İkizkenar dikdörtgen yamuk. yamuk nedir

1. Yamuk köşegenlerinin orta noktalarını birleştiren doğru parçası taban farkının yarısına eşittir.
2. Yamuğun tabanları ile köşegenlerin kesişim noktalarına kadar olan bölümlerinin oluşturduğu üçgenler benzerdir.
3. Kenarları yamuğun yan taraflarında bulunan yamuk köşegenlerinin bölümleri tarafından oluşturulan üçgenler - eşit (aynı alana sahip)
4. Yamuğun yan kenarlarını daha küçük tabana doğru uzatırsanız, tabanların orta noktalarını birleştiren düz çizgi ile bir noktada kesişirler.
5. Yamuğun tabanlarını birleştiren ve yamuğun köşegenlerinin kesişme noktasından geçen parça, bu noktaya yamuğun tabanlarının uzunluklarının oranına eşit bir oranda bölünür.
6. Yamuğun tabanlarına paralel ve köşegenlerin kesişme noktasından çizilen bir segment bu noktaya bölünür ve uzunluğu 2ab / (a ​​+ b'ye eşittir), burada a ve b tabanlardır. yamuğun

Yamuk köşegenlerinin orta noktalarını birleştiren doğru parçasının özellikleri

Yamuk ABCD'nin köşegenlerinin orta noktalarını birleştiriyoruz, bunun sonucunda bir LM segmentimiz var.
Yamuk köşegenlerinin orta noktalarını birleştiren doğru parçası, yamuğun orta hattında yer alır.

Bu segment yamuk tabanına paralel.

Yamuğun köşegenlerinin orta noktalarını birleştiren doğru parçasının uzunluğu, tabanlarının farkının yarısına eşittir.

LM = (AD - BC) / 2
veya
LM = (a-b) / 2

Bir yamuğun köşegenlerinin oluşturduğu üçgenlerin özellikleri

Yamuğun tabanları ve yamuğun köşegenlerinin kesişme noktası tarafından oluşturulan üçgenler - benzerdir.
BOC ve AOD üçgenleri benzerdir. BOC ve AOD açıları dikey olduğu için eşittir.
OCB ve OAD açıları, AD ve BC paralel çizgilerinde (yamuğun tabanları birbirine paraleldir) ve AC kesen çizgisinde iç çaprazdır, bu nedenle eşittirler.
OBC ve ODA açıları aynı nedenden dolayı eşittir (iç çapraz geçiş).

Bir üçgenin üç açısı da diğer üçgenin karşılık gelen açılarına eşit olduğundan, bu üçgenler benzerdir.

Bundan ne çıkar?

Geometrideki problemleri çözmek için üçgenlerin benzerliği aşağıdaki gibi kullanılır. Benzer üçgenlerin karşılık gelen iki elemanının uzunluklarının değerlerini biliyorsak, benzerlik katsayısını buluruz (birini diğerine böleriz). Diğer tüm elemanların uzunlukları tam olarak aynı değerde birbiriyle ilişkilidir.

Bir yamuğun kenarında ve köşegenlerinde yatan üçgenlerin özellikleri

AB ve CD yamuğunun yan taraflarında uzanan iki üçgeni ele alalım. Bunlar AOB ve COD üçgenleridir. Bu üçgenlerin tek tek kenarlarının boyutlarının tamamen farklı olmasına rağmen, ancak Kenarların oluşturduğu üçgenlerin alanları ve yamuğun köşegenlerinin kesişme noktası yani üçgenler eşit büyüklüktedir.

Yamuğun kenarlarını daha küçük tabana doğru uzatırsanız, kenarların kesişme noktası olacaktır. üslerin orta noktalarından geçen düz bir çizgi ile eşleştirin.

Böylece, herhangi bir yamuk bir üçgene uzatılabilir. Burada:

• Uzatılmış yan tarafların kesişiminde ortak bir tepe noktasına sahip bir yamuğun tabanlarının oluşturduğu üçgenler benzerdir.
• Yamuğun tabanlarının orta noktalarını birleştiren düz çizgi, aynı zamanda, oluşturulan üçgenin medyanıdır.

Trapez kaideleri birleştiren hattın özellikleri

Uçları yamuğun (KN) köşegenlerinin kesişme noktasında bulunan yamuğun tabanlarında uzanan bir parça çizerseniz, kurucu bölümlerinin tabanın yanından tabana oranı köşegenlerin kesişme noktası (KO / ON) yamuğun tabanlarının oranına eşit olacaktır(M.Ö. / AD).

KO / AÇIK = M.Ö. / AD

Bu özellik, karşılık gelen üçgenlerin benzerliğinden kaynaklanır (yukarıya bakın).

Bir yamuğun tabanlarına paralel bir doğrunun özellikleri

Yamuğun tabanlarına paralel ve yamuğun köşegenlerinin kesişme noktasından geçen bir parça çizerseniz, aşağıdaki özelliklere sahip olacaktır:

• Ön Ayar Mesafesi (KM) yamuk köşegenlerinin kesişme noktasını ikiye böler
• segment uzunluğu yamuğun köşegenlerinin kesişme noktasından geçen ve tabanlara paralel olan eşittir KM = 2ab / (a ​​​​+ b)

Bir yamuğun köşegenlerini bulmak için formüller

bir, b- yamuk tabanı

c, d- yamuğun yan tarafları

d1 d2- yamuk köşegenler

α β - yamuk tabanı daha büyük olan açılar

Tabandaki tabanlar, kenarlar ve açılar boyunca bir yamuğun köşegenlerini bulmak için formüller

İlk formül grubu (1-3) yamuk köşegenlerinin ana özelliklerinden birini yansıtır:

1. Bir yamuğun köşegenlerinin karelerinin toplamı, kenarlarının karelerinin toplamı ile tabanlarının çarpımının iki katına eşittir. Bir yamuğun köşegenlerinin bu özelliği ayrı bir teorem olarak kanıtlanabilir.

2 ... Bu formül, önceki formülün dönüştürülmesiyle elde edilir. İkinci köşegenin karesi eşittir işaretinden atılır, ardından ifadenin sol ve sağ taraflarından karekök çıkarılır.

3 ... Bir yamuğun köşegen uzunluğunu bulmak için kullanılan bu formül, ifadenin sol tarafında başka bir köşegenin bırakılması farkıyla bir öncekine benzer.

Bir sonraki formül grubu (4-5) anlam bakımından benzerdir ve benzer bir oranı ifade eder.

Formül grubu (6-7), yamuğun daha büyük tabanı, bir tarafı ve tabandaki açı biliniyorsa yamuğun köşegenini bulmanızı sağlar.

Bir yamuğun köşegenlerini yükseklik cinsinden bulmak için formüller

Görev.
ABCD yamuğunun köşegenleri (AD | | BC) O noktasında kesişir. Taban AD = 24 cm, uzunluk AO = 9 cm, uzunluk OC = 6 cm ise yamuğun BC tabanının uzunluğunu bulun.

Çözüm.
Bu sorunun ideolojik açıdan çözümü, önceki sorunlarla kesinlikle aynıdır.

AOD ve BOC üçgenleri üç köşede benzerdir - AOD ve BOC dikeydir ve diğer açılar çiftler halinde eşittir, çünkü bunlar bir düz çizgi ile iki paralel çizginin kesişmesinden oluşur.

Üçgenler benzer olduğundan, tüm geometrik boyutları, problem ifadesinden bildiğimiz AO ve OC segmentlerinin geometrik boyutları olarak birbirleriyle ilişkilidir. Yani

AO / OC = AD / BC
9/6 = 24 / M.Ö.
M.Ö. = 24 * 6/9 = 16

Cevap: 16 cm

Görev .
Yamuk ABCD'de AD = 24, BC = 8, AC = 13, BD = 5√17 olduğu bilinmektedir. Yamuğun alanını bulun.

Çözüm .
Daha küçük olan B ve C tabanının köşelerinden yamuğun yüksekliğini bulmak için, daha büyük tabana iki yükseklik indiririz. Yamuk eşit olmadığı için AM = a uzunluğunu, KD = b uzunluğunu gösteririz ( formüldeki gösterimle karıştırılmamalıdır yamuk alanını bulmak). Yamuğun tabanları paralel olduğundan ve daha büyük tabana dik olan iki yüksekliği atladığımızdan, MBCK bir dikdörtgendir.

Anlamına geliyor
AD = AM + BC + KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

DBM ve ACK üçgenleri dikdörtgendir, bu nedenle dik açıları yamuğun yüksekliklerinden oluşur. Yamuğun yüksekliğini h ile gösterelim. Daha sonra Pisagor teoremi ile

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
ve
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

a = 16 - b olduğunu hesaba katarız, sonra ilk denklemde
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Pisagor Teoremi ile elde edilen ikinci denklemde yüksekliğin karesinin değerini yerine koyalım. Alırız:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
- (64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Yani KD = 12
Nereye
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Yüksekliği boyunca yamuğun alanını ve tabanların toplamının yarısını bulun
a b yamuğun tabanı olduğunda, h yamuğun yüksekliğidir
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 cm2

Cevap: yamuğun alanı 80 cm2'dir.

Bir yamuk, bir çift kenarı paralel olan bir dörtgenin özel bir durumudur. "Yamuk" terimi, "masa", "masa" anlamına gelen Yunanca τράπεζα kelimesinden gelir. Bu yazımızda yamuk çeşitlerine ve özelliklerine bakacağız. Ek olarak, bunun bireysel elemanlarının nasıl hesaplanacağını anlayacağız. Örneğin, bir ikizkenar yamuk köşegeni, merkez çizgisi, alan vb. Malzeme, temel popüler geometri tarzında sunulur, yani kolay erişilebilir bir form.

Genel bilgi

Öncelikle dörtgen nedir onu öğrenelim. Bu şekil, dört kenarı ve dört köşesi olan bir çokgenin özel bir halidir. Bir dörtgenin bitişik olmayan iki köşesine zıt denir. Aynı şey bitişik olmayan iki taraf için de söylenebilir. Ana dörtgen türleri paralelkenar, dikdörtgen, eşkenar dörtgen, kare, yamuk ve deltoiddir.

Yani, yamuklara geri dönelim. Dediğimiz gibi, bu şeklin iki kenarı paraleldir. Onlara baz denir. Diğer ikisi (paralel olmayan) kenarlardır. Sınavların ve çeşitli testlerin materyallerinde, genellikle öğrencinin program tarafından sağlanmayan bilgiye sahip olmasını gerektiren yamuklarla ilgili görevleri bulabilirsiniz. Okul geometri dersi, öğrencilere bir ikizkenar yamuğun orta çizgisinin yanı sıra açıların ve köşegenlerin özelliklerini tanıtır. Ancak buna ek olarak, bahsedilen geometrik figürün başka özellikleri de vardır. Ama onlar hakkında biraz sonra ...

yamuk türleri

Bu figürün birçok türü vardır. Bununla birlikte, çoğu zaman ikisini - ikizkenar ve dikdörtgen - düşünmek gelenekseldir.

1. Dikdörtgen bir yamuk, yan kenarlardan birinin tabanlara dik olduğu bir şekildir. İki açısı her zaman doksan dereceye eşittir.

2. İkizkenar yamuk, kenarları eşit olan geometrik bir şekildir. Bu, tabanlardaki açıların da ikili olarak eşit olduğu anlamına gelir.

Yamuğun özelliklerini incelemek için metodolojinin ana ilkeleri

Ana ilke, sözde görev yaklaşımının kullanılmasıdır. Aslında, bu şeklin yeni özelliklerini geometrinin teorik dersine sokmaya gerek yoktur. Çeşitli problemleri çözme sürecinde (sistem problemlerinden daha iyi) açılabilir ve formüle edilebilirler. Aynı zamanda, öğretmenin eğitim sürecinde bir noktada okul çocuklarına hangi görevlerin verilmesi gerektiğini bilmesi çok önemlidir. Ayrıca, her yamuk özelliği, görev sisteminde önemli bir görev olarak temsil edilebilir.

İkinci ilke, yamuğun "dikkate değer" özelliklerinin araştırılmasının sözde spiral organizasyonudur. Bu, öğrenme sürecinde belirli bir geometrik figürün bireysel özelliklerine geri dönüşü ifade eder. Bu, öğrencilerin bunları ezberlemelerini kolaylaştırır. Örneğin, dört noktanın özelliği. Hem benzerliği inceleyerek hem de daha sonra vektörleri kullanarak kanıtlanabilir. Ve şeklin yan kenarlarına bitişik üçgenlerin eşit boyutu, sadece bir düz çizgi üzerinde uzanan kenarlara çizilen eşit yükseklikteki üçgenlerin özelliklerini uygulayarak değil, aynı zamanda S = 1/2 formülü kullanılarak da kanıtlanabilir. (ab * sinα). Ek olarak, tarif edilen bir yamuk, vb. üzerinde yazılı bir yamuk veya dik açılı bir üçgen üzerinde çalışabilirsiniz.

Bir okul dersinin içeriğinde geometrik bir figürün "müfredat dışı" özelliklerinin kullanılması, onlara öğretmek için bir görev teknolojisidir. Diğer konuları geçerken çalışılan özelliklere sürekli itiraz, öğrencilerin yamuk hakkında daha derin bir anlayış kazanmalarını sağlar ve verilen görevleri çözme başarısını sağlar. Öyleyse, bu harika figürü incelemeye başlayalım.

Bir ikizkenar yamuğun elemanları ve özellikleri

Daha önce de belirttiğimiz gibi, bu geometrik şeklin eşit kenarları vardır. Düzenli yamuk olarak da bilinir. Ve neden bu kadar dikkat çekici ve neden böyle bir isim aldı? Bu şeklin özellikleri, yalnızca tabanlardaki kenarların ve açıların değil, aynı zamanda köşegenlerin de eşit olması gerçeğini içerir. Ayrıca ikizkenar yamuğun açılarının toplamı 360 derecedir. Ama hepsi bu değil! Bilinen tüm yamuklardan sadece bir ikizkenar etrafında bir daire tanımlanabilir. Bunun nedeni, bu şeklin karşıt açılarının toplamının 180 derece olması ve yalnızca bu koşul altında bir dörtgenin etrafında bir daire tanımlanabilmesidir. Dikkate alınan geometrik şeklin bir sonraki özelliği, tabanın tepesinden, karşı köşenin bu tabanı içeren düz çizgi üzerindeki izdüşümüne kadar olan mesafenin merkez çizgisine eşit olmasıdır.

Şimdi bir ikizkenar yamuğun açılarını nasıl bulacağımızı bulalım. Şeklin kenarlarının boyutları biliniyorsa, bu soruna bir çözüm düşünün.

Çözüm

Genellikle, dörtgen genellikle A, B, C, D harfleriyle gösterilir, burada BS ve AD tabandır. İkizkenar yamukta kenarlar eşittir. Boyutlarının X'e eşit olduğunu ve tabanların boyutlarının Y ve Z'ye (sırasıyla daha küçük ve daha büyük) eşit olduğunu varsayacağız. Hesaplamayı gerçekleştirmek için, B açısından H yüksekliğini çizmek gerekir. Sonuç, AB'nin hipotenüs olduğu ve BN ve AN'nin bacaklar olduğu dik açılı bir ABN üçgenidir. AH ayağının boyutunu hesaplıyoruz: küçük olanı büyük tabandan çıkarıyoruz ve sonucu 2'ye bölüyoruz: Bunu formül biçiminde yazıyoruz: (ZY) / 2 = F. Şimdi, dar açıyı hesaplamak için üçgenin cos fonksiyonunu kullanırız. Aşağıdaki kaydı alıyoruz: cos (β) = X / F. Şimdi açıyı hesaplıyoruz: β = arcos (X / F). Ayrıca, bir açıyı bilerek ikincisini belirleyebiliriz, bunun için temel bir aritmetik işlem yaparız: 180 - β. Tüm açılar tanımlanmıştır.

Bu sorunun ikinci bir çözümü de var. Başlangıçta, N.'nin yüksekliğini köşeden indiriyoruz, BN ayağının değerini hesaplayın. Dik açılı bir üçgenin hipotenüsünün karesinin, bacakların karelerinin toplamına eşit olduğunu biliyoruz. Şunu elde ederiz: BN = √ (X2-F2). Ardından, trigonometrik fonksiyon tg'yi kullanıyoruz. Sonuç olarak, elimizde: β = arctan (BN / F). Keskin bir köşe bulundu. Ardından, ilk yöntemdekiyle aynı şekilde tanımlarız.

Bir ikizkenar yamuğun köşegenlerinin özelliği

İlk olarak, dört kuralı yazalım. Bir ikizkenar yamukta köşegenler dik ise, o zaman:

Şeklin yüksekliği, tabanların toplamının ikiye bölünmesine eşit olacaktır;

Boyu ve orta çizgisi eşittir;

Dairenin merkezi, kesiştikleri noktadır;

Yan taraf, temas noktası tarafından H ve M segmentlerine bölünürse, bu segmentlerin çarpımının kareköküne eşittir;

Temas noktaları, yamuğun tepesi ve yazılı dairenin merkezinden oluşan dörtgen, kenarı yarıçapa eşit olan bir karedir;

Şeklin alanı, tabanların çarpımına ve tabanların yarısının yüksekliğinin çarpımına eşittir.

benzer yamuk

Bu konu, bunun özelliklerini incelemek için çok uygundur.Örneğin, köşegenler yamuğu dört üçgene böler ve tabanlara bitişik olanlar benzer ve yan taraflar eşittir. Bu ifade, bir yamuğun köşegenlerine bölündüğü üçgenlerin bir özelliği olarak adlandırılabilir. Bu ifadenin ilk kısmı, iki açıdan benzerlik işareti ile kanıtlanmıştır. İkinci kısmı kanıtlamak için aşağıdaki yöntemi kullanmak daha iyidir.

Teoremin ispatı

ABSD figürünün (BP ve BS yamuğun tabanlarıdır) VD ve AS'nin köşegenlerine bölündüğünü varsayıyoruz. Kesişme noktası O'dur. Dört üçgen elde ederiz: AOS - alt tabanda, BOS - üst tabanda, ABO ve SOD yan taraflarda. BO ve OD segmentleri tabanlarıysa, SOD ve BFB üçgenlerinin ortak bir yüksekliği vardır. Alanları arasındaki farkın (P) şu segmentler arasındaki farka eşit olduğunu elde ederiz: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Bu nedenle, PSOD = PBOS / K. Benzer şekilde, BFB ve AOB üçgenleri ortak bir yüksekliğe sahiptir. Bazları için SB ve OA segmentlerini alıyoruz. PBOS / PAOB = SO / OA = K ve PAOB = PBOS / K elde ederiz. Bundan PSOD = PAOB çıkar.

Malzemeyi pekiştirmek için öğrencilere, yamuğun köşegenlerine bölündüğü ortaya çıkan üçgenlerin alanları arasında bir bağlantı bulmaları ve aşağıdaki problemi çözmeleri önerilir. Biofeedback ve AOD üçgenlerinin alanlarının eşit olduğu bilinmektedir; yamuğun alanını bulmak gerekir. PSOD = PAOB olduğundan, PABSD = PBOS + PAOD + 2 * PSOD anlamına gelir. BFB ve AOD üçgenlerinin benzerliğinden BO / OD = √ (PBOS / PAOD) çıkar. Bu nedenle, PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD). PSOD = √ (PBOS * PAOD) elde ederiz. Sonra PABSD = PBOS + PAOD + 2 * √ (PBOS * PAOD) = (√ PSOS + √ PAOD) 2.

benzerlik özellikleri

Bu temayı geliştirmeye devam ederek, yamukların diğer ilginç özelliklerini kanıtlayabilirsiniz. Böylece, benzerlik yardımıyla, bu geometrik şeklin köşegenlerinin tabanlara paralel olarak kesişmesiyle oluşan bir noktadan geçen bir doğru parçasının özelliği kanıtlanabilir. Bunu yapmak için aşağıdaki sorunu çözeceğiz: O noktasından geçen RK segmentinin uzunluğunu bulmak gerekiyor. AOD ve BFB üçgenlerinin benzerliğinden, AO / OS = AD / BS olduğu ortaya çıkıyor. . AOR ve ASB üçgenlerinin benzerliğinden AO / AC = RO / BS = HELL / (BS + HELL) çıkar. Buradan RO = BS * HELL / (BS + HELL) elde ederiz. Benzer şekilde, DOK ve DBS üçgenlerinin benzerliğinden OK = BS * HELL / (BS + HELL) çıkar. Buradan RO = OK ve RK = 2 * BS * HELL / (BS + HELL) elde ederiz. Köşegenlerin tabanlara paralel olan ve iki kenarı birleştiren kesişim noktasından geçen doğru parçası, kesişme noktası ile yarıya bölünür. Uzunluğu, şeklin tabanının harmonik ortalamasıdır.

Dört nokta özelliği olarak adlandırılan aşağıdaki yamuk kalitesini göz önünde bulundurun. Köşegenlerin kesişme noktaları (O), yan tarafların uzantısının kesişimi (E) ve ayrıca tabanların orta noktaları (T ve G) her zaman aynı çizgide bulunur. Bu, benzerlik yöntemiyle kolayca kanıtlanır. Ortaya çıkan BES ve AED üçgenleri benzerdir ve her birinde medyanlar ET ve EZ, E tepe noktasındaki açıyı eşit parçalara böler. Sonuç olarak, E, T ve Ж noktaları tek bir doğru üzerindedir. Aynı şekilde, T, O ve Zh noktaları tek bir doğru üzerinde bulunur.Bütün bunlar BFB ve AOD üçgenlerinin benzerliğinden kaynaklanmaktadır. Bundan, dört noktanın da - E, T, O ve F - tek bir düz çizgi üzerinde uzanacağı sonucuna varıyoruz.

Bu tür yamukları kullanarak, öğrencilerden şekli benzer iki parçaya ayıran doğru parçasının (LF) uzunluğunu bulmalarını isteyebilirsiniz. Bu segment tabanlara paralel olmalıdır. Elde edilen yamuk ALPD ve LBSF benzer olduğundan, BS / LF = LF / BP. Buradan LF = √ (BS * HELL) çıkar. Yamuğu iki benzer parçaya bölen parçanın, şeklin tabanlarının uzunluklarının geometrik ortalamasına eşit bir uzunluğa sahip olduğunu anlıyoruz.

Aşağıdaki benzerlik özelliğini göz önünde bulundurun. Yamuğu iki eşit boyutlu şekle bölen bir segmente dayanmaktadır. ABSD yamuğunun ЕН segmenti tarafından iki benzer parçaya bölündüğünü varsayıyoruz. B köşesinden, EH segmenti tarafından iki parçaya bölünen yükseklik düşürülür - B1 ve B2. Şunları elde ederiz: PABSD / 2 = (BS + EH) * B1 / 2 = (HELL + EH) * B2 / 2 ve PABSD = (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Ardından, ilk denklemi (BS + EH) * B1 = (AD + EH) * B2 ve ikincisi (BS + EH) * B1 = (BS + HELL) * (B1 + B2) olan bir sistem oluşturuyoruz. / 2. Bunu B2 / B1 = (BS + EH) / (HELL + EH) ve BS + EH = ((BS + HELL) / 2) * (1 + B2 / B1) takip eder. Yamuğu iki eşit boyuta bölen parçanın uzunluğunun, taban uzunluklarının kök ortalama karesine eşit olduğunu elde ederiz: √ ((BS2 + AD2) / 2).

benzerlik bulguları

Böylece şunu kanıtlamış olduk:

1. Yamukta yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçası BP ve BS'ye paraleldir ve BS ve BP'nin aritmetik ortalamasına eşittir (yamuğun tabanının uzunluğu).

2. HELL ve BS'ye paralel köşegenlerin kesiştiği noktanın O noktasından geçen doğru, HELL ve BS sayılarının harmonik ortalamasına (2 * BS * HELL / (BS + HELL)) eşit olacaktır.

3. Yamuğu benzerlerine bölen segment, BS ve BP tabanlarının geometrik ortalamasının uzunluğuna sahiptir.

4. Şekli iki eşit boyuta bölen eleman, BP ve BS'nin ortalama kare sayılarının uzunluğuna sahiptir.

Malzemeyi pekiştirmek ve dikkate alınan bölümler arasındaki bağlantıyı anlamak için öğrencinin bunları belirli bir yamuk için inşa etmesi gerekir. Orta çizgiyi ve O noktasından geçen parçayı - şeklin köşegenlerinin kesişimi - tabanlara paralel olarak kolayca görüntüleyebilir. Ama üçüncü ve dördüncü nerede olacak? Bu cevap, öğrenciyi ortalamalar arasında istenen ilişkiyi keşfetmeye yönlendirecektir.

Yamuk köşegenlerinin orta noktalarını birleştiren doğru parçası

Bu şeklin aşağıdaki özelliğini göz önünde bulundurun. MH doğru parçasının tabanlara paralel olduğunu ve köşegenleri ikiye böldüğünü varsayıyoruz. Kesişme noktalarına Ш ve Ш denilecektir.Bu doğru parçası tabanların farklarının yarısına eşit olacaktır. Buna daha yakından bakalım. MSh - ABS üçgeninin orta çizgisi, BS / 2'ye eşittir. MCh, ABD üçgeninin orta çizgisidir, BP / 2'ye eşittir. Sonra SHSH = MSH-MSH elde ederiz, bu nedenle SHSH = HELL / 2-BS / 2 = (HELL + VS) / 2.

ağırlık merkezi

Şimdi bu elemanın belirli bir geometrik şekil için nasıl tanımlandığına bakalım. Bunu yapmak için tabanları zıt yönlerde uzatmak gerekir. Bunun anlamı ne? Alt olanı üst tabana - örneğin sağa, her iki tarafa da eklemek gerekir. Ve alttakini üsttekinin uzunluğu kadar sola doğru uzatın. Sonra, onları bir köşegenle bağlarız. Bu parçanın şeklin orta çizgisiyle kesişme noktası yamuğun ağırlık merkezidir.

Yazılı ve tarif edilen yamuklar

Bu tür şekillerin özelliklerini listeleyelim:

1. Bir yamuk, ancak ikizkenar ise bir daireye yazılabilir.

2. Bir yamuk, bir dairenin etrafında, tabanlarının uzunluklarının toplamı, yan kenarların uzunluklarının toplamına eşit olması şartıyla tanımlanabilir.

Yazılı daire sonuçları:

1. Tanımlanan yamuğun yüksekliği her zaman iki yarıçapa eşittir.

2. Tanımlanan yamuğun yan tarafı, dairenin merkezinden dik açıyla gözlenir.

İlk sonuç açıktır, ancak ikincisini kanıtlamak için SOD açısının doğru olduğunu tespit etmek gerekir, ki bu aslında zor olmayacaktır. Ancak bu özelliğin bilgisi, problemleri çözerken dik açılı bir üçgen kullanmanıza izin verecektir.

Şimdi bu sonuçları daire içine alınmış bir ikizkenar yamuk için somutlaştıralım. Yüksekliğin, şeklin tabanının geometrik ortalaması olduğunu anlıyoruz: H = 2R = √ (BS * HELL). Yamuklar için temel problem çözme tekniğini (iki yükseklik tutma ilkesi) uygularken, öğrenci aşağıdaki görevi çözmelidir. BT'nin ABSD'nin ikizkenar şeklinin yüksekliği olduğunu varsayıyoruz. AT ve TD segmentlerini bulmak gerekir. Yukarıda açıklanan formülü kullanarak bunu yapmak zor olmayacaktır.

Şimdi açıklanan yamuğun alanını kullanarak bir dairenin yarıçapını nasıl belirleyeceğimizi bulalım. Yüksekliği B tepesinden HELL tabanına indiriyoruz. Daire yamukta yazılı olduğundan, BS + HELL = 2AB veya AB = (BS + HELL) / 2. ABN üçgeninden sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + HELL) buluyoruz. PABSD = (BS + HELL) * BN / 2, BN = 2R. PABSD = (BS + HELL) * R elde ederiz, bunu R = PABSD / (BS + HELL) takip eder.

Bir yamuğun orta çizgisi için tüm formüller

Şimdi bu geometrik şeklin son elemanına geçme zamanı. Yamuğun (M) orta çizgisinin ne olduğunu bulalım:

1. Bazlar aracılığıyla: M = (A + B) / 2.

2. Yükseklik, taban ve köşeler boyunca:

M = A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M = B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Yükseklik, köşegenler ve aralarındaki açı sayesinde. Örneğin, D1 ve D2 bir yamuğun köşegenleridir; α, β - aralarındaki açılar:

M = D1 * D2 * sinα / 2H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

4. Alan ve yükseklik boyunca: M = P / N.

yamuk Taban olan iki paralel kenarı ve yan taraflar olan paralel olmayan iki kenarı olan bir dörtgendir.

gibi isimler de vardır. ikizkenar veya ikizkenar.

Yan köşeleri düz olan bir yamuktur.

yamuk elemanları

bir, b - yamuk tabanı(b'ye paralel),

m, n - yan taraflar yamuk

gün 1, gün 2 - köşegenler yamuk

H - boy uzunluğu yamuk (tabanları birbirine bağlayan ve aynı zamanda onlara dik olan bir segment),

MN - orta hat(yanların orta noktalarını birleştiren bir parça).

yamuk alanı

1. a, b tabanları ve h yüksekliğinin toplamının yarısı: S = \ frac (a + b) (2) \ cdot h
2. MN orta çizgisi ve h yüksekliği boyunca: S = MN \ cdot h
3. Köşegenler d 1, d 2 ve aralarındaki açı (\ sin \ varphi) sayesinde: S = \ frac (d_ (1) d_ (2) \ günah \ varphi) (2)

yamuk özellikleri

Trapezoidin orta çizgisi

orta hat tabanlara paraleldir, yarı toplamlarına eşittir ve her parçayı, tabanları içeren düz çizgiler üzerinde bulunan uçlarla (örneğin, şeklin yüksekliği) ikiye böler:

MN || bir, MN || B, MN = \ frak (a + b) (2)

Yamuğun açılarının toplamı

Yamuğun açılarının toplamı her bir tarafa bitişik 180 ^ (\ circ):

\ alpha + \ beta = 180 ^ (\ circ)

\ gama + \ delta = 180 ^ (\ circ)

Eşit alanlı yamuk üçgenler

Eşit yani eşit alanlara sahip köşegenlerin ve yan tarafların oluşturduğu AOB ve DOC üçgenlerinin parçalarıdır.

Oluşan yamuk üçgenlerin benzerliği

benzer üçgenler tabanları ve çizgi segmentlerinden oluşan AOD ve COB'dir.

\ üçgen AOD \ sim \ üçgen COB

benzerlik katsayısı k şu formülle bulunur:

k = \ frac (AD) (BC)

Ayrıca bu üçgenlerin alanlarının oranı k ^ (2)'ye eşittir.

Segment ve taban uzunluklarının oranı

Tabanları birleştiren ve yamuk köşegenlerin kesişme noktasından geçen her segment, bu noktaya göre bölünür:

\ frak (OX) (OY) = \ frak (BC) (AD)

Bu, köşegenlerin kendileri ile yükseklik için geçerli olacaktır.

İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgi amaçlıdır ve tüm sunum seçeneklerini temsil etmeyebilir. Bu işle ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Dersin amacı:

• öğretim- yamuk kavramını tanıtmak, yamuk türlerini tanımak, yamuğun özelliklerini incelemek, öğrencilere problem çözme sürecinde kazanılan bilgileri uygulamalarını öğretmek;
• gelişmekte- öğrencilerin iletişimsel niteliklerinin gelişimi, deney yapma, genelleme yapma, sonuç çıkarma, konuya ilgi duyma yeteneğinin gelişimi.
• eğitici- dikkati eğitmek, bir başarı durumu yaratmak, zorlukların kendi kendine üstesinden gelmenin sevinci, çeşitli çalışmalarla öğrencilerin kendini ifade etme ihtiyaçlarını geliştirmek.

Çalışma biçimleri:ön, buhar odası, grup.

Çocuk etkinliklerinin organizasyon şekli: dinleme, tartışma oluşturma, bir düşünceyi ifade etme, soru, ekleme yeteneği.

Teçhizat: bilgisayar, multimedya projektörü, ekran. Öğrenci masalarında: masadaki her öğrenci için bir yamuk çizmek için malzemeyi kesin; ödevli kartlar (çizimlerin çıktıları ve ders taslağından ödevler).

DERSLER SIRASINDA

I. Organizasyonel an

Selamlar, ders için işyerinin hazır olup olmadığını kontrol edin.

II. Bilgi güncellemesi

• nesneleri sınıflandırma becerilerinin geliştirilmesi;
• sınıflandırmadaki ana ve ikincil özelliklerin vurgulanması.

Şekil 1 kabul edilir.

Ardından çizimin tartışılması gelir.
- Bu geometrik şekil neyden yapılmıştır? Çocuklar cevabı resimlerde buluyor: [dikdörtgen ve üçgenlerden].
- Yamuk oluşturan üçgenler ne olmalıdır?
Tüm görüşler dinlenir ve tartışılır, bir seçenek seçilir: [üçgenler dikdörtgen olmalıdır].
- Üçgenler ve dikdörtgenler nasıl oluşur? [Böylece dikdörtgenin karşılıklı kenarları üçgenlerin her birinin ayağıyla çakışır].
- Dikdörtgenin karşılıklı kenarları hakkında ne biliyorsun? [Bunlar paraleldir].
- Yani, bu dörtgende paralel kenarlar olacak mı? [Evet].
- Kaç tane var? [2].
Tartışmadan sonra, öğretmen "dersin kraliçesi" - yamuk gösterir.

III. Yeni malzemenin açıklaması

1. Yamuk tanımı, yamuk elemanları

• öğrencilere bir yamuk tanımlamayı öğretmek;
• öğelerini adlandırın;
• ilişkisel hafızanın gelişimi.

- Şimdi bir yamuğun tam bir tanımını vermeye çalışın. Her öğrenci sorunun cevabını düşünür. Çiftler halinde görüş alışverişinde bulunurlar, bir soruya tek bir cevap hazırlarlar. Sözlü cevap 2-3 çiftten bir öğrenci tarafından verilir.
[Yamuk, iki kenarı paralel ve diğer ikisi paralel olmayan bir dörtgendir].

- Yamuğun kenarlarına ne denir? [Paralel kenarlara yamuğun tabanı denir ve diğer ikisine kenar denir].

Öğretmen, yamukları kesilmiş şekillerden katlamayı önerir. Öğrenciler çiftler halinde çalışır, rakamlar ekler. Öğrenci çiftlerinin farklı seviyelerde olması iyidir, o zaman öğrencilerden biri danışmandır ve zorluk durumunda bir arkadaşına yardım eder.

- Defterlerde bir yamuk oluşturun, yamuğun kenarlarının adlarını yazın. Komşunuza çizimle ilgili sorular sorun, cevaplarını dinleyin, cevap seçeneklerinizi söyleyin.

Tarihsel referans

"Trapez"- eski zamanlarda "masa" anlamına gelen Yunanca kelime (Yunanca "trapedzion" bir masa, bir yemek masası anlamına gelir. Geometrik şekil, küçük bir masaya dış benzerliği ile böyle adlandırılmıştır.
"Elementler" de (Yunanca Στοιχεῖα, lat. Elementa) - Öklid'in ana eseri, MÖ 300 civarında yazılmıştır. NS. ve sistematik geometri yapısına adanmış) "yamuk" terimi modern değil, başka bir anlamda kullanılır: herhangi bir dörtgen (paralelkenar değil). Bizim anladığımız anlamda "yamuk" ilk kez antik Yunan matematikçi Posidonius'ta (1. yüzyıl) bulunur. Orta Çağ'da, Öklid'e göre herhangi bir dörtgen (paralelkenar değil) bir yamuk olarak adlandırıldı; sadece XVIII yüzyılda. bu kelime modern bir anlam kazanıyor.

Belirtilen elemanlardan bir yamuk oluşturma. Adamlar 1 numaralı kartta görev yapıyorlar.

Öğrenciler çok çeşitli konum ve tarzlarda yamuk inşa etmek zorundadır. 1. adımda, dikdörtgen bir yamuk oluşturmanız gerekir. 2. paragrafta, bir ikizkenar yamuk oluşturmak mümkün hale gelir. 3. noktada, yamuk “yanında uzanıyor” olacaktır. 4. paragrafta, çizim, tabanlardan birinin alışılmadık derecede küçük olduğu ortaya çıkan böyle bir yamuğun yapımını sağlar.
Öğrenciler, ortak bir isim taşıyan farklı figürlerle öğretmeni "şaşırtır" - yamuk. Öğretmen, yamuk inşa etmek için olası seçenekleri gösterir.

Sorun 1... İki yamuk eşit olacak mı, sırasıyla hangi taban ve iki kenar eşit?
Problemin çözümünü gruplar halinde tartışın, mantığın doğruluğunu kanıtlayın.
Her gruptan bir öğrenci tahtaya bir çizim yapar, muhakeme çizgisini açıklar.

2. Yamuk türleri

• motor hafızanın gelişimi, problemleri çözmek için gerekli olan yamuğu iyi bilinen rakamlara ayırma yeteneği;
• genelleme, karşılaştırma, analojiyle tanım yapma, hipotezler ortaya koyma becerilerinin geliştirilmesi.

Figürü düşünün:

- Şekilde gösterilen yamuklar arasındaki fark nedir?
Çocuklar yamuk tipinin soldaki üçgen tipine bağlı olduğunu fark ettiler.
- Cümleyi tamamlayınız:

Bir yamuğa dikdörtgen denir, eğer ...
Bir yamuğa ikizkenar denir, eğer ...

3. Yamuğun özellikleri. Bir ikizkenar yamuğun özellikleri.

• bir ikizkenar üçgene benzeterek, bir ikizkenar yamuk özelliği hakkında bir hipotez ileri sürmek;
• analitik becerilerin geliştirilmesi (karşılaştırma, hipotez oluşturma, kanıtlama, oluşturma).

• Köşegenlerin orta noktalarını birleştiren doğru parçası tabanların farkının yarısına eşittir.
• Bir ikizkenar yamuk herhangi bir tabanda aynı açılara sahiptir.
• Bir ikizkenar yamuk eşit köşegenlere sahiptir.
• Bir ikizkenar yamukta, yukarıdan daha büyük tabana indirilen yükseklik, onu, biri tabanların yarısına, diğeri - tabanların farkının yarısına eşit olan iki parçaya böler.

Amaç 2. Bir ikizkenar yamukta: a) her bir tabandaki açıların eşit olduğunu; b) köşegenler eşittir. Bir ikizkenar yamuğun bu özelliklerini kanıtlamak için üçgenlerin eşitliği kriterlerini hatırlıyoruz. Öğrenciler görevi gruplar halinde gerçekleştirir, tartışır, çözümü bir deftere yazar.
Gruptan bir öğrenci ispatı tahtada yapar.

4. Dikkat için egzersiz yapın

5. Günlük yaşamda yamuk şekillerin kullanımına örnekler:

• iç mekanlarda (kanepeler, duvarlar, asma tavanlar);
• peyzaj tasarımında (çimlerin sınırları, yapay rezervuarlar, taşlar);
• moda endüstrisinde (giyim, ayakkabı, aksesuar);
• günlük eşyaların tasarımında (lambalar, tabaklar, yamuk şekillerin kullanılması);
• mimaride.

Pratik iş(seçeneklere göre).

- Bir koordinat sisteminde, verilen üç köşe için ikizkenar yamuk oluşturun.

Seçenek 1: (0; 1), (0; 6), (- 4; 2), (...; ...) ve (- 6; - 5), (4; - 5), (- 4 ; - 3) , (...; ...).
Seçenek 2: (- 1; 0), (4; 0), (6; 5), (...; ...) ve (1; - 2), (4; - 3), (4; - 7), (...; ...).

- Dördüncü köşenin koordinatlarını belirleyin.
Çözüm, tüm sınıf tarafından gözden geçirilir ve yorumlanır. Öğrenciler bulduğu dördüncü noktanın koordinatlarını belirtirler ve verilen koşulların neden sadece bir noktayı tanımladığını sözlü olarak açıklamaya çalışırlar.

Eğlenceli bir görev. Aşağıdakilerden bir yamuk ekleyin: a) dört dik açılı üçgen; b) üç dik açılı üçgenden; c) iki dik açılı üçgenden.

IV. Ödev

• doğru benlik saygısı eğitimi;
• her öğrenci için bir “başarı” durumu yaratmak.

s.44, yamuğun tanımını, elemanlarını, çeşitlerini bilir, yamuğun özelliklerini bilir, ispatlayabilir, №388, №390.

V. Ders özeti. Dersin sonunda çocuklara anket,İç gözleme izin veren, dersin niteliksel ve niceliksel bir değerlendirmesini veren .

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Sitede bir istek bıraktığınızda, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifleri, promosyonları ve diğer etkinlikleri ve yaklaşan etkinlikleri bildirmemize olanak tanır.
• Zaman zaman önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer promosyon etkinliğine katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara ifşa edilmesi

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, mahkeme kararına, mahkeme işlemlerinde ve / veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet makamlarından gelen kamu soruşturmalarına veya taleplerine dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer sosyal açıdan önemli nedenlerle bu tür bir açıklamanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek de sizinle ilgili bilgileri ifşa edebiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri uygun bir üçüncü tarafa - yasal halef - aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik kurallarını getiriyoruz ve gizlilik önlemlerinin uygulanmasını titizlikle izliyoruz.