اعداد منطقی هستند و نمونه های غیر منطقی چیست. شماره

عدد منطقی - تعداد نشان داده شده توسط یک کسر معمولی از m / n، جایی که nomerator m یک عدد صحیح است، و dentinator n یک عدد طبیعی است. هر تعداد عقلانی ایدئولوژیک به صورت یک قطعه اعشار بی پایان دوره ای است. مجموعه ای از اعداد عقلانی توسط Q.

اگر یک شماره معتبر منطقی نیست، سپس آن را عدد گنگ. کسرهای دهدهی بیان اعداد غیر منطقی بی نهایت و نه دوره ای هستند. بسیاری از اعداد غیر منطقی معمولا توسط عنوان نامه لاتین I. نشان داده شده است.

یک شماره معتبر نامیده می شود جبریاگر ریشه برخی از چند جمله ای (درجه غیر صفر) با ضرایب منطقی باشد. هر شماره nonalgebraic نامیده می شود متعالی.

برخی از خواص:

تعدادی از اعداد عقلانی بر روی محور عددی در هر جا به شدت متراکم است: بین هر دو عدد منطقی مختلف، حداقل یک عدد منطقی (و از این رو مجموعه بی نهایت اعداد منطقی) واقع شده است. با این وجود، معلوم می شود که مجموعه ای از اعداد عقلانی Q و مجموعه ای از اعداد طبیعی N معادل هستند، یعنی ممکن است یک مسابقه متقابل بین آنها بین آنها ایجاد شود (تمام عناصر مجموعه ای از اعداد عقلانی می تواند اجاره شود).

شماره های مقطعی تعیین شده Q نسبت به افزودن، تفریق، ضرب و تقسیم بسته شده است، یعنی مقدار، تفاوت، محصول و دو عدد عقلانی خصوصی نیز اعداد عقلانی هستند.

تمام اعداد عقلانی جبری هستند (بیانیه مخالف نادرست است).

هر تعداد واقعی متعالی واقعی غیر منطقی است.

هر عدد غیر منطقی یا جبری یا متعالی است.

بسیاری از اعداد غیر منطقی در همه جا به طور مستقیم به طور مستقیم: بین هر دو عدد، یک عدد غیر منطقی (و بنابراین مجموعه بی نهایت اعداد غیر منطقی) وجود دارد.

بسیاری از اعداد غیر منطقی متحمل می شوند.

هنگام حل وظایف، آن را به همراه تعداد غیر منطقی A + B√ C (که در آن A، B اعداد منطقی است، C - یک مربع کامل از یک عدد طبیعی) در نظر بگیرید شماره "conjugate" a - b√ c: مجموع آن و با شماره های اولیه - منطقی کار کنید. بنابراین A + B√ C و A - B√ C ریشه های یک معادله مربع با ضرایب عدد صحیح است.

وظایف با راه حل ها

1. ثابت کنید که

الف) شماره √ 7؛

ب) تعداد LG 80؛

ج) شماره √ 2 + 3 √ 3؛

غیر منطقی است

الف) فرض کنید که شماره √ 7 منطقی است. سپس، چنین P و Q دو طرفه ساده وجود دارد که √ 7 \u003d P / Q است، از جایی که ما P 2 \u003d 7q 2 دریافت می کنیم. از آنجا که P و Q دو طرفه ساده هستند، پس از آن P 2، و بنابراین P به 7 تقسیم می شود. سپس P \u003d 7K، جایی که K تعداد طبیعی است. از این رو Q 2 \u003d 7K 2 \u003d PK، که با این واقعیت مواجه است که P و Q دو طرفه ساده هستند.

بنابراین، این فرض غلط است، به این معنی است که تعداد √ 7 غیر منطقی است.

ب) فرض کنید که تعداد LG 80 منطقی است. سپس چنین طبیعی P و Q وجود دارد که LG 80 \u003d p / q یا 10 p \u003d 80 q، از جایی که ما 2 p-4q \u003d 5 Q-P دریافت می کنیم. با توجه به اینکه تعداد 2 و 5 به طور دو طرفه ساده هستند، ما به دست می آوریم که آخرین برابری تنها در P-4Q \u003d 0 و QP \u003d 0. از جایی که P \u003d 0 \u003d 0، که ممکن نیست، از آنجا که P و Q انتخاب نشده است طبقاتی

بنابراین، فرض نادرست است، به این معنی است که شماره LG 80 غیر منطقی است.

ج) این شماره را از طریق x نشان دهید.

سپس (x - √ 2) 3 \u003d 3، یا x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 · (3x2 + 2). پس از ساخت این معادله در مربع، ما دریافت می کنیم که X باید معادله را برآورده کند

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 \u003d 0.

ریشه های منطقی آن تنها می تواند اعداد 1 و -1 باشد. بررسی نشان می دهد که 1 و -1 ریشه نیستند.

بنابراین، این شماره √ 2 + 3 √ 3 \u200b\u200bغیر منطقی است.

2. شناخته شده است که اعداد a، b، √ a -√ b، - گویا. ثابت کنیم که √ a و √ b- همچنین اعداد عقلانی.

کار را در نظر بگیرید

(√ a - √ b) · (√ a + √ b) \u003d a - b.

عدد √ A + √ B، که برابر با نسبت اعداد a - b و √ a -√ b، منطقی است، از آنجا که خصوصی از تقسیم دو عدد منطقی یک عدد منطقی است. مجموع دو عدد منطقی

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) \u003d √ a

- تعداد منطقی است، تفاوت آنها،

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) \u003d √ b،

همچنین یک عدد منطقی، که مورد نیاز برای اثبات بود.

3. ثابت کنید که اعداد غیر منطقی مثبت A و B وجود دارد، که تعداد A B طبیعی است.

4. آیا اعداد عقلانی A، B، C، D رضایت بخش هستند؟

(a + b √ 2) 2n + (C + D√ 2) 2n \u003d 5 + 4√ 2،

جایی که n یک عدد طبیعی است؟

اگر برابری انجام شود، در شرایط انجام می شود، و تعداد A، B، C، D منطقی است، سپس برابری انجام می شود:

(a - b √ 2) 2n + (C - d√ 2) 2n \u003d 5 - 4√ 2.

اما 5 - 4√ 2 (a - b√ 2) 2n + (c - d√ 2) 2n\u003e 0.. تناقض ناشی از آن ثابت می کند که برابری اولیه غیرممکن است.

پاسخ: وجود ندارد

5. اگر بخش هایی با طول A، B، C یک مثلث را تشکیل می دهند، سپس برای همه n \u003d 2، 3، 4،. . . بخش هایی با طول n √ a، n √ b، n √ C فقط یک مثلث را تشکیل می دهند. اثباتش کن.

اگر بخش هایی با طول A، B، C یک مثلث را تشکیل می دهند، پس از آن نابرابری مثلث می دهد

بنابراین، ما داریم

(n √ a + n √ b) n\u003e a + b\u003e c \u003d (n √ c) n،

n √ a + n √ b\u003e n √ c.

موارد باقی مانده از تأیید نابرابری مثلث به طور مشابه، از آنجایی که از آن پیروی می شود، درمان می شود.

6. ثابت کنید که کسر دهدهی بی نهایت 0،1234567891011121314 ... (پس از semicolons در یک ردیف، تمام اعداد طبیعی به ترتیب نوشته شده اند) یک عدد غیر منطقی است.

همانطور که شناخته شده است، اعداد منطقی توسط کسرهای دهدهی بیان می شوند که دوره ای از نشانه ها دارند. بنابراین، به اندازه کافی ثابت می شود که این کسری از هر نشانه ای دوره ای نیست. فرض کنید این مورد نیست، و برخی از توالی T، متشکل از N اعداد، یک دوره کسری است که از صبح بعد از یک کاما شروع می شود. واضح است که در میان اعداد پس از علامت M-TH، غیر صفر وجود دارد، بنابراین یک رقم غیر صفر در دنباله ای از اعداد وجود دارد. این بدان معنی است که شروع از شماره های M-TH پس از کاما، در میان هر عدد N در یک ردیف یک رقم غیر صفر وجود دارد. با این حال، در رکورد اعشاری این کسری، باید یک رکورد دهدهی از شماره 100 ... 0 \u003d 10 K، جایی که K\u003e M و K\u003e N باشد، باید وجود داشته باشد. واضح است که این مطلب حق شماره های M-OH را برآورده می کند و شامل N بیشتر صفر در یک ردیف است. بنابراین، ما تضاد، شواهد نهایی را به دست می آوریم.

7. یک قطعه دهدهی بی نهایت 0، 1 A 2 .... ثابت کنید که اعداد در رکورد اعشاری خود را می توان دوباره تنظیم کرد به طوری که کسری حاصل می شود تعداد عقلانی را بیان می کند.

به یاد بیاورید که کسری یک عدد منطقی را در آن بیان می کند و تنها زمانی که دوره ای است، از برخی نشانه ها شروع می شود. ارقام از 0 تا 9 ما به دو کلاس تقسیم می کنیم: در کلاس اول، ما این شماره هایی را که در بخش اصلی یافت می شود، شامل می شود. تعداد نهایی بار در کلاس دوم - کسانی که در بخش اصلی تعداد نامحدود مواجه می شوند بار. ما شروع به نوشتن یک کسر دوره ای می کنیم که می تواند از جایگزینی اولیه اعداد بدست آید. در ابتدا، پس از صفر و کاما، تمام اعداد را از کلاس اول در هر جهت بنویسید - هر بار که در زمان ضبط کسر اصلی یافت می شود. رقم های کلاس اول ثبت شده قبل از دوره در بخش کسری از بخش اعشاری پیش می رود. بعد، ما در برخی از سفارش ها به یک بار تعداد از کلاس دوم می نویسیم. این ترکیب دوره را اعلام خواهد کرد و تعداد بی نهایت خود را تکرار خواهد کرد. بنابراین، ما یک کسر دوره ای مورد نظر را بیان کردیم که برخی از تعداد عقلانی را بیان می کرد.

8. ثابت کنید که در هر قطعه دهدهی بی نهایت، یک دنباله ای از علائم دهدهی طول دلخواه وجود دارد که در تجزیه Fraci به طور بی نهایت چندین بار رخ می دهد.

اجازه دهید m یک عدد طبیعی منحصر به فرد خاص باشد. ما این بخش اعشاری بی نهایت را بر روی بخش ها، بر روی شماره های M در هر کدام از آنها شکست می دهیم. بسیاری از این بخش ها بی نهایت وجود دارد. از سوی دیگر، سیستم های مختلف متشکل از شماره های M تنها 10 متر، I.E. شماره نهایی وجود دارد. در نتیجه، حداقل یکی از این سیستم ها باید چندین بار به طور نامحدود تکرار شود.

اظهار نظر. برای اعداد غیر منطقی √ 2، π یا e. ما حتی نمی دانیم که کدام رقم به طور غیرمستقیم چندین بار در نشان دادن کسرهای دهدهی بی نهایت خود تکرار می شود، هرچند هر یک از این اعداد، به راحتی می توان ثابت کرد، حداقل دو عدد مختلف را شامل می شود.

9. روش ابتدایی را ثابت کنید که ریشه مثبت معادله را نشان می دهد

غیر منطقی است

برای x\u003e 0، قسمت چپ معادله با افزایش X افزایش می یابد و آسان است که ببینید که در x \u003d 1.5 کمتر از 10 است و در x \u003d 1.6 - بیش از 10 است. بنابراین، تنها ریشه مثبت معادله در داخل فاصله (1.5، 1.6) است.

ما ریشه را به عنوان یک کسر بدون قطع P / Q نوشتیم، جایی که P و Q برخی از اعداد کاملا ساده ساده هستند. سپس در x \u003d p / q معادله فرم زیر را انجام می دهد:

p 5 + PQ 4 \u003d 10q 5،

از آنجایی که پیروی از آن است که P DIVIDER 10 باشد، بنابراین P برابر با یکی از اعداد 1، 2، 5، 10 است. با این حال، تجویز کردن کسری با اعداد 1، 2، 5، 10، ما بلافاصله متوجه هیچ یک از آنها نیستیم در داخل فاصله قرار می گیرد (1.5، 1.6).

بنابراین، ریشه مثبت معادله منبع را نمی توان به عنوان یک کسری عادی نشان داد، که به معنای یک عدد غیر منطقی است.

الف) آیا سه چنین نقاط A، B و C در هواپیما وجود دارد که برای هر نقطه ایکس طول حداقل یکی از بخش های XA، XB و XC غیر منطقی است؟

ب) مختصات رأس های مثلث منطقی هستند. ثابت کنید که مختصات مرکز دایره توصیف شده آن نیز منطقی هستند.

ج) آیا چنین حوزه ای وجود دارد که دقیقا یک نقطه منطقی وجود دارد؟ (نقطه منطقی - یک نقطه، که هر سه مختصات دکارتی - اعداد منطقی است.)

الف) بله، وجود دارد اجازه بدهید C وسط AB باشد. سپس XC 2 \u003d (2XA 2 + 2XB 2 - AB 2) / 2. اگر شماره AB 2 غیر منطقی باشد، اعداد XA، XB و XC نمیتوانند به طور همزمان منطقی باشند.

ب) اجازه دهید (1؛ b 1)، (2؛ b 2) و (3؛ b 3) - مختصات رأس های مثلث. مختصات مرکز دایره توصیف شده آن توسط سیستم معادلات تعیین می شود:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2،

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

آسان است که تأیید کنید که این معادلات خطی هستند و بنابراین راه حل سیستم معادلات مورد نظر منطقی است.

ج) چنین کره ای وجود دارد. به عنوان مثال، حوزه با معادله

(x - √ 2) 2 + y 2 + z 2 \u003d 2.

نقطه O با مختصات (0؛ 0؛ 0) - نقطه منطقی دروغ گفتن در این منطقه. نقاط باقی مانده حوزه غیر منطقی است. ما آن را اثبات می کنیم.

فرض کنید مخالفت کنید: اجازه دهید (x؛ y؛ z) - نقطه منطقی حوزه، متفاوت از نقطه O. روشن است که X متفاوت از 0 است، از آنجا که در x \u003d 0 یک راه حل وجود دارد (0؛ 0؛ 0) ما در حال حاضر علاقه مند نیستیم. به یاد بیاورید براکت ها و اکسپرس √ 2:

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 \u003d 2

√ 2 \u003d (X 2 + Y 2 + Z 2) / (2x)،

چه چیزی نمی تواند با عقلانی X، Y، Z و غیر منطقی √ 2 باشد. بنابراین، o (0؛ 0؛ 0) تنها نقطه منطقی در بخش مورد توجه است.

وظایف بدون راه حل

1. ثابت کنید که تعداد

\\ [\\ sqrt (10+ \\ sqrt (24) + \\ sqrt (40) + \\ sqrt (60)) \\]

غیر منطقی است

2. در چه برابری M و N دیگر انجام می شود (5 + 3√ 2) m \u003d (3 + 5√ 2) n؟

3. آیا چنین تعداد وجود دارد به طوری که تعداد A √ 3 و 1 / a + √ 3 عدد صحیح بود؟

4. آیا می توان اعداد 1، √ 2، 4 عضو (نه لزوما مجاور) پیشرفت محاسباتی؟

5. اثبات کنید که با هر طبیعی N، معادله (x + o√ 3) 2n \u003d 1 + √ 3 راه حل هایی را در اعداد منطقی (x؛ y) ندارد.

اعداد غیر منطقی چیست؟ چرا آنها به اصطلاح نامیده می شوند؟ آنها از کجا استفاده می کنند و چه هستند؟ چند نفر ممکن است بدون فکر کردن به این سوالات پاسخ دهند. اما در واقع، پاسخ به آنها بسیار ساده است، حتی اگر همه چیز در شرایط بسیار نادر مورد نیاز نیست.

ماهیت و تعیین

اعداد غیر منطقی، نیازمندی های غیر انتفاعی بی نهایت هستند تا این مفهوم را به دلیل این واقعیت که برای حل مشکلات جدیدی که قبلا قبلا مفاهیم موجود از اعداد معتبر یا واقعی، عدد صحیح، طبیعی و منطقی نیستند، معرفی کنند. به عنوان مثال، به منظور محاسبه، مربع که ارزش 2 است، لازم است از کسرهای اعشاری غیر انتفاعی بی پایان استفاده شود. علاوه بر این، بسیاری از معادلات ساده نیز هیچ راه حل بدون معرفی مفهوم یک عدد غیر منطقی وجود ندارد.

این مجموعه به عنوان I. نشان داده شده است. و همانطور که قبلا روشن است، این مقادیر را نمی توان به عنوان یک کسر ساده نشان داد، در عددی که یک عدد صحیح وجود خواهد داشت و در نامزد شدن

برای اولین بار یا در غیر این صورت، ریاضیدانان هند در قرن VII با این پدیده مواجه شدند، زمانی که متوجه شد که ریشه های مربع از برخی مقادیر به صراحت نمی توان اشاره کرد. و اولین اثبات وجود چنین اعداد به Hippas Pythagorean مربوط می شود، که آن را در روند مطالعه یک مثلث مستطیلی به همان اندازه قابل مشاهده است. سهم جدی در مطالعه این مجموعه، دانشمندان بیشتری را که به دوران ما زندگی می کردند، به ارمغان آورد. معرفی مفهوم اعداد غیر منطقی منجر به تجدید نظر سیستم ریاضی موجود شد، به همین دلیل آنها بسیار مهم هستند.

منشاء نام

اگر نسبت از لاتین ترجمه شود - این "کسری"، "نگرش" است، سپس پیشوند "IL"
این کلمه را به ارزش مخالف می دهد. بنابراین، نام مجموعه ای از این اعداد نشان می دهد که آنها نمی توانند با یک کل یا کسری همبستگی داشته باشند، یک مکان جداگانه داشته باشند. این به معنای ذات آنها است.

محل طبقه بندی عمومی

اعداد غیر منطقی همراه با منطقی به گروهی از واقعی یا معتبر اشاره می کنند که به نوبه خود به مجتمع اشاره دارد. هیچ زیرمجموعه وجود ندارد، با این حال، آنها انواع جبری و متعالی را تشخیص می دهند که در زیر مورد بحث قرار می گیرند.

خواص

از آنجا که اعداد غیر منطقی بخشی از مجموعه ای از معتبر هستند، تمام خواص آنها برای آنها قابل استفاده است که در ریاضی مورد مطالعه قرار می گیرند (آنها نیز قوانین جبری عمده ای نامیده می شوند).

a + b \u003d b + a (commutative)؛

(a + b) + c \u003d a + (b + c) (وابسته)؛

a + (-A) \u003d 0 (وجود تعداد مخالف)؛

aB \u003d BA (قانون جنبش)؛

(AB) C \u003d A (BC) (توزیع)؛

a (B + C) \u003d AB + AC (قانون توزیع)؛

x 1 / A \u003d 1 (وجود تعداد معکوس)؛

مقایسه نیز مطابق با قوانین و اصول کلی انجام می شود:

اگر A\u003e B و B\u003e C، سپس A\u003e C (Transitivity نسبت) و. t d

البته، تمام اعداد غیر منطقی را می توان با استفاده از اقدام ریاضی پایه تبدیل کرد. هیچ قاعده خاصی وجود ندارد

علاوه بر این، عمل Ascimedes Aximartes به اعداد غیر منطقی اعمال می شود. این بیان می کند که برای هر دو مقدار A و B، این ادعا درست است که، به عنوان تعداد قابل توجهی از زمان، شما می توانید از b تجاوز کنید.

استفاده كردن

با وجود این واقعیت که در زندگی عادی آن را اغلب با آنها مواجه نیست، اعداد غیر منطقی به یک لایحه قابل قبول نیستند. مجموعه بزرگ آنها، اما آنها عملا غیر قابل تشخیص هستند. ما در اطراف اعداد غیر منطقی در همه جا هستیم. نمونه هایی از آشنا به هر کس تعداد PI، برابر با 3،1415926 ...، یا E، در واقع، اساس لگاریتم طبیعی، 2،718281828 ... در جبر، مثلثات و هندسه آنها را به طور دائم استفاده می کنند. به هر حال، ارزش معروف "بخش طلایی"، یعنی نسبت هر دو بیشتر به کوچکتر و برعکس نیز

به این مجموعه اشاره دارد. کمتر شناخته شده "نقره" نیز.

در عددی مستقیم، آنها بسیار تنگ هستند، به طوری که بین دو ارزش مربوط به مجموعه ای از منطقی وجود دارد.

تا به حال، بسیاری از مشکلات حل نشده با این مجموعه وجود دارد. معیارهای مانند اندازه گیری غیر منطقی بودن و عادی بودن تعداد وجود دارد. ریاضیات همچنان به بررسی مهمترین نمونه های مربوط به متعلق به یک گروه خاص می پردازد. به عنوان مثال، اعتقاد بر این است که E یک عدد طبیعی است، به عنوان مثال، احتمال وقوع اعداد مختلف در ضبط های آن یکسان است. همانطور که برای PI، مطالعه هنوز انجام شده است. اندازه گیری غیر منطقی بودن این مقدار است که نشان می دهد که چگونه یک یا چند عدد ممکن است تقریبا منطقی باشد.

جبری و متعالی

همانطور که قبلا ذکر شد، اعداد غیر منطقی به صورت مشروط به جبری و متعالی تقسیم می شوند. به طور شرطی، از آنجا که، به شدت صحبت می کند، این طبقه بندی برای تقسیم مجموعه C استفاده می شود.

تحت این نام، تعداد پیچیده پنهان است، که شامل معتبر یا واقعی است.

بنابراین، جبری چنین ارزش هایی نامیده می شود که ریشه چند جمله ای است، نه برابر صفر است. به عنوان مثال، ریشه مربع 2 به این دسته اشاره خواهد کرد، زیرا این یک راه حل معادله x 2 - 2 \u003d 0 است.

با این وجود، اعداد واقعی باقی مانده که این شرایط را برآورده نمی کنند، متعالی هستند. این گونه شامل نمونه های شناخته شده ترین و قبلا ذکر شده است - تعداد PI و اساس لگاریتم طبیعی E.

جالب توجه است، هیچکدام و نه دوم، در اصل ریاضیدانان در این ظرفیت بوجود آمدند، غیرمعمول و تعالیم آنها سال ها پس از کشف آنها ثابت شد. برای اثبات PI، آن را در سال 1882 نشان داده شد و در سال 1894 ساده شده است، که پایان دادن به اختلافات چالش مربع مربع، که به مدت 2.5 هزار سال طول کشید. هنوز به پایان نمی رسد، بنابراین ریاضیدانان مدرن در مورد آنچه که باید کار می کنند وجود دارد. به هر حال، اولین محاسبه دقیق این مقدار توسط Archimedes انجام شد. قبل از او، تمام محاسبات تقریبا تقریبی بود.

برای E (تعداد اویلر یا نگر)، اثبات آن از تعالیش آن در سال 1873 یافت شد. این در حل معادلات لگاریتمی استفاده می شود.

نمونه های دیگر مقادیر سینوسی، کوزین و مماس برای هر گونه مقادیر غیر صفر جبری هستند.

مجموعه ای از تمام اعداد طبیعی با حروف n. number numbers نشان داده می شود، این اعداد است که ما برای حساب های مورد استفاده می کنیم: 1،2،3،4، ... در برخی از منابع، شماره 0 نیز شامل می شود اعداد طبیعی

مجموعه ای از تمام اعداد صحیح توسط حرف Z نشان داده شده است. عدد صحیح همه اعداد طبیعی، صفر و منفی هستند:

1,-2,-3, -4, …

در حال حاضر به مجموعه ای از تمام اعداد صحیح پیوستن بسیاری از همه کسرهای عادی: 2/3، 18/17، -4/5 و آن بعدی. سپس ما بسیاری از اعداد منطقی را دریافت می کنیم.

بسیاری از اعداد منطقی

مجموعه ای از تمام اعداد عقلانی توسط حرف Q نشان داده شده است. مجموعه ای از تمام اعداد منطقی (Q) مجموعه ای از شماره های فرم M / N، -M / N و شماره 0 است. هر تعداد طبیعی می تواند به عنوان n عمل کند ، m لازم به ذکر است که تمام اعداد عقلانی را می توان به صورت کسر دهدهی خرده فروشی محدود یا بی نهایت نشان داد. همچنین درست است که هر قطعه اعشاری جزئی یا بی نهایت می تواند به صورت یک عدد منطقی نوشته شود.

اما چگونه به عنوان مثال با تعدادی از 2.0100100010 ...؟ این بخش اعشاری بی نهایت غیر قابل درک است. و به اعداد منطقی اعمال نمی شود.

در سال تحصیلی، جبر ها فقط توسط تعداد واقعی (یا معتبر) مورد مطالعه قرار می گیرند. مجموعه ای از تمام اعداد معتبر توسط نامه R نشان داده شده است. مجموعه R شامل تمام اعداد منطقی و غیر منطقی است.

مفهوم اعداد غیر منطقی

اعداد غیر منطقی همه کسری غیر انتفاعی بی پایان هستند. اعداد غیر منطقی یک نام خاص ندارند.

به عنوان مثال، تمام اعداد به دست آمده از استخراج یک ریشه مربع از اعداد طبیعی که مربع از اعداد طبیعی نیستند، غیر منطقی هستند. (√2، √3، √5، √6، و غیره).

اما فکر نمی کنم که اعداد غیر منطقی تنها با استخراج ریشه های مربع به دست می آیند. به عنوان مثال، شماره "PI" نیز غیر منطقی است و توسط بخش به دست آمده است. و چگونه سعی نکنید، شما نمی توانید آن را دریافت کنید، ریشه مربع را از هر عدد طبیعی حذف کنید.

عدد گنگ - این هست تعداد کلکه منطقی نیست، یعنی نمی توان به عنوان یک کسری، که در آن اعداد صحیح است، نمایندگی نماید. تعداد غیر منطقی را می توان به عنوان یک کسر دهدهی غیر انتفاعی بی نهایت نشان داد.

بسیاری از اعداد غیر منطقی معمولا با عنوان نامه لاتین در یک دوخت پرطرفدار بدون پر کردن نشان داده می شوند. بنابراین:، به عنوان مثال بسیاری از اعداد غیر منطقی دارند تفاوت مجموعه ای از اعداد واقعی و منطقی.

در وجود تعداد غیر منطقی، دقیق تر قطعاتی که با یک بخش از یک طول ناسازگار هستند، در حال حاضر می دانستند ریاضیدانان باستان: به عنوان مثال، به عنوان مثال، مورب ناقص و طرف مربع شناخته شده بود، که معادل غیر منطقی بودن تعداد است.

خواص

• هر عدد واقعی می تواند به صورت یک قطعه دهدهی بی نهایت نوشته شود، در حالی که اعداد غیر منطقی و تنها آنها توسط کسرهای دهدهی بی نهایت غیر انتفاعی ثبت می شوند.
• اعداد غیر منطقی تعیین بخش بخش در مجموعه ای از اعداد عقلانی، که در کلاس پایین تر از آن بزرگ نیست، و در بالا بالا وجود ندارد کوچکترین تعداد وجود دارد.
• هر تعداد واقعی متعالی واقعی غیر منطقی است.
• هر عدد غیر منطقی یا جبری یا متعالی است.
• بسیاری از اعداد غیر منطقی در همه جا به طور مستقیم بر روی عددی به طور مستقیم: بین هر دو عدد یک عدد غیر منطقی وجود دارد.
• سفارش بر روی مجموعه ای از اعداد غیر منطقی، ایزومورفیک در مورد مجموعه ای از تعداد واقعی متعالی است.
• بسیاری از اعداد غیر منطقی غیر ضروری هستند، بسیاری از دسته دوم است.

مثال ها

غیر منطقی عبارتند از:

نمونه هایی از شواهد غیر منطقی بودن

ریشه از 2

فرض کنید مخالف: منطقی است، یعنی، آن را به شکل یک کسر ناپایدار نشان داده شده است، جایی که یک عدد صحیح است، اما یک عدد طبیعی است. برابری تخمین زده شده در میدان:

از اینجا به این معنی است که به وضوح چیست، به این معنی است که و. اجازه دهید کل سپس

در نتیجه، به این معنی است که آن نیز هست. ما دریافت کردیم که آنها سیاه هستند، که متناقض با ناسازگاری کسری است. این بدان معنی است که فرض اولیه نادرست بود و یک عدد غیر منطقی است.

لگاریتم دودویی شماره 3

فرض کنید مخالف: منطقی، یعنی، به نظر می رسد به شکل یک کسر، جایی که و - عدد صحیح است. از آنجا که و می تواند مثبت انتخاب شود. سپس

اما حتی، و در عجیب و غریب. ما تضاد می کنیم

e.

تاریخ

مفهوم اعداد غیر منطقی به طور ضمنی توسط ریاضیدانان هند در قرن هفتم پیش از میلاد، زمانی که MANAVA (تقریبا 750 پیش از میلاد E. - OP. E. - OK) متوجه شد که ریشه های مربع برخی از اعداد طبیعی مانند 2 و 61، نمی توان بیان کرد.

اولین اثبات وجود اعداد غیر منطقی معمولا به هیپپاز از Metapont (تقریبا 500 GG BC)، Pythagorean، که این اثبات را یافت، مطالعه طول دو طرف پنتاگرام است. در زمان Pythagoreans، اعتقاد بر این بود که طول تنها طول، به اندازه کافی کوچک و غیر قابل تقسیم وجود دارد، که یک عدد صحیح در هر بخش است. با این حال، Hippas ثابت کرد که طول تنها طول طول وجود دارد، زیرا فرضیه وجود آن منجر به تضاد می شود. این نشان داد که اگر هیپوتنوز یک مثلث مستطیلی معکوس شامل یک واحد عدد صحیح از بخش های تک تک باشد، این تعداد باید حتی حتی و عجیب و غریب باشد. اثبات به شرح زیر است:

• نسبت طول هیپوتنوس به طول نسبت یک مثلث مستطیلی معقول می تواند بیان شود آ.:بجایی که آ. و ب کوچکترین ممکن را انتخاب کرد.
• با توجه به قضیه Pythagore: آ.² \u003d 2 ب².
• مانند آ.² حتی آ. این باید حتی (از آنجا که مربع یک عدد عدد عجیب و غریب است).
• تا آنجا که آ.:ب ناپایدار ب باید عجیب باشد
• مانند آ. حتی، نشان داد آ. = 2y..
• سپس آ.² \u003d 4 y.² \u003d 2 ب².
• ب² \u003d 2 y.²، بنابراین ب² حتی، سپس و ب زوج.
• با این حال، ثابت شد که ب فرد. تناقض.

ریاضیات یونانی این نسبت ارزش های ناسازگار را نام بردند alogos (غیر قابل بیان)، اما با توجه به افسانه ها به احترام به Hippasus نیافت. افسانه ای وجود دارد که Hippas کشف کرد، در حال حرکت در دریا بود، و با دیگر فیثاغورث ها "برای ایجاد یک عنصر از جهان پرتاب شد، که این دکترین را انکار می کند که تمام موجودات در جهان را می توان به تعداد عدد صحیح کاهش داد و روابط آنها. " افتتاح هیپ ها یک مشکل جدی را در مقابل ریاضیات فیثاغور به دست آورد و این فرض را از بین برد که در پایه کاهش یافته است که اعداد و اشیای هندسی متحد و جدایی ناپذیر هستند.

اعداد غیر منطقی هستند؟ عدد گنگ - این یک عدد واقعی منطقی نیست، I.E. این را نمی توان به عنوان یک کسری (به عنوان یک نسبت از دو عدد صحیح)، که در آن m. - عدد صحیح n.- عدد طبیعی . عدد گنگ این را می توان به عنوان یک کسر دهدهی غیر انتفاعی بی نهایت تصور کرد.

عدد گنگ نمی تواند معنی دقیق داشته باشد فقط در قالب 3،333333 .... مثلا، ریشه مربع دو - یک عدد غیر منطقی است.

غیر منطقی است؟ عدد گنگ (بر خلاف عقلانی)، یک کسر غیر انتفاعی بی نهایت نامیده می شود.

بسیاری از اعداد غیر منطقی اغلب، نامه نامه لاتین را در یک کتیبه جسورانه نشان می دهد. بنابراین.:

کسانی که. بسیاری از اعداد غیر منطقی تفاوت مجموعه ای از تعداد واقعی و منطقی هستند.

خواص اعداد غیر منطقی

• مجموع 2 عدد غیر منطقی غیر منفی ممکن است یک عدد منطقی باشد.
• اعداد غیر منطقی، جمع آوری بخش بخش را در انواع اعداد عقلانی، در کلاس پایین تر تعریف می کنند که بیشترین تعداد را ندارند، و در بالایی کوچکتر نیست.
• هر عدد متعالی واقعی یک عدد غیر منطقی است.
• تمام اعداد غیر منطقی یا جبری یا متعالی هستند.
• بسیاری از اعداد غیر منطقی در همه جا به شدت بر روی خط عددی: بین هر جفت اعداد یک عدد غیر منطقی وجود دارد.
• سفارش بر روی مجموعه ای از اعداد غیر منطقی، ایزومورفیک در مورد مجموعه ای از تعداد واقعی متعالی است.
• بسیاری از اعداد غیر منطقی بی نهایت هستند، تعداد زیادی از دسته دوم است.
• نتیجه هر عملیات محاسباتی با اعداد منطقی (به جز بخش های 0) اعداد منطقی است. نتیجه عملیات محاسباتی بیش از اعداد غیر منطقی می تواند هر دو عدد منطقی و غیر منطقی باشد.
• مقدار اعداد عقلانی و غیر منطقی همیشه یک عدد غیر منطقی خواهد بود.
• مقدار اعداد غیر منطقی ممکن است یک عدد منطقی باشد. مثلا، بیایید ایکس. غیر منطقی، سپس y \u003d x * (- 1) همچنین غیر منطقی؛ x + y \u003d 0، یک عدد 0 منطقی (اگر، به عنوان مثال، ریشه هر میزان از 7 و منهای ریشه از همان درجه از هفت، پس از آن ما یک شماره منطقی 0 را دریافت می کنیم).

اعداد غیر منطقی، نمونه ها.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — Δs. — α — e. — π — δ