Ймовірносно статистичні методи. Статистичні методи

Особливий інтерес представляє кількісна оцінка підприємницького ризику за допомогою методів математичної статистики. Основними інструментами цього методу оцінки є:

§ ймовірність появи випадкової величини,

§ математичне очікування або середнє значення досліджуваної випадкової величини,

§ дисперсія,

§ стандартне (середньоквадратичне) відхилення,

§ коефіцієнт варіації ,

§ розподіл ймовірностей досліджуваної випадкової величини.

Для прийняття рішення потрібно знати величину (ступінь) ризику, яка вимірюється двома критеріями:

1) середнє очікуване значення (математичне очікування),

2) коливання (мінливість) можливого результату.

Середнє очікуване значення це середньозважене значення випадкової величини, яке пов'язане з невизначеністю ситуації:

,

де значення випадкової величини.

Середнє очікуване значення вимірює результат, який ми очікуємо в середньому.

Середнє значення є узагальненою якісною характеристикою і не дозволяє прийняття рішення на користь якого-небудь окремого значення випадкової величини.

Для прийняття рішення необхідно виміряти коливання показників, тобто визначити міру коливання можливого результату.

Коливання можливого результату є ступінь відхилення очікуваного значення від середньої величини.

Для цього на практиці зазвичай використовують два тісно пов'язаних критерії: «дисперсія» і «середньоквадратичне відхилення».

дисперсія - середньозважене з квадратів дійсних результатів від середнього очікуваного:

середньоквадратичне відхилення - це квадратний кореньіз дисперсії. Воно є розмірної величиною і вимірюється в тих же одиницях, в яких вимірюється досліджувана випадкова величина:

.

Дисперсія і середньоквадратичне відхилення служать мірою абсолютного коливання. Для аналізу зазвичай використовується коефіцієнт варіації.

Коефіцієнт варіації являє собою відношення середньоквадратичного відхилення до середнього очікуваного значення, помножене на 100%

або .

На коефіцієнт варіації не впливають абсолютні значення досліджуваного показника.

За допомогою коефіцієнта варіації можна порівнювати навіть коливання ознак, виражених у різних одиницях виміру. Коефіцієнт варіації може змінюватися від 0 до 100%. Чим більше коефіцієнт, тим більше коливання.

В економічній статистиці встановлена ​​така оцінка різних значень коефіцієнта варіації:

до 10% - слабке коливання, 10 - 25% - помірне, понад 25% - висока.

Відповідно, чим вище коливання, тим більше ризик.

Приклад.Власник невеликого магазину спочатку кожного дня закуповує для реалізації деякий швидкопсувний продукт. Одиниця цього продукту коштує 200 грн. Ціна реалізації - 300 грн. за одиницю. Зі спостережень відомо, що попит на цей продукт протягом дня може бути 4, 5, 6 або 7 одиниць з відповідними можливостями 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. Якщо продукт протягом дня не буде реалізований, то в кінці дня його завжди куплять за ціною 150 грн. за одиницю. Скільки одиниць цього продукту повинен закупити власник магазину спочатку дня?

Рішення. Побудуємо матрицю прибутку власника магазину. Обчислимо прибуток, яку отримає власник, якщо, наприклад, він закупить 7 одиниць продукту, а реалізує протягом дня 6 і в кінці дня одну одиницю. Кожна одиниця продукту, реалізована протягом дня, дає прибуток в 100 грн., А в кінці дня - втрати 200 - 150 = 50 грн. Таким чином, прибуток в цьому випадку становитиме:

Аналогічно проводяться розрахунки при інших поєднаннях пропозиції і попиту.

Очікуваний прибуток обчислюється як математичне очікування можливих значень прибутку кожного рядка побудованої матриці з урахуванням відповідних ймовірностей. Як бачимо, серед очікуваних прибутків найбільша дорівнює 525 грн. Вона відповідає закупівлі розглянутого продукту в кількості 6 одиниць.

Для обґрунтування остаточної рекомендації щодо закупівлі необхідної кількості одиниць продукту обчислимо дисперсію, середньоквадратичне відхилення і коефіцієнт варіації для кожного можливого поєднання пропозиції і попиту продукту (кожного рядка матриці прибутку):

Що стосується закупівлі власником магазину 6 одиниць продукту в порівнянні з 5 і 4 одиницями, то це не є очевидним, оскільки ризик при закупівлі 6 одиниць продукту (19,2%) більше, ніж при закупівлі 5 одиниць (9,3%) і тим більше, ніж при закупівлі 4 одиниць (0%).

Таким чином, маємо всю інформацію про очікувані прибутки і ризики. І вирішувати, скільки одиниць товару необхідно закупити щоранку власнику магазину з урахуванням свого досвіду, схильності до ризику.

На наш погляд, власнику магазину слід рекомендувати щоранку закуповувати 5 одиниць продукту і його середня очікувана прибуток буде дорівнює 485 грн. і якщо порівняти це із закупівлею 6 одиниць продукту, при якій середня очікувана прибуток становить 525 грн., що на 40 грн. більше, але ризик в цьому випадку буде великим в 2,06 рази.

Як використовуються теорія ймовірностей і математична статистика? Ці дисципліни - основа ймовірносно-статистичних методів прийняття рішень. Щоб скористатися їх математичним апаратом, необхідно завдання прийняття рішеньвисловити в термінах ймовірносно-статистичних моделей. Застосування конкретного ймовірносно-статистичного методу прийняття рішеньскладається з трьох етапів:

• перехід від економічної, управлінської, технологічної реальності до абстрактного математико-статистичної схемою, тобто побудова імовірнісної моделі системи управління, технологічного процесу, процедури прийняття рішень, Зокрема за результатами статистичного контролю, і т.п .;
• проведення розрахунків і отримання висновків чисто математичними засобами в рамках ймовірнісної моделі;
• інтерпретація математико-статистичних висновків стосовно реальної ситуації і прийняття відповідного рішення (наприклад, про відповідність або невідповідність якості продукції встановленим вимогам, необхідності налагодження технологічного процесу і т.п.), зокрема, укладення (про частку дефектних одиниць продукції в партії, про конкретному виді законів розподілу контрольованих параметрівтехнологічного процесу та ін.).

Математична статистика використовує поняття, методи і результати теорії ймовірностей. Розглянемо основні питання побудови імовірнісних моделей прийняття рішеньв економічних, управлінських, технологічних та інших ситуаціях. Для активного і правильного використання нормативно-технічних та інструктивно-методичних документів по ймовірносно-статистичних методів прийняття рішеньпотрібні попередні знання. Так, необхідно знати, за яких умов слід застосовувати той чи інший документ, яку вихідну інформацію необхідно мати для його вибору та застосування, які рішення повинні бути прийняті за результатами обробки даних і т.д.

Приклади застосування теорії ймовірностей і математичної статистики. Розглянемо кілька прикладів, коли ймовірносно-статистичні моделі є хорошим інструментом для вирішення управлінських, виробничих, економічних, народногосподарських завдань. Так, наприклад, в романі А.Н. Толстого "Ходіння по муках" (т.1) говориться: "майстерня дає двадцять три відсотка шлюбу, цієї цифри ви тримаєтеся, - сказав Струков Івану Іллічу".

Постає питання, як розуміти ці слова в розмові заводських менеджерів, оскільки одна одиниця продукції не може бути дефектна на 23%. Вона може бути або придатної, або дефектної. Напевно, Струков мав на увазі, що в партії великого обсягу міститься приблизно 23% дефектних одиниць продукції. Тоді виникає питання, а що значить "приблизно"? Нехай з 100 перевірених одиниць продукції 30 виявляться дефектними, або з 1000-300, або з 100000-30000 і т.д., треба звинувачувати Струкова у брехні?

Або інший приклад. Монетка, яку використовують як жереб, повинна бути "симетричною", тобто при її киданні в середньому в половині випадків повинен випадати герб, а в половині випадків - решітка (решка, цифра). Але що означає "в середньому"? Якщо провести багато серій по 10 бросаний в кожній серії, то часто будуть зустрічатися серії, в яких монетка 4 рази випадає гербом. Для симетричною монети це буде відбуватися в 20,5% серій. А якщо на 100000 бросаний виявиться 40000 гербів, то чи можна вважати монету симетричною? процедура прийняття рішеньбудується на основі теорії ймовірностей і математичної статистики.

Розглянутий приклад може здатися недостатньо серйозним. Однак це не так. Жеребкування широко використовується при організації промислових техніко-економічних експериментів, наприклад, при обробці результатів вимірювання показника якості (моменту тертя) підшипників в залежності від різних технологічних факторів (впливу лепьохіна середовища, методів підготовки підшипників перед виміром, впливу навантаження підшипників в процесі вимірювання і т. п.). Припустимо, необхідно порівняти якість підшипників в залежності від результатів зберігання їх в різних консерваційних маслах, тобто в оліях складу і. При плануванні такого експерименту виникає питання, які підшипники слід помістити в масло складу, а які - в масло складу, але так, щоб уникнути суб'єктивізму і забезпечити об'єктивність прийнятого рішення.

Відповідь на це питання може бути отриманий за допомогою жереба. Аналогічний приклад можна привести і з контролем якості будь-якої продукції. Щоб вирішити, відповідає чи не відповідає контрольована партія продукції встановленим вимогам, робиться вибірка. За результатами контролю вибірки робиться висновок про всю партії. В цьому випадку дуже важливо уникнути суб'єктивізму при формуванні вибірки, тобто необхідно, щоб кожна одиниця продукції в контрольованій партії мала однакову ймовірність бути відібраної у вибірку. У виробничих умовах відбір одиниць продукції у вибірку зазвичай здійснюють не за допомогою жереба, а за спеціальними таблицями випадкових чисел або за допомогою комп'ютерних датчиків випадкових чисел.

Аналогічні проблеми забезпечення об'єктивності порівняння виникають при зіставленні різних схем організації виробництва, Оплати праці, при проведенні тендерів і конкурсів, підбору кандидатів на вакантні посади і т.п. Усюди потрібна жеребкування або подібні до неї процедури. Пояснимо на прикладі виявлення найбільш сильною і другий за силою команд при організації турніру за олімпійською системою (хто програв вибуває). Нехай завжди сильніша команда перемагає більш слабку. Ясно, що найсильніша команда однозначно стане чемпіоном. Друга за силою команда вийде в фінал тоді і тільки тоді, коли до фіналу у неї не буде ігор з майбутнім чемпіоном. Якщо така гра буде запланована, то друга за силою команда у фінал не потрапить. Той, хто планує турнір, може або достроково "вибити" другу за силою команду з турніру, звівши її в першій же зустрічі з лідером, або забезпечити їй друге місце, забезпечивши зустрічі з більш слабкими командами аж до фіналу. Щоб уникнути суб'єктивізму, проводять жеребкування. Для турніру з 8 команд ймовірність того, що в фіналі зустрінуться дві найсильніші команди, дорівнює 4/7. Відповідно з імовірністю 3/7 друга за силою команда покине турнір достроково.

При будь-якому вимірі одиниць продукції (за допомогою штангенциркуля, мікрометра, амперметра і т.п.) є похибки. Щоб з'ясувати, чи є систематичні похибки, необхідно зробити багаторазові вимірювання одиниці продукції, характеристики якої відомі (наприклад, стандартного зразка). При цьому слід пам'ятати, що крім систематичної присутній і випадкова похибка.

Тому постає питання, як за результатами вимірювань дізнатися, чи є систематична похибка. Якщо відзначати тільки, чи є отримана при черговому вимірі похибка позитивною або негативною, то це завдання можна звести до попередньої. Дійсно, можна порівняти вимір з киданням монети, позитивну похибка - з випаданням герба, негативну - решітки (нульова похибка при достатній кількості поділок шкали практично ніколи не зустрічається). Тоді перевірка відсутності систематичної похибки еквівалентна перевірці симетричності монети.

Метою цих міркувань є зведення завдання перевірки відсутності систематичної похибки до задачі перевірки симетричності монети. Проведені міркування призводять до так званого "критерієм знаків" в математичній статистиці.

При статистичному регулюванні технологічних процесів на основі методів математичної статистики розробляються правила і плани статистичного контролю процесів, спрямовані на своєчасне виявлення розладнання технологічних процесів, вжиття заходів до їх налагодження та запобігання випуску продукції, що не відповідає встановленим вимогам. Ці заходи спрямовані на скорочення витрат виробництва і втрат від постачання неякісних одиниць продукції. При статистичному приймальному контролі на основі методів математичної статистики розробляються плани контролю якості шляхом аналізу вибірок з партій продукції. Складність полягає в тому, щоб уміти правильно будувати ймовірносно-статистичні моделі прийняття рішень, На основі яких можна відповісти на поставлені вище питання. У математичній статистиці для цього розроблені імовірнісні моделі і методи перевірки гіпотез, зокрема, гіпотез про те, що частка дефектних одиниць продукції дорівнює певному числу, наприклад, (згадайте слова Струкова з роману А.Н. Толстого).

завдання оцінювання. У ряді управлінських, виробничих, економічних, народногосподарських ситуацій виникають завдання іншого типу - завдання оцінки характеристик і параметрів розподілів ймовірностей.

Розглянемо приклад. Нехай на контроль надійшла партія з N електроламп. З цієї партії випадковим чином відібрана вибірка обсягом n електроламп. Виникає ряд природних питань. Як за результатами випробувань елементів вибірки визначити середній термін служби електроламп і з якою точністю можна оцінити цю характеристику? Як зміниться точність, якщо взяти вибірку більшого обсягу? При якому числі годин можна гарантувати, що не менше 90% електроламп прослужать і більше годин?

Припустимо, що при випробуванні вибірки обсягом електроламп дефектними виявилися електроламп. Тоді виникають наступні питання. Які межі можна вказати для числа дефектних електроламп в партії, для рівня дефектності і т.п.?

Або при статистичному аналізі точності і стабільності технологічних процесів слід оцінити такі показники якості, Як середнє значення контрольованого параметраі ступінь його розкиду в даному процесі. Відповідно до теорії ймовірностей як середнє значення випадкової величини доцільно використовувати її математичне сподівання, а в якості статистичної характеристики розкиду - дисперсію, середньоквадратичне відхилення або коефіцієнт варіації. Звідси виникає питання: як оцінити ці статистичні характеристики за вибірковими даними і з якою точністю це вдається зробити? Аналогічних прикладів можна навести дуже багато. Тут важливо було показати, як теорія ймовірностей і математична статистика можуть бути використані у виробничому менеджменті при прийнятті рішень в області статистичного управління якістю продукції.

Що таке "математична статистика"? Під математичною статистикою розуміють "розділ математики, присвячений математичним методам збору, систематизації, обробки й інтерпретації статистичних даних, а також використання їх для наукових або практичних висновків. Правила і процедури математичної статистики спираються на теорію ймовірностей, що дозволяє оцінити точність і надійність висновків, одержуваних в кожного завдання на підставі наявного статистичного матеріалу "[[2.2], с. 326]. При цьому статистичними даними називаються відомості про кількість об'єктів в будь-якої більш-менш великої сукупності, що володіють тими чи іншими ознаками.

За типом вирішуваних завдань математична статистика зазвичай ділиться на три розділи: опис даних, оцінювання і перевірка гіпотез.

По виду оброблюваних статистичних даних математична статистика ділиться на чотири напрямки:

• одномірна статистика (статистика випадкових величин), в якій результат спостереження описується дійсним числом;
• багатовимірний статистичний аналіз, де результат спостереження над об'єктом описується декількома числами (вектором);
• статистика випадкових процесів і часових рядів, де результат спостереження - функція;
• статистика об'єктів нечислової природи, в якій результат спостереження має нечислову природу, наприклад, є безліччю (геометричною фігурою), упорядкуванням або отриманий в результаті вимірювання за якісною ознакою.

Історично першими з'явилися деякі області статистики об'єктів нечислової природи (зокрема, завдання оцінювання частки шлюбу і перевірки гіпотез про неї) і одномірна статистика. Математичний апарат для них простіше, тому на їх прикладі зазвичай демонструють основні ідеї математичної статистики.

Лише ті методи обробки даних, тобто математичної статистики, є доказовими, які спираються на імовірнісні моделі відповідних реальних явищ і процесів. Мова йде про моделі поведінки споживачів, виникнення ризиків, функціонування технологічного обладнання, отримання результатів експерименту, перебігу захворювання і т.п. Вірогідну модель реального явища слід вважати побудованої, якщо розглянуті величини і зв'язку між ними виражені в термінах теорії ймовірностей. Відповідність ймовірнісної моделі реальності, тобто її адекватність, доводять, зокрема, за допомогою статистичних методів перевірки гіпотез.

Невероятностной методи обробки даних є пошуковими, їх можна використовувати лише при попередньому аналізі даних, так як вони не дають можливості оцінити точність і надійність висновків, отриманих на підставі обмеженого статистичного матеріалу.

імовірнісні і статистичні методизастосовні скрізь, де вдається побудувати і обгрунтувати імовірнісну модель явища чи процесу. Їх застосування обов'язково, коли зроблені на основі вибіркових даних висновки переносяться на всю сукупність (наприклад, з вибірки на всю партію продукції).

У конкретних областях застосувань використовуються як вероятностно- статистичні методиширокого застосування, так і специфічні. Наприклад, в розділі виробничого менеджменту, присвяченого статистичних методів управління якістю продукції, використовують прикладну математичну статистику (включаючи планування експериментів). За допомогою її методів проводиться статистичний аналізточності і стабільності технологічних процесів і статистична оцінка якості. До специфічних належать методи статистичного приймального контролю якості продукції, статистичного регулювання технологічних процесів, оцінки і контролю надійності та ін.

Широко застосовуються такі прикладні ймовірносно-статистичні дисципліни, як теорія надійності та теорія масового обслуговування. Зміст першої з них ясно з назви, друга займається вивченням систем типу телефонної станції, на яку в випадкові моменти часу надходять виклики - вимоги абонентів, що набирають номери на своїх телефонних апаратах. Тривалість обслуговування цих вимог, тобто тривалість розмов, також моделюється випадковими величинами. Великий внесок у розвиток цих дисциплін внесли член-кореспондент АН СРСР А.Я. Хинчин (1894-1959), академік АН УРСР Б.В. Гнеденко (1912-1995) та інші вітчизняні вчені.

Коротко про історію математичної статистики. Математична статистика як наука починається з робіт знаменитого німецького математика Карла Фрідріха Гаусса (1777-1855), який на основі теорії ймовірностей дослідив і обгрунтував метод найменших квадратів, Створений ним в 1795 р і застосований для обробки астрономічних даних (з метою уточнення орбіти малої планети Церера). Його ім'ям часто називають одне з найбільш популярних розподілів ймовірностей - нормальне, а в теорії випадкових процесів основний об'єкт вивчення - гаусові процеси.

В кінці XIX ст. - початку ХХ ст. великий внесок у математичну статистику внесли англійські дослідники, перш за все К. Пірсон (1857-1936) і Р.А. Фішер (1890-1962). Зокрема, Пірсон розробив критерій "хі-квадрат" перевірки статистичних гіпотез, а Фішер - дисперсійний аналіз, Теорію планування експерименту, метод максимальної правдоподібності оцінки параметрів.

У 30-ті роки ХХ ст. поляк Єжи Нейман (1894-1977) і англієць Е. Пірсон розвинули загальну теорію перевірки статистичних гіпотез, а радянські математики академік А.Н. Колмогоров (1903-1987) і член-кореспондент АН СРСР Н.В. Смирнов (1900-1966) заклали основи непараметричної статистики. У сорокові роки ХХ ст. румунів А. Вальд (1902-1950) побудував теорію послідовного статистичного аналізу.

Математична статистика бурхливо розвивається і в даний час. Так, за останні 40 років можна виділити чотири принципово нових напрямки досліджень [[2.16]]:

• Розробка та впровадження математичних методів планування експериментів;
• розвиток статистики об'єктів нечислової природи як самостійного напрямку в прикладній математичній статистиці;
• розвиток статистичних методів, стійких по відношенню до малих відхилень від використовуваної ймовірнісної моделі;
• широке розгортання робіт зі створення комп'ютерних пакетів програм, призначених для проведення статистичного аналізу даних.

Ймовірносно-статистичні методи і оптимізація. Ідея оптимізації пронизує сучасну прикладну математичну статистику і інші статистичні методи. А саме - методи планування експериментів, статистичного приймального контролю, статистичного регулювання технологічних процесів та ін. З іншого боку, оптимізаційні постановки в теорії прийняття рішень, Наприклад, прикладна теорія оптимізації якості продукції та вимог стандартів, передбачають широке використання ймовірносно-статистичних методів, перш за все прикладної математичної статистики.

У виробничому менеджменті, зокрема, при оптимізації якості продукції та вимог стандартів особливо важливо застосовувати статистичні методина початковому етапі життєвого циклу продукції, тобто на етапі науково-дослідної підготовки дослідно-конструкторських розробок (розробка перспективних вимог до продукції, аванпроекта, технічного завдання на дослідно-конструкторську розробку). Це пояснюється обмеженістю інформації, доступної на початковому етапі життєвого циклу продукції, і необхідністю прогнозування технічних можливостей та економічної ситуації на майбутнє. Статистичні методиповинні застосовуватися на всіх етапах виконання завдання оптимізації - при шкалировании змінних, розробці математичних моделей функціонування виробів і систем, проведенні технічних і економічних експериментів і т.д.

У завданнях оптимізації, в тому числі оптимізації якості продукції та вимог стандартів, використовують все області статистики. А саме - статистику випадкових величин, багатовимірний статистичний аналіз, Статистику випадкових процесів і часових рядів, статистику об'єктів нечислової природи. Вибір статистичного методу для аналізу конкретних даних доцільно проводити відповідно до рекомендацій [

Частина 1. Фундамент прикладної статистики

1.2.3. Суть ймовірносно-статистичних методів прийняття рішень

Як підходи, ідеї і результати теорії ймовірностей і математичної статистики використовуються при прийнятті рішень?

Базою є імовірнісна модель реального явища або процесу, тобто математична модель, в якій об'єктивні співвідношення виражені в термінах теорії ймовірностей. Ймовірності використовуються насамперед для опису невизначеностей, які необхідно враховувати при прийнятті рішень. Маються на увазі як небажані можливості (ризики), так і привабливі ( «щасливий випадок»). Іноді випадковість вноситься в ситуацію свідомо, наприклад, при жеребкуванні, випадковому відборі одиниць для контролю, проведення лотерей або опитувань споживачів.

Теорія ймовірностей дозволяє по одним можливостям розрахувати інші, цікаві для дослідника. Наприклад, за ймовірністю випадання герба можна розрахувати ймовірність того, що при 10 киданнях монет випаде не менше 3 гербів. Подібний розрахунок спирається на вірогідну модель, згідно з якою кидання монет описуються схемою незалежних випробувань, крім того, випадання герба і решітки рівноможливими, а тому ймовірність кожного з цих подій дорівнює ½. Складнішою є модель, в якій замість кидання монети розглядається перевірка якості одиниці продукції. Відповідна імовірнісна модель спирається на припущення про те, що контроль якості різних одиниць продукції описується схемою незалежних випробувань. На відміну від моделі з киданням монет необхідно ввести новий параметр - ймовірність ртого, що одиниця продукції є дефектною. Модель буде повністю описана, якщо прийняти, що всі одиниці продукції мають однакову ймовірність виявитися дефектними. Якщо останнє припущення невірно, то число параметрів моделі зростає. Наприклад, можна прийняти, що кожна одиниця продукції має свою ймовірність опинитися дефектної.

Обговоримо модель контролю якості із загальною для всіх одиниць продукції ймовірністю дефектності р. Щоб при аналізі моделі «дійти до числа», необхідно замінити рна деяке конкретне значення. Для цього необхідно вийти з рамок ймовірнісної моделі і звернутися до даних, отриманих при контролі якості. Математична статистика вирішує зворотну задачу по відношенню до теорії ймовірностей. Її мета - на основі результатів спостережень (вимірювань, аналізів, випробувань, дослідів) отримати висновки про ймовірності, що лежать в основі ймовірнісної моделі. Наприклад, на основі частоти появи дефектних виробів при контролі можна зробити висновки про ймовірність дефектності (див. Теорему Бернуллі вище). На основі нерівності Чебишева робилися висновки про відповідність частоти появи дефектних виробів гіпотезі про те, що ймовірність дефектності приймає певне значення.

Таким чином, застосування математичної статистики спирається на вірогідну модель явища чи процесу. Використовуються два паралельних ряди понять - пов'язані з теорії (ймовірнісної моделі) і відносяться до практиці (вибірці результатів спостережень). Наприклад, теоретичної ймовірності відповідає частота, знайдена по вибірці. Математичного сподівання (теоретичний ряд) відповідає вибіркове середнє арифметичне (практичний ряд). Як правило, вибіркові характеристики є оцінками теоретичних. При цьому величини, що відносяться до теоретичного ряду, «знаходяться в головах дослідників», відносяться до світу ідей (по давньогрецького філософа Платона), недоступні для безпосереднього вимірювання. Дослідники мають у своєму розпорядженні лише вибірковими даними, за допомогою яких вони намагаються встановити, що цікавлять їх властивості теоретичної ймовірнісної моделі.

Навіщо ж потрібна імовірнісна модель? Справа в тому, що тільки з її допомогою можна перенести властивості, встановлені за результатами аналізу конкретної вибірки, на інші вибірки, а також на всю так звану генеральну сукупність. Термін «генеральна сукупність» використовується, коли мова йде про великий, але кінцевої сукупності досліджуваних одиниць. Наприклад, про сукупності всіх жителів Росії або сукупності всіх споживачів розчинної кави в Москві. Мета маркетингових або соціологічних опитувань полягає в тому, щоб твердження, отримані за вибіркою з сотень або тисяч чоловік, перенести на генеральні сукупності в кілька мільйонів чоловік. При контролі якості в ролі генеральної сукупності виступає партія продукції.

Щоб перенести висновки з вибірки на ширшу сукупність, необхідні ті чи інші припущення про зв'язок вибіркових характеристик з характеристиками цієї ширшої сукупності. Ці припущення засновані на відповідній ймовірнісної моделі.

Звичайно, можна обробляти вибіркові дані, не використовуючи ту чи іншу вірогідну модель. Наприклад, можна розраховувати вибіркове середнє арифметичне, підраховувати частоту виконання тих чи інших умов і т.п. Однак результати розрахунків будуть ставитися тільки до конкретної вибірці, перенесення отриманих з їх допомогою висновків на будь-яку іншу сукупність некоректний. Іноді подібну діяльність називають «аналіз даних». У порівнянні з ймовірносно-статистичними методами аналіз даних має обмежену пізнавальну цінність.

Отже, використання імовірнісних моделей на основі оцінювання та перевірки гіпотез за допомогою вибіркових характеристик - ось суть ймовірносно-статистичних методів прийняття рішень.

Підкреслимо, що логіка використання вибіркових характеристик для прийняття рішень на основі теоретичних моделей припускає одночасне використання двох паралельних рядів понять, один з яких відповідає імовірнісним моделям, а другий - вибірковими даними. На жаль, в ряді літературних джерел, зазвичай застарілих небудь написаних в рецептурному дусі, не робиться відмінності між вибірковими і теоретичними характеристиками, що призводить читачів до здивування і помилок при практичному використанні статистичних методів.

Явища життя, як і взагалі всі явища матеріального світу, мають дві нерозривно пов'язані сторони: якісну, сприйняту безпосередньо органами почуттів, і кількісну, що виражається числами за допомогою рахунку і заходи.

При дослідженні різних явищ природи застосовують одночасно і якісні і кількісні показники. Безсумнівно, що тільки в єдності якісної і кількісної сторін найбільш повно розкривається сутність досліджуваних явищ. Однак насправді доводиться користуватися або тими, чи іншими показниками.

Безсумнівно, що кількісні методи як більш об'єктивні і точні мають перевагу перед якісною характеристикою предметів.

Самі по собі результати вимірювань, хоча і мають певне значення, ще недостатні для того, щоб зробити з них необхідні висновки. Цифрові дані, зібрані в процесі масових випробувань - це всього лише сирої фактичний матеріал, який потребує відповідної математичної обробки. Без обробки - впорядкування і систематизації цифрових даних не вдається витягти закладену в них інформацію, оцінити надійність окремих сумарних показників, переконатися в достовірності спостережуваних між ними відмінностей. Ця робота вимагає від фахівців певних знань, вміння правильно узагальнювати і аналізувати зібрані в досвіді дані. Система цих знань і становить зміст статистики - науки, що займається головним чином питаннями аналізу результатів досліджень в теоретичної та прикладної областях науки.

Слід мати на увазі, що математична статистика і теорія ймовірностей є науками суто теоретичними, абстрактними; вони вивчають статистичні сукупності безвідносно до специфіки входять до їх складу елементів. Методи математичної статистики і лежить в її основі теорії ймовірностей застосовні до самих різних областей знання, включаючи і гуманітарні науки.

Вивчення явищ проводяться не по окремим спостереженнями, які можуть виявитися випадковими, нетиповими, неповно виражають сутність даного явища, а на безлічі однорідних спостережень, що дає більш повну інформацію про досліджуваному об'єкті. Деякий безліч щодо однорідних предметів, що об'єднуються за тією або іншою ознакою для спільного вивчення, називають статистичної

сукупністю. Сукупність об'єднує якесь число однорідних спостережень або реєстрацій.

Елементи, що входять до складу сукупності, називаються її членами, або варіантами . варіанти- це окремі спостереження або числові значення ознаки. Так, якщо позначити ознака через Х (велике), то його значення або варіанти будуть позначатися через х (мале), тобто х 1, х 2, і т.д.

Загальна кількість варіантів, що входять до складу даної сукупності називається її обсягом і позначається буквою n (мале).

Коли обстеження піддається вся сукупність однорідних об'єктів в цілому, її називають загальною, генеральної, сукупністю Прикладом такого роду суцільного опису сукупності можуть служити загальнодержавні перепису населення, поголовний статистичний облік тварин в країні. Зрозуміло, повне обстеження генеральної сукупності дає найбільш повноцінну інформацію про її стан і властивості. Тому природно прагнення дослідників до того, щоб в в сукупність об'єднувалося якомога більше число спостережень.

Однак насправді рідко доводиться вдаватися до обстеження всіх членів генеральної сукупності. По-перше, тому, що ця робота вимагає великої затрати часу та праці, а по-друге, вона не завжди здійсненна за цілою низкою причин і різних обставин. Так що замість суцільного обстеження генеральної сукупності вивчення піддається зазвичай якась її частина, що отримала назву вибіркової сукупності, або вибірки. Вона являє собою той зразок, за яким судять про всю генеральної сукупності в цілому. Наприклад, щоб дізнатися середнє зростання призовного населення деякої області або району, зовсім не обов'язково вимірювати всіх призовників, які проживають в даній місцевості, а досить виміряти якусь частину їх.

1. Вибірка повинна бути цілком представницької, або типовою, тобто щоб до її складу входили переважно ті варіанти, які найбільш повно відображають генеральну сукупність. Тому, щоб приступити до обробки вибіркових даних, їх уважно переглядають і видаляють явно нетипові варіанти. Наприклад, при аналізі вартості продукції, що випускається підприємством, повинна бути виключена вартість в ті періоди, коли підприємство не було в повній мірі забезпечено комплектуючими або сировиною.

2. Вибірка повинна бути об'єктивною. При утворенні вибірки не можна чинити по свавіллю, включати до її складу лише ті варіанти, які здаються типовими, а всі інші бракувати. Доброякісна вибірка проводиться без упереджених думок, за методом жеребкування або лотереї, коли жоден з варіантів генеральної сукупності не має ніяких переваг перед іншими - потрапити або не потрапити в склад вибіркової сукупності. Іншими словами, вибірка повинна проводитися за принципом випадкового відбору, без впливів на її склад.

3. Вибірка повинна бути якісно однорідною. Не можна включати до складу однієї і тієї ж вибірки дані, отримані в різних умовах, наприклад, вартість виробів, отриманих при різній чисельності працівників.

6.2. Угруповання результатів спостережень

Зазвичай результати дослідів і спостережень заносяться у вигляді цифр в облікові картки або журнал, а іноді просто на аркуші паперу - виходить відомість або реєстр. Такі початкові документи, як правило містять відомості не про один, а про кілька ознаках, за якими проводилися спостереження. Ці документи є основним джерелом освіти вибіркової сукупності. Робиться це звичайно так: на окремий аркуш паперу з первинного документа, тобто картотеки, журналу або відомості, виписуються числові значення того ознаки, за яким утворюється сукупність. Варіанти в такій сукупності представлені зазвичай у вигляді безладної маси цифр. Тому першим кроком на шляху обробки такого матеріалу є впорядкування, систематизація його - угруповання варіант в статистичні таблиці або ряди.

Однією з найбільш поширених форм угруповань вибіркових даних служать статистичні таблиці. Вони мають ілюстративне значення, показуючи якісь загальні підсумки, положення окремих елементів в загальній серії спостережень.

До іншій формі первинної угруповання вибіркових даних відноситься спосіб ранжирування, тобто розташування варіант в певному порядку - по зростаючими або убутним значеннями ознаки. В результаті виходить так званий ранжируваних ряд, який показує в яких межах і яким чином варіює дана ознака. Наприклад, є вибірка наступного складу:

5,2,1,5,7,9,3,5,4,10,4,5,7,3,5, 9,4,12,7,7

Видно, що ознака змінюється від 1 до 12 якихось одиниць. Маємо в своєму розпорядженні варіанти в зростаючому порядку:

1,2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,7,7,7,7,9,9,10,12.,

В результаті вийшов ранжируваних ряд значень варьирующего ознаки.

Цілком очевидно, що спосіб ранжирування в тому вигляді, як він тут показаний, можна застосовувати лише до вибірок малого обсягу. При великій кількості спостережень ранжування ускладнюється, тому що ряд виходить настільки довгим, що втрачає своє значення.

При великій кількості спостережень ранжувати вибіркову сукупність прийнято у вигляді подвійного ряду, тобто із зазначенням частоти або повторюваності окремих варіант рангового ряду. Такий подвійний ряд ранжируваних значень ознаки називається варіаційним рядом або поруч розподілу. Найпростішим прикладом варіаційного ряду можуть служити ранжирування вище дані, якщо їх розташувати в такий спосіб:

значення ознаки

(Варіанти) 1 2 3 4 5 7 9 10 12

повторюваність

(Варіант) частоти 1 1 2 3 5 4 2 1 1

Варіаційний ряд показує, з якою частотою окремі варіанти зустрічаються в даній сукупності, як вони розподіляються, що має велике значення, дозволяючи судити про закономірності варіювання і діапазоні варіації кількісних ознак. Побудова варіаційних рядів полегшує обчислення сумарних показників - середньої арифметичної і дисперсії або розсіювання варіант близько їх середнього значення - показників, якими характеризується будь-яка статистична сукупність.

Варіаційні ряди бувають двох видів: переривчасті і безперервні. Переривчастий варіаційний ряд виходить при розподілі дискретних величин, до яких відносяться рахункові ознаки. Якщо ж ознака варіює безперервно, тобто може приймати будь-які значення в межах від мінімальної до максимальної варіант сукупності, то остання розподіляється в безперервний варіаційний ряд.

Для побудови варіаційного ряду дискретно варьирующего ознаки досить всю сукупність спостережень розташувати у вигляді рангового ряду, вказавши частоти окремих варіантів. Як приклад наводимо дані, що показують розподіл за розміром 267 деталей (табл.5.4)

Таблиця 6.1. Розподіл деталей за розміром.

Щоб побудувати варіаційний ряд безперервно варіюють ознак, потрібно всю варіацію від мінімального до максимального варіанту розбити на окремі групи або проміжки (від-до), звані класами, а потім розподілити всі варіанти сукупності за цими класами. В результаті вийде подвійний варіаційний ряд, в якому частоти відносяться вже не до окремих конкретних варіантів, а до всього інтервалу, тобто виявляються частотами не варіант, а класів.

Розбивка загальної варіації на класи проводиться в масштабі класового інтервалу, який повинен бути однаковим для всіх класів варіаційного ряду. Величина класового інтервалу позначається через i (від слова intervalum - проміжок, відстань); вона визначається за такою формулою

, (6.1)

де: i - класовий інтервал, який береться цілим числом;

- максимальна і мінімальна варіанти вибірки;

lg.n - логарифм числа класів, на які розбивається вибіркова сукупність.

Число класів встановлюється довільно, але з урахуванням тієї обставини, що число класів знаходиться в деякій залежності від обсягу вибірки: чим більший обсяг має вибіркова сукупність, тим більше повинно бути класів, і навпаки - при менших обсягах вибірки слід брати і менше число класів. Досвід показав, що і на малих вибірках, коли доводиться групувати варіанти у вигляді варіаційного ряду, не слід встановлювати менше 5-6 класів. При наявності ж 100-150 варіант число класів можна довести до 12-15. Якщо ж сукупність складається з 200-300 варіант, то її розбивають на 15-18 класів і т.д. Зрозуміло, ці рекомендації досить умовні і їх не можна приймати як встановлене правило.

При розбивці на класи в кожному конкретному випадків доводиться зважати на цілу низку різних обставин, домагаючись того, щоб обробка статистичного матеріалу давала найбільш точні результати.

Після того, як встановлено класовий інтервал і вибіркова сукупність розбита на класи, проводиться рознесення варіант по класах і визначаються число варіацій (частоти) кожного класу. В результаті виходить варіаційний ряд, в якому частоти відносяться не до окремих варіантів, а до певних класів. Сума всіх частот варіаційного ряду повинна дорівнювати обсягу вибірки, тобто

(6.2)

де:
-знак підсумовування;

р - частота.

n - обсяг вибірки.

Якщо такої рівності не виявилося, значить при рознесенні варіант по класах допущена помилка, яку необхідно усунути.

Зазвичай для рознесення варіант по класах складається допоміжна таблиця, в якій є чотири графи: 1) класи за цією ознакою (від - до); 2) - середнє значення класів, 3) рознесення варіант по класах, 4) частоти класів (див. Табл. 6.2.)

Рознесення варіант за класами вимагає великої уваги. Не можна допускати, щоб одна і та ж варіанту була відзначена двічі або однакові варіанти потрапляли в різні класи. Щоб уникнути помилок при розподілі варіант по класах, рекомендується не шукати однакові варіанти і в сукупності, а розносити їх по класах, що не одне і те ж. Ігнорування цього правила, що буває в роботі недосвідчених дослідників, забирає багато часу при рознесенні варіант, а головне, призводить до помилок.

Таблиця 6.2. Рознесення варіант за класами

Закінчивши рознесення варіант і підрахувавши їх число для кожного класу, отримуємо безперервний варіаційний ряд. Його треба перетворити в переривчастий варіаційний ряд. Для цього, як уже зазначалося, беремо напівсуми крайніх значень класів. Так, наприклад, серединне значення першого класу, рівне 8,8 отримано наступним чином:

(8,6+9,0):2=8,8.

Друге значення (9,3) цієї графи обчислено аналогічним способом:

(9,01 + 9,59): 2 = 9,3 і т.д.

В результаті виходить переривчастий варіаційний ряд, який показує розподіл по досліджуваному ознакою (табл.6.3.)

Таблиця 6.3. варіаційний ряд

Угруповання вибіркових даних у вигляді варіаційного ряду має подвійне призначення: по-перше, як допоміжна операція вона необхідна при обчисленні сумарних показників, а по-друге, ряди розподілу показують закономірність варіювання ознак, що дуже важливо. Щоб висловити цю закономірність більш наочно, прийнято зображати варіаційні ряди графічно у вигляді гістрограмми (рис.6.1.)

Ріс.6.1.Распределеніе підприємств за кількістю працівників

Гістограма зображує розподіл варіант при безперервному варьировании ознаки. Прямокутники відповідають класам, а їх висота - кількості варіант, укладених в кожному класі. Якщо з серединних точок вершин прямокутників гістограми опустити перпендикуляри на вісь абцісс, а потім ці точки з'єднати між собою, вийде графік безперервного варіювання, званий полігоном або щільністю розподілу.

При проведенні психолого-педагогічних досліджень важлива роль відводиться математичним методам моделювання процесів і обробки експериментальних даних. До таких методів слід віднести, перш за все, так звані, ймовірносно-статистичні методи дослідження. Це пов'язано з тим, що на поведінку як окремої людини в процесі його діяльності, так і людини в колективі істотно впливає безліч випадкових факторів. Випадковість не дозволяє описувати явища в рамках детермінованих моделей, т. К. Проявляється, як недостатня регулярність в масових явищах і, отже, не дає можливість з достовірністю передбачати настання певних подій. Однак при вивченні таких явищ виявляються певні закономірності. Нерегулярність, властива випадковим подіям, при великій кількості випробувань, як правило, компенсується появою статистичної закономірності, стабілізацією частот наступів випадкових подій. Отже, дані випадкові події мають певну ймовірність. Існують два принципово розрізняються ймовірносно-статистичних методу психолого-педагогічних досліджень: класичний і некласичний. Проведемо порівняльний аналіз цих методів.

Класичний ймовірносно-статистичний метод. В основі класичного ймовірносно-статистичного методу дослідження лежать теорія ймовірностей і математична статистика. Даний метод застосовується при вивченні масових явищ випадкового характеру, він включає кілька етапів, основні з яких наступні.

1. Побудова ймовірнісної моделі реальності, виходячи з аналізу статистичних даних (визначення закону розподілу випадкової величини). Природно, що закономірності масових випадкових явищ виражаються тим виразніше, чим більший об'єм статистичного матеріалу. Вибіркові дані, отримані при проведенні експерименту, завжди обмежені і носять, строго кажучи, випадковий характер. У зв'язку з цим важлива роль відводиться узагальнення закономірностей, отриманих на вибірці, і поширенню їх на всю генеральну сукупність об'єктів. З метою вирішення цього завдання приймається певна гіпотеза про характер статистичної закономірності, яка проявляється в досліджуваному явищі, наприклад, гіпотеза про те, що досліджуване явище підпорядковується закону нормального розподілу. Така гіпотеза носить назву нульової гіпотези, яка може виявитися помилковою, тому поряд з нульовою гіпотезою ще висувається і альтернативна або конкуруюча гіпотеза. Перевірка того наскільки отримані експериментальні дані відповідають тій чи іншій статистичної гіпотези здійснюється за допомогою так званих непараметричних статистичних критеріїв або критеріїв згоди. В даний час широко використовуються критерії згоди Колмогорова, Смирнова, омега-квадрат та ін.. Основна ідея цих критеріїв полягає у вимірюванні відстані між функцією емпіричного розподілу і функцією повністю відомого теоретичного розподілу. Методологія перевірки статистичної гіпотези строго розроблена і викладена у великій кількості робіт з математичної статистики.

2. Проведення необхідних розрахунків математичними засобами в рамках ймовірнісної моделі. Відповідно до встановленої ймовірнісної моделлю явища проводяться обчислення характеристичних параметрів, наприклад, таких як математичне очікування або середнє значення, дисперсія, стандартне відхилення, мода, медіана, показник асиметрії та ін.

3. Інтерпретація ймовірносно-статистичних висновків стосовно реальної ситуації.

В даний час класичний ймовірносно-статистичний метод добре розроблений і широко використовується при проведенні досліджень в різних галузях природничих, технічних і суспільних наук. Детальний опис суті даного методу і його застосування до вирішення конкретних завдань можна знайти у великій кількості літературних джерел, наприклад ст.

Некласичний ймовірносно-статистичний метод. Некласичний ймовірно-статистичний метод досліджень відрізняється від класичного тим, що він застосовується не тільки до масових, але і до окремих подій, які мають принципово випадковий характер. Даний метод може бути ефективно використаний при аналізі поведінки індивіда в процесі виконання тієї чи іншої діяльності, наприклад, в процесі засвоєння знань учням. Особливості некласичного ймовірносно-статистичного методу психолого-педагогічних досліджень розглянемо на прикладі поведінки учнів в процесі засвоєння знань.

Вперше вероятностно-статистична модель поведінки учнів в процесі засвоєння знань була запропонована в роботі. Подальший розвиток цієї моделі було зроблено в роботі. Вчення як вид діяльності, мета якого придбання людиною знань, умінь і навичок, залежить від рівня розвитку свідомості учня. У структуру свідомості входять такі пізнавальні процеси, як відчуття, сприйняття, пам'ять, мислення, уява. Аналіз цих процесів показує, що їм притаманні елементи випадковості, обумовлені випадковим характером психічного і соматичного станів індивіда, а також фізіологічним, психологічним та інформаційним шумами при роботі головного мозку. Останнє призвело при описі процесів мислення до відмови від використання моделі детерміністській динамічної системи на користь моделі випадкової динамічної системи. Це означає, що детермінізм свідомості реалізується через випадковість. Звідси можна зробити висновок, що знання людини, які є фактично продуктом свідомості, також мають випадковий характер, і, отже, для опису поведінки кожного окремого учня в процесі засвоєння знань може бути використаний ймовірносно-статистичний метод.

Відповідно до цього методу учень ідентифікується функцією розподілу (щільністю ймовірності), що визначає ймовірність знаходження його в одиничної області інформаційного простору. В процесі навчання функція розподілу, з якої ідентифікується учень, еволюціонуючи, рухається в інформаційному просторі. Кожен учень має індивідуальні властивості і допускається незалежна локалізація (просторова і кінематична) індивідів один щодо одного.

На основі закону збереження ймовірності записується система диференціальних рівнянь, що представляють собою рівняння безперервності, які пов'язують зміну щільності ймовірності за одиницю часу в фазовому просторі (просторі координат, швидкостей і прискорень різних порядків) з дивергенцией потоку щільності ймовірності в розглянутому фазовому просторі. В проведено аналіз аналітичних рішень ряду рівнянь безперервності (функцій розподілу), що характеризують поведінку окремих учнів в процесі навчання.

При проведенні експериментальних досліджень поведінки учнів в процесі засвоєння знань використовується ймовірносно-статистичний шкалювання, відповідно до якого шкала вимірювань являє собою впорядковану систему , Де A - деякий цілком упорядкована множина об'єктів (індивідів), що володіють важливими нас ознаками (емпірична система з відносинами); Ly - функціональний простір (простір функцій розподілу) з відносинами; F - операція гомоморфного відображення A в підсистему Ly; G - група допустимих перетворень; f - операція відображення функцій розподілу з підсистеми Ly на числові системи з відносинами n-мірного простору M. Ймовірносно-статистичне шкалювання застосовується для знаходження та обробки експериментальних функцій розподілу і включає три етапи.

1. Знаходження експериментальних функцій розподілу за результатами контрольного заходу, наприклад, іспиту. Типовий вид індивідуальних функцій розподілу, знайдених при використанні двадцатібалльной шкали, представлений на рис. 1. Методика знаходження таких функцій описана в.

2. Відображення функцій розподілу на числове простір. З цією метою проводиться розрахунок моментів індивідуальних функцій розподілу. На практиці, як правило, досить обмежитися визначенням моментів першого порядку (математичного очікування), другого порядку (дисперсії) і третього порядку, що характеризує асиметрію функції розподілу.

3. Ранжування учнів за рівнем знань на основі порівняння моментів різних порядків їх індивідуальних функцій розподілу.

Мал. 1. Типовий вид індивідуальних функцій розподілу студентів, які отримали на іспиті з загальної фізики різні оцінки: 1 - традиційна оцінка «2»; 2 - традиційна оцінка «3»; 3 - традиційна оцінка «4»; 4 - традиційна оцінка «5»

На основі аддитивности індивідуальних функцій розподілу в знайдені експериментальні функції розподілу для потоку студентів (рис. 2).

Мал. 2. Еволюція повної функції розподілу потоку студентів, апроксимувати гладкими лініями: 1 - після першого курсу; 2 - після другого курсу; 3 - після третього курсу; 4 - після четвертого курсу; 5 - після п'ятого курсу

Аналіз даних, представлених на рис. 2, показує, що в міру просування в інформаційному просторі функції розподілу розпливаються. Це відбувається внаслідок того, що математичні очікування функцій розподілу індивідів рухаються з різними швидкостями, а самі функції розпливаються через дисперсії. Подальший аналіз даних функцій розподілу може бути проведено в рамках класичного ймовірносно-статистичного методу.

Обговорення результатів. Аналіз класичного і некласичного ймовірносно-статистичних методів психолого-педагогічних досліджень показав, що між ними є істотна відмінність. Воно, як це можна зрозуміти зі сказаного вище, полягає в тому, що класичний метод можна застосовувати лише до аналізу масових подій, а некласичний метод можна застосовувати як до аналізу масових, так і одиночних подій. У зв'язку з цим класичний метод може бути умовно названий масовим ймовірносно-статистичним методом (МВСМ), а некласичний метод - індивідуальним ймовірносно-статистичним методом (ІВСМ). В 4] показано, що жоден із класичних методів оцінки знань учнів в рамках ймовірносно-статистичної моделі індивіда не може бути застосований для цих цілей.

Відмінні риси методів МВСМ і ІВСМ розглянемо на прикладі вимірювання повноти знань учнів. З цією метою проведемо уявний експеримент. Припустимо, що є велика кількість абсолютно однакових по психічним і фізичним характеристикам учнів, які мають однакову передісторію, і нехай вони, чи не взаємодіючи один з одним, одночасно беруть участь в одному і тому ж пізнавальному процесі, відчуваючи абсолютно однакове строго детерміноване вплив. Тоді відповідно до класичних уявленнями про об'єкти вимірювання всі учні повинні були б отримати однакові оцінки повноти знань з будь-якої заданої точністю вимірювань. Однак в реальності при досить великої точності вимірювань оцінки повноти знань учнів будуть відрізнятися. Пояснити такий результат вимірювань в рамках МВСМ не представляється можливим, т. К. Початково передбачається, що вплив на абсолютно однакових невзаимодействующих між собою учнів має строго детермінований характер. Класичний ймовірносно-статистичний метод не враховує того, що детермінізм процесу пізнання реалізується через випадковість, внутрішньо притаманну кожному пізнає навколишній світ індивіду.

Випадковий характер поведінки учня в процесі засвоєння знань враховує ІВСМ. Застосування індивідуального ймовірносно-статистичного методу для аналізу поведінки розглянутого ідеалізованого колективу учнів показало б, що вказати точно положення кожного учня в інформаційному просторі не можна, можна лише говорити ймовірності знаходження його в тій чи іншій галузі інформаційного простору. Фактично кожен учень ідентифікується індивідуальної функцією розподілу, причому її параметри, такі як математичне очікування, дисперсія та ін., Індивідуальні для кожного учня. Це означає, що індивідуальні функції розподілу будуть перебувати в різних областях інформаційного простору. Причина такої поведінки учнів полягає в випадковий характер процесу пізнання.

Однак в ряді випадків результати досліджень, здобуті в рамках МВСМ, можуть бути інтерпретовані і в рамках ІВСМ. Припустимо, що викладач при оцінці знань учня використовує п'ятибальну шкалу вимірювань. В цьому випадку похибка в оцінці знань становить ± 0,5 бала. Отже, коли учню виставляється оцінка, наприклад, 4 бали, це означає, що його знання знаходяться в проміжку від 3,5 балів до 4,5 балів. Фактично становище індивіда в інформаційному просторі в даному випадку визначається прямокутної функцією розподілу, ширина якої дорівнює похибки вимірювання ± 0,5 бала, а оцінка є математичним очікуванням. Ця похибка настільки велика, що не дозволяє спостерігати справжній вид функції розподілу. Однак, незважаючи на настільки грубу апроксимацію функції розподілу, вивчення її еволюції дозволяє отримати важливу інформацію, як про поведінку окремого індивіда, так і колективу учнів в цілому.

На результат вимірювання повноти знань учня безпосередньо або опосередковано впливає свідомість викладача (вимірювача), якому також властива випадковість. У процесі педагогічних вимірювань фактично має місце взаємодія двох випадкових динамічних систем, що ідентифікують поведінку учня і викладача в даному процесі. В розглянуто взаємодію студентської підсистеми з професорсько-викладацької підсистемою і показано, що швидкість руху математичного очікування індивідуальних функцій розподілу студентів в інформаційному просторі пропорційна функції впливу професорсько-викладацького колективу та обернено пропорційна функції інертності, що характеризує непіддатливість зміни положення математичного очікування в просторі (аналог закону Аристотеля в механіці).

В даний час, незважаючи на значні досягнення в розробці теоретичних і практичних основ вимірювань при проведенні психолого-педагогічних досліджень, проблема вимірювань в цілому ще далека від вирішення. Це пов'язано, перш за все, з тим, що до цих пір немає достатньої інформації про вплив свідомості на процес вимірювання. Аналогічна ситуація склалася і при вирішенні проблеми вимірювань в квантовій механіці. Так, в роботі при розгляді концептуальних проблем квантової теорії вимірювань йдеться про те, що вирішити деякі парадокси вимірювань в квантовій механіці «... навряд чи можливо без безпосереднього включення свідомості спостерігача в теоретичний опис квантового вимірювання». Далі йдеться про те, що «... несуперечливим є припущення про те, що свідомість може уможливити деяка подія, навіть якщо за законами фізики (квантової механіки) ймовірність цієї події мала. Зробимо важливе уточнення формулювання: свідомість даного спостерігача може уможливити, що він побачить цю подію ».