Сфера, вписанная в цилиндр Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается его оснований и боковой поверхности (касается каждой образующей). При

Сфера и шар Сфера есть множество всех точек пространства, которые находятся на данном расстоянии от данной точки. Точка О называется центром сферы. Любой отрезок, соединяющий центр сферы с какой- либо точкой сферы, называется радиусом сферы(R) Прямая АВ называется осью, а точки А и В пересечения ее со сферой полюсами сферы. Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы(KN) Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр(АВ) R N K

Шар Шаром с центром в точке О и радиуса R называется множество всех точек пространства, находящихся от точки О на расстоянии, не превосходящем R. Шаром называется тело, ограниченное сферой. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра(АВ) Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра полюсами шара. Поверхность шара называется сферой. R A B

Часть шара (сферы), отсекаемая от него какой-либо плоскостью (ABC), называется шаровым сегментом. Круг ABC называется основанием шарового сегмента. Отрезок MN перпендикуляра, проведенного из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, называется высотой шарового сегмента. Точка M называется вершиной шарового сегмента. Шаровой сегмент Формулы: V=1/3П 2 H(3R-H)

Шаровой слой Часть сферы, заключённая между двумя параллельными плоскостями ABC и DEF, пересекающими сферическую поверхность, называется шаровым слоем Кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом. Круги ABC и DEF – основания шарового пояса. Расстояние NK между основаниями шарового пояса – его высота.

Сфера, вписанная в конас Сфера называется вписанной в конас, если она касается всех образующих конаса и его основания. В любой конас можно вписать сферу. Центр сферы лежит на оси конаса и является центром окружности, вписанной в осевое сечение конаса. Формулы радиуса шара, вписанного в конас: R - радиус вписанного шара, r - радиус основания конаса, l - длина образующей конаса, H - высота конаса, A - угол наклона образующей конаса к его основанию. l H l r Формулы: R=rtgA/2 R=Hr/(l+r) L r R R O1 A A/2

Задача 1 Задача 1. В конас вписан шар радиуса r. Найти объем конаса, если его высота равна h. Решение: Осевое сечение данной комбинации шара и конаса – это равнобедренный треугольник PAB, описанный вокруг окружности с центром О и радиусом R, PC = h – высота конаса, OD PB. Объем конаса Так как поэтому или откуда Следовательно, Ответ:

Задача 2 В шар радиуса R вписан конас, высота которого Н. Найдите угол между образующей конаса и плоскостью основания. Рассмотрим диаметральное сечение шара, как показано на рисунке б). Как известно угол между прямой и плоскостью есть угол между этой прямой и её проекцией на эту плоскость. В нашем случае АВ - прямая, а АР - проекция. ОР=ВР-ОВ=H-R(где H-высота конаса,R-радиус сферы) Из прямоугольного треугольника ОАР определим катет АР по теореме Пифагора: R H Ответ: O

Конас Ко́нас тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конаса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конасом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конаса, а конас называют опирающимся на данное основание). Если основание конаса представляет собой многоугольник, конас становится пирамидой. Геометрическое тело, создаваемое вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов

Элементы и части конаса Вершина точка при неподвижном остром угле вращающегося прямоугольного треугольника, образующего конас. Основание круг, ограничивающий конас, описываемый подвижным катетом образующего треугольника. Высота отрезок, перпендикулярный основанию, проходящий через вершину, неподвижный катет образующего треугольника, а также длина этого отрезка. Образующая отрезок, соединяющий вершину и точку на окружности, ограничивающей основание, гипотенуза описывающего треугольника. Боковая поверхность коническая поверхность, ограничивающая конас, образуемая гипотенузой образующего треугольника. o p БОКОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ОБРАЗУЮЩАЯ ОСНОВАНИЕ КОНУСА РАДИУС ВЕРШИНА ОСЬ

Усеченный конас Усеченным конасом называют тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции около боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Круги O и O1 - его основания, его образующие AA1 равны между собой, прямая OO1 - ось, отрезок OO1 - высота. Его осевое сечение - равнобедренная трапеция.

Связанные определения Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конаса. Прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конаса. Круговой конас конас, основание которого является кругом. Конас, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конасом (последние два имеют бесконечный объём). Часть конаса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конасом.

Конас, вписанный в окружность Шар называется описанным около многогранника, а многогранник вписанным в шар, если поверхность шара проходит через все вершины многогранника. Шар называется описанным около усеченного конаса (конаса), если окружности оснований (окружность основания и вершина)принадлежат поверхности шара. Центр шара, описанного около многогранника, лежит в точке пересечения плоскостей, перпендикулярных ко всем ребрам многогранника и проходящих через их середины. Он может быть расположен внутри, на поверхности и вне многогранника. Конас вписан в сферу (сфера описана около конаса), если его вершина принадлежит сфере, а основание является сечением шара (AOC), ограниченного данной сферой Около конаса всегда можно описать шар. Его центр лежит на оси конаса и совпадает с центром окружности, описанной около треугольника, являющегося осевым сечением конаса. A B AC O Формулы: R 2 =(H-R) 2 +r 2 R-радиус шара r- радиус основания конаса H-высота конаса

\[{\Large{\text{Цилиндр}}}\]

Рассмотрим окружность \(C\) с центром \(O\) радиуса \(R\) на плоскости \(\alpha\) . Через каждую точку окружности \(C\) проведем прямую перпендикулярно плоскости \(\alpha\) . Поверхность, образованная этими прямыми, называется цилиндрической поверхностью .
Сами прямые называются образующими данной поверхности.

Проведем теперь через некоторую точку некоторой образующей плоскость \(\beta\parallel \alpha\) . Множество точек, по которым образующие пересекут плоскость \(\beta\) , образует окружность \(C"\) , равную окружности \(C\) .
Часть пространства, ограниченная двумя кругами \(K\) и \(K"\) с границами \(C\) и \(C"\) соответственно, а также частью цилиндрической поверхности, заключенной между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) , называется цилиндром .

Круги \(K\) и \(K"\) называются основаниями цилиндра; отрезки образующих, заключенных между плоскостями, – образующими цилиндра; часть цилиндрической поверхности, образованная ими, - боковой поверхностью цилиндра. Отрезок, соединяющий центры оснований цилиндра равен образующей цилиндра и равен высоте цилиндра (\(l=h\) ).

Теорема

Площадь боковой поверхности цилиндра равна \

где \(R\) – радиус основания цилиндра, \(h\) – высота (образующая).

Теорема

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и площадей обоих оснований \

Теорема

Объем цилиндра вычисляется по формуле \

\[{\Large{\text{Конус}}}\]

Рассмотрим плоскость \(\alpha\) и на ней окружность \(C\) с центром \(O\) и радиусом \(R\) . Через точку \(O\) проведем прямую, перпендикулярную плоскости \(\alpha\) . Отметим на этой прямой некоторую точку \(P\) . Поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через точку \(P\) и каждую точку окружности \(C\) , называется конической поверхностью , а эти прямые – образующими конической поверхности. Часть пространства, ограниченная кругом с границей \(C\) и отрезками образующих, заключенными между точкой \(P\) и точкой на окружности, называется конусом . Отрезки \(PA\) , где \(A\in \text{окр. } C\) , называются образующими конуса ; точка \(P\) – вершина конуса; круг с границей \(C\) – основание конуса; отрезок \(PO\) – высота конуса.

Замечание

Заметим, что у конуса высота и образующая не равны друг другу, как было в случае с цилиндром.

Теорема

Площадь боковой поверхности конуса равна \

где \(R\) – радиус основания конуса, \(l\) – образующая.

Теорема

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади боковой поверхности и площадей основания \

Теорема

Объем конуса вычисляется по формуле \

Замечание

Заметим, что цилиндр в каком-то смысле является призмой, только в основании находится не многоугольник (как у призмы), а круг.
Формула объема цилиндра такая же, как и формула объема призмы: произведение площади основания на высоту.

Аналогично конус в каком-то смысле является пирамидой. Поэтому формула объема конуса такая же, как и у пирамиды: треть площади основания на высоту.

\[{\Large{\text{Сфера и шар}}}\]

Рассмотрим множество точек пространства, равноудаленных от некоторой точки \(O\) на расстояние \(R\) . Это множество называется сферой с центром в точке \(O\) радиуса \(R\) .
Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр называется диаметром сферы.

Сфера вместе со своей внутренностью называется шаром .

Теорема

Площадь сферы вычисляется по формуле \

Теорема

Объем шара вычисляется по формуле \

Определение

Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от него некоторой плоскостью.
Пусть плоскость пересекла шар по кругу \(K\) с центром в точке \(Q\) . Соединим точки \(O\) (центр шара) и \(Q\) и продлим этот отрезок до пересечения со сферой – получим радиус \(OP\) . Тогда отрезок \(QP\) называется высотой сегмента.

Теорема

Пусть \(R\) – радиус шара, \(h\) – высота сегмента, то объем шарового сегмента равен \

Определение

Шаровой слой – это часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими этот шар. Круги, по которым плоскости пересекают шар, называются основаниями шарового слоя, отрезок, соединяющий центры оснований – высотой шарового слоя.
Две оставшиеся части шара являются в этом случае шаровыми сегментами.

Объем шарового слоя равен разности объема шара и объемов шаровых сегментов с высотами \(AP\) и \(BT\) .

Решение задач на конус, вписанный в шар (конус, вписанный в сферу) сводится к рассмотрению одного или нескольких треугольников.

Конус вписан в шар, если его вершина и окружность основания лежат на поверхности шара, то есть на сфере. Центр шара лежит на оси конуса.

При решении задач на конус, вписанный в шар, удобно рассматривать сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара. Сечение представляет собой большой круг шара (то есть круг, радиус которого равен радиусу шара) с вписанным в него равнобедренным треугольником — осевым сечением конуса. Боковые стороны этого треугольника — образующие конуса, основание — диаметр конуса.

Если угол между образующими острый, центр описанного круга лежит внутри треугольника (соответственно, центр описанного около конуса шара — внутри конуса).

Если угол между образующими прямой, центр круга лежит на середине основания треугольника (центр шара совпадает с центром основания конуса).

Если угол между образующими тупой, центр круга лежит вне треугольника (центр описанного шара — вне конуса).

Если в условии задачи не сказано, где именно лежит центр описанного шара, желательно рассмотреть, как могут повлиять на решение различные варианты его расположения.

Рассмотрим конуса и описанного около него шара плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара. Здесь SO=H — высота конуса, SB=l — образующая конуса,SO1=O1B=R — радиус шара, OB=r — радиус основания конуса, ∠OSB=α — угол между высотой и образующей конуса.

Треугольник SO1B — равнобедренный с основанием SB (так как SO1=O1B=R). Значит, у него углы при основании равны: ∠OSB=∠O1BS=α, и O1F — медиана, высота и биссектриса. Отсюда SF=l/2.

При решении задач на конус, вписанный в шар, можно рассмотреть прямоугольные треугольники SFO1 и SOB. Они подобны (по острому углу S). Из подобия треугольников

В прямоугольном треугольнике SOB ∠OBS=90º — ∠OSB=90º-α. По теореме Пифагора

В прямоугольном треугольнике O1OB ∠OBO1=90º — ∠O1BS=90º — α — α=90º — 2α.

Сфера, вписанная в конус Сфера называется вписанной в конус, если она касается его основания и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом конус называется описанным около сферы. В любой конус (прямой, круговой) можно вписать сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, вписанной в треугольник, являющийся осевым сечением конуса. Напомним, что радиус r окружности, вписанный в треугольник, находится по формуле r  S p , где S – площадь, p – полупериметр треугольника.

Упражнение 3 Радиус основания конуса равен 1. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 45о. Найдите радиус вписанной сферы. Решение. Высота SH конуса 2 равна 1. Образующая.  1 Полупериметр p равен 2. По формуле r = S/p, имеем  2 1.  2 1.  r  1  1 2 r  Ответ:

Упражнение 4 Высота конуса равна 8, образующая 10. Найдите радиус вписанной сферы. Решение. Радиус основания конуса равен 6. Площадь треугольника SFG равна 48, полупериметр 16. По формуле r = S/p имеем r = 3. Ответ: r = 3.

Сфера, описанная около конуса Сфера называется описанной около конуса, если вершина и окружность основания конуса лежат на сфере. При этом конус называется вписанным в сферу. Около любого конуса (прямого, кругового) можно описать сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, описанной около треугольника, являющимся осевым сечением конуса. Напомним, что радиус R окружности, описанной около треугольника, abc находится по формуле S 4 , где S – площадь, a, b, c – стороны треугольника. R 

Упражнение 1 Около конуса, радиус основания которого равен 1, а образующая равна 2, описана сфера. Найдите ее радиус. Решение. Треугольник SAB равносторонний со стороной 2. Высота SH равна Площадь S равна По формуле R = abc/4S 3. получаем 3. R  2 3 3 .

Упражнение 2 Около конуса, радиус основания которого равен 4, описана сфера радиуса 5. Найдите высоту h конуса. Решение. Имеем, OB = 5, HB = 4. Следовательно, OH = 3. Учитывая, что SO = OB = 5, получаем h = 8. Ответ: h = 8.

Многогранники, вписанные в сферу Теорема. Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания этой призмы можно описать окружность. Ее центром будет серединой отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований призмы. Радиус сферы R вычисляется по формуле точка O, являющаяся где h – высота призмы, r – радиус окружности, описанной около основания призмы. R   r 2 , 2 h   2   

Упражнение 1 Найдите радиус сферы, описанной около единичного куба. Ответ: R  3 2 .

Упражнение 2 Найдите ребро куба, вписанного в единичную сферу. Ответ: a  2 3 3 .

«Вписанный угол» - Дано: __А. Повторение материала. Найди ошибку в формулировках: Зная, как выражается. Величина центрального угла. Величина вписанного угла. Проблема № 1: Сравнить величину внешнего угла и угла при основании. Чем похожи и чем различаются углы АОВ и АСВ? По рисунку б). найти величину внешнего угла. Построение перпендикулярных прямых.

«Измерение углов» - Острый, прямой, тупой, развернутый углы. Измерение углов. Транспортир применяют для построения углов. Можно приложить транспортир по другому. Прямой угол. Тупой угол. Транспортир применяют для измерения углов. Острый угол. Развернутый угол. Какой угол образует часовая и минутная стрелки часов:

«Теорема о вписанном угле» - Как называется угол с вершиной в центре окружности. Понятие вписанного угла. Найти угол между хордами. Ответ. Решение. Теорема о вписанном угле. Треугольник. Закрепление изученного материала. Острый угол. Проверь себя. Найти угол между ними. Правильный ответ. Актуализация знаний учащихся. Радиус окружности.

«Угол и его измерение» - Часовая и минутная стрелки часов образуют в 5 часов тупой угол. Построение углов. На клетчатой бумаге. Развернутый угол. Тупой угол. Острый угол. Для измерения углов применяют транспортир. Прямым углом называют половину развернутого угла. Измерение углов. С помощью транспортира. Углы измеряют в градусах.

«Угол, вписанный в окружность» - Следствия. Укажите изображенные на рисунке вписанные углы. Вписанный угол. Какой угол называется центральным. Цели урока. Угол, вершина которого лежит на окружности. Случаи расположения луча. Найдите. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Какие из углов, изображенных на рисунке, являются вписанными.