por contradicción, lógico método. El método lógico prueba un teorema que tiene no matemático condición, y lógico condición. Se puede obtener si la condición matemática del teorema desde PERO deberían mi , complementar con la condición contraria desde PERO no lo hagas mi .

Como resultado se obtuvo una condición lógica contradictoria del nuevo teorema, el cual consta de dos partes: desde PERO deberían mi Y desde PERO no lo hagas mi . La condición resultante del nuevo teorema corresponde a la ley lógica del tercero excluido y corresponde a la prueba del teorema por contradicción.

Según la ley, una parte de la condición contradictoria es falsa, otra parte es verdadera y la tercera queda excluida. La prueba por contradicción tiene su propia tarea y objetivo para establecer exactamente qué parte de las dos partes de la condición del teorema es falsa. Tan pronto como se determine la parte falsa de la condición, se establecerá que la otra parte es la parte verdadera, y se excluye la tercera.

Según el diccionario explicativo de términos matemáticos, “La prueba es un razonamiento, durante el cual se establece la verdad o falsedad de cualquier enunciado (juicio, enunciado, teorema)”. Prueba contrario hay una discusión en el curso de la cual se establece falsedad(absurdo) de la conclusión que se sigue de falso condiciones del teorema que se prueba.

Dado: desde PERO deberían mi y de PERO no lo hagas mi .

Probar: desde PERO deberían mi .

Prueba: La condición lógica del teorema contiene una contradicción que requiere su resolución. La contradicción de la condición debe encontrar su resolución en la prueba y su resultado. El resultado resulta falso si el razonamiento es impecable e infalible. La razón de una conclusión falsa con un razonamiento lógicamente correcto solo puede ser una condición contradictoria: desde PERO deberían mi Y desde PERO no lo hagas mi .

No hay sombra de duda de que una parte de la condición es falsa, y la otra en este caso es verdadera. Ambas partes de la condición tienen el mismo origen, se aceptan como dadas, supuestas, igualmente posibles, igualmente admisibles, etc. En el curso del razonamiento lógico, no se ha encontrado ni una sola característica lógica que distinga una parte de la condición de la otra. otro. Por lo tanto, en la misma medida, desde PERO deberían mi y tal vez desde PERO no lo hagas mi . Declaración desde PERO deberían mi quizás falso, entonces la declaración desde PERO no lo hagas mi será verdad Declaración desde PERO no lo hagas mi puede ser falsa, entonces la afirmación desde PERO deberían mi será verdad

Por lo tanto, es imposible probar el teorema directo por el método de contradicción.

Ahora probaremos el mismo teorema directo por el método matemático usual.

Dado: PERO .

Probar: desde PERO deberían mi .

Prueba.

1. Desde PERO deberían B

2. Desde B deberían EN (según el teorema probado anteriormente)).

3. Desde EN deberían GRAMO (según el teorema probado anteriormente).

4. Desde GRAMO deberían D (según el teorema probado anteriormente).

5. Desde D deberían mi (según el teorema probado anteriormente).

Basado en la ley de la transitividad, desde PERO deberían mi . El teorema directo se demuestra por el método habitual.

Deje que el teorema directo probado tenga un teorema inverso correcto: desde mi deberían PERO .

Demostrémoslo por ordinario matemático método. La prueba del teorema inverso se puede expresar en forma simbólica como un algoritmo de operaciones matemáticas.

Dado: mi

Probar: desde mi deberían PERO .

Prueba.

1. Desde mi deberían D

2. Desde D deberían GRAMO (por el teorema inverso previamente probado).

3. Desde GRAMO deberían EN (por el teorema inverso previamente probado).

4. Desde EN no lo hagas B (lo contrario no es cierto). Es por eso desde B no lo hagas PERO .

En esta situación, no tiene sentido continuar con la demostración matemática del teorema inverso. La razón de la situación es lógica. Es imposible reemplazar un teorema inverso incorrecto con nada. Por lo tanto, este teorema inverso no puede demostrarse por el método matemático usual. Toda esperanza es probar este teorema inverso por contradicción.

Para demostrarlo por contradicción, se requiere reemplazar su condición matemática con una condición lógica contradictoria, que en su significado contiene dos partes: falsa y verdadera.

teorema inverso reclamación (es: desde mi no lo hagas PERO . su condición mi , de donde se sigue la conclusión PERO , es el resultado de probar el teorema directo por el método matemático usual. Esta condición debe mantenerse y complementarse con la declaración desde mi deberían PERO . Como resultado de la suma se obtiene una condición contradictoria del nuevo teorema de la inversa: desde mi deberían PERO Y desde mi no lo hagas PERO . Basado en esto lógicamente condición contradictoria, el teorema inverso puede demostrarse mediante la correcta lógico razonando solo, y solo, lógico método opuesto. En una prueba por contradicción, las acciones y operaciones matemáticas están subordinadas a las lógicas y, por lo tanto, no cuentan.

En la primera parte de la declaración contradictoria desde mi deberían PERO condición mi se demostró mediante la demostración del teorema directo. en la segunda parte desde mi no lo hagas PERO condición mi fue asumida y aceptada sin pruebas. Uno de ellos es falso y el otro es verdadero. Se requiere probar cuál de ellos es falso.

Probamos con la correcta lógico razonamiento y encuentra que su resultado es una conclusión falsa y absurda. La razón de una conclusión lógica falsa es la condición lógica contradictoria del teorema, que contiene dos partes: falsa y verdadera. La parte falsa solo puede ser una declaración. desde mi no lo hagas PERO , en el cual mi aceptado sin pruebas. Esto es lo que lo distingue de mi declaraciones desde mi deberían PERO , lo cual se demuestra mediante la demostración del teorema directo.

Por lo tanto, la afirmación es verdadera: desde mi deberían PERO , que debía probarse.

Producción: sólo que el teorema inverso se prueba por el método lógico del contrario, que tiene un teorema directo probado por el método matemático y que no puede ser probado por el método matemático.

La conclusión obtenida adquiere una importancia excepcional en relación con el método de demostración por contradicción del gran teorema de Fermat. La gran mayoría de los intentos de demostrarlo no se basan en el método matemático habitual, sino en el método lógico de demostración por contradicción. La demostración del Gran Teorema de Fermat Wiles no es una excepción.

Dmitry Abrarov en el artículo "Teorema de Fermat: el fenómeno de las pruebas de Wiles" publicó un comentario sobre la demostración del último teorema de Fermat por Wiles. Según Abrarov, Wiles demuestra el último teorema de Fermat con la ayuda de un hallazgo notable del matemático alemán Gerhard Frey (n. 1944) que relaciona una posible solución a la ecuación de Fermat. x norte + y norte = z norte , donde norte > 2 , con otra ecuación completamente diferente. Esta nueva ecuación viene dada por una curva especial (llamada la curva elíptica de Frey). La curva de Frey viene dada por una ecuación muy simple:
.

“Fue precisamente Frey quien comparó cada solución (a B C) la ecuación de Fermat, es decir, números que satisfacen la relación un norte + segundo norte = C norte la curva anterior. En este caso, seguiría el último teorema de Fermat".(Cita de: Abrarov D. "Teorema de Fermat: el fenómeno de la prueba de Wiles")

En otras palabras, Gerhard Frey sugirió que la ecuación del último teorema de Fermat x norte + y norte = z norte , donde norte > 2 , tiene soluciones en enteros positivos. Las mismas soluciones son, según la suposición de Frey, las soluciones de su ecuación
y 2 + x (x - un norte) (y + segundo norte) = 0 , que viene dada por su curva elíptica.

Andrew Wiles aceptó este notable descubrimiento de Frey y, con su ayuda, a través de matemático método demostró que este hallazgo, es decir, la curva elíptica de Frey, no existe. Por lo tanto, no existe una ecuación y sus soluciones que estén dadas por una curva elíptica inexistente, por lo que Wiles debería haber concluido que no existe una ecuación del último teorema de Fermat y del propio teorema de Fermat. Sin embargo, toma la conclusión más modesta de que la ecuación del último teorema de Fermat no tiene soluciones en números enteros positivos.

Puede ser un hecho innegable que Wiles aceptó una suposición que tiene un significado directamente opuesto al que establece el último teorema de Fermat. Obliga a Wiles a probar el último teorema de Fermat por contradicción. Sigamos su ejemplo y veamos qué sucede con este ejemplo.

El último teorema de Fermat establece que la ecuación x norte + y norte = z norte , donde norte > 2 , no tiene soluciones en enteros positivos.

De acuerdo con el método lógico de prueba por contradicción, esta declaración se conserva, se acepta como dada sin prueba y luego se complementa con una declaración de significado opuesto: la ecuación x norte + y norte = z norte , donde norte > 2 , tiene soluciones en enteros positivos.

El enunciado hipotetizado también se acepta tal como se da, sin demostración. Ambos enunciados, considerados desde el punto de vista de las leyes básicas de la lógica, son igualmente admisibles, iguales en derechos e igualmente posibles. Mediante un razonamiento correcto, se requiere establecer cuál de ellos es falso, para luego establecer que el otro enunciado es verdadero.

El razonamiento correcto termina con una conclusión falsa, absurda, cuya causa lógica solo puede ser una condición contradictoria del teorema que se prueba, que contiene dos partes de un significado directamente opuesto. Eran la causa lógica de la conclusión absurda, el resultado de la prueba por contradicción.

Sin embargo, en el curso de un razonamiento lógicamente correcto, no se encontró ni un solo signo por el cual sería posible establecer qué enunciado en particular es falso. Puede ser un enunciado: la ecuación x norte + y norte = z norte , donde norte > 2 , tiene soluciones en enteros positivos. Sobre la misma base, puede ser el enunciado: la ecuación x norte + y norte = z norte , donde norte > 2 , no tiene soluciones en enteros positivos.

Como resultado del razonamiento, solo puede haber una conclusión: El último teorema de Fermat no se puede probar por contradicción..

Sería muy diferente si el último teorema de Fermat fuera un teorema inverso que tiene un teorema directo demostrado por el método matemático habitual. En este caso, podría probarse por contradicción. Y dado que es un teorema directo, su demostración debe basarse no en el método lógico de demostración por contradicción, sino en el método matemático habitual.

Según D. Abrarov, el académico V. I. Arnold, el matemático ruso contemporáneo más famoso, reaccionó a la prueba de Wiles "activamente escéptico". El académico afirmó: “esto no es matemática real, la matemática real es geométrica y tiene fuertes vínculos con la física”.

Por contradicción, es imposible demostrar que la ecuación del último teorema de Fermat no tiene soluciones o que las tiene. El error de Wiles no es matemático, sino lógico: el uso de la prueba por contradicción cuando su uso no tiene sentido y no prueba el último teorema de Fermat.

El último teorema de Fermat no se demuestra con la ayuda del método matemático habitual, si se da: la ecuación x norte + y norte = z norte , donde norte > 2 , no tiene soluciones en enteros positivos, y si se requiere demostrar en ella: la ecuación x norte + y norte = z norte , donde norte > 2 , no tiene soluciones en enteros positivos. De esta forma, no hay un teorema, sino una tautología desprovista de sentido.

Nota. Mi prueba BTF se discutió en uno de los foros. Uno de los participantes en Trotil, especialista en teoría de números, hizo la siguiente declaración autorizada titulada: "Un breve recuento de lo que hizo Mirgorodsky". Lo cito textualmente:

« PERO. Demostró que si z 2 \u003d x 2 + y , luego z norte > x norte + y norte . Este es un hecho bien conocido y bastante obvio.

EN. Tomó dos triples, pitagóricos y no pitagóricos, y mostró mediante una enumeración simple que para una familia específica y específica de triples (78 y 210 piezas) se realiza BTF (y solo para ella).

DESDE. Y luego el autor omitió el hecho de que de < en un grado posterior puede ser = , no solo > . Un simple contraejemplo es la transición n=1 en n=2 en una terna pitagórica.

D. Este punto no aporta nada esencial a la prueba BTF. Conclusión: BTF no ha sido probado”.

Consideraré su conclusión punto por punto.

PERO. En él se demuestra el BTF para todo el conjunto infinito de ternas de números pitagóricos. Comprobado por un método geométrico que, según creo, no fue descubierto por mí, sino redescubierto. Y lo abrió, según creo, el mismo P. Fermat. Fermat podría haber tenido esto en mente cuando escribió:

"He descubierto una prueba verdaderamente maravillosa de esto, pero estos márgenes son demasiado estrechos para ello". Esta suposición mía se basa en el hecho de que en el problema diofántico, contra el cual, en los márgenes del libro, escribió Fermat, estamos hablando de soluciones a la ecuación diofántica, que son triples de números pitagóricos.

Un conjunto infinito de ternas de números pitagóricos son soluciones a la ecuación de Diophatian, y en el teorema de Fermat, por el contrario, ninguna de las soluciones puede ser una solución a la ecuación del teorema de Fermat. Y la prueba verdaderamente milagrosa de Fermat tiene una relación directa con este hecho. Posteriormente, Fermat pudo extender su teorema al conjunto de todos los números naturales. En el conjunto de todos los números naturales, BTF no pertenece al "conjunto de teoremas excepcionalmente bellos". Esta es mi suposición, que no se puede probar ni refutar. Puede ser tanto aceptado como rechazado.

EN. En este párrafo, demuestro que tanto la familia de una terna de números pitagórica arbitrariamente tomada como la familia de una terna de números no pitagórica tomada arbitrariamente BTF se satisfacen. Este es un eslabón necesario, pero insuficiente e intermedio en mi demostración de la BTF. Los ejemplos que he tomado de la familia de un triple de números pitagóricos y de la familia de un triple de números no pitagóricos tienen el significado de ejemplos específicos que presuponen y no excluyen la existencia de otros ejemplos similares.

La afirmación de Trotil de que “demostré por simple enumeración que para una familia específica, específica de triples (78 y 210 piezas) se cumple BTF (y solo para ella) no tiene fundamento. No puede refutar el hecho de que podría tomar otros ejemplos de ternas pitagóricas y no pitagóricas para obtener una familia específica de una y otra terna.

Cualquiera que sea el par de triples que tome, la verificación de su idoneidad para resolver el problema se puede llevar a cabo, en mi opinión, solo por el método de "enumeración simple". No conozco ningún otro método y no es necesario. Si no le gustaba Trotil, entonces debería haber sugerido otro método, lo cual no hace. Sin ofrecer nada a cambio, es incorrecto condenar la “simple enumeración”, que en este caso es insustituible.

DESDE. omití = entre< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 \u003d x 2 + y (1), en el que el grado norte > 2 — entero numero positivo. De la igualdad entre las desigualdades se sigue obligatorio consideración de la ecuación (1) con un valor no entero del grado norte > 2 . trotar contando obligatorio consideración de la igualdad entre desigualdades, en realidad considera necesario en la demostración BTF, consideración de la ecuación (1) con no entero valor de grado norte > 2 . Hice esto por mí mismo y encontré que la ecuación (1) con no entero valor de grado norte > 2 tiene una solución de tres números: z, (z-1), (z-1) con un exponente no entero.

Una vez, en la edición de Año Nuevo de la lista de correo sobre cómo hacer brindis, mencioné casualmente que a fines del siglo XX hubo un evento grandioso que muchos no notaron: finalmente se demostró el llamado Último teorema de Fermat. En esta ocasión, entre las cartas que recibí, encontré dos respuestas de niñas (una de ellas, que yo recuerde, es Vika, estudiante de noveno grado de Zelenograd), quienes se sorprendieron por este hecho.

Y me sorprendió lo mucho que las chicas están interesadas en los problemas de las matemáticas modernas. Por lo tanto, creo que no solo las niñas, sino también los niños de todas las edades, desde estudiantes de secundaria hasta jubilados, también estarán interesados ​​​​en aprender la historia del Gran Teorema.

La demostración del teorema de Fermat es un gran acontecimiento. Y desde no se acostumbra bromear con la palabra "grande", entonces me parece que todo hablante que se precie (y todos nosotros, cuando decimos hablantes) simplemente está obligado a conocer la historia del teorema.

Si sucede que no te gustan las matemáticas tanto como a mí me encantan, entonces mira algunas profundizaciones en detalle con una mirada superficial. Entendiendo que no todos los lectores de nuestra lista de correo están interesados ​​en deambular por la naturaleza de las matemáticas, traté de no dar fórmulas (a excepción de la ecuación del teorema de Fermat y un par de hipótesis) y de simplificar la cobertura de algunos temas específicos como tanto como sea posible.

Cómo Fermat elaboraba gachas

El abogado francés y gran matemático a tiempo parcial del siglo XVII, Pierre Fermat (1601-1665), presentó una declaración curiosa del campo de la teoría de números, que más tarde se conoció como el Gran (o Gran) Teorema de Fermat. Este es uno de los teoremas matemáticos más famosos y fenomenales. Probablemente, la expectación a su alrededor no hubiera sido tan fuerte si en el libro de Diofanto de Alejandría (siglo III d. C.) "Aritmética", que Fermat estudiaba a menudo, tomando notas en sus amplios márgenes, y que su hijo Samuel conservó amablemente para la posteridad. , aproximadamente no se encontró la siguiente entrada del gran matemático:

"Tengo una prueba muy sorprendente, pero es demasiado grande para caber en los márgenes".

Fue esta entrada la que causó la gran agitación posterior en torno al teorema.

Entonces, el famoso científico dijo que había probado su teorema. Hagámonos la pregunta: ¿realmente lo demostró o mintió cursi? ¿O hay otras versiones que expliquen la aparición de esa entrada marginal que no permitió dormir tranquilos a muchos matemáticos de las siguientes generaciones?

La historia del Gran Teorema es tan fascinante como una aventura a través del tiempo. Fermat afirmó en 1636 que una ecuación de la forma x norte + y norte = z norte no tiene soluciones en números enteros con exponente n>2. Este es en realidad el último teorema de Fermat. En esta fórmula matemática aparentemente simple, el Universo ha enmascarado una complejidad increíble. El matemático estadounidense de origen escocés Eric Temple Bell, en su libro The Final Problem (1961), incluso sugirió que tal vez la humanidad dejaría de existir antes de que pudiera probar el último teorema de Fermat.

Es un tanto extraño que por alguna razón el teorema se haya retrasado en su nacimiento, ya que la situación estaba muy atrasada, porque su caso especial para n = 2, otra fórmula matemática famosa, el teorema de Pitágoras, surgió veintidós siglos antes. A diferencia del teorema de Fermat, el teorema de Pitágoras tiene un número infinito de soluciones enteras, por ejemplo, tales triángulos de Pitágoras: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15 ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

Síndrome del Gran Teorema

Quien simplemente no trató de probar el teorema de Fermat. Cualquier estudiante novato consideró su deber aplicar el Gran Teorema, pero nadie fue capaz de demostrarlo. Al principio no funcionó durante cien años. Luego cien más. Y además. Un síndrome de masas comenzó a desarrollarse entre los matemáticos: "¿Cómo es? Fermat lo demostró, pero ¿y si no puedo, o qué?" - y algunos de ellos se volvieron locos sobre esta base en el pleno sentido de la palabra.

No importa cuánto se probara el teorema, siempre resultó ser cierto. Conocí a un programador enérgico que estaba obsesionado con la idea de refutar el Gran Teorema tratando de encontrar al menos una solución (contraejemplo) iterando sobre números enteros usando una computadora rápida (en ese momento más comúnmente llamada computadora). Creía en el éxito de su empresa y le gustaba decir: "¡Un poco más, y estallará una sensación!" Creo que en diferentes partes de nuestro planeta hubo un número considerable de esta clase de audaces buscadores. Por supuesto, no encontró ninguna solución. Y ninguna computadora, incluso con una velocidad fabulosa, podría verificar el teorema, porque todas las variables de esta ecuación (incluidos los exponentes) pueden aumentar hasta el infinito.

El teorema requiere prueba

Los matemáticos saben que si un teorema no se demuestra, cualquier cosa (ya sea verdadera o falsa) puede seguirse de él, como sucedió con algunas otras hipótesis. Por ejemplo, en una de sus cartas, Pierre Fermat sugirió que los números de la forma 2 n +1 (los llamados números de Fermat) son necesariamente primos (es decir, no tienen divisores enteros y solo son divisibles sin resto por sí mismos). y por uno), si n es potencia de dos (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc.). La hipótesis de Fermat vivió durante más de cien años, hasta que Leonhard Euler demostró en 1732 que

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641

Luego, casi 150 años después (1880), Fortune Landry factorizó el siguiente número de Fermat:

2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721

Cómo pudieron encontrar los divisores de estos grandes números sin la ayuda de las computadoras, solo Dios lo sabe. A su vez, Euler planteó la hipótesis de que la ecuación x 4 + y 4 + z 4 =u 4 no tiene soluciones en números enteros. Sin embargo, unos 250 años después, en 1988, Naum Elkis de Harvard logró descubrir (ya usando un programa de computadora) que

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

Por lo tanto, el Último Teorema de Fermat requería demostración, de lo contrario solo era una hipótesis, y bien podría ser que en algún lugar de los interminables campos numéricos se perdiera la solución a la ecuación del Gran Teorema.

El matemático más virtuoso y prolífico del siglo XVIII, Leonard Euler, cuyo archivo de registros la humanidad ha ido ordenando durante casi un siglo, demostró el teorema de Fermat para las potencias 3 y 4 (o mejor dicho, repitió las demostraciones perdidas del propio Pierre Fermat) ; su seguidor en teoría de números, Legendre (e independientemente Dirichlet) - para el grado 5; Lame - para el grado 7. Pero en términos generales, el teorema quedó sin demostrar.

El 1 de marzo de 1847, en una reunión de la Academia de Ciencias de París, dos destacados matemáticos a la vez, Gabriel Lame y Augustin Cauchy, anunciaron que habían llegado al final de la prueba del Gran Teorema y organizaron una carrera, publicando su demostraciones por partes. Sin embargo, el duelo entre ellos se interrumpió porque en sus demostraciones se descubrió el mismo error, que fue señalado por el matemático alemán Ernst Kummer.

A principios del siglo XX (1908), un rico empresario, filántropo y científico alemán, Paul Wolfskel, legó cien mil marcos a cualquiera que presentara una prueba completa del teorema de Fermat. Ya en el primer año después de la publicación del testamento de Wolfskell por parte de la Academia de Ciencias de Göttingen, se inundó con miles de pruebas de amantes de las matemáticas, y esta corriente no se detuvo durante décadas, pero, como puedes imaginar, todas contenían errores. . Dicen que la academia preparó formularios con el siguiente contenido:

Estimado __________________________!
En su prueba del Teorema de Fermat en la ____ página ____ línea desde arriba
Se encontró el siguiente error en la fórmula:_____________________________________:,

Que fueron enviados a los desafortunados solicitantes del premio.

En ese momento, apareció un apodo medio despectivo en el círculo de matemáticos: fermista. Este era el nombre que se le daba a cualquier advenedizo seguro de sí mismo que carecía de conocimientos, pero que tenía más que la ambición de intentar apresuradamente probar el Gran Teorema, y ​​luego, sin darse cuenta de sus propios errores, golpeándose orgullosamente el pecho, declaraba en voz alta: "Yo demostró el primer teorema de Fermat! Cada agricultor, incluso si era diezmilésimo en número, se consideraba el primero; esto era ridículo. La simple apariencia del Gran Teorema les recordó tanto a los fermistas una presa fácil que no se avergonzaron en absoluto de que incluso Euler y Gauss no pudieran hacerle frente.

(Los fermistas, curiosamente, todavía existen hoy en día. Aunque uno de ellos no creía que había probado el teorema como un fermista clásico, pero hasta hace poco hizo intentos, se negó a creerme cuando le dije que el teorema de Fermat ya había sido probado). demostrado).

Los matemáticos más poderosos, quizás en el silencio de sus oficinas, también intentaron acercarse con cautela a esta pesada barra, pero no hablaron de ella en voz alta, para no ser tildados de fermistas y, por tanto, no perjudicar a su alta autoridad.

En ese momento apareció la prueba del teorema para el exponente n<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

Extraña hipótesis

Hasta mediados del siglo XX no se observaron grandes avances en la historia del Gran Teorema. Pero pronto tuvo lugar un acontecimiento interesante en la vida matemática. En 1955, el matemático japonés de 28 años Yutaka Taniyama avanzó una declaración de un área completamente diferente de las matemáticas, llamada Hipótesis de Taniyama (también conocida como Hipótesis de Taniyama-Shimura-Weil), que, a diferencia del teorema tardío de Fermat, estaba por delante de es la hora.

La conjetura de Taniyama dice: "a cada curva elíptica le corresponde una cierta forma modular". Esta afirmación para los matemáticos de la época sonaba tan absurda como a nosotros nos suena la afirmación: "a cada árbol le corresponde un determinado metal". Es fácil adivinar cómo una persona normal puede relacionarse con tal declaración; simplemente no la tomará en serio, lo que sucedió: los matemáticos ignoraron por unanimidad la hipótesis.

Una pequeña explicación. Las curvas elípticas, conocidas desde hace mucho tiempo, tienen una forma bidimensional (ubicadas en un plano). Las funciones modulares, descubiertas en el siglo XIX, tienen una forma tetradimensional, por lo que ni siquiera podemos imaginarlas con nuestros cerebros tridimensionales, pero podemos describirlas matemáticamente; Además, las formas modulares son sorprendentes porque tienen la mayor simetría posible: se pueden trasladar (desplazar) en cualquier dirección, reflejar, los fragmentos se pueden intercambiar, rotar de infinitas maneras, y su apariencia no cambia. Como puede ver, las curvas elípticas y las formas modulares tienen poco en común. La hipótesis de Taniyama establece que las ecuaciones descriptivas de estos dos objetos matemáticos absolutamente diferentes que se corresponden entre sí pueden expandirse en la misma serie matemática.

La hipótesis de Taniyama era demasiado paradójica: combinaba conceptos completamente diferentes: curvas planas bastante simples y formas tetradimensionales inimaginables. Esto nunca se le ocurrió a nadie. Cuando, en un simposio matemático internacional en Tokio en septiembre de 1955, Taniyama demostró varias correspondencias entre las curvas elípticas y las formas modulares, todo el mundo vio esto como nada más que una divertida coincidencia. A la modesta pregunta de Taniyama: ¿es posible encontrar la función modular correspondiente para cada curva elíptica?, el venerable francés Andre Weil, quien en ese momento era uno de los mejores especialistas del mundo en teoría de números, dio una respuesta bastante diplomática, qué, dicen. , si el inquisitivo Taniyama no deja el entusiasmo, entonces tal vez tenga suerte y se confirme su increíble hipótesis, pero esto no debe suceder pronto. En general, como muchos otros descubrimientos destacados, al principio se ignoró la hipótesis de Taniyama, porque aún no habían crecido, casi nadie la entendía. Solo un colega de Taniyama, Goro Shimura, que conocía bien a su superdotado amigo, sintió intuitivamente que su hipótesis era correcta.

Tres años más tarde (1958), Yutaka Taniyama se suicidó (sin embargo, las tradiciones samuráis son fuertes en Japón). Desde el punto de vista del sentido común, un acto incomprensible, especialmente si se tiene en cuenta que muy pronto se iba a casar. El líder de los jóvenes matemáticos japoneses comenzó su nota de suicidio de la siguiente manera: "Ayer no pensé en el suicidio. Recientemente, a menudo escuché de otros que estaba mental y físicamente cansado. En realidad, todavía no entiendo por qué lo hago". esto...” y así sucesivamente en tres hojas. Es una pena, por supuesto, que este haya sido el destino de una persona interesante, pero todos los genios son un poco extraños, por eso son genios (por alguna razón, me vinieron a la mente las palabras de Arthur Schopenhauer: "en la vida ordinaria, un el genio es tan útil como un telescopio en un teatro”). La hipótesis ha sido abandonada. Nadie supo cómo demostrarlo.

Durante diez años, la hipótesis de Taniyama apenas se mencionó. Pero a principios de los años 70, se hizo popular, todos los que podían entenderlo lo verificaban regularmente, y siempre se confirmaba (como, de hecho, el teorema de Fermat), pero, como antes, nadie podía probarlo.

La sorprendente conexión entre las dos hipótesis.

Han pasado otros 15 años. En 1984, hubo un evento clave en la vida de las matemáticas que combinó la extravagante conjetura japonesa con el último teorema de Fermat. El alemán Gerhard Frey planteó una curiosa afirmación, similar a un teorema: "Si se prueba la conjetura de Taniyama, entonces, en consecuencia, se probará el último teorema de Fermat". En otras palabras, el teorema de Fermat es una consecuencia de la conjetura de Taniyama. (Frey, usando ingeniosas transformaciones matemáticas, redujo la ecuación de Fermat a la forma de una ecuación de curva elíptica (la misma que aparece en la hipótesis de Taniyama), más o menos comprobó su suposición, pero no pudo probarla). Y tan solo un año y medio después (1986), un profesor de la Universidad de California, Kenneth Ribet, demostró claramente el teorema de Frey.

¿Que ha pasado ahora? Ahora bien, resultó que, dado que el teorema de Fermat ya es exactamente una consecuencia de la conjetura de Taniyama, basta probar esta última para romper los laureles del conquistador del legendario teorema de Fermat. Pero la hipótesis resultó ser difícil. Además, a lo largo de los siglos, los matemáticos se volvieron alérgicos al teorema de Fermat y muchos de ellos decidieron que también sería casi imposible hacer frente a la conjetura de Taniyama.

La muerte de la hipótesis de Fermat. El nacimiento de un teorema

Han pasado otros 8 años. Un progresista profesor inglés de matemáticas de la Universidad de Princeton (Nueva Jersey, EE. UU.), Andrew Wiles, pensó que había encontrado una prueba de la conjetura de Taniyama. Si el genio no es calvo, entonces, por regla general, está despeinado. Wiles está despeinado, por lo tanto, parece un genio. Adentrarse en Historia, por supuesto, es tentador y muy deseable, pero Wiles, como un verdadero científico, no se halagaba, al darse cuenta de que miles de fermistas antes que él también vieron evidencias fantasmales. Por lo tanto, antes de presentar su prueba al mundo, él mismo la verificó cuidadosamente, pero al darse cuenta de que podría tener un sesgo subjetivo, también involucró a otros en las verificaciones, por ejemplo, bajo la apariencia de tareas matemáticas ordinarias, a veces arrojó varios fragmentos. de su prueba a estudiantes graduados inteligentes. Wiles admitió más tarde que nadie más que su esposa sabía que estaba trabajando para probar el Gran Teorema.

Y así, después de largas comprobaciones y dolorosas reflexiones, Wiles finalmente se armó de valor, o, como él mismo pensaba, descaro, y el 23 de junio de 1993, en una conferencia matemática sobre teoría de números en Cambridge, anunció su gran logro.

Fue, por supuesto, una sensación. Nadie esperaba tal agilidad de un matemático poco conocido. Luego vino la prensa. Todos estaban atormentados por un interés ardiente. Esbeltas fórmulas, como los trazos de un bello cuadro, aparecían ante los ojos curiosos del público. Los verdaderos matemáticos, después de todo, son así: miran todo tipo de ecuaciones y no ven en ellas números, constantes y variables, sino que escuchan música, como Mozart mirando un pentagrama. Al igual que cuando leemos un libro, miramos las letras, pero parece que no las notamos, sino que percibimos de inmediato el significado del texto.

La presentación de la prueba pareció tener éxito, no se encontraron errores en ella, nadie escuchó una sola nota falsa (aunque la mayoría de los matemáticos simplemente lo miraron como niños de primer grado en una integral y no entendieron nada). Todos decidieron que había ocurrido un evento a gran escala: se demostró la hipótesis de Taniyama y, en consecuencia, el último teorema de Fermat. Pero unos dos meses más tarde, unos días antes de que el manuscrito de la prueba de Wiles entrara en circulación, se descubrió que era inconsistente (Katz, un colega de Wiles, señaló que un razonamiento se basaba en el "sistema de Euler", pero qué construido por Wiles, no era tal sistema), aunque, en general, las técnicas de Wiles se consideraban interesantes, elegantes e innovadoras.

Wiles analizó la situación y decidió que había perdido. Uno puede imaginar cómo sintió con todo su ser lo que significa "de lo grande a lo ridículo un paso". “Quería ingresar a la Historia, pero en cambio me uní a un equipo de payasos y comediantes -granjeros arrogantes”-, aproximadamente tales pensamientos lo agotaron durante ese período doloroso de su vida. Para él, un matemático serio, fue una tragedia, y dejó su prueba en un segundo plano.

Pero poco más de un año después, en septiembre de 1994, mientras reflexionaba sobre aquel cuello de botella de la demostración, junto con su colega Taylor de Oxford, este último tuvo de repente la idea de que el “sistema de Euler” podía cambiarse por la teoría de Iwasawa (apartado de la teoría de números). Luego intentaron utilizar la teoría de Iwasawa, prescindiendo del "sistema de Euler", y todos se juntaron. La versión corregida de la prueba se envió para su verificación, y un año después se anunció que todo estaba absolutamente claro, sin un solo error. En el verano de 1995, en una de las principales revistas matemáticas, "Annals of Mathematics", se publicó una prueba completa de la conjetura de Taniyama (por lo tanto, el Gran (Gran) Teorema de Fermat), que ocupó todo el número: más de cien hojas. La prueba es tan compleja que solo unas pocas docenas de personas en todo el mundo podrían entenderla en su totalidad.

Así, a finales del siglo XX, el mundo entero reconoció que en el año 360 de su vida, el Último Teorema de Fermat, que en realidad había sido una hipótesis todo este tiempo, se había convertido en un teorema probado. Andrew Wiles demostró el Gran (Gran) Teorema de Fermat y entró en Historia.

Creo que has probado un teorema...

La felicidad del descubridor siempre es para alguien solo: es él quien, con el último golpe del martillo, rompe la dura nuez del conocimiento. Pero uno no puede ignorar los muchos golpes anteriores que han abierto una grieta en el Gran Teorema durante siglos: Euler y Gauss (los reyes de las matemáticas de su tiempo), Evariste Galois (quien logró establecer la teoría de grupos y campos en su corto 21 -año de vida, cuyas obras fueron reconocidas como brillantes solo después de su muerte), Henri Poincaré (el fundador no solo de formas modulares extrañas, sino también del convencionalismo, una tendencia filosófica), David Gilbert (uno de los matemáticos más fuertes del siglo XX) , Yutaku Taniyama, Goro Shimura, Mordell, Faltings, Ernst Kummer, Barry Mazur, Gerhard Frey, Ken Ribbet, Richard Taylor y otros verdaderos científicos(No tengo miedo de estas palabras).

La demostración del último teorema de Fermat puede compararse con logros del siglo XX como la invención de la computadora, la bomba nuclear y los vuelos espaciales. Aunque no tan conocido, porque no invade la zona de nuestros intereses momentáneos, como un televisor o una bombilla eléctrica, fue el destello de una supernova que, como todas las verdades inmutables, siempre brillará sobre nosotros. humanidad.

Puedes decir: "Solo piensa, probaste algún tipo de teorema, quien lo necesita". Una pregunta justa. La respuesta de David Gilbert encajará exactamente aquí. Cuando, a la pregunta: "¿cuál es la tarea más importante para la ciencia ahora?", Respondió: "atrapar una mosca en el otro lado de la luna", se le preguntó razonablemente: "pero quien lo necesita", respondió así:" Nadie lo necesita. Pero piense en cuántos problemas importantes y difíciles deben resolverse para lograr esto ". Piense en cuántos problemas ha podido resolver la humanidad en 360 años antes de probar el teorema de Fermat. En busca de su prueba, casi la mitad de las matemáticas modernas También hay que tener en cuenta que las matemáticas son la vanguardia de la ciencia (y, por cierto, la única de las ciencias que se construye sin un solo error), y aquí comienzan todos los logros e inventos científicos”. .

* * *

Y ahora volvamos al principio de nuestra historia, recordemos la entrada de Pierre Fermat en los márgenes del libro de texto de Diofanto y una vez más hagámonos la pregunta: ¿Fermat realmente demostró su teorema? Por supuesto, esto no podemos saberlo con certeza, y como en todo caso, aquí surgen diferentes versiones:

Versión 1: Fermat demostró su teorema. (A la pregunta: "¿Tenía Fermat exactamente la misma prueba de su teorema?", Andrew Wiles remarcó: "Fermat no pudo haber entonces prueba. Esta es la prueba del siglo 20. "Entendemos que en el siglo 17 las matemáticas, por supuesto, no eran las mismas que a fines del siglo 20: en esa época, d, Artagnan, la reina de las ciencias, no sin embargo, posee esos descubrimientos (formas modulares, teoremas de Taniyama, Frey, etc.), que solo hicieron posible demostrar el último teorema de Fermat. Por supuesto, uno puede suponer: qué demonios no es broma, ¿y si Fermat adivinara de una manera diferente? ?Esta versión, aunque probable, es prácticamente imposible según la mayoría de los matemáticos);
Versión 2: A Pierre de Fermat le pareció que había probado su teorema, pero había errores en su prueba. (Es decir, el mismo Fermat fue también el primer Fermatista);
Versión 3: Fermat no probó su teorema, sino que simplemente mintió en los márgenes.

Si una de las dos últimas versiones es correcta, que es lo más probable, entonces se puede sacar una conclusión simple: grandes personas, aunque son grandes, también pueden cometer errores o a veces no les importa mentir(básicamente, esta conclusión será útil para aquellos que se inclinan a confiar completamente en sus ídolos y otros gobernantes de pensamientos). Por lo tanto, al leer las obras de los hijos autoritarios de la humanidad o al escuchar sus patéticos discursos, tienes todo el derecho a dudar de sus declaraciones. (Tenga en cuenta que dudar no es rechazar).

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En el siglo XVII, vivía en Francia un abogado y matemático a tiempo parcial, Pierre Fermat, que dedicaba a su afición largas horas de ocio. Una noche de invierno, sentado junto a la chimenea, presentó una declaración muy curiosa del campo de la teoría de números: fue esto lo que más tarde se llamó el Gran o Gran Teorema de Fermat. Quizás la emoción no hubiera sido tan significativa en los círculos matemáticos si no hubiera ocurrido un evento. El matemático a menudo pasaba las tardes estudiando el libro favorito de Diofanto de Alejandría, "Aritmética" (siglo III), mientras escribía pensamientos importantes en sus márgenes; esta rareza fue preservada cuidadosamente para la posteridad por su hijo. Así, en los amplios márgenes de este libro, la mano de Fermat había dejado esta inscripción: "Tengo una prueba bastante llamativa, pero es demasiado grande para colocarla en los márgenes". Fue esta entrada la que causó el entusiasmo abrumador en torno al teorema. No había duda entre los matemáticos de que el gran científico declaró que había probado su propio teorema. Seguramente te estarás preguntando: “¿Realmente lo demostró, o fue una mentira banal, o tal vez hay otras versiones, por qué esta entrada, que no permitía dormir tranquilos a los matemáticos de las siguientes generaciones, terminó en los márgenes de la ¿libro?".

La esencia del Gran Teorema

El bastante conocido teorema de Fermat es simple en su esencia y consiste en que, siempre que n sea mayor que dos, un número positivo, la ecuación X n + Y n \u003d Z n no tendrá soluciones de tipo cero dentro el marco de los números naturales. Una complejidad increíble se enmascaraba en esta fórmula aparentemente simple, y se necesitaron tres siglos para demostrarlo. Hay una rareza: el teorema llegó tarde con el nacimiento del mundo, ya que su caso especial para n = 2 apareció hace 2200 años: este es el no menos famoso teorema de Pitágoras.

Cabe señalar que la historia del conocido teorema de Fermat es muy instructiva y entretenida, y no solo para los matemáticos. Lo más interesante es que la ciencia no era un trabajo para el científico, sino un simple pasatiempo, lo que, a su vez, le producía un gran placer al granjero. También se mantuvo constantemente en contacto con un matemático y, a tiempo parcial, también un amigo, compartió ideas, pero curiosamente, no buscó publicar su propio trabajo.

Actas del matemático Farmer

En cuanto a las obras de Farmer, se encontraron precisamente en forma de cartas ordinarias. En algunos lugares no había páginas enteras, y solo se han conservado fragmentos de correspondencia. Más interesante es el hecho de que durante tres siglos los científicos han estado buscando el teorema que se descubrió en los escritos de Fermer.

Pero quien no se atrevía a demostrarlo, los intentos se reducían a "cero". El famoso matemático Descartes incluso acusó al científico de jactarse, pero todo se reducía a la envidia más ordinaria. Además de crear, Farmer también demostró su propio teorema. Cierto, la solución se encontró para el caso donde n=4. En cuanto al caso de n=3, el matemático Euler lo identificó.

¿Cómo intentaron probar el teorema de Fermer?

A principios del siglo XIX, este teorema seguía existiendo. Los matemáticos han encontrado muchas pruebas de teoremas que estaban limitados a números naturales dentro de doscientos.

Y en 1909, se puso en juego una cantidad bastante grande, equivalente a cien mil marcos de origen alemán, y todo esto solo para resolver el problema asociado con este teorema. El fondo de la categoría de premios en sí lo dejó un rico amante de las matemáticas, Paul Wolfskell, originario de Alemania, por cierto, fue él quien quería "ponerse las manos encima", pero gracias a tal participación en el teorema de Fermer, quería En Vivo. El entusiasmo resultante dio lugar a toneladas de "pruebas" que inundaron las universidades alemanas, y en el círculo de los matemáticos nació el apodo de "fermista", que se usaba casi con desdén para llamar a cualquier advenedizo ambicioso que no lograba proporcionar pruebas claras.

Hipótesis del matemático japonés Yutaka Taniyama

No hubo cambios en la historia del Gran Teorema hasta mediados del siglo XX, pero sí ocurrió un evento interesante. En 1955, el matemático japonés Yutaka Taniyama, que tenía 28 años, reveló al mundo una declaración de un campo matemático completamente diferente: su hipótesis, a diferencia de Fermat, se adelantó a su tiempo. Dice: "Para cada curva elíptica hay una forma modular correspondiente". ¡Parece ser un absurdo para todo matemático, como que un árbol consiste en cierto metal! La hipótesis paradójica, como la mayoría de los otros descubrimientos sorprendentes e ingeniosos, no fue aceptada, simplemente porque todavía no habían crecido. Y Yutaka Taniyama se suicidó tres años después, un acto inexplicable, pero, probablemente, el honor para un verdadero genio samurái estaba por encima de todo.

Durante toda una década, la hipótesis no se recordó, pero en los años setenta alcanzó la cima de la popularidad: todos los que podían entenderla la confirmaron, pero, como el teorema de Fermat, no se demostró.

Cómo se relacionan la conjetura de Taniyama y el teorema de Fermat

Quince años después, ocurrió un evento clave en matemáticas, y combinó la famosa conjetura japonesa y el teorema de Fermat. Gerhard Gray afirmó que cuando se pruebe la conjetura de Taniyama, se encontrarán las pruebas del teorema de Fermat. Es decir, esto último es consecuencia de la conjetura de Taniyama, y ​​un año y medio después, el teorema de Fermat fue probado por un profesor de la Universidad de California, Kenneth Ribet.

Pasó el tiempo, la regresión fue reemplazada por el progreso y la ciencia avanzaba rápidamente, especialmente en el campo de la tecnología informática. Así, el valor de n comenzó a aumentar cada vez más.

A finales del siglo XX, las computadoras más poderosas estaban en laboratorios militares, la programación se llevó a cabo para derivar una solución al conocido problema de Fermat. Como consecuencia de todos los intentos, se reveló que este teorema es correcto para muchos valores de n, x, y. Pero, desafortunadamente, esta no se convirtió en la prueba final, ya que no había detalles como tales.

John Wiles demostró el Gran Teorema de Fermat

Y finalmente, solo a fines de 1994, un matemático de Inglaterra, John Wiles, encontró y demostró una prueba exacta del controvertido teorema de Fermer. Luego, después de muchas mejoras, las discusiones sobre este tema llegaron a su conclusión lógica.

¡La refutación se publicó en más de cien páginas de una revista! Además, el teorema se demostró en un aparato más moderno de matemáticas superiores. Y sorprendentemente, en el momento en que el Granjero escribió su trabajo, tal aparato no existía en la naturaleza. En una palabra, el hombre fue reconocido como un genio en este campo, que nadie podía discutir. A pesar de todo lo que sucedió, hoy puede estar seguro de que el teorema presentado por el gran científico Fermer está justificado y probado, y ningún matemático con sentido común iniciará disputas sobre este tema, con el que incluso los escépticos más empedernidos de toda la humanidad están de acuerdo.

El nombre completo de la persona que dio nombre al teorema presentado fue Pierre de Fermer. Hizo contribuciones a una amplia variedad de áreas de las matemáticas. Pero, desafortunadamente, la mayoría de sus obras se publicaron solo después de su muerte.