مجموعه تحت عمل بسته است. مجموعه های باز و بسته انواع مجموعه های روی خط واقعی

انگلیسی:ویکی پدیا سایت را امن تر می کند. شما از یک مرورگر وب قدیمی استفاده می کنید که در آینده نمی تواند به ویکی پدیا متصل شود. لطفاً دستگاه خود را به روز کنید یا با سرپرست فناوری اطلاعات خود تماس بگیرید.

中文: 维基 百科 正 使 网站 网站 更加 安全 您 正 在 使用 旧 ， ， 这 在 无法 连接 连接 维基 百科。 的 的 设备 或 或 您 管理员 管理员。。 提供 更 更 长 ， 具 的 更新 仅 仅 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 a سلام)

اسپانول:ویکی‌پدیا این موقعیت مکانی است. استفاده از وب‌سایت ناوبری است که در ویکی‌پدیا در آینده ایجاد نمی‌شود. در واقع با یک مدیر اطلاعات تماس بگیرید. Más abajo hay una actualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

فرانسیس:ویکی‌پدیا و بینتوت تقویت‌کننده سایت امنیتی پسر. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à lorsque ce sera fait ویکی پدیا. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. اطلاعات تکمیلی به علاوه تکنیک ها و زبان انگلیسی در دسترس است.

日本語: ウィキペディア で は の セキュリティ セキュリティ を て い ます。 ご 利用 の は バージョン が 古く 、 今後 、 、 接続 でき なる 可能 可能 性 が デバイス を する する 、 、 、 、 管理 管理 ご ください。 技術 技術 面 面 の の 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 a更新 更新 更新 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい HIP情報は以下に英語で提供

آلمانی: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten مرورگر وب، der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

ایتالیایی:ویکی‌پدیا از rendendo il sito più sicuro است. با استفاده از مرورگر وب، ویکی‌پدیا را در آینده مشاهده کنید. به نفع خود، اطلاعاتی را در اختیار شما قرار دهید. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico به زبان انگلیسی.

مجاری: Biztonságosabb lesz یک ویکی پدیا. A böngésző، amit használsz، nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

سوئد:ویکی پدیا گور سیدان مر سایکر. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. به روز رسانی در مورد مدیریت فناوری اطلاعات است. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

ما در حال حذف پشتیبانی از نسخه های پروتکل ناامن TLS، به ویژه TLSv1.0 و TLSv1.1 هستیم، که نرم افزار مرورگر شما برای اتصال به سایت های ما به آن متکی است. این معمولاً به دلیل مرورگرهای قدیمی یا تلفن های هوشمند اندرویدی قدیمی ایجاد می شود. یا ممکن است تداخل نرم افزار «Web Security» شرکتی یا شخصی باشد که در واقع امنیت اتصال را کاهش می دهد.

برای دسترسی به سایت های ما باید مرورگر وب خود را ارتقا دهید یا این مشکل را برطرف کنید. این پیام تا 1 ژانویه 2020 باقی خواهد ماند. پس از آن تاریخ، مرورگر شما نمی‌تواند با سرورهای ما ارتباط برقرار کند.

مجموعه های باز و بسته

پیوست 1 . مجموعه های باز و بسته

بسیاری از مدر یک خط مستقیم نامیده می شود باز کن، اگر هر یک از نقاط آن با مقداری فاصله در این مجموعه موجود باشد. بسته شدمجموعه‌ای نامیده می‌شود که تمام نقاط حد آن را در بر می‌گیرد (یعنی به‌طوری‌که هر بازه‌ای حاوی این نقطه حداقل یک نقطه دیگر با مجموعه قطع کند). به عنوان مثال، یک قطعه یک مجموعه بسته است، اما باز نیست، و یک بازه، برعکس، یک مجموعه باز است، اما بسته نیست. مجموعه هایی هستند که نه باز هستند و نه بسته (مثلاً یک نیم فاصله). دو مجموعه وجود دارد که هر دو بسته و باز هستند - این خالی است و همه ز(ثابت کنید که دیگران وجود ندارند). به راحتی می توان فهمید که اگر مباز کنید، سپس [` م] (یا ز \ م- علاوه بر مجموعه مقبل از ز) بسته است. در واقع، اگر [` م] بسته نیست، سپس برخی از نقاط حد خود را شامل نمی شود متر. اما بعد متر O م، و هر بازه حاوی متر، با مجموعه [` تلاقی می کند م]، یعنی نکته ای دارد که در آن نهفته نیست م، که با این واقعیت که م- باز کن. همین طور مستقیماً از تعریف نیز ثابت می شود که اگر مبسته شد، سپس [` م] باز کردن (بررسی کنید!).

اکنون قضیه مهم زیر را اثبات می کنیم.

قضیه. هر مجموعه باز مرا می توان به عنوان اتحادی از فواصل با انتهای گویا (یعنی با انتهای در نقاط گویا) نشان داد.

اثبات . اتحادیه را در نظر بگیرید Uتمام فواصل با انتهای منطقی که زیر مجموعه مجموعه ما هستند. اجازه دهید ثابت کنیم که این اتحادیه با کل مجموعه منطبق است. در واقع، اگر متر- یک نقطه از م، سپس یک فاصله وجود دارد ( متر 1 , متر 2) م م، حاوی متر(این از این واقعیت ناشی می شود که م- باز کن). یافتن یک نقطه منطقی در هر بازه ای ممکن است. اجازه دهید در ( متر 1 , متر) - این هست متر 3، در ( متر, متر 2) است مترچهار . سپس نکته مترتحت پوشش اتحادیه U، یعنی فاصله ( متر 3 , مترچهار). بنابراین، ما ثابت کرده ایم که هر نکته متراز جانب متحت پوشش اتحادیه U. علاوه بر این، همانطور که از ساخت و ساز مشخص است U، هیچ نکته ای وجود ندارد م، پوشش داده نشده U. به معنای، Uو مهمخوانی داشتن.

پیامد مهم این قضیه این است که هر مجموعه باز است قابل شمارشترکیب فواصل

هیچ کجا مجموعه متراکم و مجموعه های اندازه گیری ~ صفر. مجموعه کانتور>

پیوست 2 . هیچ کجا مجموعه متراکم و مجموعه های اندازه گیری صفر. مجموعه کانتور

بسیاری از آتماس گرفت هیچ جا تنگ، اگر برای هر نقطه متفاوت است آو بیک بخش وجود دارد [ ج, د] م [ آ, ب]، با آ. به عنوان مثال، مجموعه ای از نقاط در دنباله آ n = [ 1/(n)] هیچ جا متراکم نیست، اما مجموعه اعداد گویا اینطور نیست.

قضیه بائر. یک بخش را نمی توان به عنوان یک اتحادیه قابل شمارش از مجموعه های متراکم هیچ جا نشان داد.

اثبات . فرض کنید یک دنباله وجود دارد آ کهیچ جا مجموعه های متراکم به طوری که من آ من = [آ, ب]. بیایید دنباله ای از بخش های زیر را بسازیم. اجازه دهید من 1 قسمتی است که در [ آ, ب] و متقاطع با آیکی . طبق تعریف، مجموعه ای متراکم در هیچ جا در فاصله من 1 قسمتی وجود دارد که با مجموعه تلاقی ندارد آ 2. بیایید آن را صدا کنیم من 2. بعد، در بخش من 2 بخش را به روشی مشابه بگیرید من 3، با آ 3 و غیره دنباله من کبخش های تو در تو یک نقطه مشترک دارند (این یکی از ویژگی های اصلی اعداد حقیقی است). این نقطه، از نظر ساخت، در هیچ یک از مجموعه ها قرار ندارد آ ک، بنابراین این مجموعه ها کل بخش را پوشش نمی دهند [ آ, ب].

بیایید مجموعه را صدا کنیم م داشتن اندازه گیری صفر، اگر برای هر e مثبت دنباله ای وجود داشته باشد من کفواصل با طول کل کمتر از e، پوشش م. بدیهی است که هر مجموعه قابل شمارش دارای اندازه صفر است. با این حال، مجموعه های غیرقابل شمارشی نیز وجود دارند که دارای اندازه گیری صفر هستند. اجازه دهید یکی از این قبیل، بسیار معروف، به نام Cantor را بسازیم.

بیایید یک برش بگیریم. بیایید آن را به سه قسمت مساوی تقسیم کنیم. قسمت میانی را بیرون بیاندازید (شکل 11، آ). دو بخش از طول کل وجود خواهد داشت [2/3]. با هر یک از آنها دقیقاً همان عملیات را انجام خواهیم داد (شکل 11، ب). چهار بخش از طول کل وجود خواهد داشت [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . به همین ترتیب ادامه دهید (شکل 11، که در–ه) تا بی نهایت، مجموعه ای را به دست می آوریم که دارای اندازه ای کمتر از اندازه گیری مثبت است، یعنی اندازه گیری صفر. می توان یک تناظر یک به یک بین نقاط این مجموعه و دنباله های بی نهایت صفر و یک برقرار کرد. اگر در اولین "پرتاب" نقطه ما به بخش سمت راست افتاد، 1 را در ابتدای دنباله قرار می دهیم، اگر در سمت چپ - 0 (شکل 11، آ). علاوه بر این، پس از اولین "پرتاب کردن"، یک کپی کوچک از بخش بزرگ دریافت می کنیم، که با آن همین کار را انجام می دهیم: اگر نقطه ما پس از بیرون انداختن در قسمت سمت راست قرار گرفت، 1 را قرار می دهیم، اگر در سمت چپ - 0، و غیره (یکتای متقابل را بررسی کنید)، برنج. یازده، ب, که در. از آنجایی که مجموعه دنباله های صفر و یک دارای کاردینالیته پیوستار است، مجموعه کانتور نیز کاردینالیته پیوستار را دارد. علاوه بر این، به راحتی می توان ثابت کرد که هیچ جا متراکم نیست. با این حال، این درست نیست که اندازه گیری دقیق صفر دارد (به تعریف معیار دقیق مراجعه کنید). ایده پشت اثبات این واقعیت به شرح زیر است: دنباله را بگیرید آ n، خیلی سریع به سمت صفر گرایش پیدا می کند. برای این، به عنوان مثال، دنباله آ n = [ 1/(2 2 n)]. سپس ثابت می کنیم که این دنباله نمی تواند مجموعه Cantor را پوشش دهد (آن را انجام دهید!).

پیوست 3 . وظایف

عملیات روی مجموعه ها

مجموعه ها آو بتماس گرفت برابراگر هر عنصر از مجموعه آمتعلق به مجموعه است ب، و بالعکس. تعیین: آ = ب.

بسیاری از آتماس گرفت زیرمجموعهمجموعه ها باگر هر عنصر از مجموعه آمتعلق به مجموعه است ب. تعیین: آم ب.

1. برای هر یک از دو مجموعه زیر، مشخص کنید که آیا یکی زیر مجموعه دیگری است یا خیر:

2. ثابت کنید که مجموعه آاگر و تنها در آن صورت زیرمجموعه ای از مجموعه است بزمانی که هر عنصر تعلق ندارد ب، متعلق نبودن به آ.

3. برای مجموعه های دلخواه ثابت کنید آ, بو سی

آ) آم آ; ب) اگر آم بو بم سی، سپس آم سی;

که در) آ = ب، اگر و تنها اگر آم بو بم آ.

مجموعه نامیده می شود خالیاگر حاوی هیچ عنصری نباشد. نامگذاری: ژ.

4. هر یک از مجموعه های زیر چند عنصر دارد:

5. یک مجموعه از سه عنصر چند زیر مجموعه دارد؟

6. آیا یک مجموعه می تواند دقیقاً a) 0 داشته باشد; ب*) 7; ج) 16 زیر مجموعه؟

اتحادیهمجموعه ها آو ب ایکس، چی ایکس O آیا ایکس O ب. تعیین: آو ب.

عبور ازمجموعه ها آو بمجموعه ای متشکل از چنین نامیده می شود ایکس، چی ایکس O آو ایکس O ب. تعیین: آدبلیو ب.

تفاوتمجموعه ها آو بمجموعه ای متشکل از چنین نامیده می شود ایکس، چی ایکس O آو ایکسپ ب. تعیین: آ \ ب.

7. مجموعه داده می شود آ = {1,3,7,137}, ب = {3,7,23}, سی = {0,1,3, 23}, دی= (0,7,23,1998). یافتن مجموعه ها:

8. اجازه دهید آمجموعه اعداد زوج است و بمجموعه اعدادی است که بر 3 بخش پذیر است. پیدا کنید آدبلیو ب.

9. ثابت کنید که برای هر مجموعه آ, ب, سی

آ) آو ب = بو آ, آدبلیو ب = بدبلیو آ;

ب) آو ( بو سی) = (آو ب) و سی, آز ( بدبلیو سی) = (آدبلیو ب) ز سی;

که در) آز ( بو سی) = (آدبلیو ب)و ( آدبلیو سی), آو ( بدبلیو سی) = (آو ب)Z ( آو سی);

ز) آ \ (بو سی) = (آ \ ب)Z ( آ \ سی), آ \ (بدبلیو سی) = (آ \ ب)و ( آ \ سی).

10. آیا این درست است که برای هر مجموعه ای آ, ب, سی

تنظیم نقشه ها

اگر هر عنصر ایکسمجموعه ها ایکسدقیقاً به یک عنصر نگاشت شده است f(ایکس) مجموعه ها Y، سپس می گویند که داده شده است نمایش دادن fاز بسیاری ایکسبه انبوه Y. در عین حال، اگر f(ایکس) = y، سپس عنصر yتماس گرفت مسیرعنصر ایکسزمانی که نمایش داده می شود f، و عنصر ایکستماس گرفت نمونه اولیهعنصر yزمانی که نمایش داده می شود f. تعیین: f: ایکس ® Y.

11. تمام نگاشتهای ممکن را از مجموعه (7،8،9) به مجموعه (0،1) رسم کنید.

اجازه دهید f: ایکس ® Y, y O Y, آم ایکس, بم Y. پیش تصویر کامل یک عنصر y زمانی که نمایش داده می شود fمجموعه نامیده می شود ( ایکس O ایکس | f(ایکس) = y). تعیین: f - 1 (y). تصویر مجموعه آم ایکس زمانی که نمایش داده می شود fمجموعه نامیده می شود ( f(ایکس) | ایکس O آ). تعیین: f(آ). نمونه اولیه مجموعه بم Y مجموعه نامیده می شود ( ایکس O ایکس | f(ایکس) O ب). تعیین: f - 1 (ب).

12. برای نمایش f: (0،1،3،4) ® (2،5،7،18) داده شده توسط تصویر، پیدا کنید f({0,3}), f({1,3,4}), f - 1 (2), f - 1 ({2,5}), f - 1 ({5,18}).

13. اجازه دهید f: ایکس ® Y, آ 1 , آ 2 م ایکس, ب 1 , ب 2 م Y. آیا این همیشه درست است

آ) f(ایکس) = Y;

ب) f - 1 (Y) = ایکس;

که در) f(آ 1 و آ 2) = f(آ 1) و f(آ 2);

ز) f(آ 1 Z آ 2) = f(آ 1) ز f(آ 2);

ه) f - 1 (ب 1 و ب 2) = f - 1 (ب 1) و f - 1 (ب 2);

ه) f - 1 (ب 1 Z ب 2) = f - 1 (ب 1) ز f - 1 (ب 2);

ز) اگر f(آ 1M f(آ 2) سپس آ 1M آ 2 ;

ح) اگر f - 1 (ب 1M f - 1 (ب 2) سپس ب 1M ب 2 ?

ترکیب بندینقشه برداری ها f: ایکس ® Yو g: Y ® زنقشه ای نامیده می شود که به یک عنصر نگاشت می شود ایکسمجموعه ها ایکسعنصر g(f(ایکس)) مجموعه ها ز. تعیین: g° f.

14. برای نگاشت دلخواه ثابت کنید f: ایکس ® Y, g: Y ® زو ساعت: ز ® دبلیوزیر انجام می شود: ساعت° ( g° f) = (ساعت° g)° f.

15. اجازه دهید f: (1،2،3،5) ® (0،1،2)، g: (0،1،2) ® (3،7،37،137)، ساعت: (3،7،37،137) ® (1،2،3،5) - نگاشت های نشان داده شده در شکل:

برای نمایشگرهای زیر تصاویر بکشید:

آ) g° f; ب) ساعت° g; که در) f° ساعت° g; ز) g° ساعت° f.

نمایش دادن f: ایکس ® Yتماس گرفت دوطرفهاگر برای هر کدام y O Yدقیقا یکی هست ایکس O ایکسبه طوری که f(ایکس) = y.

16. اجازه دهید f: ایکس ® Y, g: Y ® ز. آیا این درست است که اگر fو gپس دوطرفه هستند g° fبه صورت دوگانه؟

17. اجازه دهید f: (1،2،3) ® (1،2،3)، g: (1،2،3) ® (1،2،3)، نگاشت هایی هستند که در شکل نشان داده شده اند:

18. برای هر دو از مجموعه‌های زیر، بررسی کنید که آیا از اولین به دوم یک تقسیم‌بندی وجود دارد (فرض کنید که صفر یک عدد طبیعی است):

الف) مجموعه اعداد طبیعی؛

ب) مجموعه اعداد طبیعی زوج؛

ج) مجموعه اعداد طبیعی بدون عدد 3.

فضای متریکمجموعه ای نامیده می شود ایکسبا داده شده متریک r: ایکس× ایکس ® ز

1) " ایکس,y O ایکس r( ایکس,y) i 0 و r ( ایکس,y) = 0 اگر و فقط اگر ایکس = y (غیر منفی بودن ); 2) " ایکس,y O ایکس r( ایکس,y) = r ( y,ایکس) (تقارن ); 3) " ایکس,y,z O ایکس r( ایکس,y) + r ( y,z) و r ( ایکس,z) (نابرابری مثلث ). 19 19. ایکس

آ) ایکس = ز، ر ( ایکس,y) = | ایکس - y| ;

ب) ایکس = ز 2، r 2 (( ایکس 1 ,y 1),(ایکس 2 ,y 2)) = C (( ایکس 1 - ایکس 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

که در) ایکس = سی[آ,بآ,ب] کارکرد،

باز کن(به ترتیب، بسته) توپ شعاع rدر فضای ایکسمتمرکز بر یک نقطه ایکسمجموعه نامیده می شود U r (ایکس) = {y O ایکس:r( ایکس,y) < r) (به ترتیب، ب r (ایکس) = {y O ایکس:r( ایکس,y) Ј r}).

نقطه داخلیمجموعه ها Uم ایکس U

باز کن محلهاین نقطه

نقطه حدمجموعه ها افم ایکس اف.

بسته

20. ثابت کنیم که

21. ثابت کنیم که

ب) اتحاد را تنظیم کنید آ بسته آ

نمایش دادن f: ایکس ® Yتماس گرفت مداوم

22.

23. ثابت کنیم که

اف (ایکس) = inf y O اف r( ایکس,y

اف.

24. اجازه دهید f: ایکس ® Y– . آیا درست است که معکوس آن پیوسته است؟

نقشه برداری مداوم یک به یک f: ایکس ® Y همومورفیسم. فضاها ایکس, Yهمومورفیک.

25.

26. برای کدام زوج ها ایکس, Y f: ایکس ® Y، که به هم نمی چسبدنقاط (یعنی f(ایکس) № f(y) در ایکس № y سرمایه گذاری ها)?

27*. همومورفیسم محلی(یعنی هر نقطه ایکسهواپیما و f(ایکس) از چنبره، محله هایی وجود دارد Uو V، چی fبه صورت همومورف نقشه می کشد Uبر روی V).

فضاهای متریک و نگاشت های پیوسته

فضای متریکمجموعه ای نامیده می شود ایکسبا داده شده متریک r: ایکس× ایکس ® ز، که بدیهیات زیر را برآورده می کند:

1) " ایکس,y O ایکس r( ایکس,y) i 0 و r ( ایکس,y) = 0 اگر و فقط اگر ایکس = y (غیر منفی بودن ); 2) " ایکس,y O ایکس r( ایکس,y) = r ( y,ایکس) (تقارن ); 3) " ایکس,y,z O ایکس r( ایکس,y) + r ( y,z) و r ( ایکس,z) (نابرابری مثلث ). 28. ثابت کنید که جفت های زیر ( ایکس,r ) فضاهای متریک هستند:

آ) ایکس = ز، ر ( ایکس,y) = | ایکس - y| ;

ب) ایکس = ز 2، r 2 (( ایکس 1 ,y 1),(ایکس 2 ,y 2)) = C (( ایکس 1 - ایکس 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

که در) ایکس = سی[آ,ب] مجموعه ای از پیوستگی در [ آ,ب] کارکرد،

باز کن(به ترتیب، بسته) توپ شعاع rدر فضای ایکسمتمرکز بر یک نقطه ایکسمجموعه نامیده می شود U r (ایکس) = {y O ایکس:r( ایکس,y) < r) (به ترتیب، ب r (ایکس) = {y O ایکس:r( ایکس,y) Ј r}).

نقطه داخلیمجموعه ها Uم ایکسنکته ای است که در Uهمراه با چند توپ با شعاع غیر صفر.

مجموعه ای که تمام نقاط آن داخلی هستند نامیده می شود باز کن. مجموعه باز حاوی یک نقطه معین نامیده می شود محلهاین نقطه

نقطه حدمجموعه ها افم ایکسنقطه ای را چنین می گویند که در هر همسایگی که بی نهایت نقاط مجموعه وجود دارد اف.

مجموعه ای که شامل تمام نقاط حد خود باشد نامیده می شود بسته(این تعریف را با تعریف ارائه شده در پیوست 1 مقایسه کنید).

29. ثابت کنیم که

الف) یک مجموعه باز است اگر و فقط در صورتی که مکمل آن بسته باشد.

ب) یک اتحادیه محدود و یک تقاطع قابل شمارش از مجموعه های بسته بسته است.

ج) یک اتحادیه قابل شمارش و یک تقاطع متناهی از مجموعه های باز باز است.

30. ثابت کنیم که

الف) مجموعه نقاط حدی هر مجموعه یک مجموعه بسته است.

ب) اتحاد را تنظیم کنید آو مجموعه نقاط حد آن ( بسته آ) یک مجموعه بسته است.

نمایش دادن f: ایکس ® Yتماس گرفت مداوماگر پیش تصویر هر مجموعه باز باز باشد.

31. ثابت کنید که این تعریف با تعریف تداوم توابع روی خط مطابقت دارد.

32. ثابت کنیم که

الف) فاصله تا مجموعه r اف (ایکس) = inf y O اف r( ایکس,y) یک تابع پیوسته است.

ب) مجموعه صفرهای تابع نقطه الف) با بسته شدن منطبق است اف.

33. اجازه دهید f: ایکس ® Y

نقشه برداری مداوم یک به یک f: ایکس ® Yکه معکوس آن نیز پیوسته است، نامیده می شود همومورفیسم. فضاها ایکس, Y، که چنین نقشه برداری برای آنها وجود دارد، نامیده می شوند همومورفیک.

34. برای هر جفت از مجموعه‌های زیر، همومورف بودن آنها را مشخص کنید:

35. برای کدام زوج ها ایکس, Yفضاهای مشکل قبلی یک نقشه پیوسته وجود دارد f: ایکس ® Y، که به هم نمی چسبدنقاط (یعنی f(ایکس) № f(y) در ایکس № yچنین نمایشگرهایی نامیده می شوند سرمایه گذاری ها)?

36*. به یک نقشه پیوسته هواپیما-توروس فکر کنید که می تواند باشد همومورفیسم محلی(یعنی هر نقطه ایکسهواپیما و f(ایکس) از چنبره، محله هایی وجود دارد Uو V، چی fبه صورت همومورف نقشه می کشد Uبر روی V).

کامل بودن. قضیه بائر

اجازه دهید ایکسیک فضای متریک است. دنباله ایکس nعناصر آن نامیده می شود اساسی، اگر

37. ثابت کنید که دنباله همگرا بنیادی است. آیا برعکس آن درست است؟

فضای متریک نامیده می شود کاملاگر هر دنباله اساسی در آن همگرا شود.

38. آیا این درست است که یک فضای همومورف به یک فضای کامل کامل است؟

39. ثابت کنید که یک زیرفضای بسته از یک فضای کامل، خودش کامل است. یک زیرفضای کامل از یک فضای دلخواه در آن بسته است.

40. ثابت کنید که در یک فضای متریک کامل، دنباله ای از توپ های بسته تو در تو با شعاع های متمایل به صفر دارای یک عنصر مشترک هستند.

41. آیا در مسئله قبلی می توان شرط کامل بودن فضا یا تمایل شعاع توپ ها به صفر را حذف کرد؟

نمایش دادن fفضای متریک ایکسبه خودی خود نامیده می شود فشاری، اگر

42. ثابت کنید که نقشه انقباض پیوسته است.

43. الف) ثابت کنید که نگاشت انقباض یک فضای متریک کامل در خودش دقیقاً یک نقطه ثابت دارد.

ب) نقشه روسیه در مقیاس 1:20.000.000 بر روی نقشه روسیه در مقیاس 1:5.000.000 قرار می گیرد ثابت کنید نقطه ای وجود دارد که تصاویر آن در هر دو نقشه با هم مطابقت دارند.

44*. آیا فضای متریک ناقصی وجود دارد که بیان مسئله در آن درست باشد، درست است؟

زیر مجموعه ای از فضای متریک نامیده می شود همه جا متراکماگر بسته شدن آن با کل فضا منطبق باشد. هیچ جا تنگ- اگر بسته شدن آن زیرمجموعه باز غیر خالی نداشته باشد (این تعریف را با تعریف ارائه شده در پیوست 2 مقایسه کنید).

45. الف) اجازه دهید آ, ب, a , b О زو آ < a < b < ب. ثابت کنید که مجموعه توابع پیوسته در [ آ,ب] که روی یکنواخت هستند، در فضای همه توابع پیوسته در [ آ,ب] با متریک یکنواخت.

ب) اجازه دهید آ, ب, ج، ای او زو آ < ب, ج> 0، e > 0. سپس مجموعه توابع پیوسته در [ آ,ب]، به طوری که

46. (قضیه بایر تعمیم یافته است .) ثابت کنید که یک فضای متریک کامل را نمی توان به عنوان اتحادی از تعداد قابل شمارش مجموعه های هیچ جا متراکم نشان داد.

47. ثابت کنید که مجموعه توابع پیوسته، غیر یکنواخت در هر بازه غیر خالی و هیچ کجای توابع قابل تمایز تعریف شده در بازه، همه جا در فضای همه توابع پیوسته روشن با متریک یکنواخت متراکم است.

48*. اجازه دهید fیک تابع قابل تمایز در بخش است. ثابت کنید که مشتق آن بر روی مجموعه ای از نقاط متراکم در همه جا پیوسته است. این تعریف لبگصفر را اندازه می گیرد اگر تعداد قابل شمارش بازه ها با یک متناهی جایگزین شود، آنگاه به تعریف می رسیم اردنیصفر را اندازه می گیرد

حال اجازه دهید برخی از خواص ویژه مجموعه های بسته و باز را ثابت کنیم.

قضیه 1. مجموع تعداد محدود یا قابل شمارش مجموعه های باز یک مجموعه باز است. حاصل ضرب تعداد محدودی از مجموعه های باز یک مجموعه باز است،

مجموع تعداد محدود یا قابل شمارش مجموعه های باز را در نظر بگیرید:

اگر، P به حداقل یکی از Let Since یک مجموعه باز تعلق دارد، آنگاه مقداری -همسایگی P نیز متعلق به همان -همسایگی P نیز به مجموع g تعلق دارد، از این رو نتیجه می شود که g یک مجموعه باز است. اکنون محصول نهایی را در نظر بگیرید

و فرض کنید P متعلق به g باشد. اجازه دهید همانطور که در بالا ذکر شد ثابت کنیم که برخی از همسایگی P به g تعلق دارد. از آنجایی که P متعلق به g است، پس P متعلق به همه است. از آنجایی که مجموعه‌های باز هستند، پس برای هر یک مقداری همسایگی نقطه متعلق به وجود دارد. اگر عدد را برابر با کوچکترین عددی که متناهی است در نظر بگیریم، همسایگی نقطه P متعلق به همه و در نتیجه به g خواهد بود. توجه داشته باشید که نمی توان ادعا کرد که حاصل ضرب تعداد قابل شمارش مجموعه های باز یک مجموعه باز است.

قضیه 2. مجموعه CF باز و مجموعه CO بسته است.

اجازه دهید ادعای اول را ثابت کنیم. فرض کنید P متعلق به CF باشد. لازم است ثابت شود که برخی از محله های P متعلق به CF است. این نتیجه از این واقعیت است که اگر نقاط F در هر همسایگی P وجود داشته باشد، نقطه P که به شرط تعلق ندارد، نقطه حد F خواهد بود و به دلیل بسته بودن آن، باید متعلق باشد، که منجر به یک تناقض

قضیه 3. حاصل ضرب تعداد محدود یا قابل شمارش مجموعه های بسته یک مجموعه بسته است. مجموع تعداد محدودی از مجموعه های بسته یک مجموعه بسته است.

اجازه دهید برای مثال ثابت کنیم که مجموعه

بسته با عبور از مجموعه های اضافی، می توانیم بنویسیم

با قضیه، مجموعه های باز، و با قضیه 1، مجموعه نیز باز است، و بنابراین مجموعه مکمل g بسته می شود. توجه داشته باشید که مجموع تعداد قابل شمارش مجموعه های بسته نیز ممکن است یک مجموعه غیر بسته باشد.

قضیه 4. یک مجموعه یک مجموعه باز و یک مجموعه بسته است.

بررسی برابری های زیر آسان است:

از آنها، به موجب قضایای قبلی، قضیه 4 به دست می آید.

اگر هر نقطه g حداقل در یکی از مجموعه‌های سیستم M گنجانده شود، می‌گوییم که مجموعه g توسط سیستم M از چند مجموعه پوشیده می‌شود.

قضیه 5 (بورل). اگر یک مجموعه محدود بسته F توسط یک سیستم نامتناهی از مجموعه های باز O پوشیده شده باشد، از این سیستم نامتناهی می توان تعداد محدودی از مجموعه های باز را استخراج کرد که F را نیز پوشش می دهند.

ما این قضیه را از روی عکس ثابت می کنیم. اجازه دهید فرض کنیم که هیچ تعداد محدودی از مجموعه های باز از سیستم a را پوشش نمی دهد و این را به یک تناقض کاهش می دهیم. از آنجایی که F یک مجموعه محدود است، پس همه نقاط F به یک بازه دو بعدی محدود تعلق دارند. اجازه دهید این فاصله بسته را به چهار قسمت مساوی تقسیم کنیم و فواصل را به نصف تقسیم کنیم. هر یک از چهار بازه به دست آمده بسته گرفته می شود. آن نقاط F که روی یکی از این چهار بازه بسته قرار می گیرند، به موجب قضیه 2، یک مجموعه بسته را نشان می دهند، و حداقل یکی از این مجموعه های بسته را نمی توان با تعداد محدودی از مجموعه های باز از سیستم a پوشش داد. یکی از چهار بازه بسته فوق را که در آن این شرایط اتفاق می افتد، در نظر می گیریم. دوباره این فاصله را به چهار قسمت مساوی تقسیم می کنیم و به همان روش بالا استدلال می کنیم. بنابراین، سیستمی از فواصل تو در تو را به دست می آوریم که هر یک از آنها چهارمین قسمت قبلی است و شرایط زیر رخ می دهد: مجموعه نقاط F متعلق به هر k را نمی توان با تعداد محدودی از مجموعه های باز پوشاند. از سیستم الف. با افزایش بی نهایت در k، شکاف ها به طور نامحدود تا نقطه ای P که متعلق به همه شکاف ها است، کوچک می شوند. از آنجایی که برای هر k، آنها مجموعه ای غیرقابل شمارش از نقاط را شامل می شوند، نقطه P یک نقطه حدی برای F است و بنابراین به F تعلق دارد، زیرا F یک مجموعه بسته است. بنابراین نقطه P توسط مجموعه ای باز متعلق به سیستم a پوشانده می شود. مقداری از همسایگی نقطه P نیز به مجموعه باز O تعلق دارد. برای مقادیر به اندازه کافی بزرگ از k، فواصل D در داخل همسایگی بالا نقطه P قرار می گیرند. بنابراین، این فاصله ها به طور کامل تنها با یک پوشیده می شوند. مجموعه باز O از سیستم a، و این با این واقعیت که نقاط متعلق به هر k را نمی توان با تعداد محدودی از مجموعه های باز متعلق به a پوشاند، در تضاد است. بنابراین قضیه ثابت می شود.

قضیه 6. یک مجموعه باز را می توان به صورت مجموع تعداد قابل شمارش شکاف های نیمه باز به صورت جفت بدون نقاط مشترک نشان داد.

به یاد بیاورید که یک شکاف نیمه باز در صفحه یک شکاف محدود است که توسط نابرابری های شکل تعریف می شود.

بیایید روی صفحه یک شبکه مربع با اضلاع موازی با محورها و با طول ضلع برابر با یک قرار دهیم. مجموعه این مربع ها یک مجموعه قابل شمارش است. ما از میان این مربع‌ها آن مربع‌هایی را انتخاب می‌کنیم که همه نقاط آنها به یک مجموعه باز داده شده O تعلق دارند. تعداد این مربع‌ها ممکن است محدود یا قابل شمارش باشد یا اصلاً چنین مربع‌هایی وجود نداشته باشد. هر یک از مربع های باقیمانده شبکه را به چهار مربع یکسان تقسیم می کنیم و از مربع های تازه به دست آمده مجدداً مربع هایی را انتخاب می کنیم که تمام نقاط آنها متعلق به O است. مجدداً هر یک از مربع های باقی مانده را به چهار قسمت مساوی تقسیم می کنیم و مربع هایی را انتخاب می کنیم که همه نقاط آنها باشند. به O تعلق دارد و غیره. اجازه دهید نشان دهیم که هر نقطه P از مجموعه O در یکی از مربع های انتخاب شده قرار می گیرد که همه نقاط آن متعلق به O هستند. در واقع، d یک فاصله مثبت از P تا مرز O باشد. وقتی به مربع هایی رسیدیم که قطر آنها کمتر از . نقاط مشترک، و قضیه ثابت می شود. تعداد مربع های انتخاب شده لزوماً قابل شمارش خواهد بود، زیرا مجموع متناهی شکاف های نیمه باز آشکارا مجموعه ای باز نیست. با نشان دادن مربع های نیمه باز که در نتیجه ساخت فوق به دست آوردیم، می توانیم بنویسیم

اجازه دهید دو مجموعه X و Y داده شوند، همسان یا نه.

تعریف. مجموعه ای از جفت های مرتب شده از عناصر که اولی متعلق به X و دومی به Y است نامیده می شود محصول دکارتی مجموعه هاو نشان داده می شود.

مثال. اجازه دهید
,
، سپس

.

اگر یک
,
، سپس
.

مثال. اجازه دهید
، که در آن R مجموعه ای از تمام اعداد واقعی است. سپس
مجموعه ای از تمام مختصات دکارتی نقاط در صفحه است.

مثال. اجازه دهید
یک خانواده معین از مجموعه ها است، پس حاصل ضرب دکارتی این مجموعه ها مجموعه تمام رشته های مرتب شده به طول n است:

اگر پس از آن. موارد از
بردارهای ردیفی به طول n هستند.

ساختارهای جبری با یک عملیات دوتایی

1 عملیات جبری دودویی

اجازه دهید
یک مجموعه متناهی یا نامتناهی دلخواه است.

تعریف. دودویی جبریعمل ( قانون داخلی ترکیب) روی
نقشه برداری دلخواه اما ثابت مربع دکارتی نامیده می شود
که در
، یعنی

(1)

(2)

بنابراین، هر جفت سفارش داده شده است

. این حقیقت که
، به صورت نمادین نوشته می شود
.

به عنوان یک قاعده، عملیات باینری با نمادها نشان داده می شود
و غیره. مانند قبل، عملیات
به معنای «جمع» و عمل «» به معنای «ضرب» است. آنها در شکل نشانه گذاری و شاید در بدیهیات با هم تفاوت دارند که از زمینه مشخص خواهد شد. اصطلاح
محصول نامیده خواهد شد و
- مجموع عناصر و .

تعریف. بسیاری از
تحت عملیات بسته نامیده می شود.

مثال. مجموعه اعداد صحیح غیر منفی را در نظر بگیرید
. به عنوان عملیات باینری در
ما عملیات معمول جمع را در نظر خواهیم گرفت
و ضرب. سپس مجموعه ها
,
تحت این عملیات بسته خواهد شد.

اظهار نظر. همانطور که از تعریف بر می آید، انتساب عملیات جبری * در
، معادل بسته بودن مجموعه است
در رابطه با این عملیات اگر معلوم شد که مجموعه
با توجه به عملیات داده شده * بسته نیست، در این صورت می گوییم که عمل * جبری نیست. مثلاً عمل تفریق روی مجموعه اعداد طبیعی جبری نیست.

اجازه دهید
و
دو دست.

تعریف. قانون بیرونی ترکیباتدر مجموعه نقشه برداری نامیده می شود

, (3)

آن ها قانونی که به موجب آن هر عنصر
و هر عنصر
عنصر اختصاص داده شده است
. این حقیقت که
، با نماد نشان داده می شود
یا
.

مثال. ضرب ماتریس
در هر عدد
یک قانون خارجی ترکیب در مجموعه است
. ضرب اعداد در
را می توان هم به عنوان یک قانون درونی ترکیب و هم به عنوان یک قانون خارجی در نظر گرفت.

توزیعیدر مورد قانون داخلی ترکیب * در
، اگر

قانون خارجی ترکیب نامیده می شود توزیعیبا توجه به قانون داخلی ترکیب * در Y، اگر

مثال. ضرب ماتریس
در هر عدد
هم با توجه به جمع ماتریس و هم با توجه به جمع اعداد توزیعی است، زیرا،.

1. ویژگی های عملیات باینری

عملیات جبری باینری  روی یک مجموعه
به نام:

اظهار نظر. ویژگی های جابجایی و تداعی مستقل هستند.

مثال. مجموعه اعداد صحیح را در نظر بگیرید. عملیات  روشن است طبق قاعده تعریف کنید
. بیایید اعداد را انتخاب کنیم
و عملیات را روی این اعداد انجام دهید:

آن ها عملیات  جابجایی است، اما تداعی کننده نیست.

مثال. مجموعه را در نظر بگیرید
ماتریس های مربع ابعاد هستند
با ضرایب واقعی به عنوان یک عملیات باینری * در
اجازه دهید عملیات ضرب ماتریس را در نظر بگیریم. اجازه دهید
، سپس
، ولی
، یعنی عمل ضرب بر روی مجموعه ای از ماتریس های مربع تداعی است اما جابجایی نیست.

تعریف. عنصر
تماس گرفت تنهایا خنثیدر مورد عملیات مورد نظر  در
، اگر

لما اگر یک عنصر هویتی مجموعه است
تحت عملیات * بسته شده است، سپس منحصر به فرد است.

اثبات . اجازه دهید عنصر هویتی مجموعه است
، تحت عملیات بسته شده *. بیایید فرض کنیم که در
یک عنصر دیگر وجود دارد
، سپس
، زیرا یک عنصر واحد است و
، زیرا یک عنصر واحد است. در نتیجه،
تنها عنصر هویتی مجموعه است
.

تعریف. عنصر
تماس گرفت معکوسیا متقارنبه عنصر
، اگر

مثال. مجموعه اعداد صحیح را در نظر بگیرید با عملیات اضافه
. عنصر
، سپس عنصر متقارن
یک عنصر وجود خواهد داشت
. واقعا،.

یکی از وظایف اصلی تئوری مجموعه های نقطه، بررسی خواص انواع مجموعه نقطه است. بیایید در دو مثال با این نظریه آشنا شویم و ویژگی های مجموعه های به اصطلاح بسته و باز را بررسی کنیم.

مجموعه نامیده می شود بسته اگر شامل تمام نقاط حد خود باشد. اگر مجموعه ای هیچ نقطه محدودیتی نداشته باشد، آنگاه بسته نیز در نظر گرفته می شود. یک مجموعه بسته علاوه بر نقاط محدودی که دارد، می تواند حاوی نقاط ایزوله نیز باشد. مجموعه نامیده می شود باز کن اگر هر یک از نقاط آن درون آن باشد.

بیاوریم نمونه هایی از مجموعه های بسته و باز .

هر بخش یک مجموعه بسته است و هر بازه (a, b) یک مجموعه باز است. نیم فواصل نامناسب و بسته، و فواصل نامناسب و باز کن. کل خط هم یک مجموعه بسته و هم باز است. راحت است که مجموعه خالی را همزمان بسته و باز در نظر بگیریم. هر مجموعه محدودی از نقاط روی یک خط بسته است، زیرا هیچ نقطه حدی ندارد.

مجموعه ای متشکل از نکات:

بسته این مجموعه دارای یک نقطه حدی x=0 است که به مجموعه تعلق دارد.

وظیفه اصلی این است که بفهمیم یک مجموعه بسته یا باز دلخواه چگونه کار می کند. برای این کار به تعدادی واقعیت کمکی نیاز داریم که بدون اثبات آن ها را می پذیریم.

• 1. محل تقاطع هر تعداد مجموعه بسته بسته است.
• 2. مجموع هر تعداد مجموعه باز یک مجموعه باز است.
• 3. اگر یک مجموعه بسته از بالا محصور شود، آنگاه کران بالایی خود را دارد. به طور مشابه، اگر یک مجموعه بسته در زیر محدود شود، آنگاه دارای کران پایینی آن است.

اجازه دهید E یک مجموعه دلخواه از نقاط روی خط باشد. مکمل مجموعه را E می نامیم و با CE مجموعه تمام نقاط خط را که به مجموعه E تعلق ندارند نشان می دهیم. واضح است که اگر x یک نقطه خارجی برای E باشد، آنگاه یک نقطه داخلی برای E است. CE و بالعکس را تنظیم کنید.

4. اگر مجموعه F بسته باشد، مکمل آن CF باز است و بالعکس.

گزاره 4 نشان می دهد که رابطه بسیار نزدیکی بین مجموعه های بسته و باز وجود دارد: یکی مکمل دیگری است. به همین دلیل، مطالعه تنها یک مجموعه بسته یا باز کافی است. دانستن ویژگی‌های مجموعه‌های یک نوع به شما این امکان را می‌دهد که فوراً ویژگی‌های مجموعه‌های نوع دیگر را دریابید. به عنوان مثال، هر مجموعه باز با حذف مقداری مجموعه بسته از یک خط به دست می آید.

ما به بررسی خواص مجموعه های بسته می پردازیم. ما یک تعریف را معرفی می کنیم. فرض کنید F یک مجموعه بسته باشد. بازه (a, b) با ویژگی که هیچ یک از نقاط آن متعلق به مجموعه F نباشد، در حالی که نقاط a و b متعلق به F هستند، فاصله مجاور مجموعه F نامیده می شود.

در بین فواصل مجاور، فواصل نامناسب را نیز در نظر می گیریم یا اگر نقطه a یا نقطه b متعلق به مجموعه F باشد و خود فواصل با F تلاقی نداشته باشند. اجازه دهید نشان دهیم که اگر یک نقطه x متعلق به یک مجموعه بسته F نباشد، به یکی از فواصل مجاور آن تعلق دارد.

با بخشی از مجموعه F که در سمت راست نقطه x قرار دارد نشان دهید. از آنجایی که نقطه x خود به مجموعه F تعلق ندارد، می توان آن را به شکل یک تقاطع نشان داد:

هر یک از مجموعه های F و بسته است. بنابراین، با گزاره 1، مجموعه بسته می شود. اگر مجموعه خالی باشد، کل نیم فاصله به مجموعه F تعلق ندارد. حال فرض کنیم مجموعه خالی نیست. از آنجایی که این مجموعه کاملاً در نیم فاصله قرار دارد، از پایین محدود می شود. کران پایین آن را با b نشان دهید. طبق گزاره 3 که به این معناست علاوه بر این، از آنجایی که b انتها مجموعه است، پس نیمه بازه (x, b) که در سمت چپ نقطه b قرار دارد شامل نقاط مجموعه نیست و بنابراین شامل نقاط مجموعه F نمی شود. ، یک نیم بازه (x, b) ساخته ایم که شامل نقاط مجموعه F نیست و یا، یا نقطه b متعلق به مجموعه F است. به همین ترتیب، یک نیم فاصله (a, x) ساخته می شود که شامل نقاطی از مجموعه F، و یا، یا نیست. اکنون مشخص است که بازه (a, b) حاوی نقطه x است و یک فاصله مجاور از مجموعه F است. به راحتی می توان فهمید که اگر و دو بازه مجاور مجموعه F باشند، این فواصل یا منطبق هستند یا انجام می دهند. قطع نمی شود

از مطالب فوق چنین نتیجه می شود که هر مجموعه بسته روی خط با حذف تعداد معینی از بازه ها از خط به دست می آید، یعنی فواصل مجاور مجموعه F. از آنجایی که هر بازه حاوی حداقل یک نقطه گویا است و تمام نقاط گویا در خط یک مجموعه قابل شمارش است، به راحتی می توان مطمئن شد که تعداد تمام فواصل مجاور حداکثر قابل شمارش است. از اینجا به نتیجه نهایی می رسیم. هر مجموعه بسته روی یک خط با حذف حداکثر یک مجموعه قابل شمارش از فواصل غیرمتناسب از خط به دست می آید.

با گزاره 4، این بلافاصله به این معنی است که هر مجموعه باز روی خط حداکثر یک مجموع قابل شمارش از فواصل متمایز است. به موجب گزاره‌های 1 و 2، همچنین واضح است که هر مجموعه‌ای که مطابق با ذکر شده در بالا تنظیم شده باشد، در واقع بسته (باز) است.

همانطور که از مثال زیر مشاهده می شود، مجموعه های بسته می توانند ساختار بسیار پیچیده ای داشته باشند.