Основні відомості про раціональні висловлювання та їх перетворення. Перетворення раціональних виразів Дробові раціональні вирази приклади з рішеннями

Насамперед, щоб навчитися працювати з раціональними дробами без помилок, необхідно вивчити формули скороченого множення. І не просто вивчити їх необхідно розпізнавати навіть тоді, коли в ролі доданків виступають синуси, логарифми і коріння.

Однак основним інструментом залишається розкладання чисельника та знаменника раціонального дробу на множники. Цього можна досягти трьома різними способами:

1. Власне, формула скороченого множення: вони дозволяють згорнути многочлен в один або кілька множників;
2. За допомогою розкладання квадратного тричлена на множники через дискримінант. Цей же спосіб дозволяє переконатися, що будь-який тричлен на множники взагалі не розкладається;
3. Метод угруповання — найскладніший інструмент, але це єдиний спосіб, який працює, якщо не спрацювали два попередні.

Як ви вже, напевно, здогадалися з назви цього відео, ми знову поговоримо про раціональні дроби. Буквально кілька хвилин тому у мене закінчилося заняття з одним десятикласником і там ми розбирали саме ці вирази. Тому цей урок буде призначений саме для старшокласників.

Напевно, у багатьох зараз виникне питання: «Навіщо учням 10-11 класів вивчати такі прості речі як раціональні дроби, адже це проходить у 8 класі?». Але в тому й біда, що більшість людей цю ​​тему саме «проходять». Вони в 10-11 класі вже не пам'ятають, як робиться множення, розподіл, віднімання та складання раціональних дробів з 8-го класу, адже саме на цих простих знаннях будуються подальші, складніші конструкції, як розв'язання логарифмічних, тригонометричних рівнянь та багатьох інших складних виразів, тому без раціональних дробів робити у старших класах практично нема чого.

Формули для вирішення завдань

Давайте перейдемо до справи. Насамперед нам знадобиться два факти — два комплекти формул. Насамперед, необхідно знати формули скороченого множення:

• $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ - різниця квадратів;
• $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$ — квадрат суми або різниці;
• $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ - сума кубів;
• $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(ab \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ - Різниця кубів.

У чистому вигляді вони в жодних прикладах і реальних серйозних висловлюваннях не зустрічаються. Тому наше завдання полягає в тому, щоб навчитися бачити під літерами $a$ і $b$ набагато складніші конструкції, наприклад, логарифми, коріння, синуси тощо. Навчитися бачити це можна лише за допомогою постійної практики. Саме тому вирішувати раціональні дроби необхідно.

Друга, цілком очевидна формула - це розкладання квадратного тричлена на множники:

$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ - коріння.

З теоретичною частиною ми розібралися. Але як вирішувати реальні раціональні дроби, що розглядаються у 8 класі? Зараз ми й потренуємось.

Завдання №1

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Спробуємо застосувати вищеописані формули до вирішення раціональних дробів. Насамперед, хочу пояснити, навіщо взагалі потрібне розкладання на множники. Справа в тому, що при першому погляді на першу частину завдання хочеться скоротити куб з квадратом, але робити цього категорично не можна, тому що вони складаються в чисельнику і в знаменнику, але в жодному разі не множниками.

Загалом, що таке скорочення? Скорочення — використання основного правила роботи з такими висловлюваннями. Основна властивість дробу полягає в тому, що ми можемо чисельник і знаменник можемо помножити на те саме число, відмінне від «нуля». У разі, коли ми скорочуємо, то, навпаки, ділимо одне й те число, відмінне від «нуля». Однак ми повинні всі складові, що стоять у знаменнику, поділити на те саме число. Робити так не можна. І скорочувати чисельник із знаменником ми маємо право лише тоді, коли обидва вони розкладені на множники. Давайте це зробимо.

Тепер необхідно подивитися, скільки доданків знаходиться в тому чи іншому елементі, відповідно до цього дізнатися, яку формулу необхідно використати.

Перетворимо кожен вираз у точний куб:

Перепишемо чисельник:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

Погляньмо на знаменник. Розкладемо його за формулою різниці квадратів:

\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \) right)\]

Тепер подивимося на другу частину виразу:

Чисельник:

Залишилося розібратися зі знаменником:

\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right))^(2))\]

Давайте перепишемо всю конструкцію з урахуванням перелічених вище фактів:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2) )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Нюанси множення раціональних дробів

Ключовий висновок із цих побудов наступний:

• Не кожен многочлен розкладається на множники.
• Навіть якщо він і розкладається, необхідно уважно дивитися, за якою формулою скороченого множення.

Для цього, по-перше, потрібно оцінити, скільки всього доданків (якщо їх два, то все, що ми можемо зробити, це розкласти їх або за сумою різниці квадратів, або за сумою або різницею кубів; а якщо їх три, то це , Однозначно, або квадрат суми, або квадрат різниці). Дуже часто буває так, що чисельник, чи знаменник взагалі вимагає розкладання на множники, може бути лінійним, чи дискримінант його буде негативним.

Завдання № 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Загалом схема вирішення цього завдання нічим не відрізняється від попередньої — просто дій буде більше, і вони стануть різноманітнішими.

Почнемо з першого дробу: подивимося на його чисельник і зробимо можливі перетворення:

Тепер подивимося на знаменник:

З другим дробом: у чисельнику взагалі нічого не можна зробити, тому що це лінійне вираження, і винести з нього якийсь множник не можна. Подивимося на знаменник:

\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\left(x-2 \right) ))^(2))\]

Ідемо до третього дробу. Чисельник:

Розберемося зі знаменником останнього дробу:

Перепишемо вираз із урахуванням вищеописаних фактів:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+4 \right))\cdot \frac(2x+1)(((( \left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(-3)(2\left(2-x \right))=-\frac(3)(2\left(2-x \right))=\frac(3)(2\left (x-2 \right))\]

Нюанси рішення

Як бачите, далеко не все і не завжди впирається у формули скороченого множення — іноді просто достатньо винести за дужки константу чи змінну. Однак буває і зворотна ситуація, коли доданків настільки багато, або вони так побудовані, що формули скороченого множення до них взагалі неможливо. У цьому випадку до нас на допомогу приходить універсальний інструмент, а саме метод угруповання. Саме це ми зараз і застосуємо у наступному завданні.

Завдання №3

\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Розберемо першу частину:

\[((a)^(2))+ab=a\left(a+b \right)\]

\[=5\left(ab \right)-\left(ab \right)\left(a+b \right)=\left(ab \right)\left(5-1\left(a+b \right) ) \right)=\]

\[=\left(a-b \right)\left(5-a-b \right)\]

Давайте перепишемо вихідний вираз:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(ab \right)\left(5-ab \right))\cdot \frac(((a)^(2))-( (b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Тепер розберемося з другою дужкою:

\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \right)-((b)^(2))=\]

\[=((\left(a-5 \right))^(2))-((b)^(2))=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \right)\]

Оскільки два елементи не вдалося згрупувати, ми згрупували три. Залишилося розібратися лише зі знаменником останнього дробу:

\[((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)\]

Тепер перепишемо всю нашу конструкцію:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(ab \right)\left(5-ab \right))\cdot \frac(\left(a-5-b \right) \left(a-5+b \right))(\left(ab \right)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \right))(((( \left(ab \right))^(2)))\]

Завдання вирішене, і більше нічого спростити тут не можна.

Нюанси рішення

З угрупованням ми розібралися і отримали ще один дуже потужний інструмент, який розширює можливості розкладання на множники. Але проблема в тому, що в реальному житті нам ніхто не даватиме таких рафінованих прикладів, де є кілька дробів, у яких потрібно лише розкласти на множник чисельник і знаменник, а потім по можливості їх скоротити. Реальні висловлювання будуть набагато складнішими.

Швидше за все, крім множення і розподілу там будуть віднімання і додавання, всілякі дужки - взагалі, доведеться враховувати порядок дій. Але найстрашніше, що з відніманні й додаванні дробів із різними знаменниками їх доведеться приводити одного спільного. Для цього кожен із них потрібно буде розкладати на множники, а потім перетворювати ці дроби: наводити подібні та багато іншого. Як це зробити правильно, швидко, і при цьому отримати правильну відповідь? Саме про це ми й поговоримо зараз на прикладі наступної конструкції.

Завдання № 4

\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \right)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((( x)^(2))-3x+9) \right)\]

Давайте випишемо перший дріб і спробуємо розібратися з нею окремо:

\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]

\[=\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\]

Переходимо до другої. Відразу порахуємо дискримінант знаменника:

Він на множники не розкладається, тому запишемо таке:

\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right)) \]

Чисельник випишемо окремо:

\[((x)^(2))-2x+12=0\]

Отже, цей багаточлен на множники не розкладається.

Максимум, що ми могли зробити та розкласти, ми вже зробили.

Разом переписуємо нашу вихідну конструкцію та отримуємо:

\[\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]

Все, завдання вирішено.

Якщо чесно, це було не таке вже й складне завдання: там все легко розкладалося на множники, швидко наводилися подібні доданки, і все гарно скорочувалося. Тому тепер давайте спробуємо вирішити завдання серйозніше.

Завдання № 5

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Спочатку давайте розберемося з першою дужкою. З самого початку розкладемо на множники знаменник другого дробу окремо:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \right)\]

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]

\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\ left(((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(2))+8-\left(((x)^(2))+2x+4 \right))( \left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)) =\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Тепер попрацюємо з другим дробом:

\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2) )))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]

Повертаємося до нашої вихідної конструкції та записуємо:

\[\frac(x-2)((((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Ключові моменти

Ще раз ключові факти сьогоднішнього відеоуроку:

1. Необхідно знати «назубок» формули скороченого множення — і не просто знати, а вміти бачити в тих виразах, які вам зустрічатимуться в реальних завданнях. Допомогти нам у цьому може чудове правило: якщо доданків два, то це або різниця квадратів, або різниця чи сума кубів; якщо три — це може бути лише квадрат суми чи різниці.
2. Якщо якась конструкція не розкладається за допомогою формул скороченого множення, то нам на допомогу приходить або стандартна формула розкладання тричленів на множники, або метод угруповання.
3. Якщо щось не виходить, уважно подивіться на вихідний вираз — а чи взагалі потрібні якісь перетворення з ним. Можливо, достатньо буде просто винести множник за дужку, а це часто буває просто константа.
4. У складних висловлюваннях, де потрібно виконати кілька дій поспіль, не забувайте приводити до спільного знаменника, і лише після того, коли всі дроби приведені до нього, обов'язково наведіть подібне в новому чисельнику, а потім новий чисельник ще раз розкладіть на множники — можливо, що скоротиться.

Ось і все, що я хотів вам розповісти сьогодні про раціональні дроби. Якщо щось незрозуміло, на сайті ще купа відеоуроків, а також купа завдань для самостійного вирішення. Тож залишайтеся з нами!

На попередньому уроці вже було введено поняття раціонального вираження, на сьогоднішньому уроці ми продовжуємо працювати з раціональними висловлюваннями та основний наголос робимо на їх перетворення. На конкретних прикладах ми розглянемо методи вирішення завдань на перетворення раціональних виразів та доказ пов'язаних із ними тотожностей.

Тема:Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами

Урок:Перетворення раціональних виразів

Згадаймо спочатку визначення раціонального виразу.

Визначення.Раціональневираз- алгебраїчне вираз, що не містить коренів і включає тільки дії додавання, віднімання, множення та поділу (зведення в ступінь).

Під поняттям «перетворити раціональне вираження» маємо на увазі, передусім, його спрощення. А це здійснюється у відомому нам порядку дій: спочатку дії у дужках, потім добуток чисел(зведення в ступінь), розподіл чисел, а потім дії додавання/віднімання.

Основною метою сьогоднішнього уроку буде набуття досвіду при вирішенні складніших завдань на спрощення раціональних виразів.

приклад 1.

Рішення.Спочатку може здатися, що зазначені дроби можна скоротити, тому що вирази в чисельниках дробів дуже схожі на формули повних квадратів відповідних знаменників. В даному випадку важливо не поспішати, а окремо перевірити, чи це так.

Перевіримо чисельник першого дробу: . Тепер чисельник другий: .

Як видно, наші очікування не виправдалися, і вирази в чисельниках не є повними квадратами, тому що вони не мають подвоєння твору. Такі вирази, якщо згадати курс 7 класу називають неповними квадратами. Слід бути дуже уважними в таких випадках, оскільки переплутування формули повного квадрата з неповним - дуже часта помилка, а подібні приклади перевіряють уважність учня.

Оскільки скорочення неможливе, то виконаємо складання дробів. У знаменників немає спільних множників, тому вони просто перемножуються для отримання найменшого спільного знаменника, а додатковим множником для кожного дробу є знаменник іншого дробу.

Звичайно ж, далі можна розкрити дужки і навести потім подібні доданки, проте, в даному випадку можна обійтися меншими витратами сил і помітити, що в чисельнику перший доданок є формулою суми кубів, а друге - різниці кубів. Для зручності згадаємо ці формули у загальному вигляді:

У нашому випадку вирази в чисельнику згортаються так:

, другий вираз аналогічно. Маємо:

Відповідь..

приклад 2.Спростити раціональний вираз .

Рішення.Даний приклад схожий на попередній, але тут відразу видно, що в чисельниках дробів є неповні квадрати, тому скорочення на початковому етапі рішення неможливе. Аналогічно попередньому прикладу складаємо дроби:

Тут ми аналогічно способу, зазначеному вище, помітили і згорнули вирази за формулами суми та різниці кубів.

Відповідь..

приклад 3.Спростити раціональний вираз.

Рішення.Можна зауважити, що знаменник другого дробу розкладається на множники за формулою суми кубів. Як ми вже знаємо, розкладання знаменників на множники є корисним для подальшого пошуку найменшого загального знаменника дробів.

Вкажемо найменший загальний знаменник дробів, він дорівнює: , тому що ділиться на знаменник третього дробу, а перше вираз взагалі є цілим, і для нього підійде будь-який знаменник. Вказавши очевидні додаткові множники, запишемо:

Відповідь.

Розглянемо складніший приклад із «багатоповерховими» дробами.

приклад 4.Довести тотожність при всіх допустимих значеннях змінної.

Доведення.Для доказу вказаного тотожності намагатимемося спростити його ліву частину (складну) до того простого виду, який від нас вимагається. Для цього виконаємо всі дії з дробами в чисельнику та знаменнику, а потім розділимо дроби та спростимо результат.

Доведено за всіх допустимих значень змінної.

Доведено.

На наступному уроці ми докладно розглянемо складніші приклади перетворення раціональних выражений.

Список літератури

1. Башмаков М.І. Алгебра 8 клас. - М: Просвітництво, 2004.

2. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 8. - 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.

3. Микільський С.М., Потапов М.А., Решетніков Н.М., Шевкін А.В. Алгебра 8 клас. Підручник для загальноосвітніх установ. - М: Просвітництво, 2006.

2. Розробка уроків, презентації, конспекти занять ().

Домашнє завдання

1. №96-101. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 8. - 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.

2. Спростіть вираз .

3. Спростіть вираз.

4. Доведіть тотожність.

Урок та презентація на тему: "Перетворення раціональних виразів. Приклади вирішення завдань"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Посібник до підручника Муравіна Г.К. Посібник до підручника Макарічева Ю.М.

Поняття про раціональний вираз

Поняття "раціональне вираження" схоже з поняттям "раціональний дріб". Вираз також подається у вигляді дробу. Тільки в чисельники у нас - не числа, а різноманітних виразів. Найчастіше цього багаточлени. Алгебраїчна дріб - дробовий вираз, що складається з чисел та змінних.

При вирішенні багатьох завдань у молодших класах після виконання арифметичних операцій ми отримували конкретні числові значення, найчастіше дроби. Тепер після виконання операцій ми отримуватимемо алгебраїчні дроби. Діти, пам'ятайте: щоб отримати правильну відповідь, необхідно максимально спростити вираз, з яким ви працюєте. Треба отримати найменший ступінь, який можливо; однакові вирази в чисельники та знаменники варто скоротити; з виразами, які можна згорнути, треба так і вчинити. Тобто після виконання низки дій ми маємо отримати максимально простий алгебраїчний дріб.

Порядок дій із раціональними виразами

Порядок дій при виконанні операцій з раціональними виразами такий самий, як і при арифметичних операціях. Спочатку виконуються дії в дужках, потім – множення та розподіл, зведення у ступінь і нарешті – додавання та віднімання.

Довести тотожність – це означає показати, що з усіх значеннях змінних права і ліва частини рівні. Прикладів із доказом тотожностей дуже багато.

До основних способів розв'язання тотожностей ставляться.

• Перетворення лівої частини до рівності з правої.
• Перетворення правої частини до рівності з лівою.
• Перетворення лівої та правої частини окремо, допоки не вийде однаковий вираз.
• З лівої частини віднімають праву, і в результаті має вийти нуль.

Перетворення раціональних виразів. Приклади розв'язання задач

приклад 1.
Доведіть тотожність:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

Рішення.
Очевидно, нам треба перетворити ліву частину.
Спочатку виконаємо дії у дужках:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1 )(5a-1))$

.

Виносити загальні множники треба намагатися максимально.
2) Перетворимо вираз, на який ділимо:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

.
3) Виконаємо операцію поділу:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) Виконаємо операцію додавання:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1) )(a+1))(a+))=a-1$.

Права та ліва частини збіглися. Отже, тотожність доведена.
Діти, при вирішенні цього прикладу нам знадобилося знання багатьох формул і операцій. Ми бачимо, що після перетворення велике вираження перетворилося на маленьке. При вирішенні багатьох завдань, зазвичай перетворення призводять до простих виразів.

приклад 2.
Спростіть вираз:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

Рішення.
Почнемо з перших дужок.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Перетворимо другі дужки.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((ab )(a+b))=\frac(a(ab)-a^2)((ab)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. Виконаємо поділ.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((ab)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((ab)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

.

Відповідь: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

приклад 3.
Виконайте дії:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16) )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

Рішення.
Як завжди, треба починати з дужок.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +frac(2k)(k^2+2k+4)+frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2 )(k^2+2k+4))$.

2. Тепер виконаємо поділ.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4) ^ 2) $.

3. Скористайтеся властивістю: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Виконаємо операцію віднімання.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=frac(k(k-4))((k-4)^2)=frac(k)(k-4)$.

Як ми раніше казали, спрощувати дріб треба максимально.
Відповідь: $ frac (k) (k-4) $.

Завдання для самостійного вирішення

1. Доведіть тотожність:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b ) (9b-3b ^ 2) = b + 4 $.

2. Спростіть вираз:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. Виконайте дії:

$(\frac(ab)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((ab)(a+b))+\frac(ab)((ab)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

Арифметична дія, яка виконується останнім при підрахунку значення виразу, є «головною».

Тобто, якщо ти підставиш замість літер якісь (будь-які) числа, і спробуєш обчислити значення виразу, то якщо останньою дією буде множення - значить, у нас твір (вираз розкладено на множники).

Якщо останньою дією буде додавання або віднімання, це означає, що вираз не розкладено на множники (а отже, скорочувати не можна).

Для закріплення виріши самостійно кілька прикладів:

Приклади:

Рішення:

1. Сподіваюся, ти не кинувся зразу ж скорочувати і? Ще не вистачало «зменшити» одиниці типу такого:

Першим дією має бути розкладання на множники:

4. Додавання та віднімання дробів. Приведення дробів до спільного знаменника.

Додавання і віднімання звичайних дробів - операція добре знайома: шукаємо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на недостатній множник і складаємо/віднімаємо чисельники.

Давай згадаємо:

Відповіді:

1. Знаменники і – взаємно прості, тобто у них немає спільних множників. Отже, НОК цих чисел дорівнює їхньому твору. Це і буде спільний знаменник:

2. Тут спільний знаменник дорівнює:

3. Тут насамперед змішані дроби перетворюємо на неправильні, а далі – за звичною схемою:

Зовсім інша річ, якщо дроби містять літери, наприклад:

Почнемо з простого:

a) Знаменники не містять літер

Тут все те ж, що і зі звичайними числовими дробами: знаходимо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на множник, що бракує, і складаємо/віднімаємо чисельники:

тепер у чисельнику можна наводити подібні, якщо є, і розкладати на множники:

Спробуй сам:

Відповіді:

b) Знаменники містять літери

Давай згадаємо принцип знаходження спільного знаменника без літер:

· Насамперед ми визначаємо загальні множники;

· Потім виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· І домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.

Щоб визначити спільні множники знаменників, спершу розкладемо їх на прості множники:

Підкреслимо спільні множники:

Тепер випишемо спільні множники по одному разу і допишемо до них усі загальні (не підкреслені) множники:

Це і є спільний знаменник.

Повернемося до букв. Знаменники наводяться за такою ж схемою:

· Розкладаємо знаменники на множники;

· Визначаємо загальні (однакові) множники;

· Виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· Домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.

Отже, по порядку:

1) розкладаємо знаменники на множники:

2) визначаємо загальні (однакові) множники:

3) виписуємо всі загальні множники по одному разу і домножуємо їх на всі інші (непідкреслені) множники:

Отже, спільний знаменник тут. Перший дріб потрібно домножити на, другий - на:

До речі, є одна хитрість:

Наприклад: .

Бачимо в знаменниках одні й самі множники, лише з різними показниками. До спільного знаменника підуть:

у ступені

у ступені

у ступені

у ступені.

Ускладнимо завдання:

Як зробити у дробів однаковий знаменник?

Давай пригадаємо основну властивість дробу:

Ніде не сказано, що з чисельника і знаменника дробу можна віднімати (або додавати) те саме число. Тому що це не так!

Переконайся сам: візьми будь-який дріб, наприклад, і додай до чисельника і знаменника якесь число, наприклад, . Що повчилося?

Отже, чергове непорушне правило:

Коли наводиш дроби до спільного знаменника, користуйся тільки операцією множення!

Але на що ж треба примножити, щоб одержати?

Ось на і домнож. А примножуй на:

Вирази, які неможливо розкласти на множники називатимемо «елементарними множниками».

Наприклад, це елементарний множник. - Теж. А ось – ні: він розкладається на множники.

Що скажеш щодо висловлювання? Воно елементарне?

Ні, оскільки його можна розкласти на множники:

(Про розкладання на множники ти вже читав у темі «Реферат»).

Так ось, елементарні множники, на які ти розкладаєш вираз із літерами – це аналог простих множників, на які ти розкладаєш числа. І робитимемо з ними так само.

Бачимо, що в обох знаменниках є множник. Він піде у спільний знаменник у міру (пам'ятаєш, чому?).

Множник - елементарний, і він у них не загальний, значить перший дріб на нього доведеться просто домножити:

Ще приклад:

Рішення:

Перш ніж у паніці перемножувати ці знаменники, треба подумати, як їх розкласти на множники? Обидва вони представляють:

Чудово! Тоді:

Ще приклад:

Рішення:

Як завжди, розкладемо знаменники на множники. У першому знаменнику просто виносимо за дужки; у другому - різниця квадратів:

Здавалося б, спільних множників немає. Але якщо придивитися, то й так схожі… І справді:

Так і напишемо:

Тобто вийшло так: усередині дужки ми поміняли місцями доданки, і при цьому знак перед дробом помінявся на протилежний. Візьми на замітку, так робити доведеться часто.

Тепер наводимо до спільного знаменника:

Засвоїв? Зараз перевіримо.

Завдання для самостійного вирішення:

Відповіді:

Тут треба згадати ще одну - різницю кубів:

Зверніть увагу, що у знаменнику другого дробу не формула «квадрат суми»! Квадрат суми виглядав так: .

А - це так званий неповний квадрат суми: другий доданок у ньому - це твір першого та останнього, а не подвоєний їхній твір. Неповний квадрат суми - це один із множників у розкладанні різниці кубів:

Що робити, якщо дробів три штуки?

Та те саме! Насамперед зробимо так, щоб максимальна кількість множників у знаменниках була однаковою:

Зверніть увагу: якщо поміняти знаки всередині однієї дужки, знак перед дробом змінюється на протилежний. Коли міняємо знаки у другій дужці, знак перед дробом знову змінюється протилежним. В результаті він (знак перед дробом) не змінився.

У спільний знаменник виписуємо повністю перший знаменник, а потім дописуємо до нього всі множники, які ще не написані, з другого, а потім із третього (і так далі, якщо дробів більше). Тобто виходить ось так:

Хм... З дробами зрозуміло що робити. Але як бути з двійкою?

Все просто: адже ти вмієш складати дроби? Отже, треба зробити так, щоб двійка стала дробом! Згадуємо: дріб – це операція поділу (числитель ділиться на знаменник, якщо ти раптом забув). І немає нічого простішого, ніж розділити число на. При цьому саме число не зміниться, але перетвориться на дріб:

Те що потрібно!

5. Множення та поділ дробів.

Ну що ж, найскладніше тепер позаду. А попереду у нас найпростіше, але при цьому найважливіше:

Порядок дій

Який порядок дій при підрахунку числового виразу? Згадай, порахувавши значення такого виразу:

Порахував?

Повинно вийти.

Отже, нагадую.

Насамперед обчислюється ступінь.

Другим - множення та розподіл. Якщо множень і поділок одночасно кілька, робити їх можна у будь-якому порядку.

І наостанок виконуємо складання та віднімання. Знову ж таки, в будь-якому порядку.

Але: вираз у дужках обчислюється позачергово!

Якщо кілька дужок множаться або діляться один на одного, обчислюємо спочатку вираз у кожній із дужок, а потім множимо або поділи їх.

А якщо всередині дужок є ще одні дужки? Ну, давай подумаємо: усередині дужок написано якийсь вираз. А при обчисленні виразу насамперед треба робити що? Правильно, обчислювати дужки. Ну ось і розібралися: спочатку обчислюємо внутрішні дужки, потім решту.

Отже, порядок дій для вираження вище такий (червоним виділено поточне дію, тобто дію, яке виконую зараз):

Добре, це просто.

Але ж це не те саме, що вираз з літерами?

Ні, це те саме! Тільки замість арифметичних дій треба робити алгебраїчну, тобто дії, описані в попередньому розділі: приведення подібних, додавання дробів, скорочення дробів і так далі. Єдиною відмінністю буде дія розкладання багаточленів на множники (його часто застосовуємо при роботі з дробами). Найчастіше для розкладання на множники потрібно застосовувати або просто виносити загальний множник за дужки.

Зазвичай наша мета - уявити вираз у вигляді твору чи приватного.

Наприклад:

Спростимо вираз.

1) Першим спрощуємо вираз у дужках. Там у нас різниця дробів, а наша мета – представити її як твір чи приватний. Отже, наводимо дроби до спільного знаменника і складаємо:

Більше цього виразу спростити неможливо, всі множники тут - елементарні (ти ще пам'ятаєш, що це означає?).

2) Отримуємо:

Розмноження дробів: що може бути простіше.

3) Тепер можна і скоротити:

Ну от і все. Нічого складного, правда?

Ще приклад:

Спрости вираз.

Спочатку спробуй вирішити сам, і тільки потім подивися рішення.

Рішення:

Насамперед визначимо порядок дій.

Спочатку виконаємо складання дробів у дужках, вийде замість двох дробів один.

Потім виконаємо поділ дробів. Ну і результат складемо з останнім дробом.

Схематично пронумерую дії:

Тепер покажу звістку процес, підфарбовуючи поточну дію червоним:

1. Якщо є такі, їх треба негайно навести. У який би момент у нас не утворилися подібні, їх бажано наводити одразу.

2. Те саме стосується скорочення дробів: як тільки з'являється можливість скоротити, їй треба скористатися. Виняток становлять дроби, які ти складаєш або віднімаєш: якщо у них зараз однакові знаменники, то скорочення потрібно залишити на потім.

Ось тобі завдання для самостійного вирішення:

І обіцяна на самому початку:

Відповіді:

Рішення (короткі):

Якщо ти впорався хоча б із першими трьома прикладами, то тему ти, вважай, опанував.

Тепер уперед до навчання!

ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ. КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Базові операції спрощення:

• Приведення подібних: щоб скласти (навести) подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і приписати буквену частину.
• Розкладання на множники:винесення загального множника за дужки, застосування тощо.
• Скорочення дробу: чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на те саме ненульове число, від чого величина дробу не змінюється.
  1) чисельник та знаменник розкласти на множники
  2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.

  ВАЖЛИВО: скорочувати можна лише множники!

• Додавання та віднімання дробів:
  ;
• Розмноження та розподіл дробів:
  ;