Ako opísať kruh okolo rovnoramenného lichobežníka. Zapamätajte si a aplikujte vlastnosti lichobežníka

Ak je kruh vpísaný do lichobežníka, problém má niekoľko ciest, na ktorých možno usudzovať.

1. Kruh možno vpísať do štvoruholníka práve vtedy, ak sú súčty dĺžok jeho protiľahlých strán rovnaké. Z toho vyplýva Ak je kruh vpísaný do lichobežníka, potom sa súčet jeho základov rovná súčtu strán.

AB+CD=AD+BC

2. Dotykové segmenty nakreslené z jedného bodu sú rovnaké. Z toho vyplýva

3. Výška lichobežníka sa rovná dĺžke priemeru vpísanej kružnice alebo dvoch jej polomerov.

MK je výška lichobežníka, MK=2r, kde r je polomer kružnice vpísanej do lichobežníka.

4. Stred kružnice je priesečníkom osí uhlov lichobežníka.

Pozrime sa na základný problém.

Nájdite polomer kružnice vpísanej do lichobežníka, ak bod dotyku rozdeľuje stranu na segmenty dĺžky m a n (CF=m, FD=n).

1) ∠ADC+∠BCD=180º (ako súčet vnútorných jednostranných uhlov pre rovnobežky AD a BC a sečnicu CD);

2) keďže bod O je priesečníkom priesečníkov rohov lichobežníka, potom ∠ODF+∠OCF=1/2∙(∠ADC+∠BCD)=90º;

3) keďže súčet uhlov trojuholníka je 180º, potom v trojuholníku COD ∠COD=90º;

4) trojuholník COD je teda pravouhlý a OF je nadmorská výška k prepone, CF a FD sú projekcie nôh OC a OD k prepone. Keďže výška pritiahnutá k prepone je medzi výbežkami nôh na preponu,

Polomer kružnice vpísanej do lichobežníka je teda vyjadrený dĺžkami segmentov, pretože bočná strana je rozdelená bodom dotyku, ako

A keďže výška lichobežníka sa rovná jeho priemeru, možno výšku lichobežníka vyjadriť dĺžkami týchto segmentov.

Lichobežník je špeciálny prípad štvoruholníka, v ktorom je jeden pár strán rovnobežný. Pojem „lichobežník“ pochádza z gréckeho slova τράπεζα, čo znamená „stôl“, „stôl“. V tomto článku sa pozrieme na typy lichobežníka a jeho vlastnosti. Okrem toho prídeme na to, ako vypočítať jednotlivé prvky tohto Napríklad uhlopriečku rovnoramenného lichobežníka, stredovú čiaru, plochu atď. Materiál je prezentovaný v štýle elementárnej populárnej geometrie, teda v ľahko dostupnej forme .

Všeobecné informácie

Po prvé, poďme zistiť, čo je štvoruholník. Tento obrázok je špeciálny prípad mnohouholníka, ktorý obsahuje štyri strany a štyri vrcholy. Dva vrcholy štvoruholníka, ktoré nesusedia, sa nazývajú opačné. To isté možno povedať o dvoch nesusediacich stranách. Hlavné typy štvoruholníkov sú rovnobežník, obdĺžnik, kosoštvorec, štvorec, lichobežník a deltoid.

Vráťme sa teda k lichobežníkom. Ako sme už povedali, tento obrazec má dve rovnobežné strany. Nazývajú sa základne. Ďalšie dve (neparalelné) sú bočné strany. V materiáloch skúšok a rôznych testov často nájdete problémy súvisiace s lichobežníkmi, ktorých riešenie často vyžaduje, aby študent mal znalosti, ktoré nie sú v programe uvedené. Kurz školskej geometrie oboznamuje študentov s vlastnosťami uhlov a uhlopriečok, ako aj so stredovou čiarou rovnoramenného lichobežníka. Ale okrem toho má spomínaný geometrický útvar aj iné črty. Ale o nich trochu neskôr...

Typy lichobežníka

Existuje mnoho typov tejto postavy. Najčastejšie je však zvyčajné zvážiť dva z nich - rovnoramenné a obdĺžnikové.

1. Obdĺžnikový lichobežník je obrazec, ktorého jedna zo strán je kolmá na základne. Jej dva uhly sa vždy rovnajú deväťdesiatim stupňom.

2. Rovnoramenný lichobežník je geometrický útvar, ktorého strany sú si navzájom rovné. To znamená, že uhly na základniach sú rovnaké aj v pároch.

Hlavné princípy metodiky štúdia vlastností lichobežníka

Hlavným princípom je využitie tzv. task approach. V skutočnosti nie je potrebné zavádzať nové vlastnosti tohto útvaru do teoretického kurzu geometrie. Môžu byť objavené a formulované v procese riešenia rôznych problémov (najlepšie systémových). Zároveň je veľmi dôležité, aby učiteľ vedel, aké úlohy je potrebné v tom či onom čase počas vzdelávacieho procesu žiakom zadať. Okrem toho môže byť každá vlastnosť lichobežníka reprezentovaná ako kľúčová úloha v systéme úloh.

Druhým princípom je takzvaná špirálová organizácia štúdia „pozoruhodných“ vlastností lichobežníka. To znamená návrat v procese učenia sa k jednotlivým znakom daného geometrického útvaru. Študenti si ich tak ľahšie zapamätajú. Napríklad vlastnosť štyroch bodov. Dá sa to dokázať tak pri štúdiu podobnosti, ako aj následným použitím vektorov. A ekvivalenciu trojuholníkov susediacich s bočnými stranami obrazca možno dokázať použitím nielen vlastností trojuholníkov s rovnakou výškou nakreslených na strany, ktoré ležia na rovnakej priamke, ale aj použitím vzorca S = 1/2( ab*sinα). Okrem toho môžete pracovať na vpísanom lichobežníku alebo pravouhlom trojuholníku na vpísanom lichobežníku atď.

Používanie „mimoškolských“ prvkov geometrického útvaru v obsahu školského kurzu je technológiou založenou na úlohách na ich výučbu. Neustále odvolávanie sa na študované vlastnosti pri preberaní iných tém umožňuje študentom získať hlbšie vedomosti o lichobežníku a zabezpečuje úspešnosť riešenia zadaných úloh. Začnime teda študovať túto nádhernú postavu.

Prvky a vlastnosti rovnoramenného lichobežníka

Ako sme už uviedli, tento geometrický útvar má rovnaké strany. Je tiež známy ako správny lichobežník. Prečo je taký pozoruhodný a prečo dostal také meno? Zvláštnosťou tohto obrázku je, že nielen strany a uhly na základniach sú rovnaké, ale aj uhlopriečky. Okrem toho súčet uhlov rovnoramenného lichobežníka je 360 ​​stupňov. Ale to nie je všetko! Zo všetkých známych lichobežníkov možno ako kruh označiť iba rovnoramenný. Je to spôsobené tým, že súčet opačných uhlov tohto obrázku sa rovná 180 stupňom a iba za tejto podmienky možno opísať kruh okolo štvoruholníka. Ďalšou vlastnosťou uvažovaného geometrického útvaru je, že vzdialenosť od vrcholu základne k priemetu opačného vrcholu na priamku, ktorá obsahuje túto základňu, sa bude rovnať stredovej čiare.

Teraz poďme zistiť, ako nájsť uhly rovnoramenného lichobežníka. Uvažujme o riešení tohto problému za predpokladu, že sú známe rozmery strán obrázku.

Riešenie

Typicky sa štvoruholník zvyčajne označuje písmenami A, B, C, D, kde BS a AD sú základne. V rovnoramennom lichobežníku sú strany rovnaké. Budeme predpokladať, že ich veľkosť sa rovná X a veľkosti základov sa rovnajú Y a Z (menšie a väčšie). Na vykonanie výpočtu je potrebné nakresliť výšku H z uhla B. Výsledkom je pravouhlý trojuholník ABN, kde AB je prepona a BN a AN sú nohy. Vypočítame veľkosť nohy AN: menšiu odčítame od väčšej základne a výsledok vydelíme 2. Zapíšeme ho vo forme vzorca: (Z-Y)/2 = F. Teraz vypočítame akút. uhla trojuholníka, použijeme funkciu cos. Dostaneme nasledujúci záznam: cos(β) = X/F. Teraz vypočítame uhol: β=arcos (X/F). Ďalej, keď poznáme jeden uhol, môžeme určiť druhý, preto vykonáme elementárnu aritmetickú operáciu: 180 - β. Všetky uhly sú definované.

Existuje druhé riešenie tohto problému. Najprv ju spustíme z rohu do výšky H. Vypočítame hodnotu nohy BN. Vieme, že druhá mocnina prepony pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov nôh. Dostaneme: BN = √(X2-F2). Ďalej použijeme goniometrickú funkciu tg. Výsledkom je: β = arctan (BN/F). Bol nájdený ostrý uhol. Ďalej ju definujeme podobne ako pri prvej metóde.

Vlastnosť uhlopriečok rovnoramenného lichobežníka

Najprv si napíšme štyri pravidlá. Ak sú uhlopriečky v rovnoramennom lichobežníku kolmé, potom:

Výška postavy sa bude rovnať súčtu základov vydelených dvoma;

Jeho výška a stredová čiara sú rovnaké;

Stred kruhu je bod, v ktorom ;

Ak je bočná strana rozdelená bodom dotyku na segmenty H a M, potom sa rovná druhej odmocnine súčinu týchto segmentov;

Štvoruholník, ktorý tvoria dotykové body, vrchol lichobežníka a stred vpísanej kružnice, je štvorec, ktorého strana sa rovná polomeru;

Plocha postavy sa rovná súčinu základov a súčinu polovice súčtu základov a jeho výšky.

Podobné lichobežníky

Táto téma je veľmi vhodná na štúdium vlastností tohto Napríklad uhlopriečky rozdeľujú lichobežník na štyri trojuholníky a tie, ktoré susedia so základňami, sú podobné a tie, ktoré susedia so stranami, majú rovnakú veľkosť. Toto tvrdenie možno nazvať vlastnosťou trojuholníkov, na ktoré je lichobežník rozdelený svojimi uhlopriečkami. Prvá časť tohto tvrdenia je dokázaná znakom podobnosti v dvoch uhloch. Na dôkaz druhej časti je lepšie použiť metódu uvedenú nižšie.

Dôkaz vety

Akceptujeme, že obrazec ABSD (AD a BS sú základne lichobežníka) je rozdelený uhlopriečkami VD a AC. Ich priesečník je O. Získame štyri trojuholníky: AOS - na spodnej základni, BOS - na hornej základni, ABO a SOD po stranách. Trojuholníky SOD a BOS majú spoločnú výšku, ak segmenty BO a OD sú ich základňami. Zistili sme, že rozdiel medzi ich plochami (P) sa rovná rozdielu medzi týmito segmentmi: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Preto PSOD = PBOS/K. Podobne trojuholníky BOS a AOB majú spoločnú výšku. Za ich základ berieme segmenty CO a OA. Dostaneme PBOS/PAOB = CO/OA = K a PAOB = PBOS/K. Z toho vyplýva, že PSOD = PAOB.

Na upevnenie učiva sa študentom odporúča nájsť súvislosť medzi plochami výsledných trojuholníkov, na ktoré je lichobežník rozdelený svojimi uhlopriečkami, riešením nasledujúcej úlohy. Je známe, že trojuholníky BOS a AOD majú rovnaké plochy, je potrebné nájsť oblasť lichobežníka. Keďže PSOD = PAOB, znamená to PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Z podobnosti trojuholníkov BOS a AOD vyplýva, že BO/OD = √(PBOS/PAOD). Preto PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Dostaneme PSOD = √(PBOS*PAOD). Potom PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Vlastnosti podobnosti

Pokračujúc v rozvíjaní tejto témy môžeme dokázať ďalšie zaujímavé vlastnosti lichobežníkov. Pomocou podobnosti je teda možné dokázať vlastnosť segmentu, ktorý prechádza bodom tvoreným priesečníkom uhlopriečok tohto geometrického útvaru rovnobežne so základňami. Aby sme to urobili, vyriešme nasledujúci problém: musíme nájsť dĺžku úsečky RK, ktorá prechádza bodom O. Z podobnosti trojuholníkov AOD a BOS vyplýva, že AO/OS = AD/BS. Z podobnosti trojuholníkov AOP a ASB vyplýva, že AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Odtiaľ dostaneme, že RO=BS*BP/(BS+BP). Podobne z podobnosti trojuholníkov DOC a DBS vyplýva, že OK = BS*AD/(BS+AD). Odtiaľ dostaneme, že RO=OK a RK=2*BS*AD/(BS+AD). Segment prechádzajúci priesečníkom uhlopriečok, rovnobežný so základňami a spájajúci dve bočné strany, je priesečníkom rozdelený na polovicu. Jeho dĺžka je harmonickým priemerom podstavcov postavy.

Zvážte nasledujúcu vlastnosť lichobežníka, ktorá sa nazýva vlastnosť štyroch bodov. Priesečníky uhlopriečok (O), priesečník pokračovania strán (E), ako aj stredy základní (T a F) ležia vždy na tej istej priamke. To sa dá ľahko dokázať pomocou metódy podobnosti. Výsledné trojuholníky BES a AED sú podobné a v každom z nich mediány ET a EJ rozdeľujú vrcholový uhol E na rovnaké časti. Preto body E, T a F ležia na rovnakej priamke. Rovnakým spôsobom sa body T, O a Zh nachádzajú na rovnakej priamke.To všetko vyplýva z podobnosti trojuholníkov BOS a AOD. Z toho vyvodíme, že všetky štyri body - E, T, O a F - budú ležať na rovnakej priamke.

Pomocou podobných lichobežníkov môžete požiadať študentov, aby našli dĺžku segmentu (LS), ktorý rozdeľuje postavu na dve podobné. Tento segment musí byť rovnobežný so základňami. Keďže výsledné lichobežníky ALFD a LBSF sú podobné, potom BS/LF = LF/AD. Z toho vyplýva, že LF=√(BS*AD). Zistili sme, že úsečka rozdeľujúca lichobežník na dva podobné má dĺžku rovnajúcu sa geometrickému priemeru dĺžok podstav obrázku.

Zvážte nasledujúcu vlastnosť podobnosti. Je založená na segmente, ktorý rozdeľuje lichobežník na dve rovnaké postavy. Predpokladáme, že lichobežník ABSD je rozdelený segmentom EH na dva podobné. Z vrcholu B je vynechaná výška, ktorá je segmentom EN rozdelená na dve časti - B1 a B2. Získame: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 a PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Ďalej zostavíme systém, ktorého prvá rovnica je (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 a druhá (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Z toho vyplýva, že B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) a BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Zistili sme, že dĺžka úsečky rozdeľujúcej lichobežník na dva rovnaké sa rovná strednej odmocnine dĺžok základní: √((BS2+AD2)/2).

Zistenia podobnosti

Dokázali sme teda, že:

1. Segment spájajúci stredy bočných strán lichobežníka je rovnobežný s AD a BS a rovná sa aritmetickému priemeru BS a AD (dĺžka základne lichobežníka).

2. Priamka prechádzajúca bodom O priesečníka uhlopriečok rovnobežných s AD a BS sa bude rovnať harmonickému priemeru čísel AD a BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Úsečka rozdeľujúca lichobežník na podobné má dĺžku geometrického priemeru báz BS a AD.

4. Prvok rozdeľujúci obrazec na dva rovnaké má dĺžku strednej odmocniny čísel AD a BS.

Na upevnenie materiálu a pochopenie spojenia medzi uvažovanými segmentmi ich študent potrebuje skonštruovať pre konkrétny lichobežník. Dokáže ľahko zobraziť strednú čiaru a segment, ktorý prechádza bodom O - priesečníkom uhlopriečok obrazca - rovnobežne so základňami. Kde sa však bude nachádzať tretí a štvrtý? Táto odpoveď privedie žiaka k objaveniu požadovaného vzťahu medzi priemernými hodnotami.

Segment spájajúci stredy uhlopriečok lichobežníka

Zvážte nasledujúcu vlastnosť tohto obrázku. Predpokladáme, že úsečka MH je rovnobežná so základňami a pretína uhlopriečky. Priesečníky nazvime Ш a Ш. Tento segment sa bude rovnať polovici rozdielu báz. Pozrime sa na to podrobnejšie. MS je stredná čiara trojuholníka ABS, rovná sa BS/2. MSH je stredná čiara trojuholníka ABD, rovná sa AD/2. Potom dostaneme, že ShShch = MSh-MSh, teda ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Ťažisko

Pozrime sa, ako je tento prvok určený pre daný geometrický útvar. K tomu je potrebné predĺžiť základne v opačných smeroch. Čo to znamená? Spodnú základňu musíte pridať k hornej základni - v ľubovoľnom smere, napríklad vpravo. A spodnú predĺžime o dĺžku vrchnej doľava. Ďalej ich spojíme diagonálne. Priesečník tohto segmentu so stredovou čiarou obrázku je ťažisko lichobežníka.

Vpísané a ohraničené lichobežníky

Vymenujme vlastnosti takýchto postáv:

1. Lichobežník môže byť vpísaný do kruhu, len ak je rovnoramenný.

2. Lichobežník môže byť opísaný okolo kruhu za predpokladu, že súčet dĺžok ich základní sa rovná súčtu dĺžok strán.

Dôsledky incircle:

1. Výška opísaného lichobežníka sa vždy rovná dvom polomerom.

2. Strana opísaného lichobežníka sa pozoruje od stredu kruhu v pravom uhle.

Prvý dôsledok je zrejmý, ale na preukázanie druhého je potrebné preukázať, že uhol SOD je správny, čo v skutočnosti tiež nie je ťažké. Ale znalosť tejto vlastnosti vám umožní použiť pri riešení problémov pravouhlý trojuholník.

Teraz špecifikujme tieto dôsledky pre rovnoramenný lichobežník vpísaný do kruhu. Zistili sme, že výška je geometrickým priemerom základov obrázku: H=2R=√(BS*AD). Pri nácviku základnej techniky riešenia úloh pre lichobežníky (princíp kreslenia dvoch výšok) musí žiak vyriešiť nasledujúcu úlohu. Predpokladáme, že BT je výška rovnoramennej postavy ABSD. Je potrebné nájsť segmenty AT a TD. Pomocou vyššie opísaného vzorca to nebude ťažké.

Teraz poďme zistiť, ako určiť polomer kruhu pomocou oblasti ohraničeného lichobežníka. Znížime výšku z vrcholu B na základňu AD. Keďže kruh je vpísaný do lichobežníka, potom BS+AD = 2AB alebo AB = (BS+AD)/2. Z trojuholníka ABN nájdeme sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Dostaneme PABSD = (BS+BP)*R, z čoho vyplýva, že R = PABSD/(BS+BP).

Všetky vzorce pre stredovú čiaru lichobežníka

Teraz je čas prejsť na posledný prvok tohto geometrického útvaru. Poďme zistiť, čomu sa rovná stredná čiara lichobežníka (M):

1. Cez základy: M = (A+B)/2.

2. Cez výšku, základňu a rohy:

M = A-H*(ctga+ctgp)/2;

M = B+N*(ctga+ctgp)/2.

3. Cez výšku, uhlopriečky a uhol medzi nimi. Napríklad D1 a D2 sú uhlopriečky lichobežníka; α, β - uhly medzi nimi:

M = Dl*D2*sina/2N = Dl*D2*sinp/2N.

4. Priechodná plocha a výška: M = P/N.

Ako nájsť obvod lichobežníka?

V závislosti od podmienok sa to dá urobiť rôznymi spôsobmi. Neexistuje žiadny hotový vzorec pre polomer kružnice opísanej okolo lichobežníka.

I. Polomer kružnice opísanej okolo lichobežníka ako polomer kružnice opísanej okolo trojuholníka, ktorého vrcholy sú vrcholmi lichobežníka.

Kružnica opísaná lichobežníka prechádza všetkými jeho vrcholmi, preto je opísaná pre ktorýkoľvek z trojuholníkov, ktorých vrcholy sú vrcholmi lichobežníka.

Vo všeobecnosti ho možno nájsť pomocou jedného zo vzorcov

kde a je strana trojuholníka, α je uhol oproti nemu;

alebo podľa vzorca

kde a, b, c sú strany, S je plocha trojuholníka.

Pre lichobežník ABCD možno polomer nájsť napríklad ako polomer kružnice opísanej trojuholníku ABD:

kde sínus uhla A možno nájsť z pravouhlého trojuholníka ABF:

III. Polomer kružnice opísanej okolo lichobežníka ako vzdialenosť k priesečníku odvesníc

Polomer kružnice opísanej je priesečníkom kolmic so stranami lichobežníka. (Môžete uvažovať inak: v rovnoramennom trojuholníku AOD (AO=OD=R) je výška ON zároveň stredom. Pre trojuholník BOC platí to isté.)

Ak je známa výška lichobežníka KN=h, môžu byť základne AD=a, BC=b označené ON=x.

Ak stred kruhu leží vo vnútri lichobežníka, OK=h-x, z pravých trojuholníkov ANO a BKO môžeme vyjadriť

a prirovnať pravé strany

Vyriešením týchto rovníc pre x môžete nájsť R.

IV. Ak je uhlopriečka lichobežníka kolmá na stranu, stred opísanej kružnice leží v strede väčšej základne a polomer je polovica väčšej základne.

Projektová práca „Zaujímavé vlastnosti lichobežníka“ Vypracovali: žiaci 10. ročníka Kudzaeva Ellina Bazzaeva Diana Stredná škola MCOU s. N.Batako Hlava: Gagieva A.O. 20. novembra 2015

Cieľ práce: Zvážiť vlastnosti lichobežníka, ktoré sa neštudujú v školskom kurze geometrie, ale pri riešení geometrických úloh Jednotnej štátnej skúšky z rozšírenej časti C 4 môže byť potrebné poznať a vedieť uplatniť presne tieto vlastnosti.

Vlastnosti lichobežníka: Ak je lichobežník rozdelený priamkou rovnobežnou s jeho základňami rovnými aab, na dva rovnaké lichobežníky. Potom sa segment k tejto čiare, uzavretý medzi bočnými stranami, rovná a B to

Vlastnosť úsečky prechádzajúcej priesečníkom uhlopriečok lichobežníka. Úsečka rovnobežná so základňami prechádzajúca priesečníkom uhlopriečok sa rovná: a v c

Vlastnosti lichobežníka: Úsečka priamky rovnobežná so základňami lichobežníka, uzavretá vo vnútri lichobežníka, je svojimi uhlopriečkami rozdelená na tri časti. Potom sa segmenty susediace so stranami navzájom rovnajú. MP = OK R M O K

Vlastnosti rovnoramenného lichobežníka: Ak je možné do lichobežníka vpísať kružnicu, potom je polomer kružnice priemerom úmerným segmentom, na ktoré dotykový bod delí stranu. O S V A D. E O

Vlastnosti rovnoramenného lichobežníka: Ak stred opísanej kružnice leží na základni lichobežníka, potom je jeho uhlopriečka kolmá na stranu O A B C D

Vlastnosti rovnoramenného lichobežníka: Kruh možno vpísať do rovnoramenného lichobežníka, ak sa bočná strana rovná jeho stredovej čiare. S V A D h

1) Ak zadanie úlohy hovorí, že kruh je vpísaný do pravouhlého lichobežníka, môžete použiť nasledujúce vlastnosti: 1. Súčet základov lichobežníka sa rovná súčtu strán. 2. Vzdialenosti od vrcholu lichobežníka k dotykovým bodom vpísanej kružnice sú rovnaké. 3. Výška pravouhlého lichobežníka sa rovná jeho menšej strane a rovná sa priemeru vpísanej kružnice. 4. Stred vpísanej kružnice je priesečníkom osí uhlov lichobežníka. 5. Ak dotykový bod rozdeľuje stranu na segmenty m a n, potom sa polomer vpísanej kružnice rovná

Vlastnosti pravouhlého lichobežníka, do ktorého je vpísaná kružnica: 1) Štvoruholník tvorený stredom vpísanej kružnice, bodmi dotyku a vrcholom lichobežníka - štvorec, ktorého strana sa rovná polomeru. (AMOE a BKOM sú štvorce so stranou r). 2) Ak je kruh vpísaný do obdĺžnikového lichobežníka, potom sa plocha lichobežníka rovná súčinu jeho základní: S=AD*BC

Dôkaz: Plocha lichobežníka sa rovná súčinu polovice súčtu jeho základní a jeho výšky: Označme CF=m, FD=n. Keďže vzdialenosti od vrcholov k dotykovým bodom sú rovnaké, výška lichobežníka sa rovná dvom polomerom vpísanej kružnice a

I. Osy uhlov na bočnej strane lichobežníka sa pretínajú pod uhlom 90°. 1)∠ABC+∠BAD=180º (ako vnútorná jednostranná s AD∥BC a sečnicou AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º (keďže osy pretínajú uhly). 3) Keďže súčet uhlov trojuholníka je 180º, v trojuholníku ABK máme: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, teda ∠AKB=180-90=90º. Záver: Priečnice uhla na bočnej strane lichobežníka sa pretínajú v pravom uhle. Toto tvrdenie sa používa pri riešení úloh na lichobežníku, do ktorého je vpísaný kruh.

I I. Priesečník bisektorov lichobežníka susediacich s bočnou stranou leží na strednej čiare lichobežníka. Nech priesečník uhla ABC pretína stranu AD v bode S. Potom je trojuholník ABS rovnoramenný so základňou BS, čo znamená, že jeho priesečník AK je zároveň stredom, čiže bod K je stredom BS. Ak M a N sú stredy bočných strán lichobežníka, potom MN je stredná čiara lichobežníka a MN∥AD. Keďže M a K sú stredy AB a BS, potom MK je stredová čiara trojuholníka ABS a MK∥AS. Pretože bodom M môže byť nakreslená iba jedna rovnobežná čiara s touto čiarou, bod K leží na strednej čiare lichobežníka.

III. Priesečník osí ostrých uhlov na základni lichobežníka patrí inej základni. V tomto prípade sú trojuholníky ABK a DCK rovnoramenné so základňami AK a DK. Teda BC=BK+KC=AB+CD. Záver: Ak sa osy ostrých uhlov lichobežníka pretínajú v bode patriacom menšej základni, potom sa menšia základňa rovná súčtu bočných strán lichobežníka. Rovnoramenný lichobežník má v tomto prípade menšiu základňu, ktorá je dvakrát väčšia ako jeho strana.

I V. Priesečník osí tupých uhlov na základni lichobežníka patrí inej základni. V tomto prípade sú trojuholníky ABF a DCF rovnoramenné so základňami BF a CF. Preto AD=AF+FD=AB+CD. Záver: Ak sa osy tupých uhlov lichobežníka pretínajú v bode patriacom väčšej základni, potom sa väčšia základňa rovná súčtu bočných strán lichobežníka. V tomto prípade má rovnoramenný lichobežník väčšiu základňu, ktorá je dvakrát väčšia ako jeho strana.

Ak je možné vpísať rovnoramenný lichobežník so stranami a, b, c, d a okolo neho nakresliť kruhy, potom je plocha lichobežníka

Lichobežník je geometrický útvar so štyrmi uhlami. Pri konštrukcii lichobežníka je dôležité vziať do úvahy, že dve protiľahlé strany sú rovnobežné a ostatné dve, naopak, nie sú navzájom rovnobežné. Toto slovo prišlo do modernej doby zo starovekého Grécka a znelo ako „trapedzion“, čo znamenalo „stôl“, „jedálenský stôl“.

Tento článok hovorí o vlastnostiach lichobežníka ohraničeného okolo kruhu. Pozrieme sa aj na typy a prvky tejto figúry.

Prvky, typy a charakteristiky lichobežníka geometrického útvaru

Rovnobežné strany na tomto obrázku sa nazývajú základne a tie, ktoré nie sú rovnobežné, sa nazývajú strany. Za predpokladu, že strany majú rovnakú dĺžku, lichobežník sa považuje za rovnoramenný. Lichobežník, ktorého strany ležia kolmo na základňu pod uhlom 90°, sa nazýva pravouhlý.

Táto zdanlivo jednoduchá postava má značné množstvo vlastností, ktoré sú jej vlastné, zdôrazňujúce jej vlastnosti:

1. Ak nakreslíte strednú čiaru po stranách, bude rovnobežná so základňami. Tento segment sa bude rovnať 1/2 rozdielu základov.
2. Pri konštrukcii osy z ľubovoľného rohu lichobežníka sa vytvorí rovnostranný trojuholník.
3. Z vlastností lichobežníka opísaného okolo kruhu je známe, že súčet rovnobežných strán sa musí rovnať súčtu základov.
4. Pri konštrukcii diagonálnych segmentov, kde jedna zo strán je základňou lichobežníka, budú výsledné trojuholníky podobné.
5. Pri konštrukcii diagonálnych segmentov, kde jedna zo strán je bočná, budú mať výsledné trojuholníky rovnakú plochu.
6. Ak budeme pokračovať v bočných čiarach a zostrojíme segment zo stredu základne, vytvorený uhol bude rovný 90°. Segment spájajúci základne sa bude rovnať 1/2 ich rozdielu.

Vlastnosti lichobežníka opísaného okolo kruhu

Uzavrieť kruh do lichobežníka je možné len pod jednou podmienkou. Touto podmienkou je, že súčet strán sa musí rovnať súčtu základní. Napríklad pri konštrukcii lichobežníka AFDM je použiteľné AF + DM = FD + AM. Iba v tomto prípade môže byť kruh uzavretý v lichobežníku.

Takže viac o vlastnostiach lichobežníka opísaného okolo kruhu:

1. Ak je kruh uzavretý v lichobežníku, potom na nájdenie dĺžky jeho čiary, ktorá pretína postavu na polovicu, je potrebné nájsť 1/2 súčtu dĺžok strán.
2. Pri konštrukcii lichobežníka opísaného okolo kruhu je vytvorená prepona totožná s polomerom kruhu a výška lichobežníka je zároveň priemerom kruhu.
3. Ďalšou vlastnosťou rovnoramenného lichobežníka ohraničeného okolo kruhu je, že jeho strana je okamžite viditeľná zo stredu kruhu pod uhlom 90°.

Trochu viac o vlastnostiach lichobežníka uzavretého v kruhu

Do kruhu možno vpísať iba rovnoramenný lichobežník. To znamená, že je potrebné splniť podmienky, za ktorých bude zostrojený lichobežník AFDM spĺňať nasledovné požiadavky: AF + DM = FD + MA.

Ptolemaiova veta hovorí, že v lichobežníku uzavretom v kruhu je súčin uhlopriečok rovnaký a rovný súčtu vynásobených protiľahlých strán. To znamená, že pri konštrukcii kružnice opísanej okolo lichobežníka AFDM platí: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

Pomerne často sa na školských skúškach vyskytujú problémy, ktoré si vyžadujú riešenie problémov s lichobežníkom. Veľké množstvo teorémov sa musí naučiť naspamäť, ale ak sa ich nemôžete naučiť hneď, nevadí. Najlepšie je pravidelne sa uchýliť k radám v učebniciach, aby sa vám tieto znalosti bez väčších ťažkostí zmestili do hlavy.