ذوزنقه مستطیل شکل مستطیل شکل. ذوزنقه چیست؟

1. قطعه ای که نقاط میانی قطرهای ذوزنقه ای را به هم متصل می کند برابر با نیمی از تفاوت پایه است
2. مثلث هایی که از پایه های ذوزنقه تشکیل شده اند و قطعات موربها تا نقطه تقاطع آنها مشابه است
3. مثلث هایی که از بخشهایی از قطرهای ذوزنقه تشکیل شده اند ، اضلاع آنها در طرفین ذوزنقه قرار دارد - مساوی (مساحت یکسانی دارند)
4. اگر اضلاع جانبی ذوزنقه را به سمت قاعده کوچکتر گسترش دهید ، آنها در یک نقطه با خط مستقیم که نقاط میانی پایه ها را به هم متصل می کند قطع می شوند.
5. بخش اتصال پایه های ذوزنقه و عبور از نقطه تقاطع مورب ذوزنقه با این نقطه به نسبت مساوی نسبت طول پایه های ذوزنقه تقسیم می شود
6. قطعه ای موازی با پایه های ذوزنقه و از طریق نقطه تقاطع موربها با این نقطه به نصف تقسیم شده و طول آن برابر 2ab / (a+ b) است ، جایی که a و b پایه ها هستند از ذوزنقه

خواص بخش خطی که نقاط میانی قطرهای ذوزنقه ای را به هم متصل می کند

ما نقاط میانی قطرهای ذوزنقه ABCD را به هم متصل می کنیم ، در نتیجه ما یک بخش LM داریم.
بخش اتصال نقاط میانی مورب ذوزنقه ، در خط وسط ذوزنقه قرار دارد.

این بخش موازی با قاعده ذوزنقه.

طول قطعه ای که نقاط وسط مورب ذوزنقه را به هم متصل می کند برابر با نیم اختلاف پایه های آن است.

LM = (AD - BC) / 2
یا
LM = (a-b) / 2

خواص مثلث هایی که از قطرهای ذوزنقه شکل می گیرند

مثلث هایی که از پایه های ذوزنقه و نقطه تقاطع قطرهای ذوزنقه تشکیل می شوند - شبیه هستند.
مثلث BOC و AOD مشابه هستند. از آنجا که زوایای BOC و AOD عمودی هستند ، مساوی هستند.
زوایای OCB و OAD داخلی متقاطع با خطوط موازی AD و BC هستند (پایه های ذوزنقه به موازات یکدیگر هستند) و خط ثانویه AC ، بنابراین ، آنها برابر هستند.
زوایای OBC و ODA به همان دلیل (عبور متقاطع داخلی) برابر هستند.

از آنجایی که هر سه زاویه یک مثلث با زوایای متناظر مثلث دیگر برابر است ، این مثلث ها شبیه هم هستند.

از این چه نتیجه می شود؟

برای حل مسائل هندسه ، شباهت مثلث ها به شرح زیر استفاده می شود. اگر مقادیر طول دو عنصر متناظر مثلث های مشابه را بدانیم ، ضریب شباهت را پیدا می کنیم (یکی را بر دیگری تقسیم می کنیم). از آنجا که طول تمام عناصر دیگر با یکدیگر دقیقا با مقدار مشابه مرتبط است.

ویژگی های مثلث های خوابیده در کناره و مورب ذوزنقه

دو مثلث را در نظر بگیرید که در طرفین ذوزنقه AB و CD قرار گرفته اند. اینها مثلث AOB و COD هستند. با وجود این واقعیت که اندازه اضلاع جداگانه این مثلث ها ممکن است کاملاً متفاوت باشد ، اما مساحت مثلث های تشکیل شده توسط اضلاع و نقطه تقاطع قطرهای ذوزنقه عبارتند از، یعنی اندازه مثلث ها برابر است.

اگر اضلاع ذوزنقه را به سمت قاعده کوچکتر گسترش دهید ، نقطه تقاطع اضلاع خواهد بود با یک خط مستقیم که از وسط پایه ها عبور می کند ، هم راستا شوید.

بنابراین ، هر ذوزنقه را می توان به یک مثلث گسترش داد. که در آن:

• مثلث هایی که از پایه های ذوزنقه با رأس مشترک در تقاطع اضلاع جانبی گسترش یافته تشکیل شده اند ، مشابه هستند
• خط مستقیم که نقاط میانی قاعده ذوزنقه را به هم متصل می کند ، در عین حال ، میانه مثلث ساخته شده است.

خواص خط اتصال پایه های ذوزنقه ای

اگر قسمتی را ترسیم کنید که انتهای آن بر پایه ذوزنقه قرار دارد ، که در نقطه تقاطع قطرهای ذوزنقه (KN) قرار دارد ، نسبت بخشهای تشکیل دهنده آن از کنار پایه به نقطه تقاطع مورب ها (KO / ON) برابر با نسبت پایه های ذوزنقه ای خواهد بود(قبل از میلاد / میلاد).

KO / ON = BC / AD

این ویژگی از شباهت مثلث های مربوطه ناشی می شود (به بالا مراجعه کنید).

خواص یک خط موازی با قاعده ذوزنقه

اگر قسمتی را موازی با پایه های ذوزنقه ای بکشید و از نقطه تقاطع قطرهای ذوزنقه عبور کنید ، آنگاه دارای ویژگی های زیر است:

• فاصله از پیش تعیین شده (KM) نقطه تقاطع قطرهای ذوزنقه ای را به نصف تقسیم می کند
• طول قطعهعبور از نقطه تقاطع مورب ذوزنقه و موازی با پایه ها برابر است با KM = 2ab / (a+ b)

فرمولهای یافتن قطرهای ذوزنقه

a ، b- پایه ذوزنقه

ج ، د- طرفین ذوزنقه

d1 d2- مورب ذوزنقه ای

α β - زوایایی با پایه بزرگتر ذوزنقه

فرمولهای یافتن مورب ذوزنقه از طریق پایه ها ، اضلاع و زوایای پایه

اولین گروه فرمولها (1-3) یکی از ویژگیهای اصلی موربهای ذوزنقه ای را منعکس می کند:

1. مجموع مربع های مورب یک ذوزنقه برابر است با مجموع مربع اضلاع بعلاوه دو برابر حاصلضرب پایه های آن. این خاصیت مورب های ذوزنقه را می توان به عنوان یک قضیه جداگانه ثابت کرد

2 ... این فرمول با تبدیل فرمول قبلی بدست می آید. مربع مورب دوم از طریق علامت مساوی پرتاب می شود ، پس از آن ریشه مربع از طرف چپ و راست عبارت استخراج می شود.

3 ... این فرمول برای یافتن طول مورب ذوزنقه ای مشابه فرم قبلی است ، با این تفاوت که مورب دیگری در سمت چپ عبارت باقی مانده است

گروه بعدی فرمولها (4-5) از نظر معنی مشابه هستند و نسبت مشابهی را بیان می کنند.

گروه فرمولها (6-7) به شما امکان می دهد مورب یک ذوزنقه را پیدا کنید اگر پایه بزرگتر ذوزنقه ، یک طرف و زاویه آن در پایه مشخص باشد.

فرمولهای یافتن قطرهای ذوزنقه از نظر ارتفاع

وظیفه.
مورب های ذوزنقه ABCD (AD | | BC) در نقطه O قطع می شوند. در صورتی که پایه AD = 24 سانتی متر ، طول AO = 9cm ، طول OC = 6 سانتی متر طول پایه BC ذوزنقه را بیابید.

راه حل.
راه حل این مشکل از نظر ایدئولوژی کاملاً مشابه مشکلات قبلی است.

مثلث های AOD و BOC در سه گوشه مشابه هستند - AOD و BOC عمودی هستند و سایر زوایا در جفت برابر هستند ، زیرا از تقاطع یک خط مستقیم و دو خط موازی تشکیل شده اند.

از آنجایی که مثلث ها شبیه هم هستند ، همه ابعاد هندسی آنها با یکدیگر مرتبط هستند ، به عنوان ابعاد هندسی بخشهای AO و OC که از دستور مسئله برای ما شناخته شده است. به این معنا که

AO / OC = AD / BC
9/6 = 24 / قبل از میلاد
قبل از میلاد = 24 * 6/9 = 16

پاسخ: 16 سانتی متر

وظیفه .
در ذوزنقه ABCD ، مشخص است که AD = 24 ، BC = 8 ، AC = 13 ، BD = 5√17. مساحت ذوزنقه را پیدا کنید.

راه حل .
برای یافتن ارتفاع ذوزنقه از رأس پایه کوچکتر B و C ، دو ارتفاع را به پایه بزرگتر پایین می آوریم. از آنجا که ذوزنقه نابرابر است ، طول AM = a ، طول KD = b ( نباید با علامت در فرمول اشتباه گرفته شودپیدا کردن مساحت ذوزنقه). از آنجا که پایه های ذوزنقه موازی هستند ، و ما دو ارتفاع عمود بر قاعده بزرگتر را حذف کردیم ، MBCK یک مستطیل است.

به معنای
AD = AM + BC + KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - ب

مثلث های DBM و ACK مستطیل شکل هستند ، بنابراین زاویه های راست آنها با ارتفاع ذوزنقه شکل می گیرد. اجازه دهید ارتفاع ذوزنقه را با h نشان دهیم. سپس توسط قضیه فیثاغورث

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
و
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

ما در نظر می گیریم که a = 16 - b ، سپس در معادله اول
ساعت 2 + (24 - 16 + ب) 2 = 425
ساعت 2 = 425 - (8 + ب) 2

بیایید مقدار مربع ارتفاع را در معادله دوم بدست آمده توسط قضیه فیثاغورث جایگزین کنیم. ما گرفتیم:
425 - (8 + ب) 2 + (24 - ب) 2 = 169
- (64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

بنابراین KD = 12
جایی که
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

مساحت ذوزنقه را از طریق ارتفاع و نصف مجموع پایه ها پیدا کنید
، جایی که a b قاعده ذوزنقه است ، h ارتفاع ذوزنقه است
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 سانتی متر 2

پاسخ: مساحت ذوزنقه 80 سانتی متر مربع است.

ذوزنقه حالت خاصی از یک چهارضلعی است که در آن یک جفت اضلاع موازی هستند. اصطلاح "ذوزنقه" از کلمه یونانی τράπεζα به معنی "میز" ، "میز" آمده است. در این مقاله به انواع ذوزنقه و ویژگی های آن می پردازیم. علاوه بر این ، نحوه محاسبه عناصر جداگانه این مورد را خواهیم فهمید. به عنوان مثال ، مورب ذوزنقه ای متساوی الساقین ، خط وسط ، مساحت و غیره. مواد به سبک هندسه عمومی اولیه ارائه شده است ، یک فرم به راحتی قابل دسترسی

اطلاعات کلی

ابتدا بیایید دریابیم که چهار ضلعی چیست. این شکل یک مورد چند ضلعی با چهار ضلع و چهار راس است. دو رأس یک چهارضلعی که مجاور هم نیستند ، مقابل نامیده می شوند. همین را می توان برای دو طرف غیر مجاور هم گفت. انواع اصلی چهار ضلعی عبارتند از: متوازی الاضلاع ، مستطیل ، لوزی ، مربع ، ذوزنقه و دلتوئید.

بنابراین ، به ذوزنقه بازگردید. همانطور که گفتیم ، این شکل دو طرف موازی دارد. به آنها پایگاه می گویند. دو مورد دیگر (غیر موازی) اضلاع هستند. در مواد امتحانات و آزمونهای مختلف ، اغلب می توانید کارهای مربوط به ذوزنقه را پیدا کنید ، که حل آنها اغلب دانش آموز را ملزم به داشتن دانش می کند که توسط برنامه ارائه نشده است. دوره هندسه مدرسه دانش آموزان را با خواص زاویه و مورب و همچنین خط وسط ذوزنقه ای متساوی الساقین آشنا می کند. اما علاوه بر این ، شکل هندسی ذکر شده دارای ویژگی های دیگری است. اما درباره آنها کمی بعد ...

انواع ذوزنقه

انواع مختلفی از این شکل وجود دارد. با این حال ، اغلب مرسوم است که دو مورد از آنها را در نظر بگیریم - متساوی الساق و مستطیل.

1- ذوزنقه مستطیل شکل است که در آن یکی از اضلاع جانبی عمود بر پایه ها است. دو زاویه آن همیشه برابر نود درجه است.

2- ذوزنقه ای متساوی الساق یک شکل هندسی با اضلاع مساوی است. این بدان معناست که زوایای پایه ها نیز از نظر جفت برابر هستند.

اصول اصلی روش مطالعه خواص ذوزنقه

اصل اصلی استفاده از رویکرد به اصطلاح وظیفه است. در واقع ، نیازی به معرفی ویژگی های جدید این شکل در درس نظری هندسه نیست. آنها می توانند در فرایند حل مشکلات مختلف (بهتر از مشکلات سیستم) باز و فرموله شوند. در عین حال ، بسیار مهم است که معلم بداند چه وظایفی باید در مرحله ای از فرایند آموزشی به دانش آموزان مدرسه داده شود. علاوه بر این ، هر ویژگی ذوزنقه ای را می توان به عنوان یک وظیفه کلیدی در سیستم وظیفه نشان داد.

اصل دوم ، سازمان مارپیچی مطالعه خواص "قابل توجه" ذوزنقه است. این به معنی بازگشت فرایند یادگیری به ویژگی های فردی یک شکل هندسی معین است. این امر باعث می شود که زبان آموزان بتوانند آنها را به راحتی حفظ کنند. به عنوان مثال ، ویژگی چهار نقطه. هم با مطالعه شباهت و هم با استفاده از بردارها می توان آن را ثابت کرد. و اندازه یکسان مثلث های مجاور اضلاع جانبی شکل را می توان با اعمال نه تنها خواص مثلث هایی با ارتفاع مساوی کشیده شده به اضلاع یک خط مستقیم ، بلکه با استفاده از فرمول S = 1/2 ثابت کرد. (ab * sinα). علاوه بر این ، می توانید بر روی ذوزنقه کتیبه ای یا مثلثی با زاویه راست روی ذوزنقه توصیف شده و غیره کار کنید.

استفاده از ویژگیهای "فوق برنامه" یک شکل هندسی در محتوای یک دوره مدرسه یک فناوری وظیفه ای برای آموزش آنها است. جذابیت دائمی خواص مورد مطالعه در هنگام گذراندن موضوعات دیگر به دانش آموزان اجازه می دهد تا درک عمیق تری از ذوزنقه پیدا کنند و موفقیت حل وظایف محوله را تضمین می کند. بنابراین ، بیایید به مطالعه این شکل فوق العاده بپردازیم.

عناصر و خواص ذوزنقه ای متساوی الساقین

همانطور که قبلاً اشاره کردیم ، این شکل هندسی دارای اضلاع مساوی است. همچنین به عنوان ذوزنقه معمولی شناخته می شود. و چرا اینقدر قابل توجه است و چرا چنین نامی به دست آورد؟ ویژگیهای این شکل شامل این واقعیت است که نه تنها اضلاع و زاویه های پایه ، بلکه موربها نیز برابر است. علاوه بر این ، مجموع زوایای ذوزنقه ای متساوی الساقین 360 درجه است. اما این همه ماجرا نیست! از بین همه ذوزنقه های شناخته شده ، فقط در اطراف یک متساوی الساقین می توان یک دایره را توصیف کرد. این به این دلیل است که مجموع زوایای مخالف این شکل 180 درجه است و فقط در این شرایط می توان یک دایره را در اطراف چهارضلعی توصیف کرد. ویژگی بعدی شکل هندسی در نظر گرفته شده این است که فاصله از بالای قاعده تا برآمدگی رأس مخالف بر روی خط مستقیم که حاوی این قاعده است برابر با خط مرکز است.

اکنون بیایید دریابیم که چگونه زوایای ذوزنقه ای متساوی الساقین را بیابیم. راه حلی برای این مشکل در نظر بگیرید ، به شرط آنکه ابعاد کناره های شکل مشخص باشد.

راه حل

معمولاً چهار ضلعی معمولاً با حروف A ، B ، C ، D مشخص می شود ، جایی که BS و AD پایه ها هستند. در ذوزنقه ای متساوی الساق ، اضلاع مساوی است. فرض می کنیم که اندازه آنها برابر با X و اندازه پایه ها برابر با Y و Z است (به ترتیب کوچکتر و بزرگتر). برای انجام محاسبه ، لازم است ارتفاع N. را از زاویه B بکشید. نتیجه یک مثلث ABN با زاویه راست است ، جایی که AB hypotenuse است ، و BN و AH پاها هستند. ما اندازه پای AH را محاسبه می کنیم: کوچکتر را از پایه بزرگتر کم می کنیم و نتیجه را بر 2 تقسیم می کنیم. ما آن را در فرمول می نویسیم: (ZY) / 2 = F. در حال حاضر ، برای محاسبه زاویه حاد از مثلث ، ما از تابع cos استفاده می کنیم. ما رکورد زیر را دریافت می کنیم: cos (β) = X / F اکنون زاویه را محاسبه می کنیم: β = arcos (X / F). علاوه بر این ، با دانستن یک زاویه ، می توانیم زاویه دوم را تعیین کنیم ، برای این کار ما یک عملیات محاسباتی ابتدایی انجام می دهیم: 180 - β. همه زوایا تعریف شده اند.

راه حل دوم نیز برای این مشکل وجود دارد. در ابتدا ، ارتفاع N. را از گوشه پایین می آوریم. مقدار BN پا را محاسبه کنید. می دانیم که مربع هیپوتنوز یک مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع های پاها. بدست می آوریم: BN = √ (X2-F2). در مرحله بعد ، ما از تابع مثلثاتی tg استفاده می کنیم. در نتیجه ، ما داریم: β = arctan (BN / F). گوشه ای تیز پیدا شده است. بعلاوه ، ما به همان روش روش اول تعریف می کنیم.

ویژگی قطرهای ذوزنقه ای متساوی الساقین

ابتدا اجازه دهید چهار قانون را بنویسیم. اگر موربهای ذوزنقه ای متساوی الساقین عمود بر هم باشند ، آنگاه:

ارتفاع شکل برابر است با مجموع پایه های تقسیم بر دو.

ارتفاع و خط وسط آن برابر است.

مرکز دایره نقطه ای است که آنها در آن تلاقی می کنند.

اگر طرف جانبی با نقطه تماس به بخشهای H و M تقسیم شود ، آن را با ریشه مربعی حاصل از این بخشها برابر می کند.

چهارضلعی ، که از نقاط تماس ، راس ذوزنقه و مرکز دایره کتیبه شده تشکیل شده است ، مربعی است که ضلع آن برابر شعاع است.

مساحت یک شکل برابر است با حاصلضرب پایه ها و حاصلضرب نصف مجموع پایه ها به ارتفاع آن.

ذوزنقه مشابه

این مبحث برای مطالعه خواص این مورد بسیار مناسب است. به عنوان مثال ، موربها یک ذوزنقه را به چهار مثلث تقسیم می کنند ، و آنهایی که در مجاورت پایه ها قرار دارند مشابه هستند و در طرفین آنها برابر است. این عبارت را می توان خاصیت مثلث هایی نامید که ذوزنقه ای با قطرهای آن تقسیم شده است. قسمت اول این بیانیه از طریق نشانه شباهت در دو زاویه ثابت می شود. برای اثبات قسمت دوم ، بهتر است از روش زیر استفاده کنید.

اثبات قضیه

ما قبول داریم که شکل ABSD (BP و BS پایه ذوزنقه هستند) با قطرهای VD و AS تقسیم می شود. نقطه تقاطع آنها O است. ما چهار مثلث بدست می آوریم: AOS - در قاعده پایینی ، BOS - در قاعده بالایی ، ABO و SOD در کناره های جانبی. اگر قسمتهای BO و OD پایه آنها باشند ، مثلث های SOD و BFB دارای ارتفاع مشترک هستند. دریافتیم که تفاوت بین مناطق آنها (P) برابر با تفاوت بین این بخشها است: PBOS / PSOD = BO / OD = K. بنابراین ، PSOD = PBOS / K. به همین ترتیب ، مثلث های BFB و AOB دارای ارتفاع مشترک هستند. ما بخش های SB و OA را برای پایه های آنها در نظر می گیریم. PBOS / PAOB = SO / OA = K و PAOB = PBOS / K را دریافت می کنیم. از اینجا نتیجه می شود که PSOD = PAOB.

برای تجمیع مطالب ، به دانش آموزان توصیه می شود بین مناطق مثلثهای حاصله ، که ذوزنقه به قطرهای آن تقسیم شده است ، ارتباطی پیدا کنند و مشکل زیر را حل کنند. مشخص است که مناطق مثلث زیستی و AOD برابر هستند ؛ لازم است مساحت ذوزنقه را پیدا کنیم. از آنجا که PSOD = PAOB ، به این معنی است که PABSD = PBOS + PAOD + 2 * PSOD. از شباهت مثلث BFB و AOD نتیجه می گیرد که BO / OD = √ (PBOS / PAOD). بنابراین ، PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD). PSOD = √ (PBOS * PAOD) را دریافت می کنیم. سپس PABSD = PBOS + PAOD + 2 * √ (PBOS * PAOD) = (√ PSOS + √ PAOD) 2.

خواص شباهت

در ادامه توسعه این موضوع ، می توانید سایر ویژگی های جالب ذوزنقه را اثبات کنید. بنابراین ، با کمک شباهت ، می توان ویژگی قطعه ای را که از نقطه ای که از محل تلاقی موربهای این شکل هندسی تشکیل شده است ، موازی با پایه ها ، ثابت کرد. برای انجام این کار ، ما مشکل زیر را حل می کنیم: لازم است طول بخش RK را که از نقطه O عبور می کند ، پیدا کنیم. از شباهت مثلث های AOD و BFB ، نتیجه می گیرد که AO / OS = AD / BS به از شباهت مثلث AOR و ASB ، نتیجه می گیرد که AO / AC = RO / BS = HELL / (BS + HELL). از اینجا ما RO = BS * HELL / (BS + HELL) را دریافت می کنیم. به طور مشابه ، از شباهت مثلث DOK و DBS ، نتیجه می شود که OK = BS * HELL / (BS + HELL). از اینجا ما RO = OK و RK = 2 * BS * HELL / (BS + HELL) را دریافت می کنیم. قطعه ای که از نقطه تلاقی موربها ، موازی با پایه ها و اتصال دو طرف عبور می کند ، با نقطه تقاطع نصف می شود. طول آن میانگین هارمونیک پایه شکل است.

کیفیت ذوزنقه ای زیر را در نظر بگیرید که به آن ویژگی چهار نقطه می گویند. نقاط تقاطع مورب (O) ، تقاطع امتداد اضلاع جانبی (E) ، و همچنین نقاط میانی پایه ها (T و G) همیشه در یک خط قرار دارند. این به راحتی با روش شباهت ثابت می شود. مثلثهای BES و AED مشابه هستند و در هر یک از آنها میانه های ET و EZ زاویه راس E را به قسمتهای مساوی تقسیم می کنند. در نتیجه ، نقاط E ، T و on در یک خط مستقیم قرار دارند. به همین ترتیب ، نقاط T ، O و Zh در یک خط مستقیم قرار گرفته اند.همه اینها از شباهت مثلث BFB و AOD ناشی می شود. از اینجا نتیجه می گیریم که هر چهار نقطه - E ، T ، O و F - روی یک خط مستقیم قرار خواهند گرفت.

با استفاده از چنین ذوزنقه ای ، می توانید از دانش آموزان بخواهید طول بخش (LF) را که شکل را به دو قسمت مشابه تقسیم می کند ، بیابند. این بخش باید موازی پایه ها باشد. از آنجا که ذوزنقه های بدست آمده ALPD و LBSF مشابه هستند ، بنابراین BS / LF = LF / BP. نتیجه می شود که LF = √ (BS * HELL). دریافتیم که قسمتی که ذوزنقه را به دو قسمت مشابه تقسیم می کند دارای طول برابر با میانگین هندسی طول پایه های شکل است.

ویژگی شباهت زیر را در نظر بگیرید. این بر اساس بخشی است که ذوزنقه را به دو شکل مساوی تقسیم می کند. ما فرض می کنیم که ذوزنقه ABSD توسط بخش ЕН به دو قسمت مشابه تقسیم می شود. از بالای B ، ارتفاع کاهش می یابد ، که توسط بخش EH به دو قسمت تقسیم می شود - B1 و B2. دریافت می کنیم: PABSD / 2 = (BS + EH) * B1 / 2 = (HELL + EH) * B2 / 2 و PABSD = (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. در مرحله بعد ، ما یک سیستم ایجاد می کنیم که معادله اول آن (BS + EH) * B1 = (AD + EH) * B2 و دوم (BS + EH) * B1 = (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2 نتیجه می شود که B2 / B1 = (BS + EH) / (AD + EH) و BS + EH = ((BS + HELL) / 2) * (1 + B2 / B1). دریافتیم که طول قطعه ای که ذوزنقه را به دو اندازه مساوی تقسیم می کند برابر با میانگین مربع ریشه طول پایه ها است: √ ((BS2 + AD2) / 2).

یافته های شباهت

بنابراین ، ما ثابت کردیم که:

1. قسمتی که نقاط میانی طرفین جانبی ذوزنقه را به هم متصل می کند موازی BP و BS است و برابر با میانگین حساب BS و BP (طول قاعده ذوزنقه) است.

2. خطی که از نقطه O محل تقاطع موربها به موازات HELL و BS می گذرد برابر با میانگین هارمونیک اعداد HELL و BS (2 * BS * HELL / (BS + HELL)) خواهد بود.

3. بخش تقسیم ذوزنقه به قطعات مشابه دارای طول میانگین هندسی پایه های BS و HELL است.

4- عنصری که شکل را به دو اندازه مساوی تقسیم می کند دارای طول میانگین اعداد مربع BP و BS است.

برای تثبیت مطالب و درک ارتباط بین بخشهای در نظر گرفته شده ، دانش آموز باید آنها را برای ذوزنقه ای خاص بسازد. او به راحتی می تواند خط وسط و قسمتی را که از نقطه O عبور می کند - تقاطع موربهای شکل - موازی با پایه ها نشان دهد. اما سوم و چهارم در کجا قرار خواهد گرفت؟ این پاسخ دانش آموز را به کشف رابطه مطلوب میانگین ها سوق می دهد.

قطعه ای که نقاط میانی قطرهای ذوزنقه ای را به هم متصل می کند

ویژگی زیر این شکل را در نظر بگیرید. ما فرض می کنیم که بخش MH موازی با پایه ها است و مورب را به نصف تقسیم می کند. نقاط تقاطع Ш و Ш نامیده می شوند. این بخش برابر با نیمه تفاوت پایه ها خواهد بود. اجازه دهید نگاهی دقیق تر به این موضوع بیندازیم. MSh - خط وسط مثلث ABS ، مساوی با BS / 2 است. MCh خط وسط مثلث ABD است ، برابر با BP / 2 است. سپس آن SHSH = MSH-MSH را دریافت می کنیم ، بنابراین ، SHSH = HELL / 2-BS / 2 = (HELL + VS) / 2.

مرکز ثقل

بیایید نگاه کنیم که چگونه این عنصر برای یک شکل هندسی مشخص تعریف شده است. برای انجام این کار ، لازم است پایه ها را در جهت مخالف گسترش دهید. چه مفهومی داره؟ لازم است قسمت پایینی را به پایه بالا اضافه کنید - به هر طرف ، به عنوان مثال ، در سمت راست. و قسمت پایینی را با طول قسمت بالایی به چپ بسط دهید. بعد ، آنها را با مورب متصل می کنیم. نقطه تلاقی این بخش با خط وسط شکل مرکز ثقل ذوزنقه است.

ذوزنقه های خطی و توصیف شده

بیایید ویژگی های چنین اشکال را لیست کنیم:

1- ذوزنقه را تنها در صورتی می توان در یک دایره ثبت کرد که یکنواخت باشد.

2- یک ذوزنقه را می توان در اطراف یک دایره توصیف کرد ، به شرطی که مجموع طول پایه های آنها برابر مجموع طول طول اضلاع جانبی باشد.

پیامدهای دایره ثبت شده:

1. ارتفاع ذوزنقه توصیف شده همیشه معادل دو شعاع است.

2. طرف جانبی ذوزنقه توصیف شده از مرکز دایره با زاویه راست مشاهده می شود.

پیامد اول واضح است ، اما برای اثبات مورد دوم لازم است که ثابت شود که زاویه SOD درست است ، که در واقع نیز دشوار نخواهد بود. اما آگاهی از این ویژگی به شما امکان می دهد هنگام حل مسائل از مثلث زاویه دار استفاده کنید.

اکنون اجازه دهید این پیامدها را برای ذوزنقه ای متساوی الساقین که در یک دایره حک شده است ، مشخص کنیم. دریافتیم که ارتفاع میانگین هندسی پایه شکل است: H = 2R = √ (BS * HELL). در حین تمرین تکنیک اساسی حل مشکلات ذوزنقه (اصل نگه داشتن دو ارتفاع) ، دانش آموز باید کار زیر را حل کند. فرض می کنیم که BT ارتفاع شکل متساوی الساقین ABSD است. یافتن بخش های AT و TD ضروری است. با استفاده از فرمول شرح داده شده در بالا ، انجام این کار دشوار نخواهد بود.

اکنون بیایید نحوه تعیین شعاع یک دایره را با استفاده از مساحت ذوزنقه توصیف شده مشخص کنیم. ارتفاع را از بالای B تا قاعده HELL پایین می آوریم. از آنجا که دایره در ذوزنقه ثبت شده است ، سپس BS + HELL = 2AB یا AB = (BS + HELL) / 2. از مثلث ABN ما sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + HELL) را پیدا می کنیم. PABSD = (BS + HELL) * BN / 2 ، BN = 2R. ما PABSD = (BS + HELL) * R را دریافت می کنیم ، بدین ترتیب R = PABSD / (BS + HELL) بدست می آید.

همه فرمول ها برای خط وسط ذوزنقه

اکنون وقت آن است که به آخرین عنصر این شکل هندسی برویم. بیایید دریابیم که خط وسط ذوزنقه (M) برابر است با:

1. از طریق پایه ها: M = (A + B) / 2.

2. از طریق ارتفاع ، پایه و گوشه ها:

M = A-H * (ctgα + ctgβ) / 2 ؛

M = B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. از طریق ارتفاع ، مورب و زاویه بین آنها. به عنوان مثال ، D1 و D2 مورب یک ذوزنقه هستند. α ، β - زاویه بین آنها:

M = D1 * D2 * sinα / 2H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

4. از طریق مساحت و ارتفاع: M = P / N

ذوزنقه ایچهار ضلعی است با دو ضلع موازی که پایه هستند و دو ضلع غیر موازی که اضلاع جانبی هستند.

اسامی نیز وجود دارد مانند متساوی الساقینیا متساوی الساقین.

ذوزنقه ای است که گوشه های جانبی آن راست است.

عناصر ذوزنقه

a ، b - قاعده ذوزنقه(موازی b) ،

متر ، n - کناره های جانبیذوزنقه ،

d 1 ، d 2 - موربذوزنقه ،

ساعت - ارتفاعذوزنقه (قطعه ای که پایه ها را متصل می کند و در عین حال عمود بر آنها است) ،

MN - خط میانی(قطعه ای که نقاط وسط کناره ها را به هم متصل می کند).

منطقه ذوزنقه ای

1. نصف مجموع پایه های a ، b و ارتفاع h: S = \ frac (a + b) (2) \ cdot h
2. از طریق خط میانی MN و ارتفاع h: S = MN \ cdot h
3. از طریق موربهای d 1 ، d 2 و زاویه (\ sin \ varphi) بین آنها: S = \ frac (d_ (1) d_ (2) \ sin \ varphi) (2)

خواص ذوزنقه ای

خط وسط ذوزنقه

خط میانیبه موازات پایه ها ، برابر با نیم مجموع آنها و هر بخش را با انتهای آن بر روی خطوط مستقیم که حاوی پایه ها (به عنوان مثال ، ارتفاع شکل) را به نصف تقسیم می کند:

MN || a، MN || ب ، MN = \ frac (a + b) (2)

مجموع زوایای ذوزنقه ای

مجموع زوایای ذوزنقه ایمجاور هر طرف 180 ^ (\ circ) است:

\ alpha + \ beta = 180 ^ (\ circ)

\ gamma + \ delta = 180 ^ (\ circ)

مثلث ذوزنقه مساحت مساوی

برابر، یعنی دارای مساوی مساوی ، قطعات مورب و مثلث AOB و DOC هستند که از طرفین جانبی تشکیل شده اند.

شباهت مثلث های ذوزنقه ای شکل گرفته

مثلث های مشابه AOD و COB هستند که از پایه ها و بخشهای خطی آنها تشکیل شده است.

\ مثلث AOD \ sim \ مثلث COB

ضریب شباهت k با فرمول یافت می شود:

k = \ frac (AD) (BC)

علاوه بر این ، نسبت مساحت این مثلث ها برابر k ^ (2) است.

نسبت طول بخش ها و پایه ها

هر بخش اتصال پایه ها و عبور از نقطه تقاطع مورب های ذوزنقه ای با این نقطه در نسبت تقسیم می شود:

\ frac (OX) (OY) = \ frac (BC) (AD)

این امر در مورد ارتفاع با خود موربها صادق خواهد بود.

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلاید فقط برای اهداف اطلاعاتی است و ممکن است همه گزینه های ارائه را نشان ندهد. اگر به این کار علاقه دارید ، لطفاً نسخه کامل آن را بارگیری کنید.

هدف درس:

• درس دادن- معرفی مفهوم ذوزنقه ، آشنایی با انواع ذوزنقه ، مطالعه ویژگی های ذوزنقه ، آموزش استفاده از دانش به دست آمده در فرایند حل مسائل ؛
• در حال توسعه- توسعه کیفیت ارتباطی دانش آموزان ، توسعه توانایی انجام آزمایش ، تعمیم ، نتیجه گیری ، ایجاد علاقه به موضوع.
• آموزشی- برای آموزش توجه ، ایجاد موقعیت موفقیت ، شادی ناشی از غلبه بر مشکلات ، توسعه نیاز دانش آموزان به بیان خود از طریق انواع کارها.

اشکال کار:جلو ، اتاق بخار ، گروه.

شکل سازماندهی فعالیتهای کودکان:توانایی گوش دادن ، ایجاد بحث ، بیان یک فکر ، سوال ، افزودن.

تجهیزات:کامپیوتر ، پروژکتور چند رسانه ای ، صفحه نمایش. روی میزهای دانشجویی: مواد را برای ترسیم یک ذوزنقه برای هر دانش آموز روی میز برش دهید. کارت هایی با تکالیف (چاپ نقشه ها و تکالیف از طرح کلی درس).

در طول کلاسها

I. لحظه سازمانی

با سلام ، بررسی میزان آمادگی محل کار برای درس.

II به روز رسانی دانش

• توسعه مهارت های طبقه بندی اشیاء ؛
• برجسته کردن ویژگی های اصلی و ثانویه در طبقه بندی.

شکل 1 در نظر گرفته شده است.

بعد بحث نقاشی می آید.
- این شکل هندسی از چه چیزی ساخته شده است؟ بچه ها جواب را در تصاویر پیدا می کنند: [از یک مستطیل و مثلث].
- مثلث های تشکیل دهنده ذوزنقه باید چه باشند؟
همه نظرات شنیده و مورد بحث قرار می گیرد ، یک گزینه انتخاب می شود: [مثلث ها باید مستطیل شکل باشند].
- مثلث ها و مستطیل ها چگونه تشکیل شده اند؟ [به طوری که اضلاع مخالف مستطیل با پای هر یک از مثلث ها منطبق باشد].
- از اضلاع مخالف مستطیل چه می دانید؟ [آنها موازی هستند].
- بنابراین ، در این چهارضلعی اضلاع موازی وجود خواهد داشت؟ [آره].
- چند نفر هستند؟ [دو]
پس از بحث ، معلم "ملکه درس" - ذوزنقه را نشان می دهد.

سوم توضیح مطالب جدید

1. تعریف عناصر ذوزنقه ای ، ذوزنقه ای

• آموزش تعریف ذوزنقه به دانش آموزان ؛
• نام عناصر آن ؛
• توسعه حافظه تداعی کننده

- حالا سعی کنید تعریف کاملی از ذوزنقه ارائه دهید. هر دانش آموز در مورد پاسخ سوال فکر می کند. آنها نظرات خود را دو به دو رد و بدل می کنند ، یک پاسخ واحد برای یک سوال آماده می کنند. پاسخ شفاهی توسط یک دانش آموز از 2-3 جفت داده می شود.
[ذوزنقه چهار ضلعی است که دو ضلع آن موازی و دو طرف دیگر موازی نیستند].

- اضلاع ذوزنقه را چه می نامند؟ [اضلاع موازی را پایه ذوزنقه و دو طرف دیگر را اضلاع می نامند].

معلم پیشنهاد می کند که ذوزنقه ها را از شکل های بریده شده تا کنید. دانش آموزان به صورت جفت کار می کنند ، شکل اضافه می کنند. خوب است اگر جفت دانش آموزان در سطوح مختلف باشند ، پس یکی از دانش آموزان مشاور است و در صورت مشکل به یک دوست کمک می کند.

- ذوزنقه ای را در دفترچه یادداشت بسازید ، نام طرفین ذوزنقه را بنویسید. س neighborالات مربوط به نقاشی را از همسایه خود بپرسید ، به پاسخ های او گوش دهید ، گزینه های خود را برای پاسخ دهید.

مرجع تاریخی

"ذوزنقه"کلمه یونانی ، که در زمانهای قدیم به معنی "میز" بود (در یونانی "trapedzion" به معنی میز ، میز ناهار خوری است. شکل هندسی به دلیل شباهت خارجی آن با یک میز کوچک نامگذاری شد.
در "عناصر" (یونانی Στοιχεῖα ، lat. Elementa) - اصلی ترین کار اقلیدس ، نوشته شده در حدود 300 قبل از میلاد. NS و به ساخت سیستماتیک هندسه اختصاص داده شده است) اصطلاح "ذوزنقه" نه در مدرن ، بلکه در معنای دیگر استفاده می شود: هر چهارضلعی (نه متوازی الاضلاع). "تراپزیم" به معنای ما برای اولین بار در ریاضیدان یونان باستان پوزیدونیوس (قرن اول) یافت می شود. در قرون وسطی ، ذوزنقه ای ، به گفته اقلیدس ، هر چهارضلعی (نه متوازی الاضلاع) نامیده می شد. فقط در قرن هجدهم این کلمه معنای امروزی می گیرد

ساخت ذوزنقه از عناصر مشخص شده آن. بچه ها وظایف کارت شماره 1 را انجام می دهند.

دانش آموزان باید ذوزنقه را در طیف گسترده ای از مکان ها و سبک ها بسازند. در مرحله 1 ، شما باید یک ذوزنقه مستطیلی بسازید. در بند 2 ، امکان ساخت ذوزنقه ای متساوی الساقین وجود دارد. در نقطه 3 ، ذوزنقه "به پهلو خوابیده است". در بند 4 ، نقشه ساخت چنین ذوزنقه ای را ارائه می دهد ، که در آن یکی از پایه ها به طور غیرمعمول کوچک است.
دانش آموزان با شکل های مختلف که یک نام مشترک دارند - معلم را غافلگیر می کنند - ذوزنقه. معلم گزینه های ممکن برای ساخت ذوزنقه را نشان می دهد.

مشکل 1... آیا دو ذوزنقه مساوی خواهند بود که به ترتیب یکی از پایه ها و دو ضلع آنها برابر است؟
راه حل مشکل را در گروه ها بحث کنید ، صحت استدلال را اثبات کنید.
یکی از دانش آموزان گروه روی تخته نقاشی می کشد ، خط استدلال را توضیح می دهد.

2. انواع ذوزنقه

• توسعه حافظه حرکتی ، توانایی شکستن ذوزنقه به ارقام شناخته شده لازم برای حل مشکلات ؛
• توسعه مهارت برای تعمیم ، مقایسه ، ارائه تعریف به صورت قیاس ، ارائه فرضیه ها.

شکل را در نظر بگیرید:

- تفاوت ذوزنقه های نشان داده شده در شکل چیست؟
بچه ها متوجه شدند که نوع ذوزنقه به نوع مثلث سمت چپ بستگی دارد.
- جمله را کامل کنید:

ذوزنقه ای مستطیل نامیده می شود اگر ...
ذوزنقه ای متساوی الساقین نامیده می شود اگر ...

3. خواص ذوزنقه ای. خواص ذوزنقه ای متساوی الساقین

• به قیاس مثلث متساوی الساقین ، فرضیه ای در مورد خاصیت ذوزنقه ای متساوی الساقین مطرح می شود.
• توسعه مهارت های تحلیلی (مقایسه ، فرضیه ، اثبات ، ساخت).

• قطعه ای که نقاط وسط مورب ها را به هم متصل می کند برابر با نیم اختلاف پایه ها است.
• ذوزنقه ذوزنقه ای متساوی الساقین دارای زوایای یکسانی در هر پایه ای است.
• ذوزنقه ای متساوی الاضلاع دارای موربهای مساوی است.
• در ذوزنقه ای متساوی الساق ، ارتفاع از بالا به پایه بزرگتر کاهش می یابد و آن را به دو قسمت تقسیم می کند ، که یکی از آنها برابر نصف مجموع پایه ها ، و دیگری-نیمه تفاوت پایه ها است.

هدف 2ثابت کنید که در ذوزنقه ای متساوی الساقین: الف) زاویه های هر پایه مساوی هستند. ب) قطرها مساوی هستند. برای اثبات این خواص ذوزنقه ای متساوی الساقین ، معیارهای برابری مثلث ها را به یاد می آوریم. دانش آموزان کار را به صورت گروهی انجام می دهند ، بحث می کنند ، راه حل را در دفترچه یادداشت می کنند.
یکی از دانش آموزان گروه اثبات را روی تخته سیاه انجام می دهد.

4. برای جلب توجه ورزش کنید

5. نمونه هایی از استفاده از اشکال ذوزنقه ای در زندگی روزمره:

• در فضای داخلی (مبل ، دیوار ، سقف کاذب) ؛
• در طراحی منظر (مرز چمن ، مخازن مصنوعی ، سنگ) ؛
• در صنعت مد (پوشاک ، کفش ، لوازم جانبی) ؛
• در طراحی اقلام روزمره (لامپ ، ظروف ، با استفاده از اشکال ذوزنقه ای) ؛
• در معماری

کار عملی(بر اساس گزینه ها).

- در یک سیستم مختصات ، ذوزنقه های متساوی الساقین را برای سه رأس داده شده بسازید.

گزینه 1: (0 ؛ 1) ، (0 ؛ 6) ، (- 4 ؛ 2) ، (... ؛ ...) و (- 6 ؛- 5) ، (4؛- 5) ، (- 4 ؛ - 3) ، (... ؛ ...).
گزینه 2: ( - 1؛ 0) ، (4؛ 0) ، (6؛ 5) ، (... ؛ ...) و (1؛ - 2) ، (4؛ - 3) ، (4 ؛ - 7) ، (... ؛ ...).

- مختصات راس چهارم را تعیین کنید.
راه حل توسط کل کلاس بررسی و نظر داده می شود. دانش آموزان مختصات چهارمین نقطه پیدا شده را نشان می دهند و به صورت شفاهی سعی می کنند توضیح دهند که چرا شرایط داده شده فقط یک نقطه را مشخص می کند.

یک کار سرگرم کنندهذوزنقه ای را از: الف) چهار مثلث زاویه دار اضافه کنید. ب) از سه مثلث زاویه دار راست ؛ ج) از دو مثلث زاویه دار راست.

IV مشق شب

• آموزش عزت نفس صحیح ؛
• ایجاد یک موقعیت "موفقیت" برای هر دانش آموز.

ص 44 ، تعریف ، عناصر ذوزنقه ، انواع آن را بدانید ، ویژگی های ذوزنقه را بدانید ، بتوانید آنها را اثبات کنید ، №388 ، 90390.

V. خلاصه درس. در پایان درس ، به بچه ها داده می شود پرسشنامه،که به درون نگری امکان می دهد تا ارزیابی کیفی و کمی از درس ارائه دهد .

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل ، ما یک سیاست حفظ حریم خصوصی ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفا سیاست حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هرگونه سوال به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اطلاق می شود که می توان از آنها برای شناسایی شخص خاصی یا تماس با وی استفاده کرد.

ممکن است در هر زمان که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از چنین اطلاعاتی آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی را جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت می گذارید ، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام ، شماره تلفن ، آدرس ایمیل شما و غیره را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که ما جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و پیشنهادات منحصر به فرد ، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده را گزارش دهیم.
• هر از گاهی ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان ها و پیام های مهم استفاده کنیم.
• همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای اهداف داخلی مانند انجام ممیزی ، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جایزه ، مسابقه یا رویداد تبلیغاتی مشابه شرکت می کنید ، ممکن است از اطلاعاتی که ارائه می دهید برای مدیریت آن برنامه ها استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را به اشخاص ثالث فاش نمی کنیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق قانون ، دستور دادگاه ، در مراحل دادگاه و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای امنیت ، اجرای قانون یا سایر دلایل مهم اجتماعی ضروری یا مناسب است ، ممکن است اطلاعاتی در مورد شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد ، ادغام یا فروش ، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث مناسب - جانشین قانونی ، منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری ، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن ، سرقت و سوء استفاده ، و همچنین در برابر دسترسی غیر مجاز ، افشا ، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

به حریم خصوصی خود در سطح شرکت احترام بگذارید

به منظور اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما ، قوانین رازداری و امنیت را برای کارکنان خود آورده و بر اجرای اقدامات محرمانه نظارت دقیق می کنیم.