Движение ролика по наклонной плоскости. Как работают наклонные плоскости? Наклонная плоскость и силы, действующие на тело, находящееся на ней

Аналогично рычагу , наклонные плоскости уменьшают усилие, необходимое для подъема тел. Например, бетонный блок весом 45 килограммов поднять руками довольно сложно, однако втащить его наверх по наклонной плоскости вполне возможно. Вес тела, размещенного на наклонной плоскости, раскладывается на две составляющие, одна из которых параллельна, а другая перпендикулярна ее поверхности. Для перемещения блока вверх по наклонной плоскости человек должен преодолеть только параллельную составляющую, величина которой растет с увеличением угла наклона плоскости.

Наклонные плоскости весьма разнообразны по конструктивному выполнению. Например, винт состоит из наклонной плоскости (резьбы), обвивающей по спирали его цилиндрическую часть. При вворачивании винта в деталь, его резьба проникает в тело детали, образуя очень прочное соединение за счет большого трения между деталью и витками резьбы. Тиски преобразуют действие рычага и вращательное движение винта в линейную сдавливающую силу. По такому же принципу работает и домкрат, используемый для подъема тяжелых грузов.

Силы на наклонной плоскости

У тела, находящегося на наклонной плоскости, сила тяжести действует параллельно и перпендикулярно ее поверхности. Для перемещения тела вверх по наклонной плоскости необходима сила, равная по величине составляющей силы тяжести, параллельной поверхности плоскости.

Наклонные плоскости и винты

Родство винта с наклонной плоскостью легко проследить, если обернуть цилиндр разрезанным по диагонали листом бумаги. Образующаяся спираль идентична по расположению резьбе винта.

Силы, действующие на винт

При повороте винта его резьба создает очень большую силу, приложенную к материалу детали, в которую он ввернут. Эта сила тащит винт вперед, если он поворачивается по часовой стрелке, и назад, если он поворачивается против часовой стрелки.

Винт для подъема тяжестей

Вращающиеся винты домкратов развивают огромную силу, позволяя им поднимать столь тяжелые тела как легковые или грузовые автомобили. При повороте центрального винта рычагом два конца домкрата стягиваются вместе, производя необходимый подъем.

Наклонные плоскости для расщепления

Клин состоит из двух наклонных плоскостей, соединенных своими основаниями. При забивании клина в дерево наклонные плоскости развивают боковые силы, достаточные для расщепления самых прочных пиломатериалов.

Сила и работа

Несмотря на то, что наклонная плоскость может облегчить задачу, она не уменьшает количество работы, требующееся для ее выполнения. Подъем бетонного блока весом 45 кг (W) на 9 метров вертикально вверх (дальний рисунок справа) требует совершения работы 45x9 килограммометров, что соответствует произведению веса блока на величину перемещения. Когда блок находится на наклонной плоскости с углом наклона 44,5°, сила (F), необходимая для втаскивания блока, уменьшается до 70 процентов от его веса. Хотя это и облегчает перемещение блока, зато теперь, чтобы, поднять блок на высоту 9 метров, его необходимо тащить по плоскости 13 метров. Другими словами выигрыш в силе равен высоте подъема (9 метров), деленной на длину перемещения по наклонной плоскости (13 метров).

Движение тела по наклонной плоскости - это классический пример движения тела под действием нескольких несонаправленных сил. Стандартный метод решения задач о такого рода движении состоит в разложении векторов всех сил по компонентам, направленным вдоль координатных осей. Такие компоненты являются линейно независимыми. Это позволяет записать второй закон Ньютона для компонент вдоль каждой оси отдельно. Таким образом второй закон Ньютона, представляющий собой векторное уравнение, превращается в систему из двух (трех для трехмерного случая) алгебраических уравнений.

Силы, действующие на брусок,
случай ускоренного движения вниз

Рассмотрим тело, которое соскальзывает вниз по наклонной плоскости. В этом случае на него действуют следующие силы:

• Сила тяжести mg , направленная вертикально вниз;
• Сила реакции опоры N , направленная перпендикулярно плоскости;
• Сила трения скольжения F тр, направлена противоположно скорости (вверх вдоль наклонной плоскости при соскальзывании тела)

При решении задач, в которых фигурирует наклонная плоскость часто удобно ввести наклонную систему координат, ось OX которой направлена вдоль плоскости вниз. Это удобно, потому что в этом случае придется раскладывать на компоненты только один вектор - вектор силы тяжести mg , а вектора силы трения F тр и силы реакции опоры N уже направлены вдоль осей. При таком разложении x-компонента силы тяжести равна mg sin(α ) и соответствует «тянущей силе», ответственной за ускоренное движение вниз, а y-компонента - mg cos(α ) = N уравновешивает силу реакции опоры, поскольку вдоль оси OY движение тела отсутствует.
Сила трения скольжения F тр = µN пропорциональна силе реакции опоры. Это позволяет получить следующее выражение для силы трения: F тр = µmg cos(α ). Эта сила противонаправлена «тянущей» компоненте силы тяжести. Поэтому для тела, соскальзывающего вниз , получаем выражения суммарной равнодействующей силы и ускорения:

F x = mg (sin(α ) – µ cos(α ));
a x = g (sin(α ) – µ cos(α )).

Не трудно видеть, что если µ < tg(α ), то выражение имеет положительный знак и мы имеем дело с равноускоренным движением вниз по наклонной плоскости. Если же µ > tg(α ), то ускорение будет иметь отрицательный знак и движение будет равнозамедленным. Такое движение возможно только в случае, если телу придана начальная скорость по направлению вниз по склону. В этом случае тело будет постепенно останавливаться. Если при условии µ > tg(α ) предмет изначально покоится, то он не будет начинать соскальзывать вниз. Здесь сила трения покоя будет полностью компенсировать «тянущую» компоненту силы тяжести.

Когда коэффициент трения в точности равен тангенсу угла наклона плоскости: µ = tg(α ), мы имеем дела с взаимной компенсацией всех трех сил. В этом случае, согласно первому закону Ньютона тело может либо покоиться, либо двигаться с постоянной скоростью (При этом равномерное движение возможно только вниз).

Силы, действующие на брусок,
скользящий по наклонной плоскости:
случай замедленного движения вверх

Однако, тело может и заезжать вверх по наклонной плоскости. Примером такого движения является движение хоккейной шайбы вверх по ледяной горке. Когда тело движется вверх, то и сила трения и «тянущая» компонента силы тяжести направлены вниз вдоль наклонной плоскости. В этом случае мы всегда имеем дело с равнозамедленным движением, поскольку суммарная сила направлена в противоположную скорости сторону. Выражение для ускорения для этой ситуации получается аналогичным образом и отличается только знаком. Итак для тела, скользящего вверх по наклонной плоскости , имеем.

Букина Марина, 9 В

Движение тела по наклонной плоскости

с переходом на горизонтальную

В качестве исследуемого тела я взяла монету достоинством 10 рублей (грани ребристые).

Технические характеристики:

Диаметр монеты – 27,0 мм;

Масса монеты - 8,7 г;

Толщина - 4 мм;

Монета изготовлена из сплава латунь-мельхиор.

За наклонную плоскость я решила принять книгу длиной 27 см. Она и будет являться наклонной плоскостью. Горизонтальная же плоскость неограниченная, т. к. цилиндрическое тело, а в дальнейшем монета, скатываясь с книги, будет продолжать свое движение на полу (паркетная доска). Книга поднята на высоту 12 см от пола; угол между вертикальной плоскостью и горизонтальной равен 22 градусам.

В качестве дополнительного оборудования для измерений были взяты: секундомер, линейка обыкновенная, длинная нить, транспортир, калькулятор.

На Рис.1. схематичное изображение монеты на наклонной плоскости.

Выполним пуск монеты.

Полученные результаты занесем в таблицу 1

Таблица 1

Траектория движения монеты во всех опытах была различна, но некоторые части траектории были похожи. По наклонной плоскости монета двигалась прямолинейно, а при движении на горизонтальной плоскости – криволинейно.

На Рисунке 2 изображены силы, действующие на монету во время её движения по наклонной плоскости:

С помощью II Закона Ньютона выведем формулу для нахождения ускорения монеты (по Рис.2.):

Для начала, запишем формулу II Закона Ньютона в векторном виде.

Где - ускорение, с которым движется тело, - равнодействующая сила (силы, действующие на тело), https://pandia.ru/text/78/519/images/image008_3.gif" width="164" height="53">, на наше тело во время движения действуют три силы: сила тяжести (Fтяж), сила трения (Fтр) и сила реакции опоры (N);

Избавимся от векторов, при помощи проецирования на оси X и Y:

Где - коэффициент трения

Т. к. у нас нет данных о числовом значении коэффициента трения монеты о нашу плоскость, воспользуемся другой формулой:

Где S – путь, пройденный телом, V0- начальная скорость тела, а – ускорение, с которым двигалось тело, t – промежуток времени движения тела.

т. к. ,

в ходе математических преобразований получаем следующую формулу:

При проецировании этих сил на ось Х (Рис.2.) видно, что направления векторов пути и ускорения совпадают, запишем полученную форму, избавившись от векторов:

За S и t примем средние значения из таблицы, найдем ускорение и скорость (по наклонной плоскости тело двигалось прямолинейно равноускоренно).

https://pandia.ru/text/78/519/images/image021_1.gif" align="left" width="144" height="21">

Аналогично найдём ускорение тела на горизонтальной плоскости (по горизонтальной плоскости тело двигалось прямолинейно равнозамедленно)

R=1, 35 см, где R – радиус монеты

где - угловая скорость, -центростремительное ускорение, - частота обращения тела по окружности

Движение тела по наклонной плоскости с переходом на горизонтальную – прямолинейное равноускоренное, сложное, которое можно разделить на вращательное и поступательное движения.

Движение тела на наклонной плоскости является прямолинейным равноускоренным.

По II Закону Ньютона видно, что ускорение зависит только от равнодействующей силы (R), а она на протяжении всего пути по наклонной плоскости остается величиной постоянной, т. к. в конечной формуле, после проецирования II Закона Ньютона, величины, задействованные в формуле являются постоянными https://pandia.ru/text/78/519/images/image029_1.gif" width="15" height="17">поворота из некоторого начального положения.

Поступательным называется такое движение абсолютно твердого тела, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. Все точки тела, движущегося поступательно, в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения, а их траектории полностью совмещаются при параллельном переносе.

Факторы, влияющие на время движения тела

по наклонной плоскости

с переходом на горизонтальную

Зависимость времени от монет разного достоинства (т. е. имеющих разный d (диаметр)).

Таблица 2

Чем больше диаметр монеты, тем больше время её движения.

Зависимость времени от угла наклона

Таблица 3

На поверхности Земли сила тяжести (гравитация ) постоянна и равна произведению массы падающего тела на ускорение свободного падения: F g = mg

Следует заметить, что ускорение свободного падения величина постоянная: g=9,8 м/с 2 , и направлена к центру Земли. Исходя из этого можно сказать, что тела с разной массой будут падать на Землю одинаково быстро. Как же так? Если бросить с одинаковой высоты кусочек ваты и кирпич, то последний проделает свой путь до земли быстрее. Не забывайте о сопротивлении воздуха! Для ваты оно будет существенным, поскольку ее плотность очень мала. В безвоздушном пространстве кирпич и вата упадут одновременно.

Шар движется по наклонной плоскости длиной 10 метров, угол наклона плоскости 30°. Какова будет скорость шара в конце плоскости?

На шар действует только сила тяжести F g , направленная вниз перпендикулярно к основанию плоскости. Под действием этой силы (составляющей, направленной вдоль поверхности плоскости) шар будет двигаться. Чему будет равна составляющая силы тяжести, действующей вдоль наклонной плоскости?

Для определения составляющей необходимо знать угол между вектором силы F g и наклонной плоскостью.

Определить угол довольно просто:

• сумма углов любого треугольника равна 180°;
• угол между вектором силы F g и основанием наклонной плоскости равен 90°;
• угол между наклонной плоскостью и ее основанием равен α

Исходя из вышесказанного, искомый угол будет равен: 180° - 90° - α = 90° - α

Из тригонометрии:

F g накл = F g ·cos(90°-α)

Sinα = cos(90°-α)

F g накл = F g ·sinα

Это действительно так:

• при α=90° (вертикальная плоскость) F g накл = F g
• при α=0° (горизонтальная плоскость) F g накл = 0

Определим ускорение шара из известной формулы:

F g ·sinα = m·a

A = F g ·sinα/m

A = m·g·sinα/m = g·sinα

Ускорение шара вдоль наклонной плоскости не зависит от массы шара, а только от угла наклона плоскости.

Определяем скорость шара в конце плоскости:

V 1 2 - V 0 2 = 2·a·s

(V 0 =0) - шар начинает движение с места

V 1 2 = √2·a·s

V = 2·g·sinα·S = √2·9,8·0,5·10 = √98 = 10 м/с

Обратите внимание на формулу! Скорость тела в конце наклонной плоскости будет зависеть только от угла наклона плоскости и ее длины.

В нашем случае скорость 10 м/с в конце плоскости будет иметь и бильярдный шар, и легковой автомобиль, и самосвал, и школьник на санках. Конечно же, трение мы не учитываем.

Динамика является одним из важных разделов физики, который изучает причины движения тел в пространстве. В данной статье рассмотрим с точки зрения теории одну из типичных задач динамики — движение тела по наклонной плоскости, а также приведем примеры решений некоторых практических проблем.

Основная формула динамики

Прежде чем переходить к изучению физики движения тела по плоскости наклонной, приведем необходимые теоретические сведения для решения этой задачи.

В XVII Исаак Ньютон благодаря практическим наблюдениям за движением макроскопических окружающих тел вывел три закона, носящих в настоящее время его фамилию. На этих законах зиждется вся классическая механика. Нас интересует в данной статье лишь второй закон. Его математический вид приведен ниже:

Формула говорит о том, что действие внешней силы F¯ придаст ускорение a¯ телу массой m. Это простое выражение будем далее использовать для решения задач движения тела по плоскости наклонной.

Отметим, что сила и ускорение — это величины векторные, направленные в одну и ту же сторону. Кроме того, сила — это аддитивная характеристика, то есть в приведенной формуле F¯ можно рассматривать как результирующее воздействие на тело.

Наклонная плоскость и силы, действующие на тело, находящееся на ней

Ключевым моментом, от которого зависит успех решения задач движения тела по плоскости наклонной, является определение действующих на тело сил. Под определением сил понимают знание их модулей и направлений действия.

Ниже дан рисунок, где показано, что тело (автомобиль) находится в покое на наклоненной под углом к горизонту плоскости. Какие силы на него действуют?

Список ниже перечисляет эти силы:

• тяжести;
• реакции опоры;
• трения;
• натяжения нити (если присутствует).

Сила тяжести

В первую очередь это сила тяжести (F g). Она направлена вертикально вниз. Поскольку тело имеет возможность двигаться только вдоль поверхности плоскости, то при решении задач силу тяжести разлагают на две взаимно перпендикулярные составляющие. Одна из составляющих направлена вдоль плоскости, другая — перпендикулярна ей. Только первая из них приводит к появлению у тела ускорения и, по сути, является единственным движущим фактором для рассматриваемого тела. Вторая составляющая обуславливает возникновение силы реакции опоры.

Реакция опоры

Второй действующей на тело силой является реакция опоры (N). Причина ее появления связана с третьим законом Ньютона. Величина N показывает, с какой силой плоскость воздействует на тело. Она направлена вверх перпендикулярно плоскости наклонной. Если бы тело находилось на горизонтальной поверхности, то N равнялась бы его весу. В рассматриваемом же случае N равна лишь второй составляющей, полученной при разложении силы тяжести (см. абзац выше).

Реакция опоры не оказывает прямого воздействия на характер движения тела, поскольку она перпендикулярна плоскости наклона. Тем не менее она обуславливает появление трения между телом и поверхностью плоскости.

Сила трения

Третьей силой, которую следует учитывать при исследовании движения тела по наклонной плоскости, является трение (F f). Физическая природа трения является непростой. Ее появление связано с микроскопическими взаимодействиями соприкасающихся тел, имеющих неоднородные поверхности контакта. Выделяют три вида этой силы:

• покоя;
• скольжения;
• качения.

Трение покоя и скольжения описываются одной и той же формулой:

где µ — это безразмерный коэффициент, значение которого определяется материалами трущихся тел. Так, при трении скольжения дерева о дерево µ = 0,4, а льда о лед — 0,03. Коэффициент для трения покоя всегда больше такового для скольжения.

Трение качения описывается по отличной от предыдущей формуле. Она имеет вид:

Здесь r — радиус колеса, f — коэффициент, имеющий размерность обратной длины. Эта сила трения, как правило, намного меньше предыдущих. Заметим, что на ее значение влияет радиус колеса.

Сила F f , какого бы типа она ни была, всегда направлена против движения тела, то есть F f стремится остановить тело.

Натяжение нити

При решении задач движения тела по наклонной плоскости эта сила не всегда присутствует. Ее появление определяется тем, что находящееся на наклонной плоскости тело связано с помощью нерастяжимой нити с другим телом. Часто второе тело свисает на нити через блок за пределами плоскости.

На находящийся на плоскости предмет, сила натяжение нити воздействует либо ускоряя его, либо замедляя. Все зависит от модулей сил, действующих в физической системе.

Появление этой силы в задаче значительно усложняет процесс решения, поскольку приходится рассматривать одновременно движение двух тел (на плоскости и свисающего).

Задача на определение критического угла

Теперь пришло время применить описанную теорию для решения реальных задач движения по наклонной плоскости тела.

Предположим, что брус из дерева имеет массу 2 кг. Он находится на деревянной плоскости. Следует определить, при каком критическом угле наклона плоскости брус начнет по ней скользить.

Скольжение бруса наступит только тогда, когда суммарная действующая вниз вдоль плоскости сила на него окажется больше нуля. Таким образом, чтобы решить эту задачу, достаточно определить результирующую силу и найти угол, при котором она станет больше нуля. Согласно условию задачи на брус будут вдоль плоскости оказывать действие только две силы:

• составляющая силы тяжести F g1 ;
• трение покоя F f .

Чтобы началось скольжение тела, должно выполняться условие:

Отметим, что если составляющая силы тяжести превысит трение покоя, то она также будет больше силы трения скольжения, то есть начавшееся движение будет продолжаться с постоянным ускорением.

Рисунок ниже показывает направления всех действующих сил.

Обозначим критический угол символом θ. Несложно показать, что силы F g1 и F f будут равны:

F g1 = m × g × sin(θ);

F f = µ × m × g × cos(θ).

Здесь m × g — это вес тела, µ — коэффициент силы трения покоя для пары материалов дерево-дерево. Из соответствующей таблицы коэффициентов можно найти, что он равен 0,7.

Подставляем найденные величины в неравенство, получаем:

m × g × sin(θ) ≥ µ × m × g × cos(θ).

Преобразуя это равенство, приходим к условию движения тела:

tg(θ) ≥ µ =>

θ ≥ arctg(µ).

Мы получили весьма интересный результат. Оказывается, значение критического угла θ не зависит от массы тела на наклонной плоскости, а однозначно определяется коэффициентом трения покоя µ. Подставляя его значение в неравенство, получим величину критического угла:

θ ≥ arctg(0,7) ≈ 35 o .

Задача на определение ускорения при движении по наклонной плоскости тела

Теперь решим несколько иную задачу. Пусть на стеклянной наклонной плоскости находится брус из дерева. Плоскость к горизонту наклонена под углом 45 o . Следует определить, с каким ускорением будет двигаться тело, если его масса равна 1 кг.

Запишем главное уравнение динамики для этого случая. Поскольку сила F g1 будет направлена вдоль движения, а F f против него, то уравнение примет вид:

F g1 — F f = m × a.

Подставляем полученные в предыдущей задаче формулы для сил F g1 и F f , имеем:

m × g × sin(θ) — µ × m × g × cos(θ) = m × a.

Откуда получаем формулу для ускорения:

a = g × (sin(θ) — µ × cos(θ)).

Снова мы получили формулу, в которой нет массы тела. Этот факт означает, что бруски любой массы будут соскальзывать за одно и то же время по наклонной плоскости.

Учитывая, что коэффициент µ для трущихся материалов дерево-стекло равен 0,2, подставим все параметры в равенство, получим ответ:

Таким образом, методика решения задач с наклонной плоскостью заключается в определении результирующей силы, действующей на тело, и в последующем применении второго закона Ньютона.

Физика: движение тела по наклонной плоскости. Примеры решения и задачи — все интересные факты и достижения науки и образования на сайт