سیستم لورنز جاذبه لورنتس

جاذبه‌های آشفته و عجیب با رفتار غیرقابل پیش‌بینی سیستم‌هایی که دینامیک کاملاً دوره‌ای ندارند مطابقت دارد؛ این تصویری ریاضی از فرآیندهای غیر تناوبی قطعی است. جاذبه های عجیب ساختاری دارند و می توانند پیکربندی های بسیار پیچیده و غیرعادی در فضای سه بعدی داشته باشند.

برنج. یکی

و پرتره فاز (ردیف پایین) برای سه سیستم مختلف

(گلیک، 2001)

اگرچه در آثار برخی از ریاضیدانان احتمال وجود جاذبه های عجیب و غریب قبلاً ثابت شده بود، برای اولین بار ساخت یک جاذبه عجیب (شکل 2) به عنوان راه حلی برای یک سیستم معادلات دیفرانسیل در کاری در مورد انجام شد. مدلسازی کامپیوتری گرما و تلاطم در جو توسط هواشناس آمریکایی E. Lorentz (E. Lorentz, 1963). حالت نهایی سیستم لورنتس به حالت اولیه بسیار حساس است. اصطلاح "جاذب عجیب" خود بعداً در کار D. Ruelle و F. Takens (D. Ruelle, F. Takens, 1971: رجوع کنید به Ruelle, 2001) در مورد ماهیت تلاطم در یک سیال ظاهر شد. نویسندگان خاطرنشان کردند که ابعاد یک جاذبه عجیب با ابعاد معمولی یا توپولوژیکی متفاوت است.بعدها، ب. ماندلبروت جاذبه های عجیبی را شناسایی کرد، مسیرهای آنها در طی محاسبات متوالی کامپیوتری، به طور بی نهایت طبقه بندی شده، تقسیم شده و با فراکتال ها.

برنج. 2. (مسیرهای آشفته در سیستم لورنتس). لورنز تراکتور (کرونور، 2000)

لورنز (1963) کشف کرد که حتی یک سیستم ساده از سه معادله دیفرانسیل غیر خطی می تواند به مسیرهای آشفته منجر شود. - هارمونیک دوم:

که در آن s، r و b برخی از اعداد مثبت، پارامترهای سیستم هستند. معمولاً مطالعات سیستم لورنز در s = 10، r = 28 و b = 8/3 (مقادیر پارامتر) انجام می شود.

بنابراین، سیستم هایی که رفتار آنها توسط قوانینی تعیین می شود که شامل تصادفی نمی شوند، در طول زمان به دلیل رشد، تقویت، تقویت عدم قطعیت های کوچک، نوسانات غیرقابل پیش بینی نشان می دهند. یک تصویر بصری از یک سیستم با عدم قطعیت فزاینده، به اصطلاح بیلیارد توسط Ya.G. سینا: توالی به اندازه کافی بزرگ از برخورد توپ به ناچار منجر به افزایش انحرافات کوچک از مسیرهای محاسبه شده (به دلیل غیر ایده آل بودن سطح کروی توپ های واقعی، سطح غیر ایده آل یکنواخت پارچه) و غیرقابل پیش بینی بودن سیستم می شود. رفتار - اخلاق.

در چنین سیستم‌هایی، «تصادفی به همان شکلی ایجاد می‌شود که خمیر مخلوط می‌شود یا دسته‌ای از کارت‌ها به هم می‌ریزند» (کراچفیلد و همکاران، 1987). به اصطلاح «تحول نانوا» با کشش و تا زدن پی در پی، تا کردن بی پایان یکی از الگوهای ظهور انتقال از نظم به هرج و مرج است. در این مورد، تعداد تبدیل ها می تواند به عنوان معیاری برای هرج و مرج عمل کند. کشنده Aizawa وجود دارد که یک مورد خاص از جاذبه Lorenz است.

که در آن a = 0.95، B = 0.7، c = 0.6، d = 3.5، e = 0.25، F = 0.1. هر مختصات قبلی در معادلات وارد می شود، مقدار حاصل در مقادیر زمانی ضرب می شود.

نمونه هایی از جاذبه های عجیب دیگر

جذب کننده وانگ سان

در اینجا a، b، d، e?R، c> 0 و f< 0 являются константами, cf ? 0, и x, y, z а это переменные состояния.

جاذبه روسلر

جایی که a,b,c = ثابت های مثبت. با مقادیر پارامتر a=b=0.2 و

چکیده

بر اساس رشته: ریاضیات

„ جاذبه لورنتس“

جاذبه لورنتس

حل سیستم درr =0,3

حل سیستم درr =1,8

حل سیستم درr =3,7

حل سیستم درr =10

حل سیستم درr =16

حل سیستم درr =24,06

حل سیستم درr =28 - در واقع، این جاذبه لورنتس است

حل سیستم درr =100 - حالت خود نوسانات در سیستم قابل مشاهده است

جاذبه لورنتس (از انگلیسی.برای جذب - جذب) یک مجموعه ثابت است در یک صاف سه بعدی، که دارای ساختار توپولوژیکی پیچیده خاصی است و به طور مجانبی پایدار است، آن و همه مسیرها از یک محله تمایل به در (از این رو نام).

جاذبه لورنتس در آزمایش‌های عددی که رفتار مسیرهای یک سیستم غیرخطی را بررسی می‌کردند پیدا شد:

با مقادیر پارامتر زیر: σ=10،r =28, ب = 8/3. این سیستم برای اولین بار به عنوان اولین سیستم غیر پیش پا افتاده برای مشکل آب دریا در یک لایه مسطح معرفی شد که انگیزه انتخاب مقادیر σ را فراهم کرد.r وب ، اما در سؤالات و مدل های فیزیکی دیگر نیز به وجود می آید:

همرفت در یک حلقه بسته؛

چرخش چرخ آب؛

مدل تک حالته;

اتلاف پذیر با غیرخطی اینرسی.

سیستم هیدرودینامیکی اولیه معادلات:

جایی که - سرعت جریان، - دمای مایع، - دمای حد بالایی (در پایین، ), - تراکم، - فشار، - جاذبه زمین، - به ترتیب، و سینماتیک.

در مسئله جابجایی، مدل زمانی بوجود می‌آید که سرعت جریان و دما به دو بعدی و "برش‌های" بعدی آنها تا هارمونیک‌های اول و دوم تجزیه می‌شوند. علاوه بر این، سیستم کامل معادلات داده شده در نوشته شده است. کوتاه کردن ردیف ها تا حدی قابل توجیه است، زیرا سولتزمن در آثار خود عدم وجود ویژگی های جالب در رفتار اکثر هارمونیک ها را نشان داد.

کاربرد و انطباق با واقعیت

اجازه دهید معنای فیزیکی متغیرها و پارامترها را در سیستم معادلات در رابطه با مسائل ذکر شده مشخص کنیم.

همرفت در یک لایه مسطح. اینجاایکس مسئول سرعت چرخش محورهای آب است،y وz - برای توزیع دما به صورت افقی و عمودی،r - نرمال شده، σ - (نسبت ضریب سینماتیک به ضریب)،ب حاوی اطلاعاتی در مورد هندسه سلول همرفتی است.

همرفت در یک حلقه بسته. اینجاایکس - سرعت جریان،y - انحراف دما از میانگین در نقطه ای 90 درجه دورتر از نقطه پایین حلقه،z - همان، اما در نقطه پایین. گرما در پایین ترین نقطه تامین می شود.

چرخش چرخ آب. مشکل چرخی که روی لبه آن سبدهایی با سوراخ در قسمت زیرین آن ثابت شده است در نظر گرفته شده است. بالای چرخبه صورت متقارن یک جریان پیوسته از آب حول محور چرخش جریان دارد. این کار با جایگزینی دما با چگالی توزیع جرم آب در سبدها در امتداد لبه، معادل کار قبلی است که "وارونه" شده است.

لیزر تک حالته اینجاایکس - دامنه امواج در لیزر،y - , z - وارونگی جمعیت،ب و σ نسبت ضرایب وارونگی و میدانی به ضریب آرامش قطبی شدن هستند،r - شدت.

شایان ذکر است که، همانطور که برای مسئله همرفت به کار می رود، مدل لورنتس یک تقریب بسیار تقریبی است که بسیار دور از واقعیت است. مکاتبات کم و بیش کافی در منطقه رژیم های منظم وجود دارد، جایی که راه حل های پایدار به طور کیفی تصویر مشاهده شده تجربی از رول های همرفتی چرخشی یکنواخت را منعکس می کنند (). رژیم آشفته ذاتی در مدل، همرفت آشفته را به دلیل برش قابل توجه سری مثلثاتی اصلی توصیف نمی کند.

دقت قابل توجه بالاتر مدل با برخی از اصلاحات آن است که به ویژه برای توصیف همرفت در یک لایه در معرض ارتعاش در جهت عمودی یا اثرات حرارتی متغیر استفاده می شود. چنین تغییراتی در شرایط خارجی منجر به مدولاسیون ضرایب در معادلات می شود. در این مورد، مولفه های فوریه فرکانس بالا دما و سرعت به طور قابل توجهی سرکوب می شوند و توافق بین مدل لورنتس و سیستم واقعی را بهبود می بخشند.

قابل توجه شانس لورنز در انتخاب مقدار پارامتر است از آنجایی که سیستم فقط برای مقادیر بیشتر از 24.74 می آید، برای مقادیر کوچکتر رفتار کاملاً متفاوت است.

رفتار راه حل سیستم

اجازه دهید تغییراتی را در رفتار راه حل به سیستم لورنتس برای مقادیر مختلف پارامتر r در نظر بگیریم. تصاویر مقاله نتایج شبیه سازی عددی نقاط با مختصات اولیه (10،10،10) و (-10،-10،10) را نشان می دهد. مدل سازی با استفاده از برنامه زیر که به زبان نوشته شده است انجام شد و طبق جداول حاصل ترسیم شد - به دلیل توانایی های گرافیکی ضعیف Fortran با استفاده از Compaq Array Viewer.

r <1 - مبدأ مختصات جذب کننده است، هیچ نقطه ثابت دیگری وجود ندارد.

1< r <13,927 - مسیرها به صورت مارپیچی (این مربوط به وجود نوسانات میرا شده است) به دو نقطه نزدیک می شود که موقعیت آنها با فرمول ها تعیین می شود:

این نقاط حالت های رژیم همرفت ثابت را تعیین می کنند، زمانی که ساختاری از رول های سیال دوار در لایه تشکیل می شود.

r ≈13,927 - اگر مسیر از مبدا خارج شود، پس از انجام یک چرخش کامل در اطراف یکی از نقاط پایدار، به نقطه شروع باز می گردد - دو حلقه هموکلینیک ایجاد می شود. مفهوممسیر هموکلینیک یعنی بیرون می آید و به همان حالت تعادل می رسد.

r >13,927 - بسته به جهت، مسیر به یکی از دو نقطه پایدار می رسد. حلقه‌های هموکلینیک به چرخه‌های حدی ناپایدار بازتولید می‌شوند و خانواده‌ای از مسیرهای مرتب شده پیچیده نیز به وجود می‌آیند که یک جاذبه نیست، بلکه برعکس، مسیرها را از خود دفع می‌کند. گاهی اوقات، به قیاس، به این ساختار "دفع کننده عجیب" می گویند (Eng.دفع کردن - دفع).

r ≈24,06 - مسیرها دیگر به نقاط پایدار منتهی نمی شوند، اما به طور مجانبی به چرخه های حدی ناپایدار نزدیک می شوند - جذب کننده واقعی لورنتس ظاهر می شود. با این حال، هر دو نقطه پایدار تا مقادیر حفظ می شوندr ≈24,74.

برای مقادیر بزرگ پارامتر، مسیر دستخوش تغییرات جدی می شود. شیلنیکوف و کاپلان این را برای خیلی بزرگ نشان دادندr سیستم به حالت خود نوسانی می رود و اگر پارامتر کاهش یابد، انتقال به آشوب از طریق دنباله ای از دو برابر شدن دوره نوسان مشاهده می شود.

اهمیت مدل

مدل لورنتز یک مثال فیزیکی واقعی با رفتار آشفته است، برخلاف نگاشت های مختلف ساخته شده مصنوعی (و غیره).

برنامه هایی که رفتار سیستم لورنز را شبیه سازی می کنند

بورلند سی

#عبارتند از

#عبارتند از

void main()

دو برابر x = 3.051522، y = 1.582542، z = 15.62388، x1، y1، z1؛

دو برابر dt = 0.0001;

int a = 5، b = 15، c = 1;

int gd=DETECT، gm;

initgraph(&gd, &gm, "C:\\BORLANDC\\BGI");

انجام دادن(

X1 = x + a*(-x+y)*dt;

Y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;

Z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;

X=x1; y=y1; z = z1;

Putpixel((int)(19.3*(y - x*0.292893) + 320)،

(int)(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);

) while (!kbhit());

closegraph();

ریاضیات

داده = جدول[

با [(N = 1000، dt = 0.01، a = 5، b = 1 + j، c = 1)،

NestList &,

(3.051522، 1.582542، 15.62388)، N

(j, 0, 5)];

[ایمیل محافظت شده][(رنگ]، نقطه[#1]) و، داده]

بورلند پاسکال

برنامه لورنز;

از CRT، Graph استفاده می کند.

Const

dt = 0.0001;

a = 5;

b = 15;

c = 1;

Var

gd، gm: عدد صحیح؛

x1، y1، z1، x، y، z: واقعی.

شروع

gd:=تشخیص;

InitGraph(gd، gm، "c:\bp\bgi");

x: = 3.051522;

y:= 1.582542;

z:= 15.62388;

در حالی که کلید زده نشده است، شروع کنید

x1:= x + a*(-x+y)*dt;

y1:= y + (b*x-y-z*x)*dt;

z1:= z + (-c*z+x*y)*dt;

x:= x1;

y:= y1;

z:= z1;

PutPixel(Round(19.3*(y - x*0.292893) + 320),

Round(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);

پایان؛

بستن نمودار

ReadKey;

پایان.

فرترن

برنامه LorenzSystem

real,parameter::sigma=10

real,parameter::r=28

real,parameter::b=2.666666

real,parameter::dt=.01

عدد صحیح، پارامتر::n=1000

x،y،z واقعی

open(1,file="result.txt",form="formatted",status="replace",action="write")

x=10.;y=10.;z=10.

doi=1,n,1

x1=x+سیگما*(y-x)*dt

y1=y+(r*x-x*z-y)*dt

z1=z+(x*y-b*z)*dt

x=x1

y=y1

z=z1

نوشتن (1,*)x,y,z

پایان انجام

چاپ *"انجام شد"

بستن (1)

برنامه پایانی LorenzSystem

QBASIC/FreeBASIC ("fbc -lang qb")

DIM x، y، z، dt، x1، y1، z1 به عنوان تک

DIM a, b, c به عنوان عدد صحیح

x = 3.051522: y = 1.582542: z = 15.62388: dt = 0.0001

a=5: b=15: c=1

صفحه 12

PRINT "برای خروج Esc را فشار دهید"

در حالی که جوهر $<>CHR$ (27)

x1 = x + a * (-x + y) * dt

y1 = y + (b * x - y - z * x) * dt

z1 = z + (-c * z + x * y) * dt

x=x1

y = y1

z = z1

PSET ((19.3 * (y - x * 0.292893) + 300)، (-11 * (z + x * 0.292893) + 360))، 9

WEND

پایان

جاوا اسکریپت و HTML5

var cnv = document.getElementById("cnv");

var cx = cnv.getContext("2d");

var x = 3.051522، y = 1.582542، z = 15.62388، x1، y1، z1؛

vardt = 0.0001;

var a = 5، b = 15، c = 1;

var h = parseInt(cnv.getAttribute("ارتفاع"));

var w = parseInt(cnv.getAttribute("width"));

var id = cx.createImageData(w, h);

varrd = Math.round;

var idx = 0;

i=1000000; در حالی که (i--) (

x1 = x + a*(-x+y)*dt;

y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;

z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;

x = x1; y=y1; z = z1;

idx=4*(rd(19.3*(y - x*0.292893) + 320) + rd(-11*(z + x*0.292893) + 392)*w);

id.data = 255;

cx.putImageData(id, 0, 0);

IDL

پرو لورنز

n=1000000 & r=dblarr(n,3) & r= & a=5. &b=15. &c=1.

برای i=0.,n-2. DO r=r + [ a*(r-r)، b*r-r-r*r، r*r-c*r ]*0.0001

نمودار، 19.3*(r[*،1]-r[*،0]*0.292893)+320.،-11*(r[*،2]+r[*،0]*0.292893)+392.

پایان

ادبیات

Kuznetsov S.P. , سخنرانی 3. سیستم لورنتس; سخنرانی 4. دینامیک سیستم لورنتس. // - M.: Fizmatlit، 2001.

سالتزمن بی . همرفت آزاد دامنه محدود به عنوان یک مسئله مقدار اولیه. // مجله علوم جوی، شماره 7، 1962 - ص. 329-341.

لورنز ای . حرکت غیر تناوبی قطعی // جاذبه های عجیب. - م.، 1981. - S. 88-116.

معمولاً این را می گویند آشوبشکل بالاتری از نظم است، اما درست تر است که هرج و مرج را شکل دیگری از نظم در نظر بگیریم - ناگزیر، در هر سیستم پویا، نظم به معنای معمول خود با هرج و مرج و نظم به دنبال هرج و مرج است. اگر هرج و مرج را به عنوان بی نظمی تعریف کنیم، در چنین بی نظمی قطعاً می توانیم شکل خاص خود را از نظم ببینیم. مثلا، دود از سیگاردر ابتدا تحت تأثیر محیط بیرونی به شکل یک ستون منظم بالا می رود، خطوط کلی عجیب و غریب تری به خود می گیرد و حرکات آن آشفته می شود. مثال دیگری از تصادفی بودن در طبیعت است برگی از هر درختی. می توان ادعا کرد که برگ های مشابه زیادی مانند بلوط خواهید یافت، اما نه یک جفت حروف یکسان. این تفاوت توسط دما، باد، رطوبت و بسیاری از عوامل خارجی دیگر به غیر از دلایل صرفاً داخلی (مثلاً تفاوت ژنتیکی) تعیین می شود.

نظریه آشوب

حرکت از نظم به هرج و مرج و بالعکس، ظاهراً جوهر عالم است، ما مظاهر آن را مطالعه نکرده ایم. حتی در مغز انسان هم اصول منظم و آشفته وجود دارد. اولی مربوط به نیمکره چپ مغز و دومی مربوط به سمت راست است. نیمکره چپ مسئول رفتار آگاهانه یک فرد، توسعه قوانین و استراتژی های خطی در رفتار انسان است، جایی که "اگر ... پس ..." به وضوح تعریف شده است. در نیمکره راست، غیر خطی بودن و هرج و مرج حاکم است. شهود یکی از مظاهر نیمکره راست مغز است. نظریه آشوبنظم یک سیستم آشفته را مطالعه می کند که تصادفی و بی نظم به نظر می رسد. در عین حال، نظریه آشوب به ساخت مدلی از چنین سیستمی کمک می کند، بدون اینکه وظیفه پیش بینی دقیق رفتار یک سیستم آشفته در آینده را تعیین کند.

تاریخچه نظریه آشوب

اولین عناصر نظریه آشوب در قرن نوزدهم ظاهر شد، اما این نظریه در نیمه دوم قرن بیستم به همراه آثار توسعه علمی واقعی پیدا کرد. ادوارد لورنز(ادوارد لورنز) از مؤسسه فناوری ماساچوست و ریاضیدان فرانسوی-آمریکایی بنوا بی. ماندلبرو (Benoit B. Mandelbrot). ادوارد لورنز در یک زمان (اوایل دهه 60 قرن بیستم، اثری که در سال 1963 منتشر شد) در نظر گرفت که چه چیزی در پیش بینی آب و هوا دشوار است. با کار لورنز، دو نظر در مورد امکان پیش‌بینی دقیق آب‌وهوا برای یک دوره بی‌نهایت طولانی، بر دنیای علم حاکم بود. رویکرد اولدر سال 1776 توسط یک ریاضیدان فرانسوی فرموله شد پیر سیمون لاپلاس. لاپلاس اظهار داشت که «...اگر ذهنی را تصور کنیم که در یک لحظه معین، تمام ارتباطات بین اجسام در جهان را درک کند، آنگاه می‌تواند موقعیت‌ها، حرکات و تأثیرات کلی همه این اجسام را در هر زمان مشخص کند. در گذشته یا در آینده." این رویکرد او شباهت زیادی به سخنان معروف ارشمیدس داشت: «به من تکیه گاه بده تا تمام دنیا را زیر و رو کنم». بنابراین، لاپلاس و حامیانش گفتند که برای پیش بینی دقیق آب و هوا، فقط لازم است اطلاعات بیشتری در مورد تمام ذرات جهان، مکان، سرعت، جرم، جهت حرکت، شتاب و غیره جمع آوری شود. لاپلاس معتقد بود که هر چه شخص بیشتر بداند، پیش بینی او در مورد آینده دقیق تر خواهد بود. رویکرد دومامکان پیش بینی آب و هوا به وضوح توسط یک ریاضیدان فرانسوی دیگر فرموله شد، ژول هانری پوانکاره. او در سال 1903 گفت: «اگر دقیقاً قوانین طبیعت و موقعیت جهان را در لحظه اولیه بدانیم، می‌توانستیم موقعیت همان جهان را در لحظه‌های بعدی به‌طور دقیق پیش‌بینی کنیم. اما حتی اگر قوانین طبیعت تمام اسرار خود را برای ما فاش کنند، حتی در آن صورت می‌توانیم موقعیت اولیه را فقط تقریباً بدانیم. اگر این به ما اجازه می داد که موقعیت بعدی را با همان تقریب پیش بینی کنیم، این تنها چیزی بود که نیاز داشتیم، و می توانستیم بگوییم که این پدیده پیش بینی شده بود، که توسط قوانین اداره می شد. اما همیشه اینطور نیست که تفاوت های کوچک در شرایط اولیه باعث ایجاد تفاوت های بسیار بزرگ در پدیده نهایی شود. یک خطای کوچک در اولی باعث ایجاد خطای بزرگ در دومی می شود. پیش‌بینی غیرممکن می‌شود و ما با پدیده‌ای روبه‌رو هستیم که به طور تصادفی ایجاد می‌شود.» در این سخنان پوانکاره، اصل نظریه آشوب در مورد وابستگی به شرایط اولیه را می یابیم. توسعه بعدی علم، به ویژه مکانیک کوانتومی، جبرگرایی لاپلاس را رد کرد. در سال 1927 یک فیزیکدان آلمانی ورنر هایزنبرگکشف و فرموله شد اصل عدم قطعیت. این اصل توضیح می دهد که چرا برخی از پدیده های تصادفی از جبر لاپلاسی تبعیت نمی کنند. هایزنبرگ اصل عدم قطعیت را با استفاده از واپاشی رادیواکتیو یک هسته به عنوان مثال نشان داد. بنابراین، برای اندازه بسیار کوچک هسته، شناخت تمام فرآیندهای رخ داده در داخل آن غیرممکن است. بنابراین، مهم نیست که ما چقدر اطلاعات در مورد هسته جمع آوری می کنیم، نمی توان دقیقا پیش بینی کرد که این هسته چه زمانی تجزیه می شود.

ابزارهای تئوری آشوب

نظریه آشوب چه ابزارهایی دارد؟ اول از همه، اینها جذب کننده ها و فراکتال ها هستند. جذب کننده (از انگلیسی برای جذب - جذب) - یک ساختار هندسی است که رفتار در فضای فاز را در پایان یک زمان طولانی مشخص می کند. به این معنا که جذب کننده- این همان چیزی است که سیستم برای رسیدن به آن تلاش می کند و به آن جذب می شود. ساده ترین نوع جاذبه یک نقطه است. چنین جاذبه ای برای آونگ در حضور اصطکاک معمولی است. صرف نظر از سرعت و موقعیت اولیه، چنین آونگی همیشه استراحت می کند، یعنی. دقیقا. نوع بعدی جاذبه سیکل حدی است که به شکل یک خط منحنی بسته است. نمونه ای از چنین جاذبه ای آونگی است که تحت تأثیر نیروی اصطکاک قرار نمی گیرد. مثال دیگری از چرخه محدود، ضربان قلب است. فرکانس ضربان می تواند کاهش یا افزایش یابد، اما همیشه به سمت جذب کننده خود یعنی منحنی بسته اش میل می کند. سومین نوع جاذبه، چنبره است. در شکل 1، چنبره در گوشه سمت راست بالا نشان داده شده است.
شکل 1 - انواع اصلی جاذبه ها در بالا سه جاذبه قابل پیش بینی و ساده نشان داده شده است. در زیر سه جاذبه پر هرج و مرج آورده شده است. علیرغم پیچیدگی رفتار جاذبه‌های آشفته، که گاهی به آنها جاذبه‌های عجیب و غریب نیز می‌گویند، دانش فضای فاز به فرد اجازه می‌دهد تا رفتار سیستم را به شکل هندسی نشان دهد و بر این اساس، آن را پیش‌بینی کند. و اگرچه ماندن سیستم در یک نقطه خاص از زمان در یک نقطه خاص از فضای فاز تقریباً غیرممکن است، منطقه ای که جسم در آن قرار دارد و تمایل آن به جذب کننده قابل پیش بینی است.

جاذب لورنز

اولین جاذبه آشفته، جاذبه لورنز بود.
شکل 2 - جاذبه لورنز آشفته جاذبه لورنتسمحاسبه شده بر اساس تنها سه درجه آزادی - سه معادله دیفرانسیل معمولی، سه ثابت و سه شرط اولیه. با این حال، با وجود سادگی، سیستم لورنز به شیوه ای شبه تصادفی (آشوب) رفتار می کند. لورنتس پس از شبیه سازی سیستم خود بر روی یک کامپیوتر، دلیل رفتار آشفته آن را شناسایی کرد - تفاوت در شرایط اولیه. حتی یک انحراف میکروسکوپی دو سیستم در همان ابتدا در روند تکامل منجر به تجمع تصاعدی خطاها و بر این اساس، اختلاف تصادفی آنها شد. در عین حال، هر جاذبه ای دارای ابعاد مرزی است، بنابراین واگرایی نمایی دو مسیر از سیستم های مختلف نمی تواند به طور نامحدود ادامه یابد. دیر یا زود، مدارها دوباره همگرا می شوند و از کنار یکدیگر می گذرند یا حتی با هم منطبق می شوند، اگرچه دومی بسیار بعید است. به هر حال، همزمانی مسیرها قاعده ای برای رفتار جاذبه های قابل پیش بینی ساده است. همگرایی-واگرایی(به ترتیب ترکیب و کشش نیز نامیده می شود) یک جاذبه آشفته به طور سیستماتیک اطلاعات اولیه را حذف می کند و آن را با اطلاعات جدید جایگزین می کند. هنگام صعود، مسیرها به یکدیگر نزدیک می شوند و اثر نزدیک بینی ظاهر می شود - عدم قطعیت اطلاعات در مقیاس بزرگ افزایش می یابد. هنگامی که مسیرها از هم جدا می شوند، برعکس، آنها از هم جدا می شوند و اثر دور بینی زمانی ظاهر می شود که عدم قطعیت اطلاعات در مقیاس کوچک افزایش می یابد. در نتیجه همگرایی-واگرایی ثابت جذب کننده آشفته، عدم قطعیت به سرعت در حال افزایش است، که باعث می شود پیش بینی دقیق در هر لحظه از زمان را برای ما غیرممکن کند. چیزی که علم به آن افتخار می کند - توانایی برقراری ارتباط بین علت و معلول - در سیستم های آشفته غیرممکن است. هیچ رابطه علی بین گذشته و آینده در هرج و مرج وجود ندارد. همچنین در اینجا باید توجه داشت که میزان همگرایی-واگرایی معیاری برای هرج و مرج است، یعنی. یک بیان عددی از اینکه سیستم چقدر آشفته است. یکی دیگر از معیارهای آماری هرج و مرج، بعد جذب کننده است. بنابراین، می توان اشاره کرد که ویژگی اصلی جاذبه های آشفته، همگرایی- واگرایی مسیرهای سیستم های مختلف است که به طور تصادفی به تدریج و بی نهایت با هم مخلوط می شوند.

Izv. دانشگاه ها "PND"، نسخه 15، شماره 1، 2007 UDC 517.9

جاذب لورنتز در جریان های برشی

صبح. محمداف

در چارچوب مدل پیشنهادی قبلی از دینامیک آشفته یک محیط پیوسته، تحقق رژیم سه بعدی نوسانات سرعت جریان مربوط به یک جاذبه از نوع لورنتس به دست می‌آید. راه‌حل مجموعه‌ای از ساختارها است که هندسه منیفولد لایه‌ای را تعیین می‌کند که به حالت سه‌بعدی کاهش می‌یابد، که توسط ضربان‌های سرعت جریان متوسط ​​ایجاد می‌شود. دینامیک جذب کننده لورنتس خود را به شکل وابستگی زمانی نوسانات سرعت در امتداد خطوط جریان متوسط ​​نشان می دهد.

همانطور که مشخص است، یکی از نمونه های کلاسیک هرج و مرج قطعی، جاذبه لورنتس، که در نتیجه تحقیقات هیدرودینامیکی کاربردی کشف شد، هنوز به اندازه کافی در فرمالیسم مکانیک آشفته موجود بازتولید نشده است. در آثار نویسنده، این فرضیه بیان شد که اصولاً نمی توان راه حل هیدرودینامیکی کلاسیک این مسئله را به دست آورد و توجیهی برای چنین نتیجه گیری ارائه شد. این مبتنی بر درک این بود که مدل‌های جذب‌کننده دینامیک آشفته بر سطح مزوسکوپیک حرکت یک محیط پیوسته تأثیر می‌گذارند، و این سطح در معادلات کلاسیک ناویر-استوکس نشان داده نمی‌شود. این منجر به پیشنهاد گسترش گزینه‌ها برای حل مسئله جذب‌کننده لورنتس با گنجاندن صراحتاً ساختارهای مزون اضافی در فرمالیسم ریاضی هیدرودینامیک شد که دستگاه این نظریه را از چارچوب عملیات کلاسیک با معادلات ناویر-استوکس فراتر می‌برد.

در حال حاضر، رژیم‌های جذب دینامیک رسانه پیوسته در چارچوب مدل‌هایی ساخته می‌شوند که انتزاع‌های گسترده‌ای از حرکت یک محیط پیوسته هستند، تقریباً بدون استفاده از مفهوم برهمکنش‌های مکانیکی ذرات محیط با یکدیگر. . در برخی موارد، این انتزاعات منعکس کننده خواص عملگرهای نوع تکاملی هستند که در سلسله مراتبی از فضاهای هیلبرت تودرتو عمل می کنند. در موارد دیگر، آنها دینامیک سیستم‌های بعد محدود را منعکس می‌کنند که تغییرات در حالت‌های محیط را بازتولید می‌کنند، اما در این مورد، هر یک از حالت‌ها در واقع فقط با یک نقطه از منیفولد فاز مربوطه نشان داده می‌شوند. چنین مدل‌سازی با هدف کاربردی هیدرومکانیک، که مستلزم بازتولید تمام ساختارهای ضروری به طور مستقیم، یعنی در فضای اشغال شده توسط یک محیط پیوسته است، مطابقت ندارد. اگر استدلال های داده های نظری و تجربی را به نفع

وجود چنین بازنمایی، سپس بازتولید جاذبه‌ها در زمینه پویایی ویژگی‌های فضا-زمان محیط یک نیاز مبرم به نظر می‌رسد.

در این مقاله، جاذبه لورنتس در چارچوب دینامیک آشفته ارائه شده در مدل ساخته شده است. طبق این مدل، فضاهای فاز رژیم‌های آشفته، لایه‌بندی جت‌های نوسانات کمیت‌های هیدرودینامیکی هستند. هندسه بسته‌های نوسانی به‌صورت دلخواه پیشینی فرض می‌شود که توسط ویژگی‌های مدل‌سازی‌شده رژیم‌های آشفته مربوطه تعیین می‌شود. هدف اصلی مدل سازی یک ساختار آشفته است که مجموعه ای از مسیرهای ناپایدار حرکت نقاط در محیط است. فرض بر این است که هر رژیم آشفته ایجاد شده مربوط به یک ساختار آشفته به خوبی تعریف شده است. در مسیر یک ساختار پر هرج و مرج، آنها با مجموعه منحنی های انتگرال یک توزیع از نوع Pfaff غیر قابل انتگرال (غیر هولونومی) تعریف شده بر روی بسته ای از نوسانات متغیرهای دینامیکی شناسایی شدند.

یکی از ویژگی های مدل پیشنهادی، روش لاگرانژ برای توصیف حرکت یک محیط است که در حالت کلی، به توصیف حرکت بر حسب متغیرهای اویلر خلاصه نمی شود. در همان زمان، معلوم شد که توصیف لاگرانژ به طرز تحسین‌آمیزی برای منعکس‌کننده پویایی سیستم‌هایی با جاذبه‌های عجیب و غریب سازگار است. به جای محدودیت های سخت پارادایم اویلر، توصیف لاگرانژ شرایط بسیار نرم تری را تحمیل می کند که برای تعیین اجسام هندسی توزیع های غیرهولونومیک مربوطه عمل می کند. چنین تغییری در تاکید مدل‌سازی، بازتولید جاذبه‌های مختلف در دینامیک پرتوهای ذرات در محیط‌های پیوسته را ممکن می‌سازد.

1. اجازه دهید معادلات دینامیک ضربان های رژیم سه حالته را تنظیم کنیم

(yi + 4 (x، y!) (xk = Ar(x، y^)(U (1،3،k = 1،2،3)، (1)

که در آن xk و yz مجموعه مختصات فضایی و دینامیکی طبقه بندی ضربان ها را تشکیل می دهند و اشیاء mkk(x, yt) (xk و Ar(x, yt)M ماهیت برهمکنش های بین حالتی رژیم را تعیین می کنند. و معادله (1) خود را می توان به عنوان قوانینی برای تشکیل مشتقات مختصات دینامیکی با توجه به مختصات مکانی و زمان در نظر گرفت که توسط تکامل متلاطم واقعی تعیین می شود. معنای هندسی ثابت این اجسام این است که در دسته ضربان ها تعیین می کنند. موضوع اتصال داخلی و میدان برداری عمودی، به ترتیب.

فرض کنید مختصات دینامیکی معرفی شده در بالا به معنای نوسانات در سرعت جریان محیط است، یعنی سرعت واقعی محیط را می توان به میدان سرعت جریان متوسط ​​و نوسانات طبق فرمول گسترش داد.

u (x، y) = u0 (x) + y. (2)

معادلات موازنه جرم و تکانه را به صورت معادله پیوستگی استاندارد و معادله ناویر-استوکس در نظر می گیریم.

Chr + udi. (چهار)

این سیستم معادلات هنوز کامل نشده است، زیرا معادله (4) شامل فشار است که یک متغیر ترمودینامیکی است که دینامیک آن در حالت کلی فراتر از محدوده سینماتیک است. برای توصیف نوسانات فشار، مختصات دینامیکی جدیدی مورد نیاز است که تعداد درجات آزادی لازم برای توصیف رژیم حرکت آشفته مربوطه را افزایش می‌دهد. یک متغیر دینامیکی جدید معرفی می کنیم که به معنای نوسانات فشار است، یعنی می گیریم

p(x,y)= po(x) + y4. (5)

بنابراین، مجموعه اولیه مختصات دینامیکی مورد نیاز برای نمایش حرکت یک محیط پیوسته، چهار بعدی است.

امکان کاهش به یک سیستم سه بعدی با دینامیک مشابه دینامیک سیستم لورنتس در این است که فشار به صورت گرادیان وارد معادله (4) می شود. از این رو نتیجه می شود که کاهش به دینامیک سه بعدی نوسانات سرعت را می توان در صورتی انجام داد که گرادیان فشار وارد شده به معادله (4) فقط شامل سه مختصات دینامیکی اول باشد. برای این کار کافی است که در معادلات دینامیک برای مختصات چهارم مورد نیاز باشد

dy4 + wj (x, y)dxk = A4 (x, y)dt (6)

ضرایب اشکال اتصال w4(x,yj)dxk فقط به سه مختصات دینامیکی اول بستگی دارد. توجه داشته باشید که رژیم سه بعدی ممکن است از نقطه نظر یک توصیف کامل تر، که شامل در نظر گرفتن تمام درجات آزادی هیجان انگیز است، ناپایدار باشد. با این حال، ما خود را به مدل سازی دقیقاً این پویایی ممکن پیشینی محدود می کنیم.

اجازه دهید شرایط تحمیل شده توسط معادلات تعادل (3)، (4) را بر روی عبارات برای مقادیر مجهول wk(x,yj)dxk و Ai(x,yj)dt موجود در معادله دینامیکی (1) در نظر بگیریم. برای این کار، (2) و (5) را جایگزین (3) و (4) می کنیم و از معادلات (1) و (6) استفاده می کنیم. برای ساده سازی عبارات به دست آمده، فرض می کنیم که مختصات فضایی xk دکارتی هستند. در این حالت، نمی توانید بین superscripts و subscripts تمایز قائل شوید، آنها را در صورت لزوم برای نوشتن عبارات کوواریانس بالا و پایین کنید. سپس معادلات زیر را برای ضرایب معادله (1) بدست می آوریم.

dkuk - wj = 0، (7)

Ai + (uk + yk)(djuk - wj) = -(dipo - w4i) - vDjwik. (هشت)

که در آن نماد Dj = dj - wk^y معرفی شده است.

برای آنچه در ادامه می آید، فرمول مسئله را مشخص می کنیم. ما رژیمی را در نظر خواهیم گرفت که میدان سرعت متوسط ​​آن جریان یک برش ساده را توصیف می کند

uk = Ax3à\. (9)

علاوه بر این، ما فرضیاتی در مورد هندسه فضای ضربان فیبری داریم. فرض می کنیم که بسته نرم افزاری به عنوان یک تابع خطی در مختصات دینامیکی متصل است، یعنی w^ = waj (x)yj (a = 1,..., 4). در این مورد، بلافاصله از معادله (8) نتیجه می گیرد که شی دوم ساختاری به دست می آورد که در مختصات دینامیکی چند جمله ای است. یعنی، میدان برداری عمودی به یک چند جمله ای مرتبه دوم در مختصات دینامیکی تبدیل می شود، یعنی.

Ai = Ak (x) + Aj (x)yk + j (x)yj yk.

بنابراین، توابع مجهولی که معادله دینامیک ضربان‌های رژیم سه حالته مورد بررسی را تعیین می‌کنند، ضرایب waak(x)، Ar0(x)، Ark(x)، و A3k(x) هستند که برای آنها داریم. معادلات (3) و (4). توجه داشته باشید که معادله (4) اساساً به تعیین ضرایب میدان برداری عمودی کاهش می یابد، در حالی که انتخاب ضرایب اتصال فقط معادله تداوم (3) را محدود می کند. این معادله دلبخواهی قابل‌توجهی در تعیین ضرایب اتصال به جا می‌گذارد، بنابراین وسعت مدل‌سازی ساختار فضایی دینامیک نوسانات را با جریان متوسط ​​انتخابی مطابقت می‌دهد.

2. امکان به دست آوردن جاذبه ای از نوع لورنتس را در این مسئله در نظر بگیرید. برای این منظور، ابتدا در مورد بسط مقادیر واقعی سرعت به سرعت متوسط ​​و نوسانات حول میانگین بحث خواهیم کرد.

با توجه به معنای ضربان، میانگین زمانی آنها باید برابر با صفر باشد، یعنی.

(y)t - 0. (10)

در همان زمان، ضربان ها به عنوان انحراف مقادیر سرعت واقعی از مقدار متوسط ​​تعریف می شوند. اگر فرض شود که جریان متوسط ​​داده شده است، آنگاه شرایط ذکر شده به ما اجازه نمی دهد که یک سیستم دلخواه از معادلات با دینامیک آشفته را به عنوان معادله هرج و مرج مدل انتخاب کنیم. برای اینکه متغیرهای سیستم معادلات مدل به عنوان ضربان کمیت های هیدرومکانیکی واقعی در نظر گرفته شوند، باید شرایط (10) رعایت شود. اگر (10) راضی نباشد، این به معنای وجود یک رانش نامشخص در دینامیک پالس است. بر این اساس، معلوم می شود که سیستم مدل اتخاذ شده یا با عوامل عامل در نظر گرفته شده یا با ساختار جریان متوسط ​​مجاز ناسازگار است.

علاوه بر این، معادله (1) در حالت کلی، یک سیستم از نوع Pfaff کاملاً قابل ادغام نیست. ویژگی عدم انتگرال پذیری این معادله اساساً مهم است، که مربوط به ویژگی مشخصه حرکت آشفته است. یعنی در فرآیند حرکت، هر سازندهای آشفته ماکروسکوپی کوچک، ذرات، پروانه ها، گلبول ها فردیت خود را از دست می دهند. این ویژگی با عدم یکپارچگی معادله (1) در نظر گرفته شده است. در اصل، (1) مجموعه ای از مسیرهای حرکتی احتمالی نقاط یک پیوستار را که توسط یک محیط پیوسته تشکیل شده است، توصیف می کند. این مسیرها در دسته نوسانات تعریف می شوند. پیش بینی آنها بر روی فضای اشغال شده توسط یک محیط پیوسته، پویایی توسعه نوسانات در امتداد منحنی های فضایی مربوطه را تعیین می کند. توجه داشته باشید که دومی را می توان خودسرانه انتخاب کرد و امکان در نظر گرفتن دینامیک نوسانات در امتداد هر منحنی فضایی را تعیین کرد.

اجازه دهید برای قطعیت، پویایی نوسانات در امتداد خطوط جریان متوسط ​​را در نظر بگیریم. سپس معادلات دینامیکی زیر را داریم:

xr = u0، (11)

y + w) k y3 4 \u003d Ar. (12)

قبل از در نظر گرفتن این سیستم، آن را به متغیرهای بدون بعد تبدیل می کنیم. برای این کار در معادله اصلی (4) به جای ضریب ویسکوزیته معرفی می کنیم

عدد رینولدز. سپس وابستگی صریح به این عدد را با جایگزین کردن حذف کنید

<сг = 1_<юг, ю4 = со4, х = х^Иё, у = у^Кё, и0 = и0^Иё, рг = Иер0. (13)

با حذف خط زیر روی متغیرها، از (12) به دست می آوریم

y \u003d DiO - و! kdkiO - dgro + y3 (-dziO +<г - дкюЗ^ + ю\кю*к) + у3ук<3к. (14)

بیایید تحلیل کنیم (13). توجه داشته باشید که مدل مورد استفاده تلاطم توسعه یافته را فرض می کند، یعنی عدد رینولدز باید به اندازه کافی بزرگ در نظر گرفته شود. سپس، اگر کمیت های بدون بعد دارای مقادیر مرتبه وحدت باشند، کمیت های بعدی واقعی مطابق با (13) مقیاس تجلی دینامیک را نشان می دهد. به طور خاص، از (13) نتیجه می گیرد که مقیاس های فضایی کوچک هستند. بنابراین، مدل مورد استفاده باید ابتدا به عنوان مدلی از فرآیندهای اختلاط آشفته در سطح تفکیک مزوسکوپیک یک محیط پیوسته در نظر گرفته شود.

اکنون به تحلیل (11) و (12) می پردازیم. به راحتی می توان فهمید که برای جریان میانگین انتخاب شده، معادله (11) دارای انتگرال های ساده است. معادلات جریان متوسط ​​متناظر، خطوط مستقیم موازی با محور مختصات x1 هستند. با حذف مختصات فضایی، از (12) در حالت کلی، سیستمی از معادلات دیفرانسیل غیرخودکار را به دست می آوریم. در این حالت، اگر ضرایب اتصال و گرادیان فشار به مختصات x1 بستگی نداشته باشند، سیستم (14) مستقل می شود و مختصات فضایی باقیمانده x2 و x3 را به عنوان پارامتر در بر می گیرد. در این مورد، یک راه واقعی برای مدل‌سازی مستقیم دینامیک تپش شبه ثابت فضایی ناهمگن باز می‌شود. نمونه ای از چنین شبیه سازی در زیر آورده شده است.

در پایان این پاراگراف، توجه می کنیم که ظاهر یک توزیع غیرهولونومیک ارائه شده توسط سیستم Pfaff (1)، (6) نتیجه این فرض است که در حالت تلاطم قوی ثابت، کلاس مسیرهای حرکتی ممکن ذرات محیط یک سازند پایدار است. شرط لازم برای این پایداری جدید، نیاز به ناپایداری مسیر حرکت نقاط است که به نوبه خود، مقادیر زیادی از عدد رینولدز را نشان می دهد. تلاش برای گسترش رویکرد به مقادیر کوچک عدد Re بی اساس است.

3. اجازه دهید به ساخت مثالی بپردازیم که در آن نوسانات سرعت در امتداد مسیرهای جریان متوسط ​​توسط یک سیستم متعارف نوع لورنتس توصیف شده است. برای سادگی، فرض می کنیم که همه ضرایب اتصال ثابت هستند. در این مورد، دینامیکی به دست می‌آوریم که از نظر فضایی در امتداد خطوط جریان متوسط ​​همگن است، اما، با این وجود، در امتداد خطوط دلخواه از نظر فضایی همگن نیست. ما این فرض را تقریب شبه همگن می نامیم.

وظیفه ما این است که به معادله (14) شکل سیستم متعارف لورنتس را بدهیم. اولین مانع قابل مشاهده برای این امر عدم قطعیت در شناسایی مختصات دینامیکی و متغیرهای مربوطه است.

از سیستم متعارف با فرض اینکه انواع مکانیسم های تعاملات بین حالتی امکان شبیه سازی هر یک از این شناسایی ها را فراهم می کند، گزینه زیر را انتخاب می کنیم. فرض کنید ساختار معادله (14) به شکل زیر باشد:

y1 = a(-y1 + y2)، (15)

y2 = (r - (r)) y1 - y2 - y1y3، (16)

y3 = -y(y3 + (r)) + y1y2، (17)

که در آن اصطلاح منظم به صراحت مشخص شده است، که مطابق با آنچه در بخش 2 گفته شد، باید از بیان ضربان حذف شود.

x \u003d o (-x + y)، y \u003d rx - y - xr، r \u003d -y r + xy. (هجده)

برای این، فرض می کنیم که میانگین های زمانی برای متغیرهای سیستم (18) وجود دارد. بر اساس تغییر ناپذیری این سیستم با توجه به تحولات

x ^ -x، y ^ -y، z ^ z (19)

طبیعی است که انتظار داشته باشیم که میانگین دو متغیر اول صفر باشد. سپس تعویض

x ⩽ x، y ⩽ y، z ⩽ z + (z) (20)

در (18) سیستم معادلات (15) - (17) را به دست می دهد.

در این راستا متذکر می شویم که برای مقادیر مختلف پارامترهای سیستم لورنتس، راه حل هایی با مقادیر میانگین صفر و غیر صفر دو متغیر اول امکان پذیر است. با در نظر گرفتن این موضوع، بررسی بعدی خود را به اولین مورد از این احتمالات محدود می کنیم. علاوه بر این، متذکر می شویم که جایگزینی (20) در موردی نیز قابل انجام است که اصطلاح عبارت سوم (20) معنای میانگین زمانی را نداشته باشد. در این مورد، ممکن است برای تفسیر بعدی به تعریف جدیدی از روش میانگین‌گیری نیاز باشد. در حالت کلی، یک تعریف مناسب مستلزم اصلاح مقیاس های زمانی پدیده های مورد بررسی است. واضح است که چنین تعریف‌هایی مستلزم بررسی دقیق‌تر داده‌های اولیه و تغییرات در پارامترهای سیستم است. اثر شناخته شده تعامل جاذبه های آشفته نشان می دهد که چگونه ابهاماتی در تعیین میانگین ها برای تغییرات کوچک در پارامترهای حرکت ایجاد می شود.

بیایید به بررسی خود برگردیم. با مقایسه ضرایب سیستم (15) -(17) و (14) به دست می آید

(DiO - u£dki0 - c/ro) =

(-3]u0 + - dkyu] + u^) =

V -U (g)) (-o

g - (g) -1 0 V 0 0 -y

علاوه بر این، از (7) داریم

dk u0 = 0، 0.

(21) و (24) را در نظر بگیرید. با جایگزینی عبارت (9)، به راحتی می توان دریافت که (24) به طور یکسان انجام می شود، و (21) تنها به تعیین گرادیان فشار متوسط ​​کاهش می یابد. در این حالت، شیب عمود بر سرعت جریان متوسط ​​است، که نتیجه شناسایی انتخاب شده متغیرهای سیستم متعارف لورنتس و مؤلفه‌های نوسان سرعت است.

اجازه دهید به معادلات (23) و (25) بپردازیم. از (23) عبارات تک مقداری برای اجزای متقارن زیرنویس شی اتصال به دست می آوریم. قسمت ضد متقارن از (25) با مقداری دلبخواهی تعیین می شود. حل کلی این معادلات با عبارت زیر بدست می آید:

/ ae,x2 - bxx - aix1 + sd,x3 bx1 - cx2 \

eix2 - /dix3 -eix1 + bix3 (/ - 1)dix1 - bix2 V ra1x2 - eix3 (-p + 1)dix1 + aix3 eix1 - aix2)

اجازه دهید به معادله باقی مانده (22) بپردازیم. این معادله ماتریسی سیستمی از 9 معادله جبری درجه دوم است

b2 - c(p + /) +

ae - bp + Yur \u003d r - (r)،

eb - a/ + o43 = 0،

ae - bp + b + 1021 = o،

C/ + e2 + b2 - (1 - /) (1 - p) + o42 \u003d -1،

Ec + ab + u43 = 0،

A/ + eb + a - A + u31 = 0،

Ec + ab + u42 = 0،

Cp - (1 - /) (1 - p) + e2 + a2 + u33 \u003d -y.

مجهولات موجود در آن 6 ضریب اتصال (26)، 9 جزء تانسور فشار، 1 ضریب تعیین کننده سرعت متوسط ​​و 3 پارامتر سیستم لورنتس است. از این رو نتیجه می شود که راه حل این سیستم با اختیارات پارامتریک قابل توجهی تعیین می شود. در رژیم سه بعدی مورد بررسی، تانسور گرادیان فشار ω > 4r دلخواه است و به دلیل مشخص شدن آن، می توان دینامیک مورد نظر را برای هر انتخابی از پیش ثابت شده از ضرایب اتصال شبیه سازی کرد. برای رژیم های چند بعدی، اجزای تانسور فشار در یک سیستم کامل تر از معادلات گنجانده شده است که دینامیک تمام درجات آزادی برانگیخته را در نظر می گیرد. در این حالت، تانسور فشار دیگر نمی تواند دلخواه باشد. در این راستا، در نظر گرفتن گزینه‌های خاص مختلف برای تعیین تانسور فشار جالب است، با این فرض که مفروضات منطقی فیزیکی باید نمایش‌های خود را در معادلات کامل‌تری پیدا کنند که دینامیک چند بعدی را در نظر می‌گیرند. فرض می کنیم که تانسور گرادیان فشار مورب با یک جزء صفر مربوط به مختصات y2 است. در این مورد، (22) راه حل تحلیلی دقیق زیر را دارد:

o!1 = 0.1 - a، o43 = 0.1 - y + 1، 0.1 = (K - a) a - A2، K = r - (r)، (27)

K - a t Ka، K - a AK

a = A، b = a - K، c = - - 0.1، p = -، f = - K، e = - - -. (28)

محلول به دست آمده (27)، (28) را در نظر بگیرید. کمیت های A، r، a، y که بزرگی گرادیان سرعت متوسط ​​جریان را تعیین می کنند و سه پارامتر سیستم مدل لورنتس در آن دلخواه باقی ماندند. تمام خصوصیات حرکتی دیگر به عنوان تابعی از مجموعه کمیت های بالا بیان می شوند. با انتخاب مقادیر معینی از این مقادیر، می توان دینامیک ضربان ها را تغییر داد و با استفاده از فرمول های (26)، (27) مقادیر مربوط به اجزای شی اتصال را یافت. اگر در نظر بگیریم که هر شی ماهیت برهمکنش‌های تپش‌ها را تعیین می‌کند، آنگاه می‌توان انواع مختلف برهمکنش‌ها را تغییر داد. به ویژه، برای تغییر اندازه اجزای تانسور فشار. لازم به ذکر است که در برخی موارد می توان این اجزا را به طور یکسان به صفر تبدیل کرد. یکی از ویژگی های راه حل های (27)، (28) این است که نمی توان اجزای تانسور فشار را به صفر تبدیل کرد، در حالی که در ناحیه آن مقادیر پارامترهای سیستم باقی می ماند که دینامیک لورنتس برای آنها ایجاد می شود. (با این حال، این در ناحیه مقادیر پارامترهایی که دینامیک ضربان برای آنها منظم است، کاملاً امکان پذیر است.)

بیایید برخی برآوردها را انجام دهیم. اجازه دهید پارامترهای سیستم مدل مطابق با جاذبه لورنتس با پارامترهای a = 10، r = 28، y = 8/3 باشد. در این مورد، محاسبات نشان می دهد که ضربان ها دارای زمان مشخصه t ~ 0.7 هستند. در بازه زمانی محاسبه شده b = 0 + 50، مقادیر ضربان متعلق به بازه های y1 = -17.3 + 19.8، y2 = -22.8 + 27.2 و y3 = -23.2 + 23.7 است.

اجازه دهید مقادیر مطلق نوسانات سرعت و گرادیان سرعت متوسط ​​را با هم مقایسه کنیم. از (13) نتیجه می شود که ضربان ها با تقسیم مقادیر نسبی بر عدد l/d به دست می آیند، در حالی که گرادیان سرعت متوسط ​​بدون تغییر باقی می ماند. اجازه دهید برای گرادیان سرعت مقداری برابر با واحد به ترتیب بزرگی در نظر بگیریم

A ~ 1 است. سپس، در مقدار Re = 2000، یعنی در مقدار بحرانی پایین تر، برای ضربان، مرتبه بزرگی برابر با 50٪ از مقدار گرادیان را به دست می آوریم. در مورد Re=40000، نوسانات سرعت تنها به 10% درصد مقدار پذیرفته شده گرادیان سرعت متوسط ​​می رسد. این نشان می‌دهد که نسبت‌های معقول بین سرعت متوسط ​​و ضربان‌ها را می‌توان تنها در محدوده خاصی از اعداد Re تضمین کرد.

4. داده های جدید هنگام در نظر گرفتن حرکت نقاط در محیط آشکار می شوند. برای دینامیک لورنتس در تقریب شبه همگن، معادلات حرکت نقاط به شکل

r -(z) -l 0 0 0 -Y

Aox3 -A(r - (z))x3

این سیستم با ضرایب ثابت خطی می شود. راه حل کلی آن را می توان به راحتی با ادغام ابتدایی به دست آورد. بنابراین، ما فقط ویژگی های کیفی مسیر حرکت نقاط را یادداشت می کنیم. از معادله مشخصه برای سرعت ها، متوجه می شویم که دو ریشه منفی و یک ریشه مثبت وجود دارد. بنابراین، در هر نقطه از فضا، دو جهت فشاری و یک جهت کششی متمایز می شود. این ویژگی‌های دینامیک، ویژگی‌های ثابتی هستند که می‌توانند برای طبقه‌بندی جاذبه‌های مربوط به جریان‌هایی با سرعت متوسط ​​یکسان استفاده شوند.

همانطور که از راه حل کلی سیستم (29) و (30) به شرح زیر است، جابجایی های احتمالی نقاط متوسط ​​در جهت های عرضی به خطوط جریان متوسط ​​محدود نمی شود. یعنی، یک رانش منظم در طرح ریزی روی محور x3 رخ می دهد. در این حالت، نقاطی که عمود بر خطوط جریان متوسط ​​حرکت می کنند، در ناحیه سرعت بالا قرار می گیرند. در این حالت عدد Re افزایش می یابد که منجر به کاهش بزرگی نسبی نوسانات می شود. در چارچوب تقریب شبه همگن انجام شده، این اثر منجر به کاهش نسبی نوسانات و در نهایت انحطاط آنها به نوسانات می شود.

فهرست کتابشناختی

1. محمدوف ع.م. مدل های آشفته: مشکلات و راه حل ها //17 کنگره IMACS، مقاله T4-1-103-0846، http://imacs2005.ec-lille.fr.

2. محمداف ع.م. به سوی یک نظریه گیج تلاطم // آشوب، سالیتون و فراکتال. 2006 جلد. 29. ص 253.

3. Ruelle D., Takens F. در مورد ماهیت تلاطم // Commun. ریاضی. فیزیک 1971 جلد. 20. ص 167.

4. بابین ع.و.، ویشیک م.ی. جاذبه های معادلات تکامل. M.: Nauka، 1989. 296 ص.

5. Mandelbrot B. هندسه فراکتال طبیعت. مرد آزاد سانفرانسیسکو، 1982.

6. بنزی RPaladin G.، Parisi G.، Vulpiani A. در مورد ماهیت چندفراکتالی آشفتگی کامل و سیستم های آشفته // J. Phys. A. 1984. ج.17. ص 3521.

7 الناشی م.س. انتگرال های مسیر فاینمن و نظریه بی نهایت E از آزمایش دو شکاف گدانکن // مجله بین المللی علوم غیرخطی و شبیه سازی عددی. 2005 جلد. 6 (4). ص 335.

8. محمدوف ع.م. مجموعه رژیم های آشفتگی در جریان های برشی // بولتن KSTU im. A.N. توپولف. 2003، شماره 3. S. 36.

9. یودوویچ V.I. مجانبی از چرخه های حدی سیستم لورنتس برای اعداد ریلی بزرگ // VINITI. 78/07/31. شماره 2611-78.

10. Anishchenko V.S. نوسانات پیچیده در سیستم های ساده M.: Nauka، 1990. 312 ص.

11. Loitsyansky L.G. مکانیک مایع و گاز. م.: ناوکا، 1987. 840 ص.

دانشگاه دولتی کازان در 23 ژانویه 2006 دریافت کرد

دانشگاه فنی بازبینی شده در 1385/08/15

جاذب لورنز در جریان های شیفت ساده

در چارچوب مدلی که قبلا برای شبیه‌سازی دینامیک آشوب محیط پیوسته ارائه شده است، جاذبه لورنز نشان داده شده است. شبیه‌سازی با کمک ساختارهایی که هندسه یک بسته فیبر مرتبط با رژیم سه بعدی ضربان‌های سرعت را تعریف می‌کنند، ارائه می‌شود. دینامیک لورنز به عنوان وابستگی زمانی ضربان ها در امتداد خطوط جریان متوسط ​​ظاهر می شود.

محمدوف آلفارید ماویویچ - در کازان (1953) به دنیا آمد. فارغ التحصیل از دانشکده فیزیک دانشگاه دولتی کازان در گروه گرانش و نظریه نسبیت (1976). دانشجوی دکتری گروه مکانیک نظری و کاربردی، دانشگاه فنی دولتی کازان به نام V.I. A.N. توپولف. نویسنده 12 مقاله در مورد این موضوع، و همچنین تک نگاری "جستجوی علمی و روش شناسی ریاضیات" (کازان: انتشارات KSTU، 2005، تالیف مشترک G.D. Tarzimanova). حوزه علایق علمی - مدل‌های ریاضی دینامیک آشفته، هندسه منیفولدهای الیافی، روش‌شناسی ریاضیات مدرن.

سیستم LORENTZ

سیستم LORENTZ

سیستم سه دیفرانسیل غیر خطی. دستورات مرتبه اول:

راه حل های ازدحام در طیف گسترده ای از پارامترها توابع نامنظم زمان و بسیاری موارد دیگر هستند. ویژگی های آنها از تصادفی قابل تشخیص نیستند. L.s. توسط E. Lorenz از معادلات هیدرودینامیک به عنوان مدلی برای توصیف همرفت حرارتی در یک لایه افقی از مایع گرم شده از زیر به دست آمد. R r - شماره پراندتل، - کاهش R e-ley عدد، ب- با انتخاب در بسط فوریه میدان سرعت و دما تعیین می شود).

برنج. 1. تصویر دوشاخه های متوالی در سیستم لورنتس با افزایش پارامتر r: آ) ؛ ب)؛ ج) د) ه) و)

L.s یکی از نمونه های آن است سیستم پویا،داشتن یک فیزیکی ساده معنی؛ تصادفی را نشان می دهد. رفتار سیستم AT فضای فازاین سیستم در محدوده پارامترهای نشان داده شده در شکل. 1 وجود دارد جاذبه عجیب،حرکت نقطه نماینده بر روی کروم مربوط به یک "تصادفی" - جریان متلاطم سیال در طول همرفت حرارتی است.

برنج. 2. حلقه همرفت - یک مدل فیزیکی که معادلات لورنتس برای آن مشتق شده است.

L.s. (در ب=l) به طور خاص، حرکت یک سیال را در یک حلقه همرفتی واقع در یک صفحه عمودی در یک حفره حلقوی گرانشی همگن پر از سیال توصیف می کند (شکل 2). دمای مستقل از زمان (اما وابسته به زاویه) روی دیواره‌های حفره حفظ می‌شود. T() پایین تر بخشی از حلقه گرمتر از قسمت بالایی است. معادلات حرکت یک سیال در یک حلقه همرفتی به L. s کاهش می یابد، جایی که x(t] -سرعت سیال، y (t) - temp-pa در نقطه ن، آ z(t) - temp-pa در نقطه مدر بزرگ تیبا رشد جیماهیت حرکت سیال تغییر می کند: اول (در r<1) неподвижна, далее (при ) устанавливается циркуляция с пост. скоростью (либо по часовой стрелке, либо против); при ещё больших rکل جریان در ابتدا به تغییرات کوچک حساس می شود. در شرایط، سرعت گردش مایع در حال حاضر به طور نامنظم تغییر می کند: مایع گاهی در جهت عقربه های ساعت و گاهی در خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخد.

در مقادیر رایج Pr=10, b= 8/3 اسب بخار دارد . خواص: ur-tion L. s. متغیرهای تبدیل، حجم فاز از پست کاهش می یابد. سرعت

در واحد زمان، حجم 10 6 برابر کاهش می یابد. با رشد g در L.s. زیر رخ می دهد. اصلی دوشاخه ها 1) چه زمانی تنها حالت تعادل گره پایدار در مبدا است O(O, O, 0). 2) در، که در آن r 1 \u003d 13.92، L. s. به جز موارد بی اهمیت ذکر شده ( O) دو تعادل دیگر دارد . حالت تعادل Oیک زین با پایداری دو بعدی و ناپایدار یک بعدی است که از O و دو جداکننده تشکیل شده و به و متمایل است (شکل 1، a). 3) چه زمانی r=r 1 هر یک از جدایی ها دوبرابر مجانبی به زین می شود O(شکل 1، ب). در طول انتقال rاز طریق r 1 از حلقه های بسته جدایی ناپایدار (زین) دوره ای متولد می شوند. حرکات - چرخه های محدود L 1 و L 2 . همراه با این چرخه های ناپایدار، یک محدودیت بسیار پیچیده سازمان یافته متولد می شود. با این حال، جذاب نیست (جذاب)، و در (شکل 1، که در)،جایی که r 2 = 24.06، همه مسیرها همچنان به . این وضعیت با وضعیت قبلی فرق می کند که اکنون جدایی ها _ و به ترتیب به حالت های تعادلی «نه خود» می روند. 4) در، جایی که = 24.74، در L. s. همراه با حالت های تعادل پایدار، یک مجموعه جذبی نیز وجود دارد که با رفتار پیچیده مسیرها مشخص می شود، جاذبه لورنتس (شکل 1). ، دعنبیه. 3). 5) هنگامی که زین چرخه L 1 و L 2 قرارداد به حالت های تعادلی و، که ثبات خود را در از دست می دهند

ژست L.s. جاذبه لورنتس است. بنابراین، اگر ما برای k از سمت مقادیر کوچکتر تلاش کنیم، تصادفی در L. s. بلافاصله، ناگهانی ایجاد می شود، یعنی یک شروع سخت تصادفی وجود دارد.

برنج. 3. مسیری که جذب کننده لورنتس را بازتولید می کند (خروج از مبدا). صفحه افقی مطابقت دارد r = = 27, r=28.

به L.s. نه تنها ur-tion را کاهش داد، که حرکت همرفتی سیال را توصیف کرد، بلکه سایر فیزیکی را نیز توصیف کرد. مدل ها (سه سطح، دینام دیسک و غیره).

متن: Lorenz E., Deterministic non periodic flow, "J. Atmos. Sci.", 1963, v. 20، ص. 130; در روسی ترجمه، در کتاب: جاذبه های عجیب، م.، 1981، ص. 88; Gaponov - Grekhov A. V.، Rabinovich M. I.، سیستم های ساده آشفته، "طبیعت"، 1981، شماره 2، ص. 54; افرایموویچ وی. 150; Rabinovich M. I.، Trubetskov D. I.، مقدمه ای بر نظریه نوسانات و امواج، M.، 1984. V. G. Shekhov.

دایره المعارف فیزیکی. در 5 جلد. - م.: دایره المعارف شوروی. سردبیر A. M. Prokhorov. 1988 .

ببینید «سیستم LOrentz» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

فاندم اورنیای کلاسیک الکترودینامیک، تعریف میکروسکوپی. پست الکترونیک بزرگ زمینه های ایجاد شده توسط شارژ فردی. ذرات. L. M. u. زیربنای نظریه الکترونیکی (الکترودینامیک میکروسکوپی کلاسیک) ساخته شده توسط X. A. Lorentz در con. 19…… دایره المعارف فیزیکی

سیستم مرجع اینرسی- یک قاب مرجع که در آن قانون اینرسی معتبر است: یک نقطه مادی، زمانی که هیچ نیرویی روی آن وارد نمی شود (یا نیروهای متقابل متوازن عمل می کنند)، در حالت سکون یا حرکت مستقیم یکنواخت است. هر سیستمی... مفاهیم علوم طبیعی مدرن واژه نامه اصطلاحات اساسی

- (در فیزیک) - سیستمی از اجسام، در رابطه با ازدحام، موقعیت بدن مورد مطالعه (یا مکان رویدادها) تعیین می شود و نقاط زمانی مربوط به این موقعیت ها ذکر می شود. برای این منظور، حساب دیفرانسیل و انتگرال معمولاً با سیستم انتخابی اجسام مرتبط است. سیستم… … دایره المعارف فلسفی

سیستم رد- دستگاهی بین آند و صفحه نمایش دستگاه پرتو کاتدی، که مطابق با یک قانون خاص برای منحرف کردن پرتو الکترونی میلیون ها حرکت آن در سراسر صفحه (نگاه کنید به) استفاده می کند. برای کنترل پرتو الکترونی، یک مغناطیسی، ...... دایره المعارف بزرگ پلی تکنیک

تبدیل‌های لورنتس در فیزیک، به‌ویژه در نظریه نسبیت خاص (STR)، تبدیل‌هایی هستند که مختصات فضا-زمان (x, y, z, t) هر رویداد هنگام حرکت از یک قاب اینرسی متحمل می‌شوند. . ویکیپدیا

در نظریه نسبیت خاص، تبدیل مختصات و زمان هر رویداد در طول انتقال از یک چارچوب مرجع اینرسی (به چارچوب مرجع اینرسی مراجعه کنید) به دیگری. در سال 1904 توسط H. A. Lorentz به عنوان تبدیل ... دایره المعارف بزرگ شوروی

یک مجموعه ثابت فشرده L در فضای فاز سه بعدی یک جریان صاف (St)، که دارای ساختار توپولوژیکی پیچیده ای است که در زیر نشان داده شده است. ساختار و به طور مجانبی پایدار است (یعنی لیاپانوف پایدار است و تمام مسیرها از برخی ... ... دایره المعارف ریاضی

نیروی (f) وارد بر ذره باردار در حال حرکت در میدان الکترومغناطیسی. بیان شده توسط H. A. Lorenz که در پایان قرن 19 تأسیس شد. فرمول: (در سیستم واحدهای CGS)، که e، v بار و سرعت ذره است، E قدرت میدان الکتریکی است، B ... فرهنگ لغت دایره المعارفی