Теоретичний матеріал. §6 Приватні похідні складних функцій кількох змінних Рішення складних приватних похідних

1°. Випадок однієї незалежної змінної. Якщо z=f(x,y) є функція, що диференціюється, аргументів х і у, які в свою чергу є диференційованими функціями незалежної змінної t: , то похідна складної функції може бути обчислена за формулою

приклад. Знайти, якщо, де.

Рішення. За формулою (1) маємо:

Приклад. Знайти приватну похідну та повну похідну , якщо .

Рішення. .

На підставі формули (2) отримуємо .

2°. Випадок кількох незалежних змінних.

Нехай z =f (x;y) -функція двох змінних хі у,кожна з яких є функцією незалежної змінної t: х =x (t), у =y (t).У цьому випадку функція z =f (x (t);y (t))є складною функцією однієї незалежної змінної t;змінні х та у - проміжні змінні.

Теорема. Якщо z == f(x; у) -диференційована в точці М(х;у)Dфункція та х =x (t)і у =y (t) -функції, що диференціюються незалежною змінною t,то похідна складної функції z (t) == f(x (t);y (t))обчислюється за формулою

Окремий випадок:z = f (x; у),де у = у(х),тобто. z = f (x;y (x)) -складна функція однієї незалежної змінної х.Цей випадок зводиться до попереднього, причому роль змінної tграє х.Відповідно до формули (3) маємо:

.

Остання формула зветься формули повної похідної

Загальний випадок:z = f (x;y),де х =x (u;v),y =y (u;v).Тоді z = f (x (u;v);y (u;v)) -складна функція незалежних змінних іі v.Її приватні похідні можна знайти, використовуючи формулу (3) наступним чином. Зафіксувавши v,замінюємо в ній , відповідними приватними похідними

Таким чином, похідна складної функції (z ) по кожній незалежній змінній (іі v)дорівнює сумі творів приватних похідних цієї функції (z) за її проміжними змінними (x та у)на їх похідні за відповідною незалежною змінною (u та v).

У всіх розглянутих випадках справедлива формула

(Властивість інваріантності повного диференціалу).

приклад. Знайти і якщо z = f(x, y), де x = uv,.

Рішення. Застосовуючи формули (4) та (5), отримаємо:

приклад. Показати, що функція задовольняє рівняння .

Рішення. Функція залежить від х і у через проміжний аргумент, тому

Підставивши приватні похідні в ліву частину рівняння, матимемо:

Т. е. Функція z задовольняє даному рівнянню.

Похідна в даному напрямку та градієнт функції

1°. Похідна функції у цьому напрямку. Похіднийфункції z= f(x, y) у цьому напрямкуназивається де і - значення функції в точках і . Якщо функція z диференційована, справедлива формула

де - кути між напрямком lта відповідними координатними осями. Похідна у цьому напрямі характеризує швидкість зміни функції у цьому напрямі.

приклад. Знайти похідну функції z = 2х 2 - Зу 2 у точці P (1; 0) у напрямку, що становить з віссю ОХ кут 120°.

Рішення. Знайдемо приватні похідні цієї функції та його значення у точці P .

приклад. Знайти, якщо, де.

Рішення. За формулою (1) маємо:

приклад. Знайти приватну похідну та повну похідну, якщо.

Рішення. .

На підставі формули (2) отримуємо .

2°. Випадок кількох незалежних змінних.

Нехай z = f(x; y) -функція двох змінних хі у,кожна з яких є функцією

незалежної змінної t: x = x(t), у = y(t).У цьому випадку функція z = f (x (t); y (t))є

складною функцією однієї незалежної змінної t;змінні х та у - проміжні змінні.

Теорема. Якщо z == f(x; у) -диференційована в точці М(х;у) Dфункція

і х = x(t)і у =y(t) -функції, що диференціюються незалежною змінною t,

то похідна складної функції z(t) == f(x(t); y(t))обчислюється за формулою

(3)

Окремий випадок: z = f(x; у),де у = у(х),тобто. z = f(x; y(x)) -складна функція однієї

незалежної змінної х.Цей випадок зводиться до попереднього, причому роль змінної

tграє х.Відповідно до формули (3) маємо:

.

Остання формула зветься формули повної похідної

Загальний випадок: = f(x;y),де х = x(u;v), y=y(u;v).Тоді z = f(x(u;v); y(u;v)) -складна

функція незалежних змінних іі v.Її приватні похідні і можна знайти,

використовуючи формулу (3) в такий спосіб. Зафіксувавши v,замінюємо в ній,

відповідними приватними похідними

Таким чином, похідна складної функції (z) по кожній незалежній змінній (іі v)

дорівнює сумі творів приватних похідних цієї функції (z) за її проміжним

змінним (x та у)на їх похідні за відповідною незалежною змінною (u та v).

У всіх розглянутих випадках справедлива формула

(Властивість інваріантності повного диференціалу).

приклад. Знайти і якщо z = f(x, y), де x = uv, .

§ 5. Приватні похідні складних функцій. диференціали складних функцій

1. Приватні похідні складної функції.

Нехай – функція двох змінних, аргументи якої і , Самі є функціями двох або більшої кількості змінних. Наприклад, нехай
,
.

Тоді буде складною функцією незалежних змінних і , змінні та будуть для неї проміжними змінними. Як у цьому випадку знайти приватні похідні функції по і?

Можна, звичайно, виразити безпосередньо через :

і шукати приватні похідні від функції, що вийшла. Але вираз може виявитися дуже складним, і знаходження приватних похідних , вимагатиме тоді великих зусиль.

Якщо функції
,
,
диференційовані, то знайти і можна не вдаючись до безпосереднього виразу через і. В цьому випадку будуть справедливі формули

(5.1)

Дійсно, дамо аргументу приріст
, - Const. Тоді функції
і отримають прирощення

а функція отримає приріст

де , - нескінченно малі при
,
. Розділимо всі члени останньої рівності на . Отримаємо:

Оскільки за умовою функції і диференційовані, всі вони безперервні. Отже, якщо
, і . А значить, переходячи в останній рівності до межі при отримаємо:

(Оскільки , - нескінченно малі при , ).

Аналогічно доводиться і друга рівність (5.1).

ПРИКЛАД. Нехай
, де
,
. Тоді є складною функцією незалежних змінних та . Для знаходження її похідних скористаємося формулою (5.1). Маємо

Підставляючи (5.1), отримуємо

,

Формули (5.1) природно узагальнюються на випадок функції більшої кількості незалежних та проміжних аргументів. А саме, якщо ,

………………………

і всі функції, що розглядаються, диференційовані, то для будь-якого
має місце рівність

Можливий випадок, коли аргументи функції є функціями лише однієї змінної, тобто.

,
.

Тоді буде складною функцією лише однієї змінної і можна ставити питання про знаходження похідної . Якщо функції ,
,
диференційовані, то вона може бути знайдена за формулою
(5.2)

ПРИКЛАД. Нехай
, де
,
. Тут є складною функцією однієї незалежної змінної. Користуючись формулою (5.2) отримаємо

.

І, нарешті, можливий випадок, коли роль незалежної змінної грає, тобто. ,

де
.

З формули (5.2) тоді отримуємо

(5.3)

(так як
). Похідна , що стоїть у формулі (5.3) справа – це приватна похідна функції . Вона обчислюється при закріпленому значенні. Похідна у лівій частині формули (5.3) називається повної похідної функції . При її обчисленні враховано, що залежить від двояким чином: безпосередньо і через другий аргумент.

ПРИКЛАД. Знайти і для функції
, де
.

Маємо
.

Для знаходження скористаємося формулою (5.3). Отримаємо

.

І на закінчення цього пункту зауважимо, що формули (5.2) і (5.3) легко узагальнити у разі функцій з великою кількістю проміжних аргументів.

2. Диференціал складної функції.

Нагадаємо, що якщо

– диференційована функція двох незалежних змінних, то за визначенням

, (5.4)

або в іншому вигляді
. (5.5)

Перевага формули (5.5) у цьому, що вона залишається правильна у разі, коли – складна функція.

Справді, нехай де , , . Припустимо, що функції , , диференційовані. Тоді складна функція теж буде диференційована і її повний диференціал за формулою (5.5) дорівнює

.

Застосовуючи формулу (5.1) для обчислення похідних складної функції, отримуємо

Так як у дужках стоять повні диференціали функцій і, то маємо остаточно

Отже, ми переконалися, що й у тому випадку, коли і – незалежні змінні, і в тому випадку, коли й – залежні змінні, диференціал функції можна записати у вигляді (5.5). У зв'язку з цим дана форма запису повного диференціалу називається інваріантної . Запропонована в (5.4) форма запису диференціала не буде інваріантною, вона може використовуватися тільки в тому випадку, коли і незалежні змінні. Не буде інваріантною і форма запису диференціалу -го порядку. Нагадаємо, що раніше ми показали, що диференціал порядку функції двох змінних може бути знайдений за формулою

. (4.12)

Але якщо і не є незалежними змінними, то формула (4.12) при
перестає бути вірною.

Вочевидь, що це міркування, проведені у цьому пункті для функції двох змінних, можна повторити і разі функції більшого числа аргументів. Отже, для функції диференціал також може бути записаний у двох видах:

причому друга форма запису буде інваріантною, тобто. справедливою і в тому випадку, коли
не є незалежними змінними, а проміжними аргументами.

§ 6. Диференціювання неявних функцій

Говорячи про способи завдання функції однієї та кількох змінних, ми зазначали, що аналітичне завдання функції може бути явним чи неявним. У першому випадку значення функції знаходиться за відомими значеннями аргументів; у другому – значення функції та її аргументів пов'язані певним рівнянням. При цьому ми не уточнювали, коли рівняння

і

визначають неявно задані функції та відповідно. Зручні для застосування достатні умови існування неявної функції змінних (
) містяться у наступній теоремі.

ТЕОРЕМА6.1 . (існування неявної функції) Нехай функція
та її приватні похідні
визначені і безперервні в деякій околиці точки. Якщо
і
, то існує така околиця точки , в якій рівняння

визначає безперервну функцію причому

1) Розглянемо рівняння
. Умови теореми виконуються, наприклад, у будь-якій околиці точки
. Отже, в деякій околиці точки
це рівняння визначає як неявну функцію двох змінних та . Явний вираз цієї функції легко отримати, дозволивши рівняння щодо:

2) Розглянемо рівняння
. Воно визначає дві функції двох змінних та . Дійсно, умови теореми виконуються, наприклад, у будь-якій околиці точки

, в якій задане рівняння визначає безперервну функцію, що приймає в точці значення
.

З іншого боку, умови теореми виконуються у будь-якій околиці точки
. Отже, в деякій околиці точки рівняння визначає безперервну функцію, що приймає в точці значення
.

Так як функція не може приймати в одній точці два значення, отже тут йдеться про дві різні функції
і відповідно. Знайдемо їх явні висловлювання. Для цього дозволимо вихідне рівняння щодо . Отримаємо

3) Розглянемо рівняння
. Очевидно, що умови теореми виконуються в будь-якій околиці точки
. Отже, знайдеться така околиця точки
, у якій рівняння визначає як неявну функцію змінної. Отримати явний вираз цієї функції неможливо, оскільки рівняння не можна вирішити щодо .

4) Рівняння
не визначає жодної неявної функції, тому що немає таких пар дійсних чисел і , які йому задовольняють.

Функція
, задана рівнянням
, згідно з теореми 6.1, має в околиці точки безперервні приватні похідні за всіма аргументами. З'ясуємо, як їх можна знайти, не маючи явного завдання функції.

Нехай функція
задовольняє умови теореми 6.1. Тоді рівняння
безперервну функцію
. Розглянемо складну функцію
де . Функція є складною функцією однієї змінної, причому якщо
, то

(6.1)

З іншого боку, за формулою (5.3) для обчислення повної похідної
(6.2)

З (6.1) та (6.2) отримуємо, що якщо , то

(6.3)

Зауваження.Ділити на можна, оскільки відповідно до теореми 6.1
у будь-якій точці околиці.

ПРИКЛАД. Знайти похідну неявної функції , заданої рівнянням та обчислити її значення при
.

,
.

Підставивши приватні похідні у формулу (6.3), отримаємо

.

Далі, підставляючи у вихідне рівняння, знайдемо два значення:
і
.

Отже, на околиці точки рівняння визначає дві функції:
і
, де
,
. Їх похідні будуть рівні

і
.

Нехай тепер рівняння
визначає в деякій околиці точки
функцію. Знайдемо. Нагадаємо, що це звичайна похідна функції , що розглядається як функція змінної при постійному значенні . Тому ми можемо застосувати для знаходження формулу (6.3), вважаючи функцією – аргументом – константою. Отримаємо

. (6.4)

Аналогічно, вважаючи функцією – аргументом – константою за формулою (6.3) знаходимо

. (6.5)

ПРИКЛАД. Знайти приватні похідні функції, заданої рівнянням
.

,
,
.

Користуючись формулами (6.4) та (6.5), отримаємо

,
.

І, нарешті, розглянемо загальний випадок, коли рівняння

визначає в деякій околиці точки функцію змінних. Повторюючи міркування, проведені для неявно заданої функції двох змінних, отримаємо

,
, …,
.

§ 7. Похідна за напрямком

1. Похідна за напрямком.

Нехай функція двох змінних визначена у певній області
площині
, - точка області, -Вектор будь-якого напрямку. Перейдемо з точки
в точку у напрямку вектора. Функція отримає при цьому збільшення

Поділимо збільшення функції
на довжину відрізка зміщення
. Отримане ставлення
дає середню швидкість зміни функції на ділянці
. Тоді межа цього відношення при
(якщо він існує і кінцевий) буде швидкістю зміни функції в точці
у напрямку вектора. Його називають похідної функції у точці за напрямком вектора і позначають
або
.

Крім величини швидкості зміни функції, дозволяє визначити характер зміни функції в точці в напрямку вектора (Зростання або спадання):

Доводяться ці твердження так само, як і подібні до функції однієї змінної.

Зауважимо, що приватні похідні функції є окремим випадком похідної за напрямом. А саме,
це похідна функції за напрямком вектора (напряму осі
), – похідна функції за напрямком вектора (напряму осі
).

Припустимо, що функція диференційована у точці . Тоді

де - нескінченно мала при
.

) ми вже неодноразово стикалися з приватними похідними складних функцій на зразок і складнішими прикладами. Так що ж ще можна розповісти?! …А все як у житті – немає такої складності, яку не можна було б ускладнити =) Але математика – на те й математика, щоб укладати різноманіття нашого світу в суворі рамки. І іноді це вдається зробити однією пропозицією:

У випадку складна функція має вигляд , де, щонайменше одназ літер є функцію, яка може залежати від довільногокількості змінних.

Мінімальний і найпростіший варіант - це давно знайома складна функція однієї змінної, похідну якої ми навчилися знаходити у минулому семестрі. Навичками диференціювання функцій ви теж маєте (Погляньте на ті ж функції ) .

Таким чином, зараз нас цікавитиме якраз випадок. Через велику різноманітність складних функцій загальні формули їх похідних мають дуже громіздкий і погано засвоюваний вигляд. У зв'язку з цим я обмежусь конкретними прикладами, з яких ви зможете зрозуміти загальний принцип знаходження цих похідних:

Приклад 1

Дана складна функція , де . Потрібно:
1) визначити її похідну та записати повний диференціал 1-го порядку;
2) обчислити значення похідної при .

Рішення: по-перше, розберемося із самою функцією Нам запропоновано функцію, яка залежить від і , які в свою чергу є функціямиоднієї змінної:

По-друге, звернемо пильну увагу на саме завдання – від нас потрібно знайти похіднутобто мова йде зовсім не про приватних похідних, які ми звикли знаходити! Оскільки функція фактично залежить лише від однієї змінної, то під словом «похідна» мається на увазі повна похідна. Як його знайти?

Перше, що спадає на думку, це пряма підстановка та подальше диференціювання. Підставимо у функцію:
, після чого з похідною жодних проблем:

І, відповідно, повний диференціал:

Це рішення математично коректно, але маленький нюанс полягає в тому, що коли завдання формулюється так, як воно сформульоване – такого варварства від вас ніхто не очікує. А якщо серйозно, то причепитися тут дійсно можна. Уявіть, що функція визначає політ джмеля, а вкладені функції змінюються залежно від температури. Виконуючи пряму підстановку , ми отримуємо лише приватну інформацію, Що характеризує політ, скажімо, тільки в спеку. Більше того, якщо людині не обізнаній у джмелях пред'явити готовий результат і навіть сказати, що це за функція, то вона так нічого і не дізнається про фундаментальний закон польоту!

Ось так ось несподівано брат наш дзижчий допоміг усвідомити сенс і важливість універсальної формули:

Звикайте до «двоповерхових» позначень похідних – у завданні, що розглядається, в ходу саме вони. При цьому слід бути дуже акуратниму записі: похідні із прямими значками «де» – це повні похідні, а похідні із округлими значками – це приватні похідні. З останніх та почнемо:

Ну а з "хвостими" взагалі все елементарно:

Підставимо знайдені похідні до нашої формули:

Коли функція спочатку запропонована в хитромудрому вигляді, то буде логічним (І тому дано пояснення вище!)залишити в такому ж вигляді та результати:

При цьому у «наворочених» відповідях краще утриматися навіть від мінімальних спрощень (Тут, наприклад, напрошується прибрати 3 мінуси)- І вам роботи менше, і волохатий друг задоволений рецензувати завдання простіше.

Проте не зайвою буде чорнова перевірка. Підставимо у знайдену похідну та проведемо спрощення:


(на останньому кроці використані тригонометричні формули , )

В результаті отримано той самий результат, що і за «варварського» методу рішення.

Обчислимо похідну в точці. Спочатку зручно з'ясувати «транзитні» значення (Значення функцій ) :

Тепер оформляємо підсумкові розрахунки, які у разі можна здійснити по-різному. Використовую цікавий прийом, в якому 3 та 4 «поверху» спрощуються не по звичайним правилам, А перетворюються як приватне двох чисел:

І, звичайно ж, гріх не перевірити за компактнішим записом :

Відповідь:

Буває, що завдання пропонується в «напівзагальний» вигляді:

«Знайти похідну функції, де »

Тобто "головна" функція не дана, але її "вкладиші" цілком конкретні. Відповідь слід дати в такому ж стилі:

Більше того, умова можуть трохи підшифрувати:

«Знайти похідну функції »

В цьому випадку потрібно самостійнопозначити вкладені функції якими-небудь відповідними літерами, наприклад, через і скористатися тією самою формулою:

До слова, про буквені позначення. Я вже неодноразово закликав не «чіплятися за літери», як за рятувальне коло, і зараз це особливо актуально! Аналізуючи різні джерела на тему, у мене взагалі склалося враження, що автори «пішли врознос» і стали безжально кидати студентів у бурхливі безодні математики =) Так що вже вибачте:))

Приклад 2

Знайти похідну функції , якщо

Інші позначення не повинні бентежити! Щоразу, коли ви зустрічаєте подібне завдання, потрібно відповісти на два прості запитання:

1) Від чого залежить "головна" функція?У разі функція «зет» залежить від двох функцій («у» і «ве»).

2) Від яких змінних залежить вкладені функції?В даному випадку обидва вкладиші залежать тільки від ікса.

Таким чином, у вас не повинно виникнути труднощів, щоб адаптувати формулу до цього завдання!

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

Додаткові приклади по першому виду можна знайти у задачнику Рябушка (ІДЗ 10.1), ну а ми беремо курс на функцію трьох змінних :

Приклад 3

Дана функція, де.
Обчислити похідну у точці

Формула похідної складної функції, як багато хто здогадується, має споріднений вигляд:

Вирішуйте, якщо здогадалися =)

Про всяк випадок наведу і загальну формулу для функції:
, хоча на практиці ви навряд чи зустрінете щось довше за Приклад 3.

З іншого боку, іноді доводиться диференціювати «урізаний» варіант – зазвичай, функцію виду чи . Залишаю вам це питання для самостійного дослідження – придумайте якусь простенькі приклади, подумайте, поекспериментуйте та виведіть укорочені формули похідних.

Якщо щось залишилося недозрозумілим, будь ласка, неквапливо перечитайте та осмисліть першу частину уроку, оскільки зараз завдання ускладниться:

Приклад 4

Знайти приватні похідні складної функції , де

Рішення: дана функція має вигляд , і після прямої підстановки ми отримуємо звичну функцію двох змінних:

Але такий страх не те щоб не прийнято, а вже й не хочеться диференціювати. Тому скористаємося готовими формулами. Щоб ви швидше вловили закономірність, я виконаю деякі позначки:

Уважно перегляньте картинку зверху вниз і зліва направо.

Спочатку знайдемо приватні похідні «головної» функції:

Тепер знаходимо «іксові» похідні «вкладишів»:

і записуємо підсумкову «іксову» похідну:

Аналогічно з «гравцем»:

і

Можна дотримуватися іншого стилю – відразу знайти всі «хвости» і потім записати обидві похідні.

Відповідь:

Про підстановку щось якось зовсім не думається =) =), а ось зачесати результати трохи можна. Хоча, знову ж таки, навіщо? – лише ускладніть перевірку викладачеві.

Якщо буде потрібно, то повний диференціал Тут записується за стандартною формулою, і, до речі, саме цьому етапі стає доречною легка косметика:


Така ось... ....труна на коліщатках.

З огляду на популярність розглянутого різновиду складної функції пари завдань для самостійного вирішення. Простіший приклад у «напівзагальному» вигляді – на розуміння самої формули;-):

Приклад 5

Знайти приватні похідні функції , де

І складніше – із підключенням техніки диференціювання:

Приклад 6

Знайти повний диференціал функції , де

Ні, я зовсім не намагаюся «відправити вас на дно» – всі приклади взяті з реальних робіт, і «у відкритому морі» вам можуть потрапити які завгодно літери. У будь-якому випадку потрібно буде проаналізувати функцію (відповівши на 2 питання – див. вище), уявити її у загальному вигляді та акуратно модифікувати формули приватних похідних. Можливо, зараз трохи поплутаєтеся, зате зрозумієте сам принцип їх конструювання! Бо справжні завдання лише починаються:)))

Приклад 7

Знайти приватні похідні та скласти повний диференціал складної функції
, де

Рішення: «головна» функція має вигляд і, як і раніше, залежить від двох змінних – «ікса» та «гравця». Але в порівнянні з Прикладом 4 додалася ще одна вкладена функція, і тому формули приватних похідних теж подовжуються. Як і в тому прикладі, для кращого бачення закономірності, я виокремлю «головні» приватні похідні різними кольорами:

І знову – уважно вивчіть запис зверху донизу та зліва направо.

Оскільки завдання сформульовано у «напівзагальному» вигляді, всі наші праці, сутнісно, ​​обмежуються перебуванням приватних похідних вкладених функций:

Впорається першокласник:

І навіть повний диференціал вийшов цілком симпатичний:

Я спеціально не став пропонувати вам якусь конкретну функцію – щоб зайві нагромадження не завадили добре дати раду принциповій схемі завдання.

Відповідь:

Досить часто можна зустріти «різнокаліберні» вкладення, наприклад:

Тут "головна" функція хоч і має вигляд, але все одно залежить і від "ікс", і від "ігрок". Тому працюють ті самі формули – просто деякі приватні похідні дорівнюватимуть нулю. Причому це справедливо і для функцій на кшталт , У яких кожен «вкладиш» залежить від якоїсь однієї змінної.

Схожа ситуація має й у двох заключних прикладах уроку:

Приклад 8

Знайти повний диференціал складної функції у точці

Рішення: умова сформульована «бюджетним» чином, і ми маємо самі позначити вкладені функції. По-моєму, непоганий варіант:

У «вкладишах» присутні ( УВАГА!) ТРИ літери - старі-добрі «ікс-ігрек-зет», а значить, «головна» функція фактично залежить від трьох змінних. Її можна формально переписати як , і приватні похідні у разі визначаються такими формулами:

Скануємо, вникаємо, уловлюємо….

У нашому завданні: