نمایش هندسی اعداد مختلط و عملیات روی آنها. شکل مثلثاتی یک عدد مختلط

مجموعه R2 تمام جفت های مرتب شده ممکن (x» Y) اعداد حقیقی xxy € R را در نظر بگیرید. برای چنین جفت هایی (a, b) = (c, d) اگر و فقط اگر a = c و b - d باشد. اجازه دهید در این مجموعه R2 قوانین داخلی ترکیب را در قالب عملیات جمع و ضرب معرفی کنیم. ما جمع را با برابری £ faa تعریف می کنیم که عملیات تداعی و جابجایی است. (طبق تعریف 4.5) یک عنصر خنثی (0، 0) دارد، و با تعریف 4.6، برای هر جفت (a, 6) می توان یک عنصر متقارن (مقابل) (-a, -6) تعیین کرد. در واقع، V(a، 6) £ R2 علاوه بر این، یا میدان اعداد مختلط. ما ضرب را با تساوی تعریف می کنیم. به راحتی می توان تأیید کرد که عملیات معرفی شده به این روش تداعی، جابجایی و توزیعی با توجه به جمع است. این عملیات دارای یک عنصر خنثی است که جفت (1، 0) است، زیرا بنابراین، با توجه به عملیات جمع و ضرب معرفی شده، مجموعه R2 یک حلقه آبلی با واحد است (جدول 4.1 را ببینید). u* بین مجموعه جفت ها (x, 0) € R2 و مجموعه اعداد واقعی x G R به راحتی می توان یک مطابقت یک به یک (x, 0) x) برقرار کرد که از آن نتیجه می شود که میدان اعداد مختلط. آن ها جمع و ضرب این جفت ها مانند اعداد حقیقی انجام می شود. اجازه دهید جفت های شکل (x, 0) را با اعداد واقعی جایگزین کنیم. به جای (x, 0) ما به سادگی x را می نویسیم، به ویژه، به جای (1، 0)، به سادگی می نویسیم 1. جفت (0، 1) جایگاه ویژه ای را در مجموعه R2 اشغال می کند. مطابق (4.3) دارای خصوصیات است و علامت خاصی دریافت کرده است و سپس با توجه به (4.2) و (4.3) هر جفت (x, y) ∈ R2 را می توان به عنوان میدان اعداد مختلط نشان داد. . z را نشان دهید. عنصر z مزدوج مختلط عنصر z نامیده می شود. با در نظر گرفتن (4.3) z-z = x2 -by2. اگر z با عنصر خنثی (0، 0) مطابقت نداشته باشد، به عنوان مثال. اگر x و y همزمان با 0 برابر نباشند (2^0 را نشان می دهند)، سپس x2 + + y2 φ 0. سپس معکوس (متقارن، مخالف نسبت به عمل ضرب - به 4.1 مراجعه کنید) به عنصر z \u003d x + iy چنین عنصری خواهد بود r "1، که zz~l = 1 یا zzz~l =z، یعنی (x2 + y2)z~l = x - y بنابراین -1_ X 2 Y \ بنابراین، هر عنصر gf O نسبت به عمل ضرب معکوس به svb دارد و مجموعه R2 با عملیات جمع و ضرب که بر روی آن مطابق با (4.1) و (4.3) متحد شده اند، یک فیلد است (جدول 4.1 را ببینید). ) میدان (یا مجموعه) اعداد مختلط نامیده می شود و با C نشان داده می شود. گسترش میدان اعداد حقیقی هر عنصر r در C یک عدد مختلط نامیده می شود و نمایش آن به شکل z = x + iy> که در آن x، y £ R و i2 = -l، با شکل جبری یک عدد مختلط نشان داده می شود. در این حالت £ را جزء حقیقی عدد مختلط می نامند و با Re z نشان می دهند و y را جزء خیالی و با Imz نشان می دهند (t را واحد خیالی می گویند). توجه داشته باشید که قسمت خیالی یک عدد مختلط یک عدد واقعی است. نام y کاملاً موفق نیست، اما به عنوان ادای احترام به سنت تاریخی، تا به امروز باقی مانده است. اصطلاح "عدد مختلط44" در سال 1803 توسط ریاضیدان فرانسوی JI معرفی شد. کارنو (1753-1823)، اما K. Gauss از سال 1828 شروع به استفاده سیستماتیک از این اصطلاح کرد تا جایگزین «عدد خیالی» کمتر موفق 44 شود. در ادبیات ریاضی روسیه قرن نوزدهم. از عبارت «عدد مرکب» استفاده کرد. پیش از این در R. Descartes، اجزای واقعی و خیالی یک عدد مختلط در تقابل قرار دارند. بعداً اولین حروف فرانسوی کلمات reele (واقعی) و imagimaire (خیالی) نامگذاری این قسمت ها شد، اگرچه بسیاری از ریاضیدانان ماهیت مقادیر خیالی را نامشخص و حتی اسرارآمیز و عرفانی می دانستند. بنابراین، آی نیوتن آنها را در مفهوم عدد وارد نکرده است و جی. لایبنیتس متعلق به این عبارت است: «اعداد خیالی پناهگاه شگفت انگیز و شگفت انگیز روح الهی هستند، تقریباً مانند دوزیستان وجود با نیستی44. از آنجایی که مجموعه R2 از تمام جفت های ممکن از اعداد واقعی را می توان با نقاط روی صفحه شناسایی کرد، هر عدد مختلط z =؟ x + iy مربوط به نقطه y) است (شکل 4.1)، که به ما اجازه می دهد در مورد شکل هندسی نمایش یک عدد مختلط صحبت کنیم. هنگامی که اعداد مختلط با نقاط صفحه شناسایی می شوند، به آن صفحه مختلط یا صفحه اعداد مختلط می گویند. اعداد واقعی روی محور x قرار می گیرند، یعنی. اعداد z، که برای آنها lmz = y = 0، و در محور Oy - اعداد z = iy، کاملاً خیالی نامیده می شوند، که برای آنها Re r = x = 0. Poeto-Fig. 4.1، محورهای مختصات در صفحه مختلط به ترتیب واقعی و خیالی نامیده می شوند. نقاط صفحه مربوط به عناصر مزدوج مختلط z و z (اعداد مزدوج مختلط) در مورد محور واقعی متقارن هستند و نقاط نشان دهنده z و -z در مورد مبدا متقارن هستند. میدان فاصله اعداد مختلط. نقطه M(x, y)، که عدد مختلط z = x + iy را در صفحه نشان می دهد، از مبدا مدول عدد مختلط نامیده می شود و به آن \z\ یا r نشان داده می شود. زاویه ای که بردار شعاع را تشکیل می دهد. نقطه M با جهت مثبت محور Ox آرگومان یک عدد مختلط نامیده می شود و نشانگر ارگ یا (p) است (به شکل 4.1 مراجعه کنید). زاویه مانند مثلثات اندازه گیری می شود: جهت مثبت تغییر زاویه جهت خلاف جهت عقربه های ساعت در نظر گرفته می شود. واضح است که Arg z منحصراً تعریف نشده است، اما تا یک عبارت که مضرب 2n z - 0 باشد، مقدار Args تعریف نشده است. نقطه مربوط به این عدد (مبدا) فقط با علامت مشخص می شود. شرط \z\ = r = 0. بنابراین، به هر عدد مختلط z در صفحه مختلط، بردار شعاع نقطه M(x, y) مطابقت دارد که می توان آن را با مختصات قطبی تنظیم کرد: شعاع قطبی r ^ 0 برابر مدول عدد مختلط و زاویه قطبی منطبق بر مقدار اصلی آرگومان این عدد مختلط. با توجه به تعاریف توابع مثلثاتی و معکوس آنها که از درس مدرسه مثلثات شناخته شده است (نگاه کنید به نقطه z در صفحه مختلط داریم x=rcosy>= X با در نظر گرفتن محدودیت های اعمال شده بر روی مقدار اصلی آرگومان عدد مختلط، اگر x > 0، اگر x 0، اگر x = 0 و y است، به دست می آوریم. از (4.6) از آن نتیجه می شود که pr علامت + tsiny> آوومریک است، (4.8) به آن شکل مثلثاتی نمایش یک عدد مختلط می گویند. برای انتقال از شکل جبری نمایش به شکل مثلثاتی، از (4.5) و (4.7) "و برای انتقال معکوس - (4.6) استفاده کنید. توجه داشته باشید که دو عدد مختلط غیرصفر اگر و تنها در صورتی مساوی هستند که مدول های آنها مساوی باشد و آرگومان ها بر اساس عبارت هایی که مضرب 2n هستند متفاوت باشند. با توجه به (4.1)، مجموع اعداد مختلط z \ و r2 یک عدد مختلط و تفاوت آنها خواهد بود - از این فرمول ها نتیجه می شود که جمع (یا تفریق) اعداد مختلط مشابه جمع (یا تفریق) اعداد مختلط است. بردارها در صفحه مختلط طبق قانون متوازی الاضلاع (شکل 4.2) (در حالی که مختصات مربوط به بردارها اضافه یا کم می شود). بنابراین، برای مدول های اعداد مختلط، نابرابری های مثلث a به شکل معتبر هستند (طول هر ضلع یک مثلث از مجموع طول های دو ضلع دیگر آن بیشتر نیست). با این حال، اینجاست که قیاس بین اعداد مختلط و بردارها به پایان می رسد. مجموع یا تفاوت اعداد مختلط می تواند یک عدد واقعی باشد (مثلاً مجموع اعداد مزدوج مختلط r-f z = = 2x، x = Rez e R). مطابق (4.3) حاصل ضرب اعداد مختلط z\ و z2 یک عدد مختلط است. ضریب Z1/22 برای V*2 φ 0 یک عدد مختلط -r است که برابری z^z = z\ را برآورده می کند. پس از ضرب هر دو قسمت این تساوی در 22، به دست می‌آییم، افزایش یک عدد مختلط z به توان n € N، ضرب z در خود n برابر است، با در نظر گرفتن این واقعیت که برای k 6 N میدان اعداد مختلط است. شکل مثلثاتی علامت گذاری (4.8) امکان ساده سازی ضرب، تقسیم و توان اعداد مختلط را فراهم می کند. بنابراین، برای z\ \u003d r\ (cos (p\ + isiny?i) و Z2 \u003d Г2 (co + -f isin no (4.3) می توان ثابت کرد که در صفحه مختلط (شکل 4.3) ضرب مطابقت دارد به چرخش قطعه OM بر اساس زاویه (در خلاف جهت عقربه های ساعت در 0) و تغییر طول آن با r2 = \z2\ بار؛ توان n £ N به عنوان ضرب z در خودش n برابر، نیمه خیر به افتخار ریاضیدان انگلیسی A . de Moivre (1667-1754)، این رابطه را فرمول Moivre برای افزایش یک عدد مختلط به توان عدد صحیح مثبت می نامند. /n، q € Q، m € Z، n6N، مربوط به افزایش این عدد به توان 1 است. /n یا همانطور که می گویند ریشه n یک عدد مختلط را استخراج کنیم. درجه، یعنی = w، اگر wn = z. اجازه دهیم) سپس از (4.13) داریم و با در نظر گرفتن برابری اعداد مختلط، ما از عبارت (4.14) به دست می آوریم برگرفته از فرمول Moivre برای استخراج ریشه یک توان عدد صحیح مثبت از یک عدد مختلط) نتیجه می شود که در بین مقادیر ممکن y/z، n مقدار مربوط به k = 0، n - 1 متفاوت خواهد بود. همه n مقدار مختلف برای $fz مدول یکسانی دارند و آرگومان های آنها بر اساس زوایایی که مضربی از 2jr/n هستند متفاوت هستند. مقادیر مربوط به نقاط صفحه مختلط در راس یک n-gon منظم است که در دایره ای به شعاع 1/f در مرکز مبدا محاط شده است. در این حالت بردار شعاع یکی از رئوس یک زاویه (p/n) با محور Ox تشکیل می دهد.از (4.13) و (4.14) از فرمول افزایش عدد مختلط z /0 به توان گویا g پیروی می کند. € Q. Beli g = m/n، که در آن m € Z و n € N، با در نظر گرفتن (4.7) بدست می آوریم (بنابراین، به صورت مثلثاتی. مطابق با (4.11) و (4.12) در می یابیم: با استفاده از (4.13) ، z\ را به توان n = 4 می بریم، با اعمال (4.14)، ریشه درجه n = 3 را از z2 استخراج می کنیم. نتایج محاسبات در شکل 4.4 سه مقدار ریشه درجه سوم از zi نشان داده شده است. مطابق با رئوس یک مثلث منظم ABC است که در یک دایره شعاع حک شده است و زوایای قطبی این رئوس \u003d i * / 18، 4\u003e v \u003d 13m / 18 و \u003d 25m / 18 (یا \u003d - 11 ^/18).

بدیهیات میدانی حوزه اعداد مختلط. نماد مثلثاتی یک عدد مختلط.

یک عدد مختلط تعدادی از شکل است که در آن و اعداد واقعی هستند، به اصطلاح واحد خیالی. شماره تماس گرفته می شود بخش واقعی ( ) عدد مختلط، عدد نامیده می شود قسمت خیالی ( ) عدد مختلط.

بسیاری ازیکسان اعداد مختلطمعمولاً با یک حرف "پررنگ" یا ضخیم نشان داده می شود

اعداد مختلط در نمایش داده می شوند هواپیمای پیچیده:

صفحه پیچیده از دو محور تشکیل شده است:
– محور واقعی (x)
– محور خیالی (y)

مجموعه اعداد حقیقی زیرمجموعه ای از مجموعه اعداد مختلط است

عملیات با اعداد مختلط

برای جمع دو عدد مختلط، قسمت واقعی و خیالی آنها را جمع کنید.

تفریق اعداد مختلط

عمل شبیه به جمع است، تنها ویژگی این است که سابترهند باید در پرانتز گرفته شود و سپس به طور استاندارد، این براکت ها را با تغییر علامت باز کنید.

ضرب اعداد مختلط

پرانتزها را طبق قانون ضرب چندجمله ای ها باز کنید

تقسیم اعداد مختلط

تقسیم اعداد انجام می شود با ضرب مخرج و صورت در عبارت مزدوج مخرج.

اعداد مختلط بسیاری از خصوصیات اعداد حقیقی را دارند که به موارد زیر اشاره می کنیم اصلی.

1) (آ + ب) + ج = آ + (ب + ج) (انجمن اضافه);

2) آ + ب = ب + آ (جابجایی جمع);

3) آ + 0 = 0 + آ = آ (وجود عنصر خنثی با افزودن);

4) آ + (−آ) = (−آ) + آ = 0 (وجود عنصر مخالف);

5) آ(ب + ج) = اب + ac ();

6) (آ + ب)ج = ac + قبل از میلاد مسیح (توزیع ضرب با توجه به جمع);

7) (اب)ج = آ(قبل از میلاد مسیح) (تداعی ضرب);

8) اب = ba (جابجایی ضرب);

9) آ∙1 = 1∙آ = آ (وجود عنصر خنثی با ضرب);

10) برای هر آ≠ 0 ب، چی اب = ba = 1 (وجود عنصر معکوس);

11) 0 ≠ 1 (بدون نام).

مجموعه ای از اشیاء با ماهیت دلخواه، که بر روی آنها عملیات جمع و ضرب تعریف شده است، که دارای 11 ویژگی مشخص شده (که در این مورد بدیهیات هستند) نامیده می شود. رشته.

میدان اعداد مختلط را می توان به عنوان بسط میدان اعداد حقیقی که در آن چند جمله ای ریشه دارد، درک کرد.

هر عدد مختلط (به جز صفر) را می توان به صورت مثلثاتی نوشت:
، کجاست مدول عدد مختلط، آ - آرگومان عدد مختلط.

مدول یک عدد مختلطفاصله مبدا مختصات تا نقطه متناظر صفحه مختلط است. به زبان ساده، مدول طول استبردار شعاع که در نقاشی با رنگ قرمز مشخص شده است.

مدول یک عدد مختلط معمولاً با: یا نشان داده می شود

با استفاده از قضیه فیثاغورث، به راحتی می توان فرمولی برای یافتن مدول یک عدد مختلط به دست آورد: . این فرمول معتبر است برای هرچیبه معنای «الف» و «بودن».

آرگومان یک عدد مختلطتماس گرفت گوشهبین محور مثبتمحور واقعی و بردار شعاع رسم شده از مبدا تا نقطه مربوطه. آرگومان برای مفرد تعریف نشده است: .

آرگومان یک عدد مختلط معمولاً با: یا نشان داده می شود

اجازه دهید و φ = arg z. سپس با تعریف برهان داریم:

حلقه ماتریس ها بر روی میدان اعداد واقعی. عملیات اساسی بر روی ماتریس ها ویژگی های عملیات

ماتریسبه اندازه m´n، که m تعداد ردیف‌ها، n تعداد ستون‌ها، جدول اعدادی نامیده می‌شود که به ترتیب معینی مرتب شده‌اند. به این اعداد عناصر ماتریسی می گویند. مکان هر عنصر به طور منحصر به فرد با تعداد سطر و ستونی که در تقاطع آنها قرار دارد تعیین می شود. عناصر ماتریس با ij نشان داده می شوند که i شماره ردیف و j شماره ستون است.

تعریف. اگر تعداد ستون‌های ماتریس برابر با تعداد سطرها (m=n) باشد، ماتریس نامیده می‌شود. مربع.

تعریف. مشاهده ماتریس:

= E,

تماس گرفت ماتریس هویت.

تعریف. اگر یک a mn = یک نانومتر، سپس ماتریس فراخوانی می شود متقارن.

مثال. - ماتریس متقارن

تعریف. ماتریس نمای مربعی تماس گرفت موربماتریس

ضرب یک ماتریس در یک عدد

ضرب یک ماتریس در یک عدد(نکته: ) ساختن ماتریسی است که عناصر آن از ضرب هر عنصر ماتریس در این عدد به دست می آید، یعنی هر عنصر ماتریس برابر است با

خواص ضرب ماتریس ها در عدد:

· یازده آ = آ;

2. (λβ)A = λ(βA)

3. (λ+β)A = λA + βA

· چهار. λ(A+B) = λA + λB

اضافه کردن ماتریس

اضافه کردن ماتریسعملیات یافتن یک ماتریس است که همه عناصر آن برابر با مجموع زوجی همه عناصر متناظر ماتریس ها هستند و یعنی هر عنصر ماتریس برابر است با

خواص جمع ماتریس:

1. جابجایی: A+B = B+A;

2. انجمنی بودن: (A+B)+C =A+(B+C);

3. جمع با ماتریس صفر: A + Θ = A;

4. وجود ماتریس مخالف: A+(-A)=Θ;

تمام خصوصیات عملیات خطی بدیهیات یک فضای خطی را تکرار می کنند، بنابراین قضیه زیر درست است:

مجموعه ای از همه ماتریس های یک اندازه مترایکس nبا عناصری از میدان پ(فیلدهای همه اعداد حقیقی یا مختلط) یک فضای خطی روی فیلد P ایجاد می کند (هر چنین ماتریس بردار این فضا است). با این حال، در درجه اول برای جلوگیری از سردرگمی اصطلاحی، از ماتریس ها در زمینه های رایج بدون نیاز (که در رایج ترین برنامه های کاربردی استاندارد نیست) و مشخصات واضح استفاده از اصطلاح برای فراخوانی بردارها اجتناب می شود.

ضرب ماتریس

ضرب ماتریس(نشان: به ندرت با علامت ضرب) - عملیاتی برای محاسبه یک ماتریس وجود دارد که هر عنصر آن برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر در ردیف مربوط به عامل اول و ستون دوم.

تعداد ستون‌های ماتریس باید با تعداد ردیف‌های ماتریس مطابقت داشته باشد، به عبارت دیگر، ماتریس باید مطابقت داشته باشد. موافقت کردبا یک ماتریس اگر ماتریس دارای بعد , - باشد، بعد حاصلضرب آنها است.

خواص ضرب ماتریس:

1. انجمنی بودن (AB)C = A(BC);

2-عدم تعویض (به طور کلی): AB BA;

3. حاصلضرب در صورت ضرب با یک ماتریس هویت جابجایی است: AI=IA;

4. توزیع: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

5. ارتباط و جابجایی با توجه به ضرب در یک عدد: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

جابجایی ماتریس.

پیدا کردن ماتریس معکوس.

یک ماتریس مربع معکوس است اگر و فقط اگر غیر مفرد باشد، یعنی تعیین کننده آن برابر با صفر نباشد. برای ماتریس های غیر مربعی و ماتریس های منحط، ماتریس معکوس وجود ندارد.

قضیه رتبه ماتریس

رتبه ماتریس A حداکثر مرتبه یک مینور غیر صفر است

جزئی که رتبه ماتریس را تعیین می کند Basis Minor نامیده می شود. سطرها و ستون هایی که BM را تشکیل می دهند سطرها و ستون های اصلی نامیده می شوند.

علامت گذاری: r(A)، R(A)، Rang A.

اظهار نظر. بدیهی است که مقدار رتبه یک ماتریس نمی تواند از کوچکترین ابعاد آن بیشتر شود.

برای هر ماتریسی، رتبه های فرعی، ردیف و ستون آن یکسان است.

اثبات. اجازه دهید رتبه جزئی ماتریس آ برابر است r . اجازه دهید نشان دهیم که رتبه ردیف نیز برابر است r . برای این، می توانیم فرض کنیم که جزئی برگشت پذیر است م سفارش r در اول است r ردیف های ماتریسی آ . از این نتیجه می شود که اولی r ردیف های ماتریسی آ به صورت خطی مستقل و مجموعه ای از ردیف های فرعی هستند م مستقل خطی اجازه دهید آ -- رشته طول r ، از عناصر تشکیل شده است من سطر -امین ماتریس که در همان ستون های مینور قرار دارند م . از آنجایی که رشته های جزئی م اساس را تشکیل می دهند k r ، سپس آ - ترکیب خطی از رشته های فرعی م . کم کردن از من -خط آ همان ترکیب خطی اولی r ردیف های ماتریسی آ . اگر نتیجه یک رشته حاوی یک عنصر غیر تهی در ستون با عدد باشد تی ، سپس جزئی را در نظر بگیرید م 1 سفارش r+1 ماتریس ها آ ، سطر مین ماتریس را به ردیف های مینور اضافه می کنیم آ و به ستون های فرعی -مین ستون ماتریس آ (می گویند که صغیر م 1 اخذ شده لبه های جزئی م با استفاده از من -خط و تی ستون -ام ماتریس آ ). با انتخاب ما تی ، این مینور معکوس است (کافی است ترکیب خطی اولین را از آخرین ردیف این مینور کم کنیم. r سطرها، و سپس تعیین کننده آن را بر روی ردیف آخر گسترش دهید تا مطمئن شوید که این تعیین کننده، تا یک ضریب اسکالر غیر صفر، با تعیین کننده مینور مطابقت دارد. م . طبق تعریف r چنین وضعیتی غیرممکن است و بنابراین، پس از تحول من -خط آ صفر خواهد شد. به عبارت دیگر اصل من ردیف -ام ترکیبی خطی از ردیف اول است r ردیف های ماتریسی آ . ما نشان دادیم که اول r سطرها پایه مجموعه ردیف ماتریس را تشکیل می دهند آ ، یعنی رتبه کوچک آ برابر است r . برای اثبات اینکه رتبه ستون است r ، کافی است در استدلال بالا «ردیف» و «ستون» را عوض کنید. قضیه ثابت شده است.

این قضیه نشان می دهد که تمایز بین سه رتبه از یک ماتریس معنی ندارد و در ادامه با رتبه یک ماتریس، رتبه ردیف را درک خواهیم کرد، به یاد داشته باشید که هم با ستون و هم با رتبه های فرعی برابر است. نشانه گذاری r(آ) -- رتبه ماتریسی آ ). همچنین متذکر می شویم که از اثبات قضیه رتبه نتیجه می شود که رتبه یک ماتریس با بعد هر جزئی معکوس پذیر ماتریس منطبق است به طوری که همه جزئی های اطراف آن (اگر اصلا وجود داشته باشند) منحط هستند.

قضیه کرونکر-کاپلی

یک سیستم معادلات جبری خطی اگر و فقط در صورتی سازگار است که رتبه ماتریس اصلی آن با رتبه ماتریس توسعه یافته آن برابر باشد و اگر رتبه برابر با تعداد مجهولات باشد، سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد. اگر رتبه از تعداد مجهولات کمتر باشد تعداد بی نهایت راه حل.

نیاز داشتن

بگذارید سیستم منسجم باشد. سپس اعدادی وجود دارد که . بنابراین، ستون ترکیبی خطی از ستون های ماتریس است. از آنجا که اگر یک سطر (ستون) از سیستم سطرها (ستون ها) آن حذف شود، رتبه یک ماتریس تغییر نمی کند یا یک ردیف (ستون) که ترکیبی خطی از سایر ردیف ها (ستون ها) است، به دنبال آن است.

کفایت

اجازه دهید . بیایید مقداری جزئی اساسی در ماتریس در نظر بگیریم. از آنجایی که , پس از آن نیز مینور پایه ماتریس خواهد بود . سپس طبق قضیه مینور پایه، آخرین ستون ماتریس ترکیبی خطی از ستون های پایه، یعنی ستون های ماتریس خواهد بود. بنابراین ستون اعضای آزاد سیستم ترکیبی خطی از ستون های ماتریس است.

عواقب

· تعداد متغیرهای اصلی سیستم برابر با رتبه سیستم است.

· یک سیستم مشترک تعریف می شود (راه حل آن منحصر به فرد است) اگر رتبه سیستم برابر با تعداد همه متغیرهای آن باشد.

قضیه جزئی پایه.

قضیه. در یک ماتریس دلخواه A، هر ستون (ردیف) ترکیبی خطی از ستون‌ها (ردیف‌ها) است که پایه فرعی در آن قرار دارد.

بنابراین، رتبه یک ماتریس دلخواه A برابر است با حداکثر تعداد ردیف‌ها (ستون‌های) مستقل خطی در ماتریس.

اگر A یک ماتریس مربع و detA = 0 باشد، حداقل یکی از ستون ها ترکیبی خطی از ستون های دیگر است. همین امر در مورد رشته ها نیز صادق است. این عبارت از ویژگی وابستگی خطی با دترمینان برابر با صفر است.

7. راه حل SLU. روش کرامر، روش ماتریسی، روش گاوس.

روش کرامر

این روش فقط در مورد سیستم های معادلات خطی که تعداد متغیرها با تعداد معادلات منطبق است نیز قابل استفاده است. علاوه بر این، لازم است محدودیت هایی در ضرایب سیستم ایجاد شود. لازم است که همه معادلات مستقل خطی باشند، یعنی. هیچ معادله ای ترکیبی خطی از بقیه نخواهد بود.

برای این کار لازم است که تعیین کننده ماتریس سیستم برابر با 0 نباشد.

در واقع، اگر هر معادله ای از سیستم ترکیبی خطی از بقیه باشد، اگر عناصر هر ردیفی با استفاده از تبدیل های خطی به عناصر یک ردیف دیگر ضرب شود، می توانید یک ردیف صفر بدست آورید. تعیین کننده در این حالت برابر با صفر خواهد بود.

قضیه. (قاعده کرامر):

قضیه. سیستم n معادله با n مجهول

اگر تعیین کننده ماتریس سیستم برابر با صفر نباشد، یک راه حل منحصر به فرد دارد و این جواب با فرمول های زیر بدست می آید:

x i = D i /D، که در آن

D = det A و D i تعیین کننده ماتریس است که از ماتریس سیستم با جایگزینی ستون i با ستونی از اعضای آزاد b i بدست می آید.

D i =

روش ماتریسی برای حل سیستم معادلات خطی.

روش ماتریسی برای حل سیستم های معادلات که تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات است قابل استفاده است.

این روش برای حل سیستم های درجه پایین راحت است.

این روش مبتنی بر اعمال خواص ضرب ماتریس است.

اجازه دهید سیستم معادلات داده شود:

ماتریس ها را بنویسید: A = ; B = ; X =

سیستم معادلات را می توان نوشت: A×X = B.

اجازه دهید تبدیل زیر را انجام دهیم: A -1 ×A×X = A -1 ×B، زیرا A -1 × A = E، سپس E × X = A -1 × B

X \u003d A -1 × B

برای اعمال این روش، یافتن ماتریس معکوس، که ممکن است با مشکلات محاسباتی در حل سیستم های مرتبه بالا همراه باشد، ضروری است.

تعریف. سیستم معادلات m با n مجهول به طور کلی به صورت زیر نوشته می شود:

, (1)

که در آن a ij ضرایب و b i ثابت هستند. راه حل های سیستم n عدد هستند که با جایگزینی آنها در سیستم، هر یک از معادلات آن را به یک هویت تبدیل می کنند.

تعریف. اگر یک سیستم حداقل یک راه حل داشته باشد آنگاه نامیده می شود مفصل. اگر سیستم راه حلی نداشته باشد، نامیده می شود ناسازگار.

تعریف. سیستم نامیده می شود مسلم - قطعیاگر فقط یک راه حل داشته باشد و نا معلوماگر بیش از یک

تعریف. برای یک سیستم معادلات خطی به شکل (1)، ماتریس

A = ماتریس سیستم و ماتریس نامیده می شود

الف*=
ماتریس تقویت شده سیستم نامیده می شود

تعریف. اگر b 1 , b 2 , …,b m = 0 باشد، سیستم فراخوانی می شود همگن. سیستم همگن همیشه سازگار است.

دگرگونی های ابتدایی سیستم ها.

تحولات ابتدایی عبارتند از:

1) جمع هر دو قسمت یک معادله از اجزای متناظر معادله دیگر، ضرب در یک عدد، مساوی صفر نیست.

2) جایگشت معادلات در مکان ها.

3) حذف از سیستم معادلاتی که برای همه x ها هویت هستند.

روش گاوس یک روش کلاسیک برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی (SLAE) است. این یک روش حذف متوالی متغیرها است، زمانی که با کمک تبدیل های ابتدایی، سیستم معادلات به یک سیستم معادل یک مثلثی کاهش می یابد، که از آن همه متغیرهای دیگر به ترتیب یافت می شوند، با شروع از آخرین (با تعداد) ) متغیرها

اجازه دهید سیستم اصلی به این شکل باشد

ماتریس را ماتریس اصلی سیستم می نامند - ستون اعضای آزاد.

سپس با توجه به خاصیت تبدیل‌های ابتدایی روی ردیف‌ها، ماتریس اصلی این سیستم را می‌توان به شکل پلکانی کاهش داد (همان تبدیل‌ها باید در ستون اعضای آزاد اعمال شود):

سپس متغیرها فراخوانی می شوند متغیرهای اصلی. همه بقیه نامیده می شوند رایگان.

اگر حداقل یک عدد، کجا، سیستم مورد بررسی ناسازگار باشد، یعنی. او هیچ راه حلی ندارد

اجازه دهید برای هر .

متغیرهای آزاد را فراتر از علائم مساوی منتقل می کنیم و هر یک از معادلات سیستم را بر ضریب آن در سمت چپ تقسیم می کنیم (، شماره خط کجاست):

اگر به متغیرهای آزاد سیستم (2) همه مقادیر ممکن داده شود و سیستم جدید با توجه به مجهولات اصلی از پایین به بالا (یعنی از معادله پایین به بالا) حل شود، آنگاه به دست خواهیم آورد. تمام راه حل های این SLAE. از آنجایی که این سیستم با تبدیل های ابتدایی نسبت به سیستم اصلی (1) به دست آمده است، پس با قضیه هم ارزی تحت تبدیل های اولیه، سیستم های (1) و (2) معادل هستند، یعنی مجموعه های راه حل های آنها منطبق هستند.

عواقب:
1: اگر در یک سیستم مشترک همه متغیرها اصلی باشند، چنین سیستمی قطعی است.

2: اگر تعداد متغیرهای سیستم از تعداد معادلات بیشتر شود، چنین سیستمی یا نامعین یا ناسازگار است.

الگوریتم

الگوریتم حل SLAE به روش گاوسی به دو مرحله تقسیم می شود.

در مرحله اول، به اصطلاح حرکت مستقیم انجام می شود، زمانی که با استفاده از دگرگونی های ابتدایی روی ردیف ها، سیستم به شکل پلکانی یا مثلثی در می آید یا مشخص می شود که سیستم ناسازگار است. یعنی از بین عناصر ستون اول ماتریس، یک غیر صفر انتخاب می شود، با جابجایی ردیف ها به بالاترین موقعیت منتقل می شود و اولین ردیفی که پس از جایگشت به دست می آید، از ردیف های باقی مانده کم می شود و آن را ضرب می کنیم. با مقداری برابر با نسبت عنصر اول هر یک از این ردیف ها به اولین عنصر ردیف اول، بنابراین ستون زیر آن را صفر می کند. پس از انجام تبدیل‌های مشخص‌شده، سطر اول و ستون اول به صورت ذهنی خط کشیده می‌شوند و تا زمانی که یک ماتریس صفر باقی بماند ادامه می‌یابد. اگر در برخی از تکرارها در بین عناصر ستون اول یک غیر صفر یافت نشد، به ستون بعدی بروید و عملیات مشابهی را انجام دهید.

در مرحله دوم، به اصطلاح حرکت معکوس انجام می شود که ماهیت آن بیان همه متغیرهای اساسی به دست آمده بر حسب متغیرهای غیر اساسی و ساختن یک سیستم اساسی از راه حل ها است، یا اگر همه متغیرها پایه باشند، سپس تنها راه حل سیستم معادلات خطی را به صورت عددی بیان کنید. این روش با آخرین معادله شروع می شود، که از آن متغیر اصلی مربوطه بیان می شود (و فقط یکی وجود دارد) و جایگزین معادلات قبلی می شود و به همین ترتیب "پله ها" بالا می رود. هر خط دقیقاً با یک متغیر اساسی مطابقت دارد، بنابراین در هر مرحله، به جز آخرین (بالاترین)، وضعیت دقیقاً مورد آخرین خط را تکرار می کند.

بردارها مفاهیم اساسی. محصول اسکالر، خواص آن.

بردارقطعه جهت دار (جفت مرتب شده از نقاط) نامیده می شود. همچنین برای بردارها اعمال می شود. خالیبرداری که شروع و پایان آن یکسان است.

طول (ماژول)بردار فاصله بین ابتدا و انتهای بردار است.

بردارها نامیده می شوند خطیاگر روی خطوط یکسان یا موازی قرار گیرند. بردار صفر با هر بردار هم خط است.

بردارها نامیده می شوند هم صفحهاگر صفحه ای وجود داشته باشد که با آن موازی باشند.

بردارهای همسطح همیشه همسطح هستند، اما همه بردارهای همسطح همسطح نیستند.

بردارها نامیده می شوند برابراگر خطی باشند، جهت یکسانی داشته باشند و قدر مطلق یکسانی داشته باشند.

هر بردار را می توان به یک مبدا مشترک تقلیل داد، به عنوان مثال. بردارهایی را مطابق با داده ها و دارای یک مبدا مشترک بسازید. از تعریف برابری بردار چنین برمی‌آید که هر بردار دارای بی‌نهایت بردارهای برابر با آن است.

عملیات خطیبردارها را جمع و ضرب در یک عدد می گویند.

مجموع بردارها بردار است -

کار - ، در حالی که خطی است.

اگر a> 0 باشد، بردار با بردار ( ) هم جهت است.

اگر a بردار مخالف بردار ( ¯ ) باشد< 0.

ویژگی های برداری

1) + = + - جابجایی.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – تداعی

6) (a + b) = a + b - توزیع

7) a( + ) = a + a

1) اساسدر فضا هر 3 بردار غیرهمسطح نامیده می شود که به ترتیب معین گرفته شده اند.

2) اساسدر صفحه هر 2 بردار غیر خطی به ترتیب معین گرفته شده است.

3)اساسهر بردار غیر صفر روی خط فراخوانی می شود.

اگر یک پایه ای در فاصله و اعداد a، b و g است اجزا یا مختصاتبردارها در این مبنا.

در این رابطه می توان موارد زیر را نوشت خواص:

بردارهای مساوی مختصات یکسانی دارند،

وقتی یک بردار در یک عدد ضرب می شود، اجزای آن نیز در آن عدد ضرب می شوند.

هنگامی که بردارها اضافه می شوند، اجزای مربوط به آنها اضافه می شوند.

;
;

وابستگی خطی بردارها

تعریف. بردارها تماس گرفت وابسته به خط، اگر چنین ترکیب خطی وجود داشته باشد، اگر a i در همان زمان برابر با صفر نباشد، i.e. .

اگر فقط زمانی که i = 0 ارضا شود، بردارها مستقل خطی نامیده می شوند.

ملک 1. اگر در بین بردارها بردار صفر وجود داشته باشد، این بردارها به صورت خطی وابسته هستند.

ملک 2. اگر یک یا چند بردار به سیستم بردارهای وابسته خطی اضافه شود، سیستم حاصل نیز به صورت خطی وابسته خواهد بود.

ملک 3. یک سیستم از بردارها به صورت خطی وابسته است اگر و تنها در صورتی که یکی از بردارها به ترکیبی خطی از بردارهای دیگر تجزیه شود.

ملک 4. هر 2 بردار خطی به صورت خطی وابسته هستند و بالعکس هر 2 بردار وابسته خطی خطی هستند.

ملک 5. هر 3 بردار همسطح به صورت خطی وابسته هستند و برعکس، هر 3 بردار وابسته خطی همسطح هستند.

ملک 6. هر 4 بردار به صورت خطی وابسته هستند.

طول برداری بر حسب مختصاتبه عنوان فاصله بین نقطه شروع و پایان بردار تعریف می شود. اگر دو نقطه در فضای A(x 1، y 1، z 1)، B(x 2، y 2، z 2) داده شود، سپس .

اگر نقطه M(x,y,z) بخش AB را به نسبت l / m تقسیم می کند، سپس مختصات این نقطه به صورت زیر تعریف می شود:

در یک مورد خاص، مختصات وسط بخشقرار دارند مانند:

x \u003d (x 1 + x 2) / 2; y = (y 1 + y 2)/2; z = (z 1 + z 2)/2.

عملیات خطی بر روی بردارها در مختصات.

چرخش محورهای مختصات

زیر دور زدنمحورهای مختصات چنین تبدیل مختصاتی را درک می کنند که در آن هر دو محور با یک زاویه می چرخند، در حالی که مبدا و مقیاس بدون تغییر باقی می مانند.

اجازه دهید با چرخاندن سیستم Oxy در یک زاویه α، یک سیستم جدید O 1 x 1 y 1 به دست آید.

فرض کنید Μ یک نقطه دلخواه از صفحه باشد، (x; y) - مختصات آن در سیستم قدیمی و (x"؛ y") - در سیستم جدید.

ما دو سیستم مختصات قطبی را با یک قطب مشترک O و محورهای قطبی Ox و Οx 1 معرفی می کنیم (مقیاس یکسان است). شعاع قطبی r در هر دو سیستم یکسان است و زوایای قطبی به ترتیب α + j و φ هستند که φ زاویه قطبی در سیستم قطبی جدید است.

با توجه به فرمول های انتقال از قطبی به مختصات مستطیلی، داریم

اما rcosj = x" و rsinφ = y". از همین رو

فرمول های به دست آمده نامیده می شوند فرمول های چرخش محور . آنها تعیین مختصات قدیمی (x; y) یک نقطه دلخواه M را بر حسب مختصات جدید (x"؛ y") همان نقطه M ممکن می سازند و بالعکس.

اگر سیستم مختصات جدید O 1 x 1 y 1 از Oxy قدیمی با انتقال موازی محورهای مختصات و چرخش بعدی محورها با زاویه α بدست آید (شکل 30 را ببینید)، آنگاه با معرفی یک سیستم کمکی، کار آسانی است. برای به دست آوردن فرمول ها

بیان مختصات x و y قدیمی یک نقطه دلخواه بر حسب مختصات x" و y" جدید آن.

بیضی

بیضی مجموعه ای از نقاط در یک صفحه است که مجموع فواصل هر یک از آنهاست

تا دو نقطه داده شده ثابت است. به این نقاط کانون و

تعیین شده اند F1و F2، فاصله بین آنها 2 ثانیه،و مجموع فواصل هر نقطه تا

ترفندها - 2a(به شرط 2a>2c). ما یک سیستم مختصات دکارتی می سازیم تا F1و F2روی محور x قرار داشتند و مبدأ با وسط بخش منطبق بود F1F2. بیایید معادله بیضی را استخراج کنیم. برای این کار یک نکته دلخواه را در نظر بگیرید M(x، y)بیضی طبق تعریف: | F1M |+| F2M |=2a. F1M =(x+c; y);F2M =(x-c; y).

|F1M|=(ایکس+ ج)2 + y 2 ; |F2M| = (ایکس- ج)2 + y 2

(ایکس+ ج)2 + y 2 + (ایکس- ج)2 + y 2 =2a(5)

x2+2cx+c2+y2=4a2-4a(ایکس- ج)2 + y 2 +x2-2cx+c2+y2

4cx-4a2=4a(ایکس- ج)2 + y 2

a2-cx=a(ایکس- ج)2 + y 2

a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

x2(a2-c2)+a2y2=a2(a2-c2)

زیرا 2a>2c(مجموع دو ضلع مثلث از ضلع سوم بزرگتر است) پس a2-c2>0.

اجازه دهید a2-c2=b2

نقاط دارای مختصات (a، 0)، (-a، 0)، (b، 0) و (-b، 0) رئوس بیضی نامیده می شوند، مقدار a نیم محور اصلی بیضی است. و مقدار b نیمه محور فرعی آن است. نقاط F1(c, 0) و F2(-c, 0) کانون نامیده می شوند

بیضی، و فوکوس F1 را راست و فوکوس F2 را چپ می نامند. اگر نقطه M متعلق به بیضی باشد، فواصل |F1M| و |F2M| شعاع کانونی نامیده می شوند و به ترتیب با r1 و r2 نشان داده می شوند. مقدار e \u003d c / a خارج از مرکز بیضی نامیده می شود. خطوط مستقیم با معادلات x =a/e

و x = −a/e را جهت بیضی می نامند (برای e = 0، هیچ جهتی از بیضی وجود ندارد).

معادله کلی هواپیما

یک معادله کلی درجه اول با سه متغیر x، y و z را در نظر بگیرید:

با فرض اینکه حداقل یکی از ضرایب A، B یا C برابر با صفر نباشد، برای مثال، معادله (12.4) را به شکل بازنویسی می کنیم.

تعاریف . اجازه دهید آ, باعداد واقعی هستند منیک شخصیت است عدد مختلط یک رکورد از فرم است آ+دو

اضافهو ضرب اعداد در مجموعه اعداد مختلط: (آ+بی)+(ج+دی)=(آ+ج)+(ب+د) من،

(آ+بی) (ج+دی)=(ac–ب)+(آگهی+ب) من. .

قضیه 1 . مجموعه ای از اعداد مختلط از جانببا عملیات جمع و ضرب یک میدان تشکیل می دهد. خواص اضافی

1) جابجایی ب: (آ+بی)+(ج+دی)=(آ+ج)+(ب+د) من=(ج+دی)+(آ+بی).

2) انجمنی :[(آ+بی)+(ج+دی)]+(ه+فی)=(آ+ج+ه)+(ب+د+f) i=(آ+بی)+[(ج+دی)+(ه+فی)].

3) وجود عنصر خنثی :(آ+بی)+(0 +0i)=(آ+بی). عدد 0 +0 من ما صفر را صدا می زنیم و نشان می دهیم 0 .

4) وجود عنصر مخالف : (آ+بی)+(–آ–بی)=0 +0i=0 .

5) جابجایی ضرب : (آ+بی) (ج+دی)=(ac–ب)+(قبل از میلاد مسیح+ad) i=(ج+دی) (الف+بی).

6) تداعی ضرب :اگر z1=آ+دو, z2=ج+دی, z3=ه+فی، سپس (z 1 z 2) z 3=z 1 (z 2 z 3).

7) توزیع: اگر z1=آ+دو, z2=ج+دی, z3=ه+فی، سپس z 1 (z 2+z3)=z 1 z 2+z 1 z 3.

8) عنصر خنثی برای ضرب :(آ+bi) (1+0i)=(الف 1–b 0)+(a 0+ب 1) من=آ+دو.

9) شماره 1 +0i=1 - واحد.

9) وجود عنصر معکوس : "z¹ 0 دلار z –1 :zz –1 =1 .

اجازه دهید z=آ+دو. اعداد واقعی آ، تماس گرفت معتبر، آ ب - قسمت های خیالی عدد مختلط z. از نمادها استفاده می شود: آ=رضا, ب=imz.

اگر یک ب=0 ، سپس z=آ+ 0i=آیک عدد واقعی است بنابراین مجموعه اعداد حقیقی آربخشی از مجموعه اعداد مختلط است سی: R Í C.

توجه داشته باشید:من 2=(0 +1i) (0+1i)=–1 +0i=–1 . با استفاده از این ویژگی شماره منو همچنین ویژگی های عملیات اثبات شده در قضیه 1، می توان عملیات با اعداد مختلط را طبق قوانین معمول انجام داد و جایگزین کرد. من 2در - 1 .

اظهار نظر. روابط £، ³ ("کمتر از"، "بیشتر از") برای اعداد مختلط تعریف نشده است.

2 نماد مثلثاتی .

نماد z = a+bi نامیده می شود جبریعلامت گذاری یک عدد مختلط . صفحه ای را با سیستم مختصات دکارتی انتخاب شده در نظر بگیرید. بیایید عدد را نشان دهیم zنقطه با مختصات (الف، ب). سپس اعداد واقعی آ=آ+0iبا نقاط محور نشان داده خواهد شد گاو نر- نامیده می شود معتبر محور. محور OYتماس گرفت خیالی محور، نقاط آن با اعداد فرم مطابقت دارد دو، که گاهی اوقات نامیده می شوند کاملا خیالی . کل هواپیما نامیده می شود هواپیمای پیچیده .شماره تماس گرفته می شود مدول شماره z: ,

زاویه قطبی jتماس گرفت بحث و جدل شماره z: j=argz.

استدلال تا مدت تعیین می شود 2kp; ارزشی که برای آن - پ< j £ p ، نامیده میشود اهمیت اصلی بحث و جدل. شماره r, jمختصات قطبی نقطه هستند z. واضح است که آ=r cosj, ب=r sinj، و دریافت می کنیم: z=آ+b i=r (cosj+من سینج). فرم مثلثاتی علامت گذاری یک عدد مختلط

اعداد مزدوج . عدد مختلط را مزدوج یک عدد می گویند.z = آ + دو . واضح است که خواص : .

اظهار نظر. مجموع و حاصل ضرب اعداد مزدوج اعداد حقیقی هستند:

Def.سیستم اعداد مختلط فیلد min-امین است که پسوند میدان اعداد حقیقی است و در آن عنصر i وجود دارد (i 2 -1 = 0)

Def.جبر<ℂ, +, ∙, 0, 1, ℝ, ⊕, ⊙, i>اگر شرایط زیر را صادر کنید، اعداد comp-th sys-th نامیده می شوند:

1. a,b∊ℂ∃!m∊ℂ: a+b=m

2. a,b,c∊ℂ (a+b)+c=a+(b+c)

3. a,b∊ℂa+b=b+a

4. ∃ 0∊ℂ a∊ℂ a+0=a

5. a∊ℂ ∃(-a)∊ℂ a+(-a)=0

6. a,b∊ℂ∃! n∊ℂa∙b=n

7. a,b,c∊ℂ (a∙b)∙c=a∙(b∙c)

8. a,b∊ℂa∙b=b∙a

9. ∃1∊ℂ a∊ℂ a∙1=a

10. a∊ℂ ∃a -1 ∊ℂ a∙a -1 =1

11. a,b,c∊ℂ (a+b)c=ac+bc

12. - میدان عمل شماره

13. Rєℂ, a,b∊R a⊕b=a+b, a⊙b=a∙b

14. ∃i∊ℂ:i 2 +1=0

15. ℳ≠⌀ 1)ℳ⊂ℂ,R⊂ℳ 2) α,β∊ℳ⇒(α+β)∊ℳ و (α∙β)∊ℳ)⇒ℳ=ℂ

شماره های St. va ℂ:

1. α∊ℂ∃! (a,b) ∊ R:α=a+b∙i

2. فیلد اعداد comp را نمی توان به صورت خطی مرتب کرد، i.e. α∊ℂ، α≥0 |+1، α2 +1≥1، i 2 +1=0، 0≥1-غیر ممکن است.

3. قضیه اساسی جبر: میدان ℂ اعداد از نظر جبری بسته است، یعنی هر pl. درجه بیش از فیلد ℂ اعداد حداقل یک مجموعه دارد. ریشه

بعدی از اصلی. قضایا alg.: هر حالت جمع. درجه بیش از میدان اعداد مختلط را می توان به یک حاصل ... از درجه اول با ضریب مثبت تجزیه کرد.

بعد: هر چهارگانه ur-e دارای 2 ریشه است: 1) D>0 2-a diff. عمل ریشه 2)D=0 2-a واقعی. مصادف-x ریشه 3)D<0 2-а компл-х корня.

4. بدیهیات. نظریه اعداد مختلط مقوله ای و سازگار است

روش شناسی.

در کلاس های آموزش عمومی مفهوم اعداد مختلط در نظر گرفته نمی شود و فقط به مطالعه اعداد حقیقی محدود می شود. اما در مقاطع بالاتر، دانش آموزان مدرسه در حال حاضر آموزش ریاضی نسبتاً بالغی دارند و می توانند نیاز به گسترش مفهوم عدد را درک کنند. از نقطه نظر توسعه عمومی، دانش در مورد اعداد مختلط در علوم طبیعی و فناوری استفاده می شود که برای یک دانش آموز در فرآیند انتخاب حرفه آینده مهم است. مولفان برخی از کتاب های درسی مطالعه این مبحث را در کتاب های جبر و اصول تحلیل ریاضی مقاطع تخصصی که در استاندارد دولتی پیش بینی شده است، الزامی می دانند.

از نقطه نظر روش شناختی، مبحث "اعداد مختلط" ایده های مربوط به چند جمله ای ها و اعداد را که در درس ریاضی پایه گذاشته شده است را توسعه و عمیق می کند، به یک معنا، تکمیل مفهوم اعداد در دبیرستان.

با این حال، حتی در دبیرستان، بسیاری از دانش‌آموزان تفکر انتزاعی ضعیفی دارند، یا تصور یک واحد "خیالی، خیالی" برای درک تفاوت‌های بین سطوح مختصات و پیچیده بسیار دشوار است. یا برعکس، دانش آموز با مفاهیم انتزاعی جدا از محتوای واقعی آنها عمل می کند.

دانش آموزان پس از مطالعه مبحث "اعداد مختلط" باید درک روشنی از اعداد مختلط داشته باشند، اشکال جبری، هندسی و مثلثاتی اعداد مختلط را بدانند. دانش آموزان باید بتوانند جمع، ضرب، تفریق، تقسیم، افزایش به توان، استخراج ریشه از یک عدد مختلط روی اعداد مختلط را انجام دهند. اعداد مختلط را از شکل جبری به مثلثاتی ترجمه کنید، در مورد مدل هندسی اعداد مختلط ایده بگیرید.

در کتاب درسی کلاس های ریاضی توسط N.Ya. Vilenkin، O.S. Ivashev-Musatov، S.I. Shvartsburd "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی"، مبحث "اعداد مختلط" در کلاس یازدهم معرفی شده است. مطالعه این مبحث در نیمه دوم پایه یازدهم پس از مطالعه بخش مثلثات در پایه دهم و در پایه یازدهم - معادلات انتگرال و دیفرانسیل، توابع نمایی، لگاریتمی و توان، چند جمله ای ارائه می شود. در کتاب درسی مبحث "اعداد مختلط و عملیات روی آنها" به دو بخش تقسیم شده است: اعداد مختلط به صورت جبری. شکل مثلثاتی اعداد مختلط. بررسی مبحث "اعداد مختلط و عملیات روی آنها" با بررسی مسئله حل معادلات درجه دوم معادلات درجه سوم و چهارم آغاز می شود و در نتیجه لزوم معرفی "عدد جدید i" آشکار می شود. مفاهیم اعداد مختلط و عملیات روی آنها بلافاصله ارائه می شود: یافتن مجموع، حاصلضرب و ضریب اعداد مختلط. علاوه بر این، تعریف دقیقی از مفهوم اعداد مختلط، خواص عملیات جمع و ضرب، تفریق و تقسیم ارائه شده است. بخش فرعی بعدی به اعداد مختلط مزدوج و برخی از خصوصیات آنها می پردازد. در مرحله بعد به مسئله استخراج جذر از اعداد مختلط و حل معادلات درجه دوم با ضرایب مختلط می پردازیم. پاراگراف زیر به موارد زیر می پردازد: نمایش هندسی اعداد مختلط. سیستم مختصات قطبی و شکل مثلثاتی اعداد مختلط. ضرب، توان و تقسیم اعداد مختلط به صورت مثلثاتی. فرمول دو مویور، کاربرد اعداد مختلط برای اثبات هویت های مثلثاتی. استخراج ریشه از یک عدد مختلط؛ قضیه اساسی جبر چند جمله ای؛ اعداد مختلط و تبدیل های هندسی، توابع یک متغیر مختلط.

در کتاب درسی S.M. نیکولسکی، M.K. پوتاپووا، N.N. Reshetnikova، A.V. شوکین "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی"، مبحث "اعداد مختلط در کلاس یازدهم پس از مطالعه همه مباحث، یعنی. در پایان دوره جبر مدرسه. این موضوع به سه بخش تقسیم می شود: شکل جبری و تفسیر هندسی اعداد مختلط. شکل مثلثاتی اعداد مختلط; ریشه های چند جمله ای، شکل نمایی اعداد مختلط. محتوای پاراگراف ها کاملاً حجیم است ، حاوی مفاهیم ، تعاریف ، قضایا زیادی است. پاراگراف "شکل جبری و تفسیر هندسی اعداد مختلط" شامل سه بخش است: شکل جبری یک عدد مختلط. اعداد مختلط مزدوج؛ تفسیر هندسی یک عدد مختلط بند "شکل مثلثاتی یک عدد مختلط" شامل تعاریف و مفاهیم لازم برای معرفی مفهوم شکل مثلثاتی یک عدد مختلط و همچنین الگوریتمی برای تغییر از شکل جبری علامت گذاری به شکل مثلثاتی یک عدد مختلط است. در پاراگراف آخر «ریشه های چندجمله ای ها. شکل نمایی اعداد مختلط" شامل سه بخش است: ریشه های اعداد مختلط و ویژگی های آنها. ریشه چند جمله ای ها شکل نمایی یک عدد مختلط

مطالب کتاب درسی در حجم کمی ارائه شده است، اما برای دانش آموزان برای درک ماهیت اعداد مختلط و تسلط بر حداقل دانش در مورد آنها کاملاً کافی است. این کتاب دارای تعداد کمی تمرین است و به موضوع افزایش عدد مختلط به توان و فرمول دی مویور نمی پردازد.

در کتاب درسی A.G. موردکوویچ، پی.وی. سمنوف "جبر و آغازهای تحلیل ریاضی" سطح نیمرخ پایه 10 مبحث "اعداد مختلط" در نیمه دوم پایه دهم بلافاصله پس از مطالعه مباحث "اعداد واقعی" و "مثلثات" معرفی می شود. این قرارگیری تصادفی نیست: هم از دایره عددی و هم از فرمول های مثلثاتی به طور فعال در مطالعه شکل مثلثاتی یک عدد مختلط، فرمول Moivre، هنگام استخراج ریشه های مربع و مکعب از یک عدد مختلط استفاده می شود. مبحث "اعداد مختلط" در فصل ششم ارائه شده و به 5 بخش تقسیم شده است: اعداد مختلط و عملیات حسابی روی آنها. اعداد مختلط و صفحه مختصات؛ شکل مثلثاتی نوشتن یک عدد مختلط؛ اعداد مختلط و معادلات درجه دوم؛ افزایش یک عدد مختلط به توان، استخراج ریشه مکعبی یک عدد مختلط.

مفهوم عدد مختلط به عنوان بسط مفهوم عدد و عدم امکان انجام برخی عملیات در اعداد حقیقی معرفی شده است. کتاب درسی حاوی جدولی با مجموعه های عددی اصلی و عملیات مجاز در آنها است. حداقل شرایطی که اعداد مختلط باید برآورده شوند فهرست شده اند و سپس مفهوم واحد خیالی، تعریف عدد مختلط، برابری اعداد مختلط، مجموع، تفاوت، حاصلضرب و ضریب آنها معرفی می شود.

از مدل هندسی مجموعه اعداد حقیقی به مدل هندسی مجموعه اعداد مختلط می رسند. بررسی مبحث "شکل مثلثاتی نوشتن عدد مختلط" با تعریف و ویژگی های مدول اعداد مختلط آغاز می شود. در مرحله بعد، شکل مثلثاتی نوشتن یک عدد مختلط، تعریف استدلال یک عدد مختلط و شکل مثلثاتی استاندارد یک عدد مختلط را در نظر می گیریم.

در ادامه، استخراج جذر یک عدد مختلط، حل معادلات درجه دوم را مطالعه می کنیم. و در پاراگراف آخر فرمول Moivre معرفی شده و الگوریتمی برای استخراج ریشه مکعب از یک عدد مختلط استخراج شده است.

همچنین در کتاب درسی مورد بررسی، در هر پاراگراف، به موازات بخش نظری، مثال‌های متعددی در نظر گرفته شده است که تئوری را به تصویر می‌کشد و درک معنادارتری از موضوع به دست می‌دهد. حقایق تاریخی مختصری آورده شده است.

عدد مختلط z تماس گرفت بیان، کجا آو که در- اعداد واقعی، منیک واحد خیالی یا یک علامت خاص است.

توافقات زیر دنبال می شود:

1) با عبارت a + bi می توان عملیات حسابی را طبق قوانینی که برای عبارات تحت اللفظی در جبر پذیرفته شده است انجام داد.

5) برابری a+bi=c+di، که در آن a، b، c، d اعداد حقیقی هستند، اگر و فقط اگر a=c و b=d اتفاق می‌افتد.

عدد 0+bi=bi نامیده می شود خیالییا کاملا خیالی.

هر عدد واقعی a یک حالت خاص از یک عدد مختلط است، زیرا می توان آن را به صورت a=a+ 0i نوشت. به طور خاص، 0=0+0i، اما اگر a+bi=0، a+bi=0+0i، از این رو a=b=0.

بنابراین، یک عدد مختلط a+bi=0 اگر و فقط اگر a=0 و b=0 باشد.

قوانین تبدیل اعداد مختلط از قراردادها پیروی می کنند:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;

می بینیم که مجموع، تفاوت، حاصلضرب و ضریب (در جایی که مقسوم علیه صفر نیست) اعداد مختلط به نوبه خود یک عدد مختلط است.

عدد آتماس گرفت بخش واقعی یک عدد مختلط z(نشان داده شده) که درقسمت خیالی عدد مختلط z است (که با علامت نشان داده می شود).

عدد مختلط z با قسمت واقعی صفر نامیده می شود. کاملا خیالی، با صفر خیالی - کاملا واقعی

دو عدد مختلط نامیده می شوند. برابر،اگر اجزای واقعی و خیالی یکسانی داشته باشند.

دو عدد مختلط نامیده می شوند. مزدوجدر صورت داشتن مواد قسمت ها بر هم منطبق هستند و قسمت های خیالی از نظر نشانه ها متفاوت هستند. سپس مزدوج به آن .

مجموع اعداد مزدوج تعداد مواد است و تفاوت یک عدد کاملاً خیالی است. بر روی مجموعه اعداد مختلط، عملیات ضرب و جمع اعداد به طور طبیعی تعریف می شود. یعنی، اگر و دو عدد مختلط باشند، مجموع آن عبارت است از: ; کار: .

اکنون عملیات تفریق و تقسیم را تعریف می کنیم.

توجه داشته باشید که حاصل ضرب دو عدد مختلط تعداد مواد است.

(زیرا i=-1). این شماره نامیده می شود مربع ماژولشماره. بنابراین، اگر یک عدد باشد، مدول آن یک عدد واقعی است.

بر خلاف اعداد واقعی، برای اعداد مختلط مفهوم "بیشتر"، "کمتر" معرفی نشده است.

نمایش هندسی اعداد مختلط. اعداد واقعی با نقاط روی خط اعداد نشان داده می شوند:

نکته اینجاست آیعنی عدد -3، نقطه بعدد 2 است و O- صفر در مقابل، اعداد مختلط با نقاطی در صفحه مختصات نشان داده می شوند. برای این کار، مختصات مستطیلی (دکارتی) را با مقیاس های یکسان در هر دو محور انتخاب می کنیم. سپس عدد مختلط a + biبا یک نقطه نشان داده خواهد شد P با ابسیسا a و مختصر b(برنج.). این سیستم مختصات نامیده می شود هواپیمای پیچیده.

مدولعدد مختلط را طول بردار می گویند OP، نشان دادن یک عدد مختلط روی مختصات ( همه جانبه) سطح. مدول عدد مختلط a + biنشان داده شده با | a + bi| یا نامه rو برابر است با:

اعداد مختلط مزدوج مدول یکسانی دارند. __

بحث و جدلعدد مختلط زاویه بین محور است گاو نرو بردار OPاین عدد مختلط را نشان می دهد. از این رو، قهوهای مایل به زرد = ب / آ .

شکل مثلثاتی یک عدد مختلط. در کنار نوشتن یک عدد مختلط به صورت جبری، از عدد دیگری نیز استفاده می شود که به آن گفته می شود مثلثاتی.

بگذارید عدد مختلط z=a+bi با بردار ОА با مختصات (a,b) نمایش داده شود. اجازه دهید طول بردار OA را به صورت r تعیین کنیم: r=|OA|، و زاویه ای را که با جهت مثبت محور Ox از زاویه φ تشکیل می دهد.

با استفاده از تعاریف توابع sinφ=b/r، cosφ=a/r، عدد مختلط z=a+bi را می توان به صورت z=r(cosφ+i*sinφ) نوشت، که در آن، و زاویه φ از آن تعیین می شود. شرایط

فرم مثلثاتیعدد مختلط z نمایش آن به شکل z=r(cosφ+i*sinφ) است که r و φ اعداد حقیقی و r≥0 هستند.

در واقع عدد r نامیده می شود مدولعدد مختلط و با |z| و زاویه φ با آرگومان عدد مختلط z نشان داده می شود. آرگومان φ عدد مختلط z با Arg z نشان داده می شود.

عملیات با اعداد مختلط که به صورت مثلثاتی نشان داده شده اند:

معروف است فرمول Moivre.

8 .فضای برداری. مثال ها و ویژگی های ساده فضاهای برداری. وابستگی خطی و استقلال سیستم بردارها. اساس و رتبه یک سیستم محدود از بردارها

فضای برداری -مفهومی ریاضی که مفهوم کلیت همه بردارهای (آزاد) فضای سه بعدی معمولی را تعمیم می دهد.

برای بردارها در فضای سه بعدی، قوانین جمع بردارها و ضرب آنها در اعداد واقعی آورده شده است. برای هر بردار اعمال می شود x، y، zو هر عددی α, β این قوانین راضی کننده است شرایط زیر:

1) ایکس+در=در+ایکس(جابه‌جایی جمع)؛

2)(ایکس+در)+z=ایکس+(y+z) (تداعی جمع);

3) بردار صفر وجود دارد 0 (یا بردار تهی) شرط را ارضا می کند ایکس+0 =ایکس:برای هر بردار ایکس;

4) برای هر بردار ایکسیک بردار مخالف وجود دارد دربه طوری که ایکس+در =0 ,

5) 1 x=ایکس،که در آن 1 واحد میدانی است

6) α (βx)=(αβ )ایکس(تداعی ضرب)، که در آن حاصل ضرب αβ محصول اسکالرها است

7) (α +β )ایکس=αx+βx(ویژگی توزیعی با توجه به یک عامل عددی)؛

8) α (ایکس+در)=αx+αy(ویژگی توزیعی با توجه به عامل برداری).

فضای برداری (یا خطی) یک مجموعه است R،متشکل از عناصر با هر ماهیت (به نام بردار)، که عملیات جمع کردن عناصر و ضرب عناصر در اعداد واقعی را که شرایط 1-8 را برآورده می کند، تعریف می کند.

نمونه هایی از این فضاها عبارتند از مجموعه اعداد حقیقی، مجموعه بردارها در صفحه و در فضا، ماتریس ها و غیره.

قضیه "ساده ترین خواص فضاهای برداری"

1. در یک فضای برداری فقط یک بردار تهی وجود دارد.

2. در یک فضای برداری، هر بردار یک نقطه مقابل منحصر به فرد دارد.

4. .

Doc-in

فرض کنید 0 بردار صفر فضای برداری V باشد. سپس . بگذارید یک بردار صفر دیگر باشد. سپس . اجازه دهید در مورد اول، و در دوم - . سپس و از آنجا نتیجه می گیرد که p.t.d.

ابتدا ثابت می کنیم که حاصل ضرب یک اسکالر صفر و هر بردار برابر با یک بردار صفر است.

اجازه دهید . سپس با اعمال بدیهیات فضای برداری، به دست می آوریم:

با توجه به جمع، یک فضای برداری یک گروه آبلی است و قانون لغو در هر گروهی برقرار است. با اعمال قانون کاهش، از آخرین برابری 0 * x \u003d 0 نتیجه می شود

اکنون ادعای 4 را اثبات می کنیم). اجازه دهید یک بردار دلخواه باشد. سپس

این بلافاصله نشان می دهد که بردار (-1)x مخالف بردار x است.

حالا x=0 را بگذارید. سپس با اعمال بدیهیات فضای برداری، به دست می آوریم:

بیایید آن را فرض کنیم. از آنجایی که، جایی که K یک میدان است، وجود دارد. بیایید تساوی سمت چپ را در: ضرب کنیم که به معنای 1*x=0 یا x=0 است.

وابستگی خطی و استقلال سیستم بردارها.به مجموعه ای از بردارها، سیستم برداری می گویند.

سیستمی از بردارها به صورت خطی وابسته نامیده می‌شود که اعدادی وجود داشته باشند که همگی برابر با صفر نباشند، به طوری که (1)

اگر تساوی (1) فقط برای , به عنوان مثال امکان پذیر باشد یک سیستم از k بردار مستقل خطی نامیده می شود. وقتی ترکیب خطی در سمت چپ برابری (1) بی اهمیت باشد.

یادداشت:

1. یک بردار همچنین یک سیستم را تشکیل می دهد: برای خطی وابسته، و برای خطی مستقل.

2. به هر بخشی از سیستم بردارها، زیرسیستم می گویند.

ویژگی های بردارهای وابسته به خطی و مستقل خطی:

1. اگر سیستم بردارها شامل یک بردار صفر باشد، به صورت خطی وابسته است.

2. اگر در سیستمی از بردارها دو بردار مساوی وجود داشته باشد، به صورت خطی وابسته است.

3. اگر در سیستم بردارها دو بردار متناسب وجود داشته باشد، به صورت خطی وابسته است.

4. سیستمی از بردارهای k>1 به صورت خطی وابسته است اگر و تنها در صورتی که حداقل یکی از بردارها ترکیبی خطی از بردارهای دیگر باشد.

5. هر بردار موجود در یک سیستم مستقل خطی یک زیر سیستم مستقل خطی را تشکیل می دهد.

6. سیستمی از بردارها که شامل یک زیرسیستم وابسته خطی است به صورت خطی وابسته است.

7. اگر سیستم بردارها به صورت خطی مستقل باشد و پس از افزودن بردار به آن مشخص شود که به صورت خطی وابسته است، آنگاه می توان بردار را در بردارها گسترش داد، و علاوه بر این، به روشی منحصر به فرد، یعنی. ضرایب انبساط به طور منحصر به فرد یافت می شود.

مثلاً آخرین خاصیت را ثابت کنیم. از آنجایی که سیستم بردارها به صورت خطی وابسته است، اعدادی هستند که همگی برابر با 0 نیستند. در این برابری در واقع، اگر، پس. این بدان معناست که یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده از بردارها برابر با بردار صفر است که با استقلال خطی سیستم در تضاد است. بنابراین، و سپس، i.e. بردار ترکیبی خطی از بردارها است. باقی مانده است که منحصر به فرد بودن چنین نمایشی را نشان دهیم. بیایید برعکس فرض کنیم. بگذارید دو بسط و وجود داشته باشد، و همه ضرایب بسط به ترتیب با یکدیگر برابر نیستند (مثلاً).

سپس از برابری بدست می آوریم .

بنابراین ترکیب خطی بردارها برابر با بردار صفر است. از آنجایی که همه ضرایب آن برابر با صفر (حداقل) نیستند، این ترکیب بی اهمیت است که با شرط استقلال خطی بردارها در تضاد است. تناقض حاصل منحصر به فرد بودن تجزیه را تأیید می کند.

رتبه و اساس سیستم بردارها.رتبه یک سیستم از بردارها حداکثر تعداد بردارهای مستقل خطی سیستم است.

اساس سیستم بردارهاحداکثر زیرسیستم مستقل خطی سیستم داده شده از بردارها است.

قضیه. هر بردار سیستمی را می توان به صورت ترکیبی خطی از بردارهای پایه سیستم نمایش داد. (هر بردار سیستم را می توان به بردارهای پایه تجزیه کرد.) ضرایب بسط به طور منحصر به فردی برای یک بردار معین و یک مبنای معین تعیین می شوند.

Doc-in:

اجازه دهید سیستم مبنایی داشته باشد.

1 مورد.بردار - از پایه. بنابراین، با یکی از بردارهای پایه برابر است، فرض کنید. سپس = .

مورد دومبردار از مبنا نیست. سپس r>k.

سیستمی از بردارها را در نظر بگیرید. این سیستم به صورت خطی وابسته است، زیرا یک پایه است، یعنی. حداکثر زیرسیستم مستقل خطی بنابراین، اعداد با 1، با 2، ...، با k، با، همه برابر با صفر نیستند، به طوری که

بدیهی است که (اگر c=0 باشد، اساس سیستم به صورت خطی وابسته است).

اجازه دهید ثابت کنیم که بسط یک بردار از نظر مبنا منحصر به فرد است. برعکس فرض کنید: دو بسط بردار از نظر مبنا وجود دارد.

با کم کردن این برابری ها، به دست می آوریم

با در نظر گرفتن استقلال خطی بردارهای پایه، به دست می آوریم

بنابراین، بسط یک بردار از نظر مبنا منحصر به فرد است.

تعداد بردارها در هر پایه از سیستم یکسان و برابر با رتبه سیستم بردارها است.