Kısaltılmış çarpma formülleri. Örneklerle detaylı teori

Matematiksel ifadeler (formüller) kısaltılmış çarpma (kare toplamlar ve farklılıklar, küp miktarı ve farklılıklar, kare farklılıklar, miktar ve küplerin farkı) birçok alanda son derece değiştirilir. kesin Bilimler. Bu 7 karakter kayıtları, ifadeleri basitleştirerek, denklemleri çözme, polinomların çarpılması, fraksiyonları azaltma, integrallerin ve diğer birçok şeyi çözme ile değiştirilmesiyle değiştirilmez. Bu yüzden nasıl elde edildiklerini, bunun için nasıl elde edildiklerini bulmak çok faydalı olacaktır ve en önemlisi, onları nasıl hatırlanır ve sonra uygulanır. Sonra uygulayın kısaltılmış çarpma formülleri Uygulamada, en zor olanı ne olduğunu görecek H.ve sen ne. Açıkçası, için kısıtlama yok a. ve b.hayır, bu sayısal veya harf ifadeleri olabileceği anlamına gelir.

Ve bu yüzden burada onlar:

İlk x 2 - U 2. \u003d (x - y) (x + y) . Hesaplamak kare farklılıkları İki ifadenin, bu ifadeler arasındaki farkı toplamlarıyla çarpması gerekir.

İkinci (x + y) 2 \u003d x 2. + 2H + 2'de . Bulmak kare miktarı İkinci ekspresyonun ikinci yanı sıra ikinci ifadenin karesi eklemek için ilk ifadenin karesine iki ifadenin eklenmesi gerekir.

Üçüncü (x - y) 2 \u003d x 2. - 2H + 2'de. Hesaplamak kare farkıİkinci ifadenin ikinci ve ikinci ifadenin karesinin karesinin bir çift ürününü almak için ilk ifadenin karesinden iki ifadeye ihtiyaç vardır.

Dördüncü (x + y) 3 \u003d x 3. + 3X2 Y + 3H 2 + 3. Hesaplamak küp miktarıİkinci ekspresyonun karesinin üçlü çalışmasını eklemek için ilk ifadenin Küba'sına iki ifadenin eklenmesi gerekir. İkinci ifadenin kare artı küpündeki ilk ifadenin üç katlı ürünü.

Beşinci (x - y) 3 \u003d x 3. - 3x2 Y + 3H2 - 3.. Hesaplamak küp farkıİkinci ekspresyonun karesinin üçlü çalışmasını, ikinci ve ikinci ifadenin ikinci eksi küpündeki ilk ekspresyonun üç katlı ürününü almak için ilk ifade küpünden iki ifadenin gereklidir.

Altı x 3 + 3. \u003d (x + y) (x 2 - HU + U 2) Hesaplamak küp miktarıİki ifadenin, birinci ve ikinci ifadenin toplamlarını bu ifadelerin farkının eksik bir karesinde çarpması gerekir.

Yedinci x 3 - 3. \u003d (x - y) (x 2 + Hu + u 2) Hesaplama yapmak kübik farklılıklarİki ifadenin, bu ifadelerin toplamının tamamlanmamış karesinde birinci ve ikinci ifade arasındaki farkı çarpması gerekir.

Tüm formüllerin hesaplamaların çalışmalarına ve ters yönde (soldan sola) uygulandığını hatırlamak zor değildir.

Bu kalıpların varlığı hakkında yaklaşık 4 bin yıl önce. Eski babylon ve Mısır sakinleri tarafından yaygın olarak kullanıyorlardı. Ancak bu dönemde, sözlü veya geometrik olarak ifade ettiler ve hesaplamalar sırasında harfleri kullanmadı.

Anlayacağız kare Summa Kanıtı(A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B2.

İlk bu matematiksel desen İskenderiye'de BC'sinde İskenderiye'de çalışan eski bir Yunan bilimci oklide olduğunu kanıtladı, eski ellala bilim adamları, harfleri sayıları belirlemek için kullanmadı. Evrensel olarak "A 2", ancak "A bölümündeki bir kare" değil, "AB" değil, "dikdörtgen, A ve B arasındaki sonuçlar" değil.

Doğrusal fonksiyon, X-Bağımsız değişken, K ve B'nin herhangi bir numarasının bulunduğu Y \u003d KX + B formunun işlevi olarak adlandırılır.
Doğrusal fonksiyonun grafiği düzdür.

1. Eklemek zamanlama işlevi, İşlevin grafiklerine ait iki noktanın koordinatlarına ihtiyacımız var. Onları bulmak için, iki değeri x almanız gerekir, bunları fonksiyonun denklemine değiştirin ve karşılık gelen Y'sinin değerlerini hesaplamak için.

Örneğin, Y \u003d X + 2 işlevinin bir grafiğini oluşturmak için, x \u003d 0 ve x \u003d 3'ü almak uygundur, daha sonra bu noktaların oranlar y \u003d 2 ve y \u003d 3'e eşit olacaktır. Puan A (0; 2) ve (3; 3) 'de puan alırız. Bunları bağlayın ve Y \u003d X + 2 işlevinin grafiğini elde edin:

2. Y \u003d KX + B formülünde, K numarasının orantılılık katsayısı olarak adlandırılır:
K\u003e 0 ise, Y \u003d KX + B işlevi artar
K.
B katsayısı, OY ekseni boyunca fonksiyon programının yerinden edilmesini göstermektedir:
Eğer b\u003e 0 ise, Y \u003d KX + B fonksiyonunun işlevi, fonksiyonun grafiğinden elde edilir \u003d KX kayması
Eğer B.
Aşağıdaki şekil, Y \u003d 2x + 3 işlevlerinin grafiklerini göstermektedir; Y \u003d ½ x + 3; y \u003d x + 3

Tüm bu işlevlerde K katsayısı sıfırın üstünde, ve fonksiyonlar artan. Dahası, K değeri ne kadar büyük olursa, öküz ekseninin pozitif yönüne doğrudan eğim açısı artar.

Tüm fonksiyonlarda B \u003d 3 - ve tüm grafiklerin oyunun eşbusunu (0; 3) geçtiğini görüyoruz.

Şimdi Y \u003d -2X + 3 işlevlerinin grafiklerini düşünün; Y \u003d - ½ x + 3; y \u003d -x + 3

K katsayısının tüm fonksiyonlarında bu sefer sıfırdan daha az ve fonksiyonlar azaltmak. B \u003d 3 katsayısı ve grafiklerin yanı sıra önceki durumun yanı sıra, OY eksenini noktadaki (0; 3) kesişir.

Y \u003d 2x + 3 işlevlerinin grafiklerini düşünün; y \u003d 2x; Y \u003d 2x-3

Şimdi tüm fonksiyonlar denklemlerinde, K katsayıları 2'ye eşittir. Ve üç paralel düz.

Ancak B katsayıları farklıdır ve bu grafikler oy eksenini farklı noktalarda geçer:
Y \u003d 2x + 3 (b \u003d 3) fonksiyonunun grafiği, noktadaki oy eksenini geçer (0; 3)
Y \u003d 2x fonksiyonunun grafiği (B \u003d 0), koordinatların başlangıcı - (0; 0) noktasındaki oy eksenini geçer.
Y \u003d 2x-3 (b \u003d -3) fonksiyonunun grafiği, noktadaki oy eksenini geçer (0; -3)

Bu nedenle, K ve B katsayılarının işaretlerini biliyorsak, Y \u003d KX + B işlevinin nasıl grafiğinin nasıl göründüğünü hayal edebiliriz.
Eğer bir k 0

Eğer bir k\u003e 0 ve b\u003e 0 , sonra Y \u003d KX + B işlevinin grafiği:

Eğer bir k\u003e 0 ve b , sonra Y \u003d KX + B işlevinin grafiği:

Eğer bir k, daha sonra Y \u003d KX + B işlevinin işlevi formu vardır:

Eğer bir k \u003d 0. Y \u003d KX + B işlevi y \u003d B işlevine dönüşür ve grafiği:

Y \u003d B grafik fonksiyonunun tüm noktalarının oranı B'ye eşittir b \u003d 0. , sonra Y \u003d KX işlevinin (doğrudan orantılılık) grafiği, koordinatın kökeninden geçer:

3. Ayrı olarak, X \u003d a denkleminin grafiğini not ederiz. Bu denklemin grafiği düz bir çizgidir, tüm noktaları abscissa x \u003d a.

Örneğin, X \u003d 3 denkleminin grafiği şöyle görünür:
Dikkat! Denklem x \u003d a bir fonksiyon değil, bu yüzden argümanın bir değeri karşılayacak farklı değerler İşlevin tanımına karşılık gelmeyen fonksiyonlar.

4. İki düz çizginin paralelliğinin durumu:

Y \u003d K 1 x + B 1 fonksiyonunun tarifesi Y \u003d K2 x + B 2 işlevinin paralel grafikleri, Kı \u003d K2 ise

5. İki düz çizgiyi yeniden inşa etme koşulu:

Y \u003d K1 x + B1 fonksiyonunun grafiği, Kı-K2 \u003d -1 veya K1 \u003d -1 / K2 ise, Y \u003d K2 x + B2 işlevinin grafiklerini yeniden oluşturur.

6. Grafik fonksiyonunun kesişme noktalarını Y \u003d KX + B koordinat eksenleriyle.

Oy ekseni ile. Oy eksenine ait herhangi bir noktasının abscısası sıfırdır. Bu nedenle, Kavşak Noktasını OY ekseni ile bulmak için, denklemde sıfırın yerini almak gerekir. Y \u003d B aldık. Yani, OY ekseni ile kesişme noktası, koordinatlara (0; b) sahiptir.

Eksen OH ile: OH eksenine ait herhangi bir noktanın koordinatı sıfıra eşittir. Bu nedenle, Kavşak noktasını eksen OH ile bulmak için, YERLEŞTİRME yerine, FACK yerine Fonksiyonun denkleminde sıfırın ikame edilmesi gerekir. 0 \u003d kx + b elde ediyoruz. Dolayısıyla X \u003d -B / K. Yani, öküz eksenine sahip kesişme noktası koordinatlara sahiptir (-B / K; 0):

Kısaltılmış çarpma formülleri. Egzersiz yapmak.

Aşağıdaki ifadeleri bu şekilde hesaplamaya çalışın:

Yanıtlar:

Ya da, ana iki basamaklı sayıların karelerini biliyorsanız, ne kadar olacağını unutmayın? Hatırladı? . Mükemmel! Bir kareye dikilmiş olduğumuz için, o zaman çoğalmamız gerekiyor. Meğer ki.

Formüller kare toplamlarının ve farkın karesinin yalnızca sayısal ifadeler için geçerli olduğunu unutmayın:

Aşağıdaki ifadeleri hesaplayın:

Yanıtlar:

Kısaltılmış çarpma formülleri. Sonuç.

Küçük bir sonuç getirelim ve toplamın toplamının toplamını bir satırdaki toplamını yazalım:

Şimdi, ortaya çıkan türlerden formülü "toplama" uyguluyor. Büyük ifadeleri dönüştürürken gelecekte bu beceri gerekecektir.

Aşağıdaki ifadeye sahip olduğumuzu varsayalım:

Tutarın (veya farkın) karesinin olduğunu biliyoruz. bir numara karesi başka bir numaranın karesi ve bu sayıların şüpheli çalışmaları.

Bu görevde, aynı numaranın karesini görmek kolaydır - bu. Buna göre, brakette bulunan sayılardan biri, bunun bir kare köküdür, yani,

İkinci dönemde olduğu için, sırasıyla bir diğerinin çift ürünü olduğu anlamına gelir:

Braketimizdeki ikinci sayı nerede.

Brakette bulunan ikinci sayı eşittir.

Kontrol. eşit olmalı. Gerçekten de, parantez içinde bulunan her iki sayıyı da bulduğumuz anlamına gelir: ve. Aralarında duran bir işaret tanımlamak için kalır. İşaretin arkasında ne olacağını düşünüyorsun?

Sağ! Biz beri ayarlamak Şüphe çalışması, sonra sayılar arasında bir ekleme işareti olacaktır. Şimdi dönüştürülmüş bir ifade yazın. Başa çıkmak? Aşağıdakileri almalısınız:

NOT: Bileşenlerin yerlerinin değişmesi sonucu etkilemez (önemli, ekleme veya çıkarma işlemi ve).

Dönüştürülen ifadedeki terimlerin formülde yazıldığı gibi durması kesinlikle isteğe bağlıdır. Bu ifadeye bakın :. Kendin dönüştürmeye çalış. Olmuş?

Uygulama - Aşağıdaki ifadeleri dönüştürün:

Yanıtlar:Başa çıkmak? Konuyu güvence altına al. Aşağıdaki ifadeleri, kare miktarı veya fark olarak gösterilebilecek ifadelerden birini seçin.

1. - Bunun eşdeğeri olduğunu kanıtlayın.

1. - Bir kare olarak hayal edemezsiniz; Bunun yerine hayal etmek mümkün olacaktır.

Kare farklılıkları

Kısaltılmış çarpımın bir başka formülü, karelerin farkıdır.

Kare farklılıklar Bu, farkın bir karesi değil!

İki sayının karelerindeki fark, bu sayıların farkına eşittir:

Bu formülün doğru olup olmadığını kontrol edin. Bunu yapmak için, kare formüllerin çıkarılmasındaki toplamın ve farkın toplamını değiştirin:

Böylece, formülün gerçekten doğru olduğundan emindik. Bu formül aynı zamanda karmaşık hesaplamalı eylemleri de kolaylaştırır. Bir örnek verelim:

Hesaplamak gereklidir :. Tabii ki, bir kare inşa edebilir, sonra bir kare inşa edebilir ve diğerinden birini çıkarabiliriz, ancak formül bize görevi basitleştirir:

Olmuş? Sonuçları tamamlayın:

Toplamın toplamının yanı sıra (fark), kare fark formülü sadece sayılarla değil, uygulanabilir:

Karelerdeki farkı yayma yeteneği, karmaşık matematiksel ifadeleri dönüştürmemize yardımcı olacaktır.

Çok dikkat:

O zamandan beri, doğru ifadenin farkının karesini ayırırken, alacağız

Dikkatli olun ve hangi somut terimin bir kareye yerleştirildiğini görün! Aşağıdaki ifadeleri dönüştüren temayı korumak için:

Kayıt? Elde edilen ifadeleri karşılaştırın:

Şimdi, farkın miktarının ve karesinin karesini ve karelerinin karesini ve karelerin farkını öğrendiğinizde, bu üç formülün kombinasyonu üzerine örnekleri çözmeye çalışın.

İlköğretim ifadelerini dönüştürme (kare toplam, kare kare, kare farkı)

Diyelim ki bir örnek verildik

Bu ifadeyi basitleştirmek gerekir. Dikkatlice görünün, numberatörde ne görüyorsunuz? Doğru, numeratör tam bir karedir:

İfadeyi basitleştirmek, bir ipucun, basitleştirmede hareket etmenin hangi yolu payda (veya bir rakamda) olduğuna unutmayın. Bizim durumumuzda, payda ayrıştırıldığında ve başka bir şey yapmanın imkansız olduğu ve rakamın miktarın karesi veya farkın karesinin olacağı anlaşılabilir. Eklediğimizden, sayısının miktarın karesi olduğu açıkça ortaya çıkıyor.

Aşağıdaki ifadeleri bağımsız olarak dönüştürmeye çalışın:

Olmuş? Cevapları karşılaştırın ve devam edin!

Küp miktarı ve küp farkı

Formüller küp miktarı ve küp farkı benzer şekilde türetilmiştir. kare miktarı ve kare farkı: Elemanları birbirine çoğaltayarak parantezlerin açıklanması.

Miktarın karesi ve farkın karesi çok kolay bir şekilde hatırlıyorsa, soru "Küpleri nasıl hatırlanır?"

Karede benzer elemanların yapımı ile karşılaştırıldığında iki tarif edilen formüllere dikkatlice bakın:

Ne tür bir desen görüyorsunuz?

1. Eklendiğinde meydan sahibiz meydan İlk numara I. meydan ikinci; Küpte dikildiğinde - orada kübik bir numara I. kübik başka bir numara.

2. Eklendiğinde meydan, sahibiz Şüphe sayıların ürünü (ifadenin dikildiği bir dereceye kadar olan 1 derece sayısı); B'yi dikerken kübik - üçlü Numaralardan birinin bir kareye yerleştirildiği çalışma (ayrıca ifadenin dikildiği dereceden 1 derece daha az olan).

3. Karada dikilmiş olduğunda, açıklanan ifadedeki işaretli burcu ek olarak (veya çıkarma) bir çift ürünü ek olarak yansıtılır - eğer parantez içinde eklenirse, çıkarma, çıkarınsa ekleyin; Küp içine dikildiğinde, kural şudur: bir küp miktarı varsa, daha sonra tüm "+" işaretleri ve bir küp farkı varsa, sonra işaretler: "" - "" - "" - "".

Yukarıdakilerin tümü, elemanları çoğalırken derecelerin bağımlılığı haricinde, şekilde gösterilir.

Uygulama? Aşağıdaki ifadelerde kesim parantezleri:

Elde edilen ifadeleri karşılaştırın:

Fark ve küp miktarı

Son formül çiftini fark ve küp miktarını düşünün.

Hatırladığımız gibi, kareler farklılığıyla farkı ve bu sayıların miktarını diğerine çarpıyoruz. Küpler farkında ve küp miktarında da iki parantez vardır:

1 Braket - Birinci derecedeki sayıların farkı (veya miktarı) (ortaya çıkardığımız küpün farkına veya miktarına bağlı olarak);

2 Braket - Eksik Kare (Bakış: Eğer bir çift ürünü (veya eklenmişse), bir kare olursa, bir kare olurdu), sayıları çarparken bir işaret ilk ifadenin tersi işaretidir.

Konuyu güvence altına almak için birkaç örneği çözün:

Elde edilen ifadeleri karşılaştırın:

Egzersiz yapmak

Yanıtlar:

Özetleyelim:

Kısaltılmış çarpımın 7 formülü vardır:

İLERİ DÜZEY

Kısaltılmış çarpma formülleri formüllerdir, hangisinin, polinomların ifadelerini basitleştirirken veya parçalandırırken bazı standart eylemlerin gerçekleştirilmesini önleyebileceğini bilerek formüllerdir. Kısaltılmış çarpımın formülleri Kalple Bilmeniz Gerekenler!

1. Kare miktarı İki ifade kareye eşit İlk ifade artı ikinci ifadenin ikinci yanı sıra ikinci ifadenin ilk ifadesinin bükülmüş bir çalışması:
2. Kare farkı İki ifade, ilk eksi eksi birinci ifadenin karesine eşittir. İkinci ifadenin ikinci ve ikinci ifadenin karesi:
3. Kare farklılıkları İki ifade, bu ifadelerin ürününe ve toplamlarına eşittir:
4. Küp miktarı İki ifade, birinci ifadenin Küba'sına eşittir ve ikinci artı ikinci ifadenin ikinci artı küpünün karesi üzerindeki ilk ekspresyonun ilk ekspresyonunun üç katlanmış ürünü:
5. Küp farkı İki ifade, ikinci ifadenin ikinci eksi küpünün karesi üzerindeki ilk ekspresyonun karesinin üç katlı ürünü, ikinci ifadenin karesinin üçlü ürünü eksi ilk ifadenin Küba'ya eşittir.
6. Küp miktarı İki ifade, bu ifadelerin farkının eksik bir karesinde birinci ve ikinci ifadenin toplamının miktarına eşittir:
7. Kübik farklılıklar İki ifade, bu ifadelerin toplamının eksik bir karesinde birinci ve ikinci ifadenin ürününe eşittir:

Şimdi tüm bu formülleri kanıtlayacağız.

Kısaltılmış çarpma formülleri. Kanıt.

1. .
İfadeyi kareye değerlendirin - kendiliğinden çarpmak demektir:
.

Parantezleri ortaya çıkaracağız ve benzer vereceğiz:

2. .
Aynı şeyi yapıyoruz: Kendiniz için farkı çarpın, parantezleri ortaya çıkarır ve bunları verin:
.

3. .
Sağ taraftaki ifadeyi alın ve parantezleri ortaya çıkarın:
.

4. .
Küba'daki numarası, karesine çarpılan bir sayı olarak gösterilebilir:

Benzer şekilde:

Küpler farkında, işaretleri değiştirir.

6. .

.

7. .
Sağ kısımda parantez açacağız:
.

Örnekleri çözerken kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması

Örnek 1:

İfadelerin değerini bulun:

Karar:

1. Formül kare miktarını kullanıyoruz :.
2. Bu numarayı bir fark biçiminde hayal edin ve farkın formülünü kullanın :.

Örnek 2:

İfadenin değerini bulun:.

Karar:

İki ifadenin karelerinin formülünü kullanarak, biz alırız:

Örnek 3:

Ifadeyi basitleştir:

İki şekilde çözüm:

Formüller kare toplamlarını ve kare farklılıklarını kullanıyoruz:

II yolu.

Formülü, iki ifadenin karelerindeki fark için kullanıyoruz:

Şimdi senin sözün ...

Kısaltılmış çarpma formülleri hakkında bildiğim her şeye söyledim.

Bana şimdi onları kullanacağını söyle? Eğer değilse, neden?

Bu makaleyi nasıl buldun?

Belki de sorularınız var. Veya öneriler.

Yorumlarda yaz. Tüm yorumları okuduk ve her şeyi cevaplıyoruz.

Ve sınavlarda iyi şanslar!

Önceki derste, çarpıcıların ayrışmasıyla uğraştık. İki yol ustalaştı: parantez ve gruplama için ortak bir faktör yapmak. Bu derste - bir sonraki güçlü yol: kısaltılmış çarpma formülleri. Kısa bir kayıtta - FSU.

Kısaltılmış çarpımın formülleri (toplam ve farkın karesi, miktarın ve farkın küpü, kareler farkı, toplamı ve küplerin farkı) matematiğin tüm bölümlerinde son derece gereklidir. İfadeleri basitleştirmek, denklemleri çözme, polinomların çoğalması, fraksiyonların azaltılması, integrallerin çözülmesi, vb. vb. Kısacası, onlarla başa çıkmak için her neden var. Nasıl alındıklarını anlamak için, neden ihtiyaçları, nasıl hatırlanacağı ve nasıl uygulanacağı.

Anlıyoruz?)

Kısaltılmış çarpım formülleri nereden geliyor?

Eşitlik 6 ve 7 çok tanıdık yazılmamıştır. Aksine sanki. Bu özeldir.) Hem soldan sağa ve sağa soldan herhangi bir eşitlik çalışır. Böyle bir kayıtta, FSU'nun geldiği yerde açıktır.

Çarpımdan alınırlar.) Örneğin:

(A + B) 2 \u003d (A + B) (A + B) \u003d A 2 + AB + BA + B2 \u003d A 2 + 2AB + B2

Hepsi bu, bilimsel hileler yok. Sadece parantezleri değiştirin ve bunları verin. Bu yüzden ortaya çıktı kısaltılmış çarpımın tüm formülleri. Kısaltılmış Çarpma, formüllerin kendilerinde, parantezlerin çoğalması ve benzer getirilmesidir. Azaltıldı.) Sonuç olarak hemen göz önüne alındığında.

FSU'nun kalp tarafından bilmesi gerekir. İlk üçü olmadan, Gerisi olmadan, beşinci ile ilgili troika'yı hayal edemezsiniz.)

Neden kısaltılmış çarpımın formülleri var?

Bu formülleri almak için bile iki neden var. İlk - Makinenin bitmiş cevabı, hata sayısını keskin bir şekilde azaltır. Ama bu en çok değil esas sebep. Ama ikinci ...

Eğer bu siteyi beğendiyseniz ...

Bu arada, sizin için başka bir çift ilginç sitem var.)

Örnekleri çözmede erişilebilir ve seviyenizi öğrenilebilir. Anında kontrol ile test. Öğrenin - İlgi!)

Özellikler ve türevlerle tanışabilirsiniz.