Vektör uzunluğu bilinen nokta koordinatlarını bulun. Vektör koordinatlarının uzunluğunu bulmak

Vektörün uzunluğunu (dikdörtgen koordinat sisteminde), vektörün başlangıcının ve sonunun koordinatlarına göre ve kosinüs teoremi (2 vektör ve aralarındaki açı) göre, vektörün uzunluğunu bulun.

Vektör - Bu, yönlendirilmiş kesme çizgisidir.Bu segmentin uzunluğu, vektörün sayısal değerini belirler ve denirvektör uzunluğu veya vektör modülü.

1. Vektör uzunluğunun koordinatları ile hesaplanması

Vektör koordinatları düz (iki boyutlu) dikdörtgen koordinat sisteminde verilirse, yani. X ve A y bilinen, sonra vektörün uzunluğu formül tarafından bulunabilir.

Uzayda bir vektör durumunda, üçüncü bir koordinat eklenir

MS Excel ifadesinde \u003d Kök (Summkv (B8: B9)) Vektör modülünü hesaplamanızı sağlar (vektörün koordinatörlerinin hücrelere sokulduğu varsayılmaktadır. B8: B9., Örnek dosyasına bakınız).

Summkv () işlevi, argümanların karelerinin toplamını döndürür, yani. Bu durumda, formül eşdeğerdir \u003d B8 * B8 + B9 * B9.

Örnek dosyası ayrıca uzaydaki vektörün uzunluğunu da hesapladı.

Alternatif formül bir ifadedir \u003d Kök (Sumpacy (B8: B9; B8: B9)).

2. Puanın koordinatları boyunca vektörün uzunluğunu bulmak

Eğer vektör başlangıç \u200b\u200bve bitiş noktalarının koordinatlarını ayarlayın, sonra formül başka olacaktır. \u003d Kök (Summkvson (C28: C29; B28: B29)))

Formül, ilke noktalarının koordinatlarının ve sonun aralıklara sokulduğunu varsayar. C28: C29. ve B28: B29. sırasıyla.

İşlev Summkvson () içindeİlgili değerlerin farklılıklarının karelerinin toplamını iki dizide vaat eder.

Aslında, formülde, vektörün koordinatları (karşılık gelen nokta noktalarının farklılıkları) hesaplanır, ardından karelerinin toplamı hesaplanır.

3. Kosinüs teoreminde vektörün uzunluğunu bulmak

Kosinüs teoremi üzerindeki vektörün uzunluğunu bulmak istiyorsanız, genellikle 2 versiyon genellikle (aralarındaki modülleri ve açıları) verilir.

Formülü kullanarak vektör uzunluğunu bulun \u003d Kök (Summkv (B43: C43) -2 * B43 * C43 * COS (B45))

Hücrelerde B43: B43. A ve B vektörlerinin uzunluklarını içerir ve hücrede B45 - Radyanlarda aralarındaki açı (Pi () sayısının fraksiyonlarında).

Açı derecelerde verilirse, formül biraz farklı olacaktır. \u003d Kök (B43 * B43 + C43 * C43-2 * B43 * C43 * COS (B46 * PI () / 180)))

Not: Hücrede derecelerde bir açının değeri ile netlik için, uygulayabilirsiniz, örneğin, bir makale

Her şeyden önce, vektör kavramını sökmek gerekir. Geometrik vektörün tanımını tanıtmak için, hangi segmentin olduğunu hatırlayın. Aşağıdaki tanımını tanıtıyoruz.

Tanım 1.

Nokta şeklinde iki sınır olan düz çizginin bir kısmını arayalım.

Kesim 2 yöne sahip olabilir. Yönünü belirlemek için, onun segmentinin sınırlarından birini arayacağız ve diğer kenarlık sonudur. Yön, bölümün sonuna kadar gösterilir.

Tanım 2.

Bir vektör veya yönlendirilmiş segment, segment sınırlarının hangisi başlangıcı olarak kabul edilir ve bu da bittiği bilinen bir segment olarak adlandırılır.

Tanım: İki harf: $ \\ REverline (AB) $ - ($ bir $ 'ın başlangıcı olduğu ve $ B $' dır.

Bir küçük harf: $ \\ aşırı çizgili (a) $ (Şekil 1).

Şimdi, doğrudan uzunluksal uzunluk kavramını tanıtıyoruz.

Tanım 3.

Vektör $ \\ aşırı satır çizgisi (a) $ vektör $ A $ segmentinin uzunluğu olarak adlandırılacaktır.

Tanım: $ | \\ Repulline (a) | $ | $

Vektörin uzunluğu kavramı, örneğin, iki vektörün eşitliği olarak böyle bir kavramla ilişkilidir.

Tanım 4.

İki koşulları tatmin ederlerse, iki vektöre eşit olarak adlandırılacaktır: 1. Onlar kaplanır; 1. Uzunlukları eşittir (Şekil 2).

Vektörleri tanımlamak için koordinat sistemini tanıtın ve girilen sistemdeki vektör için koordinatları belirleyin. Bildiğimiz gibi, herhangi bir vektör $ \\ aşırı satır çizgisi (C) \u003d M \\ REverline (I) + N \\ REverLINE (J) $, N'aber $ ve $ n $ n $ geçerli numaralar ve $ \\ RepaLline formunda ayrıştırılabilir. (İ) $ ve $ \\ REVERLINE (J) $ - $ - $ OX $ ve $ OY $ ekseninde tekli vektörler sırasıyla.

Tanım 5.

$ \\ Respleline (c) \u003d m \\ genel satırı (I) + N \\ REverline (J) $ 'nın ayrışma katsayıları, bu vektörün girilen koordinat sisteminde koordinatlarını arayacaktır. Matematiksel olarak:

$ \\ Respleline (c) \u003d (m, n) $

Vektörin uzunluğu nasıl bulabilirsiniz?

Formülü, Koordinatlarına göre isteğe bağlı bir vektörün uzunluğunu hesaplamak için, aşağıdaki görevi göz önünde bulundurun:

Örnek 1.

Bu verildi: vektör $ \\ aşırı satır çizgisi (α) $, Koordinatları (x, y) $. Bulun: Bu vektörün uzunluğu.

Uçakta $ Xoy $ koordinat sistemini tanıtıyoruz. Tanıtılan koordinat sisteminin başlangıcından itibaren, $ \\ aşırı satırlayıcıyı (OA) \u003d \\ respleline (a) $ sonrasını erteleyeceğim. Projeksiyon $ OA_1 $ ve $ OA_2 inşa edilmiş vektörü, $ OX $ ve $ OY $ ekseninde, sırasıyla (Şekil 3) inşa ediyoruz.

$ \\ Aşırı satır çizgisi (OA) vektörünün vektörü, $ bir puan için bir yarıçap vektör olacaktır, bu nedenle, $ (x, y) $ koordinatları olacaktır.

$ \u003d x $, $ [OA_2] \u003d y $

Şimdi Pythagora teoremi kullanarak istediğiniz uzunluğu kolayca bulabiliriz,

$ | \\ Respalet (α) | ^ 2 \u003d ^ 2 + ^ 2 $

$ | \\ Aşırı satır çizgisi (α) | ^ 2 \u003d x ^ 2 + y ^ 2 $

$ | \\ Aşırı satır çizgisi (α) | \u003d \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $

Cevap: $ \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $.

Çıktı:Koordinatları olan vektörün uzunluğunu bulmak için, bu koordinatların toplamının kökünün kökünü bulmak gerekir.

Örnek görev

Örnek 2.

Aşağıdaki koordinatlara sahip olan x $ ve $ Y $ noktaları arasındaki mesafeyi bulun: $ (- 1.5) $ ve $ (7.3) $, sırasıyla.

Herhangi bir iki nokta, bir vektör kavramıyla kolayca ilişkilendirilebilir. Örneğin, vektör $ \\ genel çizgisi (xy) $ olarak düşünün. Zaten bildiğimiz gibi, bu vektörün koordinatları, bitiş noktasının ($ y $) koordinatlarını, başlangıç \u200b\u200bnoktasının ($ x $) koordinatlarını indirerek bulabilir. Bunu alıyoruz

Her şeyden önce, vektör kavramını sökmek gerekir. Geometrik vektörün tanımını tanıtmak için, hangi segmentin olduğunu hatırlayın. Aşağıdaki tanımını tanıtıyoruz.

Tanım 1.

Nokta şeklinde iki sınır olan düz çizginin bir kısmını arayalım.

Kesim 2 yöne sahip olabilir. Yönünü belirlemek için, onun segmentinin sınırlarından birini arayacağız ve diğer kenarlık sonudur. Yön, bölümün sonuna kadar gösterilir.

Tanım 2.

Bir vektör veya yönlendirilmiş segment, segment sınırlarının hangisi başlangıcı olarak kabul edilir ve bu da bittiği bilinen bir segment olarak adlandırılır.

Tanım: İki harf: $ \\ REverline (AB) $ - ($ bir $ 'ın başlangıcı olduğu ve $ B $' dır.

Bir küçük harf: $ \\ aşırı çizgili (a) $ (Şekil 1).

Şimdi, doğrudan uzunluksal uzunluk kavramını tanıtıyoruz.

Tanım 3.

Vektör $ \\ aşırı satır çizgisi (a) $ vektör $ A $ segmentinin uzunluğu olarak adlandırılacaktır.

Tanım: $ | \\ Repulline (a) | $ | $

Vektörin uzunluğu kavramı, örneğin, iki vektörün eşitliği olarak böyle bir kavramla ilişkilidir.

Tanım 4.

İki koşulları tatmin ederlerse, iki vektöre eşit olarak adlandırılacaktır: 1. Onlar kaplanır; 1. Uzunlukları eşittir (Şekil 2).

Tanım 5.

$ \\ Respleline (c) \u003d (m, n) $

Vektörin uzunluğu nasıl bulabilirsiniz?

Formülü, Koordinatlarına göre isteğe bağlı bir vektörün uzunluğunu hesaplamak için, aşağıdaki görevi göz önünde bulundurun:

Örnek 1.

Bu verildi: vektör $ \\ aşırı satır çizgisi (α) $, Koordinatları (x, y) $. Bulun: Bu vektörün uzunluğu.

$ \\ Aşırı satır çizgisi (OA) vektörünün vektörü, $ bir puan için bir yarıçap vektör olacaktır, bu nedenle, $ (x, y) $ koordinatları olacaktır.

$ \u003d x $, $ [OA_2] \u003d y $

Şimdi Pythagora teoremi kullanarak istediğiniz uzunluğu kolayca bulabiliriz,

$ | \\ Respalet (α) | ^ 2 \u003d ^ 2 + ^ 2 $

$ | \\ Aşırı satır çizgisi (α) | ^ 2 \u003d x ^ 2 + y ^ 2 $

$ | \\ Aşırı satır çizgisi (α) | \u003d \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $

Cevap: $ \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $.

Çıktı:Koordinatları olan vektörün uzunluğunu bulmak için, bu koordinatların toplamının kökünün kökünü bulmak gerekir.

Örnek görev

Örnek 2.

Aşağıdaki koordinatlara sahip olan x $ ve $ Y $ noktaları arasındaki mesafeyi bulun: $ (- 1.5) $ ve $ (7.3) $, sırasıyla.

Standart Tanım: "Vektör yönlendirilmiş bir segmenttir." Genellikle, bu, Mezun'daki vektörler hakkında bilgi ile sınırlıdır. Kim bazı "yönlendirilmiş segmentler" gerekiyor?

Ve aslında, vektörler ve neden onlar?
Hava Durumu tahmini. "Rüzgar kuzeybatı, saniyede 18 metrelik hızdır." Kabul, rüzgarın yönü (yandığı yer) ve modül (yani, mutlak değer) hızının yönündedir.

Yol tarifi olmayan değerler scalar denir. Kütle, iş, elektrik yükü herhangi bir yerde yönlendirilmez. Sadece karakterize edilirler sayısal anlam - "Kaç kilogram" veya "Ne kadar Joule".

Sadece mutlak değere sahip olmayan fiziksel miktarlar, aynı zamanda yönde de adlandırılır.

Hız, güç, hızlanma - vektörler. Onlar için "ne kadar" ve önemlisi "nerede" önemlidir. Örneğin, serbest düşüşün ivmesi, Dünya'nın yüzeyine doğru yöneliktir ve değeri 9.8 m / s 2'dir. Nabız, Elektrikli Alan Gücü, İndüksiyon manyetik alan - Ayrıca vektör değerleri.

Şunu hatırlarsın fiziksel özellikler Mektuplar, latince veya Yunanca tarafından belirtir. Mektubun üstündeki arrogo, değerin vektör olduğunu gösterir:

İşte başka bir örnek.
Araba bir A'dan hareket eder. Sonuç, A noktasından B noktasına, yani bir vektör üzerinde hareket eden nokta hareketidir. .

Şimdi, neden vektörün yönlendirilmiş bir segment olduğu açık. Not, vektörün sonu okun olduğu yerdir. Uzunluk vektör Bu segmentin uzunluğu denir. Gösterir: veya

Şimdiye kadar, aritmetik ve ilköğretim cebirinin kurallarına göre, Skaler değerlerle çalıştık. Vektörler - yeni bir kavram. Bu başka bir matematiksel nesneler sınıfıdır. Onlar için kendi kuralları.

Bir zamanlar sayıları bilmedik. Onlarla tanışma Junior sınıflarında başladı. Sayıların birbirleriyle karşılaştırılabileceği, katlanabileceğini, çıkar, çarpın ve bölündüğü ortaya çıktı. Bir numara ve sıfır numarası olduğunu öğrendik.
Şimdi vektörlerle tanışırız.

Vektörler için "daha" ve "daha az" kavramları yoktur - farklı yönlere sahip olabilirler. Sadece vektörlerin uzunluklarını karşılaştırabilirsiniz.

Ancak vektörler için eşitlik kavramı.
Eşit Aynı uzunluklara sahip vektörler ve aynı yönde denir. Bu, vektörün uçağın herhangi bir yerinde kendinize paralel olarak aktarılabileceği anlamına gelir.
Tek Uzunluğu 1'e eşit olan vektör denir. Sıfır - vektör, uzunluğu sıfır, yani başlangıcı son ile çakışıyor.

Dikdörtgen bir koordinat sisteminde vektörlerle çalışmak en uygun olanıdır - hangi fonksiyonların grafiklerini çizer. Koordinat sistemdeki her nokta, iki sayıya karşılık gelir - X ve Y, apsis ve koordinat koordinatları.
Vektör ayrıca iki koordinatı da ayarlar:

Burada parantez içinde vektörün koordinatlarını kaydetti - x ve y.
Onlar sadece: vektör eksi başının koordinatının koordinat ucu.

Vektör koordinatları belirtilmişse, uzunluğu formül tarafından bulunur.

Vektörlerin eklenmesi

Vektörlerin eklenmesi için iki yol var.

bir . Kural paralelogramı. Vektörleri katlamak ve her ikisinin de başlangıcını bir noktada koyduk. Paralelograma ve aynı noktadan paralelogramın köşegenini gerçekleştireceğiz. Bu, vektörlerin toplamı olacak.

Kuğu, kanser ve pike ile ilgili tutucuyu hatırlıyor musun? Çok denediler, ama hiçbir zaman sahneden kim değiştirmediler. Sonuçta, arabaya verilen kuvvetlerin vektör toplamı sıfırdı.

2. Vektör eklemenin ikinci yolu üçgen bir kuraldır. Aynı vektörleri ve. İlk vektörün sonunda, ikincisinin başlangıcını ekledim. Şimdi ikincisinin ilk ve sonunun başlangıcını bağlayın. Bu vektörlerin toplamıdır ve.

Aynı şekilde, birkaç vektör katlanabilir. Onları tek tek ekledik ve sonra ikincisinin sonuna kadar birincisinin başlangıcını birleştiriyoruz.

A noktasından Paragraf B'den, B C'den D'den D'den D, daha sonra E'de ve F içerisinde olduğunuzu hayal edin. Bu eylemlerin nihai sonucu, A'dan hareket ediyor.

Vektörler eklerken ve alınırken:

Alt aktarma vektörleri

Vektör karşı vektöre gönderilir. Vektörlerin uzunlukları eşittir.

Şimdi Vektörlerin Ne Kadar Çıkarması Net. Vektörlerin farkı vektörün ve vektörün toplamıdır.

Vektörün sayısının çarpılması

Vektör K numarasını çarptığında, vektör elde edilir, uzunluğu uzunluktan farklıdır. K daha büyükse, bir vektör ile kaplanmıştır ve K sıfırdan daha az ise ters yönlendirilir.

Skaler ürün vektörleri

Vektörler sadece sayılarla değil, aynı zamanda birbirleriyle de çarpılabilir.

Vektörlerin skaler ürünü, aralarındaki köşenin kosinüsündeki vektörlerin uzunluklarının ürünüdür.

Not - iki vektöre taşındı ve skaler çıktı, yani, numara. Örneğin, fizikte mekanik iş, iki vektörün skaler ürününe eşittir - kuvvetler ve hareketler:

Vektörler dikey ise, skaler ürünleri sıfırdır.
Ve burada vektörlerin koordinatları ile ifade edilen skaler ürün ve:

Skaler bir ürün için formülden, vektörler arasındaki açıyı bulabilirsiniz:

Bu formül özellikle stereometride uygundur. Örneğin, görev 14'te Profil EME Matematikte, çapraz geçiş ya da düz ve düzlem arasında açıyı bulmanız gerekir. Genellikle, görev 14, klasikten birkaç kez daha hızlı çözülür.

İÇİNDE okul programı Matematikte, vektörlerin sadece bir skaler ürünü var.
Skaler dışında, vektörün çoğaldığı vektörün bir sonucu olarak da bir vektör ürünü olduğu ortaya çıktı. Sınavı fizikte kim verirse, Lorentz'in gücünü ve Amper'ın gücünü biliyor. Bu güçleri bulmak için formül vektör sanatını içerir.

Vektörler - Faydalı matematiksel araç. Bu konuda ilk yıl göreceksiniz.