Depositfiles'den indirin

Dersler 5-6

Konu2. Çoklu integraller.

Çift integral.

Kontrol soruları.

1. Çift katlı integral, geometrik ve fiziksel anlamı

2. Çift katlı integralin özellikleri.

3. Kartezyen koordinatlarda çift katlı integralin hesaplanması.

4. Bir çift katlı integralde değişkenlerin değişimi. Kutupsal koordinatlarda çift katlı integralin hesaplanması.

fonksiyon olsun z = F (x , y) sınırlı bir kapalı bölgede tanımlanır NS uçak. Hadi alanı bölelim NS keyfi olarak n temel kapalı bölgeler  1 , … , n alanlar ile   1 , …,   n ve çaplar NS 1 , …, NS n sırasıyla. biz NS bölgelerin çaplarının en büyüğü  1 , … ,  n... her alanda  k keyfi bir nokta seçin P k (x k , y k) ve oluştur integral toplamı işlev F(x, y)

S =
(1)

Tanım. Çift integral işlev F(x, y) alana göre NS integral toplamının limiti denir

, (2)

eğer varsa.

Yorum Yap. integral toplamı S bölgenin nasıl bölündüğüne bağlı NS ve nokta seçimi P k (k=1, …, n). Ancak, sınır
, varsa, bölgeyi bölümleme yöntemine bağlı değildir NS ve nokta seçimi P k .

Çift katlı bir integralin varlığı için yeterli bir koşul. Eğer fonksiyon çift katlı (1) ise mevcuttur. F(x, y) sürekli NS sınırlı sayıda parçalı düzgün eğriler hariç ve NS... Aşağıda, incelenen tüm çift katlı integrallerin var olduğunu varsayacağız.

Çift katlı integralin geometrik anlamı.

Eğer F(x, y) ≥0 bölgede NS, o zaman çift katlı (1) şekilde gösterilen "silindirik" gövdenin hacmine eşittir:

V =
(3)

Silindirik bir gövde aşağıdan bir alanla sınırlandırılmıştır. NS, yukarıdan  yüzeyin bir kısmı z = F (x , y), yanlarda - bu yüzeyin ve bölgenin sınırlarını bağlayan dikey çizgi parçaları ile NS.

Çift katlı integralin fiziksel anlamı. Düz plaka kütlesi.

Düz bir tabak verilsin NS bilinen yoğunluk fonksiyonu ile γ ( NS,NS), ardından D plakasını D parçalarına bölmek ben ve keyfi noktaların seçilmesi
, levha kütlesi için elde ederiz
veya formül (2) ile karşılaştırarak:

(4)

4. Çift katlı integralin bazı özellikleri.

Doğrusallık. Eğer İLE BİRLİKTE Sayısal bir sabittir, o zaman

katkı. Eğer alan NS Alanlara "Böl" NS 1 ve NS 2, o zaman

3) Sınırlı alan alanı NS eşittir

(5)

Kartezyen koordinatlarda çift katlı integralin hesaplanması.

Bölge verilsin

Resim 1

D = { (x , y ): a ≤ x ≤ b , φ 1 (x ) ≤ y≤ φ 2 (x ) } (6)

Bölge NS düz çizgiler arasında bir şerit içine alınmış x = a , y = B, aşağıdan ve yukarıdan sırasıyla eğrilerle sınırlanır y = φ 1 (x ) ve y = φ 2 (x ) .

Alan üzerinde çift katlı (1) NS(4) yinelenen integrale geçilerek hesaplanır:

(7)

Bu yinelenen integral aşağıdaki gibi hesaplanır. İlk olarak, iç integral hesaplanır

değişkene göre y, burada x sabit kabul edilir. Sonuç, değişkenin bir fonksiyonudur x ve sonra bu fonksiyonun değişkene göre “dış” integrali hesaplanır x .

Yorum Yap. Formül (7)'ye göre yinelenen integrale geçme işlemine genellikle çift katlı integralde entegrasyon limitlerinin düzenlenmesi denir. Entegrasyon sınırlarını belirlerken iki nokta akılda tutulmalıdır. Birincisi, integrasyonun alt limiti üst limiti geçmemelidir; ikincisi, harici integralin limitleri sabit olmalı ve dahili integral genellikle harici integralin entegrasyon değişkenine bağlı olmalıdır.

Şimdi bölge olsun NS forma sahip

D = { (x , y ) : c ≤ y ≤ d , ψ 1 (y ) ≤ x ≤ ψ 2 (y ) } . (8)

Sonra

. (9)

Diyelim ki alan NS(6) ve (8) şeklinde aynı anda gösterilebilir. Daha sonra eşitlik

(10)

Eşitlikte (10) bir yinelenen integralden diğerine geçiş denir. entegrasyon sırasını değiştirmeçift ​​integralde.

Örnekler.

1) İntegraldeki entegrasyon sırasını değiştirin

Çözüm. Yinelenen integral formundan bölgeyi buluruz

D = { (x , y ): 0 ≤ x ≤ 1, 2 x ≤ y≤ 2 } .

alanı çizelim NS... Şekilden, bu alanın düz çizgiler arasında yatay bir şeritte yer aldığını görüyoruz. y =0, y= 2 ve satırlar arasında x =0 ve x= D

Bazen hesaplamaları basitleştirmek için değişkenler değiştirilir:

,
(11)

Eğer fonksiyonlar (11) sürekli olarak türevlenebilirse ve determinant (Jacobian) ele alınan alanda sıfırdan farklıysa:

(12)

tanım . İzin vermek ,
,

.

kümesine kapalı boşluk veya kapalı çubuk denir. .

kümesine açık boşluk denir.

veya açık bir bar .

tanım . Aralıkların ölçüsü ve miktar denir:

(Daha kesin
).

tanım . Eğer
öyle ki
sonra aralık dejenere denir ve
.

Aralık ölçüsü özellikleri:

a). pozitiflik:
, ve
ancak ve ancak - dejenere.

B). Pozitif tekdüzelik:.

v). katkı:

* için
öyle ki
;

* için
ve

.

G). Ölçünün monotonluğu:.

tanım . Çubuğun çapı (boşluk) şu değerdir:

Bunu not et
ve
Aynı şey değil. örneğin, eğer - dejenere, sonra
, a
(Genel konuşma).

Burada: * ;

* ;*
.

tanım . agrega
alt boşluk aralığı bölme denir , Eğer: *;

*
; *
; *
; *
.

Miktar
bölüm parametresi denir P(burada
).

tanım . bölme bölümün rafine edilmesi denir bölümün tüm öğeleri ise bölünmüş elemanların bölünmesiyle elde edilen .

Belirtilmiştir:
... Okumak: daha küçük veya daha büyük .

Daha büyük-küçük ilişkisi için doğrudur:

*. geçişlilik -; *.
;

*.


; *.

|
.

§. Çoklu integralin tanımı

İzin vermek
- kereste (boşluk) ,
- boşluğu bölmek ben... Bölme aralıklarının her birinde noktayı işaretle
.

alırız
için işaretli noktalarla bölünmüş
.

Miktar
fonksiyon için integral Riemann toplamı denir F (x) aralıkta ben işaretli noktalarla bölünerek
.

tanım :
=
=
.

ifade eden - bir çubuğa entegre edilebilen bir dizi fonksiyon ben yazıyoruz:

tanım : ε > 0 δ>0<.

fonksiyon için ise F(x) üzerinde ben ve bölme
- ile belirtmek
- fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri F(x) üzerinde ben k o zaman miktarlar
=
ve
=
alt ve üst Darboux toplamları olarak adlandırılır.

§. Çoklu integralin varlığı için Darboux kriteri.

T 0 . çalışmak
bir bara entegre edilebilirdi (onlar.
) gerekli ve yeterlidir

. Δ▲.

Öklid uzayında fonksiyonun bir çubuk üzerinden integrali belirlenir. İşlev, Öklid uzayından keyfi bir sınırlı küme üzerine nasıl entegre edilir?

fonksiyonunun integralini tanımlayalım. F set tarafından
.

tanım : İzin vermek
ve
- sınırlı, yani
... İşlev
kümesinin karakteristik fonksiyonu olarak adlandırılır. m.

Sonra:
≡
.

Bir küme üzerindeki integralin tanımı, hangi çubuğun içerdiğine bağlı değildir. m seçilmiş, yani

.

Bu, bir küme üzerindeki integral tanımının doğru olduğu anlamına gelir.

İntegral edilebilirlik için gerekli bir koşul.çalışmak F(x) üzerinde m integrallenebilir olması için F(x) ile sınırlıydı m. Δ▲.

§. Çoklu integrallerin özellikleri.

1  . Doğrusallık: Çok r m sette entegre edilebilen fonksiyonlar M - doğrusal

uzay ve
- doğrusal fonksiyonel.

2  . Normalleştirme koşulu:
... Başka bir gösterim şekli
aslında Öklid uzayından keyfi bir kümenin ölçüsünü belirler.

3  . Bir Lebesgue ölçüsü sıfır kümesi üzerindeki integral varsa, o zaman

sıfır.

Not: Bir çok m Lebesgue ölçüsü sıfır kümesi denir,

Eğer

öyle ki
ve
.

4  . a.;B.;

v. Eğer
ve - sıfırdan ayrılmış m, sonra

5  .
ve F=G pc (neredeyse her yerde) m, sonra
.

6  . Katkı: Eğer
ve
sonra

,

Genel olarak:
.

Δ. Eşitlikten çıkar: ▲

7  . Monoton:
ve
sonra
.

8  . Eşitsizliklerin entegrasyonu: eğer
ito

.

9  . İzin vermek


... NS
, setin bir iç noktasının olması gerekli ve yeterlidir. m, burada F (x)> 0 ve süreklidir.

10  . Entegre edilen fonksiyonun modülünün entegre edilebilirliği:
.

11  . Ortalama teoremi:
,
üzerinde m işareti korur ve
, sonra

.

eğer küme m- bağlı ve F(x) üzerinde sürekli
sonra
öyle ki
.

12  . Negatif olmayan bir fonksiyonun integralinin 0'a eşit olması için

için gerekli ve yeterli F(x) = 0 hemen hemen her yerde m.

13  . Fubini teoremi.Çift integral için:

Bölgeye izin ver
- dikdörtgen:. Daha sonra, çift katlı integrali bulmak için dahili tek integrallerin varlığı koşulu altında, tekrarlanan entegrasyona geçilebilir (bkz. Şekil A):

, veya

E

İntegrasyon alanı bir dikdörtgen değilse, Fubini teoremi hala geçerlidir ve şu şekildedir (bkz. Şekil b):
. (*)

Not: Entegrasyonun dış sınırları sabit olmalıdır, entegrasyonun iç sınırları, entegrasyonun hala yapılacağı değişkene bağlı olabilir.

Formül (*) setin karakteristik fonksiyonu kullanılarak elde edilebilir. NS.

Çoklu integral için:

Öklid uzaylarının bazı alt kümeleri olsun ve ... Öklid uzayının bir alt kümesi olan bu kümelerin Kartezyen çarpımını tanımlarız.
:.

O zaman için Fubini teoremi
şuna benziyor:
.

Teorem çubuklar için de geçerlidir x ve Y, ve daha karmaşık yapılandırmalar için.

Örnekler:

1 0 . Hesaplamak
bölgenin sınırı ise
denklemlerle verilir:

... Bölgenin sınırını tanımlayan eğrilerin kesişme noktalarını bularak iki nokta elde ederiz:
ve
... Ardından, yinelenen integrallere geçerken entegrasyon sınırlarının olası düzenlemesi şunları verir:

a).
;

2

0 . Yeniden entegrasyondaki entegrasyon sırasını değiştirin:
.

–

.

Yemek tarifi: Bir çift katlı integralde integralin sınırlarını belirlerken, integralin dış sınırlarıyla başlamanız önerilir.

3

0 . Hesaplamak:
, Eğer

Yinelenen integrallere geçmek şunları verir:
.

Bu durumda üçlü integralde limitlerin düzenlenmesi integralin iç limitleri ile başlamalıdır. Ardından alanı projelendirin V uçakta xOy

alan sınırları belirleme NS- uçakta yatmak xOy.

4 0 . Yeniden entegrasyondaki entegrasyon sırasını değiştirin:
.

Ostrogradskii'nin çoklu integraller üzerindeki çalışmaları üzerinde biraz daha ayrıntılı duralım.

Ostrogradsky'nin, genellikle formda yazdığımız, üçlü bir integrali çift katlı bir integrale dönüştürme formülü

div A, vektör A'nın alanının diverjansıdır,

An, A vektörünün sınır yüzeyinin dış normalinin n birim vektörü ile skaler ürünüdür; matematiksel literatürde daha önce Gauss ve Green adlarıyla ilişkilendirilmiştir.

Aslında, Gauss'un sferoidlerin çekiciliği üzerine çalışmasında, formül (1)'in yalnızca çok özel durumları görülebilir, örneğin, P = x, Q = R = 0, vb. J. Green'e gelince, onun çalışmasında elektrik teorisi üzerine ve formül (1)'in hiç bir manyetizması yoktur; Üçlü ve çift katlı integraller arasında başka bir ilişki türetmiştir, yani Green'in Laplace operatörü için formda yazılabilen formülü

Elbette, (2)'den formül (1) türetilebilir.

ve aynı şekilde formül (1)'den formül (2)'yi elde edebilirsiniz, ancak Green bunu yapmayı düşünmedi bile.

burada hacim üzerindeki integral solda ve sınır yüzeyi üzerindeki integral sağda ve bunlar dış normalin yön kosinüsleridir.

Ostrogradsky'nin Paris el yazmaları, tam bir kesinlikle, integral teoreminin (1) hem keşfinin hem de ilk iletişiminin ona ait olduğunu kanıtlar. İlk kez 13 Şubat 1826'da Paris Bilimler Akademisi'ne sunulan “İntegral hesabın bir teoreminin ispatı”nda olduğu gibi ifade edildi ve kanıtlandı, ardından bu bölümde tekrar formüle edildi. Ostrogradsky'nin 6 Ağustos 1827'de sunduğu “Katıların içindeki ısının yayılması üzerine hatıra”. Fourier ve Poisson'a inceleme için “Anı” verildi ve ikincisi, her ikisinin de ilk sayfalarındaki girişle kanıtlandığı gibi kesinlikle okudu. el yazmasının bölümleri. Tabii ki Poisson, elastikiyet teorisi üzerine çalışmasının sunumundan iki yıl önce Ostrogradsky'nin çalışmasında tanıştığı teoremi kendisine atfetmeyi bile düşünmedi.

Ostrogradskii ve Green'in çoklu integralleri üzerindeki çalışmalar arasındaki ilişkiye gelince, "Isı Teorisi Üzerine Not"ta çok özel bir durum olarak Green'in kendi formülünü kapsayan bir formülün türetildiğini hatırlıyoruz. Ostrogradsky tarafından "Not"ta kullanılan Cauchy'nin şimdiki sıra dışı sembolizmi, yakın zamana kadar bu önemli keşfi araştırmacılardan sakladı. Elbette Greene, Laplace operatörleri için kendi adını taşıyan formülün keşfinin ve 1828'deki ilk yayının onurunu elinde tutuyor.

Üçlü bir integralin çift katlı bir integrale dönüştürülmesi için formülün keşfi, Ostrogradskii'nin n-katlı integrali değiştirme problemini çözmesine, yani diverjans türündeki bir ifadenin integralinin dönüşümü için genel formülü türetmesine yardımcı oldu. L (x, y, z, ...) = 0 denklemi ile sınırlayıcı süper yüzey S üzerindeki integral n-boyutlu alan üzerinde ve integrali. Önceki gösterime bağlı kalırsak, formül şu şekildedir:

Ancak Ostrogradsky bizim kullandığımız geometrik görüntüleri ve terimleri kullanmadı: o zamanlar çok boyutlu uzayların geometrisi henüz yoktu.

Çoklu İntegrallerin Varyasyonları Hesabı Üzerine Anıda, bu tür integraller teorisinin iki önemli sorusu daha ele alınmaktadır. İlk olarak, Ostrogradskii çok boyutlu bir integralde değişkenlerin değişimi için bir formül çıkarır; ikinci olarak, ilk kez, uygun limitler dahilinde değişkenlerin her biri üzerinde n ardışık entegrasyon kullanarak n-katlı bir integrali hesaplamak için yöntemin tam ve doğru bir tanımını verir. Son olarak, bu anıda yer alan formüllerden, sadece integral değil, aynı zamanda entegrasyon alanının sınırı da bu parametreye bağlı olduğunda, çok boyutlu bir integralin parametresine göre genel türev alma kuralı kolayca türetilebilir. Bu kural, hatırattaki formüllerden o kadar doğal bir şekilde çıkar ki, daha sonraki matematikçiler onu bu hatırattaki formüllerden biriyle tanımladılar.

Ostrogradskii, çoklu integrallerdeki değişkenlerin değişimine özel bir çalışma ayırdı. Bir çift katlı integral için, karşılık gelen kural, Euler tarafından biçimsel dönüşümler kullanılarak, üçlü bir integral için Lagrange tarafından türetilmiştir. Ancak, Lagrange'ın sonucu doğru olmasına rağmen, muhakemesi doğru değildi: eski ve yeni değişkenlerdeki - koordinatlardaki - hacim öğelerinin birbirine eşit olduğu gerçeğinden hareket ediyor gibiydi. Ostrogradskii, değişkenleri değiştirme kuralından biraz önce bahsedilen türetmede başlangıçta benzer bir hata yaptı. Ostrogradskiy, “Çoklu integrallerde değişkenlerin dönüşümü üzerine” makalesinde Lagrange hatasını açıkladı ve ilk kez, değişkenleri bir çift katlı integrale dönüştürmek için açık geometrik yöntemi sundu; kılavuzlarımız. Yani, integraldeki değişkenleri formüllere göre değiştirirken, entegrasyon bölgesi u = const, v = const iki sisteminin koordinat çizgileriyle sonsuz küçük eğrisel dörtgenlere bölünür. Daha sonra integral, önce sonsuz dar bir eğrisel şeride karşılık gelen elemanlarının toplanması ve ardından elemanların tümü tükenene kadar şeritler halinde toplanmasına devam edilmesiyle elde edilebilir. Küçük bir üst mertebeye kadar paralelkenar olarak kabul edilebilecek alan için basit bir hesaplama, alan pozitif olacak şekilde seçildiği ifadeyi verir. Sonuç olarak, iyi bilinen formülü elde ederiz.

Transcript

1 FEDERAL EĞİTİM AJANSI DEVLET MESLEK YÜKSEK EĞİTİM KURULUŞU "SAMARA DEVLET HAVACILIK ÜNİVERSİTESİ akademisyen SP KOROLEV"

2 UDC 7 7 Derleyen OM Karpilova Teknik Bilimler Adayı Doç. Önerilen Genel Mühendislik Eğitimi Bölümü'nde hazırlanmıştır ve Samara Devlet Havacılık ve Uzay Üniversitesi Enerji ve Ulaştırma Enstitüsü öğrencilerine yöneliktir UDC 7 7 Samara Devlet Havacılık ve Uzay Üniversitesi

3 DECARTH KOORDİNATLARINDA ÇİFT INTEGRALLERİN HESAPLANMASI Çift katlı integrali hesaplamak için, tekrarlanan bir çift katlı integral olarak gösterilir ff Örneklerin çözümü Örnek baf'tan tekrarlanan integrale gidin ve alan çizgilerle sınırlandırılmışsa integralin sınırlarını belirleyin: a 6 ; B; v; ABC üçgeninin r konturu burada A; B;6C;; e Çözüm: a Alanı oluşturun: O eksenine paralel düz bir çizgi; O eksenine paralel düz çizgi; 6 ve 6 noktalarından geçen 6 doğru; Alan bir ABC üçgenidir Şekil C noktasının koordinatlarını bulmak için denklem sistemini çözmek gerekir Şekil 6 Dolayısıyla C; Bu nedenle, alanın içinde O eksenine paralel ve alanı kesen bir düz çizginin nasıl değiştiğini bulmak için Bu düz çizgi, çizgi boyunca alana girer ve 6 veya 6 çizgisi boyunca gider. bir eşitsizlikler sistemi ile: 6 Şimdi bir çift katlı integralde limitleri belirlemek kolaydır: f 6 f

4 b Kur: bir parabol, O eksenine paralel bir düz çizgidir Şekil. A ve B noktalarının koordinatlarını bulun Bunu yapmak için, sistemi çözün ± O eksenine paralel bir düz çizgi çizin ve bölgeyi kesiyor Bu çizgi, bir parabol boyunca bölge ve düz bir çizgi boyunca dışarı çıkar Şekil'in alanını oluşturalım: orijinde apeks ile O ekseni etrafında simetrik bir parabol; köşe noktası koordinatların orijininde olan O ekseni etrafında simetrik parabolün pozitif dalı Şekil. Bu doğruların kesişme noktalarını bulun: Denklemin her iki tarafının karesini alarak buradan şunu elde ederiz. O noktaları; ve A; O'ya paralel düz bir çizgi çizip alanı keserek giriş çizgisi ve çıkış çizgisinin olduğunu görüyoruz.

5 Böylece: bu nedenle: ff r Bir üçgen oluşturalım Şekil Çizimden, alanın içinde O'ya paralel ve alanı kesen bir doğrunun AC kenarı boyunca üçgene girdiği ve AB kenarı boyunca çıktığı açıktır. M ve M iki noktasından geçen doğru, AB ve AC biçimindedir: AB: bunlar nereden; 6 AC: nereden olanlar Böylece: Bu nedenle f f d Alanı oluşturun Bunu yapmak için, sınır denklemini dönüştürün: Değişkene göre tam kareyi seçin: Ortaya çıkan denklem, bir nokta merkezli yarıçaplı bir daire ayarlar; Fig Fig Fig Integrasyon limitlerini belirlemek için bölgeye giren ve çıkan doğrunun çemberinin üst ve alt yarısının denklemlerini yazmak gerekir. Asıl denklemi şuna göre çözelim: ±

6 Çemberin üst yarısının alttakinin denklemine karşılık geldiği açıktır. Böylece: bu nedenle f f Örnek İntegrasyon sırasını değiştirin: b 6; ff; a in ff Çözüm: a İntegrasyon bölgesi bir eşitsizlikler sistemi tarafından verilir: Şekil 6'nın bölgesini oluşturalım: parabolün üst yarısı, parabolün alt yarısı İntegrasyon sırası değiştirildiğinde, integral cf şeklini alacaktır. Şekil 6 Parabol ve doğrunun kesişme noktalarının koordinatlarını bulalım: ± Böylece A; V; Bölgeyi kesen O eksenine paralel düz bir çizgi çizelim Bu girişin çizgisi parabol bölgesine, çıkış çizgisi düz Böylece bölge bir eşitsizlikler sistemi ile de belirtilebilir: O zaman f f 6

7 b Bu durumda, integrasyon bölgesi bir eşitsizlikler sistemi tarafından belirlenir: 6 Bu alanı oluştur Şekil 7: 6 hiperbol doğrusu A ve B noktalarının koordinatlarını bulun A noktasında, dolayısıyla B noktasında, dolayısıyla, A ; V; İntegral sırası değiştirildiğinde, integral f şeklini alacaktır Şekil 7 c O zamandan beri c; O eksenine paralel düz bir çizgi çizelim ve alanı kesen hiperbolün girişinin 6. Çizgisi Çıkış çizgisinin 6'dan düz olduğu yerden Alan eşitsizliklerle verilir: 6 Son olarak, 6 6 ff'yi elde ederiz. - sürü noktasındadır; ve simetri ekseni O eksenidir

8 İntegrasyon sınırlarını belirlemek için sınır çizgilerinin kesişme noktalarının koordinatlarını bulacağız. Bunun için denklem sistemini çözeceğiz; Dolayısıyla, A; V; İntegrasyon sırasını değiştirdiğimizde, değişkene göre dış integral alınacaktır, içteki tarafından. Bu nedenle, bölgeyi kesen ve Öküz eksenine paralel düz bir çizgi çiziyoruz Doğru boyunca bölgeye giriyor ve gidiyor doğru boyunca Yani, integrasyon sırasını değiştirerek, fff hesaplamasını sadece bir Örnek Hesapla elde ederiz; ; alanın çizgilerle sınırlandığı yerde Çözüm Şekil 9'un alanını oluşturalım: O eksenine paralel düz bir çizgi ve orijinden geçen düz çizgiler İntegrali hesaplamak için çift katlı integralden tekrarlıya geçiyoruz Bölge bir eşitsizlikler sistemi tarafından ayarlanabileceğinden: Şekil 9 İlk olarak, integral bir değişken üzerinde gerçekleştirildiği için sabit bir değer varsayarak iç integrali hesaplıyoruz: Şimdi ortaya çıkan dış integrali hesaplamak kalıyor:

9 Böylece Örnek Hesapla Çözüm Bir bölge oluşturalım: O ekseni, koordinatların orijinden geçen O ekseni düz çizgisine paralel bir düz çizgidir Şekil. Düz çizgiler ve A noktasında kesişirler; Bir çift katlı integrale geçerek ve onu hesaplayarak, indirgeme formüllerine göre çizgilerle sınırlandırılıp sınırlandırılmadığını elde ederiz Şekil 9

10 Bağımsız bir çözüm için görevler Alan çizgilerle sınırlandırılmışsa, f'nin azaltıldığı tekrarlanan integrallerde integralin sınırlarını yerleştirin: a; B; v; G; d üçgen ABC burada A; V; İLE BİRLİKTE; Entegrasyon sırasını değiştirin: a f; bf; f'de; d f Alanın belirtilen çizgilerle sınırlandığını varsayarak çift katlı integralleri hesaplayın: a; 7; B; ; v; ; rf; 6 Cevap a f; bf; d f'de; d bir f; bff; f'de; gfa; 7b; v; f 6 g e f f;

11 POLAR KOORDİNATLARDA ÇİFT ENTEGRAL Düzlemde hem Kartezyen hem de kutupsal koordinat sistemleri belirtilmişse ve kutup orijine denk geliyorsa ve kutup ekseni Ox eksenine hizalanmışsa, kutupsal koordinatlara gitmek için formüller kullanılır. α f Örneklerin çözümü Örnek Hesapla> Çözüm Fig'in bir alanını oluşturalım: koordinatların orijinden geçen yarıçaplı düz doğrulardan oluşan bir daire Alan bir dairenin parçası olduğu için kutupsal koordinatlara gitmek uygundur. durumda, kutup O noktası ile uyumludur; ve O ekseni boyunca kutup eksenini boşaltalım Sonra alanın çizgilerle sınırlandığı yer Şekil Şimdi alanı kutupsal koordinat sisteminde tanımlamak gerekiyor Alan içindeki açı Şekil k'yi görmek için değişir. O eksenine

12 k'ye eşit bir açıda teğet Bu nedenle tg; tg Dolayısıyla; Böylece, bölgenin içinde, O kutbundan çıkan ve kesişen bir Işın, denklemi kutupsal koordinatlardaki forma sahip bir daire boyunca bölgeyi terk eder. tekrarlanan bir integral ve onu hesaplayın Örnek e'yi halkanın nerede olduğunu hesaplayın Çözüm Bölge 9 ve 9 numaralı dairelerle sınırlandığı için şekil şek. Kutupsal koordinatlara geçmek uygundur: O zaman sınırların denklemleri şu şekilde olacaktır; 9 Şekil Tekrarlanan bir integralde integrasyon limitlerini ayarlamak için, bölge içinde açının tüm değerleri aldığına dikkat edin. satır Böylece: O zaman

13 9 9 9 e he he e e e Örnek Eşitsizliklerle tanımlanmışsa hesaplayın: Çözüm Bölgeyi oluşturun Bunu yapmak için sınır denklemini dönüştürün: Yani sınır, bir nokta merkezli yarıçaplı bir dairedir; Çemberin üst yarısı Şekil olduğu için. Kutupsal koordinatlara gidelim: Şekil Kutupsal koordinatlardaki sınırın denklemi şu şekli alacaktır. eşitsizliklerle verilir Şimdi çift katlı integrali hesaplayabilirsiniz

14 Bağımsız çözüm için görevler Kutupsal koordinatlara giderek hesaplayın: çemberin üst yarısı burada 6 alan eşitsizlikleri sağlıyorsa alan 9 doğrularla sınırlanıyor 6 alan doğrularla sınırlanıyor 6 alan eğrilerle sınırlanıyor Yanıtlar; ; ; ; ÇİFT ENTEGRAL UYGULAMALARI Çift katlı integral aşağıdakileri hesaplamak için kullanılır: ve düz bir şeklin alanını sınırlı bir alana göre: S; b, yukarıdan sürekli bir yüzey f ile aşağıdan bir düzlem ve yandan O düzleminde bir alanı kesen düz bir silindirik yüzey ile sınırlanan silindirik bir cismin hacmi:

15 f; O düzlemine izdüşümü bölge olan f denklemi tarafından verilen yüzey alanında: σ Ek olarak, mekanikte aşağıdakileri hesaplamak için çift katlı integraller kullanılır: a O düzleminin bölgesini kaplayan ve bir değişkeni olan düz bir plakanın kütlesi yüzey yoğunluğu γ γ: M γ; b O ve O eksenlerine göre plakanın istatistiksel momentleri:; M y; Plakanın ağırlık merkezinin koordinatlarında M γ: γ M c; M γ Örneklerin çözümü c MM γ γ 6 Örnek Doğrularla sınırlanmış bir bölgenin alanını bulun Çözüm Bir bölge oluşturun Denklem bir parabol denklemi tanımlar, koordinatların orijinden geçen düz bir doğru Şekil Bu doğruların kesişme noktalarını bulmak için denklem sistemini çözeriz: Bu durumda, düz çizgi parabol ile noktalarda kesişir; ve A; S formülünü kullanma Şekil Örneği İlk dairenin dışındaki çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanını bulun;

16 Çözüm Denklem orijinde merkezlenmiş yarıçaplı bir daire belirtir Denklem bir noktada merkezli yarıçaplı bir daire belirtir, denklem sistemini birlikte çözelim ± Yani; A; Tanım Alanında AmBn eşitsizliklerle belirtilebilir Formül 6 ile S Örnek Koordinat düzlemleri ve bir düzlemle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun Çözüm Şekil 7'de bir cisim ve O düzlemindeki izdüşümünü oluşturalım Şekil 6

17 Formüle göre Şekil 7 Şekil Örnekte, alan Şekilde gösterilen bir OAB üçgenidir ve yüzey, düzlemin denklemi ile belirlenir. ve yüzey Çözüm Gövde Şekil 9'da gösterilmiştir Düzlem O eksenine paralel uzanır; tepe noktası noktasında olan bir paraboloid;; Gövdenin O düzlemine izdüşümü ABO üçgenidir Şekil AB, düzlemin düzlemle kesişme çizgisi, dolayısıyla AB düz çizgisinin denklemi: nereden 7

18 Formüle göre Şekil 9 Silindirli bir şekil 6 Örnek Bir paraboloid ve düzlemlerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun ve Çözüm

19 7 6 Örnek 6 Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun 7 Çözüm Bu cisim iki paraboloit tarafından sınırlandırılmıştır Şekil. Paraboloitlerin kesişim çizgisi denklem sistemi tarafından belirlenir İlk denklemden O halde kesişim doğrusu bir dairedir düzlemde yatan yarıçap: Bu çizginin O düzlemi üzerindeki izdüşümü de bir dairedir, bu nedenle polar Şekil'e gitmek uygundur. Bir cismin hacmi, iki silindirik cismin hacimleri arasındaki fark olarak hesaplanabilir: Örnek 7 Silindir içindeki bir kürenin yüzey alanını bulun 9 Çözüm Bir silindir, bir kürenin yüzeyinde O düzlemine göre simetrik iki parça kesiyor Şekil Simetri sayesinde, yüzey alanını hesaplamak yeterlidir. sadece üst "başlık" ve sonucu ikiye katlayın dokuz

20 Hesaplamak için formülü kullanacağız Kısmi türevleri içerdiğinden, hesaplayacağız ve bu nedenle kürenin denkleminden Daha Sonra Şekil Bu nedenle, σ formülünü kullanarak yüzeyin O düzlemine izdüşümü daire kutuplara gitmek için uygundur koordinatlar Kutupsal koordinat sisteminde, dairenin denklemi formdur Yani kutupsal koordinatlarda σ 9 dolayısıyla 9 kabul edecektir Sadece üst "başlığın" alanını düşündüğümüzden, tüm yüzey alanı σ σ'ya eşittir n Örnek Homojen bir ABC plakasının ağırlık merkezini bulun, eğer A; - B; C; ; - Çözüm Ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplamak için formülleri kullanacağız 6 Plaka homojen olduğu için yüzey yoğunluğu γ sabittir, dolayısıyla formüller q şeklini alacaktır; C

21 Şekilden, levhanın yamuk şeklinde olduğu ve O ekseni etrafında simetrik olduğu görülebilir. verilen iki nokta: c BC:; A: Pirinç Şimdi koordinatı tanımlayan kesrin payını ve paydasını ayrı ayrı hesaplıyoruz: q 9 Payda, ABC yamuğunun te alanının alanına eşit bir integral içerir Bu nedenle, h; bu AB C integralini doğrudan hesaplamak mümkündür. Böylece, q; c Örnek 9 Her noktadaki yoğunluk ba noktasının ordinatına eşitse elipsin üst yarısının kütlesini bulun Çözüm Her noktadaki yoğunluk bunların ordinatına eşittir γ Formülü ile M γ Üst yarı için elipsin, Şekil 6 b dolayısıyla bir Şekil 6

22 M a a a b a b a a a b a a b a a a a b Bağımsız bir çözüm için görevler a ab Bir şeklin çizgilerle sınırlanmış alanını bulun: a; B; içinde; g bir a; e Yüzeylerle sınırlanan cismin hacmini bulun: a; B; içinde; d Belirtilen yüzeyin alanını bulun: a birinci oktant içine alınmış düzlem 6 parçasının; b, a düzleminin a silindiri tarafından kesilen kısmıdır; bir silindir içindeki bir paraboloidde; d Bir parabolik silindir ve bir düzlem tarafından kesilen paraboloid Bir yamuk ABC'nin ağırlık merkezini bulun, burada A; B; C; ; Her noktadaki yoğunluk bu noktanın apsisine eşitse Bir parabol ve bir düz çizgi ile sınırlanmış homojen bir şeklin ağırlık merkezini bulun 6 Her noktadaki alan yoğunluğu orantılı ise dairesel bir yarıçap plakasının kütlesini bulun dairenin merkezinden uzaklığa Cevaplar a; B; v; g bir a; d6 ve 6; B; içinde; g bir

23 a; b bir; v; гцццц 6 6 k DECARTH KOORDİNATLARINDA ÜÇLÜ INTEGRALLERİN HESAPLANMASI Üçlü integrali hesaplamak için, üç katlı bir integral olarak temsil edilir: Örneklerin çözümü Örnek fbaff'tan üçe gidin ve alan aşağıdakilerle sınırlıysa integralin sınırlarını belirleyin: bir düzlem ve koordinat düzlemleri; b koni ve h düzlemi; topun içinde Çözüm a Alanı ve bu alanın düzlem üzerindeki izdüşümünü oluşturalım O şek 7 AB doğrusu düzlemin düzlemle kesiştiği doğru, dolayısıyla denklemi Böylece OAB Şekil 7 Şekil Şekilden O eksenine paralel düz bir çizgi çizdikten ve OAB incir üçgenini keserek, çizgiye girdiğini ve çizgiden çıktığını fark ediyoruz.

24 Değişimin sınırlarını bulmak için, O eksenine paralel ve Şekil 7'deki bölgeyi kesen düz bir çizgi çizin. 7 Yüzey boyunca bölgeye girer ve te yüzeyi boyunca dışarı çıkar. Böylece bölge bir sistem tarafından tanımlanabilir. eşitsizliklerin 6 dolayısıyla ff 6 b düzlemi O alanı Şekil 9 Alanı sınırlayan doğrunun denklemi hh denklem sisteminin çözülmesiyle elde edilir Şekil 9 Yani, merkezi orijinde olan h yarıçaplı bir daire Düz doğruları paralel çizme O ve O kesişir ve eşitsizlikler sistemi tarafından açıklananı elde ederiz hhhhh Bu nedenle, hhhhhff

25 Üç katlı bir integralde farklı bir integrasyon sırası seçebilirsiniz, o zaman integrasyon limitleri doğal olarak değişecektir Örneğin, ilk integrali cf formunda temsil ediyoruz İntegrasyon limitlerini ayarlamak için O düzlemine yansıtıyoruz ve düz çiziyoruz sırasıyla O ve O'ya paralel ve kesişen doğrular ve Şekil. Bu durumda, eşitsizliklerle verilir: h bu nedenle hff Şekil. Alanı ve düzlem üzerindeki izdüşümü O Şekil Şekil. Çizimden görülebilir. o

26 f f f f Örnek Cismin bir düzlem ve bir koni tarafından koordinat düzlemleriyle sınırlanıp sınırlanmadığını hesaplayın Çözüm Cismi ve onun düzlem üzerindeki izdüşümünü oluşturalım O fig Çizimden eşitsizliklerle ne tanımlandığını görebilirsiniz: Şekil Böylece 6

27 Bağımsız çözüm için görevler f'den üç katlı bir integrale gidin ve cisim sınırlıysa integralin sınırlarını belirleyin: a bir elipsoid ile; 9 b paraboloid ve düzlem; koordinat düzlemlerinde ve bir düzlemde 6 Cismin düzlemler ve bir küre ile sınırlandırılıp sınırlandırılmadığını hesaplayın Cismin düzlemlerle ve bir koni ile sınırlandırılıp sınırlandırılmadığını hesaplayın Cevaplar 9 Cismin düzlemlerle sınırlandırılıp sınırlandırılmadığını hesaplayın a f; bf; f 6 ÜÇLÜ ENTEGRAL SİLİNDİRİK VE KÜRESEL KOORDİNATLARDA DEĞİŞKENLERİN DEĞİŞİMİ Silindirik koordinatlara geçiş için formüller şek:; ; ; Küresel koordinatlara geçiş için formüller θ r Şekil: r θ; r θ; r θ; r θrθ Burada; θ; r7

28 Örneklerin çözümü Örnek Hesapla Şekil Şekil eğer bir koni ve düzlem ile sınırlandırılmışsa Çözüm Gövde Şekil'de gösterilmektedir. Koni ve düzlemin kesişme çizgisi te denklemine sahiptir. ; ; Bu koordinatlarda Şekil 6'da gösterilen dairenin denklemi koninin denklemidir ve cisim eşitsizliklerle verilir; ; Bu yüzden

29 v Örnek Cismin yüzeylerle sınırlı olup olmadığını hesaplayın Çözüm Bir alan oluşturun; düzlem Bir yüzey oluşturmak için denklemi dönüştürüyoruz: Bu denklem, tabanında bir nokta merkezli yarıçaplı bir dairenin bulunduğu dairesel bir silindiri tanımlar; Bu nedenle integrasyon bölgesi bir silindirdir Şekil 7 Bu nedenle silindirik koordinatların kullanılması uygundur.Bu koordinatlarda integrasyon bölgesini sınırlayan silindirik yüzeyin denklemi şu şekli alacaktır. bölge bir eşitsizlikler sistemi ile tanımlanabilir; ; Şekil 7 9

30 Örnek Cismin topun üst yarısının nerede olduğunu hesaplayın Çözüm Burada integrasyon alanı topun bir parçası olduğundan, küresel koordinatlara gitmek uygundur: rrrrrrrrrrrrr θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ yüzeyler Yüzeylerle sınırlanan yerleri hesaplayın

31 Hesapla Top varsa yüzeylerle sınırlıysa hesapla Cevaplar ÜÇLÜ INTEGRALLERİN UYGULAMALARI Üç katlı integral aşağıdakileri hesaplamak için kullanılır: а bir cismin hacmi Ω:; 7 Ω b değişken hacimsel yoğunluğa sahip Ω alanını kaplayan vücut kütlesi γ: M γ; Ω cismin ağırlık merkezinin koordinatlarında Ω: q γ M Ω q γ 9 M Ω q γ M Ω burada M cismin kütlesidir Eğer cisim homojen ise formül 9'da γ; M Örneklerin çözümü Örnek Bir silindir ve düzlemlerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun Çözüm Cisim ve O düzlemindeki izdüşümü Şekilde gösterilmiştir A ve B noktalarının koordinatlarını bulmak için denklem sistemini çözeriz:

32 ± A; B; Böylece, Ω alanı bir eşitsizlikler sistemi ile tanımlanır; ; 7 Ω formülüne göre Örnek Yoğunluk her noktada ise düzlemlerle sınırlanmış bir cismin kütlesini bulun Çözüm Bir Ω cismi ve O düzlemine izdüşümünü oluşturalım Şekil 9 Şekil 9 Düzlem düzlem ile kesişiyor düz bir çizgi Sistemi çözdükten sonra A noktasının koordinatlarını elde ederiz; Böylece, cisim Ω bir eşitsizlikler sistemi ile tanımlanır; ; Formül ile vücut kütlesi M Ω Örnek Her noktadaki yoğunluk apsis ile orantılıysa ve O düzleminden bir birim uzaklıkta eşitse, düzlemler 9 ve bir parabolik silindir ile sınırlanmış bir cismin kütlesini hesaplayın

33 Çözüm Yoğunluk apsisle orantılıdır; dolayısıyla k γ O düzleminden birim uzaklıkta yoğunluk; bu nedenle, γ için O zaman k k Böylece γ Ω gövdesini ve O düzlemine izdüşümünü oluşturalım Şekil Şekil A noktasının koordinatlarını bulmak için denklem sistemini çözeriz; 9 A Böylece bölge, eşitsizlikler sistemi ile belirtilebilir Ω Ω 9: Formüle göre, vücut kütlesi eşittir Ω M Örnek Alt yarısı ile sınırlanan bir cismin ağırlık merkezinin koordinatlarını bulun. küre ve her noktadaki yoğunluk O ekseninden uzaklığın karesiyle orantılıysa bir paraboloid

34 Çözüm Paraboloidin gövdesini vertex noktasına kadar oluşturun; ; İçinde bulunduğu denklem, bir noktada merkezli bir yarıçap küresini tanımladığı forma dönüştürülebilir; ; Yani vücut Şekilde gösterilen forma sahiptir. Bu cismin O düzlemine izdüşümü bir dairedir. Denklemi denklem sistemi çözülerek elde edilebilir Düzlemde, kesişme çizgisinin denklemi forma sahiptir. Ω gövdesinin düzlem üzerine izdüşümü aynı Ω formuna sahiptir Şekil ; ; Bu koordinatlarda, Ω sınırının denklemi şu şekildedir; ve açı koşulu yerine getirir Silindirik koordinatlarda bir paraboloid denklemi, buradan bir küre denklemi: ± Alt yarı için Problemin durumuna göre değişken yoğunluk, O ekseninden olan uzaklığın karesi ile orantılıdır te γ k In silindirik koordinatlar γ k bu eksen te c; q q'yu hesaplamak için formül 9'u kullanırız: q γ M Ω Önce, M cismin kütlesini hesaplayın [formül]:

35 6 k k k k k k k M γ Ω Ω Ω Ω Şimdi hesaplıyoruz Ω Ω Ω γ k k k k k k k k k k formülüyle Yani, incelenen cismin ağırlık merkezinin koordinatları vardır; ; 7

36 Bağımsız çözüm için görevler 6 Aşağıdakilerle sınırlanan bir cismin hacmini bulun: a düzlemlerle; b paraboloid ve düzlem; yüzeylerde ve 6 Sınırlı bir cismin kütlesini bulun: a yoğunluğu γ k ise kürelere göre; b yoğunluğu ise γ k ise yüzeyler; bir koni ve bir düzlemde b yoğunluk noktanın koordinatıyla orantılıysa ve O düzleminden birim uzaklıkta γ ​​6'ya eşitse, a düzlemleriyle sınırlanmış homojen bir cismin ağırlık merkezinin koordinatlarını bulun Cevaplar 6a; B; 6 9 k yb 6 a k; B; 6 6C'de;; 6

37 Varyant EK BİREYSEL EV GÖREVLERİNİN ÇEŞİTLERİ Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklinin ağırlık merkezini bulun Bir silindirin içine alınmış bir silindirin yüzey alanını bulun Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun herhangi bir noktadaki yoğunluk bu noktanın uygulanabilirliğine eşitse bir küre ve bir paraboloid Seçenek Bir çizgi ve bir sinüzoidin yarım dalgası ile sınırlanmış bir düzlem şeklinin ağırlık merkezini bulun Bir koninin yüzey alanını bulun Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun Herhangi bir noktadaki yoğunluk, noktadan düzleme olan mesafeye eşitse, birinci oktanda bulunan yarıçap küresinin bir parçası tarafından sınırlanan bir cismin kütlesini bulun O Seçenek Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklinin ağırlık merkezini bulun Silindirin içindeki bir koninin yüzey alanını bulun 9 Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun 9 9 Arasında küresel bir tabaka ile sınırlanmış bir cismin kütlesini bulun 9 ve 6 numaralı yüzeyler, her noktadaki yoğunluk, noktadan orijine olan mesafeyle ters orantılıysa la koordinatları Seçenek Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklinin ağırlık merkezini bulun 6> Silindirin içinde bulunan yüzey alanını bulun 6 Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun 7

38 Her noktadaki yoğunluk, bir noktadan silindirin simetri eksenine olan uzaklığın karesine eşitse, yarıçap yüksekliğinde düz dairesel bir silindir tarafından sınırlanan bir cismin kütlesini bulun Seçenek Bir düzlemin ağırlık merkezini bulun bir yarıçap ve O ekseni etrafında simetrik olarak yerleştirilmiş ve aralarında açı oluşturan iki ışın ile orijinde merkezi olan bir daire ile sınırlanmış şekil Silindirin içinde bulunan bir koninin yüzey alanını bulun Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun Her noktadaki yoğunluk bu noktanın apsisine eşitse, koordinat düzlemleri ve düzlem 6 ile sınırlanmış bir cismin kütlesini bulun Seçenek 6 O ekseni ve elipsin üst kısmı ile sınırlanmış bir düzlem şeklinin ağırlık merkezini bulun ba Düzlemlerle kesilmiş bir silindirin yüzey alanını bulun Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun 6 Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin kütlesini bulun Eğer her noktadaki yoğunluk bu noktanın uygulayıcısına eşitse Seçenek 7 Kardioid ile sınırlandırılmış bir düzlem figürün ağırlık merkezini bulun 7 Bir yüzeyin alanını bulun ve bir silindir tarafından kesilen bir koni Gösterim Kutupsal koordinatlara git Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin kütlesini bulun> eğer yoğunluk bir noktanın ordinatına eşitse Seçenek Bir cismin ağırlık merkezini bulun p doğruları ile sınırlanmış düzlem şekil

39 Bir silindir içindeki bir paraboloidin yüzey alanını bulun Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun 6 Her noktadaki yoğunluk ise yüzeylerle sınırlanmış bir cismin kütlesini bulun Varyant 9 Bir düzlem şeklinin ağırlık merkezini bulun çizgilerle sınırlanmış 9 9> Bir küre ve bir paraboloid tarafından sınırlanmış bir cismin yüzey alanını bulunuz. 6 9 silindirin dışındaki yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulunuz. yoğunluk bir noktanın koordinatların orijinden uzaklığıyla ters orantılıysa Seçenek Orijinden ve A noktasından geçen bir doğru ve OA düz doğrusu ile sınırlanan bir düzlem şeklinin ağırlık merkezini bulun; Bir silindir tarafından kesilen bir kürenin yüzey alanını bulun Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun; silindirlerin içinde Yoğunluk, topun merkezinden olan uzaklığın küpüyle orantılıysa ve birim mesafede γ'ya eşitse, yarıçaplı bir top tarafından sınırlanan bir cismin kütlesini bulun; Seçenek Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklin ağırlık merkezini bulun 6 Düzlemler arasındaki bir silindirin yüzey alanını bulun Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun Silindirik bir yüzeyle sınırlanmış bir cismin kütlesini ve yoğunluğu varsa düzlemleri bulun 9 noktasının koordinatına eşittir

40 Seçenek Kardioid ile sınırlanmış bir düzlem şeklin ağırlık merkezini bulun Silindir içine alınmış bir topun yüzey alanını bulun Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun Bir kürenin oktantı tarafından sınırlanan bir cismin kütlesini bulun Her noktadaki yoğunluk bu noktanın uygulamasına eşitse koordinat düzlemleri ve bir düzlem ile Seçenek Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklinin ağırlık merkezini bulun Silindir ve uçak kabini arasına alınmış bir paraboloidin alan yüzeyini bulun Kütleyi bulun Yoğunluk bir noktanın koordinatlarının karelerinin toplamına eşitse bir paraboloid ve bir düzlemle sınırlanmış bir gövdenin şekli Seçenek Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklin ağırlık merkezini bulun Kapalı bir silindirin yüzey alanını bulun O düzlemi ile yüzey arasında Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun Yoğunluk bir noktadan silindirin eksenine olan uzaklığın karesiyle orantılıysa, silindir 6 ile sınırlanmış bir cismin kütlesini bulun Seçenek çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklin ağırlık merkezi α α tg tg Bulunan bir koninin yüzey alanını bulun bir silindir içindeki veri Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun

41 Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin kütlesini bulun> eğer yoğunluk bir noktanın ordinatına eşitse Seçenek 6 Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklinin ağırlık merkezini bulun 6 Silindirlerin içindeki bir topun yüzey alanını bulun 6 Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun baab Yoğunluk aplikatör noktasına eşitse, yüzeylerle sınırlanmış bir cismin kütlesini bulun Seçenek 7 Yoğunluk her birinde yoğunluk varsa, bacaklı bir ikizkenar dik üçgenin ağırlık merkezini bulun noktası dik açının tepe noktasından olan uzaklığın karesiyle orantılıdır Silindir tarafından kesilen koninin yüzey alanını bulun Yön Kutupsal koordinatlara git Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun 9 Bir cismin kütlesini bulun Yoğunluk, topun merkezinden uzaklığın küpü ile orantılıysa ve birim başına mesafe γ'ye eşitse yarıçap topu bir düzlemle sınırlanmış birinci oktant içine alınmış bir paraboloid 6 Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun 6 Bir cismin kütlesini bulun Her noktadaki yoğunluk düzlemden uzaklığa eşitse, birinci oktanda bulunan bir yarıçap topunun O Seçenek 9 Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklin ağırlık merkezini bulun Bir cismin yüzey alanını bulun bir küre ve bir paraboloid

42 Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun Yoğunluk, bir noktanın silindirin tabanının merkezinden uzaklığının karesine eşitse, yarıçapı yükseklik olan düz dairesel bir silindirle sınırlanmış bir cismin kütlesini bulun Seçenek Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklinin ağırlık merkezini bulun> Bir silindir tarafından kesilen 9 kürenin yüzey alanını bulun Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun Yoğunluk orantılıysa bir yarıçap küresinin kütlesini bulun merkezden uzaklığın küpüne ve birim mesafede γ Seçenek Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklinin ağırlık merkezini bulun ± tg 6 Silindir içindeki bir silindirin yüzey alanını bulun Bir cismin hacmini bulun Bir silindir içindeki yüzeylerle sınırlanmış Yoğunluk noktaların düzleme olan uzaklığıyla orantılıysa, iki topun ortak bir parçasıyla sınırlanmış bir cismin kütlesini bulun O Değişken Kardioid tarafından sınırlanan bir düzlem şeklinin ağırlık merkezini bulun düzlemler tarafından kesilen bir koninin yüzey alanı Silindirin dışındaki yüzeylerle sınırlanan bir cismin hacmini bulun 6 Yarıçapı nx olan bir topun bir parçasının kütlesini bulun her noktadaki yoğunluk O düzlemine olan mesafeye eşitse birinci oktanda giyinmiş

43 Seçenek Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklin ağırlık merkezini bulun Bir silindir ve bir düzlem arasına yerleştirilmiş bir paraboloidin 6 yüzey alanını bulun Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun Bir küre ile sınırlanmış bir cismin kütlesini bulun Eğer yoğunluk orijinden uzaklık ile ters orantılıysa, yüzeyler arasındaki katman 6 Seçenek Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklin ağırlık merkezini bulun 9 Silindirin içinde bulunan yüzey alanını bulun Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun Kütleyi bulun Yoğunluk bir noktanın koordinatlarının karelerinin toplamına eşitse bir paraboloid ve bir düzlemle sınırlanmış bir gövdenin şekli Seçenek Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklinin ağırlık merkezini bulun İçerideki bir koninin yüzey alanını bulun bir silindir Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun Yoğunluk, noktadan O düzlemine olan mesafeyle orantılıysa, ortak bir parça ile sınırlandırılmış bir cismin kütlesini bulun iki top

44 İÇİNDEKİLER HESAPLAMA Kartezyen koordinatlarda çift katlı integraller kutupsal koordinatlarda çift katlı UYGULAMALAR çift katlı HESAPLAMA Kartezyen koordinatlarda üç katlı integral DEĞİŞKENLERİN DEĞİŞTİRİLMESİ Üç katlı integral silindirik ve küresel koordinatlar 7 6 Ek üç katlı integral EK SEÇENEKLER bireysel ödev 7 Akademik baskı çoklu integraller Alıştırmalar Metodik talimatlar Derleme Yazan Olga Mikhailovna Karpilova Editör YU NLit vinova Doverstka YNLitvinova Baskı için imzalandı Format 6x / 6 Ofset kağıt Ofset baskı Servis baskı 7 Kopya sayısı Sipariş Sanat S- 9 / Samara Devlet Havacılık Üniversitesi 6 Samara Moskova Otoyol Yayınevi Samara Devlet Havacılık Üniversitesi 6 Samara Moskova Otoyolu

Cos, sin, J dd dd d d 5 zdd zddz ddz'yi hesaplayın, burada z yüzeyinin dış tarafı, z düzlemi tarafından kesiliyor ÇÖZÜM Yüzey, z denklemiyle açıkça verilen bir paraboloiddir.

MESLEK YÜKSEK EĞİTİM DEVLET ENSTİTÜSÜ "BELARUS-RUSYA ÜNİVERSİTESİ" Bölümü "Yüksek Matematik" YÜKSEK MATEMATİK. MATEMATİK. MATEMATİK (ÖZEL BÖLÜMLER). MATEMATİKSEL ANALİZ

YÜKSEK MATEMATİK DERSİNE YÖNELİK TASARIM GÖREVLERİ İÇİN METODOLOJİK KILAVUZLAR

Rusya Federasyonu Ulaştırma Bakanlığı Federal Devlet Bütçe Eğitim Yüksek Öğretim Kurumu "Rusya Ulaştırma Üniversitesi (MIIT)" ITTSU Bölümü "Yüksek ve Bilişim

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Eğitim Kurumu "Sibirya Devlet Sanayi Üniversitesi"

UYGULAMALI DERS 9 Kutupsal koordinatlarda bir çift katlı integralin hesaplanması Çift katlı integrallerin uygulamaları Bir çift katlı integralin hesaplanmasında sıklıkla kullanılan değişkenlerin değişiminin özel bir durumunu düşünün

Çift katlı integraller Problem çözme örnekleri 1. G, x eğrileri ile sınırlanmış bir bölge ise, f (x, y) dx dy çift katlı integralini iki şekilde (formül (1) ve formül (2) ile) tekrarlanana indirin. = 1, y = x 2 , y =

Vücut kütlesinin silindirik koordinatlarda üçlü integral cinsinden ifadesi Problemleri çözmek için tanımlar ve formüller Tanım O ekseni boyunca yönlendirilmiş silindirik çubuk şek.

Belarus Cumhuriyeti Eğitim Bakanlığı BEYAZ RUSYA ULUSAL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Matematik Bölümü N.A. OG Kondratyeva Vishnevskaya N.K. Prihach MATHEMATICS Metodik el kitabı

El kitabı, çalışmanın ikinci yılındaki KSTU yarı zamanlı öğrencilerine yöneliktir. Kılavuzda, özlü ve erişilebilir bir biçimde, konular ele alınmıştır: Çoklu integraller, Eğrisel integraller, Seriler, Olasılık teorisi.

Rusya Federasyonu Bilim ve Eğitim Bakanlığı Moskova Devlet Jeodezi ve Haritacılık Üniversitesi AV Aristarkhova, NG Babaeva Yüksek matematikte bireysel görevler ÇOKLU INTEGRALLER

"ENTEGRAL HESAPLAMA" KONUSUNDA GÖREV BANKASI * Entegrasyon sırasını değiştirin + dd * Çizgilerle sınırlanan düz bir alanın alanını bulun =, =, = * Hesapla (D) + acctg d, nerede) +, + 9, = (D alanı,

RUSYA FEDERASYONU KÜLTÜR BAKANLIĞI FEDERAL DEVLET BÜTÇE EĞİTİM YÜKSEK PROFESYONEL EĞİTİM ENSTİTÜSÜ SAINT PETERSBURG DEVLET ÜNİVERSİTESİ KINO VE

Bölüm. Matematikte yaklaşık sınav problemleri A. Üç nokta için en basit görevler.. Yayların integrallerini hesaplayın e) IS&A II dönemi ve 9 gr. i) 6 n k) 5 6 5 g) 6 d) cos h) z arcsin z. türevi hesapla

RUSYA FEDERASYONU ULAŞTIRMA BAKANLIĞI FEDERAL DEVLET BÜTÇE EĞİTİM YÜKSEKÖĞRETİM ENSTİTÜSÜ "RUSYA ULAŞTIRMA ÜNİVERSİTESİ (MIIT)" Ulaştırma Teknolojisi Enstitüsü

3 alan (D) Bizim durumumuzda, n XOY tenk () = ϕ, ϕ, Then = =, ve n () cos γ =, + + (ϕ) (ϕ) ( ϕ) (ϕ) dq = + + dd Not Yüzey (Q) yönünde doğruysa

MATEMATİK SORUNU (fen fakültesi, dönem) 7 İntegral dd sin + d + + d + d + d 7 (+) d + + 8 d 9 cos d cos + d cos d + 8 d 9 dd + d integrallerini bulun 9 + d + 7 tg d 8 cosd cos sin 9 d

DERS N 45 Kutupsal, silindirik ve küresel koordinatlarda çoklu integraller Çoklu integral uygulamaları Kutupsal koordinatlarda çift katlı integral Silindirik ve küresel koordinatlarda üçlü integral

Bölüm. Çoklu integraller .. Ders ... Çift katlı bir integralin tekrarlanan bir integrale indirgenmesi Çift katlı integraller hesaplanırken iki durum ayırt edilmelidir. () İlk durum. Entegrasyon alanı solla sınırlıdır

YÜKSEK İLETİŞİM KOLEJİ "YÜKSEK MATEMATİK" disiplini için TİPİK HESAPLAMALARIN TOPLANMASI Bölüm II uzmanlık öğrencileri için T 000 Posta iletişimi Minsk 00 Derleyen Ryabenkova LA Sürümü toplantıda onaylandı

KONU Hiperbolün ikinci mertebesinden doğrular Örnek olarak, bir daire, bir parabol, bir elips ve bir daire tanımlayan denklemler buluyoruz.

Üçlü integral Volchenko Yu.M. Ders içeriği Üçlü integral kavramı. Varlığının koşulları. Ortalama teoremi. Kartezyen ve eğrisel koordinatlarda üç katlı integralin hesaplanması. Üçlü

DERS N. Çoklu integrallerin hesaplanması ... dikdörtgen Kartezyen koordinatlarda bir çift katlı integralin hesaplanması ... bir çift katlı integralin (keyfi bölge) hesaplanması ... üçlü integralin ..... hesaplaması

Giriş Metodik talimatlar, "Düzlemde ve uzayda düz çizgi", "Düzlem", "İkinci dereceden eğriler ve yüzeyler" konularında 26 farklı bireysel ev ödevi çeşidi içerir. Bireysel altında

İçindekiler Giriş Çoklu, eğrisel ve yüzey integralleri Alan teorisinin unsurları Sınıf dersleri için görevler Teoriden kısa bilgiler Problem çözme örnekleri Kendi kendine hazırlık görevleri Test

Uygulamalı ders 6 Yüzey integralleri 6 Özellik hesabının belirlenmesi ve i. tür yüzey integralinin uygulanması 6 Bir özelliğin belirlenmesi ve i. tür yüzey integralinin hesaplanması 6 Tanım

BM Mavrin, EI Balaev DÖNÜŞ KURULUŞLARININ GÖRÜNTÜ Çalıştayı Samara 2005 FEDERAL EĞİTİM AJANSI DEVLET EĞİTİM YÜKSEK MESLEK EĞİTİM KURULUŞU "SAMARSKY

Çift katlı integraller Bağımsız çalışma için görevler ve alıştırmalar 1. Aşağıdaki durumlarda f (x, y) dx dy çift katlı integralini iki şekilde tekrara indirin: G a) G, köşeleri (1, 1), (4, 1) olan bir üçgendir , (4, 4); B)

Federal Demiryolu Taşımacılığı Ajansı Ural Devlet Demiryolları Üniversitesi Pirogova'daki "Yüksek Matematik" Bölümü Örnekler ve problemlerde analitik geometri Yekaterinburg

Dersler 1-2. Belirli integral ve uygulamaları I. Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli integrali hesaplayın: 1. (2 + 2) 2. / 3. (4.) 5. 6. 7. 8. Efimov-Pospelov 7.324-7.352 , 7.380- 7.385,

Ders 7 Uygun olmayan integraller Uygun olmayan integraller, belirli (doğru) bir integralin varlığı için koşullardan en az birinin sağlanmadığı tanımlanmış integrallerdir :)

14. ders. Üçlü integraller Mat. analiz, uygulama Mat., 3. dönem Tekrar A1 Aşağıdaki integralde, kutupsal koordinatlara gidin ve integrasyon limitlerini herhangi bir sırayla düzenleyin:

Rusya Federasyonu Eğitim Bakanlığı Yaroslavl Devlet Üniversitesi P.G. Demidova Kesikli Analiz Bölümü UZAYDA DÜZLEM VE HAT Problemleri Yaroslavl Cand.

MOSKOVA OTOMOTİV VE YOL DEVLET TEKNİK ÜNİVERSİTESİ (MADI)

Federal Demiryolu Taşımacılığı Ajansı Ural Devlet Demiryolları Üniversitesi "Yüksek ve Uygulamalı Matematik" P I Gnilomedov ÇOKLU VE EĞRİSEL ENTEGRALLERİN UYGULAMALARI

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI FEDERAL DEVLET ÖZERK EĞİTİM YÜKSEKÖĞRETİM KURULUŞU "SAMARA DEVLET HAVACILIK ÜNİVERSİTESİ

Ek 5 Rusya Federasyonu Tarım Bakanlığı Federal Devlet Bütçe Yüksek Öğretim Kurumu "Saratov Devlet Tarım Üniversitesi

DÜZLEM ÜZERİNDE ANALİTİK GEOMETRİ ELEMANLARI. Düz çizgi 1. Köşeleri A (6; 7), B (3; 3), C (1; 5) noktaları olan üçgenin çevresini hesaplayın. 2. A noktasından (7;

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Yaroslavl Devlet Üniversitesi P.G.Demidova Cebir Bölümü ve ikinci dereceden Matematiksel Mantık Eğrileri Bölüm I Metodik talimatlar

İçindekiler Çoklu integraller Çoklu integral kavramı Çift katlı integraller. Düzlemdeki bölgeler .................. İterate integrali ................ 3.3 Kartezyen koordinatlarda çift katlı integralin hesaplanması .. ...................

Uygulamalı ders 14 Konu: Parabol Planı 1. Parabolün tanımı ve kanonik denklemi.. Parabolün geometrik özellikleri. Parabolün göreli konumu ve merkezinden geçen düz çizgi. Ana

1 Bir düzlemde analitik geometrinin en basit problemleri 11 İki nokta arasındaki uzaklık Dikdörtgen bir koordinat sistemi düşünün (Kartezyen, Şekil 1 Herhangi bir M noktası OA x koordinatlarına karşılık gelir)

RUSYA federasyonu Ulaştırma Bakanlığı

Bölüm 5. Üçlü integral. 5.1. Üç katlı integralin tanımı. Bir önceki bölümde çift katlı integral kavramını tanıttıktan sonra, üç boyutlu uzaya daha fazla genelleme yapmak doğal olacaktır.

DÜZLEMDE CEBİRSEL DOĞRULAR .. BİRİNCİ DERECİN DOĞRULARI (DÜZLEMDEKİ DOĞRULAR... DÜZLEMDEKİ DOĞRUSAL DENKLEM TÜRLERİ) Verilen bir doğruya dik olan sıfırdan farklı n vektörüne normal denir

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANI

VGBelinsky'nin adını taşıyan Penza Devlet Pedagoji Üniversitesi OGNikitin ÇEŞİTLİ DEĞİŞKENLERİN FONKSİYONLARI ENTEGRAL HESAPLAMA Ders Kitabı Penza Editörlük ve yayıncılık kararı ile basılmıştır

DÜZLEMDE VE UZAYDA ANALİTİK GEOMETRİ ELEMANLARI Ders anlatımı .. Düzlemde Doğrular Pl ve n. Düzlemde koordinat yöntemi .. Kartezyen koordinatlarda doğru .. Paralellik ve diklik durumu

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Moskova Devlet Teknik Üniversitesi, N.E. Bauman Temel Bilimler Fakültesi Matematiksel Modelleme Bölümü À.Í. Santnikov, A.N. Grienko

Bölüm 5 inci tip yüzey integralleri (devam) 5 Sınıftaki problemler Problem 5 (4349) zd, x = ρ cos ϕ sin α, y = ρ sin ϕ sin koninin yüzeyinin parçası olan integrali hesaplayın α, z = ρ cos α (( ρ h,

Federal Eğitim Ajansı Ural Devlet Ormancılık Üniversitesi Malzeme Direnci ve Teorik Mekanik Bölümü V.A.Kalentiev V.M.Kalinin L.T. Raevskaya N.I. Chashchin

ÜÇ BOYUTLU UZAYDA ANALİTİK GEOMETRİ DERSİNİN ELEMANLARI DÜZLEM Düzlemin vektör denklemini yazın ve bu denklemde yer alan niceliklerin anlamını açıklayın Düzlemin genel denklemini yazın

3 Örnek Düz malzeme bölgesinin (D) statik momentleri için ifadeleri yazın Formül (3)'e dayanarak, şekli (Φ) dikkate alarak: ρ, dd, ρ, dd statik moment,

Problem 1 Yarım daire y = r 2 x 2'nin ağırlık merkezinin koordinatlarını bulun. Problem 5 x 2 + y 2 = 16 yüzeyinin içinde bulunan z = 1 4 xy yüzeyinin parçasının alanı. Problem 2 Entegrasyon sırasını değiştirin

UKRAYNA EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI UKRAYNA ULUSAL METALURJİ AKADEMİSİ Disiplindeki problemlerin çözümü için YÖNTEM TALİMATLARI Yüksek matematik ve pratik kontrol görevleri için seçenekler

"Yüksek matematikte bireysel ödevlerin toplanması" ders kitabına dayanan yüksek matematik dersinde (III dönem) uygulamalı dersler, cilt 3, ed. Ryabushko A.P. tam zamanlı öğrenciler için

Moskova Devlet Teknik Üniversitesi, N.E. Bauman Bölümü "Temel Bilimler" Bölümü "Hesaplamalı Matematik ve Matematiksel Fizik" A.I. Levina ÇOKLU ENTEGRALLER Elektronik

Yay uzunluğu (birinci türden) ve yüzey alanındaki yüzey (birinci türden) boyunca bir çift üçlü eğrinin birkaç değişken integralinin bir fonksiyonunun integral hesabı f () fonksiyonu tanımlansın

1.3. Ders 3 1.3.1. Kartezyen koordinatlarda üç katlı integrallerin hesaplanması Uzamsal alan, D onun Oxy düzlemine izdüşümü olsun. Herhangi bir dikey çizgi varsa bir alana -düzenli denir

BELARUS CUMHURİYETİ EĞİTİM BAKANLIĞI Belarus Ulusal Teknik Üniversitesi Mühendislik Bölümü Matematik YÜKSEK MATEMATİK Mekanik ve teknoloji öğrencileri için problem çözme rehberi

Uygulamalı ders 1 Konu: Hiperbol Planı 1 Hiperbolün tanımı ve kanonik denklemi Hiperbolün geometrik özellikleri Hiperbolün karşılıklı konumu ve merkezinden geçen bir doğru Asimptotlar