توابع زیر نسبی هستند. کارکردهای روابط اقتصادی
اجازه دهید r Н Xایکس Y.
رابطه عملکردییک رابطه باینری است rکه در آن هر عنصر مطابقت دارد دقیقا یکیبه طوری که جفت متعلق به یک رابطه یا مانند آن است اصلا وجود ندارد: یا.
رابطه عملکردی -این یک رابطه باینری است rبرای کدام: .
همه جا یک رابطه خاص- رابطه باینری r، برای کدام D r = X("هیچ تنهایی وجود ندارد ایکس").
رابطه ذهنی- رابطه باینری r، برای کدام J r = Y("هیچ تنهایی وجود ندارد y").
رابطه تزریقییک رابطه باینری است که در آن متفاوت است ایکسمربوط به متفاوت است در.
بیجکشن- تابعی، همه جا تعریف شده، تزریقی، رابطه سطحی، مطابقت یک به یک مجموعه ها را تعریف می کند.
مثلا:
اجازه دهید r= ( (x، y) О R 2 | y 2 + x 2 = 1، y > 0).
نگرش r-کاربردی،
در همه جا تعریف نشده است ("تنهایی وجود دارد ایکس"),
تزریقی نیست (مختلف هستند ایکس، در),
نه سوژه ای ("تنها هستند در"),
یک بیجکشن نیست
مثلا:
بگذارید K= ((x,y) н R 2 | y = x+1)
رابطه Ã عملکردی است،
رابطه Ã- در همه جا تعریف شده است ("تنهایی وجود ندارد ایکس"),
رابطه Ã- تزریقی است (تفاوتی وجود ندارد ایکس،که مطابقت دارند در),
رابطه Ã- سوژه ای است ("تنهایی وجود ندارد در"),
رابطه K دو طرفه است، یک مطابقت متقابل همگن.
مثلا:
اجازه دهید j=((1،2)، (2،3)، (1،3)، (3،4)، (2،4)، (1،4)) در مجموعه تعریف شود. N 4.
رابطه j تابعی نیست، x=1 با سه y مطابقت دارد: (1،2)، (1،3)، (1،4)
رابطه j - در همه جا تعریف نشده است دی j =(1،2،3)1 N 4
رابطه j - نه سوژه من j =(1،2،3)1 N 4
رابطه j تزریقی نیست، x های مختلف با y یکسان مطابقت دارند، برای مثال (2،3) و (1،3).
تکلیف برای کارهای آزمایشگاهی
1. مجموعه داده می شود N1و N2. محاسبه مجموعه ها:
(N1ایکس N2) З (N2ایکس N1);
(N1ایکس N2) È (N2ایکس N1);
(N1 Ç N2)ایکس (N1 Ç N2);
(N1 → N2)ایکس (N1 → N2),
جایی که N1 = (ارقام شماره کتاب رکورد، سه رقم آخر };
N2 = (شماره تاریخ و ماه تولد }.
2. روابط rو gمجموعه روی مجموعه N 6 \u003d (1،2،3،4،5،6).
روابط را توصیف کنید r,g,r -1 , r ○g، r- 1 ○gلیست زوج ها
ماتریس های رابطه را پیدا کنید rو g.
برای هر رابطه، دامنه تعریف و محدوده مقادیر را تعریف کنید.
ویژگی های رابطه را تعریف کنید.
روابط هم ارزی را شناسایی کنید و کلاس های هم ارزی بسازید.
روابط سفارش را شناسایی کرده و آنها را طبقه بندی کنید.
1) r= { (متر,n) | m > n)
g= { (متر,n) | مدول مقایسه 2 }
2) r= { (متر,n) | (m - n)قابل تقسیم بر 2 }
g= { (متر,n) | مترتقسیم کننده ن)
3) r= { (متر,n) | متر< n }
g= { (متر,n) | مدول مقایسه 3 }
4) r= { (متر,n) | (m+n)- زوج }
g= { (متر,n) | m 2 \u003d n)
5) r= { (متر,n) | m/n-درجه 2 }
g= { (متر,n) | m = n)
6) r= { (متر,n) | m/n-زوج }
g = ((متر,n) | متر³ ن)
7) r= { (متر,n) | m/n-فرد }
g= { (متر,n) | مدول مقایسه 4 }
8) r= { (متر,n) | m*n-زوج }
g= { (متر,n) | متر£ ن)
9) r= { (متر,n) | مدول مقایسه 5 }
g= { (متر,n) | مترتقسیم بر ن)
10) r= { (متر,n) | متر- زوج، n- زوج }
g= { (متر,n) | مترتقسیم کننده ن)
11) r= { (متر,n) | متر = ن)
g= { (متر,n) | (m+n)£ 5 }
12) r={ (متر,n) | مترو nوقتی بر 3 تقسیم می شود همان باقی مانده را داشته باشد }
g= { (متر,n) | (م-ن)³2 }
13) r= { (متر,n) | (m+n)بر 2 بخش پذیر است }
g = ((متر,n) | 2 پوند (م-ن) 4 پوند }
14) r= { (متر,n) | (m+n)قابل تقسیم بر 3 }
g= { (متر,n) | متر¹ ن)
15) r= { (متر,n) | مترو nمقسوم علیه مشترک دارند }
g= { (متر,n) | متر مربع£ ن)
16) r= { (متر,n) | (m - n)بر 2 بخش پذیر است }
g= { (متر,n) | متر< n +2 }
17) r= { (متر,n) | مدول مقایسه 4 }
g= { (متر,n) | متر£ ن)
18) r= { (متر,n) | متربه طور کامل به ن)
g= { (متر,n) | متر¹ n، m-زوج }
19) r= { (متر,n) | مدول مقایسه 3 }
g= { (متر,n) | 1 پوند (م-ن) 3 پوند }
20) r= { (متر,n) | (m - n)قابل تقسیم بر 4 }
g= { (متر,n) | متر¹ ن)
21) r= { (متر,n) | متر- فرد، n- فرد }
g= { (متر,n) | متر£ n، n-زوج }
22) r= { (متر,n) | مترو nبا تقسیم بر 3 باقیمانده فرد دارند }
g= { (متر,n) | (م-ن)³1 }
23) r= { (متر,n) | m*n-فرد }
g= { (متر,n) | مدول مقایسه 2 }
24) r= { (متر,n) | m*n-زوج }
g= { (متر,n) | 1 پوند (م-ن) 3 پوند }
25) r= { (متر,n) | (م+ ن)-زوج }
g= { (متر,n) | مترقابل تقسیم بر ن)
26) r= { (متر,n) | m = n)
g= { (متر,n) | متربه طور کامل به ن)
27) r= { (متر,n) | (m-n)-زوج }
g= { (متر,n) | مترتقسیم کننده ن)
28) r= { (متر,n) | (م-ن)³2 }
g= { (متر,n) | متربه طور کامل به ن)
29) r= { (متر,n) | متر مربع³ ن)
g= { (متر,n) | متر / n-فرد }
30) r= { (متر,n) | متر³ n، m -زوج }
g= { (متر,n) | مترو nیک مقسوم علیه مشترک غیر از 1 داشته باشید }
3. تعیین کنید که آیا رابطه داده شده است f-کارکردی، همه جا تعریف شده، تزریقی، سوژه ای، ناظر ( آرمجموعه اعداد واقعی است). یک نمودار از رابطه بسازید، دامنه تعریف و محدوده مقادیر را تعیین کنید.
همین کار را برای روابط انجام دهید rو gاز نقطه 3 کار آزمایشگاهی.
1) f=( (x, y) Î آر 2 | y=1/x +7x)
2) f=( (x, y) Î آر 2 | ایکس³ y )
3) f=( (x, y) Î آر 2 | y³ ایکس )
4) f=( (x, y) Î آر 2 | y³ x، x³ 0 }
5) f=( (x, y) Î آر 2 | y 2 + x 2 = 1)
6) f=( (x, y) Î آر 2 | 2 | y | + | x | = 1)
7) f=( (x, y) Î آر 2 | x+y£ 1 }
8) f=( (x, y) Î آر 2 | x = y 2 )
9) f=( (x, y) Î آر 2 | y = x 3 + 1)
10) f=( (x, y) Î آر 2 | y = -x 2 )
11) f=( (x, y) Î آر 2 | | y | + | x | = 1)
12) f=( (x, y) Î آر 2 | x = y -2)
13) f=( (x, y) Î آر 2 | y2 + x2³ 1، y> 0 }
14) f=( (x, y) Î آر 2 | y 2 + x 2 = 1، x> 0 }
15) f=( (x, y) Î آر 2 | y2 + x2£ 1، x> 0 }
16) f=( (x, y) Î آر 2 | x = y2 ,ایکس³ 0 }
17) f=( (x, y) Î آر 2 | y = گناه (3x + p) )
18) f=( (x, y) Î آر 2 | y = 1/cos x)
19) f=( (x, y) Î آر 2 | y=2| x | + 3)
20) f=( (x, y) Î آر 2 | y=| 2x+1| )
21) f=( (x, y) Î آر 2 | y = 3 x )
22) f=( (x, y) Î آر 2 | y=e-x)
23) f =( (x, y)Î آر 2 | y=e | x | )
24) f=( (x, y) Î آر 2 | y = cos(3x) - 2)
25) f=( (x, y) Î آر 2 | y = 3x 2 - 2 )
26) f=( (x, y) Î آر 2 | y = 1 / (x + 2) )
27) f=( (x, y) Î آر 2 | y = ln(2x) - 2)
28) f=( (x, y) Î آر 2 | y=| 4x -1| + 2)
29) f=( (x, y) Î آر 2 | y = 1 / (x 2 + 2x-5))
30) f=( (x, y) Î آر 2 | x = y 3, y³ - 2 }.
سوالات تستی
2. تعریف رابطه باینری.
3. روش هایی برای توصیف روابط باینری.
4. دامنه تعریف و محدوده مقادیر.
5. خواص روابط باینری.
6. رابطه هم ارزی و کلاس های هم ارزی.
7. روابط نظم: سخت و غیر دقیق، کامل و جزئی.
8. طبقات باقیمانده مدول m.
9. روابط کارکردی.
10. تزريق، جراحي، دوجكشي.
آزمایشگاه شماره 3
روابط مفاهیم و تعاریف اساسی
تعریف 2.1.جفت سفارش داده شده<ایکس, y> مجموعه ای از دو عنصر است ایکسو yبه ترتیب خاصی مرتب شده است.
دو جفت سفارش داده شده<ایکس, y> و<تو، v> با یکدیگر برابرند اگر و فقط اگر ایکس = توو y= v.
مثال 2.1.
<آ, ب>, <1, 2>, <ایکس, 4> جفت مرتب شده اند.
به همین ترتیب، می توانیم سه، چهار، nعناصر -ki<ایکس 1 , ایکس 2 ,…xn>.
تعریف 2.2.مستقیم(یا دکارتی)کار کردندو دست آو بمجموعه ای از جفت های مرتب شده است به طوری که اولین عنصر هر جفت به مجموعه تعلق دارد آ، و دوم - به مجموعه ب:
آ ´ ب = {<آ, ب>, ç آÎ ولیو بÏ AT}.
به طور کلی، محصول مستقیم nمجموعه ها ولی 1 ,ولی 2 ,…A nمجموعه نامیده می شود ولییکی ولی 2'…' A n، متشکل از مجموعه های مرتب شده از عناصر<آ 1 , آ 2 , …,یک n> طول n، به طوری که من-هفتم یک منمتعلق به مجموعه است یک آی,یک من Î یک آی.
مثال 2.2.
اجازه دهید ولی = {1, 2}, AT = {2, 3}.
سپس آ ´ ب = {<1, 2>, <1, 3>,<2, 2>,<2, 3>}.
مثال 2.3.
اجازه دهید ولی= {ایکس ç0 £ ایکس£ 1) و ب= {yç2 پوند y 3 پوند)
سپس آ ´ ب = {<ایکس, y >, ç0 £ ایکس 1 و 2 پوند y 3 پوند).
بنابراین، مجموعه آ ´ بشامل نقاطی است که در داخل و روی مرز مستطیلی قرار دارند که توسط خطوط مستقیم تشکیل شده است ایکس= 0 (محور y)، ایکس= 1,y= 2 و y = 3.
دکارت، ریاضیدان و فیلسوف فرانسوی، اولین کسی بود که نمایش مختصری از نقاط در یک صفحه را پیشنهاد کرد. این از نظر تاریخی اولین نمونه از یک اثر مستقیم است.
تعریف 2.3.دودویی(یا دو برابر)نسبت rمجموعه جفت های مرتب شده نامیده می شود.
اگر یک زوج<ایکس, y> متعلق است r، سپس به صورت زیر نوشته می شود:<ایکس, y> Î rیا، که همان است، xr y.
مثال 2.4.
r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>}
به همین ترتیب، می توان تعریف کرد n-رابطه محلی به عنوان مجموعه ای از مرتب شده است n-خوب.
از آنجایی که یک رابطه باینری یک مجموعه است، روش های تعیین یک رابطه باینری مانند روش های تعیین یک مجموعه است (به بخش 1.1 مراجعه کنید). یک رابطه باینری را می توان با برشمردن جفت های مرتب شده یا با مشخص کردن یک ویژگی کلی از جفت های مرتب شده مشخص کرد.
مثال 2.5.
1. r = {<1, 2>, <2, 1>, <2, 3>) - رابطه با شمارش جفت های مرتب داده شده است.
2. r = {<ایکس, y> ç ایکس+ y = 7, ایکس, yاعداد واقعی هستند) - نسبت با مشخص کردن ویژگی مشخص می شود ایکس+ y = 7.
علاوه بر این، یک رابطه باینری نیز می تواند ارائه شود ماتریس رابطه باینری. اجازه دهید ولی = {آ 1 , آ 2 , …, یک n) یک مجموعه متناهی است. ماتریس رابطه باینری سییک ماتریس مربع از نظم است n، عناصر آن ج ijبه شرح زیر تعریف می شوند:
مثال 2.6.
ولی= (1، 2، 3، 4). بیایید یک رابطه باینری تعریف کنیم rبه سه روش ذکر شده
1. r = {<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>) – این رابطه با شمارش تمام جفت های مرتب شده به دست می آید.
2. r = {<یک من, یک ج> ç یک من < یک ج; یک من, یک جÎ ولی) – رابطه با مشخص کردن ویژگی "کمتر از" در مجموعه مشخص می شود ولی.
3. - رابطه با ماتریس رابطه باینری داده می شود سی.
مثال 2.7.
بیایید چند رابطه باینری را در نظر بگیریم.
1. روابط مجموعه اعداد طبیعی.
الف) رابطه £ برای جفت ها برقرار است<1, 2>, <5, 5>، اما برای جفت راضی نیست<4, 3>;
ب) رابطه "یک مقسوم علیه مشترک غیر از یک دارند" برای جفت ها صادق است<3, 6>, <7, 42>, <21, 15>، اما برای جفت راضی نیست<3, 28>.
2. روابط روی مجموعه نقاط صفحه واقعی.
الف) رابطه "در فاصله یکسان از نقطه (0، 0)" برای نقاط (3، 4) و (–2، Ö21) صادق است، اما برای نقاط (1، 2) صادق نیست و (5، 3)؛
ب) رابطه «متقارن بودن حول محور OY" برای تمام نقاط ( ایکس, y) و (- ایکس, –y).
3. روابط بر روی افراد مختلف.
الف) نگرش "زندگی در یک شهر"؛
ب) نگرش "برای مطالعه در یک گروه"؛
ج) نگرش "بزرگتر بودن".
تعریف 2.4.دامنه یک رابطه باینری r مجموعه ای است D r = (x ç y وجود دارد به طوری که xr y).
تعریف 2.5.محدوده یک رابطه باینری r مجموعه ای است R r = (y x وجود دارد به طوری که xr y).
تعریف 2.6.دامنه یک رابطه باینری r مجموعه M r = D r ÈR r است.
با استفاده از مفهوم محصول مستقیم، می توانیم بنویسیم:
rÎ دکتر´ آر آر
اگر یک دکتر= آر آر = آ، سپس می گوییم که رابطه باینری rمجموعه روی مجموعه آ.
مثال 2.8.
اجازه دهید r = {<1, 3>, <3, 3>, <4, 2>}.
سپس D r ={1, 3, 4}, آر آر = {3, 2}, آقای= {1, 2, 3, 4}.
عملیات در روابط
از آنجایی که روابط مجموعه هستند، همه عملیات روی مجموعه ها برای روابط معتبر هستند.
مثال 2.9.
r 1 = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.
r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 4>}.
r 1 È r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>}.
r 1 Z r 2 = {<1, 2>}.
r 1 \ r 2 = {<2, 3>, <3, 4>}.
مثال 2.10.
اجازه دهید آرمجموعه اعداد واقعی است. روابط زیر را در این مجموعه در نظر بگیرید:
r 1 - "£"؛ r 2 – " = "; r 3 – " < "; r 4 - "³"؛ r 5 – " > ".
r 1 = r 2 È r 3 ;
r 2 = r 1 Z r 4 ;
r 3 = r 1 \ r 2 ;
r 1 = ;
ما دو عملیات دیگر را روی روابط تعریف می کنیم.
تعریف 2.7.رابطه نامیده می شود معکوسبه نگرش r(نشان داده شده است r- 1) اگر
r- 1 = {<ایکس, y> ç< y، x> Î r}.
مثال 2.11.
r = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.
r- 1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>}.
مثال 2.12.
r = {<ایکس, y> ç ایکس – y = 2, ایکس, y Î آر}.
r- 1 = {<ایکس, y> ç< y، x> Î r} = r- 1 = {<ایکس, y> ç y–ایکس = 2, ایکس, y Î آر} = {<ایکس, y> ç– ایکس+ y = 2, ایکس, y Î آر}.
تعریف 2.8.ترکیب دو نسبت r و sنسبت نامیده می شود
اس آر= {<ایکس, z> چنین وجود دارد y، چی<ایکس, y> Î rو< y، z> Î س}.
مثال 2.13.
r = {<ایکس, y> ç y = سینکس}.
س= {<ایکس, y> ç y = Ö ایکس}.
اس آر= {<ایکس, z> چنین وجود دارد y، چی<ایکس, y> Î rو< y، z> Î س} = {<ایکس, z> چنین وجود دارد y، چی y = سینکسو z= Ö y} = {<ایکس, z> ç z= Ö سینکس}.
تعریف ترکیب دو رابطه با تعریف یک تابع پیچیده مطابقت دارد:
y = f(ایکس), z= g(y) Þ z= g(f(ایکس)).
مثال 2.14.
r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <3, 1>}.
س = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <3, 2>, <3, 3>}.
فرآیند یافتن اس آرمطابق با تعریف ترکیب، نمایش آن با جدولی که در آن شمارش تمام مقادیر ممکن اجرا می شود، راحت است. ایکس, y, z. برای هر جفت<ایکس, y> Î rتمام جفت های ممکن را در نظر بگیرید< y، z> Î س(جدول 2.1).
جدول 2.1
| <ایکس, y> Î r | < y، z> Î س | <ایکس, z> Î اس آر |
| <1, 1> <1, 1> <1, 2> <1, 3> <1, 3> <3, 1> <3, 1> | <1, 2> <1, 3> <2, 2> <3, 2> <3, 3> <1, 2> <1, 3> | <1, 2> <1, 3> <1, 2> <1, 2> <1, 3> <3, 2> <3, 3> |
توجه داشته باشید که ردیف های اول، سوم و چهارم و همچنین ردیف های دوم و پنجم آخرین ستون جدول دارای جفت های یکسان هستند. بنابراین دریافت می کنیم:
اس آر= {<1, 2>, <1, 3>, <3, 2>, <3, 3>}.
ویژگی های رابطه
تعریف 2.9.نگرش rتماس گرفت منعکس کنندهدر مجموعه ایکس، در صورت وجود ایکسÎ ایکسانجام xr x.
از تعریف بر می آید که هر عنصر<ایکس,ایکس > Î r.
مثال 2.15.
الف) اجازه دهید ایکسمجموعه ای محدود است ایکس= (1، 2، 3) و r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 2>, <3, 1>, <3, 3>). نگرش rبه صورت انعکاسی اگر یک ایکسیک مجموعه متناهی است، سپس مورب اصلی ماتریس رابطه بازتابی فقط شامل یک عدد است. برای مثال ما
ب) اجازه دهید ایکس rرابطه برابری این رابطه بازتابی است، زیرا هر عدد با خودش برابر است
ج) اجازه دهید ایکس- افراد زیادی و rنگرش "زندگی در یک شهر". این رابطه بازتابی است، زیرا هر کسی با خودش در یک شهر زندگی می کند.
تعریف 2.10.نگرش rتماس گرفت متقارندر مجموعه ایکس، در صورت وجود ایکس, yÎ ایکساز جانب xryباید سال x.
بدیهی است که rمتقارن اگر و فقط اگر r = r- 1 .
مثال 2.16.
الف) اجازه دهید ایکسمجموعه ای محدود است ایکس= (1، 2، 3) و r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <3, 1>, <3, 3>). نگرش rمتقارن اگر یک ایکسیک مجموعه محدود است، پس ماتریس نسبت متقارن نسبت به قطر اصلی متقارن است. برای مثال ما
ب) اجازه دهید ایکسمجموعه اعداد حقیقی است و rرابطه برابری این رابطه متقارن است، زیرا اگر ایکسبرابر است y، سپس و yبرابر است ایکس.
ج) اجازه دهید ایکس- بسیاری از دانش آموزان و rنگرش "یادگیری در یک گروه". این رابطه متقارن است، زیرا اگر ایکسدر همین گروه درس می خوانند y، سپس و yدر همین گروه درس می خوانند ایکس.
تعریف 2.11.نگرش rتماس گرفت متعدیدر مجموعه ایکس، در صورت وجود ایکس, y,zÎ ایکساز جانب xryو yrzباید xrz.
تحقق همزمان شرایط xry, yrz, xrzیعنی یک زوج<ایکس,z> متعلق به ترکیب است r r. بنابراین، برای گذر rلازم و کافی است که مجموعه r rیک زیر مجموعه بود r، یعنی r rÍ r.
مثال 2.17.
الف) اجازه دهید ایکسمجموعه ای محدود است ایکس= (1، 2، 3) و r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>, <1, 3>). نگرش rمتعدی است، زیرا همراه با جفت<ایکس,y> و<y,z> یک زوج دارد<ایکس,z> به عنوان مثال، همراه با جفت<1, 2>، و<2, 3>یک زوج وجود دارد<1, 3>.
ب) اجازه دهید ایکسمجموعه اعداد حقیقی است و rرابطه £ (کمتر یا مساوی). این رابطه متعدی است، زیرا اگر ایکس£ yو y£ z، سپس ایکس£ z.
ج) اجازه دهید ایکس- افراد زیادی و rنگرش بزرگتر بودن این رابطه متعدی است، زیرا اگر ایکسمسن تر yو yمسن تر z، سپس ایکسمسن تر z.
تعریف 2.12.نگرش rتماس گرفت رابطه هم ارزیدر مجموعه ایکس، اگر روی مجموعه بازتابی، متقارن و متعدی باشد ایکس.
مثال 2.18.
الف) اجازه دهید ایکسمجموعه ای محدود است ایکس= (1، 2، 3) و r = {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>). نگرش rیک رابطه هم ارزی است.
ب) اجازه دهید ایکسمجموعه اعداد حقیقی است و rرابطه برابری این یک رابطه هم ارزی است.
ج) اجازه دهید ایکس- بسیاری از دانش آموزان و rنگرش "یادگیری در یک گروه". این یک رابطه هم ارزی است.
اجازه دهید r ایکس.
تعریف 2.13.اجازه دهید rرابطه هم ارزی مجموعه است ایکسو ایکسÎ ایکس. کلاس معادل سازی، تولید شده توسط عنصر ایکس، زیر مجموعه ای از مجموعه نامیده می شود ایکس، متشکل از آن عناصر است yÎ ایکس، برای کدام xry. کلاس هم ارزی تولید شده توسط عنصر ایکس، با [ ایکس].
به این ترتیب، [ ایکس] = {yÎ ایکس|xry}.
کلاس های هم ارزی تشکیل می شود تقسیم بندیمجموعه ها ایکس، یعنی سیستمی از زیرمجموعه های متفرقه جفتی غیر خالی که اتحاد آنها با کل مجموعه منطبق است ایکس.
مثال 2.19.
الف) رابطه برابری روی مجموعه اعداد صحیح، کلاس های هم ارزی زیر را ایجاد می کند: برای هر عنصر ایکساز این مجموعه [ ایکس] = {ایکس) یعنی هر کلاس هم ارزی از یک عنصر تشکیل شده است.
ب) کلاس هم ارزی تولید شده توسط جفت<ایکس, y> با نسبت تعیین می شود:
[<ایکس, y>] = .
هر کلاس هم ارزی توسط یک جفت ایجاد می شود<ایکس, y> یک عدد گویا را تعریف می کند.
ج) برای رابطه تعلق به یک گروه دانش آموزی، کلاس معادل مجموعه دانش آموزان یک گروه است.
تعریف 2.14.نگرش rتماس گرفت پاد متقارندر مجموعه ایکس، در صورت وجود ایکس, yÎ ایکساز جانب xryو سال xباید ایکس = y.
از تعریف ضد تقارن چنین بر می آید که هرگاه یک جفت<ایکس,y> در همان زمان متعلق به rو r- 1، برابری ایکس = y. به عبارت دیگر، r Ç r- 1 فقط از جفت های فرم تشکیل شده است<ایکس,ایکس >.
مثال 2.20.
الف) اجازه دهید ایکسمجموعه ای محدود است ایکس= (1، 2، 3) و r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). نگرش rپاد متقارن.
نگرش س= {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 3>) ضد متقارن نیست. مثلا،<1, 2> Î اس،و<2, 1> Î س، اما 1 ¹2.
ب) اجازه دهید ایکسمجموعه اعداد حقیقی است و rرابطه £ (کمتر یا مساوی). این رابطه ضد متقارن است، زیرا اگر ایکس £ y، و y £ ایکس، سپس ایکس = y.
تعریف 2.15.نگرش rتماس گرفت رابطه سفارش جزئی(یا فقط یک سفارش جزئی) در مجموعه ایکس، اگر روی مجموعه بازتابی، ضد متقارن و متعدی باشد ایکس. بسیاری از ایکسدر این مورد آن را جزئی مرتب می نامند، و این رابطه اغلب با نماد £ نشان داده می شود، اگر این منجر به سوء تفاهم نشود.
رابطه معکوس با رابطه نظم جزئی بدیهی است که رابطه نظم جزئی خواهد بود.
مثال 2.21.
الف) اجازه دهید ایکسمجموعه ای محدود است ایکس= (1، 2، 3) و r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). نگرش r
ب) نگرش ولیÍ ATدر مجموعه ای از زیر مجموعه های برخی از مجموعه ها Uیک رابطه سفارش جزئی است.
ج) رابطه بخش پذیری مجموعه اعداد طبیعی یک رابطه مرتبه جزئی است.
کارکرد. مفاهیم و تعاریف اساسی
در تحلیل ریاضی تعریف زیر از تابع پذیرفته شده است.
متغیر yتابع یک متغیر نامیده می شود ایکس، اگر طبق برخی قاعده یا قانون، هر یک ارزش داشته باشد ایکسمربوط به یک مقدار خاص است y = f(ایکس). منطقه متغیر ایکسدامنه تابع و محدوده متغیر نامیده می شود y- محدوده مقادیر تابع اگر یک مقدار ایکسبا چندین (و حتی بی نهایت) مقدار مطابقت دارد y، سپس تابع چند ارزشی نامیده می شود. با این حال، در جریان تجزیه و تحلیل توابع متغیرهای واقعی، از توابع چند ارزشی اجتناب می شود و توابع تک ارزشی را در نظر می گیرد.
تعریف دیگری از یک تابع از نظر روابط را در نظر بگیرید.
تعریف 2.16. عملکردهر رابطه دودویی است که شامل دو جفت با مولفه های اول برابر و مولفه های دوم متفاوت نباشد.
این ویژگی رابطه نامیده می شود منحصر به فرد بودنیا عملکرد.
مثال 2.22.
آ) (<1, 2>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 6>) یک تابع است.
ب) (<ایکس, y>: ایکس, y Î آر, y = ایکس 2) یک تابع است.
که در) (<1, 2>, <1, 4>, <4, 4>, <5, 6>) یک رابطه است نه یک تابع.
تعریف 2.17.اگر یک fپس یک تابع است D f – دامنه، آ RF – دامنهکارکرد f.
مثال 2.23.
به عنوان مثال 2.22 a) D f – {1, 3, 4, 5}; RF – {2, 4, 6}.
به عنوان مثال 2.22 ب) D f = RF = (–¥, ¥).
هر عنصر ایکس D fعملکرد مطابقت دارد تنهاعنصر y RF. این با نماد معروف نشان داده می شود y = f(ایکس). عنصر ایکسآرگومان تابع یا عنصر preimage نامیده می شود yبا عملکرد f، و عنصر yمقدار تابع fبر روی ایکسیا تصویر عنصر ایکسدر f.
بنابراین، از بین همه روابط، توابع با این واقعیت متمایز می شوند که هر عنصر از حوزه تعریف دارای آن است تنهاتصویر
تعریف 2.18.اگر یک D f = ایکسو RF = Y، سپس می گوییم که تابع fتعیین شده در ایکسو ارزش های خود را در نظر می گیرد Y، آ fتماس گرفت نگاشت مجموعه X بر روی Y(ایکس ® Y).
تعریف 2.19.کارکرد fو gاگر دامنه تعریف آنها یک مجموعه باشد برابر هستند دی، و برای هر ایکس Î دیبرابری عادلانه f(ایکس) = g(ایکس).
این تعریف با تعریف برابری توابع به عنوان برابری مجموعه ها تناقض ندارد (به هر حال، ما یک تابع را به عنوان یک رابطه، یعنی یک مجموعه تعریف کرده ایم): مجموعه ها fو gاگر و فقط اگر از عناصر یکسانی تشکیل شده باشند برابر هستند.
تعریف 2.20.عملکرد (نمایشگر) fتماس گرفت سوژه اییا به سادگی سرکشی، اگر برای هر عنصر y Yعنصر وجود دارد ایکس Î ایکس، به طوری که y = f(ایکس).
بنابراین هر تابع fیک نقشه برداری (surjection) است D f® RF.
اگر یک fیک سرکشی است و ایکسو Yمجموعه های متناهی هستند، سپس ³.
تعریف 2.21.عملکرد (نمایشگر) fتماس گرفت تزریقییا به سادگی تزریقیا یک به یکاگر از f(آ) = f(ب) باید آ = ب.
تعریف 2.22.عملکرد (نمایشگر) fتماس گرفت دوطرفهیا به سادگی دوجکشناگر هم تزریقی باشد و هم ظاهری.
اگر یک fیک بیجکشن است و ایکسو Yمجموعه های متناهی هستند، سپس = .
تعریف 2.23.اگر محدوده تابع D fاز یک عنصر تشکیل شده است fتماس گرفت عملکرد ثابت.
مثال 2.24.
آ) f(ایکس) = ایکس 2 نگاشت مجموعه اعداد حقیقی بر روی مجموعه اعداد حقیقی غیر منفی است. زیرا f(–آ) = f(آ) و آ ¹ – آ، پس این تابع یک تزریق نیست.
ب) برای هر کدام ایکس آر= (–،) تابع f(ایکس) = 5 یک تابع ثابت است. بسیاری را نمایش می دهد آربه مجموعه (5). این تابع سوژه است، اما تزریقی نیست.
که در) f(ایکس) = 2ایکس+ 1 یک تزریق و یک بیجکشن است، زیرا از 2 ایکس 1 +1 = 2ایکس 2+1 دنبال می شود ایکس 1 = ایکس 2 .
تعریف 2.24.تابعی که نمایشگر را پیاده سازی می کند ایکسیکی ایکس 2'...' X n ® Yتماس گرفت n-محلیعملکرد.
مثال 2.25.
الف) جمع، تفریق، ضرب و تقسیم توابع باینری مجموعه هستند آراعداد واقعی، یعنی توابع از نوع آر 2® آر.
ب) f(ایکس, y) = یک تابع دو مکان است که نقشه برداری را پیاده سازی می کند آر ´ ( آر \ )® آر. این تابع یک تزریق نیست، زیرا f(1, 2) = f(2, 4).
ج) جدول بازده قرعه‌کشی یک تابع دو مکان را تعریف می‌کند که مطابقت بین جفت‌ها را برقرار می‌کند ن 2 (نمجموعه اعداد طبیعی) و مجموعه بازده است.
از آنجایی که توابع روابط دودویی هستند، می توان توابع معکوس را پیدا کرد و عملیات ترکیب را اعمال کرد. ترکیب هر دو تابع یک تابع است، اما نه برای هر تابع fنگرش f-1 یک تابع است.
مثال 2.26.
آ) f = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>, <4, 2>) یک تابع است.
نگرش f –1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>, <2, 4>) یک تابع نیست.
ب) g = {<1, آ>, <2, ب>, <3, ج>, <4, دی>) یک تابع است.
g -1 = {<آ, 1>, <ب, 2>, <ج, 3>, <دی, 4>) نیز یک تابع است.
ج) ترکیب توابع را بیابید fاز مثال الف) و g-1 از مثال ب). ما داریم g -1f = {<آ, 2>, <ب, 3>, <ج, 4>, <د, 2>}.
fg-1 = Æ.
توجه کنید که ( g -1f)(آ) = f(g -1 (آ)) = f(1) = 2; (g -1f)(ج) = f(g -1 (ج)) = f(3) = 4.
یک تابع ابتدایی در تحلیل ریاضی هر تابعی است fکه ترکیبی از تعداد محدودی از توابع حسابی و همچنین توابع زیر است:
1) توابع کسری - گویا، یعنی. توابع فرم
آ 0 + آ 1 ایکس + ... + a n x n
ب 0 + ب 1 ایکس + ... + b m x m.
2) تابع قدرت f(ایکس) = x m، جایی که مترهر عدد واقعی ثابت است.
3) تابع نمایی f(ایکس) = سابق.
4) تابع لگاریتمی f(ایکس) = ورود به سیستم x, آ >0, آ 1.
5) توابع مثلثاتی sin، cos، tg، ctg، sec، csc.
6) توابع هذلولی sh، ch، th، cth.
7) توابع مثلثاتی معکوس قوس گناه, آرکوسو غیره.
به عنوان مثال، تابع ورود به سیستم 2 (ایکس 3 +sincos 3ایکس) ابتدایی است، زیرا این ترکیب توابع است cosx, سینکس, ایکس 3 , ایکس 1 + ایکس 2 , logx, ایکس 2 .
عبارتی که ترکیب توابع را توصیف می کند فرمول نامیده می شود.
برای یک تابع چند مکان، نتیجه مهم زیر معتبر است که توسط A. N. Kolmogorov و V. I. Arnold در سال 1957 به دست آمد و راه حلی برای سیزدهمین مسئله هیلبرت است:
قضیه.هر تابع پیوسته nمتغیرها را می توان به عنوان ترکیبی از توابع پیوسته دو متغیر نشان داد.
راه های تنظیم توابع
1. ساده ترین راه برای تنظیم توابع جداول است (جدول 2.2):
جدول 2.2
با این حال، توابع تعریف شده بر روی مجموعه های محدود را می توان به این روش تعریف کرد.
اگر تابعی که بر روی یک مجموعه نامتناهی (قطعه، بازه) تعریف شده است، در تعداد محدودی از نقاط، به عنوان مثال، به شکل جداول مثلثاتی، جداول توابع خاص و غیره مشخص شود، از قوانین درونیابی برای محاسبه مقادیر استفاده می شود. توابع در نقاط میانی
2. تابع را می توان به عنوان فرمولی تعریف کرد که یک تابع را به عنوان ترکیبی از توابع دیگر توصیف می کند. فرمول دنباله ای را که تابع در آن محاسبه می شود مشخص می کند.
مثال 2.28.
f(ایکس) = گناه(ایکس + Ö ایکس) ترکیبی از توابع زیر است:
g(y) = Ö y; ساعت(تو v) = تو+v; w(z) = sinz
3. تابع را می توان در فرم ارائه کرد رویه بازگشتیرویه بازگشتی تابعی را تعریف می کند که روی مجموعه اعداد طبیعی تعریف شده است. f(n), n= 1, 2,... به صورت زیر: الف) مقدار f(1) (یا f(0))؛ ب) معنی f(n+ 1) از طریق ترکیب تعریف می شود f(n) و دیگر توابع شناخته شده. ساده ترین مثال از یک روش بازگشتی، محاسبه است n!: الف) 0! = 1; ب) ( n + 1)! = n!(n+ 1). بسیاری از رویه های روش عددی رویه های بازگشتی هستند.
4. روش هایی برای تعریف تابع وجود دارد که حاوی روشی برای محاسبه تابع نیست و فقط آن را توصیف می کند. مثلا:
f M(ایکس) =
عملکرد f M(ایکس) تابع مشخصه مجموعه است م.
بنابراین، با توجه به معنای تعریف ما، تابع را تعریف کنید f- به معنای تنظیم نمایشگر است ایکس ® Y، یعنی مجموعه ای را تعریف کنید ایکس´ Y، بنابراین سؤال به تعیین مجموعه ای کاهش می یابد. با این حال، می توان مفهوم یک تابع را بدون استفاده از زبان تئوری مجموعه ها تعریف کرد، یعنی: یک تابع داده شده در نظر گرفته می شود اگر یک روش محاسباتی داده شود که با توجه به مقدار آرگومان، مقدار متناظر تابع را پیدا کند. تابعی که به این شکل تعریف شده است فراخوانی می شود قابل محاسبه
مثال 2.29.
رویه تعیین اعداد فیبوناچی، توسط رابطه داده می شود
F n= Fn- 1 + Fn- 2 (n³ 2) (2.1)
با مقادیر اولیه اف 0 = 1, اف 1 = 1.
فرمول (2.1)، همراه با مقادیر اولیه، سری اعداد فیبوناچی زیر را تعیین می کند:
| n | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … |
| F n | 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 … |
روش محاسباتی برای تعیین مقدار یک تابع از یک مقدار آرگومان معین چیزی بیش از این نیست الگوریتم.
سوالات امنیتی مبحث 2
1. راه های تعیین یک رابطه باینری را مشخص کنید.
2. مورب اصلی ماتریس کدام نسبت فقط دارای یک است؟
3. برای چه رابطه ای rشرط همیشه رعایت می شود r = r- 1 ?
4. برای چه رابطه ای rشرط همیشه رعایت می شود r rÍ r.
5. روابط هم ارزی و نظم جزئی را در مجموعه تمام خطوط در صفحه معرفی کنید.
6. راه های تنظیم توابع را مشخص کنید.
7- کدام یک از عبارات زیر صحیح است؟
الف) هر رابطه باینری یک تابع است.
ب) هر تابع یک رابطه باینری است.
موضوع 3. نمودارها
اولین کار اویلر در مورد نظریه گراف در سال 1736 ظاهر شد. در ابتدا این نظریه با پازل ها و بازی های ریاضی همراه بود. با این حال، بعداً نظریه گراف در توپولوژی، جبر و نظریه اعداد مورد استفاده قرار گرفت. امروزه تئوری گراف در زمینه های مختلف علم، فناوری و عمل کاربرد دارد. در طراحی شبکه های الکتریکی، برنامه ریزی حمل و نقل، ساخت طرح های مولکولی استفاده می شود. نظریه گراف در اقتصاد، روانشناسی، جامعه شناسی و زیست شناسی نیز استفاده می شود.
در این بخش به معرفی محصولات، روابط، توابع و نمودارهای دکارتی می پردازیم. ما خواص این مدل های ریاضی و ارتباط بین آنها را مطالعه می کنیم.
محصول دکارتی و شمارش عناصر آن
ضرب دکارتیمجموعه ها آو بمجموعه ای متشکل از جفت های مرتب شده نامیده می شود: آ´ ب= {(آ,ب): (آÎ آ) & (بÎ ب)}.
برای مجموعه ها الف 1, …, A nمحصول دکارتی با القاء تعریف می شود:
در مورد مجموعه ای دلخواه از شاخص ها من ضرب دکارتی خانواده هامجموعه ( یک آی} من Î منبه عنوان مجموعه ای متشکل از چنین توابعی تعریف می شود f:من® من،آنچه برای همه است منÎ مندرست f(من)Î یک آی .
قضیه 1
اجازه دهید A وB مجموعه های متناهی هستند. سپس |آ´ ب| = |الف|×| ب|.
اثبات
اجازه دهید الف = (a 1,…,صبح), B=(b 1, …,bn). عناصر یک محصول دکارتی را می توان با استفاده از جدول مرتب کرد
(a 1 , b 1 )، (a 1 , b 2)، …, (a 1, b n);
(a 2 ,b 1)، (a 2, b 2)، …، (a 2, b n);
(a m , b 1), (a m , b 2),…, (a m , b n),
شامل nستون هایی که هر کدام از آنها تشکیل شده است مترعناصر. از اینجا | آ´ ب|=دقیقه.
نتیجه 1
اثبات
با کمک القاء در n. بگذارید فرمول برای آن درست باشد n. سپس
روابط
اجازه دهید n³1یک عدد صحیح مثبت است و الف 1, …, A nمجموعه های دلخواه هستند رابطه بین عناصر مجموعه الف 1, …, A nیا رابطه n-aryزیر مجموعه دلخواه نامیده می شود.
روابط و توابع باینری
رابطه باینریبین عناصر مجموعه آو ب(یا به طور خلاصه بین آو ب) زیر مجموعه نامیده می شود آرÍ آ´ ب.
تعریف 1
عملکردیا نقشه برداریسه گانه متشکل از مجموعه نامیده می شود آو بو زیر مجموعه ها fÍ آ´ ب(نمودار تابع) داشتن دو شرط زیر؛
1) برای هر ایکسÎ آچنین وجود دارد yÎ f، چی (ایکس،y)Î f;
2) اگر (ایکس،y)Î fو (ایکس،ز)Î f، سپس y=z.
دیدن آن آسان است fÍ آ´ بیک تابع اگر و فقط اگر برای هر کدام تعریف می کند ایکسÎ آفقط یکی وجود دارد yÎ f، چی ( ایکس,y) Î f. این yبا نشان دادن f(ایکس).
تابع فراخوانی می شود تزریق، در صورت وجود ایکس،ایکس'Î آ، چنین چی ایکس¹ ایکس'، رخ می دهد f(ایکس)¹ f(ایکس'). تابع فراخوانی می شود سرکشیاگر برای هر کدام yÎ بچنین وجود دارد ایکسÎ آ، چی f(ایکس) = y. اگر تابعی تزریقی و سرجکشن باشد، نامیده می شود دوجکشن.
قضیه 2
برای اینکه یک تابع به صورت بیجکشن باشد، لازم و کافی است که تابعی وجود داشته باشد به طوری که fg =شناسه بو gf =شناسه A.
اثبات
اجازه دهید f- بیجکشن به دلیل سوژه بودن fبرای همه yÎ بشما می توانید یک عنصر را انتخاب کنید ایکسÎ آ، برای کدام f(ایکس) = y. به دلیل تزریقی بودن f، این عنصر تنها خواهد بود و ما آن را با علامت گذاری می کنیم g(y) = ایکس. بیایید یک تابع بگیریم.
با ساخت تابع g، برابری هایی وجود دارد f(g(y)) = yو g(f(ایکس)) = ایکس. پس درست است fg =شناسه بو gf =شناسه A. برعکس واضح است: اگر fg =شناسه بو gf =شناسه A،سپس f- اعمال نفوذ f(g(y)) = y، برای همه yÎ ب. در این صورت از دنبال خواهد شد 
، که به معنی . در نتیجه، f- تزریق. از این رو نتیجه می شود که f- بیجکشن
تصویر و نمونه اولیه
اجازه دهید یک تابع باشد. مسیر زیر مجموعه ها ایکسÍ آزیر مجموعه نامیده می شود f(X) = (f(ایکس):ایکسÎ ایکس)Í ببرای YÍ بزیرمجموعه f - -1 (Y) =(ایکسÎ آ:f(ایکس)Î Y)تماس گرفت نمونه اولیه زیر مجموعه هاY.
روابط و نمودارها
روابط دودویی را می توان با استفاده از آن تجسم کرد نمودارهای جهت دار.
تعریف 2
گراف جهت دارجفت مجموعه نامیده می شود (E،v)به همراه چند نمایشگر اس،t:E® V. تنظیم عناصر Vبا نقاط یک صفحه نمایش داده می شوند و فراخوانی می شوند قله ها. موارد از E لبه های جهت دار نامیده می شوندیا فلش ها. هر عنصر هÎ Eبه عنوان یک فلش (احتمالاً منحنی) که راس را به هم متصل می کند به تصویر کشیده شده است s(ه)بالا t(ه).
رابطه باینری دلخواه آرÍ V´ Vمربوط به یک گراف جهت دار با رئوس است vÎ V، که فلش های آن جفت مرتب شده اند (توv)Î آر. نمایش می دهد اس،t:آر® Vبا فرمول های زیر تعیین می شوند:
s(توv) =توو t(توv) =v.
مثال 1
اجازه دهید V = (1،2،3،4).
رابطه را در نظر بگیرید
R = ((1.1)، (1.3)، (1.4)، (2.2)، (2.3)، (2.4)، (3.3)، (4.4)).
با یک نمودار جهت دار مطابقت دارد (شکل 1.2). فلش های این نمودار به صورت جفت خواهند بود (من،ی)Î آر.
برنج. 1.2. گراف رابطه باینری جهت دار
در نمودار جهت‌دار حاصل، هر جفت رئوس حداکثر با یک فلش به هم متصل می‌شوند. چنین نمودارهای جهت دار نامیده می شوند ساده. اگر جهت فلش ها را در نظر نگیریم، به تعریف زیر می رسیم:
تعریف 3
نمودار ساده (غیر جهت دار). G = (V،ه)جفت متشکل از یک مجموعه نامیده می شود Vو بسیاری از E، متشکل از چند جفت نامرتب ( v 1v2) عناصر v 1v2Î Vبه طوری که v1¹ v2. این زوج ها نامیده می شوند دنده، و عناصر از V – قله ها.
برنج. 1.3. نمودار ساده بدون جهت ک 4
بسیاری از Eیک رابطه ضد انعکاسی متقارن دودویی متشکل از جفت ( v 1v2)، برای کدام ( v 1v2} Î E. رئوس یک نمودار ساده به صورت نقطه و یال ها به صورت پاره خط نشان داده می شوند. روی انجیر 1.3 نمودار ساده با رئوس زیاد را نشان می دهد
V ={1, 2, 3, 4}
و دنده های زیادی
E= {{1,2}, {1,3},{1,4}, {2,3}, {2,4}, {3, 4}}.
عملیات روی روابط باینری
رابطه باینریبین عناصر مجموعه آو بیک زیر مجموعه دلخواه نامیده می شود آرÍ آ´ ب. در حال ضبط aRb(در آÎ آ, بÎ ب) یعنی که (آ،ب)Î آر.
عملیات رابطه ای زیر تعریف شده است آرÍ آ´ آ:
· R-1= ((الف، ب): (ب، الف)Î ر);
· آر° S = ((a, b): ($ ایکسÎ الف) (a، x)Î R & (x,b)Î ر);
· R n =آر°(Rn-1);
اجازه دهید شناسه A = ((آ،آ):آÎ آ)- رابطه یکسان نگرش آر Í ایکس´ ایکسبه نام:
1) منعکس کننده، اگر (آ،آ)Î آربرای همه آÎ ایکس;
2) ضد انعکاس، اگر (آ،آ)Ï آربرای همه آÎ ایکس;
3) متقارناگر برای همه آ،بÎ ایکسدلالت درست است aRbÞ سینه بند;
4) پاد متقارن، اگر aRb &سینه بندÞ a=ب;
5) متعدیاگر برای همه آ،بجÎ ایکسدلالت درست است aRb &brcÞ aRc;
6) خطی، برای همه آ،بÎ ایکسدلالت درست است آ¹ بÞ aRbÚ سینه بند.
مشخص کن شناسه Aاز طریق شناسه. به راحتی می توان فهمید که موارد زیر صادق است.
پیشنهاد 1
نگرش آرÍ ایکس´ ایکس:
1) انعکاسی Û شناسهÍ آر;
2) ضد انعکاس Û آرÇ شناسه =Æ ;
3) متقارن Û R=R-1;
4) ضد متقارن Û آرÇ R-1Í شناسه;
5) گذرا Û آر° آرÍ آر;
6) خطی Û آرÈ شناسهÈ R-1=X´ ایکس.
ماتریس رابطه باینری
اجازه دهید آ= {یک 1, یک 2, …, صبح) و ب= {ب 1, ب 2, …, b n) مجموعه های متناهی هستند. ماتریس رابطه باینری آر Í آ ´ بماتریسی با ضرایب نامیده می شود:
اجازه دهید آیک مجموعه متناهی است، | آ| = nو ب= آ. الگوریتم محاسبه ماتریس ترکیب را در نظر بگیرید تی= آر° اسروابط آر, اس Í آ´ آ. ضرایب ماتریس های رابطه را مشخص کنید آر, اسو تیبه ترتیب از طریق ریج, sijو tij.
از آنجایی که ملک ( یک من,یک ک)Î تیمساوی است با وجود چنین یک جÎ آ، چی ( یک من,یک ج)Î آرو ( یک ج,یک ک) Î اس، سپس ضریب تیکاگر و تنها در صورت وجود چنین شاخصی برابر با 1 خواهد بود j، چی ریج= 1 و sjk= 1. در موارد دیگر تیکبرابر 0 است. بنابراین، تیک= 1 اگر و فقط اگر .
این بدان معناست که برای یافتن ماتریس ترکیب روابط، باید این ماتریس ها را ضرب کرد و در حاصل ضرب ماتریس ها، ضرایب غیر صفر را با واحدها جایگزین کرد. مثال زیر نشان می دهد که چگونه ماتریس ترکیب به این روش محاسبه می شود.
مثال 2
یک رابطه باینری را در نظر بگیرید A = (1،2،3)مساوی با R = ((1،2)، (2،3)). بیایید ماتریس رابطه را بنویسیم آر. طبق تعریف، از ضرایب تشکیل شده است r 12 = 1, r23 = 1 و دیگران ریج= 0. از این رو ماتریس رابطه آربرابر است با:
بیایید رابطه را پیدا کنیم آر° آر. برای این منظور ماتریس نسبت را ضرب می کنیم آربه خودم:
.
ماتریس رابطه را بدست می آوریم:
در نتیجه، آر° آر= {(1,2),(1,3),(2,3)}.
گزاره 1 مستلزم نتیجه زیر است.
نتیجه 2
اگر یک آ= ب، سپس نسبت آربر روی آ:
1) به صورت بازتابی اگر و فقط اگر همه عناصر قطر اصلی ماتریس رابطه باشند آربرابر با 1 هستند؛
2) ضد انعکاس اگر و فقط اگر همه عناصر قطر اصلی ماتریس رابطه باشند آر 0 هستند
3) اگر و فقط اگر ماتریس رابطه متقارن است آرمتقارن؛
4) انتقالی اگر و فقط اگر هر ضریب ماتریس رابطه آر° آراز ضریب مربوطه ماتریس نسبت بیشتر نباشد آر.
ارتباط همیشه به عنوان دیده می شود چند کاره روند. روانشناسان کارکردهای ارتباط را بر اساس معیارهای مختلفی تعریف می کنند: عاطفی، اطلاعاتی، اجتماعی، ارتباطی، ترجمه ای، با هدف خودشناسی (A. V. Mudrik)، ایجاد جامعه، خودمختاری (A. B. Dobrovich)، ابراز وجود (A. A. Brudny). انسجام و غیره. اغلب در روانشناسی، کارکردهای ارتباطی مطابق با مدل روابط «انسان-فعالیت-جامعه» در نظر گرفته می شود.
پنج کارکرد اصلی را می توان متمایز کرد: عمل گرایانه، شکل دهنده، تأیید، سازماندهی و حفظ روابط بین فردی، درون فردی (شکل 7).
AT عملکرد عملی ارتباط به عنوان مهمترین شرط برای گرد هم آوردن افراد در فرآیند هر فعالیت مشترک عمل می کند. داستان معروف کتاب مقدس در مورد ساخت برج بابل از عواقب مخربی برای فعالیت افراد در صورت عدم رعایت این شرط می گوید.
برنج. 7.
نقش بزرگی تعلق دارد عملکرد تکوینی ارتباط ارتباط بین یک کودک و یک بزرگسال فقط فرآیند انتقال مجموع مهارت‌ها، مهارت‌ها و دانشی نیست که به طور مکانیکی می‌آموزد، بلکه فرآیندی پیچیده از تأثیر متقابل، غنی‌سازی و تغییر است. نقش حیاتی ارتباط به وضوح در مثال زیر نشان داده شده است. در دهه 30. قرن 20 در ایالات متحده، آزمایشی در دو کلینیک انجام شد که در آن کودکان به دلیل بیماری های جدی و غیرقابل درمان تحت درمان قرار گرفتند. شرایط در هر دو کلینیک یکسان بود، اما با تفاوت هایی: در یکی از بیمارستان ها به دلیل ترس از عفونت، اقوام اجازه ملاقات با نوزاد را نداشتند و در بیمارستان دیگر، در ساعات معینی، والدین می توانستند با کودک صحبت کنند و بازی کنند. یک اتاق مخصوص تعیین شده پس از چند ماه، اثربخشی درمان مقایسه شد. در بخش اول، با وجود تلاش پزشکان، میزان مرگ و میر به یک سوم نزدیک شد. در بخش دوم، که نوزادان با همان وسایل و روش‌ها درمان می‌شدند، حتی یک کودک فوت نکرد.
تابع تایید در فرآیند ارتباط، شناخت، تأیید خود را ممکن می کند. انسان برای تثبیت خود در وجود و ارزش خود، به دنبال جای پایی در شخص دیگری است. تجربه روزمره ارتباطات انسانی مملو از رویه هایی است که طبق اصل تأیید سازماندهی شده اند: تشریفات آشنایی، احوالپرسی، نامگذاری، ارائه نشانه های مختلف توجه. روان‌پزشک مشهور انگلیسی R. D. Laing بدون تأیید منبع جهانی بسیاری از بیماری‌های روانی، در درجه اول اسکیزوفرنی را دید.
میان فردی برای هر شخصی با ارزیابی افراد و ایجاد روابط عاطفی خاص - مثبت یا منفی - همراه است. بنابراین، یک نگرش عاطفی نسبت به شخص دیگر را می توان در قالب "همدردی - ضدیت" بیان کرد، که نشان خود را نه تنها در ارتباطات شخصی، بلکه در ارتباطات تجاری نیز می گذارد.
عملکرد درون فردی به عنوان یک روش جهانی تفکر بشری در نظر گرفته می شود. L. S. Vygotsky در این رابطه خاطرنشان کرد که "یک فرد، حتی با خودش تنها، عملکرد ارتباط را حفظ می کند."
بنابراین، اهمیت پیشرو ارتباط در زندگی انسان این است که وسیله ای برای سازماندهی فعالیت های مشترک افراد و راهی برای ارضای نیاز یک فرد به فرد دیگر، تماس زنده آنهاست.
ارتباط به عنوان یک پدیده روانی-اجتماعی، تماس بین افراد است که از طریق زبان و گفتار صورت می‌گیرد، شکل‌های متفاوتی دارد. زبان سیستمی از نشانه های کلامی است که به وسیله آن ارتباط بین افراد برقرار می شود. استفاده از زبان برای برقراری ارتباط بین افراد، گفتار نامیده می شود. بسته به ویژگی های ارتباط، انواع مختلف آن متمایز می شود (شکل 8).
با تماس با طرف مقابل، ارتباط می تواند مستقیم و غیرمستقیم باشد.
ارتباط مستقیم (مستقیم) - این یک ارتباط طبیعی است، زمانی که موضوعات تعامل نزدیک هستند و از طریق گفتار، حالات چهره و حرکات ارتباط برقرار می کنند.
برنج. هشت
این نوع ارتباط کامل ترین است، زیرا در فرآیند آن افراد حداکثر اطلاعات را در مورد یکدیگر دریافت می کنند.
ارتباط واسطه ای (غیر مستقیم). در شرایطی انجام می شود که افراد بر اساس زمان یا فاصله از یکدیگر جدا می شوند. به عنوان مثال: صحبت با تلفن، مکاتبه. هنگامی که بازخورد دشوار است، ارتباط میانجی یک تماس روانی ناقص است.
ارتباط می تواند بین فردی یا جمعی باشد. ارتباط جمعی نشان دهنده تماس های متعدد غریبه ها و همچنین ارتباط با واسطه انواع مختلف رسانه های جمعی است. ممکن است مستقیم و واسطه شد. ارتباط جمعی مستقیم در راهپیمایی ها، جلسات، تظاهرات، در همه گروه های اجتماعی بزرگ مشاهده می شود: جمعیت، مردم، حضار. ارتباطات جمعی با واسطه شخصیتی یک طرفه دارد و با فرهنگ و رسانه های جمعی مرتبط است.
با توجه به معیار برابری شرکا در ارتباطات بین فردی (شکل 9)، دو نوع متمایز می شود: گفت و گو و مونولوگ.
ارتباط دیالوگ- تعامل مساوی موضوع و موضوع، با هدف شناخت متقابل، تمایل به دستیابی به اهداف هر شریک.
ارتباط مونولوگبا موقعیت‌های نابرابر شرکا تحقق می‌یابد و نشان‌دهنده رابطه موضوع-ابژه است. می تواند امری ضروری و دستکاری باشد. ارتباط ضروری- شکلی مستبدانه و دستوری از تعامل با یک شریک به منظور دستیابی به کنترل بر رفتار، نگرش ها، افکار و اجبار به اعمال یا تصمیمات خاص. علاوه بر این، این هدف پوشیده نیست. ارتباط دستکاری- شکلی از ارتباط بین فردی که در آن تأثیر بر شریک ارتباطی به صورت پنهانی برای رسیدن به مقاصد آنها انجام می شود.
برنج. 9.
دو نوع ارتباط وجود دارد - نقشی و شخصی. AT ارتباط نقشافراد بر اساس موقعیت خود عمل می کنند. برای مثال ارتباط معلم و دانش آموزان، مدیر مغازه با کارگران و... نقش آفرینی خواهد کرد. ارتباط نقش با قوانین پذیرفته شده در جامعه و ویژگی های درمان تنظیم می شود. ارتباط شخصیبستگی به ویژگی های فردی افراد و رابطه بین آنها دارد.
ارتباط می تواند کوتاه مدت یا بلند مدت باشد که بستگی به اهداف، محتوای فعالیت، ویژگی های فردی طرفین، علاقه، ناپسندی آنها و غیره دارد.
تبادل اطلاعات می تواند از طریق تعامل کلامی و غیرکلامی انجام شود. ارتباط کلامیاز طریق گفتار اتفاق می افتد غیر کلامی- با کمک ابزارهای فرازبانی برای انتقال اطلاعات (بلندی گفتار، صدای صدا، حرکات، حالات چهره، حالت ها).
ارتباطات در سطوح مختلف صورت می گیرد. سطوح ارتباطات توسط فرهنگ عمومی اشیاء متقابل، ویژگی های فردی و شخصی آنها، ویژگی های موقعیت، کنترل اجتماعی، جهت گیری های ارزشی کسانی که ارتباط برقرار می کنند، رابطه آنها با یکدیگر تعیین می شود (شکل 10).
برنج. ده
ابتدایی ترین سطح ارتباط فاتیک(از لات. fatuus - احمق). این شامل تبادل ساده اظهارات برای حفظ مکالمه است، معنای عمیقی ندارد. چنین ارتباطی در شرایط استاندارد ضروری است یا با هنجارهای آداب معاشرت تعیین می شود.
اطلاعاتیسطح ارتباط شامل تبادل اطلاعات جدید جالب برای طرفین است که منبع فعالیت عاطفی، ذهنی، رفتاری فرد است.
شخصیسطح ارتباط چنین تعاملی را مشخص می کند که در آن افراد قادر به افشای عمیق خود و درک ماهیت شخص دیگر، خود و دنیای اطراف خود هستند. این بر اساس یک نگرش مثبت نسبت به خود، دیگران و جهان اطراف شما به عنوان یک کل ساخته شده است. این بالاترین سطح معنوی ارتباط است.
بارگذاری...